TECNOLOGICO NACIONAL DE
MEXICO
Instituto Tecnológico de Tepic
Ingeniería Civil
Ecuaciones Diferenciales
Omar Edel Nuñez Soltero
Ensayo Serie de Fourier
Alumno: Estrada Tirado Ramon Jocemike
Numero de control: 20401073
Introducción
La serie de Fourier es una herramienta matemática básica utilizada para
analizar funciones periódicas. Este análisis se realiza descomponiendo la
función en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples. Estas
señales periódicas son múltiplos de la señal original. La mayoría de estas
técnicas se basan en la transformación matemática de las ecuaciones.Las
transformaciones nos ayudan a simplificar las ecuaciones mediante un
proceso unívoco.
Una de esas transformadas es la transformada de Fourier, que se utiliza para
obtener información de frecuencia de una función, por ejemplo, cuándo se
escucha un sonido, se sabe si es grave o fuerte. El cerebro interpreta el
contenido de la información que llega y puede distinguir si está compuesta
por frecuencias, que son principalmente altas, y viceversa, de qué está
compuesta, principalmente bajas.La transformada de Fourier se usa para
analizar patrones en datos de series de tiempo, y la serie de Fourier es una
herramienta que se usa para calcular estos patrones.
Origen de las Series de Fourier
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747)
y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplaza- miento
u = u(t, x) de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la
posición x, es solución de la ecuación diferencial
El desarrollo de las series de Fourier ha sido un fenómeno generalizado y de
larga data que involucra a muchas personas diferentes. El uso de sumas
trigonométricas armónicamente relacionadas para describir fenómenos
periódicos se remonta a los antiguos astrónomos babilónicos. El cálculo se
desarrolló en el siglo XVII y se ha convertido en la principal herramienta
para estudiar y modelar la Naturaleza.La idea era utilizar una ecuación
diferencial para modelar la evolución de un fenómeno natural. Esta ecuación
relacionaría las distintas variables que intervienen en el fenómeno, como la
magnitud, la velocidad o el tiempo.
La ecuación se obtendría a partir del análisis del fenómeno a nivel
infinitesimal, utilizando un número reducido de leyes descubiertas. Estas
leyes incluyen las leyes del movimiento, la energía y la termodinámica. Los
fenómenos pueden ser descritos por una sola variable y se rigen por
ecuaciones diferenciales ordinarias que relacionan una función desconocida
con su derivada.Uno de los problemas más interesantes con los que se
enfrentaron los matemáticos a lo largo del siglo XVII y mediados del XVIII,
y que aparecía a menudo en los problemas de física relacionados con los
procesos oscilatorios, fue un problema llamado problema de cuerda vibrante
1, que consiste en encontrar una función f(x ,t) representando
desplazamientos de cuerda
Se descubrió la ecuación que describe el movimiento de
una cuerda vibrante. Esta ecuación fue estudiada por Jean
Le Rond d'Alembert (1717-1783), Euler (1707-1783),
Daniel Bernoulli (1700-1782), Joseph Louis Lagrange
(1736-1813) y Joseph Fourier (1768-1830).
Dónde ̈ y ̈ es el desplazamiento transversal en el tiempo ̈ t ̈ del punto ̈ x ̈ de una
cuerda uniforme unida por sus extremos a dos puntos del eje ̈ x ̈ que están
separados π. Este problema fue estudiado por d'Alembert y Euler (usando el
método de propagación de ondas) y reportado en 1747 y 1747
respectivamente. En 1748 encontraron la solución a la ecuación donde f y g
están determinadas por las condiciones iniciales.
Poco después, especialmente en 1753, Bernoulli consideró una solución física
al problema de hacer vibrar una cuerda en forma de serie triangular, lo que le
llevó a creer que la vibración simultánea de la cuerda involucra múltiples
frecuencias y que la amplitud depende de la forma. de la cuerda La vibración
inicial, que es como la cuerda comienza a moverse.Encontró una solución
que, a diferencia de las soluciones anteriores, básicamente representaba la
solución al problema como una superposición (a menudo infinita) de ondas
simples. Esta posibilidad, descubierta por Bernoulli, es lo que hoy llamamos
principio de superposición y ha demostrado ser de gran importancia en
muchas áreas de la física matemática.
Aplicaciones de las Series de Fourier
La serie de Fourier es una poderosa herramienta que se puede utilizar en una
variedad de campos de las matemáticas y la física. Su versatilidad es evidente
en las diferentes aplicaciones que tiene, desde teoría de números y geometría
hasta física e ingeniería. incluso la mecánica cuántica.Si aplicamos la teoría
de las series de Fourier a varios problemas, veremos que hay muchas
situaciones en las que la convergencia puntual de tales series es insuficiente
para obtener una respuesta satisfactoria; este será el caso, por ejemplo, en
aplicaciones técnicas de series de Fourier.Estos son muy útiles en el
procesamiento de señales digitales, un área de la ciencia y la tecnología que
se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años. La caja de
herramientas matemáticas es una aplicación versátil utilizada en muchas
ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta esencial en la teoría
matemática abstracta. Es un activo invaluable para investigadores y
estudiantes en todos los campos de las matemáticas.
Las áreas de aplicación incluyen, análisis vibratorio, acústica óptica,
procesamientos de imágenes y señales, comprensión datos, ecuaciones de
ondas y calor, electromagnetismo, comunicaciones, mecánica aplicada,
estructuras cristalinas, modelos de radiación de antenas, análisis de redes
además de circuitos eléctricos.
También la serie de Fourier se utiliza para ingeniería eléctrica, análisis de
vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, fotorretoque,
mecánica cuántica, economía, LED, lámparas y otros encendidos parciales o
totales de dispositivos emisores de luz, conmutación de dispositivos e
encendido periódico. Tiene muchos usos, como para dispositivos específicos
y temporales. otros.En particular, como esto también se aplica, esto se aplica
a las señales en los circuitos eléctricos, por lo que las señales electrónicas
más generales tienen un aspecto para la selección adecuada de los
coeficientes. El análisis de Fourier se puede utilizar para analizar una
variedad de fenómenos, incluidos el sonido, el calor, la luz y las funciones
matemáticas.
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Bibliografía
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