ING. EDGAR H. MEDINA TAPIA
TRANSFORMADAS INTEGRALES
Tema 1.- Las Series y la Integral de Fourier
1.- Preliminares
1.1.- Función Periódica. - Una función
es periódica de periodo
1.2.- Funciones Ortogonales. - Una sucesión de funciones
intervalo
si verifica
∫
, si
.
,
se dice que es ortogonal sobre el
{
Por ejemplo, la sucesión
porque
es ortogonal sobre el intervalo
∫
{
Toda sucesión compuesta por funciones trigonométricas periódicas del tipo:
periodo
con
para
, es ortogonal sobre el intervalo
ambas de
. Esta sucesión verifica las
siguientes condiciones
∫
∫
∫
∫
∫
{
{
1.3.- La Serie Trigonométrica de Fourier. - Sea una función periódica de periodo
en el intervalo (–
). Si
, continua por partes
la serie Trigonométrica de Fourier de en un punto de continuidad está
expresada como:
∑
Donde
denominados coeficientes de Euler-Fourier, se obtienen mediante las fórmulas:
∫
∫
Demostración
Cálculo de
.- Se multiplica la relación (1) por
y se integra desde – hasta :
1
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∫
∑,
∫
∫
∫
-
∫
Ahora bien, si
Cálculo de
∫
.- Se multiplica la relación (1) por
y se integra desde – hasta
∫
∑,
∫
∫
∫
-
∫
∫
∫
La Identidad de Parseval
∫
∑
Teorema de Convergencia. - Condiciones de Dirichlet. - Si
esto es, si
converge a:
es suave por partes sobre el intervalo (–
son continuas en cada subintervalo de (–
La extensión periódica de
)
); entonces la serie de Fourier de
, si dicha extensión es continua.
La media de los dos límites laterales
; si la extensión periódica tiene una discontinuidad de salto.
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1.4.- Derivación e Integración de las Series de Fourier. – Sea
una función periódica de periodo
,y
, entonces
1.- Si
es continua en
y si
de continuidad la serie de Fourier de
para
, es decir
), entonces, en un punto
son continuas por partes en (–
puede ser obtenida derivando término a término la serie de Fourier
∑
2.- Sea
continua por partes en
, entonces en un punto de continuidad para cualquier en
integral de la serie Fourier para
esta dada por
∫
∫
, la
∑∫
2.- Desarrollo de Funciones Par e Impar en Serie de Fourier
2.1.- Simetría de Onda. - Se dice que
es una función,
Par, si verifica la condición
. (La gráfica de
Impar, si verifica la condición
es simétrica con respecto al eje Y).
. (La gráfica de
Propiedades de las funciones simétricas. –Sea
sera
es simétrica con respecto al Origen).
es una función continua por partes en
, entonces,
1.- Par si verifica,
∫
∫
2.- Impar si cumple,
∫
2.2.- Series de Senos y Cosenos de Fourier. - Sea
entonces:
1.- Si
una función continua por partes, periódica de periodo
es par, tiene serie de cosenos de Fourier dada por la fórmula:
3
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∫
∑
2.- Si
es impar, tiene serie de senos de Fourier dada por:
∫
∑
2.3.- Expansiones de Medio Rango o Recorrido. - Una función
seccionalmente continua definida e
integrable en el intervalo
se representará por medio de una serie de Fourier de cosenos o de senos sobre el
intervalo
siempre que se especifique si será par o impar, en
, quedando definida en
.
Entonces:
1. - Para una extensión par, tendrá una representación en serie de cosenos de Fourier:
∫
∑
2. - Para una extensión impar, tendrá una representación en serie de senos de Fourier:
∫
∑
3.- Representación Compleja de las Series de Fourier
Una
una función periódica de periodo
trigonométrica de Fourier
, en un punto de continuidad está representada por la serie
∑
Donde
∫
∫
Cuando se emplean las relaciones de Euler
(
)
La serie trigonométrica de Fourier adquiere la forma:
∑{
}
Reorganizando este resultado, se tiene
∑{
}
∑{
}
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Intercambiando ahora
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por
en la segunda suma resulta:
∑{
}
Ahora bien, los coeficientes
}
, luego
∑{
Denominando
}
∑ {
}
y reorganizando, se obtiene:
∑
Los coeficientes
∑ {
∑
∑
se evalúan por medio de la fórmula:
∫
∫
∫
Finalmente, la representación compleja de la serie de Fourier está dado por
∫
∑
La relación entre los coeficientes de las series trigonométrica y compleja están dadas por las equivalencias
̅
̅
Espectros Discretos de Frecuencia Compleja
Como la expansión en serie de Fourier, descompone de la función periódica
armónicas o de frecuencia
, donde
de periodo en sus componentes
es la frecuencia padre; entonces, la serie de Fourier
puede ser interpretada como el espectro discreto de frecuencias de
.
Por lo tanto, si se tiene,
∑
1.- El Espectro de amplitud de
angular .
2.- El Espectro de fase de
∫
| |
, es la gráfica de la amplitud de los coeficientes | | versus la frecuencia
, es la gráfica del ángulo de fase
versus la frecuencia angular .
Las gráficas de amplitud y fase, son espectros de frecuencia discreta porque aparecen como función de la variable
discreta
donde admite solo valores enteros.
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5.- La Integral de Fourier
Sea una función periódica
de periodo
, con
, entonces
∑
Donde
∫
Intercambiando temporalmente, la variable
en la fórmula (1.5.1), se obtiene:
en lugar de
∑ *
∫
+
Considerando la equivalencia
son las longitudes de onda iguales a
en la ecuación (1.5.2) y sustituyendo este resultado
, se observa que las particiones enteras de anchura
,
; luego, la distancia entre dos valores consecutivos de longitudes de onda
es igual a
Por lo tanto,
adopta la forma
∑ *
∫
+
Si la función está definida en toda la recta con periodo infinito,(
una suma de rectángulos de bases iguales a
hasta
función
]
∫
calculadas desde
aproximándose a una suma de Riemann. En estas condiciones considerando que
puede ser escrita como una integral de Fourier, es decir
∫ *∫
Tomando en cuenta que
+
∫
la
∫
es real, se tiene
∫
Además,
y alturas [
; la ecuación anterior sería
∫
es par respecto a , entonces
∫
∫
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Las Condiciones de Dirichlet para la Integral de Fourier. - Si
1.- ∫ |
2.-
|
, es decir es absolutamente integrable.
tiene una cantidad finita de máximos, mínimos y puntos de discontinuidad en cualquier intervalo finito.
Entonces la integral de Fourier converge a
donde
verifica las condiciones:
en los puntos donde
es continua y a
(
)
es discontinua.
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