Unidad 3
espacios
vectoriales
Objetivos:
Al inalizar la unidad, el alumno:
• Describirá las características de un espacio vectorial.
• Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales.
• Ejempliicará los conceptos de espacio y subespacio vectorial.
• Identiicará las características de los vectores linealmente independientes
y linealmente dependientes.
• Construirá el wronskiano.
Álgebralineal
Introducción
E
l estudio de vectores comenzó con el trabajo del gran matemático irlandés
sir William Hamilton (1805–1865). Aunque en su época se consideró que
los vectores no tenían ninguna utilidad, en la actualidad se usan cada vez
más frecuentemente en física clásica y moderna y aun en las ciencias biológicas
y sociales1.
En la unidad 1 se manejó a los vectores como un conjunto ordenado o n – ada
de números reales, y como matrices de orden 1×n, ejemplos de ellos son los puntos
del plano cartesiano R2 y del espacio R3.
Para muchas aplicaciones físicas (incluyendo nociones de fuerza, velocidad,
aceleración y momento) es importante pensar en el vector no como un punto
sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”.. Es decir, vamos a
representar los vectores (x,y) de R2 como una flecha que parte del origen y que
termina en el punto (x,y).
Figura 3.1.
A lo largo de esta unidad definiremos espacios vectoriales cuyos
elementos no sean “flechas” sino objetos más abstractos; sin embargo, siempre
regresaremos a R2 como ejemplo con el fin de “visualizar” los conceptos,
propiedades o resultados.
3.1. Definición de espacio vectorial
La notación de los vectores será con letras minúsculas en negritas y la de
los escalares reales con letras minúsculas.
La siguiente definición nos permite tener una generalización de espacios
vectoriales donde los objetos no necesariamente son n–eadas de puntos de Rn.
1
Véase el libro de Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford
University Press, 1972.
105
Unidad 3
Definición 3.1. Sea V un conjunto de objetos, junto con dos operaciones
llamadas suma y multiplicación por un escalar. Entonces V se llama espacio
vectorial real si se satisfacen los siguientes axiomas:
Si x ∈ V y y ∈ V entonces la suma x + y ∈ V.
(Cerradura bajo la suma.)
ii)
Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z).
(Ley asociativa de la suma.)
iii) Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x.
(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo.)
iv) Si x ∈ V existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0
(–x se llama inverso aditivo de x.)
v)
Si x y y están en V, entonces x + y = y + x.
(Ley conmutativa de la suma de vectores.)
vi) Si x ∈ V y α es un escalar, entonces α x ∈ V.
(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar.)
vii) Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
(Primera ley distributiva.)
viii) Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx
(Segunda ley distributiva.)
ix) Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (α β)x
(Ley asociativa de la multiplicación por escalares.)
x)
Para cada vector x ∈ V, 1x = x.
i)
3.2. Ejemplos de espacios vectoriales
Vamos a considerar en este apartado diversas clases de ejemplos de
conjuntos que son espacios vectoriales y otros que no lo son:
1. Consideremos los vectores en el plano cartesiano R2. Vamos a probar que
R es un espacio vectorial:
2
Tomando los vectores a = (x1, y1) y b = (x2, y2), entonces definimos la suma
de a y b como a + b = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ R2 y por lo
tanto satisface i). Los puntos ii) hasta el x) se obtienen de la definición de suma
de matrices, ya que los puntos de R2 se consideran matrices de 1×2. Podemos
generalizar este resultado a las n–adas reales (x1, x2,…, xn) de Rn.
2. Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo del número 0. Vamos a demostrar
que V es un espacio vectorial que recibe el nombre de espacio vectorial
trivial.
106
Álgebralineal
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
Como 0 + 0 = 0 ∈ V
(0 + 0) + 0 = 0 = 0 + (0 + 0)
0+0=0
0 + (–0) = 0
0+0=0+0
α0 = 0 ∈ V
α(0 + 0) = 0 = α0 + α0
(α + β)0 = 0 = α0 + β0
α(β0) = α0 = 0 = (αβ)0
1(0) = 0
Por lo tanto, V es un espacio vectorial.
3. Sea V = {1}. Tal que los elementos de V pertenecen a los naturales.
Este no es un espacio vectorial ya que 1 + 1 = 2 ∉ V, es decir no es cerrado
bajo la suma.
4. El conjunto de puntos de R2 que están en una recta que pasa por el
origen.
Sea V = {(x,y) ∈ R2, tales que y = mx, donde m es un número real fijo}.
Sean x = (x1, y1) y y = (x2, y2) en V. Entonces y1 = mx1 y y2 = mx2 y
podemos escribir a x y y como sigue: x = (x1, mx1) y y = (x2, mx2)
i)
x + y = (x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2); si factorizamos el
segundo término obtenemos mx1 + mx2 = m(x1 + x2), entonces x + y =
(x1 + x2, m[x1 + x2]) que es un elemento de V.
iv) Supón que x = (x, y) está en V, entonces y = mx. Definimos –x = (–x, –y)
de donde obtenemos que –y = –(mx) = m(–x). Por lo tanto –x está en V.
De igual manera se prueban todas las demás propiedades ya que R2 es un
espacio vectorial.
5. El conjunto de puntos de R2 que están en una recta que no pasa por el
origen no es un espacio vectorial.
Sea V = {(x,y) ∈ R2, tales que y = mx + b, donde m y b son números reales
fijos}.
107
Unidad 3
Si x = (x1, y1) y y = (x2, y2) en V, entonces y1 = mx1 + b y y2 = mx2 + b, de
donde x + y = (x1, mx1 + b) + (x2, mx2 + b) = (x1 + x2, mx1 + b + mx2 + b) , pero
mx1 + b + mx2 + b = m(x1 + x2) + 2b, y por lo tanto este elemento no está en V,
es decir V no es cerrado bajo la suma.
6. Sea Mm×n el conjunto de matrices de m×n con entradas en R.
Por las propiedades de las matrices de suma y producto por un escalar es
claro que el conjunto Mm×n es un espacio vectorial.
7. El conjunto Pn, formado por polinomios de coeficientes reales de grado
menor o igual a n.
Si p ∈ Pn, entonces p = anxn + an–1xn–1 + …+ a1x + a0 donde todas las ai son
reales.
Si p y q ∈ Pn, donde q = bnxn + bn–1xn–1 + …+ b1x + b0 entonces, p + q =
(an + bn)xn + (an–1 + bn–1) xn–1 + … (a1 + b1) x + (a0 + b0) ∈ Pn.
Las propiedades ii) y v) a x) son consecuencia de la suma y producto de
polinomios.
iii) Definimos el polinomio 0 = 0xn + 0xn–1 + … + 0x + 0 ∈Pn
iv) Definimos el polinomio –p = –anxn– an–1xn–1– …– a1x – a0 ∈ Pn
Por lo que podemos concluir que Pn es un espacio vectorial.
8. Sea C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales
definidas en el intervalo [0,1].
Si f y g ∈ C [0,1] definimos ( f + g) (x) = f(x) + g(x) y (αf ) (x) = α[ f(x)].
Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple;
los otros axiomas se cumplen si definimos las funciones cero como 0(x) = 0; y
(–f )(x) = –[ f(x)]. Por lo que C [0,1] es un espacio vectorial.
0 α 
9. Sea H el conjunto de las matrices de 2×2 de la forma 
 donde
0 0 
α≠0.
0 1
 0 −1
Consideremos las matrices A = 
 yB= 
 tenemos que A, B≠ 0
0 0
0 0 
0 0
 0 1   0 −1  0 0 
y sin embargo A+B = 

 . Como la matriz cero 
 =
+
0 0
0 0 0 0  0 0
no está en H, podemos asegurar que H no es un espacio vectorial.
108
Álgebralineal
0 α 
10. Sea F el conjunto de matrices de 2×2 definida como 
 y sean α
0 0 
0 5
y β escalares. Hagamos un primer caso, en el cual tenemos una matriz 

0 0
de la cual α=5 y sea β =2, tenemos que al efectuar el producto del escalar
 0 5   0 10 
por la matriz se tiene que: (2) 
 , esta matriz es un espacio
=
0 0 0 0 
vectorial de F, ya que se define para cualquier matriz de 2 × 2.
0 0
Un segundo caso es que tenemos una matriz de la forma 
 y β=6 un
0 0
0 0
escalar, que al efectuar el producto del escalar por la matriz tenemos: 

0 0
que es la matriz cero, que también es un espacio vectorial de F.
0 2
Un tercer caso es que se tiene la matriz 
 y un escalar α=0, de
0 0
igual manera al efectuar el producto de este escalar por la matriz tenemos
0 2 0 0
( 0) 
 , de lo que se observa que se obtiene la matriz cero, que es
=
0 0 0 0
un espacio vectorial de F.
De los ejemplos anteriores se puede ver demostrado el siguiente teorema.
Teorema 3.1. Sea V un espacio vectorial. Entonces:
i)
ii)
iii)
iv)
α 0 = 0 para todo escalar α
0 x = 0 para todo x en V
Si αx = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos)
(–1)x = –x para todo x en V.
109
Unidad 3
Ejercicio 1
Menciona si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales. En caso
de no serlo menciona cuál de las propiedades es la que no se cumple:
1. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) ∈ R2, tales que y = –3x}
2. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) ∈ R2, tales que y = –3x + 2}
3. Los puntos de R2 que se encuentran en el primer cuadrante, es decir {(x,y)
∈ R2, tales que x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 a
4. El conjunto de matrices de orden 2×2 que tienen la forma 
, a, b
b 0
escalares.
5. R2 con la suma definida por (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1),
y la multiplicación por escalar ordinaria.
6. El conjunto de vectores (x, y, z) en R3 donde 2x – y – 12z = 0.
3.3. Subespacios vectoriales
En la sección anterior se vio que tanto R2 como un subconjunto de R2 son
espacios vectoriales, como ejemplo sea V = {(x, y) tales que y = mx}; ve los
ejemplos 1 y 4 sección 3.2. Es evidente que V∈R2, y por lo tanto el espacio
vectorial R2 tiene un subconjunto que también es espacio vectorial.
Definición 3.2. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V.
Entonces H se llama subespacio vectorial de V si H es un espacio vectorial
bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V.
Se puede decir que un subespacio vectorial H hereda las operaciones del
espacio vectorial V. De donde se desprende el siguiente teorema:
Teorema 3.2. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un
subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades de cerradura:
i) Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.
ii) Si x ∈ H , entonces αx ∈ H para todo escalar α.
110
Álgebralineal
Notas:
1. Este teorema nos dice que basta probar que la suma de elementos de H y
el producto por un escalar están en H para que H sea un subespacio vectorial.
2. Se encuentra contemplado en el resultado anterior que “Todo subespacio
de un espacio vectorial contiene a 0”.
Ejemplo 1
a) Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto H = {0} es un
subespacio vectorial llamado subespacio trivial.
i) 0 + 0 = 0 H
ii) α0 = 0 H
Por lo tanto H = {0} es subespacio vectorial de V.
b) Sea V cualquier espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí
mismo.
c) Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 tales que x = at, y = bt, z = ct }, entonces H es un
subconjunto de R3.
i) Sean x = (x1, y1, z1) y y = (x2, y2, z2) ∈ H, entonces
x1 = at1,
y1 = bt1,
z1 = ct1 y
x2 = at2, y2 = bt2, z2 = ct2
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2), de donde tenemos que:
x1 + x2 = at1 + at2 = a(t1 + t2)
y1 + y2 = bt1 + bt2 = b(t1 + t2)
z1 + z2 = ct1 + ct2 = c(t1 + t2) y por lo tanto x + y ∈ H
ii) Sea x = (x1, y1, z1)∈H y α un escalar, entonces x1 = at1, y1 = bt1, z1 = ct1
αx = α(x1, y1, z1) = (αx1, αy1, αz1) de donde tenemos que:
αx1 = α(at1) = a(αt1); αy1 = α(bt1) = b(αt1); αz1 = α(ct1) = c(αt1)
y por tanto, αx ∈ H
111
Unidad 3
iii) 0 = (0, 0, 0) ∈ H ya que 0 = 0t.
Por lo tanto podemos asegurar que H es un subespacio vectorial de R3.
d) Consideremos el espacio vectorial Mn×n y sea H = {A ∈ Mn×n A es
invertible}.
(Recordemos que una matriz es invertible si su determinante es distinto de
cero).
Consideremos la matriz cero de Mn×n , como su determinante es cero no
es invertible, por lo tanto la matriz cero no está en H y en consecuencia H
no es subespacio vectorial de Mn×n
e) Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 tales que z = 1} es un subconjunto de R3.
i) Sean x = (x1, y1, z1) y y = (x2, y2, z2) ∈ H, entonces z1 = z2 = 1
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) de donde tenemos que:
z1 + z2 = 1 + 1 = 2 y por lo tanto, x + y ∉ H y H no es subespacio vectorial.
El siguiente teorema nos dice que podemos intersectar espacios vectoriales
para obtener otros subespacios vectoriales.
Teorema 3.3. Si H1 y H2 son subespacios vectoriales de V.
Entonces H1 ∩ H2 es un subespacio vectorial de V.
Ejemplo 2
Sean H1 = {(x, y) ∈ R2, tales que 2x – y = 0} y
H2 = {(x, y) ∈ R2, tales que x + 2y = 0} subespacios vectoriales de R2
entonces, por el teorema anterior
H1 ∩ H2 = {(x, y) ∈ R2, tales que 2x – y = 0 y x + 2y = 0} es un subespacio
vectorial de R2, por lo tanto H1 ∩ H2 = {(0,0)} es subespacio vectorial.
112
Álgebralineal
Ejercicio 2
Determina en cada caso si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es
un subespacio vectorial de V.
1. V = R2: H = {(x, y) tales que x = y}.
2. V = R2: H = {(x, y) tales que x2 + y2 ≤ 1}.
3. V = Mn×n: H = {A ∈ Mn×n donde A es triangular superior}.
 a b  

4. V = M2×2: H =  A ∈ M 2×2 tal que A = 
 .

 −b c  
3.4. Combinación lineal y vectores generadores
de un espacio vectorial
En esta sección veremos cuándo un conjunto de vectores puede generar
un espacio vectorial. Para esto necesitaremos los conceptos de combinación
lineal, conjunto que genera y espacio generado.
Definición 3.3. Sean v1, v2, ... ,vn vectores en un espacio vectorial V.
Entonces cualquier vector de la forma v=a1v 1 + a 2v 2 + ... + a nvn
donde a1, a2, ..., an son escalares, se llama combinación lineal de v1, v2, ..., vn.
Ejemplo 3
a) Consideremos los siguientes vectores en R2, (1, 0) y (0, 1), entonces
cualquier vector de R2 se puede escribir como combinación lineal de (1, 0) y (0, 1)
ya que
(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1).
b) En R3, (–7, 7, 7) es una combinación lineal de (–1, 2, 4) y (5, –3, 1) ya
que (–7, 7, 7) = 2(–1, 2, 4) – (5, –3, 1).
113
Unidad 3
−3 2 8   −1 0
c) Consideremos en M2×3 
 = 3
 −1 9 3   1 1
 −3 2 8 
 −1
lo que 
 es una combinación lineal de 
 −1 9 3 
 1
4  0 1
 + 2
5   −2 3
0 4  0
 y
1 5   −2
−2 
 por
−6 
1 −2 
.
3 −6 
d) Cualquier polinomio de Pn (polinomios de grado menor o igual a n) se
puede escribir como combinación lineal de los polinomios: 1, x, x2 , x3, ... xn–1, xn.
Definición 3.4. Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} de V generan a V si
todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, si
para todo v en V existen a1, a2, ..., an, escalares de modo que v = a1v1 + a2v2
+ ... + anvn.
Ejemplo 4
a) En el ejemplo 3a) de la definición 3.3. vimos que cualquier vector de R2
podía escribirse como combinación lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1)
de R2 ; por lo tanto podemos decir que {i, j} generan a R2.
b) De igual manera podría probarse que los vectores de R3:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) generan a todo R3.
a b
c) Consideremos 
 en M2×2, entonces:
c d
 a b  1 0 0 1 0 0 0 0
 por lo que podemos
+d 
+c
+b
=a

 c d  0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
decir que las matrices 
 y 
, 
, 
 generan a M2×2.
0 0 0 0 1 0 0 1
d) Los polinomios 1, x, x2 , x3, ... xn–1, xn
inciso d).
generan a Pn (véase ejemplo 3
e) El conjunto de vectores de R2 H = {(1, 1), (–3, –3)} no puede generar a R2.
114
Álgebralineal
Considera el vector (1, 0) de R2, si H generara a R2, entonces existirían a y b
escalares de modo que (1, 0) = a(1, 1) + b(–3, –3) de donde tenemos el siguiente
sistema de ecuaciones:
a – 3b = 1 y a – 3b = 0 pero el sistema no tiene solución, por lo tanto
H no genera a R2.
f) Consideremos el conjunto H = {(2, 3), (1, –2)}. Vamos a ver si H genera a R2.
Sea (x, y) en R2, si H generara a R2, existirían a y b de modo que (x, y) =
a(2, 3) + b(1, –2), de donde obtenemos el sistema de ecuaciones:
2a + b = x, 3a – 2b = y
resolviendo el sistema obtenemos que a =
podemos asegurar que H sí genera a R2.
2x + y
3x − 2 y
, b=
, de donde
7
7
De acuerdo con los ejemplos anteriores, no podemos suponer que cualquier
conjunto de vectores genera a todo el espacio vectorial. La siguiente definición
nos aclara este asunto:
Definición 3.5. Sean {v1, v2, ..., vk} k vectores de un espacio vectorial V.
Denotado por gen {v1, v2, ..., vk}, el espacio generado por {v1, v2, ..., vk} es el
conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk, es decir,
gen {v1, v2, ..., vk} = {v ∈ V tales que v = a1v1 + a2v2 + ... + akvk}
Aquí surge una pregunta: ¿el espacio generado por un conjunto de vectores
es un espacio vectorial? El siguiente teorema contesta esa pregunta.
Teorema 3.4. Si v1, v2, ..., vk son k vectores de un espacio vectorial V,
entonces
gen {v1, v2, ..., vk} es un subespacio vectorial de V.
Ejemplo 5
a) Sean v1 = (2, –1, 4) y v2 = (4, 1, 6) elementos de R3 .
Sea H = gen {v1, v2} = {a1v1 + a2v2} se tiene que si (x, y, z) está en H, entonces
115
Unidad 3
(x, y, z) = a1v1 + a2v2 = a1(2, –1, 4) + a2(4, 1, 6) = (2a1 + 4a2, –a1 + a2, 4a1 + 6a2)
de donde obtenemos x = 2a1 + 4a2, y = –a1 + a2 , z = 4a1 + 6a2 para algunas
a1 y a2.
Usaremos el teorema 3.2 para probar que H es un subespacio vectorial de R3.
i) Sean x = (x1, y1, z1) y y = (x2, y2, z2) elementos de H, entonces existen
a1, a2, b1 y b2 tales que x1 = 2a1 + 4a2 , y1 = –a1 + a2, z1 = 4a1 + 6a2 y x2 = 2b1
+ 4b2, y2 = –b1 + b2, z2 = 4b1 + 6b2
entonces x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) de donde,
x1 + x2 = 2(a1 + b1) + 4( a2 + b2)
y1 + y2 = –(a1 + b1) + (a2 + b2)
z1 + z2 = 4(a1 + b1) + 6(a2 + b2)
por lo cual x + y está en H.
ii) Sea α un escalar, entonces αx = α(x1, y1, z1) = (αx1, αy1, αz1) de donde
αx1 = α(2a1 + 4a2 ) = 2αa1 + 4αa2
αy1 = α(–a1 + a2 ) = – αa1 + αa2
αz1 = α(4a1 + 6a2) = 4αa1 + 6αa2
por lo cual αx está en H.
Por lo tanto, H es un subespacio vectorial de R3.
El siguiente teorema nos indica que si agregamos un vector a un conjunto
generador, el conjunto que resulta también es generador del mismo espacio
vectorial.
Teorema 3.5. Sean {v1, v2, ..., vn, vn+1} vectores de un espacio vectorial V.
Si {v1, v2, ..., vn} genera a V, entonces {v1, v2, ..., vn, vn+1} también genera a V.
Ejemplo 6
Sean v1=(1,0) y v2=(0,2) elementos de R2.
116
Álgebralineal
Propongamos que sea F el espacio vectorial generado por v1 y v2 de tal
manera que:
F= gen {v1, v2} = {α v1 + β v2} y sean α y β dos escalares, de tal manera que:
(x1 , x2 ) = α (1, 0 ) + β (0, 2 ) = (α + 0, 0 + 2 β ) = (α , 2 β )
por lo que x1= α y x2=2β que pertenecen a R2 , entoces v1 y v2 generan a F.
Sea v3 = (3,4) tendremos que
(x1 ,x2 ) = α (1, 0 ) + β (0, 2 ) + γ (3, 4 ) = (α + 0 + 3γ , 0 + 2 β + 4γ ) = (α + 3γ , 2 β + 4γ )
de donde x1= α+3γ y x2=2β+4γ que son elementos de R2 por lo que v1, v2
y v3 son vectores que generan a F.
Ejercicio 3
1. Responde si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:
a) (3, 5) está en el espacio generado por {(1, 1), (2, 4)}.
b) (1, 2, 3) está en el espacio generado por {(2, 0, 4), (–1, 0, 3)}.
c) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (–2, –3)} también
genera a R2.
2. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio
vectorial dado:
a) En R2: H = {(1, 2), (3, 4)}.
b) En R2: K = {(1, 1), (2, 2), (5, 5)}.
c) En R3: M = {(1, –1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}.
1 0   1 2   4 −1   −2 5  
d) En M2×2: 
,
, 
.
, 
0   6 0  
1 0   0 0   3
117
Unidad 3
3.5. Vectores linealmente dependientes e
independientes
En la sección anterior vimos cómo un conjunto de vectores podía o no
generar a todo un espacio vectorial. En esta sección veremos qué condiciones
debe cumplir un conjunto de vectores para asegurar que genere un espacio
vectorial; para ello necesitaremos introducir los conceptos de conjunto
linealmente independiente y dependiente.
Definición 3.6. Sean {v1, v2, ..., vn} n vectores de un espacio vectorial V.
Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si la única
combinación lineal de ellos igual a cero, es aquella cuyos escalares son cero.
Es decir, si a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 entonces a1 = a2 = a3 = ... = an = 0.
Definición 3.7. Sean {v1, v2, ..., vn} n vectores de un espacio vectorial V.
Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existe una
combinación lineal de ellos igual a cero, cuyos escalares no son todos cero.
Es decir existen a1, a2, a3,... ,an no todas cero tales que a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0.
Ejemplo 7
a) Consideremos los siguientes vectores en R4. v1 = (2, –1, 0, 3) y v2 = (–6,
3, 0, –9).
Vamos a tomar una combinación lineal de ellos igual a cero a1v1 + a2v2 = 0.
Entonces a1(2, –1, 0, 3) + a2(–6, 3, 0, –9) = (0, 0, 0, 0), por lo tanto tenemos
2a1 − 6a2 = 0
el sistema − a1 + 3a2 = 0 que si a1 = 3 y a2 = 1 se cumple la igualdad, por lo
3a1 − 9a2 = 0
tanto v1 y v2 son linealmente dependientes.
b) Consideremos los vectores en R3. v1 = (1, 2, 4) y v2 = (2, 5, –3).
Al tomar una combinación lineal igual a cero b1v1 + b2v2 = 0 tenemos que
b1(1, 2, 4) + b2(2, 5, –3) = (0, 0, 0) de donde obtenemos el sistema
118
b1 + 2b2 = 0
2b1 + 5b2 = 0 cuya solución es b1 = b2 = 0,
4b1 − 3b2 = 0
Álgebralineal
por lo tanto v1 y v2 son linealmente independientes.
c) Determinar si los vectores de R3 v1 = (1, –3, 0) , v2 = (3, 0, 4) y v3 =
(11, –6, 12) son linealmente independientes o dependientes.
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero,
c1(1, –3, 0) + c2(3, 0, 4) + c3(11, –6, 12) = (0, 0, 0), entonces tenemos el
c1 + 3c2 + 11c3 = 0
c1 + 2c3 = 0
sistema de ecuaciones −3c1 − 6c3 = 0 de donde obtenemos que
c2 + 3c3 = 0
4c2 + 12c3 = 0
haciendo c3 = 1 obtenemos c2 = –3 y c1 = –2, por lo tanto v1, v2 y v3 son
linealmente dependientes.
¿Cuántos vectores deberá tener un conjunto para ser linealmente
dependiente?
Teorema 3.6. Un conjunto de m vectores en Rn siempre es linealmente
dependiente si m > n.
Ejemplo 8
Consideremos el conjunto H = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,3)} de 4 vectores
de R3 y una combinación lineal de ellos igual a cero.
a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) + d(1,2,3) = (0,0,0) entonces tenemos que:
a+d =0
a = −d
b + 2d = 0 de donde obtenemos b = −2d el sistema tiene una infinidad de
c + 3d = 0
c = −3d
soluciones y por lo tanto el conjunto H es linealmente dependiente.
Corolario 3.1. Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn
contiene a lo más n vectores.
Consideremos ahora un sistema homogéneo (definición 2.2.) de m ecuaciones
con n incógnitas.
119
Unidad 3
a11c1 + a12 c2 + ... + a1n cn = 0
a21c1 + a22 c2 + ... + a2 n cn = 0




am1c1 + am 2 c2 +  + amn cn = 0
y sea la matriz asociada
 a11

a
A=  21
 

 am1
a12 ... a1n 

a22 ... a2 n 

 

am 2 ... amn 
entonces tenemos el siguiente resultado.
Teorema 3.7. Las columnas de A, consideradas como vectores, son
linealmente dependientes si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene
soluciones diferentes de cero.
Ejemplo 9
x + 2 x2 − x3 + 2 x4 = 0
y su matriz
Considera el sistema homogéneo 1
3 x1 + 7 x2 + x3 + 4 x4 = 0
 1 2 −1 2 0 
asociada A = 
 sus columnas son linealmente dependientes
1 4 0
3 7
(4 vectores en R2, teorema 3.6) por lo tanto, el sistema homogéneo tiene más
de una solución no trivial. Vamos a encontrarla: Reduciendo por renglones
 1 0 −9
6 0
obtenemos 

4 −2 0 
0 1
de donde el sistema asociado es x1 − 9 x3 + 6 x4 = 0 despejamos x1 y x2
x2 + 4 x3 − 2 x4 = 0
x1 = 9 x3 − 6 x4
x2 = − 4 x3 + 2 x4
Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones que se
pueden escribir como combinación lineal de los vectores columna:
120
Álgebralineal
 x1   9 x3 − 6 x4 
 9
  


 x2  =  − 4 x3 + 2 x4  = x  − 4
 x3  
 3 1
x3
  


x4
 0
 x4  

 −6

2
y 
 0

 1

 −6


+ x  2
 4 0



 1


 . Comprobaremos que



 9

 −4
 1

 0


 son soluciones linealmente independientes del sistema original.









Vamos a sustituir cada una de ellas en el sistema original:
9 + 2(–4) – 1 + 2(0) = 9 – 8 – 1 + 0 = 0
–6 + 2(2) – 0 + 2(1) = –6 + 4 + 2 = 0
3(9) + 7(–4) + 1 + 4(0) = 27 – 28 + 1 + 0 = 0
3(–6) + 7(2) + 0 + 4(1) = –18 + 14 + 4 = 0
por lo tanto (9, –4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son soluciones del sistema original.
Probaremos ahora que son linealmente independientes:
Tomemos una combinación lineal de ellos igual a cero:
a(9, – 4, 1, 0) + b(–6, 2, 0, 1) = 0
9a − 6b = 0
a=0
− 4a + 2b = 0
de donde
entonces
b=0
a=0
b=0
por lo que (9, – 4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son linealmente independientes.
De aquí se desprende el siguiente teorema que agrupa varios resultados.
121
Unidad 3
Teorema 3.8. Sea A una matriz de n×n. Entonces las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
A es invertible.
La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial.
El sistema Ax = b tiene una solución única.
A es equivalente a la matriz identidad.
det A ≠ 0.
Las columnas de A (y sus renglones) son linealmente independientes.
Como consecuencia de los teoremas 3.5 y 3.6 tenemos el siguiente
resultado que nos será muy útil en la siguiente unidad.
Teorema 3.9. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes
en Rn genera a Rn.
Como consecuencia de los teoremas 3.8 y 3.9 tres vectores en R3 generan a
R , si y sólo si, su determinante es diferente de cero.
3
Ejemplo 10
a) Los vectores (2, –1, 4), (1, 0, 2) y (3, –1, 5) generan a R3 ya que su
2 1
3
determinante −1
0 −1 = 2(2) –1(–5+4) +3(–2) = –1 y por lo tanto son
4 2
5
linealmente independientes.
2
 −1 1 4 
1 0
 −1 0 1
b) En M2×3 sean A1 = 
 y A3 = 
 , A2 = 

 2 3 0
 3 1 −1 
 1 2 1
Determinar si A1, A2 y A3 son linealmente independientes o dependientes.
Suponga que c1A1 + c2 A2 + c3A3 = 0,
1 0
entonces c1 
3 1
122
2
 −1 0 1  0 0 0 
 −1 1 4 

=
 + c3 
 + c2 
−1 
 1 2 1  0 0 0 
 2 3 0
Álgebralineal
c2
2c1 + 4c2 + c3   0 0 0 
 c1 − c2 − c3
de donde 
=

−c1 + c3   0 0 0 
 3c1 + 2c2 + c3 c1 + 3c2 + 2c3
por lo tanto, la única solución es c1 = c2 = c3 = 0 y las matrices son
linealmente independientes.
Ejercicio 4
1. Determina si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o
independiente:
a) {(1, 2), (–1, –3)}
b) {(2, –1, 4), (4, –2, 7)}
c) {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
d) {(–3, 4, 2), (7, –1, 3), (1, 2, 8)}
e) En P2: 1–x, x
 2 −1   0 −3 
f) En M2×2: 
,
, 
5
0 1
 4
1 
4


 7 −5  
3.6. El wronskiano
En esta sección estudiaremos un caso especial de espacio vectorial que es
C 1[0,1], el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas
en el intervalo [0, 1].
Definición 3.8. Sean dos funciones f ( x) y g ( x) en C1[0, 1] , entonces el
wronskiano W de f y g es el determinante
 f ( x) g ( x) 
W( f, g) = det 
 = f ( x) g '( x) − g ( x) f '( x)
 f '( x) g '( x) 
donde f ' ( x) y g '( x) son las primeras derivadas de f y g, respectivamente.
El siguiente teorema nos permite caracterizar las funciones de C1[0, 1] que
son linealmente dependientes e independientes.
Teorema 3.10. Sean f(x) y g(x) en C 1[0, 1], entonces f y g son linealmente
dependientes, si y sólo si, W( f, g)(x) = 0 para toda x en [0, 1].
123
Unidad 3
Vamos a demostrar el teorema 3.10.
Consideremos dos funciones f(x) y g(x) en C1[0, 1] linealmente
dependientes, entonces existen c1 y c2 distintos de cero tales que c1 f(x) + c2
g(x) = 0,
de donde f ( x) = −
c
c2
g ( x) y f '( x) = − 2 g '( x).
c1
c1
Por lo tanto
W( f, g)(x) = f(x) g '( x) − g ( x) f '( x) = −
c2
g ( x) g '( x) − g ( x)
c1

 c2
 − g '( x)  = 0

 c1
Ejemplo 11
Verifica que f(x) = x3 – x y g(x) = x2 –1 son linealmente independientes.
Entonces f '( x) = 3 x 2 − 1 y g '( x) = 2 x , son las derivadas correspondientes.
El wronskiano W( f, g) =
x3 − x x 2 − 1
= 2x(x3 – x) – (x2–1)(3x2 – 1)
3x 2 − 1
2x
= 2x4 – 2x2 – 3x4 + x2 + 3x2 – 1
= –x4 + 2x2 – 1
Si x = 0, entonces W = –1, y por lo tanto f(x) y g(x) son linealmente
independientes. (Teorema 3.10)
Ejercicio 5
Para los siguientes ejercicios recordemos que la derivada de senx es cosx y
la derivada de cosx es –senx.
1. Encuentra el wronskiano de las siguientes parejas de funciones:
a) y1 = x ;
b) y1 = senx;
c) y1 = ex;
124
y 2 = x2
y2 = cosx
y2 = e2x
Álgebralineal
2. Menciona si las siguientes parejas de funciones son linealmente
independientes o dependientes:
a) y1 = x ;
b) y1 = x3 ;
c) y1 = –senx ;
y2 = 3x
y2 = x2 –1
y2 = cosx
Ejercicios resueltos
1. Determina si los conjuntos son espacios vectoriales.
a) V={x en R3 tales que x = (x, x, x)} junto con las operaciones de suma y
producto por escalar definidas para R3.
Sean u, v y z elementos de V, entonces u = (u, u, u), v = (v, v, v) y z = (z, z, z).
i) u + v = (u + v, u + v, u + v) está en V.
ii) u + (v + z) = (u + v) + z.
u + (v + z) = (u, u, u) + [(v, v, v) + (z, z, z)] = (u, u, u) + (v + z, v + z, v + z) =
(u + [v + z], u + [v + z], u + [v + z]) =* ([u + v] + z, [u + v] + z, [u + v] + z) =
(u + v, u + v, u + v) + (z, z, z) = [(u, u, u) + (v, v, v)] + (z, z, z) = (u + v) + z.
* Esta igualdad es verdadera ya que R3 es un espacio vectorial; se dice que
R le hereda esta propiedad a V.
3
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
0 = (0, 0, 0) está en V.
–u = (–u, –u, –u) está en V.
u + v = v + u (la hereda de R3).
αu = (αu, αu, αu) está en V.
α(u + v) = αu + αv (la hereda de R3).
(α + β)u = αu + βu (la hereda de R3).
α(βu) = (αβ)u (la hereda de R3).
1u = (1u, 1u, 1u) = (u, u, u) = u.
Por lo tanto, V es un espacio vectorial.
b) V = {(x, y) en R2 tales que y≤0}, la propiedad iv) no se cumple ya que si
u = (0, –1), entonces –u = (0, 1) no está en V, por lo tanto V no es un espacio
vectorial.
125
Unidad 3
2. Menciona si los conjuntos son subespacios vectoriales o no:
a) H = {(x, y, 0) en R3}
Sean u, v en H, entonces u = (x1, y1, 0) y v = (x2, y2, 0).
i) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0) está en H.
ii) αu = (αx1, αy1, α0) = (αx1, αy1, 0) está en H.
iii) 0 = (0, 0, 0) está en H.
Por lo tanto H es un subespacio vectorial de R3.
b) H = {p en Pn tal que p(0) = 1}
El polinomio 0 no está en H ya que 0(0) = 0.
Por lo tanto, H no es un subespacio vectorial.
3. Menciona si el conjunto H = {1–x, 3–x2} genera al espacio vectorial P2.
No, por que el polinomio x no puede escribirse como combinación lineal
de 1–x, y 3–x2 ya que si x = a(1–x) + b(3–x2) = (a+3b) + (–a)x + (–b)x2,
entonces
a + 3b = 0; –a = 1; –b = 0
de donde
b = 0 ; a = 0 y a = –1, lo cual no puede ser.
4. Determina si el conjunto H = {(2, –1, 4), (4, –2, 8)} es linealmente
independiente o dependiente.
a(2, –1, 4) + b(4, –2, 8) = (0, 0, 0) entonces, 2a + 4b = 0; –a – 2b = 0;
4a + 8b = 0 de aquí tenemos que a = –2b tiene infinitas soluciones no triviales,
por lo tanto H es un conjunto linealmente dependiente.
5. Encuentra el wronskiano de las funciones y1= 3x y2 = 1–x y menciona
si son linealmente dependientes o independientes.
3x 1 − x
y1 ' = 3, y2' = −1 , entonces W =
= –3x – 3(1–x) = –3 por lo
3
−1
tanto, son linealmente independientes.
126
Álgebralineal
Ejercicios propuestos
1 α
1. Di si el conjunto de matrices de 2×2 de la forma 
 , con las
β 1
operaciones de matrices usuales es un espacio vectorial; si no, menciona por
qué.
2. Di si el conjunto H = {(x, y) en R2 tales que x = 1} es un subespacio
vectorial de R2, si no lo es menciona cuál es la condición que falla.
3. Prueba que el conjunto H = {(2, 3), (1, 0)} genera a R2.
4. Menciona si el conjunto es linealmente dependiente o independiente:
a) H = {(2, 3), (1, 0)}
b) H = {(3, 2, –1), (6, 4, –2)}
5. Encuentra el wronskiano y di si las siguientes parejas de funciones son
linealmente independientes o dependientes:
a) f(x) = 4x + 5;
b) f(x) = 3x2;
c) f(x) = sen 3x;
g(x) = x2
g(x) = 2x2
g(x) = –cos 3x
127
Unidad 3
Autoevaluación
1. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:
a) El conjunto de vectores {(x,–3x) en R2} es un espacio vectorial.
b) El conjunto de vectores {(x, –3x + 1) en R2} es un espacio vectorial.
c) El conjunto de vectores {(x, y, 1) en R3} es un subespacio de R3.
d) El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P3.
e) (3, 5) está en el espacio generado por {(1,1), (2,4)}.
f) gen{(1, 2, –1, 3), (7, 1, 0, 4), (–8, 0, 8, 2)} es un subespacio de R3.
g) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (–2, –3)} también
genera a R2.
h) Si {v1, v2, ..., vn} son linealmente independientes, entonces {v1, v2, ..., vn, vn+1}
también son linealmente independientes.
i) Si {v1, v2, ..., vn} son linealmente dependientes, entonces {v1, v2, ..., vn, vn+1}
también son linealmente dependientes.
j) Si el wronskiano de f y g es cero para una x en [0, 1], f y g son linealmente
dependientes.
2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera P2?
a) 1, x2
b) 3, 2x, –x2
c) 1+x, 2+2x, x2
d) 1, 1+x, 1+x2
3. ¿Cuál de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes?
a) {(1, 1), (–1, –1)}
b) {(2, 3), (3, 2)}
c) {(11, 0), (0, 4)}
d) {(6, –10), (–3, 5)}
e) {(–2, 4), (4, –8)}
128
Álgebralineal
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. Sí es, ya que se trata de una recta que pasa por el origen.
2. No es, ya que no es cerrado bajo la suma.
3. No es, ya que el inverso aditivo no está.
4. Sí es espacio vectorial.
5. No es, pues no satisface la propiedad vii).
6. Sí es espacio vectorial.
Ejercicio 2
1. Sí es subespacio vectorial.
2. No es subespacio vectorial, ya que no es cerrado bajo la suma.
3. Sí es subespacio vectorial.
4. Sí es subespacio vectorial.
Ejercicio 3
1.
a) V
b) F
c) V
2.
a) Sí genera.
b) No genera.
c) Sí genera.
d) No genera.
Ejercicio 4
a) Son linealmente independientes.
b) Son linealmente independientes.
c) Son linealmente independientes.
d) Son linealmente independientes.
e) Son linealmente independientes.
f) Son linealmente dependientes.
129
Unidad 3
Ejercicio 5
1.
a) W = x2
b) W = –1
c) W = e3x
2.
a) Son linealmente dependientes.
b) Son linealmente independientes.
c) Son linealmente independientes.
Respuestas a los ejercicios propuestos
0 0
1. No es un espacio vectorial porque la matriz 
 no está en el
0
0


conjunto.
2. H no es un subespacio vectorial, ya que
(1, y) + (1, z) = (1 + 1, y + z) = (2, y + z) no está en H.
3. Sí genera a R2.
4.
a) Es linealmente independiente.
b) Es linealmente dependiente.
5.
a) W( f, g) = 4x2 + 10x
b) W( f, g) = 0
c) W( f, g) = 3
130
Son linealmente independientes.
Son linealmente dependientes.
Son linealmente independientes.
Álgebralineal
Respuestas a la autoevaluación
1.
a) V
b) F
c) F
d) F
e) V
f) F
g) V
h) F
i) V
j) V
2. b), c) y d)
3. b) y c)
131