INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE
CAMPOS VECTORIALES.
APLICACIONES
Semana 15 Sesión 1
Cálculo Avanzado para
Ingeniería
TEMA:
Integrales de línea sobre campos vectoriales. Aplicaciones
INTEGRAL DE LÍNEA EN EL
PLANO, EN EL ESPACIO Y DE
CAMPOS VECTORIALES
CONTENIDO GENERAL
Definición de integrales de línea de campos
vectoriales
Ejercicios
Conclusiones.
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el
estudiante aplica la integral de línea
de campos vectoriales a la física y
mecánica.
UTILIDAD
CASO:TARRAJEARPARED
• Con ayuda de integrales de línea
de campos vectoriales podemos
calcular el trabajo que realiza un
campo vectorial para trasladar
una partícula.
¿CÓMO CALCULARÍAS EL ÁREA DE ESTA CERCA?
CONTENIDO DE LA SESIÓN
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Teorema
fundamental del
cálculo.
 Métodos de
integración
 Integración de
varias variables
 Cambio de
coordenadas
 Parametrización de
curvas
 Curvas paramétricas en el
plano.
 Ecuación vectorial de una
curva en el plano.
 Integales de línea de curvas
en el plano.
 Integrales de línea en el
espacio.
 Campos vectoriales
 Campos vectoriales
conservativos
 Funciones potenciales
 Integrales de línea
 Integral de línea vectorial
CURVAS PARAMÉTRICAS EN EL
PLANO
CURVAS PARAMÉTRICAS EN EL PLANO
Considere una partícula que se desplaza describiendo una curva C en el plano.
Si f y g son funciones continuas definidas en I ⊂ ℝ , entonces se puede describir
el movimiento de la
partícula
especificando
sus coordenadas
tiempo 𝑡:
(x,y) como
función
del
Ecuaciones
paramétricas
de
𝑥 = 𝑓(𝑡)
ቊ𝑦= g(𝑡)
, 𝑡𝜖I
parámetro 𝒕
Es decir, en el instante 𝑡, la partícula se encuentra en el punto
y se dice que C es una curva paramétrica
ℝ
I
𝑡
𝑦
curva
C
𝑓 𝑡 , g(𝑡)
Parametrización
𝑓 𝑡 , g(𝑡)
𝑥
CURVAS PARAMÉTRICAS EN EL PLANO
Observaciones:
1 Se puede utilizar cualquier otra variable en lugar del parámetro 𝒕
2
Si no se especifica el intervalo I, entonces: I = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚g
3
Generalmente la parametrización
4
La parametrización de una curva no es única.
5
Al parametrizar una curva se puede recorrer toda o parte de ella más de una vez.
6
Si I = a, 𝑏
𝑓 𝑡 , g(𝑡) se escribe como 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)
entonces 𝑥 a , 𝑦(a) es el punto inicial y 𝑥 𝑏 , 𝑦(𝑏) es el
punto final, además se debe tener en cuenta lo siguiente:
B
B
A
A=B
A=B
A
Curva simple
Curva no simple
Curva cerrada
Curva cerrada no
simple
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA
CURVA EN EL PLANO
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN ELPLANO
Si f y g son funciones continuas definidas en I ⊂ ℝ , entonces para cada
𝑡 𝜖 I existe un único vector 𝑟 tal que:
Ecuación Vectorial de la curva C
𝑟 𝑡 =𝑓 𝑡 𝒊+g 𝑡 𝒋
Donde 𝑓 𝑡 y g 𝑡 son las funciones componentes del vector 𝑟 cuyo
extremo final genera una curva C
𝑦
𝑡
𝑡1
𝑡2
𝑟
𝑟
𝑡4
𝑡3
C
𝑟
𝑟 𝑡4
𝑟
𝑟 𝑡1
𝑥
Además, si 𝑟′ es continua y 𝑟′ ≠ 0 entonces C es una curva suave o curva
regular es decir; no tiene puntos agudos o cúspides.
CAMPOS VECTORIALES
CAMPOS VECTORIALES
 Un campo vectorial en 𝑅3 se representa
mediante un vector cuyas componentes son
funciones
𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝐹1 𝑥; 𝑦; 𝑧 , 𝐹2 𝑥; 𝑦; 𝑧 , 𝐹3(𝑥; 𝑦; 𝑧)
 A cada punto 𝑃 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) se le asocia el vector
𝐹 𝑎; 𝑏; 𝑐
que se denota también como 𝐹(𝑃) .
Alternativamente
𝐹 = 𝐹1𝑖 + 𝐹2𝑗 + 𝐹3𝑘
 Cuando se dibuja un campo vectorial, se representa
𝐹 𝑃 como un vector basado en 𝑃 y no en el origen.
DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES
Sea 𝐷 ⊂ 𝑅2. Un campo vectorial en 𝑅2 es una función 𝐹 que asigna a cada
punto (𝑥;𝑦) en D un vector bidimensional 𝐹(𝑥; 𝑦).
𝐹: 𝐷 ⊂ 𝑅 2 → 𝑅2
Sea 𝐷 ⊂ 𝑅3. Un campo vectorial en 𝑅3 es una función 𝐹 que asigna a cada
punto (𝑥; 𝑦; 𝑧) en D un vector tridimensional 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧).
𝐹: 𝐷 ⊂ 𝑅3 → 𝑅3
Ejemplo:
𝐹𝐹(𝑥; 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 2𝑦)
𝐹𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝒛𝟐)
CAMPOS VECTORIALES
CONSERVATIVOS
DEFINICIÓN
 Determinado por el gradiente de una función
diferenciable 𝑉 𝑥; 𝑦; 𝑧
𝐹=𝛻𝑉=
𝛛𝑉 𝛛𝑉 𝛛𝑉
; ;
𝛛𝑥 𝛛𝑦 𝛛𝑧
 La función 𝑉 se denomina función potencial o
función potencial escalar para 𝐹.
 Los vectores gradientes son ortogonales a las
curvas de nivel y, por tanto, en un campo
conservativo, el vector en cada punto 𝑃 es
ortogonal a las curvas de nivel que pasan por 𝑃.
TEOREMA (Derivadas parciales cruzadas de un
campo vectorial conservativo)
 Si el campo vectorial 𝐹 = 𝐹1 ; 𝐹2; 𝐹3
conservativo, entonces:
𝜕𝐹1 𝜕𝐹2
𝜕𝐹2 𝜕𝐹3
𝜕𝐹3 𝜕𝐹1
=
,
=
,
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑧
es
INTEGRAL DE LÍNEA DE CURVAS
EN EL PLANO
INTEGRALDE LÍNEA DE CURVAS EN ELPLANO
Interpretación Geométrica
Consideremos una curva regular C en ℝ2 y sea 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) una función continua y
no negativa sobre cierta región en el plano XY que contiene a C
Si de cada punto de C levantamos líneas paralelas al eje Z, hasta que dichas
líneas toquen a la superficie 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) , entonces se genera una superficie
cilíndrica S que estará acotada inferiormente por la curva C y superiormente por 𝒛
= 𝒇(𝒙, 𝒚).
Si particionamos la curva C en n sub arcos,
entonces en el i-ésimo sub arco de longitud
𝑧
∆𝒔𝒊 se escoje un punto (𝒙𝒊, 𝒚𝒊) y formamos la
𝒏
suma:
෍ 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)∆𝒔𝒊
S
𝒊=𝟏
C
que es similar a la
suma de Riemann,
𝒏
finalmente: 𝑨 = lim ෍ 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)∆𝒔𝒊
𝒏→∞
𝒊=𝟏
}
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦
𝑥, 𝑦
𝑥
∆𝑦𝑖
INTEGRAL DE LÍNEA DE CURVAS EN EL PLANO
DEFINICIÓN
𝑥= 𝑥(𝑡)
Si f es continua en una región 𝐷 ⊂ ℝ2 que contiene a la curva suave 𝐶: ቊ
𝑦 = 𝑦(𝑡)
con a ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 , entonces la integral de línea de 𝒇 a lo largo de 𝑪 es:
n
 f (x, y)ds  lim  f (x , y )  s
C
n
i
i
i
i1
si este límite existe.
La integral de línea, se puede expresar en términos del parámetro 𝑡, lo cual
determina una integral definida común, es decir:

C
b
f (x, y)ds   f x(t), y(t)
a
x(t)2  y(t)2 dt
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Además, se utiliza el símbolo ∫ para indicar que la integral de línea es sobre
una curva cerrada 𝐶
INTEGRAL DE LÍNEA DE CURVAS
EN EL ESPACIO
INTEGRALDE LÍNEA DE CURVAS EN ELESPACIO
Todo lo que hemos hecho hasta el momento, se extiende con facilidad a una curva suave
𝐶 del espacio tridimensional.
DEFINICIÓN
Si f es continua en 𝐷 ⊂ ℝ3 que contiene a la curva suave 𝐶:
entonces la integral de línea de 𝒇 a lo largo de 𝑪 es:
𝑥 = 𝑥(𝑡)
෍𝑦= 𝑦(𝑡) , . a ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
𝑧 = 𝑧(𝑡)
n
 f (x, y, z)ds  lims f (x , y , z ) 
i
C
i
i
i n i1
si este límite existe.
La integral
,
lo
de línea, se puede expresar en términos del parámetro
cual determina una integral definida común, es decir:
b

C
f (x, y, z)ds   f x(t), y(t), z(t)
a
x(t)2  y(t)2 z(t)2 dt
𝑡
INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES EN R3
INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES EN R3
INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES
INTEGRALES DE LÍNEA
DEFINICIÓN
 Sea c(t) una parametrización de una curva 𝐶 para 𝑎 ≤
𝑡 ≤ 𝑏 . Si 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) y 𝑐′(𝑡) son continuas, entonces la
integral de línea escalar queda definida por
𝑏
න 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑠 = න 𝑓 𝑐 𝑡
𝐶
𝑐 ′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑎
 La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo
de una curva orientada 𝐶 es la integral de la
componente tangencial de 𝐹:
𝑏
න 𝐹 ⋅ 𝑑𝑠 = න 𝐹 ⋅ 𝑇 𝑑𝑠 = න 𝐹 𝑐 𝑡
𝐶
𝐶
a
⋅ 𝑐 ′ 𝑡 𝑑t
INTEGRAL DE LÍNEA INDEPENDIENTE DE LA
TRAYECTORIA
Una integral de línea, en general, no
depende solamente del integrando y
de los puntos inicial A y el final B, sino
también de la curva de integración que
va desde el punto inicial A hasta el
punto final B.
INTEGRAL DE LÍNEA INDEPENDIENTE DE LA
TRAYECTORIA
Sea 𝑓 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) (si 𝑛 = 2 entonces sería 𝑓 = (𝑀, 𝑁)) Existe una clase muy
importante de integrales de línea que son independientes de la trayectoria de
integración. Esto ocurre cuando la forma diferencial que se pretende integrar
𝑃 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅 (𝑥; 𝑦; 𝑧 )𝑑𝑧
es exacta. A estos campos (𝑓) vectoriales se les llama Campos conservativos.
CASO 1:
Sean 𝑀 , 𝑁: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ (𝑓 = (𝑀, 𝑁)) funciones continuas con derivadas
parciales de primer orden. Entonces, la forma diferencial
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 ( 𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
es exacta si y solo si:
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
, ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷
𝜕𝑦
𝜕𝑥
CASO 2
Sean 𝑃, 𝑄, 𝑅: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ funciones continuas con primeras derivadas
parciales continuas. La forma diferencial
P(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑧
es exacta si y solo si:
𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑅
=
,
=
,
=
∀ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝐷
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦
APLICACIONES
Longitud, masa y centro de masa de un alambre
La interpretación que se le pueda dar a la integral de línea ∫𝐶 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠 dependerá del
significado que tenga la función 𝑓.
1. Si 𝑓 𝑥; 𝑦 = 1, entonces el valor de la integral de línea representa la longitud de
la curva. L 𝐶 = ∫𝐶 𝑑𝑠
2. Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛿(𝑥; 𝑦) representa la densidad lineal en un punto (𝑥; 𝑦) de un
alambre muy delgado en forma de la curva C, entonces el valor de la masa del
alambre es: 𝑚 = ∫𝐶 𝛿(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠
3. Los momentos de masa del alambre son: 𝑀𝑌= ∫𝐶 𝑥𝛿(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠; 𝑀𝑋 = ∫𝐶 𝑦𝛿(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠
4. Las coordenadas del centro de masa del alambre son:
𝑀𝑦
1
𝑥ҧ= 𝑚 ; 𝑦
ത= 𝑚 ∫𝐶 𝑦𝛿(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠
PRACTIQUEMOS
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 𝑦) a lo largo de la curva
Solución:
𝑐
2
2
∙ 𝛼 ′ 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑡, 𝑡 ∙ 1,1 𝑑𝑡 =
0
0
2
=
y=x
(2,2)
x
𝛼 𝑡 = 𝑡, 𝑡
0≤ 𝑡 ≤ 2
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 =
𝐹 𝛼 𝑡
y
2
𝑡 − 𝑡 1 + (𝑡 + 𝑡)(1)𝑑𝑡 =
0
2𝑡 𝑑𝑡
0
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 = 4
𝐶
EJERCICIO EXPLICATIVO 2
(1,1)
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 𝑦) a lo largo de la curva
Solución:
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 +
𝑐1
y
𝑐3
𝑐1
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 +
𝑐2
𝑐
𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦
𝑐3
1
1
0
𝑡 − 0 1 + 𝑡 + 0 0 𝑑𝑡 +
0
1 − 𝑡 0 + 1 + 𝑡 1 𝑑𝑡 +
0
1
1
𝑡𝑑𝑡 +
0
𝑡2
𝑡2
= 2 |10 +t+ 2 |10 + 𝑡 2 |0−1
−1
0
1 + 𝑡 𝑑𝑡 +
0
−𝑡 + 𝑡 −1 + (−𝑡 − 𝑡)(−1)𝑑𝑡
2𝑡𝑑𝑡
−1
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 = 2
𝐶
𝑐2
(1,0)
x
𝑐1 :𝛼1 𝑡 = 𝑡, 0
𝛼1 ´ 𝑡 = 1,0
0≤ 𝑡 ≤ 1
𝑐2 :𝛼2 𝑡 = 1, 𝑡
𝛼2 ´ 𝑡 = 0,1
0≤ 𝑡 ≤ 1
𝑐3 :𝛼3 𝑡 = −𝑡, −𝑡
𝛼3 ´ 𝑡 = −1, −1
-1≤ 𝑡 ≤ 0
EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹 𝑥; 𝑦 = 𝑥 a lo largo de la curva
Solución:
∫𝑐 𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑐 𝑥𝑑𝑦 + ∫𝑐 𝑥𝑑𝑦
1
1
1
y
x=𝑦 2
𝑐2
x=1
𝑐1
2
(1,1)
(1,-1)
−𝑡 3
∫−1 𝑡 2 (−1)𝑑𝑡 + ∫−1 1(1)𝑑𝑡= 3 |1−1 + 𝑡|1−1
𝑐1 :𝛼1 𝑡 = (𝑡 2 , −𝑡)
𝛼1 ´ 𝑡 = 2𝑡, −1
-1≤ 𝑡 ≤ 1
𝑐2 :𝛼2 𝑡 = 1, 𝑡
𝛼2 ´ 𝑡 = 0,1
-1≤ 𝑡 ≤ 1
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 =
𝐶
2
3
x
EJERCICIO EXPLICATIVO 4
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹 𝑥; 𝑦 = 𝑥 a lo largo de la curva
Solución:
∫𝑐 𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑐 𝑥𝑑𝑦
1
2𝜋
2𝜋
∫0 2𝑐𝑜𝑠𝑡(2 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡= ∫0 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡𝑑𝑡=
2𝜋 1+cos 2𝑡
4∫0
2
𝑑𝑡 = 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2t|2𝜋
0 = 2(2𝜋)
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 = 4𝜋
𝐶
y
𝑥2 + 𝑦2 = 4
x
𝑐1 : 𝛼 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝛼1 ´ 𝑡 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2 𝑐𝑜𝑠𝑡
0≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
EJERCICIO EXPLICATIVO 5
y
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝑥; 𝑦) a lo largo de la curva
Solución:
1
𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 =
𝑐
1
1 − 𝑡 2 −1
± 𝑡 −2𝑡 𝑑𝑡 =
−1
y=1-𝑥 2
𝑐1
(-1,0)
(1,0)
1 + 𝑡 2 + 2𝑡 2 𝑑𝑡
−1
1
1 + 3𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝑡 3 |1−1
−1
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 = 0
𝐶
𝑐1 : 𝛼 𝑡 = −𝑡, 1 − 𝑡 2
𝛼1 ´ 𝑡 = −1, −2𝑡
−1 ≤ 𝑡 ≤ 1
x
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 − 𝑥2 ; 𝑧 − 𝑦 2 ; 𝑥 − 𝑧2 ) a lo largo de la curva definida por la
función vectorial 𝛼 𝑡 =(𝑡; 𝑡2; 𝑡3), donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 , desde (0; 0; 0) hasta
(1; 1; 1).
Solución:
1
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 =
𝐹 𝛼 𝑡
1
∙ 𝛼 ′ 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 ∙ 1,2𝑡, 3𝑡 2 𝑑𝑡
0
𝑐
0
1
1
(𝑡 2 − 𝑡 2 , 𝑡 3 − 𝑡 2 2 , 𝑡 − 𝑡 3 2 ) ∙ 1,2𝑡, 3𝑡 2 𝑑𝑡 =
=
0
2𝑡 4 − 2𝑡 5 + 3𝑡 3 − 3𝑡 8 𝑑𝑡
0
∴
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 =
𝐶
29
60
EJERCICIO EXPLICATIVO 2
Calcular la integral ∫𝐶 [ 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦] donde 𝐶 es la curva de:
𝑥2
𝑦2
𝑎. La elipse: 2 + 2 = 1
𝑎
𝑏
𝑏. La circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎𝑥.
Solución:
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦
𝑀
𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 =
𝐶
𝐶
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+𝑁
𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦
=
𝐹 ∙ 𝑑𝛼
𝐶
𝑀, 𝑁 ∙
𝐶
𝑑𝑥 𝑑𝑦
,
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
a) Elipse
𝐶: 𝛼 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sen 𝑡 , 𝑡 ∈ 0,2𝜋
𝛼 ′ 𝑡 = (−𝑎 sen 𝑡 , 𝑏 cos 𝑡)
2𝜋
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 =
0
𝐶
2𝜋
𝐹(𝛼(𝑡)) ∙ 𝛼 ′ 𝑡 𝑑𝑡
=
𝐹(𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sen 𝑡) ∙ −𝑎 sen 𝑡 , 𝑏 cos 𝑡 𝑑𝑡
0
2𝜋
=
(𝑎𝑏𝑠𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑠, 𝑎𝑏𝑠𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑠) ∙ −𝑎𝑠, 𝑏𝑐 𝑑𝑡
0
2𝜋
(−𝑎2 𝑏𝑠 2 𝑐 − 𝑎 2 𝑠𝑐 − 𝑎𝑏𝑠 2 + 𝑎𝑏2 𝑠𝑐 2 + 𝑎𝑏𝑐 2 − 𝑏2 𝑠𝑐) 𝑑𝑡
=
0
=𝟎
EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Dada la integral de línea:
6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 𝑑𝑥 + 6𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑦
𝐶
Sea la curva el camino que une los puntos 𝐴(1; 2) con 𝐵(3; 4)
a. Compruebe que la integral es independiente del camino que une los
puntos 𝐴 con 𝐵.
b. Calcule el valor de la integral utilizando la función potencial del
integrando.
c. Calcule el valor de la integral parametrizando el segmento.
a)
𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝑁(𝑥, 𝑦))
𝑀 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3
𝑁 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2
𝜕𝑀
= 12𝑥𝑦 − 3𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕𝑁
= 12𝑥𝑦 − 3𝑦 2
𝜕𝑥
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
b) 𝐹 = 𝑀, 𝑁 = 6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 , 6𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 = ∇𝑓
La integral es
independiente del
camino que une A
con B.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦 3
Función
potencial
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 = 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴) = 𝑓 3,4 − 𝑓(1,2) = 𝟐𝟑𝟔
𝐶
c)
𝐶1 : 𝛼 𝑡 = 𝑡𝐵 + 1 − 𝑡 𝐴,
𝛼 𝑡 = 𝑡 3,4 + 1 − 𝑡 1,2 ,
𝛼 𝑡 = 1 + 2𝑡, 2 + 2𝑡 ,
1
𝑡 ∈ 0,1
𝑡 ∈ 0,1
𝑡 ∈ 0,1
𝐹(𝛼(𝑡)) ∙ 𝛼 ′ 𝑡 𝑑𝑡
𝐹 ∙ 𝑑𝛼 =
0
1
𝐶
=
𝐹 1 + 2𝑡, 2 + 2𝑡 ∙ 2,2 𝑑𝑡
0
1
(8 + 42𝑡 + 66𝑡 2 + 32𝑡 3 )𝑑𝑡 = 𝟐𝟑𝟔
=4
0
¿ACEPTAS EL RETO?
EJERCICIO RETO
Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas definida por la
función vectorial 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = ( 8𝑥𝑦3𝑧, 12𝑥2𝑦2𝑧, 4𝑥 2 𝑦 3 ) para mover una
partícula desde el punto A(2;0;0) hasta el punto 𝐵 1,
largo de la hélice circular 𝛼 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠, 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 .
𝜋
3,
3
a lo
CONCLUSIONES
1.
Para calcular la integral de línea de un campo vectorial en 𝑅2 y 𝑅3 ,
se tiene que parametrizar la curva dada.
2.
En una integral de línea de un campo vectorial, si importa la
orientación de la curva.
3.
Con ayuda del cálculo de integrales de línea se puede calcular el
trabajo realizado por un campo vectorial para trasladar una
partícula.