Mathematik 2 für Informatiker
Blatt 2
Hausaufgabe 2
Funktionen & Differentialrechnung
Ochs, Piat
Beachten Sie: Die blau markierten Aufgaben braucht man
nicht abgeben. Die Lösungen werden zur Verfügung gestellt.
1. Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen: (4 P)
a)
2 − cos(2 x) = cos2 x, x ∈ [0, 2π];
c)
ex + 2 e−x = 3.
b)
tan(3 (x + 1)) = 1, x ∈ [− π3 , π3 ];
2. Bestimmen Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: (6 P)
(a) y =
x2 + ln x
, x > 0;
cos2 x
(b) y = log2 (xn );
(c) y = x3 · 5x ;
2
(d) y = esin(x−x ) ;
(e) y = cos2 x +
√
3
x ln (x2 ) .
3. Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte (6 P):
cot x
(a) lim
, x > 0;
(b) lim (1 − cos 2x) cot x;
x→0 ln x
x→0+
1
1
(c) lim
−
;
(d) lim x2 ln x, x > 0.
2
x→0
x→0+
x
sin x
4. Untersuchen Sie von der Funktion f (x) = xe−x das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das Verhalten im Unendlichen. Geben Sie Wendepunkte und
lokale bzw. globale Extrempunkte von f (x) im Intervall [−1; 3] an (4 P).
1
5. Vereinfachen Sie die Darstellung
1 − cos2 (2α)
.
2 sin(α)
6. Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich D ⊆ R, das Bild f (D)
und die Umkehrfunktion f −1 zu:
1+x
, b) y = 3 · 23x+1 · 53x−1 .
a) y = ln
x
7. Gegeben sei die Funktion
1
.
f (x) = √
1+x+1
Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion. Untersuchen Sie
die Funktion auf Symmetrie (gerade, ungerade), Beschränktheit sowie Stetigkeit
(stetig oder unstetig ).
8. Man bilde die 1. Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Definition (d.h.
verwenden Sie den Differentialquotienten, ohne Anwendung der Differentialregel):
√
(a) y = x;
(b) y = ln x, x > 0.
2