Лабораторная работа №3
___________________________________
Свободные колебания в RLC- контуре
________________________________________
Лабораторная работа №3
Свободные колебания в RLC- контуре
Введение:
Цель работы:
- ознакомление с процессом свободных затухающих колебаний в
электрическом колебательном контуре и его компьютерным
моделированием;
- экспериментальное исследование закономерностей свободных
затухающих колебаний;
- определение величины индуктивности контура.
Краткая теория:
Колебания – любой физический процесс, характеризующийся той или
иной повторяемостью в пространстве и времени.
При гармонических колебаниях колеблющаяся физическая величина
изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Свободные колебания – это колебания, происходящие за счет энергии,
запасенной первоначально в системе. В процессе свободных колебаний
восполнения потерь энергии не происходит. Свободные электромагнитные
колебания возникают в колебательном контуре.
Колебательным контуром называется замкнутая электрическая цепь,
состоящая из последовательно соединенных конденсатора с емкостью С,
катушки с индуктивностью L и электрического сопротивления R.
← Реальный колебательный контур
Если сопротивление R = 0, то электромагнитные колебания в контуре
являются незатухающими из-за отсутствия потерь энергии, а
колебательный контур – идеальным.
В идеальном колебательном контуре возможны гармонические
незатухающие колебания тока I, заряда конденсатора q и напряжения на
конденсаторе 𝑈𝐶 .
По второму правилу Кирхгофа для идеального колебательного контура
можно записать
𝑼𝑪 = 𝜺𝑺
где 𝑼𝑪 =
𝜺𝑳 = −𝑳
𝑸
𝑪
𝒅𝑰
𝒅𝒕
- напряжение на конденсаторе;
- ЭДС самоиндукции в катушке;
𝑼𝑳 = −𝜺𝑳 – напряжение на катушке;
𝑼𝑹 = 𝑰𝑹 – напряжение на резисторе;
Сила тока в цепи (по определению)
𝑰=
𝒅𝑸
𝒅𝒕
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний заряда
конденсатора:
𝒅𝟐 𝑸
+ 𝝎𝟐𝟎 𝑸 = 𝟎
𝟐
𝒅𝒕
где 𝝎𝟎 =
𝟏
√𝑳𝑪
- собственная частота контура.
Решая это дифференциальное уравнение, можно получить, что заряд
конденсатора с течением времени изменяется по гармоническому закону:
q(t) = 𝒒𝟎 cos(𝝎𝟎 t + 𝜶𝟎 )
где 𝑞0 – амплитуда колебаний заряда;
𝛼0 – начальная фаза колебаний.
Период колебаний: 𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎𝟎
= 𝟐𝝅√𝑳𝑪
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний,
имеющих место при наличии в контуре резистора с сопротивлением:
𝒅𝟐 𝑸
𝒅𝑸
+
𝟐𝜷
+ 𝝎𝟐𝟎 𝑸 = 𝟎
𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Время затухания колебаний в контуре 𝜏 - это время, за которое
амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раз. На графике зависимости
амплитуды затухающих колебаний от времени касательная, проведенная к
этому графику в начальный момент времени, пересекает ось
времени в точке t = 𝜏.
←Зависимость амплитуды
затухающих колебаний от времени.
Логарифмическим декрементом затухания λ называется величина,
определяемая натуральным логарифмом отношения амплитуды колебаний
в данный момент времени t к амплитуде колебаний через время, равное
периоду колебаний
𝝀 = 𝒍𝒏
𝑨(𝒕)
𝑨(𝒕 + 𝑻)
Для затухающих электромагнитных колебаний, с учетом
𝝀 = 𝜷𝑻
Добротность контура Q – это величина, обратно пропорциональная
логарифмическому декременту затухания
𝝅
𝑸=
𝝀
Чем больше добротность контура, тем медленнее затухают колебания.
Измерения:
Таблица №2. Результаты измерений:
R, Ом
A1,мм
A2,мм
A3 ,мм A4, мм
A5,мм
A6,мм
t, мс
Β, с-1
1
1,86
1,75
1,64
1,53
1,44
1,34
14
71,4
2
1,74
1,54
1,35
1,18
1,04
0,91
7
142,8
4
1,52
1,18
0,91
0,70
0,54
0,41
3,5
285
6
1,35
0,91
0,62
0,41
0,28
0,18
2,3
434
8
1,19
0,70
0,41
0,24
0,14
0,08
1,7
588,2
10
1,04
0,54
0,28
0,14
0,07
0,03
1,4
714,2
Графики экспериментальных зависимостей амплитуды колебания А от
времени t.
График зависимости коэффициента затухания от сопротивления резистора
(T от R).
Индуктивность контура:
Вывод: Таким образом подводя итоги, в ходе выполнения данной
лабораторной работы мы ознакомились с процессом свободных
затухающих колебаний в электрическом колебательном контуре и его
компьютерным моделированием. Исследовали закономерности свободных
затухающих колебаний, определили величины индуктивности контура.
Построили по заполненной нами таблице график зависимости
коэффициента затухания от сопротивления резистора. А также
ознакомились с несколькими определениями и с их формулами.
Вопросы для самоконтроля с ответами:
1. Что такое колебательный контур?
Колебательным контуром называется замкнутая электрическая цепь,
состоящая из последовательно соединенных конденсатора с емкостью С,
катушки с индуктивностью L и электрического сопротивления R.
2. Каковы электрические характеристики резистора, конденсатора,
катушки?
Резистор: Электрическое сопротивление – противодействие протеканию
тока. Резистор – пассивный элемент электрической цепи, обладающий
определенным сопротивлением. Идеальный резистор обладает чисто
омическим сопротивлением и необратимо преобразует электрическую
энергию в тепловую, механическую или световую. Единицей измерения
сопротивления в СИ является Ом.
Конденсатор: Емкость – характеристика проводника, мера его
способности накапливать электрический заряд. Конденсатор обладает
емкостью, т.е. способностью запасать энергию в электрическом поле
своих металлизированных обкладок. Единицей измерения емкости в СИ
является Фарад.
Катушка: Индуктивность – коэффициент пропорциональности между
электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и
магнитным потоком, создаваемым током через поверхность,
ограниченную этим контуром. Идеальная катушка индуктивности
обладает способностью запасать энергию в магнитном поле обмотки.
Единицей измерения индуктивности в СИ является Генри.
3. Дайте определение гармонических колебаний.
Гармоническими называются колебания, при которых физическая
характеристика зависит от времени по закону синуса или косинуса.
4. Что такое период колебания?
Периодом называется минимальное время, через которое периодический
процесс полностью повторяется.
5. Какая физическая величина испытывает колебания в
колебательном контуре?
При колебаниях в контуре испытывают периодическое изменение ток в
контуре, заряд на конденсаторе и напряжение на отдельных элементах.
6. Напишите формулу для напряжения на конденсаторе.
𝑄
𝑈𝐶 =
𝐶
7. Напишите формулу для напряжения на катушке индуктивности.
𝑑𝐼
𝑈𝐿 = 𝐿
𝑑𝑡
8. Напишите формулу для напряжения на резисторе.
𝑈𝑅 =IR
9. Какие законы выполняются для тока и напряжения на отдельных
элементах в колебательном контуре?
Для тока и напряжения на отдельных элементах в колебательном контуре
выполняется закон Ома для участка цепи.
10. Сформулируйте и запишите закон электромагнитной индукции в
общем виде.
Циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру
пропорциональна быстроте изменения магнитного потока через
поверхность, ограниченную этим контуром.
11. Сформулируйте и запишите закон электромагнитной индукции
для проводящего контура.
ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре пропорциональна
быстроте изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную
этим контуром.
12. Сформулируйте и запишите закон самоиндукции.
ЭДС самоиндукции в проводящем контуре с переменным током
пропорциональна быстроте изменения тока в этом контуре.
13. Запишите дифференциальное уравнение для заряда на
конденсаторе в контуре, где существуют свободные гармонические
колебания.
𝑑2𝑄
+ 𝜔02 𝑄 = 0
2
𝑑𝑡
14. Запишите дифференциальное уравнение для заряда на
конденсаторе в контуре, где существуют свободные затухающие
колебания.
𝑑2𝑆
𝑑𝑆
+
2𝛿
+ 𝜔02 𝑆 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
15. Напишите формулу циклической частоты свободных
гармонических колебаний в контуре.
1
𝜔=
√𝐿𝐶
16. Напишите формулу зависимости заряда на конденсаторе от
времени при свободных гармонических колебаниях в контуре.
q(t) = 𝑞0 cos(𝜔0 t + 𝛼0 )
17. Напишите формулу циклической частоты свободных затухающих
колебаний в контуре.
𝜔 = √𝜔02 − 𝛽 2
18. Напишите формулу зависимости заряда на конденсаторе от
времени при свободных затухающих колебаний в контуре.
𝑞 = 𝑞𝑚 𝑒 −𝛽𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 )
19. Напишите формулу для коэффициента затухания.
𝑅
𝛽=
2𝐿
20. Дайте определение постоянной времени затухания.
Постоянная времени затухания в контуре τ есть время, за которое
амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раза.
21. Напишите формулу логарифмического декремента затухания. Что
он характеризует?
λ=ln
𝐴(𝑡)
, характеризует натуральный логарифм отношения двух
𝐴(𝑡+𝑇)
последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным
периоду колебаний.
22. Напишите формулу связи логарифмического декремента
затухания с коэффициентом затухания.
λ = ln
𝐴(𝑡)
𝐴(𝑡+𝑇)
= βT
23. Нарисуйте зависимость заряда на конденсаторе от времени при
свободных затухающих колебаниях в контуре. Покажите на рисунке,
как определяется графически постоянная времени затухания.
24. Докажите, что касательная к графику зависимости Q(t) в точке t=0
пересекает ось времени в точке t= τ.
Время затухания колебаний в контуре τ - это время, за которое
амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раз. На графике зависимости
амплитуды затухающих колебаний от времени касательная, проведенная к
этому графику в начальный момент времени, пересекает ось
времени в точке t = τ.