1.
Статические и динамические системы. Таблицы с ММ.
Статические y


 
Динамические
  s t
Дискретные Непрерывные
Детерминироваиные
Сосредоточенные (уравнения конечные, разностные, обыкновенные, дифференциальные)
Линейные
Стационарные (параметры не меняются со временем)
Стохастические; нечеткие
Распределенные (уравнения с запаздыванием, в частных производных, интегральные)
Нелинейные
Нестационарные (параметры изменяются со временем)
Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y
 
зависит от значения входа u
 
в один и тот же момент времени t . Это свойство записывается так: y


F

(4.1) где
F – символ некоторого преобразования. Статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы
 t , u t 0
(4.2)
Уравнение (4.2) должно быть однозначно разрешимо относительно y
 
.
Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи инерционностью и «памятью» реальной системы можно пренебречь.
В динамических моделях значение y
 
может зависеть от всего прошлого
(предыстории) входного процесса:
  s

(4.3)
Динамические модели позволяют учесть наличие «памяти», инерционности системы.
2.
Статические и динамические системы, когда можно пренебречь инерционностью.
Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y
 
зависит от значения входа u
 
в один и тот же момент времени t
. Символически это свойство записывается так: y


F

(4.1) где
F – символ некоторого преобразования. Статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы
 
0
(4.2)
Уравнение (4.2) должно быть однозначно разрешимо относительно y
.

Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи инерционностью и «памятью» реальной системы можно пренебречь. Это возможно при выполнении ряда условий, в число которых входят следующие:
1) система устойчива. Конечное время затухания t per ;
2) входы меняются медленно, т.е.
 t in
 t
‚ где
 t in
– время между изменениями входных воздействий;
3) выходы изменяются редко, т.е.
 out
 t
 t out
– промежутки между измерениями входных величин.
В динамических моделях значение входного процесса: y
 
может зависеть от всего прошлого
   s

(4.3)
Динамические модели позволяют учесть наличие «памяти», инерционности системы. Математическим аппаратом описания динамических систем являются дифференциальные, разностные уравнения, конечные автоматы, случайные процессы.
3.
Стохастические и детерминированные модели
Детерминированная модель, когда задание входного воздействия определяло выход системы однозначно. На практике реальным системам обычно присуща неопределенность. Например, для статической модели неопределенность можно учесть, записывая:
  t ,
(5.1) где

 
- погрешность, приведенная к выходу системы.
Причины появления неопределенностей:
1-
Погрешность измерений;
2неточность модели
3неполнота информации о параметрах системы.
Наибольшее распространение получил стохастический подход, при котором неопределенные величины считаются случайными.
Случайные отклонения результатов измерения величины от ее ожидаемого значения при суммировании взаимно уничтожаются и среднее арифметическое оказывается близким к ожидаемому значению. Математические формулировки этого эффекта даются законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел гласит, что если

1
, 

N
– случайные величины с математическим ожиданием M
 i
 a
и дисперсией



2 2

N

 a ,
(5.2)
Центральная предельная теорема, уточняя (5.2)‚ утверждает, что


N


,
N
(5.3)

где

– стандартная ( M
 
0 ,
M
 2 
1 ) нормально распределенная случайная величина.
Формулировкам (5.2), (5.3) можно придать более строгий вид, однако при попытке проверить условия этих строгих утверждений могут возникнуть трудности. Например, если все измерения совпадают:
   
N
, то, об усреднении не может быть и речи.
Другой пример: закон больших чисел несправедлив, если случайные величины

,

2
,

N
распределены по закону Коши. Также трудности вызывает проверка обоснованности самого употребления термина «случайный».
Для применимости стохастического подхода должны выполняться следующие требования:
1) массовость проводимых экспериментов;
2) повторяемость условий экспериментов;
3) статистическая устойчивость.
4.
Энергетические характеристики сигналов. Преобразование Фурье
При исследовании колебательных процессов часто применяются их энергетические характеристики, в первую очередь – мощность и энергия.
Мгновенная мощность p
 
сигнала y
определяется как p
 
2
Энергия
Р
сигнала на интервале
 t
1
, t
2

находится как
P  t
2 y

2 dt t
P t

1 t 1
1
2 t
 dt среднюю мощность сигнала. Получить представление об этих характеристиках процесса можно на основе преобразования Фурье.
Для периодических процессов y
 
с периодом T можно записать ряд Фурье в виде


2  t k
T t
T где коэффициенты разложения находятся из формул
2
T
 T
0
 a
2
T
 2 k
T
, b
2
T
 2 k
T
,
Совокупность величин s
0
, a
 амплитудным частотным спектром периодической функции
,
 y
 
. Значения s k представляют собой амплитуды гармоник с частотой
 k
 k
  
2

T . Они зависят от номера гармоники k и обычно графически представляются в виде отрезков высотой s k
, проведенных в точках
 k
оси частот.
5.
Редукция ММ. Параметры состояния( я думаю тут опечатка, нужно параметры порядка) . Редуцировать

Редукция
– понижение порядка системы.
Возможность редукции математической модели можно определять по собственным числам матрицы состояния линейной или линеаризованной системы. Вещественные части собственных значений характеризуют скорость затухания переходных процессов. Если одно из собственных чисел минимум на порядок больше остальных, соответствующий ему переходный процесс закончится быстро и не окажет существенного влияния на переходный процесс модели. В этом случае можно уменьшить порядок системы.
Поведение системы в основном определяется динамикой медленной подсистемы, которая как бы «управляет» быстрой подсистемой. Медленная переменная в этом случае называется параметром порядка.
В многомерных системах параметру порядка может быть подчинено большое число других переменных. Параметров порядка может быть несколько, но обычно существенно меньше размерности исходной системы.
Пример:
6.
Дискретизация ММ. Можно ли использовать численные методы
 
Ax k y

Cx
Пусть x
 
доступно измерению в дискретные моменты времени

0 , 1 , ,
где h

0
– шаг дискретности. t k
 kh
,

Пусть u
 
постоянно на промежутках между моментами коррекции
Тогда динамику векторов x k
 x t k t k
.
 
можно описать разностными уравнениями x
  k
Rx k
, где
P
Q
 
.
I n
B e
Ah
– экспоненциал матрицы
А , определяемый формулой
Ah e I
1 h
2
 
Формула для вычисления матрицы Q применима, если det A

0
.
При достаточно малых h для вычисления e
Ah
можно удерживать лишь первые несколько членов ряда или аппроксимировать сумму каким-либо способом.
Апроксимизация Эйлера:

I n

Ah
При такой аппроксимации
W d
W n

 n
1 s h

 
 
- ПФ дискретной системы,
(4.26)
-ПФ непрерывной системы
Если непрерывная система нелинейная, то для перехода к ее дискретному описанию также можно использовать методы численного интегрирования.
Метод Эйлера :





 
, t

 x



, k

,

7.
Дискретные системы. Переход от непрерывной к дискретной системе
Система может быть дискретной или непрерывной по входам, выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества
U,Y,T соответственно
Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным понимается связное числовое множество( (луч, прямая, отрезок ).Непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно(U,T,Y)
Как правило, дискретность множества
U влечет за собой дискретность Y
. Для статических систем нет разница между непрерывным и дискретным временем.
Переход от непрерывной к дискретной осуществляется посредством дискретизации.

 
Ax y

Cx
Пусть x
 
доступно измерению в
 kh
, k

0 , 1 , ,
где h

0
– шаг дискретности.
Пусть u
 
постоянно на промежутках между моментами коррекции
Тогда динамику векторов x k
 x t k t k
.
 
можно описать разностными уравнениями x
  k
Rx k
, где t k
P
Q
 
.
I n
B e
Ah
– экспоненциал матрицы
А , определяемый формулой

1 h
2
 
При достаточно малых h для вычисления
Ah e можно удерживать лишь первые несколько членов ряда или аппроксимировать сумму каким-либо способом.
Апроксимизация Эйлера:

I n

Ah
При такой аппроксимации
W d
W n

 n
1 s h

(4.26)
 
 
- ПФ дискретной системы,
-ПФ непрерывной системы
8.
Степень возбудимости нелинейной системы, объяснить построение
Нелинейная система
Задачу определения формы сигнала, обеспечивающего при заданной амплитуде входа максимальную амплитуду выхода, можно поставить как задачу оптимального управления системой max

(*)

γ - амплитуда входа. Входной сигнал, создающий максимальное возбуждение системы зависит не только от времени, но и от состояния системы, т.е. имеет вид обратной связи.
Величина оптимума в задаче (*) зависит от γ квадратично.
Степень возбудимости системы:
E
 

1
Q
 
,
 где Q
 
– оптимальное значение в задаче (*). Для линейных асимптотически устойчивых систем величина собой функцию от
 
E
 
не зависит от γ, а для нелинейных – представляет
Для приближенного решения можно воспользоваться приближенной заменой оптимального управления на локально-оптимальное.
Для вычисления локально-оптимального управления представим первую часть уравнения (1) в виде
      где f
   
,

 f
 x
 
, а R
 
и имеет высший порядок малости по u .
Скорость изменения целевого функционала
 y
2

 
Пренебрегаем R
  u ,
, локально-оптимальное значение входа при малых γ равно

 
Построение : при малых γ подаем на вход системы сигнал (**) и измеряем достигаемую амплитуду выхода.
Пример - Характеристика возбудимости маятника
График можно использовать для оценки устойчивости замкнутой системы с нелинейностью в обратной связи. Условия устойчивости:
K
F
K

K


1
.


.

9.
Нечеткие числа. Анализ стахостач. и нечетких подходов
Нечеткое число – это число, заданное с погрешностью. При работе с нечеткими числам используют нечеткие
L – R -числа. Чтобы определить нечеткие L – R -числа, на промежутке
 

0 ,
1


задаются функции
L
A
   
, обладающие свойствами
определяют в виде

L a
 x
 
,

A




 x

 a

, x

, x

,
,
 
0
– левый где a – вещественное число, называемое средним значением; и правый коэффициенты нечеткости. Если
 
 
  называют симметричным.
Правила арифметики:
Если A


,


,

B

 b ,


, то
 a ,



,


Если B – четкое число (
   
0 ), то

,
Разница между стохастическим и нечетким подходами. Пусть есть несколько измерений x
1
,  x n
некоторой неизвестной величины a с погрешностью, не превосходящей величины a
. Требуется оценить значение a и определить погрешность оценки.
Предположим, что в качестве оценки выбрано среднее арифметическое x

1 n i 1 x . При стохастическом подходе мы знаем, что x i
случайны и независимы,
Mx i
 a , и, поскольку погрешность может быть произвольным числом из считаем, что x i равномерно распределены на


 
,


, a

, a


. Отсюда
 
12 . В силу независимости и по формуле


N


,
N x 2 n
(1) с вероятностью 0.95.
Примем теперь нечеткую модель измерений. Естественно представить измерение как нечеткое
L
–
R -число при
X

0
 x

1
,

,

L x R

 


,
0
,

при x

1 . Тогда


, т.е. погрешность оценки определится неравенством
,
 


1 x
 a
 
(2)

Интервал (1) меньше примерно в n раз.
Кроме того, если n мало, например усреднения практически n

10 , то проверить правомерность невозможно.
10.
Лингвистические переменные. Операции над нечеткими множествами

:
Нечетким подмножеством
A множества
Х
назовем пару (
X
 
– функция, каждое значение которой

A
   
X ,

A
), где

0 1
интерпретируется как степень принадлежности точки x

X
множеству A . Функция

A
называется функцией принадлежности множества
A .
Для обычного «четкого» множества B можно положить
 , x
,
B
, т.е. классическое понятие множества является частным случаем введенного понятия (рис. а).
Задавать функцию принадлежности можно таблично или аналитически.
Переменные, значениями которых являются нечеткие множества, называются лингвистическими. Это основной тип переменных в естественном языке людей (молодой, средних лет, старый).
Таблица 5.2 Операции над нечеткими множествами
Операция
C
Пересечение

A

B
Лингвистический смысл
И
Формула для


C

  x

C
Объединение

A

B
Дополнение C

A
ИЛИ
НЕ

 x
Концентрация
Размывание
ОЧЕНЬ
НЕ ОЧЕНЬ
1
 
A
 

A
 
2

A
 

11.
Нечеткие системы. Свойства нечетких систем. Композиция нечетких отношений

: нахождения (совместимости, принадлежности) пары
 
.
Определение. Нечеткое отношение
R на множествах X , Y задается функцией
 
, каждое значение которой

R
 
 
интерпретируется как степень
в данном отношении.
Нечеткое отношение - это нечеткое подмножество множества X

Y
всех пар
Композиция R  S . Если даны отношение R на множествах X , Y и отношение S на множествах
Y , Z
, то функция принадлежности отношения R  S
на множествах X , Z задается формулой

 z
  y

(1) y
 
Нечеткая система – это нечеткое отношение между множествами
U , Y
, где
U – множество входных функций времени u
 
, а
Y – множество выходных функций времени
. Операция композиции отношений соответствует последовательному соединению систем.
(Если скажу, что надо пример, диктуй кратко пример) это пример 5.4 из лекций)
Свойства нечетких систем:
Для отношения R

– рефлексивность
– симметричность
R
 

1
 
свойства:
для всех
   
– антисимметричность
– транзитивность
 

 x

X
для всех
; x , y

X
; x

 y x , y , z

X
.
12.
Странный аттрактор. Аттрактор. Являются ли аттрактором замкнутые фазовые характеристики системы
Рассмотрим динамическую систему в непрерывном времени где x
 x
 x t
F
 
, (1) n
– вектор состояния системы,
0
 t
 
.
Определение 1 . Замкнутое множество  если: а) существует такое открытое множество

R
 n
0
называется аттрактором системы,
 
, что все траектории системы (1), начинающиеся в t
 

0
, определены при всех
; б) никакое собственное подмножество
 t

0
и стремятся к
этим свойством не обладает.
 x
 
при
Определение 2 . Аттрактор называется странным, если он ограничен и любая траектория, начинающаяся на нем, неустойчива по Ляпунову.
Определение 3.
Система называется хаотической, если у нее существует хотя бы один странный аттрактор.
При всех определениях аттрактор полагается замкнутым
и инвариантным множеством.

13.
Хаотические системы (Сравнение периодических, квазипериодических и хаотических колебаний).
Рассмотрим динамическую систему в непрерывном времени x

F
 
, (6.1) где x
 x
 n
– вектор состояния системы,
0
 t
 
.
Система называется хаотической, если у нее существует хотя бы один странный аттрактор.
Замкнутое множество  
R n
называется аттрактором системы, если: а) существует такое открытое множество

0
 
, что все траектории системы, начинающиеся в

0
, определены при всех t

0
и стремятся к б) никакое собственное подмножество


при
этим свойством не обладает. t
 x
 

.
Для описания колебаний сложной формы можно соединять модели вида
 
  
1
,   r
. Если частоты

,   r являются целыми кратными некоторой частоты

0
, то колебания будут периодическими. Если нет, то такие колебания называются квазипериодическими. В обоих случаях решение непрерывно зависит от начальных условий, а его спектр является дискретным конечным множеством.
Процессы в хаотических моделях имеют вид нерегулярных колебаний, в которых меняется, «плавает», как частота, так и амплитуда, а спектр хаотических колебаний непрерывный.
14.
Предельный цикл. Колебания
Линейная модель колебаний:
 
  решения имеют вид:


1 с круговой частотой ω и периодом T

2
 
, амплитуда которых зависит от начальных условий:
   
2
0
A
Предельный цикл – замкнутая траектория в фазовом пространстве, изображающая периодическое движение, в окрестности которой нет других периодических траекторий, спектр предельного цикла состоит из счетного набора частот, кратных некоторой основной частоте.
Предельные циклы бывают устойчивыми (все сходятся к предельному циклу), неустойчивыми (близкие траектории расходятся от предельного цикла) и полуустойчивыми (траектории, лежащие по одну сторону цикла сходятся, а по другую сторону расходятся).
Существуют системы с несколькими предельными циклами (колебания изменяют форму в зависимости от начальных условий)

Пример нелинейной дифференциальной модели с предельным циклом – уравнение
Ван дер Поля
  y
Рисунок – Предельный цикл и его спектр
15.
Синхронизация хаотических колебаний. Области применения хаотических систем
Две хаотические системы можно заставить колебаться синхронно (в одной фазе), если подавать на одну или на обе системы сигнал обратной связи по ошибке рассогласования.
Эталонный генератор описывается уравнением: x
 f
 
, (1) а управляемый генератор – уравнением
  f
 
, (2) где x , z , u – n -мерные векторы. Выбирая вектор обратной связи u
  пропорциональным ошибке где u
  e
 x
 z

, (3)
– вектор ошибок,
K

0
– коэффициент усиления, получим уравнение ошибок: f
 
Ke
Если матрица Якоби
 



 
ограничена в некоторой области Ω, содержащей решение системы, то легко подобрать такое числа симметричной матрицы
 
K

0 , чтобы собственные x
 
, тогда все ее траектории, лежащие в Ω, сходятся при t
 
к единственному ограниченному решению. Поскольку e
 

0
является решением (4) то к нему и сходятся все траектории. Таким образом, решения систем (1) и (2) неограниченно сближаются, что и означает синхронизацию двух систем.
Области применения:
– газовые или полупроводниковые лазеры в многомодовых режимах;
– механические системы, состоящие из нескольких связанных осцилляторов, а также системы с ударами и люфтами;

– электронные схемы с активными элементами, например, полупроводниковыми приборами с отрицательным дифференциальным сопротивлением
– химические и физико-химические реакции с нелинейной кинетикой;
– временные ряды в экономике и финансах
16.
Абсолютная устойчивость системы Лурье. Почему нельзя использовать для
нелинейных моделей????
Рисунок – Система Лурье
Систему рассматривают как разделенную на линейную и нелинейную части и выводят свойства полной системы из свойств частотной характеристики линейной части и свойств множества, где лежит график нелинейности.
Передаточная функция линейной части: y

W
  u
, (1) и статической нелинейности u
   
, график которой лежит в симметричном секторе
 

K y .
, (коэффициент усиления нелинейного блока не превосходит K

)
Для устойчивости достаточно выполнения неравенства:
K


1
, где


 
Для определения max
 t 0 y

K
W на вход следует подать u

 sin t
и найти ω:
Пусть теперь линейная модель системы (1) заменяется на нелинейную:
 
F
 
, y
 h
 
,
(2)
Как и в линейном случае, устойчивость системы должна зависеть от резонансных свойств. Частота вынужденных колебаний в нелинейной системе зависит от амплитуды входного гармонического сигнала, с ростом амплитуды входа в системе могут возникать сложные режимы.
Для определения формы сигнала, при котором при заданной амплитуде входа обеспечивается максимальная амплитуда выхода, необходимо решить задачу оптимального управления:

u
 y
2


Критерии хаотичности
Основной критерий – локальная неустойчивость (разбегание близких вначале траекторий). Основная характеристика хаотичности – старший показатель
Ляпунова.
Показатели Ляпунова определяются для x
 
системы с начальным условием x
 
 x
0
. Для этого составляется уравнение системы, линеаризованной система, линеаризованная вблизи x
 
: d
 dt


, где

; t
 x
– матрица Якоби системы (матрица частных x
 
. Задав начальное производных от правых частей), вычисленная вдоль решения отклонение z
  x
 
 
, можно вычислить величину
1
 ln z
, характеризующую скорость экспоненциального роста решений в направлении z и называемую характеристическим показателем (ляпуновской экспонентой) в направлении z .
Наиболее важен аттракторе


1
. Если

1

0
вдоль ограниченного решения x
 
, плотного в
, то это решение неустойчиво по Ляпунову, а аттрактор является странным.
Другой важной характеристикой хаотической системы является фрактальная размерность аттрактора, характеризующая его «густоту». Пусть N
 
– количество кубиков в покрытии.

 

.
(6.8)
Число d f

0
, такое что
     d
 d f ,
 называется фрактальной размерностью, или емкостью множества d
 lim


.
log

 
:

0
при d
 d f