Министерство образования Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра «Прикладная механика, динамика и прочность машин»
534(07)
Р693
В.А.Романов, О.К.Слива
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Учебное пособие
2-е издание, переработанное и дополненное
Челябинск
Издательство ЮУрГУ
2003
1
УДК 534(076.6)+531.3(076.6)
Романов В.А., Слива О.К. Аналитическая динамика и теория колебаний:
Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. и доп. – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2003. –
116 с.
Пособие содержит контрольные задания по одиннадцати задачам, выполняемым студентами специальности «Динамика и прочность машин» при изучении
курса «Аналитическая динамика и теория колебаний». Для каждой задачи приводится пример решения. В необходимых случаях даются пояснения теоретических
положений и проводится обсуждение полученных результатов.
Ил. 60, список лит. – 4 назв.
Одобрено учебно-методической комиссией факультета прикладной математики и физики.
Рецензенты: Ю.П. Амелькович, В.Х. Иванюк.
ISDN 5-696-02734-2
©Издательство ЮУрГУ, 2003
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................................. 6
Задача №1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................... 7
Пример решения задачи №1 .................................................................................. 8
1. Классификация механической системы ....................................................... 8
2. Условие динамического равновесия ............................................................. 9
3. Уравнение движения ...................................................................................... 9
4. Линеаризация уравнения.............................................................................. 11
Задача № 2. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 13
Пример решения задачи №2 ................................................................................ 13
1. Классификация механической системы ..................................................... 13
2. Определение положений равновесия.......................................................... 15
3. Проверка выполнения условий статики для найденных положений
равновесия.......................................................................................................... 16
Задача №3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 19
Пример решения задачи №3 ................................................................................ 20
1. Классификация механической системы...................................................... 20
2. Уравнение Лагранжа второго рода ............................................................. 21
2.1. Кинетическая энергия............................................................................ 21
2.2. Обобщенная сила ................................................................................... 21
2.3. Дифференцирование выражения для кинетической энергии ........... 22
2.4. Формирование дифференциального уравнения ................................. 22
3. Линеаризация дифференциального уравнения .............................................. 22
Задача № 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ФОРМЕ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 23
Пример решения задачи № 4
1. Уравнения движения в обратной форме
1.1. Классификация механической системы .............................................. 24
1.2. Уравнения движения ............................................................................. 25
2. Собственные частоты и собственные формы ............................................ 25
3. Проверка ортогональности собственных форм ......................................... 28
4. Свободные колебания................................................................................... 29
Задача №5. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ,
СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 33
Пример решения задачи №5
1. Дифференциальные уравнения движения
1.1. Классификация механической системы .............................................. 33
1.2. Дифференциальные уравнения малых колебаний ............................. 36
2. Собственные частоты и собственные формы механической системы.... 37
3
3. Парциальные подсистемы ............................................................................ 38
4. Главные координаты..................................................................................... 40
Задача №6. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 41
Пример решения задачи №6
1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний ....................... 41
2. Определение коэффициентов сопротивления демпферов вязкого трения. 43
3. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях методом
комплексных амплитуд .................................................................................... 46
4. Решение задачи о резонансных колебаниях методом разложения
по собственным формам................................................................................... 54
5. Сравнение амплитуд вынужденных колебаний, найденных двумя
методами ............................................................................................................ 55
Задача № 7. АНТИРЕЗОНАНС
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 58
Пример решения задачи №7 ................................................................................ 58
1. Определение антирезонансных частот ....................................................... 58
1.1. Определение антирезонансных частот решением задачи
вынужденных колебаний недиссипативной системы........................... 59
1.2. Определение антирезонансных частот как собственных частот
механической системы с дополнительными связями ........................... 63
2. Антивибратор ................................................................................................ 65
2.1. Определение амплитуды колебаний точки приложения силы ......... 66
2.2. Определение параметров антивибратора ............................................ 68
Задача №8. МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 70
Пример решения задачи №8 ................................................................................ 73
1. Определение диаметра поперечного сечения рамы .................................. 73
2. Установившиеся резонансные колебания при наличии гистерезисного и
сухого трения
2.1. Определение амплитуд колебаний инерционных элементов ............ 75
2.2. Определение амплитуды вынуждающей силы ................................... 75
3. Определение коэффициента жидкостного трения .................................... 78
4. Определение коэффициента эквивалентного трения................................ 79
5. Зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний .... 80
6. Поведение механической системы при изменении амплитуды
вынуждающей силы.......................................................................................... 81
Задача №9. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ
КОЛЕБАНИЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 84
Пример решения задачи №9 ................................................................................ 86
1. Форма прогиба балки.................................................................................... 87
2. Частотное уравнение .................................................................................... 91
3. Собственные формы балки .......................................................................... 93
4
4. Проверка ортогональности собственных форм ......................................... 95
Задача №10. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
Условие задачи и варианты исходных данных .................................................. 96
Пример решения задачи №10 .............................................................................. 97
1. Вынужденные колебания балки на нерезонансном режиме
1.1. Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня .................. 98
1.2. . Расчет перемещений и внутренних силовых факторов, возникающих
при вынужденных колебаниях .............................................................. 101
2. Вынужденные колебания балки на резонансном режиме ...................... 104
2.1. Определение допускаемого значения параметра распределенной
нагрузки из условия усталостной прочности....................................... 107
2.2. Минимизация амплитуды вынужденных колебаний ....................... 108
Задача №11. КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ
Условие задачи и варианты исходных данных ................................................ 109
Пример решения задачи №11 ............................................................................ 110
1. Изгибно-продольные колебания
1.1. Формы колебаний ................................................................................ 111
1.2. Граничные условия .............................................................................. 111
1.3. Условия сопряжения стержней .......................................................... 112
1.4. Получение частотного определителя................................................. 113
2. Изгибно-крутильные колебания рамы
2.1. Формы колебаний ................................................................................ 113
2.2. Граничные условия .............................................................................. 114
2.3. Условия сопряжения стержней .......................................................... 114
2.4. Получение частотного определителя................................................. 115
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ....................................................................... 116
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Программа курса «Аналитическая динамика и теория колебаний», читаемого
на специальности 071100–«Динамика и прочность машин» предусматривает выполнение студентами индивидуальных работ в форме задач семестровых заданий
(http://pent.sopro.tu-chel.ac.ru/W/LRN/0711.htm). Пособие включает варианты исходных данных для одиннадцати задач, каждая из которых сопровождается подробным примером выполнения.
Задачи с первой по пятую объединены в семестровое задание «Дифференциальные уравнения движения, собственные частоты и формы малых колебаний
дискретных механических систем» и выполняются в V семестре. В задание вошли
задачи по следующим темам: принцип Даламбера для твердых тел, принцип виртуальных перемещений, уравнения Лагранжа второго рода, уравнения движения в
обратной форме. В этой части курса студенты знакомятся с различными способами составления дифференциальных уравнений движения дискретных механических систем, определением собственных частот и форм малых колебаний, свободными колебаниями консервативных и неконсервативных механических систем
и приобретают опыт выполнения соответствующих расчетов.
Задачи №6-8 составляют задание «Вынужденные колебания механических систем с конечным числом степеней свободы» и выполняются в VI семестре. Целью
решения этих задач является усвоение методов расчета вынужденных колебаний
дискретных систем, понимание свойств вынужденных колебаний, явления антирезонанса и возможностей динамического гашения колебаний. В задаче №8 обсуждаются способы моделирования диссипативных свойств механических систем
на примере описания колебаний в установившихся и переходных режимах методом энергетического баланса.
Задачи №9-11 выполняются в VII семестре в задании «Колебания балок и рам».
В этих задачах рассматриваются собственные и вынужденные колебания механических систем на основе континуальных расчетных схем.
На протяжении ряда лет как лекционная часть курса «Аналитическая динамика
и теория колебаний», так и объем и состав семестровых заданий претерпевали изменения. Целью корректировок было достижение преемственности и согласование материала последовательно читаемых курсов «Сопротивление материалов»,
«Теоретическая механика», «Аналитическая динамика и теория колебаний», «Динамика машин». Резко вырос уровень вычислительных возможностей, которыми
располагают современные студенты. Пособие закрепляет накопленный методический опыт изложения перечисленных курсов и повышает требования к инструментальным средствам и навыкам работы с ними. По отношению к изданию 1996
года в настоящем издании изменено условие задачи № 6, добавлены новые задачи
(№7-11) и исключены из состава пособия приложения с текстом программ математической обработки. Исправлены замеченные опечатки и погрешности оформления. Equation Section 1
6
Задача №1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
Условие задачи и варианты исходных данных
Пользуясь принципом Даламбера, записать уравнение движения одной из консервативных систем, изображенных на рис. 1.1 в положении равновесия. Линеаризовать дифференциальное уравнение и определить собственную частоту малых
колебаний системы.
Вариант №1
Вариант №3
Вариант №7
Вариант №10
Вариант №14
Вариант №2
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №8
Вариант №11
Вариант №6
Вариант №9
Вариант №12
Вариант №15
Вариант №13
Вариант №16
Рис. 1.1. Варианты расчётных схем механических систем к задаче №1
7
Пример решения задачи №1
Расчетная схема механической системы показана на рис. 1.2.
O
Рис. 1.2. Расчетная схема механической системы
1. Классификация механической системы
Введем правостороннюю декартову систему координат 0, x, y, z так, чтобы начало координат совпадало с точкой O расположения шарнирной опоры (рис. 1.3).
Механическая система совершает движение в плоскости. Для этого случая число
степеней свободы n определяется как
n = 3 N − (d + g),
где N=1 – число твердых тел, входящих в механическую систему,
d=2 – число геометрических связей, наложенных на механическую систему,
g=0 – число дифференциальных связей, наложенных на механическую систему.
Ограничения на абсолютные или взаимные положения либо скорости в рассматриваемой механической системе сводятся к запрещению перемещений точки О оси цилиндрического шарнира по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Таким образом, геометрических связей две ( d = 2 ), а дифференциальные
связи отсутствуют ( g = 0 ). Рассматриваемая механическая система является голономной и имеет одну степень свободы
n=1.
Для голономной системы число обобщенных координат, однозначно определяющих положение механической системы, равно числу степеней свободы. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота ϕ инерционного элемента 1 (см. рис. 1.2), отсчитываемый от положения статического равновесия,
q=ϕ.
y
O
x
Рис. 1.3. Усилия, действующие на инерционный
элемент при его малом положительном отклонении
8
Рис. 1.4. Обозначения перемещений при малом положительном отклонении инерционного элемента
2. Условие динамического равновесия
Поскольку рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную ось вращения
(ось z), то необходимым и достаточным условием его равновесия является следующее условие, связывающее активные силы:
(1.1)
∑Mz = 0.
Согласно принципу Даламбера любая система сил, приложенных к твердому телу,
удовлетворяет условиям равновесия, если к этим силам добавить силы инерции. С
учетом моментов сил инерции условие динамического равновесия рассматриваемого тела примет вид
(1.2)
M zA + M zI = 0 .
A
I
Здесь M z и M z – моменты относительно оси z, проходящей через точку О, активных сил и сил инерции соответственно.
3. Уравнение движения
Условие (1.2) динамического равновесия является, по существу, неявной формой записи дифференциального уравнения движения рассматриваемого тела.
Чтобы перейти к явной форме, необходимо выразить входящие в него величины
через обобщенную координату ϕ и ее производные. Для этого выведем механическую систему из положения статического равновесия, придав инерционному
элементу некоторый положительный угол поворота ϕ и малую положительную
скорость ϕ . Отбросим взаимодействующие с инерционным элементом 1 пружину 2, упругую балку 3 (см. рис. 1.2) и заменим их действие силовыми факторами
Fпр , Qб , M б (рис. 1.3). Тогда условие (1.2) динамического равновесия будет иметь
вид
M z ( Fпр ) + M z (Qб ) + M z ( M б ) + M z ( FТ ) + M zI = 0 .
(1.3)
Здесь в левой части стоят моменты относительно оси z силы пружины, поперечной силы балки , изгибающего момента, силы тяжести и сил инерции соответственно.
Величину и направление сил Fпр , Qб , M б определим в предположении малости отклонения инерционного элемента от положения статического равновесия.
Пружина 2 при повороте инерционного элемента 1 против часовой стрелки
(рис. 1.4) укорачивается на величину
∆x =
l sin α
ϕ.
cos α
Для б = р/ 4 получаем ∆ x = lϕ . Такое деформирование упругого элемента приводит к возникновению в нем упругой силы:
Fпр = С ∆ x = Clϕ .
9
Момент этой силы относительно оси z:
M ( Fпр ) = − Fпрl (1 − sin ϕ ).
(1.4)
Знак «–» в правой части поставлен потому, что сила Fпр стремится повернуть
элемент 1 по часовой стрелке, т.е. знак момента противоположен знаку угла ϕ .
Действующие со стороны упругой балки сила Qб и момент M б обусловлены
поворотом β и вертикальным отклонением ∆ y сечения, соответствующего креплению балки 3 к инерционному элементу 1 (см. рис. 1.2, рис. 1.3). Величины поперечной силы Qб и изгибающего момента M б в заделке, вызванные монтажными перемещениями β и ∆ y , получим, используя расчетную схему один раз статически неопределимой балки (рис. 1.5):
3 EI
3 EI
Qб (∆ y ) =
β;
∆y;
2
4 l
8 l3
3 EI
3 EI
M б (β ) =
M б (∆ y ) =
β;
∆y .
2 l
4 l2
Здесь I – момент инерции поперечного сечения балки, E – модуль упругости материала балки.
Qб ( β ) =
Для линейного упругого элемента справедлив принцип суперпозиции:
Qб = Qб ( β ) + Qб (∆ y ),
M б = M б ( β ) + M б (∆ y ).
Обе составляющие силы Qб направлены одинаково, поэтому они складываются арифметически.
а)
Учитывая, что
β=ϕ, ∆ y = lϕ ,
получаем величину поперечной силы:
Qб =
б)
Рис. 1.5. Расчетная схема один раз
статически неопределимой балки
при повороте (а) и при вертикальном
отклонении заделки (б).
9 EI
ϕ.
8 l2
Как видно из рис. 1.3, момент силы Qб вращает элемент 1 относительно оси z по часовой
стрелке, т.е. он по знаку противоположен углу ϕ :
M z (Qб ) = −
9 EI
ϕ .
8 l
10
(1.5)
Обе составляющие момента M б направлены в сторону, противоположную отклонению ϕ инерционного элемента, поэтому они также складываются арифметически, а их сумма по знаку противоположна знаку угла ϕ :
9 EI
ϕ.
(1.6)
4 l
Силы тяжести заменим равнодействующей FT , приложенной в центре массы
инерционного элемента (точка В):
M z (M б ) = M б = −
FT = mg .
Сила FT направлена вертикально вниз и создает относительно оси z момент
⎛l⎞
M ( FT ) = mg ⎜ ⎟ sin ϕ ,
(1.7)
⎝2⎠
который направлен в сторону отклонения, так что его знак должен совпадать со
знаком угла ϕ . Поскольку инерционный элемент совершает вращательное движение вокруг оси z, то в условие динамического равновесия (1.3) инерционные силы
войдут в виде момента сил инерции относительно оси вращения
(1.8)
M zI = − I Oϕ ,
где I O –массовый момент инерции элемента 1 относительно оси z, проходящей
через точку О,
( )
ml 2
IO = 5
+m l
2
12
2
2
= ml 2 .
3
Подставляя выражения (1.4)–(1.8) в уравнение (1.3), получим дифференциальное уравнение в прямой форме, когда оно разрешено относительно второй производной, а его слагаемые имеют физический смысл сил или моментов, действующих на инерционный элемент:
27 EI
⎛l⎞
I Oϕ + cl 2ϕ (1 − sin ϕ ) − mg ⎜ ⎟ sin ϕ +
ϕ = 0.
(1.9)
8 l
⎝2⎠
Как видим, в уравнение не вошла угловая скорость ϕ , так что в данном случае
можно было при составлении уравнения движения и не придавать телу малой положительной скорости. Это, однако, относится только к простейшим консервативным системам.
4. Линеаризация уравнения
Полагая отклонения механической системы от положения статического равновесия малыми, можно считать sin ϕ ≅ ϕ и пренебречь слагаемыми, содержащими
ϕ 2 (считая их величиной более высокого порядка малости по сравнению с ϕ ). Тогда уравнение (1.9) приводится к виду
mgl ⎞
⎛ 27 EI
I Aϕ + ⎜
+ cl 2 −
⎟ϕ = 0 ,
2 ⎠
⎝ 8 l
11
или в канонической форме записи уравнений движения:
ϕ + p 2ϕ = 0 .
(1.10)
27 EI
mgl
+ cl 2 −
2 – квадрат собственной частоты колебаний.
Здесь p 2 = 8 l
2
ml
3
Заметим, что колебательный режим движения рассмотренной механической
системы вблизи показанного положения равновесия возможен при достаточной
жесткости упругих элементов, то есть когда
27 EI
mgl
+ cl 2 >
.
8 l
2
В противном случае p 2 принимает отрицательное значение и решением уравнения (1.10) являются не гармонические колебания около положения равновесия, а
апериодическое удаление от этого положения. Положение равновесия, показанное
на рис. 1.2, в таком случае не является устойчивым. Практически это означает,
что при малых отклонениях элемента 1 (см. рис. 1.2) произойдёт его опрокидывание. Equation Section 2
12
Задача № 2. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Условие задачи и варианты исходных данных
Используя принцип виртуальных перемещений, определить все положения
равновесия систем, показанных на рис. 2.1. Изобразить систему во всех равновесных положениях. В найденных положениях равновесия проверить выполнение
условий статики.
Считать, что трение в шарнирах и контактах отсутствует. Принять длину линейного упругого элемента в свободном состоянии равной L0 .Системы, имеющие
угловой упругий элемент Cϕ , показаны в положениях, в которых упругий элемент
не деформирован. Углы поворота в шарнирах не ограничены, а взаимные перемещения элементов системы ограничиваются лишь наложенными связями.
Пример решения задачи №2
Возможность использования принципа виртуальных перемещений для исследования положений
равновесия механических систем продемонстрируем на примере системы, показанной на рис. 2.2. В
качестве исходных данных примем, что при
α = π / 6 пружина не напряжена и задано соотношение Cl=2mg
Рис. 2.2. Расчетная схема механической системы
.
1. Классификация механической системы
Введем декартову систему координат 0, x, y таким образом, чтобы ось x совпадала с горизонтальной направляющей основания, а ось y – с вертикальной. С направлением оси абсцисс свяжем единичный вектор i , а с направлением оси ординат – единичный вектор j .
Точку стержня, контактирующую с вертикальной направляющей, обозначим
буквой А, а точку стержня, контактирующую с горизонтальной направляющей –
буквой В. Положение механической системы двух точек А и В на плоскости подчинено трем уравнениям связей:
x A = 0; yB = 0; xB 2 + y A 2 = (2l ) 2 .
(2.1)
Связи, наложенные на механическую систему, являются геометрическими. Таким образом, механическая система, показанная на рис. 2.2, голономная с числом
степеней свободы:
n = 2 N − (d + g ),
где N – число точек; g=0 и d=3 число дифференциальных и геометрических связей соответственно.
13
Вариант №2
Вариант №1
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №11
Вариант №12
Вариант №13
Вариант №14
Вариант №15
Рис. 2.1. Расчетные схемы механических систем к задаче №2
В качестве обобщенной координаты, определяющей положение механической
системы, выберем горизонтальную координату точки В:
q = xB .
14
2. Определение положений равновесия
Согласно принципу виртуальных перемещений [1] механическая система находится в равновесии, если виртуальная работа активных сил равна нулю:
δ A = 0.
В число активных включаются все действующие на механическую систему
силы, кроме сил реакций наложенных связей. Для рассматриваемой схемы активными силами следует считать силу упругости пружины Fпр и равнодействующую
сил тяжести FT , приложенную в центре массы стержня. Виртуальная работа каждой из этих сил есть скалярное произведение вектора силы на вектор виртуального перемещения точки ее приложения:
G G
G
G
δ A = ( FT , δ rD ) + ( Fпр , δ rB ).
Для вычисления скалярных произведений воспользуемся разложением векторов по ортонормированному базису i, j:
G
G
FT = mg ⋅ j; δ rD = δ xD ⋅ i + δ yD ⋅ j;
G
G
Fпр = F x пр ⋅ i; δ rB = δ xB ⋅ i.
Действующая на стержень в точке В горизонтальная сила F x пр пропорциональна удлинению пружины. Как следует из условия задачи, при xB = l пружина
не деформирована. Таким образом, зависимость силы F x пр от обобщенной координаты xB имеет вид
F x пр = −( xB − l )C.
Сумма виртуальных работ активных сил может быть записана следующим образом:
− mgδ yD − ( xB − l )Cδ xB = 0.
(2.2)
Система имеет одну степень свободы, поэтому в уравнении (2.2) лишь одна
независимая координата. Поскольку перемещение точки В выбрано в качестве
обобщенной координаты, исключим из уравнения (2.2) координату yD . Для этого
воспользуемся уравнением связи (2.1) в виде
1
(2l )2 − xB 2 .
(2.3)
2
Вычисляя вариацию левой и правой частей выражения (2.3) по правилам вычисления полного дифференциала сложной функции, получаем
yD =
δ yD = −
1
xB
δ xB .
2 (2l )2 − xB 2
15
После подстановки δ yD в выражение (2.2) последнее принимает вид
−
1
xB
mgδ xB − ( xB − l )Cδ xB = 0.
2 (2l ) 2 − xB 2
Вариация независимой координаты произвольна, поэтому δ xB ≠ 0, а уравнение
для определения координаты xB в положении равновесия принимает вид
−
1
mg
xB − ( xB − l )C = 0.
2 (2l ) 2 − xB 2
Корнями этого уравнения (для заданного соотношения параметров Cl=2mg)
являются:
xB (1) = 1,184l ,
xB (2) = 1,932l.
Механическая система в положениях равновесия изображена на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Положения равновесия механической системы
3. Проверка выполнения условий статики для найденных
положений равновесия
Использование системы независимых уравнений статики позволяет не только
определить величины реакций связей, но и проверить выполнение условий равновесия механической системы в положениях,
полученных на основании принципа виртуальных перемещений.
На рис. 2.4 показан стержень, к которому
приложены активные силы FT , Fпр и реакции
Рис. 2.4. Схема равновесия
стержня
связей R x A , R y B . Реакции связей R x A , R y B
определим из двух независимых условий
равновесия стержня. В качестве таких условий воспользуемся требованиями равенства
нулю сумм моментов сил относительно осей,
16
проходящих через точки опирания стержня. Для точки А имеем:
ΣM A = 0
⇒
xB
2mg
)−
( xB − l ) (2l )2 − xB 2 = 0,
2
l
⎛ 1 2( x − l ) (2l ) 2 − x 2 ⎞
B
B
⎟.
= mg ⎜ +
⎜2
⎟
xB l
⎝
⎠
R y B xB − mg (
R
y
B
(2.4)
Аналогично для точки В:
ΣM B = 0
⇒
R y A (2l ) 2 − xB 2 = mg (
R
y
B
=
mg
2 (2l ) 2 − xB 2
xB
),
2
xB .
(2.5)
Для определения реакций были использованы лишь два из трёх независимых
условий равновесия. Третье, не использованное независимое уравнение статики,
позволяет выполнить проверку правильности сделанных вычислений. Этим условием может быть сумма проекций сил на вертикальную либо горизонтальную ось.
Покажем, что выполняются и то, и другое. Начнём с суммы проекций сил на вертикальную ось:
ΣY = 0
⇒
R y B = mg .
(2.6)
Реакцию R y B в первом положении равновесия определим, подставляя в выражение (2.4) координату
xB = xB (1) = 1,184l.
Получим:
2 ⋅ 0,184 ⋅ 1,612 ⎞
⎛
R y B = mg ⋅ ⎜ 0,5 +
⎟ = mg ,
1,184
⎝
⎠
что доказывает выполнение условия статики (2.6) в первом из найденных положений равновесия.
Во втором положении равновесия:
xB = xB (2) = 1,932l.
Реакцию R y B получаем сходным образом, используя выражение (2.4),
2 ⋅ 0,932 ⋅ 0,517 ⎞
⎛
R y B = mg ⋅ ⎜ 0,5 +
⎟ = mg .
1,932
⎝
⎠
Таким образом, условие ΣY = 0 выполняется и во втором положении.
17
Проверим условие:
ΣX = 0
⇒
R x A = Fпр .
Реакцию R x A в первом положении определим подставляя в (2.5)
xB = xB (1) = 1,184l.
Получим:
RxA =
1,184
mg = 0,367 mg .
2 ⋅ 1,612
При этом усилие в пружине будет равно
F x пр = −( xB − l ) ⋅ C = 0,184l ⋅
2mg
= 0,368mg.
l
Следовательно, условие ΣX = 0 выполняется для первого положения с точностью
до погрешности вычисления.
Для xB = xB (2) = 1,932l , согласно (2.5), R x A =
1,932
mg = 1,868mg .
2 ⋅ 0,517
Усилие в пружине во втором положении:
F x пр = −( xB − l ) ⋅ C = 0,932l ⋅
2mg
= 1,864mg.
l
Условие ΣX = 0 выполняется с точностью до погрешности вычисления и для второго положения равновесия.
Equation Section 3
18
Задача №3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Условие задачи и варианты исходных данных
Пользуясь уравнением Лагранжа второго рода, записать дифференциальное
уравнение движения одной из консервативных систем, изображенных на рис. 3.1
в положении равновесия. Линеаризовать дифференциальное уравнение и определить собственную частоту малых колебаний системы.
Вариант №2
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №1
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №11
Вариант №12
Вариант №13
Вариант №14
Вариант №15
Вариант №16
Рис. 3.1. Расчетные схемы механических систем к задаче №3
Через L0 обозначена длина пружины C в недеформированном состоянии.
19
Пример решения задачи №3
Прямой стержень длиной l и массой m обкатывается в плоскости чертежа без
проскальзывания по поверхности кругового цилиндра с радиусом кривизны r.
В положении равновесия стержень горизонтален (рис. 3.2).
1. Классификация механической системы
Рис. 3.2. Расчетная схема механической
системы
Введем декартову систему координат 0,
x, y, z, образующих правоориентированную
тройку так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны поверхности, по
которой происходит обкатывание стержня
(рис. 3.3). Ось x –горизонтальна, ось y – вертикальна. С направлением оси абсцисс свяжем единичный вектор i, с направлением оси
ординат – j. Введем также единичный вектор k, направленный перпендикулярно векторам i, j.
Выведем механическую систему из положения равновесия, отклонив ее на положительный угол ϕ (рис. 3.3). Положение
стержня на плоскости 0, x, y однозначно определяется тремя независимыми параметрами. В качестве таких параметров могут быть
использованы, например, декартовы координаты центра тяжести стержня xВ, yВ и угол
поворота стержня ϕ. Ограничением на движение стержня в плоскости 0, x, y является
условие обкатывания без проскальзывания,
Рис. 3.3. Малое положительное отклонение механической системы
когда точка контакта A оказывается мгновенным центром скоростей стержня при его плоском движении:
x A2 + y A2 = 0 .
(3.1)
Здесь x A , y A – проекции скорости точки А на координатные оси.
Связь (3.1), наложенная на рассматриваемую механическую систему, дифференциальная. В зависимости от того, интегрируема ли эта связь, рассматриваемая
механическая система может быть отнесена либо к голономным, либо к неголономным. В большинстве практических случаев для систем, совершающих движение в плоскости, когда не возникает затруднений с геометрической интерпретацией расположения элементов механической системы, интегрирования удается избежать. Действительно, если для положения механической системы, показанного
на рис. 3.3, вместо условия (3.1) воспользоваться утверждением, что расстояние
между центром тяжести стержня в точке В и точкой контакта А равно длине ду20
ги rϕ , то вычисление координат точки В позволяет получить два независимых
соотношения между тремя параметрами xB , yB , ϕ , однозначно определяющими
положение стержня:
xB = r (ϕ cos ϕ − sin ϕ ) ,
(3.2)
yB = r ( cos ϕ + ϕ sin ϕ ) .
(3.3)
Это позволяет сделать вывод, что механическая система является голономной с
числом степеней свободы
(3.4)
n = 1.
В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота стержня:
q = ϕ.
2. Уравнение Лагранжа второго рода
Для голономной системы с одной степенью свободы уравнения Лагранжа сводятся к одному уравнению:
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
−
= Q.
dt ⎜⎝ ∂q ⎟⎠ ∂q
Здесь Т – кинетическая энергия системы, Q – обобщённая сила.
Использование уравнений Лагранжа требует представления кинетической
энергии Т механической системы, а также обобщенной силы Q, в виде функций
обобщенных координат и обобщенных скоростей. С этой целью придадим обобщённой координате ϕ и обобщённой скорости ϕ малые положительные значения
(см. рис. 3.3) и выразим через них Т и Q.
2.1. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия стержня во вращательном движении с мгновенным центром скоростей в точке А выражается следующим образом:
1
T = I Aϕ 2 .
2
2
Здесь I A = I B + m(rϕ ) – момент инерции стержня относительно оси, проходящей
через точку А;
I B = ml 2 /12 – момент инерции стержня относительно центра тяжести.
2.2. Обобщенная сила
Обобщенную силу Q получим на основании анализа виртуальной работы δ A
действующих на механическую систему активных сил:
δA
Q=
.
δϕ
Активные силы представлены единственной силой – силой тяжести стержня.
21
Равнодействующая сил тяжести FT совершает работу на виртуальном перемещении точки В:
G
G
δ A = ( F T , δ rB ) = − mgδ yB .
Вариацию проекции перемещения точки В на координатную ось y получим,
используя выражение (3.3), по правилам вычисления полного дифференциала
сложной функции:
δ yB = rϕ cos ϕδϕ .
Тогда для обобщенной силы имеем:
δA
Q=
= − mgrϕ cos ϕδϕ .
δϕ
2.3. Дифференцирование выражения для кинетической энергии
Выполним дифференцирование выражения для кинетической энергии механической системы:
⎞
d ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ml 2
∂T
∂T ⎛ ml 2
2
2
2 2⎞
= mr ϕϕ ,
=⎜
+ mr ϕ ⎟ ϕ ,
=⎜
+ mr 2ϕ 2 ⎟ ϕ + 2mr 2ϕϕ 2 .
⎜
⎟
dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ 12
∂ϕ
∂ϕ ⎝ 12
⎠
⎠
2.4. Формирование дифференциального уравнения
Подставляя полученные результаты в уравнение Лагранжа, получим:
⎛ ml 2
2 2⎞
mr
+
ϕ ⎟ϕ + mr 2ϕϕ + mgrϕ cos ϕ = 0,
⎜
⎝ 12
⎠
или в преобразованном виде:
r2 2
rg
ϕ + 12 2 (ϕ ϕ + ϕϕ 2 ) + 12 2 ϕ cos ϕ = 0.
l
l
3. Линеаризация дифференциального уравнения
Для малых отклонений механической системы от положения равновесия уравнение движения может быть линеаризовано. Полагая произведение малых величин величиной более высокого порядка малости, вторым (нелинейным) слагаемым уравнения можно пренебречь. Кроме того, для малых углов поворота
cos ϕ ≅ 1. Линеаризованная форма уравнения движения приобретает вид
rg
ϕ + 12 2 ϕ = 0.
l
Коэффициент при ϕ есть квадрат собственной частоты колебаний механической системы:
rg
p 2 = 12 2 .
l
Equation Section 4
22
Задача № 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБРАТНОЙ
ФОРМЕ
Условие задачи и варианты исходных данных
Для одной из консервативных систем с двумя степенями свободы, изображенных на рис. 4.1 в положении равновесия, требуется:
Вариант №1
Вариант №2
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №11
Вариант №12
Вариант №13
Вариант №14
Вариант №15
Вариант №16
Рис. 4.1. Варианты расчетных схем механических систем для задачи №4
1. составить уравнения движения в обратной форме;
2. определить собственные частоты и формы малых колебаний;
23
3. проверить ортогональность собственных форм и изобразить их на графиках;
4. найти законы движения во времени каждой из масс при свободных колебаниях системы с начальными условиями:
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
y1 (0) = 1, ⎜ 1 ⎟ = 0, y2 (0) = 0, ⎜ 2 ⎟ = 1 ⋅ p1 ,
⎝ dt ⎠t =0
⎝ dt ⎠t =0
где yi – вертикальное перемещение массы mi ; p1 – первая собственная частота;
5. изобразить найденный закон движения на графике, показать составляющие
движения масс по каждой из собственных форм колебаний.
Уравнения движения записать в обратной форме. При решении считать:
а) положение равновесия устойчиво;
б) массы являются точечными и могут перемещаться лишь в вертикальном
направлении;
в) все участки стержня имеют одинаковую жесткость поперечного сечения
EI и длину l; массы системы одинаковы: m1 =m2 =m.
Пример решения задачи № 4
1. Уравнения движения в обратной форме
1.1. Классификация механической системы
Механическая система совершает движение в плоскости. Введем декартову систему координат 0, y, z таким образом, чтобы
начало координат совпадало с точкой заделки упругой балки, ось z направлена по
оси упругой балки, ось y – вертикально
(рис. 4.2). Для упругих и массовых характеристик заданы следующие соотношения
Рис. 4.2. Расчетная схема
l3
1
механической системы
= ,
m1 = 2m2 = 2m, .
3EI C
Так как по условию задачи инерционные элементы m1 и m2 могут перемещаться только в вертикальном направлении, механическая система голономна,
имеет две степени свободы:
n = 2.
В качестве обобщенных координат примем вертикальные отклонения точек А и В
от положения статического равновесия:
q1 = yA , q2 = yB .
24
1.2. Уравнения движения
Отклонения точек А и В от положения статического равновесия q1 и q2 можно
рассматривать как результат деформирования упругих элементов под действием
прикладываемых к механической системе сил. Так как упругие элементы полагаются невесомыми, то силами, действующими на механическую систему, являются
силы инерции движения масс m1 и m2 , которые прикладываются в точках А и В.
Используя известное из курса «Сопротивление материалов» понятие коэффициента податливости δij деформируемой системы, можно записать:
q1 = δ11F1 + δ12 F2 ,
(4.1)
q2 = δ 21F1 + δ 22 F2 .
Здесь F1, F2 силы инерции масс m1 и m2 :
F1 = F1ИН = − m1q1 ,
F2 = F2 ИН = − m2 q2 .
(4.2)
Коэффициенты податливости могут быть определены, например, вычислением
интегралов Мора. Результаты вычислений, выполненных для рассматриваемой
схемы деформируемой системы, таковы:
l3
1
δ11 = δ
+δ
=
+ ,
3EI C
5 l3
,
δ12 = δ 21 = δ11ИЗГ =
6 EI
8 l3
ИЗГ
.
δ 22 = δ 22 =
3 EI
После подстановки сил инерции (4.2) и коэффициентов податливости
(4.4), (4.5) система уравнений (4.1) принимает вид
ИЗГ
11
ПР
11
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.3),
⎧⎛ l 3
1⎞
5 l3
+ ⎟ m1q1 +
m2 q2 + q1 = 0,
⎪⎜
6 EI
⎪⎝ 3EI C ⎠
(4.6)
⎨
3
3
5
l
8
l
⎪
⎪⎩ 6 EI m1q1 + 3 EI m2 q2 + q2 = 0.
Слагаемые в уравнениях (4.6) имеют физический смысл перемещений, а сами
уравнения называют уравнениями движения в обратной форме.
2. Собственные частоты и собственные формы
Решением системы однородных дифференциальных уравнений второго порядка (4.6) являются тригонометрические функции времени:
q1 = u1 cos(ωt + α ), q2 = u2 cos(ωt + α ).
(4.7)
Здесь u1 и u2 – амплитуды колебаний точек А и В.
25
Подставляя решение (4.7) в систему дифференциальных уравнений (4.6), приходим к системе однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд
u1 и u2 колебаний сосредоточенных масс:
⎧⎡ ⎛ l 3
⎤
1⎞
5 l3
2
m2 p 2u2 = 0,
+ ⎟ m1 p ⎥ u1 −
⎪ ⎢1 − ⎜
6 EI
⎪ ⎣ ⎝ 3EI C ⎠
⎦
(4.8)
⎨
3
⎛
⎞
5 l3
8
l
⎪
2
2
⎪ − 6 EI m1 p u1 + ⎜1 − 3 EI m2 p ⎟ u2 = 0.
⎝
⎠
⎩
Для анализа системы (4.8) введём параметр частоты ρ и безразмерную частоту λ:
C
p
ρ=
,
λ= .
ρ
m
Параметр ρ – это частота линейного осциллятора с одной степенью свободы, состоящего из массы m и упругого элемента с жесткостью C. Безразмерная частота
λ показывает, во сколько раз собственная частота рассматриваемой механической
системы отличается от частоты линейного осциллятора ρ = C m . Введение безразмерной частоты λ позволяет представить частоту p в параметрической форме:
C
p = λρ = λ
.
(4.9)
m
Форма (4.9) представления частот системы в виде произведения двух сомножителей является общепринятой для континуальных систем – стержней, пластин,
оболочек. В выражении (4.9) размерный множитель C m характеризует жесткостные и массовые свойства системы. Он при переходе от одной системы к другой
может меняться на 2…3 порядка. В столь же широких пределах изменяется и частота p системы. Безразмерный же сомножитель λ зависит только от структуры
механической системы – способа закрепления упругих элементов, числа, мест
расположения и соотношения масс, наличия и расположения пружин, а также номера определяемой частоты. Поэтому абсолютное значение безразмерной частоты
λ изменяется в достаточно узких пределах вблизи единицы, что облегчает определение ее величины. Введя параметры ρ и λ , а также учитывая заданное соотношение жесткостей и масс:
l3
1
= ,
3EI C
m1 = 2m2 = 2m,
получим систему уравнений (4.8) в следующем компактном виде:
5 2
⎧
2
⎪ (1 − 4λ )u1 − λ u2 = 0
2
⎨
2
⎪⎩−5λ u1 + (1 − 8λ 2 )u2 = 0.
26
(4.10)
Система уравнений (4.10) имеет нетривиальное решение, если ее определитель
равен нулю:
5
− λ2
(4.11)
= 0.
2
5λ 2
1 − 8λ 2
Определитель (4.11) называется частотным. Раскрывая частотный определитель
(4.11), получаем частотное уравнение:
1 − 4λ 2
19,5λ 4 − 12λ 2 + 1 = 0.
Корням частотного уравнения λ 21 = 0,0994 и λ 2 2 = 0,516 соответствуют две собственные частоты малых колебаний механической системы:
p1 = 0,315 ρ ,
p2 = 0,718ρ .
Соотношения амплитуд колебаний сосредоточенных масс на собственных частотах, то есть собственные формы, могут быть получены из любого уравнения системы (4.10). Воспользуемся, например, первым уравнением. Тогда:
u2 2(1 − 4λ 2 )
=
.
5λ 2
u1
Для первой собственной частоты, когда λ 2 = λ 21 , получаем первую собственную
форму колебаний:
u21
= 2,43.
u11
Здесь первый индекс у амплитуд соответствует номеру точки, а второй – номеру
частоты.
Для второй собственной частоты λ 2 = λ 2 2 :
u22
= −0,825.
u12
Поскольку собственные формы определяются с точностью до произвольного
множителя, одну из амплитуд для каждой собственной частоты можно задать
произвольно. Полагая, например, u11 = u12 = 1 , получим собственные векторы:
⎛ 1 ⎞
U1 = ⎜
⎟,
2,43
⎝
⎠
и матрицу собственных форм:
⎛ 1 ⎞
U2 = ⎜
⎟,
0,825
−
⎝
⎠
1 ⎞
⎛ 1
U = (U1 U 2 ) = ⎜
⎟.
⎝ 2,43 −0,825 ⎠
27
3. Проверка ортогональности собственных форм
Собственные векторы U1 и U2 ортогональны, если
U T 1 [ A] U 2 = U T 2 [ A] U1 = 0,
где [A] – матрица инерции.
Проверку ортогональности собственных форм можно выполнить и расчетом
матрицы обобщенных масс:
[ M ] = U T [ A] U .
Элементы матрицы [ M ] , не стоящие на главной диагонали, должны быть равны нулю. При выполнении практических численных расчётов получить нулевые
значения, как правило, не удаётся в силу неизбежных погрешностей вычислений.
Поэтому приемлемы величины недиагональных элементов в пределах погрешности выполнения инженерных расчетов.
Для выбранных обобщенных координат кинетическая энергия рассматриваемой механической системы может быть подсчитана следующим образом:
m1q12 m2 q2 2
T=
+
,
2
2
поэтому матрица инерции имеет вид
⎛m 0 ⎞
⎛ 2 0⎞
[ A] = ⎜ 01 m ⎟ = m ⎜
⎟.
0
1
⎝
⎠
2⎠
⎝
Расчет матрицы обобщенных масс для найденных значений собственных векторов и матрицы инерции дает:
1 ⎞ ⎛ 7,91 0,00 ⎞
⎛1 2,43 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1
⋅ m⎜
⋅⎜
⎟
⎟
⎟ = ⎜ 0,00 2,68 ⎟ m,
1
−
0,825
0
1
2,43
−
0,825
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
[M] = ⎜
что подтверждает правильность решения системы (4.10).
Собственные формы механической системы показаны на рис. 4.3.
а) первая собственная форма
б) вторая собственная форма
Рис. 4.3. Собственные формы колебаний механической системы:
28
Чтобы определить амплитуду колебаний точки оси упругой балки в месте крепления упругого элемента С, следует учесть, что амплитуда колебаний массы m1
складывается из двух составляющих: первая составляющая вызывается деформацией балки, вторая – деформацией пружины:
u11 = u11ИЗГ + u11ПР = 1.
Удлинение пружины обусловлено действием силы инерции массы m1:
F1ИН = −m1q1 = m1u1k pk 2 = 2mu1k pk 2 .
Для первой собственной формы
ИЗГ
11
u
2mu11 p12
=1−
= 0,803.
C
Аналогично на второй собственной форме
u12 ИЗГ = 1 −
2mu12 p2 2
= −0,0404.
C
4. Свободные колебания
Закон изменения во времени обобщенных координат при свободных колебаниях, обусловленных заданием ненулевых начальных условий, получим разложением движения механической системы по собственным формам:
(4.12)
{q(t )} = U {ϑ (t )} ,
где {ϑ (t )} – вектор главных координат механической системы.
Для системы с двумя степенями свободы имеем
2
qi (t ) = ∑ uikϑk (t ) = ui1ϑ1 (t ) + ui 2ϑ2 (t ),
i = 1,2.
k
Определим главные координаты рассматриваемой расчетной схемы. На основании (4.11) имеем:
⎛ 0, 253 0,307 ⎞
(4.13)
{ϑ (t )} = U −1 {q(t )} = ⎜
⎟{q (t )}.
⎝ 0,747 −0,307 ⎠
Операции обращения недиагональной матрицы U можно избежать, если использовать для определения главных координат тождественное выражению (4.13)
выражение
{ϑ (t )} = [ M ]
−1
U T [ A]{q (t )}.
Это удобно при выполнении вычислений «вручную».
Набор главных координат, являющихся, как следует из (4.12), линейной комбинацией выбранных обобщенных координат, удовлетворяет всем требованиям,
предъявляемым к обобщенным координатам. Вместе с тем, главные координаты
по отношению к исходным обобщенным имеют отличительную особенность. Эта
29
особенность состоит в том, что при движении системы по k-й собственной форме
изменяется лишь одна k-я главная координата. Остальные оказываются равными
нулю:
⎧
⎪
⎪
ϑ1 (t ) = 0,253q1 (t ) + 0,307q 2 (t ) = ⎨
⎪
⎪⎩
q2 (t )
= 2,43;
q1 (t )
1 ⋅ q1 (t ), при
0,
при
⎧
при
⎪ 0,
⎪
ϑ2 (t ) = 0,747q1 (t ) − 0,307q 2 (t ) = ⎨
⎪1 ⋅ q (t ), при
⎪⎩ 1
q2 (t )
= −0,825.
q1 (t )
q2 (t )
= 2, 43;
q1 (t )
q2 (t )
= −0,825.
q1 (t )
Закон изменения во времени каждой из двух главных координат гармонический и определяется начальными условиями:
⎛ ϑk 0 ⎞
⎟ sin pk t.
p
⎝ k ⎠
ϑk (t ) = ϑk cos( pk t + α k ) = ϑk 0 cos pk t + ⎜
Здесь ϑk , α k – амплитуда и фаза k-й главной координаты; ϑk 0 , ϑk 0 – отклонение и
скорость для k-й собственной формы в начальный момент времени t=0.
Векторы начальных отклонений и скоростей для главных координат связаны
зависимостью (4.12) с заданными начальными условиями для обобщенных координат:
{ϑ } = U {q },
{ϑ } = U {q }.
0
−1
0
0
−1
0
Для амплитуд и фаз главных координат имеем очевидные соотношения:
2
⎛ ϑk 0 ⎞
⎛ ϑk 0 ⎞
.
ϑk = (ϑk ) + ⎜
α k = arctg ⎜
⎟ ,
0 ⎟
⎝ pk ⎠
⎝ pkϑk ⎠
Вычислительная обработка и построение графиков изменения во времени координат q1 (t ), q2 (t ) при свободных колебаниях рассмотренной механической системы для заданных начальных условий выполнены с использованием пакета
MathCAD.
0 2
30
а)
б)
Рис. 4.4. Изменение обобщенных координат при свободных колебаниях (также показаны составляющие главные колебания) :
а) – график изменения во времени первой обобщенной координаты,
б) – график изменения во времени второй обобщенной координаты.
На графиках рис. 4.4 а, б показаны изменения во времени обобщённых координат q1 (t ), q2 (t ) , а также составляющие перемещения каждой из масс в их движении по первой и по второй форме. Как видно из приведенных графиков, законы
изменения во времени обобщенных координат при свободных колебаниях с заданными начальными условиями не являются не только гармоническими, но даже
и периодическими функциями времени. Не совпадают и моменты времени, при
которых сосредоточенные массы имеют наибольшие отклонения от положения
равновесия.
31
Чтобы свободные колебания механической системы были гармоническими,
необходимо задать такие начальные условия, при которых вся энергия механической системы была бы обусловлена деформацией или движением только по одной
из собственных форм. Например, можно деформировать систему по первой собственной форме и затем предоставить возможность совершать свободные колебания. Этот случай показан на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Свободные колебания системы после отклонения по первой собственной форме:
Из графиков рис. 4.5 видно, что соотношение отклонений масс в момент времени t=0 точно соответствует первой собственной форме системы, а скорости
равны нулю. Полная энергия механической системы представлена только потенциальной энергией деформации по первой собственной форме. Вследствие ортогональности собственных форм энергия одной формы не может переходить в
энергию других форм. Поэтому во все последующие моменты времени система
деформируется только по первой собственной форме, причём колебательное движение совершается с первой собственной частотой. Все точки механической системы движутся синфазно.
Equation Section 5
32
Задача №5. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА.
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ, СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Условие задачи и варианты исходных данных
Расчетные схемы неконсервативной системы приведены на рис. 5.1. Задание
включает выполнение следующих пунктов.
1. Составить дифференциальные уравнения движения механической системы в
обобщенных координатах. Линеаризовав их, получить уравнения малых колебаний системы. Получить матрицу инерции, квазиупругую матрицу и матрицу
демпфирования в обобщенных координатах. Представить уравнения движения
в матричной форме.
2. Найти собственные частоты и собственные формы малых колебаний системы.
3. Выделить в исходной колебательной системе парциальные подсистемы. Найти
коэффициент связи парциальных подсистем.
4. Найти главные координаты системы. Получить квазиупругую матрицу, матрицу инерции и матрицу демпфирования в главных координатах.
Пример решения задачи №5
1. Дифференциальные уравнения движения
1.1. Классификация механической системы
Механическая система состоит из двух твердых тел (рис. 5.2), движущихся в
плоскости: диска, имеющего радиус 2r и массу 2m , перекатывающегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания, и стержня длиной 4r и массой m ,
шарнирно соединенного с диском в точке F. Систему координат O, x, y свяжем с
неподвижным основанием (см. рис. 5.2). Положение механической системы будет
полностью определено, если указать положение каждого из двух твёрдых тел. Для
этого достаточно задать шесть параметров (по три для каждого твёрдого тела). В
качестве параметров, задающих положение механической системы, выберем координаты центров тяжести и углы поворота диска и физического маятника:
xE , y E , ψ , xD , y D , ϕ .
(5.1)
Из шести параметров (5.1) независимыми оказываются не все. Перечислим связи,
наложенные на механическую систему. Качение диска по плоскости означает, что
высота центра масс диска есть величина постоянная:
y E = 2r.
(5.2)
Отсутствие проскальзывания в точке О контакта диска с плоскостью говорит о
том, что точка О является мгновенным центром скоростей диска. Поэтому линейная скорость центра тяжести диска не может
быть произвольной, и имеет место
G
G G JJJG
ограничение
VO = VE + Ω × EO = 0.
(5.3)
33
Вариант №1
Вариант №2
Вариант №11
Вариант №14
Вариант №4
Вариант №6
Вариант №5
Вариант №7
Вариант №3
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №13
Вариант №12
Вариант №15
G
G G Рис. 5.1. Расчетные схемы механических систем к задаче №5
Здесь VE ,VO – векторы линейной скорости точек Е и O соответственно, Ω – вектор
угловой скорости диска.
Связь (5.3) дифференциальная, но допускает интегрирование к виду
xE − 2r sinψ = 0.
(5.4)
34
(Показать, что эта связь может быть проинтегрирована, предлагается студентам
самостоятельно). Цилиндрический шарнир, соединяющий два тела в точке F, эквивалентен следующим двум условиям:
yF ДИСК = yF СТ ,
xF ДИСК = xF СТ ,
которые могут быть использованы в качестве связей для выбранных параметров
положения механической системы:
yE + r cosψ − yD − 2r cos ϕ = 0,
(5.5)
xE + r sinψ − xD + 2r sin ϕ = 0.
Таким образом, на систему двух твердых тел N = 2 (диск, стержень), положение каждого из которых по отдельности при плоском движении характеризуется
тремя параметрами, наложено четыре связи, одна из которых – дифференциальная
интегрируемая. Следовательно, рассматриваемая механическая система является
голономной с двумя степенями свободы:
n=3N–d–g=3⋅2–3–1=2,
где d –число геометрических связей, g –число дифференциальных связей.
В качестве обобщенных координат выберем горизонтальное смещение u центра масс диска и угол ϕ поворота стержня – рис. 5.3:
q1 = u , q2 = ϕ .
Рис. 5.2. Схема механической системы
Рис. 5.3. Положение механической системы
при малых положительных приращениях
обобщенных координат
Координаты любой точки механической системы, могут быть выражены через
обобщённые. Покажем, как на основании уравнений связи (5.2), (5.4), (5.5), координаты из набора (5.1) выражаются через обобщенные:
u
xE = u ,
y E = 2r ,
sinψ = ,
2r
(5.6)
2
3
⎛ u ⎞
xD = u + 2r sin ϕ ,
yD = 2r + r 1 − ⎜ ⎟ − 2r cos ϕ .
2
⎝ 2r ⎠
35
1.2. Дифференциальные уравнения малых колебаний
Дифференциальные уравнения малых колебаний получаем, используя уравнения Лагранжа второго рода в следующей форме:
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂П ∂R
+
+
= 0,
i = 1,2.
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi ∂qi ∂qi
Здесь T – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, R – диссипативная
функция Рэлея.
Для вычисления T, П и R придаем обобщенным координатам и обобщенным
скоростям малые положительные значения (положительные значения u и ϕ показаны на рис. 5.3).
При вычислении кинетической энергии механической системы учитываем, что
оба инерционных элемента совершают плоское движение:
1⎡
2m(2r ) 2 2
m(4r ) 2 2 ⎤
2
2
2
T = ⎢ 2mu +
φ + m ( xD + y D ) +
ϕ ⎥ .
(5.7)
2⎣
2
12
⎦
Потенциальная энергия механической системы складывается из потенциальной энергии деформации упругого элемента и потенциальной энергии положения
центра тяжести физического маятника:
1
П = C (2u ) 2 + mgyD .
2
Примем допущение о малости отклонений механической системы от положения равновесия. В этом случае соотношения (5.6), связывающие физические координаты с обобщёнными координатами, могут быть упрощены:
u
u
u2
yD ≅ r − + rϕ 2 ,
φ ≅ sin φ = ,
φ≅ ,
2r
2r
8r
(5.8)
3u
3 u
y D ≅ 0,
xD ≅
x D ≅
+ 2rϕ ,
+ 2rϕ.
2r
2r
После подстановки выражений (5.8) в кинетическую и потенциальную энергии
и учитывая заданное соотношение mg = Cr , получаем:
1
T = ( 5,25mu 2 + 6mrϕu + 5,33mr 2ϕ 2 ),
(5.9)
2
mg ⎞ 2
⎛
2
2
2
2
П = ⎜ 2C −
⎟ u + mgr (1 + ϕ ) = 1,875Cu + Cr (1 + ϕ ).
8r ⎠
⎝
Диссипативная функция Рэлея, по определению равная половине мощности
рассеяния энергии в демпферах, содержит два слагаемых, соответствующих
демпферам k1 и k2 :
1
1⎡
k
k
⎤
R = ⎡⎣ k1 (2u ) 2 + k2 (ϕ + φ) 2 ⎤⎦ = ⎢(4k1 + 22 )u 2 + 2 uϕ + k2 ϕ 2 ⎥ .
(5.10)
2
2⎣
4r
r
⎦
Подставляя T, П, R в уравнения Лагранжа второго рода, получаем:
⎧
k2 ⎞
k2
⎛
⎪⎪5,25mu + 3mrϕ + ⎜ 4k1 + 4r 2 ⎟ u + 2r ϕ + 3,75Cu = 0,
⎝
⎠
(5.11)
⎨
k
2
2
⎪
3mru + 5,33mr ϕ + 2 u + k2ϕ + 2Cr ϕ = 0,
⎪⎩
2r
36
или в матричной форме
[ A]{q} + [ K ]{q} + [C ]{q} = 0.
⎧u ⎫
Здесь {q} = ⎨ ⎬ – вектор-столбец обобщенных координат,
⎩ϕ ⎭
3mr ⎞
⎛ 5,25m
– матрица инерции,
[ A] = ⎜
2⎟
⎝ 3mr 5,33mr ⎠
k2
k2 ⎞
⎛
4
k
+
1
2
⎜
4r
2r ⎟ – матрица демпфирования,
⎟
[K ] = ⎜
k2
⎜
⎟
k2 ⎟
⎜
⎝
2r
⎠
0 ⎞
⎛ 3,75C
– квазиупругая матрица.
[C ] = ⎜
2⎟
Cr
0
2
⎝
⎠
2. Собственные частоты и собственные формы механической
системы
Строго говоря, собственные частоты диссипативной системы, описываемой
уравнениями (5.11), это комплексные числа, определяющие как частоту колебаний
системы, так и скорость их затухания. Точно так же формы колебаний представляются комплексными числами, показывающими, что эти формы характеризуются не
только соотношением амплитуд масс системы, но и сдвигом фаз этих амплитуд
друг относительно друга. Однако в подавляющем большинстве случаев, представляющих практический интерес, влияние трения как на собственные частоты колебаний, так и на их формы оказывается достаточно малым. Поэтому, под собственными частотами и формами диссипативной системы (5.11) понимают, обычно, собственные частоты и формы соответствующей консервативной системы, т.е. системы (5.12), получаемой из (5.11) отбрасыванием диссипативных членов:
⎧ 5,25mu + 3mrϕ + 3,75Cu = 0
(5.12)
⎨
2
2
+
+
=
3
mru
5,33
mr
ϕ
2
Cr
ϕ
0.
⎩
Решение системы (5.12) ищем в виде
ϕ (t ) = ϕ cos( pt + α ).
(5.13)
u (t ) = u cos( pt + α ) ,
Подставляя (5.13) в (5.12), получаем систему алгебраических уравнений относительно двух неизвестных амплитуд u и ϕ:
⎧ (3,75C − 5,25mp 2 )u − 3mrp 2ϕ = 0
(5.14)
⎨
2
2
2 2
−
+
−
=
3
mrp
(2
Cr
5,33
mr
p
)
ϕ
0.
⎩
Нетривиальное решение однородной системы (5.13) существует, если равен
нулю ее определитель:
−5,25mp 2 + 3,75C
−3mrp 2
= 0.
−3mrp 2
−5,33mr 2 p 2 + 2Cr 2
37
Введя аналогично тому, как это было сделано в задаче №4, параметр частоты ρ и
безразмерную частоту λ:
С
p
ρ=
,
λ= ,
ρ
m
получим частотное уравнение
19λ 4 − 30,5λ 2 + 7,50 = 0 .
Корни частотного уравнения:
λ12 = 0,303;
λ2 2 = 1,30
позволяют получить собственные частоты механической системы:
p1 = 0 ,550 ρ ;
p2 = 1,14 ρ .
(5.15)
Собственные формы найдем из первого уравнения (5.14):
ϕ1 3,75 ρ 2 − 5,25 p12
1
ϕ2 3,75 ρ 2 − 5,25 p2 2
1
=
=
2,37
;
=
=
−
0,789
.
3rp12
3rp2 2
u1
r
u2
r
Матрица собственных форм:
1r ⎞
⎛ 1r
(5.16)
U =⎜
⎟.
−
2,37
0,789
⎝
⎠
Собственные формы показаны на рис. 5.4. Как видим, на первой форме амплитуды обеих обобщенных координат положительны, а на второй – они противоположны по знаку, что соответствует теореме о числе узлов собственной формы.
а) первая собственная форма
б) вторая собственная форма
Рис. 5.4. Собственные формы механической системы
3. Парциальные подсистемы
Парциальными подсистемами называют механические системы с одной степенью свободы, образованные из исходной системы так, что собственные частоты
парциальных подсистем составляют:
c
pi = ii ,
i = 1,2,..., n.
aii
Здесь cii , aii – диагональные элементы квазиупругой матрицы и матрицы инерции
соответственно.
38
Для рассматриваемой схемы:
3,75C
2C
= 0,714 ρ 2 ,
= 0,375 ρ 2 ,
pI 2 =
pII 2 =
5, 25m
5,33m
pI = 0,845 ρ ,
pII = 0,612 ρ .
Если в качестве обобщенных координат используются линейные перемещения
или углы поворота, парциальные подсистемы допускают наглядную интерпретацию. В этом случае, чтобы получить парциальную подсистему, достаточно обеспечить равенство нулю всех обобщенных координат кроме одной, т.е. в нашем
случае ввести связи ϕ=0 или u=0.
Очевидно, что парциальные подсистемы зависят от выбора обобщенных координат.
Частоты парциальных подсистем могут быть использованы для качественной
оценки собственных частот исходной системы. Известно, что «парциальные» частоты лежат между собственными частотами исходной системы, т.е.
p1 ≤ min( pI , pII ),
p2 ≥ max( pI , pII ).
(5.17)
Действительно, в рассматриваемом случае:
p1 = 0 ,550 ρ ≤ pII = 0 ,612 ρ ,
p2 = 1,14 ρ ≥ pI = 0 ,845 ρ .
Связанность парциальных подсистем может быть инерционной, квазиупругой
или комбинированной и количественно оценивается коэффициентами связи:
a12
с
γ ИН =
= 0,567;
γ УПР = 12 = 0.
a11a22
с11с22
а) парциальная подсистема I ( ϕ = 0 )
б) парциальная подсистема II ( u = 0 )
Рис. 5.5. Парциальные подсистемы
Если парциальные подсистемы не связаны ( γ ин = γ упр = 0 ), выражения (5.17)
обращаются в равенство. Чем выше коэффициент связи, тем в большей степени
частоты исходной системы отличаются от парциальных частот.
39
4. Главные координаты
Главные координаты системы получим линейным преобразованием использованных обобщенных координат:
1
⎛
⎞
0,250
0,316 ⎟
⎜
⎧u ⎫
r
(5.18)
{ϑ} = U −1 {q} = ⎜
⎟ ⎨ ⎬.
ϕ
1
⎜ 0,750
−0,316 ⎟⎟ ⎩ ⎭
⎜
r
⎝
⎠
Легко проверить, что при колебаниях по собственным формам (т.е. с одной из
собственных частот) ненулевой оказывается лишь одна главная координата:
⎧1, при u = 1r , ϕ = 2,37
u
ϑ1 = 0,250 + 0,316ϕ = ⎨
r
⎩0, при u = 1r , ϕ = −0,790,
⎧0, при u = 1r , ϕ = 2,37
u
ϑ2 = 0,751 − 0,316ϕ = ⎨
r
⎩ 1, при u = 1r , ϕ = −0,790.
Матрица инерции в главных координатах (матрица обобщенных масс) имеет вид
⎛ 49,5 0,00 ⎞ 2
(5.19)
[ M ] = U T [ A]U = ⎜
⎟ mr .
⎝ 0,00 3,84 ⎠
Диагональный вид матрицы обобщенных масс можно рассматривать как подтверждение ортогональности найденных собственных форм.
Квазиупругая матрица в главных координатах вследствие ортогональности
собственных форм также диагональная:
⎛ 15,0 0,00 ⎞ 2
(5.20)
[ 2 П ] = U T [C ]U = ⎜
⎟ Cr .
⎝ 0,00 5,00 ⎠
Матрица демпфирования в главных координатах:
⎛ 4k1r 2 + 8,25k2
4k1r 2 − 0,833k2 ⎞
T
(5.21)
[ B ] = U [ K ]U = ⎜ 2
⎟.
2
4
k
r
0,833
k
4
k
r
0,0841
k
−
+
1
2
1
2
⎝
⎠
Как видно из (5.21), при определенном отношении коэффициентов трения в
демпферах (а именно, k2 = 4,80r 2 k1 ) недиагональные элементы матрицы демпфирования в главных координатах оказываются равными нулю. Это случай так называемого пропорционального демпфирования. При любом другом сочетании характеристик трения демпферов (при непропорциональном демпфировании) матрица [B] оказывается недиагональной, а дифференциальные уравнения движения
в главных координатах:
(5.22)
[ M ] ϑ + [ B ] ϑ + [ 2 П ]{ϑ} = 0,
{}
{}
оказываются связанными:
⎧ 49,5mr 2ϑ1 + (4k1r 2 + 8,25k2 )ϑ1 + (4k1r 2 − 0,833k2 )ϑ2 + 15Cr 2ϑ1 = 0,
⎨
2 2
2
2
⎩3,84mr ϑ2 + (4k1r + 0,841k2 )ϑ2 + (4k1r − 0,833k2 )ϑ1 + 5Cr ϑ2 = 0.
Это значительно усложняет исследование движения механической системы, в частности, решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях. Equation Section 6
40
Задача №6. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Условие задачи и варианты исходных данных
Неконсервативная система (расчетные схемы приведены на рис. 5.1 и изображены в положении равновесия) совершает установившиеся вынужденные колебания. Вынуждающая сила PА(t)=PАcosωt приложена в точке A по направлению касательной к траектории ее движения.
Задание включает выполнение следующих пунктов.
1. Записать дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы для
исходных и главных координат.
2. Определить коэффициенты сопротивления k1 и k2 демпферов вязкого трения,
если известно, что при колебаниях по первой собственной форме демпферы
рассеивают одинаковую энергию, а логарифмический декремент колебаний по
этой форме δ1=0,025.
3. Методом непосредственного решения уравнений малых колебаний в диапазоне частот
0 ≤ ω ≤ 1,3 p2
(где p2 - вторая собственная частота консервативной системы) рассчитать и
изобразить на графиках:
а) амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики
системы;
б) синфазную и квадратурную составляющие отклика системы;
в) амплитудно-фазовые частотные характеристики (диаграммы Найквиста)
для обеих координат.
4. Методом разложения по собственным формам консервативной системы рассчитать комплексные амплитуды вынужденных колебаний системы на частоте
первого резонанса.
5. Сравнить амплитуды вынужденных колебаний на частоте первого резонанса,
полученные методом непосредственного интегрирования дифференциальных
уравнений движения (пункт 3) и методом разложения по собственным формам
(пункт 4). Показать соответствующие амплитуды на одном рисунке. Результаты сравнения прокомментировать.
Указание: расчеты пунктов 3, 4 и 5 продублировать для увеличенных в двадцать
раз значений коэффициентов сопротивления k1 и k2 демпферов вязкого трения.
Пример решения задачи №6
1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний
Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний получим, используя
уравнения Лагранжа второго рода в форме
41
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂П ∂R
+
+
= Qi , i = 1,2.
(6.1)
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi ∂qi ∂qi
Здесь Qi – обобщенные вынуждающие силы.
Система (6.1) отличается от полученной в примере решения задачи №5 системы (5.3) наличием правой части.
Обобщенные вынуждающие силы, соответствующие обобщенным координатам q1=u и q2=φ, получим на основании анализа виртуальной работы заданной
внешней силы:
δA
δA
= 2 PA (t ), Q2 (t ) =
= 0.
δ A = PA (t ) ⋅ 2δ u ,
Q1 (t ) =
δu
δϕ
Система уравнений вынужденных колебаний для обобщенных координат
q1=u и q2=φ имеет вид
[ A]{q} + [ K ]{q} + [C ]{q} = {Q(t )} ,
(6.2)
где
3mr ⎞
⎛ 5,25m
– матрица инерции в обобщенных координатах,
[ A] = ⎜
2⎟
⎝ 3mr 5,33mr ⎠
⎛ 3,75C
⎝ 0
[C ] = ⎜
0 ⎞
– квазиупругая матрица в обобщенных координатах,
2Cr 2 ⎠⎟
k2
⎛
4
k
+
⎜ 1 4r 2
[K ] = ⎜
k2
⎜
⎜
2r
⎝
⎧2 P (t ) ⎫
{Q(t )} = ⎨ A ⎬
⎩ 0 ⎭
k2 ⎞
2r ⎟ – матрица демпфирования в обобщенных координатах,
⎟
k2 ⎟⎟
⎠
– вектор обобщенных сил в обобщенных координатах,
⎧u ⎫
⎬ – вектор обобщенных координат.
⎩ϕ ⎭
Матрицы [A], [K], [C] получены в примере решения задачи №5.
Для главных координат (5.10) система (6.2) принимает вид
[ M ] ϑ + [ B ] ϑ + [ 2 П ]{ϑ} = Q(t ) ,
{q} = ⎨
{}
{
{}
}
(6.3)
где
⎛ 49,5 0,00 ⎞ 2
⎟ mr – матрица обобщенных масс,
0,00
3,84
⎝
⎠
2
⎛ 4k1r + 8,25k2
4k1r 2 − 0,833k2 ⎞
[ B] = ⎜ 2
⎟ – матрица демпфирования в главных ко2
4
0,833
4
0,0841
k
r
−
k
k
r
+
k
2
1
2⎠
⎝ 1
ординатах,
[M] = ⎜
42
⎛ 15,0 0,00 ⎞ 2
⎟ Cr – матрица потенциальной энергии главных колебаний,
⎝ 0,00 5,00 ⎠
⎧2 ⎫
Q(t ) = U T {Q(t )} = ⎨ ⎬ rPA (t ) – вектор обобщенных сил для главных координат,
⎩2 ⎭
[2П ] = ⎜
{
}
1r ⎞
⎛ 1r
U =⎜
⎟ – матрица собственных форм.
2,37
0,789
−
⎝
⎠
Матрицы [ M ] , [B], [2П], [U] получены в примере решения задачи №5.
2. Определение коэффициентов сопротивления демпферов
вязкого трения
Исходными данными для определения двух неизвестных коэффициентов вязких демпферов k1 и k2 в исследуемой системе являются сведения о колебаниях на
частоте первого резонанса:
а) известное значение декремента колебаний δ1 на первой собственной форме;
б) равенство энергий, рассеиваемых демпферами на этой форме.
Энергия W1 и W2 , рассеиваемая демпферами вязкого трения k1 и k2 за период
2π
колебаний T =
, определяется следующими выражениями:
ω
2π
W1 =
ω
∫ k ( 2u )
1
2
dt ,
0
2π
ω
2π
ω
2
⎛ u ⎞
∫0
∫0 ⎜⎝ 2r + ϕ ⎟⎠ dt.
Поскольку при установившихся вынужденных колебаниях
u (t ) = u cos(ωt + α ),
ϕ (t ) = ϕ cos(ωt + α ),
то
W1 = 4πωu 2 k1 ,
W2 =
k2 (ψ E + ϕ ) dt = k2
2
(6.4)
(6.5)
⎡⎛ u ⎞ 2 u
⎤
(6.6)
πωu 2 ⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞
2
+ 2 ⎟ k2 .
W2 = πω ⎢⎜ ⎟ + ϕ + ϕ ⎥ k2 = 2 ⎜ +
r ⎝4 u
u ⎠
⎣⎢⎝ 2r ⎠ r
⎦⎥
Получить выражения для цикловых потерь энергии в демпферах можно и подругому. Этот второй - матричный способ предпочтителен при большом числе
обобщенных координат и лучше поддается алгоритмизации при применении вычислительной техники. Содержание приема заключается в следующем. Вся энергия W = W1 + W2 , рассеиваемая в механической системе за период колебаний, может быть получена интегрированием по времени диссипативной функции Рэлея,
равной половине мощности рассеяния:
T
W = ∫ 2 R (t )dt.
0
43
(6.7)
Диссипативная функция Рэлея, в свою очередь, может быть получена как результат матричной операции:
T
⎧ u (t ) ⎫⎤
1 ⎡ ⎧ u (t ) ⎫
(6.8)
R (t ) = ⎢ ⎨
⎬ [K ]⎨
⎬⎥ .
(t ) ⎭⎥
ϕ
2 ⎢ ⎩ϕ (t ) ⎭
⎩
⎣
⎦
Для гармонических законов (6.5) изменения во времени обобщенных координат диссипативная функция Рэлея принимает вид
T
⎧ u ⎫⎤
1 2 ⎡⎧u ⎫
R (t ) = ω ⎢ ⎨ ⎬ [ K ] ⎨ ⎬⎥ sin 2 (ωt + α ).
(6.9)
ϕ
2 ⎢ ⎩ϕ ⎭
⎩ ⎭⎥⎦
⎣
Выполнив в (6.9) операции матричного перемножения, получим:
1 ⎡⎛
1 k2 ⎞ 2
⎤
R(t ) = ω 2 ⎢⎜ 4k1 +
u + k2ϕ u + k2ϕ 2 ⎥ sin 2 (ωt + α ) .
(6.10)
2 ⎟
2 ⎣⎝
4r ⎠
⎦
Теперь остается лишь подставить (6.10) в (6.7) и сгруппировать слагаемые, содержащие k1 и k2 ,
πωu 2 ⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞
2
+ 2 ⎟ k2 = W1 + W2 .
(6.11)
W = 4πωu k1 + 2 ⎜ +
r ⎝4 u
u ⎠
В соответствии с условием задачи W1 = W2 . Отсюда k1 выражается через k2
следующим образом:
⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞ k2
+ 2 ⎟ 2.
(6.12)
k1 = ⎜ +
u ⎠r
⎝4 u
При таком соотношении коэффициентов сопротивления вязких демпферов
рассеиваемая энергия составит:
⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞ k2 πωu 2 ⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞
+ 2 ⎟ 2+ 2 ⎜ +
+ 2 ⎟ k2 =
W = 4πωu 2 ⎜ +
4
4
u
u
r
r
u
u ⎠
⎝
⎠
⎝
(6.13)
πωu 2 ⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞
=5 2 ⎜ +
+ 2 ⎟ k2 .
r ⎝4 u
u ⎠
Чтобы получить абсолютные значения коэффициентов сопротивления k1 и k2 ,
используем приближенное соотношение между логарифмическим декрементом
колебаний δ и коэффициентом рассеяния ψ:
δ≅
ψ
.
2
Коэффициент рассеяния ψ по определению равен следующему отношению:
W
ψ= ,
(6.14)
Э
где W – энергия, рассеиваемая в механической системе за период колебаний; Э –
полная энергия механической системы.
Считая потери энергии за период колебаний малыми, для определения полной
энергии Э воспользуемся соотношением
Э = max T (t ) = max П (t ).
(6.15)
44
Если в качестве обобщенных координат qi приняты такие, для которых диагональной будет матрица инерции, для вычисления Э удобнее пользоваться формой:
Э = max T (t ).
Матрица инерции диагональная в том случае, когда в качестве обобщенных
координат приняты абсолютные перемещения сосредоточенных масс. Если же в
качестве qi приняты координаты, для которых диагональной будет квазиупругая
матрица, удобнее использовать форму:
Э = max П (t ).
В рассматриваемом случае для переменной составляющей потенциальной
энергии имеем:
T
⎧u ⎫
1 ⎧u ⎫
r 2ϕ 2 ⎞
2
2 2
2⎛
Э = max П (t ) = ⎨ ⎬ [C ] ⎨ ⎬ = 1,875Cu + Cr ϕ = Cu ⎜1,857 + 2 ⎟ .
(6.16)
ϕ
2 ⎩ϕ ⎭
u
⎩ ⎭
⎝
⎠
Принимая во внимание (6.16) и (6.13), получаем выражение для декремента
колебаний:
πωu 2 ⎛ 1 rϕ r 2ϕ 2 ⎞
5 2 ⎜ +
+ 2 ⎟
r ⎝4 u
u ⎠
1
δ≅
k2 .
(6.17)
2 2
2
⎛
rϕ ⎞
C ⎜1,857 + 2 ⎟
u ⎠
⎝
Таким образом, декремент колебаний линейной системы определяется только
rϕ
и не зависит от амплитуды.
формой колебаний
u
На основании (6.17) и (6.12) получаем расчетные соотношения, позволяющие
по известным декременту, форме и частоте колебаний определить коэффициенты
сопротивления демпферов k1 и k2 :
r 2ϕ 2 ⎞ C
−2 ⎛
k1 = 7,96 ⋅ 10 ⋅ ⎜1,875 + 2 ⎟ ⋅ ⋅ δ ,
u ⎠ ω
⎝
r 2ϕ 2
1,875 + 2
Cr 2
u
⋅
⋅δ .
k2 = 1,272 ⋅
rϕ
r 2ϕ 2 ω
1+ 4 + 4 2
u
u
Подставляя в (6.18) первую собственную форму
u21 ϕ1r
=
= 2,372 ,
u11 u1
и первую собственную частоту
ω=p1=0,5507ρ,
а в качестве декремента – заданное значение
δ=0,025,
для случая «слабого» демпфирования получаем:
k1 = 0, 0271m ρ ,
k2 = 0, 0131mr 2 ρ .
45
(6.18)
(6.19)
При таких значениях коэффициентов вязких демпферов элементы матрицы
демпфирования в обобщенных и в главных координатах будут иметь вид
⎛ 0,1117 0, 0066 ⎞
⎛ 0, 2168 0, 0974 ⎞ 2
ρ
=
m
,
B
[K ] = ⎜
[
]
(6.20)
⎟
⎜
⎟ mr ρ .
0,
0066
0,
0131
0,
0974
0.1095
⎝
⎠
⎝
⎠
Декремент колебаний на второй собственной форме может быть рассчитан в
соответствии с выражением (6.17), если в него подставить найденные величины k1
и k2 , а также вторую собственную частоту и вторую собственную форму:
u22 ϕ 2 r
=
= −0, 791.
ω=p2=1,141ρ,
u12
u2
Декремент колебаний на второй собственной форме в случае «слабого» демпфирования получается равным δ2=0,0785. Значение δ2 оказалось выше, чем значение δ1=0,025. Если бы трение в рассматриваемой механической системе удовлетворяло определению внешнего вязкого, то отношение декрементов колебаний
δ 2 δ1 оказалось бы равным отношению частот p1 p2 . В рассматриваемой механической системе трение непропорциональное и декремент увеличивается даже в
большее число раз δ 2 δ1 = 3,14 , чем увеличивается частота p2 p1 = 2,07 .
Для увеличенных в двадцать раз значений коэффициентов сопротивления вязких демпферов
k1 = 0, 5419m ρ ,
k2 = 0, 2628mr 2 ρ ,
(6.21)
(то есть для случая, названного в условии задачи «сильным» демпфированием)
элементы матриц демпфирования в обобщенных и в главных координатах приобретают следующие значения:
⎛ 2, 233 0,1314 ⎞
⎛ 4, 335 1, 948 ⎞ 2
[K ] = ⎜
[ B] = ⎜
(6.22)
⎟ mρ ,
⎟ mr ρ .
0,1314
0,
2628
1,
948
2.190
⎝
⎠
⎝
⎠
Заметим, что значения недиагональных элементов матрицы [ B ] демпфирования (6.20) и (6.22) соизмеримы со значениями диагональных элементов, что свидетельствует о существенной непропорциональности демпфирования. При условии, что демпфирование окажется велико, диссипативная связанность может стать
причиной связанности главных колебаний, пренебрежение которой при расчете
коэффициентов вязких демпферов может привести к качественно неверной идентификации диссипативных характеристик механической системы, вплоть до отрицательных значений коэффициентов k1 и k2 .
3. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях
методом комплексных амплитуд
Заменим систему дифференциальных уравнений вынужденных колебаний
(6.2), решением которых являются гармонические функции времени (6.5), на систему уравнений
[ A] q + [ K ] q + [C ]{q} = Q (t ) ,
(6.23)
{}
{
{}
46
}
в которых и обобщенным вынуждающим силам Q(t)=Qcos(ωt) и обобщенным координатам {q(t)}={q}cos(ωt+α) поставлены в соответствие функции времени, использующие комплексную форму представления:
{Q (t )} = {Q } e
,
{q (t )} = {q} eiωt ,
(6.24)
q1 = q1ei⋅α = uei⋅α ,
q2 = q2ei⋅β = ϕ ei⋅β
(6.25)
iωt
где
комплексные амплитуды обобщенных координат, α и β – их фазы.
Известно, что вещественная часть решения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний (6.23) совпадает с решением системы уравнений (6.2).
Система дифференциальных уравнений (6.23) после подстановки в них выражений (6.24) сводится к системе неоднородных алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд установившихся вынужденных колебаний:
[ A]ω 2 + i [ K ]ω + [C ] {q} = Q .
(6.26)
(
)
{ }
Решение этой системы имеет вид
{q} = ([ A]ω 2 + i [ K ]ω + [C ])
−1
{Q }
(6.27)
и является функцией частоты вынуждающей силы. Обсуждаемые далее результаты получены на основании вычислений, выполненных с использованием пакета
MathCAD.
На рис. 6.1, 6.2, 6.3 показаны три эквивалентных друг другу варианта графического представления результатов решения системы (6.26) при изменении частоты вынуждающей силы в диапазоне
0 ≤ ω ≤ 1,3 p2 .
На рис. 6.1 показан вариант представления решения уравнений вынужденных
колебаний в форме амплитудно-частотных (АЧХ, рис. 6.1, а) и фазо-частотных
(ФЧХ, рис. 6.1, б) характеристик по первой (u) и второй (φ) обобщенным координатам. Частотная зависимость модуля комплексной амплитуды перемещений (а
значит и деформаций, и напряжений) удобна для локализации частотных диапазонов, которые могут представлять опасность для прочности и жесткости конструкции. Этой формой целесообразно пользоваться также при решении задач отстройки от резонанса или подавления резонансов с помощью виброизоляции и
дополнительных демпферов. Сравним АЧХ для случая «слабого» демпфирования
в системе (графики, показанные прерывистой линией) с АЧХ для случая «сильного» демпфирования (графики, показанные основной линией). При увеличении
демпфирования в системе происходит сглаживание резонансных пиков. Резонансные амплитуды снижаются. Как видно из графиков рис. 6.1, а при увеличении
декрементов колебаний в двадцать раз уменьшение амплитуд колебаний оказывается несколько меньшим, но соизмеримым. Изменение фазового угла между
обобщенными координатами и вынуждающей силой (рис. 6.1, б), которое в консервативных системах происходит на собственных частотах скачкообразно, для
демпфированных систем становится плавным, причем, чем выше демпфирование,
тем скорость изменения фазы при изменении частоты вынуждающей силы оказы47
вается меньше. Отметим также, что в случае «слабого» демпфирования можно
наблюдать режим вынужденных колебаний, при котором амплитуда точки приложения вынуждающей силы (обобщенной координаты u) оказывается близкой к
нулю. Частота вынуждающей силы при таком режиме лежит между резонансными частотами и называется «антирезонансной».
а)
б)
в)
г)
Рис. 6.1. Решение задачи вынужденных колебаний демпфированной системы с двумя степенями
свободы (штриховая линия – «слабое» демпфирование, сплошная линия – «сильное» демпфирование):
а) – зависимость модуля комплексной амплитуды первой обобщенной координаты q1=u (в параметре P/C) от частоты вынуждающей силы ω (в параметре ρ);
б) - зависимость модуля комплексной амплитуды второй обобщенной координаты q2=φ (в параметре P/(Cr)) от частоты вынуждающей силы ω (в параметре ρ);
в), г) - фазы комплексных амплитуд обобщенных координат q1=u и q2=φ в зависимости от частоты вынуждающей силы ω (частота приведена в параметре ρ) при «слабом» и «сильном»
демпфировании
Другой способ графического представления результатов расчета вынужденных колебаний механической системы с двумя степенями свободы показан на
рис. 6.2, где приведены зависимости от частоты колебаний действительной и
мнимой составляющих комплексных амплитуд обобщенных координат (в литературе для этих графиков также используются термины синфазная и квадратурная
составляющие отклика системы). Деление амплитуд вынужденных колебаний на
48
две ортогональные компоненты может представлять интерес с позиции сопоставления их с силами, действующими в механической системе. Диссипативные силы
вязкого трения находятся в фазе (или противофазе) со скоростями обобщенных
координат, инерционные и упругие силы в фазе (или противофазе) с амплитудами
перемещений. При возбуждении механической системы гармонической вынуждающей силой закон изменения во времени обобщенных координат оказывается
также гармоническим, поэтому комплексные амплитуды обобщенных координат
и обобщенных скоростей сдвинуты по фазе на угол, равный π/2. Если демпфирование в механической системе пропорциональное (или достаточно мало), то на
установившемся режиме резонансных вынужденных колебаний амплитуды
обобщенных координат сдвинуты относительно амплитуды вынуждающей силы
на угол, равный π/2. Из графиков 6.2, а для случая «слабого» демпфирования видно, что резонансным режимам вынужденных колебаний соответствуют максимальные значения мнимых составляющих амплитуд обобщенных координат и нулевые значения вещественных. Установившееся значение мнимой составляющей
амплитуды перемещений соответствует балансу вынуждающей силы и сил вязкого трения. Нуль вещественной составляющей комплексной амплитуды обобщенной координаты на резонансном режиме означает, что инерционные силы уравновешиваются упругими силами. Как видно из графиков рис. 6.2, б для случая
«сильного» демпфирования, при появлении диссипативной связанности главных
колебаний на режимах максимальных амплитуд обобщенных координат инерционные и упругие силы уже не являются самоуравновешенными, а фаза перемещения точки приложения силы оказывается отличной от π/2. Таким образом, графики действительной и мнимой частей отклика системы позволяют судить о том, как
при изменении частоты вынуждающей силы изменяются условия для совершения
вынуждающей силой работы на перемещениях точки ее приложения или, другими
словами, как изменяются условия преобразования энергии источника вибровозбуждения в энергию колебаний механической системы. Отметим также, что этот
вариант представления вынужденных колебаний механической системы используется при решении задачи идентификации параметров системы по результатам
эксперимента [4].
49
а)
б)
б)
г)
Рис. 6.2. Вещественная (синфазная) и мнимая (квадратурная) составляющие комплексных амплитуд вынужденных колебаний при изменении частоты вынуждающей силы ω (частота приведена в параметре ρ) при «слабом» и «сильном» демпфировании: отклик по первой обобщенной координате q1=u (в параметре P/C) при «слабом» демпфировании показан на графиках а),
при «сильном» демпфировании - на графиках б); отклик по второй обобщенной координате
q2=φ (в параметре P/(Cr)) при «слабом» демпфировании приведен на графиках в), при «сильном» демпфировании - на графиках г). Вещественная составляющая показана штриховой линией, мнимая составляющая – сплошной
Наибольшей наглядностью отличается представление результатов расчета в
виде диаграммы Найквиста: амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис.
6.3 а, б). Эта диаграмма, вообще говоря, трехмерна и представляет собой пространственную спираль. Ее третья ось – частота ω вынуждающей силы – расположена перпендикулярно плоскости чертежа, а на рис. 6.3 а, б мы видим проекции
спиралей на плоскость, осями которой служат действительная и мнимая части отклика системы.
50
а)
б)
Рис. 6.3. Круговые диаграммы (диаграммы Найквиста) для случая «слабого» (а) и «сильного» демпфирования (б).
–
–
–
–
первая обобщенная координата,
вторая обощенная координата,
амплитуда первой обобщенной координаты на первом резонансе,
амплитуда второй обобщенной координаты на первом резонансе
51
Из диаграмм для случая «слабого» демпфирования видно, что петлевая фигура, которую описывает изображающая точка на комплексной плоскости, близка к
окружности, проходящей через начало координат. Резонансу соответствует точка
круговой диаграммы, диаметрально противоположная точке начала координат.
Амплитуда вынужденных колебаний на резонансе равна диаметру петлевой фигуры. Круговая диаграмма Найквиста в наглядной и компактной форме несет в
себе всю информацию об амплитудах, фазах, действительной и мнимой составляющих отклика системы, сосредоточенную в 8 кривых рис. 6.1 и 6.2. Свойство
диаграммы Найквиста оставаться в резонансных зонах очень близкой к дуге окружности сохраняется даже при очень высоком уровне демпфирования (всего в
2…3 раза меньшем критического значения) и для механических систем с близкими частотами. Для этих случаев привычные формы АЧХ (см. рис. 6.1), синфазной
и квадратурной составляющих отклика системы (см. рис. 6.2) претерпевают значительные искажения, которые могут затруднить не только решение задачи об
идентификации динамических характеристик механической системы, но делают
неочевидным даже момент наступления резонанса. Поэтому диаграммы Найквиста успешно используется при экспериментальном определении собственных
частот, форм и декрементов колебаний механических систем.
Проанализируем резонансные режимы колебаний рассматриваемой механической системы и сравним формы вынужденных колебаний с собственными формами. Для этого рассчитаем резонансные частоты в соответствии со следующим
расчетным соотношением:
ωk * = pk 2 − ηk 2 ,
(6.28)
k = 1,2.
Поскольку коэффициенты демпфирования ηk , входящие в (6.28), связаны с логарифмическими декрементами соотношением:
2π
δ k = ηk 2 ,
k = 1,2;
(6.29)
ωk
получаем возможность рассчитать резонансные частоты по известным собственным частотам с учетом логарифмических декрементов колебаний:
pk
ωk * =
,
(6.30)
k = 1,2.
2
⎛δ ⎞
1+ ⎜ k ⎟
⎝ 2π ⎠
Разрешая (6.28) и (6.29) относительно коэффициентов демпфирования ηk, получаем возможность рассчитывать их по известным значениям логарифмических
декрементов для соответствующих резонансов:
pk
(6.31)
k = 1, 2.
ηk =
,
2
⎛ 2π ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ δk ⎠
Резонансные частоты и коэффициенты демпфирования ηk, рассчитанные в соответствии с выражениями (6.30) и (6.31), приведены в табл. 1.
52
Таблица 1
Вариант демпфирования
Логарифмические декременты δk
Коэффициенты рассеяния
ηk
«Слабое» демпфирование:
k1 = 0,0271mρ , k2 = 0,0131mr 2 ρ
δ1 = 0, 025
δ 2 = 0, 0785
η1 = 0, 00219 ρ
η2 = 0, 0142 ρ
ω1∗ = 0,5507 ρ
«Сильное» демпфирование:
k1 = 0,5419mρ , k2 = 0,2628mr 2 ρ
δ1 = 0,500
δ 2 = 1,570
η1 = 0, 0437 ρ
η2 = 0, 276 ρ
ω1∗ = 0,5490 ρ
Резонансные
частоты ωk*
ω 2∗ = 1,141ρ
ω 2∗ = 1,107 ρ
Амплитуды резонансных колебаний приведены в табл. 2.
Вариант
демпфирования
Консервативная система
«Слабое»
демпфирование:
k1 = 0, 0271mρ ,
k2 = 0, 0131mr 2 ρ
«Сильное»
демпфирование:
k1 = 0,5419mρ ,
k2 = 0, 2628mr 2 ρ
Амплитуды обобщенных координат
Первый резонанс
Второй резонанс
u1 → ∞
ϕ1 → ∞
u2 → ∞
ϕ 2 → ∞
PA
C
D
P
ϕ1 = 19,9ei ( −90,6 ) A
Cr
D
u1 = 8,37ei ( −89,3 )
PA
C
D
P
ϕ1 = 0,969ei ( −102,9 ) A
Cr
D
u1 = 0, 448ei ( −78,2 )
Таблица 2
Форма колебаний
(отношение модулей
комплексных амплитуд)
Первый
Второй
резонанс резонанс
ϕ1
u1
D
u2 = 8,002ei ( −89,6 )
PA
C
P
ϕ2 = 6,33ei (90,4 ) A
Cr
D
PA
C
D
P
ϕ2 = 0,331ei (98,3 ) A
Cr
ϕ1
u1
= 2,372
= 2,371
ϕ2
u2
ϕ 2
u2
= −0, 790
= 0, 791
D
u2 = 0, 409ei ( −83,1 )
ϕ1
u1
= 2,163
ϕ 2
u2
= 0,810
Результаты расчета амплитуд резонансных колебаний позволяют сделать следующие выводы. При «слабом» демпфировании на частоте первого резонанса
обобщенные координаты изменяются во времени практически синфазно, а на частоте второго резонанса – противофазно. Отношение же модулей комплексных амплитуд можно считать совпадающим с собственной формой. Это обстоятельство
соответствует гипотезе Видлера о совпадении на резонансе формы вынужденных
колебаний с соответствующей собственной формой.
При «сильном» демпфировании синфазность обобщенных координат на резонансных частотах нарушается, а форма вынужденных колебаний искажена относительно собственной формы консервативной системы.
53
4. Решение задачи о резонансных колебаниях методом
разложения по собственным формам
Рассмотрим механическую систему, совершающую установившиеся вынужденные колебания под действием гармонической вынуждающей силы. Воспользуемся дифференциальными уравнениями движения в главных координатах (6.3). В
силу ортогональности собственных форм матрицы инерции [ M ] и квазиупругая
[ 2П ] в главных координатах диагональные. Таким образом, связанность дифференциальных уравнений движения (6.3) в главных координатах обусловлена только недиагональностью матрицы демпфирования [B].
Примем допущение о том, что диссипативной связанностью дифференциальных уравнений движения в главных координатах можно пренебречь. Тогда в каждое уравнение движения войдет только одна главная координата:
Q
(t )
k = 1, 2.
ϑk +2ηkϑk +pk 2ϑk = k ,
(6.32)
Mk
Коэффициенты демпфирования ηk могут быть заданы либо так, как это было
сделано в пункте 3 настоящего примера (а именно, по декрементам колебаний в
соответствии с расчетным соотношением (6.31)), либо используя диагональные
элементы матрицы демпфирования [B] в главных координатах:
b
k = 1, 2.
ηk = kk ,
(6.33)
2M k
Расчетные соотношения (6.31) и (6.33) для определения коэффициентов демпфирования ηk тождественны. Оба способа вычисления основываются на одном
упрощающем предположении о совпадении формы резонансных колебаний с соответствующей собственной формой (гипотеза Видлера).
Представим обобщенную вынуждающую силу в комплексной форме:
Qk (t ) = Qk eiωt ,
Qk = Qk ei⋅0 ,
k = 1,2,
и заменим систему уравнений (6.32) на систему уравнений относительно комплексных значений главных координат:
Qk iωt
2 ϑk + 2ηkϑk + pk ϑk =
(6.34)
e ,
k = 1,2.
Mk
Решением уравнений (6.34) будут функции вида
ϑk (t )=ϑk eiωt ,
k = 1,2
где
Q
1
ϑk = k
,
k = 1,2.
2
2
M k pk − ω + i ⋅ 2η kω
Чтобы получить амплитуды обобщенных координат, следует выполнить дополнительное линейное преобразование
{q} = [U ] ϑ .
{}
54
Результаты вычислений амплитуд главных и исходных обобщенных координат на частоте первого резонанса, выполненных методом разложения по собственным формам, приведены в табл. 4.
Таблица 4
Вариант демпфирования
«Слабое»
демпфировние:
k1 = 0, 0271mρ ,
k2 = 0, 0131mr 2 ρ
«Сильное»
демпфирование:
k1 = 0,5419mρ ,
k2 = 0, 2628mr 2 ρ
Амплитуды главных координат на
частоте первого резонанса
Амплитуды исходных обобщенных
координат на частоте первого резонанса
PA
Cr
D
P
ϑ2 = 0,261ei⋅( −0,900 ) A
Cr
D
P
ϑ1 = 0,421ei⋅( −87,7 ) A
Cr
D
P
ϑ2 = 0,249ei⋅( −16,9 ) A
Cr
PA
C
D
P
ϕ1МГК = 19,8ei⋅( −90,5 ) A
Cr
D P
u1МГК = 0,555ei⋅( −62,7 ) A
C
D
P
ϕ1МГК = 0,953ei⋅( −98,9 ) A
Cr
ϑ1 = 8,37ei⋅( −89,9 )
D
D
u1МГК = 8,38ei⋅( −88,1 )
Ненулевое значение амплитуды второй главной координаты на частоте первого резонанса означает, что форма установившихся резонансных колебаний рассматриваемой диссипативной системы, вообще говоря, отлична от первой собственной формы, хотя и очень близка к ней. При увеличении демпфирования в 20
раз амплитуда резонирующей первой формы уменьшается примерно в 20 раз. АмP
плитуда второй (нерезонансной) формы практически не меняется ( ϑ2 = 0,261 A в
Cr
P
случае «слабого» демпфирования и ϑ2 = 0,249 A для «сильного» демпфироваCr
ния). В результате амплитуды обеих собственных форм становятся почти одинаковыми, а их суперпозиция совершенно не похожа на резонирующую форму.
5. Сравнение амплитуд вынужденных колебаний, найденных
двумя методами
Используя результаты вычислений, полученные в п.3 и п.4, оценим погрешность вычисления резонансных амплитуд, обусловленную пренебрежением в методе главных координат диссипативной связанностью главных колебаний. Погрешности определения модулей и фаз комплексных амплитуд вынужденных колебаний на первом резонансе приведены в табл. 5.
55
Таблица 5
Вариант демпфирования
«Слабое»
демпфирование:
k1 = 0, 0271mρ ,
k2 = 0, 0131mr 2 ρ
«Сильное»
демпфирование:
k1 = 0,5419mρ ,
k2 = 0, 2628mr 2 ρ
Погрешности определения модуля
комплексной амплитуды
МГК
u1 − u1
ϕ1 − ϕ1МГК
, ξϕ =
ξu =
u1
ϕ1
8,37 − 8,38
= −0, 086%
8,37
19,9 − 19,9
= 0, 005%
ξϕ =
19,9
ξu =
0, 448 − 0,555
= −23,9%
0, 448
0,969 − 0,953
ξϕ =
= 1, 69%
0,969
ξu =
Погрешности определения фазы
комплексной амплитуды
∆α = α − α МГК ,
∆ β = β − β МГК (град)
∆α = −89,3D − (−88,1D ) = −1, 2D ,
∆ β = −90, 6D − (−90,5D ) = −0,17D
∆α = −78, 2D − (−62, 6D ) = −15,5D ,
∆ β = −102,9D − (−98,9D ) = −3,90D
Комплексные амплитуды колебаний обобщенных координат u и ϕ на частоте
первого резонанса, рассчитанные непосредственным интегрированием уравнений
МГК
МГК
движения и методом главных координат ( u
и ϕ
), приведены на рис. 6.4.
Для рассмотренной механической системы пренебрежение диссипативной связанностью главных колебаний приводит к ошибке вычисления резонансных значений амплитуд обобщенных координат, не превышающей точность выполнения
инженерных расчетов (<5%) для уровня демпфирования, названного в задаче
«слабым». Для уровня демпфирования, обозначенного как «сильное», и приближающегося к критическому, ошибка возрастает до 24%. Однако, следует иметь в
виду, что расчетное определение количественных характеристик демпфирования
с высокой точностью практически невозможно. В реальных конструкциях погрешность экспериментального определения сил трения может достигать десятков
процентов. В этих условиях учет непропорциональности демпфирования может
привести лишь к кажущемуся повышению точности получаемого результата. Поэтому, в подавляющем большинстве случаев предположение о пропорциональности трения в системе и применение метода главных координат при расчете амплитуд резонансных колебаний оправдано и приводит к вполне приемлемым результатам.
56
Случай "слабого" демпфирования
Случай "слабого" демпфирования
0.2
Im(ϕ )
0.1
Im(u )
0.05
0.1
Re(ϕ )
Re(u )
0.1
0
0.1
0.1
0.05
0.1
0.05
0.2
0.1
а)
Случай "сильного" демпфирования
Случай "сильного" демпфирования
0.05
Im(u )
Im(ϕ )
Re(ϕ )
Re(u )
0
0.1
- точное решение
- метод главных координат
б)
- точное решение
- метод главных координат
0.05
0.05
Вторая обобщенная координата
Первая обобщенная координата
0.05
0
0.05
0.05
0.05
0
0.05
0.05
Первая обобщенная координата
Вторая обобщенная координата
- точное решение
- метод главных координат
- точное решение
- метод главных координат
в)
г)
Рис. 6.4. Сопоставление комплексных амплитуд обобщенных координат на первом резонансе
для случаев «слабого» (а, б) и «сильного» (в, г) демпфирования, полученных методом комплексных амплитуд (точный метод) и методом главных координат:
Equation Section 7
57
Задача №7. АНТИРЕЗОНАНС
Условие задачи и варианты исходных данных
Неконсервативная система (использовать расчетные схемы задачи №5) совершает вынужденные колебания под действием вынуждающих сил PА(t)=PАcosωt
или PВ(t)=PВcosωt, приложенных соответственно в точках A и B по касательной к
траектории движения соответствующей точки.
В задаче требуется ответить на следующие вопросы.
1. Определить антирезонансные частоты колебаний механической системы при
двух вариантах возбуждения:
1.1) сила PА(t)=PАcosωt прикладывается в точке А,
1.2) сила PВ(t)=PВcosωt прикладывается в точке В.
2. Ввести в колебательную систему антивибратор, обеспечивающий неподвижность точки В при возбуждении системы силой PА(t)=PАcos ωt, совпадающей
по частоте с первой собственной частотой p1 исходной системы:
2.1) определить амплитуду колебаний точки А после присоединения антивибратора,
2.2) определить параметры антивибратора, при которых амплитуда его колебаний не превышает амплитуду колебаний точки А.
Пример решения задачи №7
Решение задачи №7 проиллюстрируем на примере механической системы,
рассмотренной в задаче №5 настоящего пособия.
1. Определение антирезонансных частот
Антирезонансной частотой механической системы будем называть частоту
вынуждающего воздействия, при которой точка приложения вынуждающей силы
остается неподвижной. Антирезонансные частоты существуют только в недиссипативных механических системах.
A
PA(t)
u
ψ ϕ
PB(t)
Рис. 7.1. Расчетная схема исходной механической системы
58
1.1. Определение антирезонансных частот решением задачи
вынужденных колебаний недиссипативной системы
Для решения задачи о вынужденных колебаниях механической системы без
демпфирования воспользуемся методом главных координат.
Дифференциальные уравнения свободных колебаний и динамические характеристики исследуемой механической системы получены при решении задачи №5:
⎧ 5,25mu + 3mrϕ + 3,75Cu = 0
(7.1)
⎨
2
2
⎩3mru + 5,33mr ϕ + 2Cr ϕ = 0.
Системе дифференциальных уравнений свободных колебаний (7.1) соответствуют следующие собственные частоты и собственные формы:
p1 = 0,550 ρ ;
p2 = 1,14 ρ .
1r ⎞
⎛ 1r
U =⎜
⎟.
2,37
−
0,789
⎝
⎠
Обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам
u и ϕ , для возбуждения механической системы силой PA(t) были получены при
решении задачи №6 на основании анализа виртуальной работы:
δ AA
δ AA
δ AA = PA (t ) ⋅ 2δ u ,
Q A1 (t ) =
= 2 PA (t ), Q A2 (t ) =
= 0.
δu
δϕ
Для второго варианта возбуждения (когда вынуждающая сила PB(t) прикладывается в точке В) поступаем таким же образом. Для вычисления виртуальной работы силы PB (t ) на виртуальном перемещении точки ее приложения
G
G
δ AB = PB (t )δ rB ,
G
выразим виртуальное перемещение δ rB точки В через обобщенные координаты u и ϕ .
Перемещение любой точки рассматриваемой механической системы может
быть выражено через перемещения по обобщенным координатам. Ограничимся
случаем малых отклонений механической системы. Тогда перемещение точки В
можно считать горизонтальным:
3
⎛ u ⎞
xB = u + rψ + 4rϕ = u + r ⎜ ⎟ + 4rϕ = u + 4rϕ .
2
⎝ 2r ⎠
Или в матричном виде
xB = {Γ ( B ) } {q} ,
T
(7.2)
⎧3⎫
⎧u ⎫
⎪ ⎪
где {Γ } = ⎨ 2 ⎬ , {q} = ⎨ ⎬ .
⎩ϕ ⎭
⎪⎩4r ⎪⎭
Для случая возбуждения механической системы сосредоточенной силой в точке В получаем:
3
δA 3
δ AB
δ AB = PB (t ) ⋅ δ u + PB (t ) ⋅ 4r ⋅ ϕ ,
Q B1 (t ) = B = PB (t ), Q B 2 (t ) =
= 4rPB (t ).
δu 2
δϕ
2
(B)
59
При переходе к главным координатам (см. задачу №5):
1
⎛
⎞
0,250
0,316 ⎟
⎜
⎧u ⎫
r
{ϑ} = U −1 {q} = ⎜
⎟⎨ ⎬,
(7.3)
1
ϕ
⎩
⎭
⎜ 0,750
−0,316 ⎟⎟
⎜
r
⎝
⎠
система дифференциальных уравнений свободных колебаний принимает вид
⎧49,5mr 2ϑ1 + 15Cr 2ϑ1 = 0
(7.4)
⎨
2 2
+
=
3,84
mr
5
Cr
0.
ϑ
ϑ
2
2
⎩
Обобщенные силы, соответствующие главным координатам, получим линейным преобразованием. В случае возбуждения механической системы в точке А:
⎧2 ⎫
Q A (t ) = U T {Q A (t )} = ⎨ ⎬ rPA cos(ωt ).
(7.5)
2
⎩ ⎭
Аналогично для случая возбуждения механической системы в точке В:
⎧ 10,98 ⎫
⎧ 10,98 ⎫
Q B (t ) = U T {Q B (t )} = ⎨
(7.6)
⎬ rPB (t ) = ⎨
⎬ rPB cos(ωt ).
⎩−1,656 ⎭
⎩−1,656 ⎭
Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях по методу
главных координат сводится к интегрированию несвязанных дифференциальных
уравнений движения:
Q
(t )
ϑk + pk2ϑk = k ,
k=1,2.
(7.7)
Mk
При гармоническом законе изменения во времени вынуждающей силы уравнения (7.7) имеют стационарное решение:
Qk (t )
1
,
ϑk (t ) =
k=1,2,
(7.8)
M k pk 2 − ω 2
а главные координаты так же, как и вынуждающие силы, изменяются гармонически
ϑk (t ) = ϑk cos(ωt ),
k=1,2.
(7.9)
Как следует из выражения (7.9), при вынужденных колебаниях (в отличие от
случая свободных колебаний) обе главные координаты изменяются во времени с
частотой вынуждающей силы. Амплитуды главных координат могут быть представлены в виде произведения статической составляющей перемещения на коэффициент динамичности, зависящий от соотношения между частотой вынуждающей силы и соответствующей собственной частотой
ϑk = ϑkст µk (ω ),
k=1,2.
(7.10)
Здесь
1
Q
k
ϑkст =
,
µk (ω ) =
k=1,2.
2
ω2
M k pk
(7.11)
1− 2
pk
{
{
}
}
60
Матрица обобщенных масс
⎛ 49,5 0,00 ⎞ 2
⎟ mr
⎝ 0,00 3,84 ⎠
[ M ] = U T [ A]U = ⎜
была получена в задаче №5.
После определения законов изменения во времени главных координат могут
быть получены и законы изменения во времени исходных обобщенных координат
q1=u и q2=φ:
{q(t )} = U {ϑ (t )} .
Законы изменения во времени исходных обобщенных координат q1=u и q2=φ
гармонические, синфазные:
qi (t ) = qi cos(ωt ) ,
i=1,2.
Для перемещений w j (t ) произвольной j -й точки механической системы получаем
w j (t ) = {Γ ( j ) }{q (t )} = {Γ ( j ) }U {ϑ (t )} = {Γ ( j ) }U {ϑ ст µ (ω )} cos(ωt ) .
(7.12)
Амплитуда колебаний произвольной j-й точки механической системы с двумя
степенями свободы
Q
Q
1
2
µ (ω ) + ⎡⎣Γ ( j )1u12 + Γ ( j ) 2u22 ⎤⎦
µ2 (ω ) . (7.13)
w j = ⎡⎣Γ ( j )1u11 + Γ ( j ) 2u21 ⎤⎦
2 1
M1 p1
M 2 p2 2
Выражение (7.13) позволяет представить амплитуду колебаний произвольной
точки механической системы в виде двух слагаемых, показывающих вклад в движение этой точки каждой из двух собственных форм. При фиксированной точке
приложения вынуждающей силы соотношение между этими двумя слагаемыми
изменяется только в результате изменения динамических коэффициентов µ1 (ω ) и
µ2 (ω ) .
Если соотношение между динамическими коэффициентами
окажется равным
Q1
⎡⎣Γ ( j )1u11 + Γ ( j ) 2u21 ⎤⎦
µ2 (ω )
M1 p12
,
(7.14)
=−
µ1 (ω )
Q2
( j)
( j)
⎡⎣Γ 1u12 + Γ 2u22 ⎤⎦
M 2 p2 2
то амплитуда колебаний j -й точки будет равна нулю. Частота ω вынуждающей
силы, приложенной в j -й точке, удовлетворяющая условию (7.14), является антирезонансной
ω = Ω( j ) .
При возбуждении механической системы в точке А соотношение (7.14) оказывается равно:
Q1A
2rPA
( A)
( A)
⎡⎣Γ 1 ⋅ u11 + Γ 2 ⋅ u21 ⎤⎦ ⋅
2 ⋅ u11 + 0 ⋅ u21 ] ⋅
[
2
2
M1 p1
49,4mr ⋅ (0,550 ρ ) 2
−
=−
= −0.333 .
2rPA
Q 2A
( A)
( A)
[ 2 ⋅ u12 + 0 ⋅ u22 ] ⋅
⎡⎣Γ 1 ⋅ u12 + Γ 2 ⋅ u22 ⎤⎦ ⋅
2
3,83mr 2 ⋅ (1,14 ρ )
M 2 p2 2
61
Здесь учтено, что на основании связи x A = 2u , для Γ ( A) справедливо
⎧2 ⎫
Γ ( A) = ⎨ ⎬ .
⎩0 ⎭
Таким образом, в соответствии с зависимостью (7.11) динамического коэффициента от частоты вынуждающей силы, уравнение для определения антирезонансной частоты при возбуждении системы в точке А имеет вид
2⎡
2
( A) 2 ⎤
p
p
−
Ω
( A)
(
) ⎥⎦
2 ⎢ 1
µ 2 (Ω )
⎣
=
= −0,333 .
µ1 (Ω( A) ) p 2 ⎡ p 2 − ( Ω( A) )2 ⎤
1 ⎢ 2
⎥⎦
⎣
Откуда Ω( A) = 0,612 ρ .
При возбуждении механической системы в точке В соотношение (7.14) оказывается равным:
B
Q
10,9rPA
⎡3
⎤
1
⎡⎣Γ ( B )1u11 + Γ ( B ) 2u21 ⎤⎦
4
⋅
+
⋅
⋅
u
r
u
21 ⎥
2
2
⎢ 2 11
M1 p12
⎦ 49,4mr ⋅ (0,550 ρ ) = −14.65 .
B = − ⎣
−
-1,65rPA
Q2
⎡3
⎤
⋅ u12 + 4r ⋅ u22 ⎥ ⋅
⎡⎣Γ ( B )1u12 + Γ ( B ) 2u22 ⎤⎦
2
2
⎢
M 2 p2
⎣2
⎦ 3,83mr 2 ⋅ (1,14 ρ )
Соответственно, уравнение для определения антирезонансной частоты при
возбуждении системы в точке В имеет вид
2⎡
2
( B) 2 ⎤
−
Ω
p
p
( B)
(
) ⎥⎦
2 ⎢ 1
µ 2 (Ω )
⎣
=
= −14,65 .
µ1 (Ω( B ) ) p 2 ⎡ p 2 − ( Ω( B ) )2 ⎤
1 ⎢ 2
⎥⎦
⎣
Откуда Ω( B ) = 1,037ρ .
В табл. 1 показаны зависимости от частоты вынуждающей силы динамических
податливостей механической системы, которые определялись в соответствии с
соотношениями
x
x
α AA (ω ) = A ; α BA (ω ) = B ;
PA
PA
(7.15)
xA
xB
α AB (ω ) = ; α BB (ω ) = .
PB
PB
62
Таблица 1
Вариант возбуждения
Динамическая податливость в точке
А
Податливость в т.А от силы в т.А
10
Вынуждающая
сила приложена в
точке А
0
0.5
1
1.5
Вынуждающая
сила приложена в
точке В
10
2
10
10
Динамическая податливость в точке
В
Податливость в т.В от силы в т.А
0
0.5
1
1.5
2
10
Податливость в т.А от силы в т.В
0
0.5
1
1.5
10
10
2
Податливость в т.В от силы в т.В
0
0.5
1
1.5
2
10
Две найденные антирезонансные частоты приведены в табл. 2.
Таблица 2
Антирезонансная частота Ω, ρ
Возбуждение в точке А.
Возбуждение в точке В.
Останавливается точка А.
Останавливается точка В.
α AA (Ω) = 0
α BB (Ω) = 0
0,612
1,037
1.2. Определение антирезонансных частот как собственных частот
механической системы с дополнительными связями
Антирезонансные частоты, соответствующие остановке точки приложения силы могут быть определены как собственные частоты механической системы со
связью, наложенной на точку приложения вынуждающей силы. Для определения
антирезонансной частоты, при которой α AA (Ω) = 0 , наложим на точку А связь, запрещающую движение диска (рис. 7.2, а).
63
О
u
φ
ψ
D
φ
В
а)
б)
Рис. 7.2. Расчетные схемы механической системы для определения первой (а) и второй (б)
антирезонансных частот
Собственная частота полученной механической системы с одной степенью
свободы – физического маятника ОВ – совпадает с искомой антирезонансной частотой. Для определения собственной частоты составим дифференциальное уравнение движения маятника в прямой форме:
J ϕ + mg ⋅ 2r ⋅ ϕ = 0,
(7.16)
16
где J = mr 2 – момент инерции маятника относительно точки подвеса.
3
Подставляя момент инерции в уравнение (7.16) и делая очевидные преобразования, получаем:
3g
ϕ +
ϕ = 0,
(7.17)
8r
откуда
3g
3C
(7.18)
ΩA =
=
= 0,375ρ = 0,612 ρ .
8r
8m
Механическая система, показанная на рис. 7.2, а совпадает с одной из парциальных подсистем, рассмотренных в задаче №5 (стр. 39). В результате видим, что
одна из парциальных частот совпала с одной из антирезонансных частот.
Антирезонансную частоту, при которой останавливается точка В приложения
гармонической вынуждающей силы, получим из решения уравнения движения
механической системы, показанной на рис. 7.2, б.
Уравнение движения этой системы с одной степенью свободы получим так же,
как это было сделано в задаче №5 (с помощью уравнений Лагранжа второго рода),
с наложением дополнительной связи на исходные обобщенные координаты:
3 u
u
ϕ =−
= −0,375 .
(7.19)
2 4r
r
Кинетическая энергия этой системы (см. выражение (5.8) на с. 36):
1
T = ( 5, 25mu 2 + 6mrϕu + 5,33mr 2ϕ 2 ) =
2
(7.20)
1 2⎡
2
2
= mu 5, 25 − 6 ⋅ 0,375 + 5,33 ⋅ ( 0,375 ) ⎤ = 1.875mu .
⎣
⎦
2
64
Потенциальная энергия этой механической системы
1
2
П = C ( 2u ) + mghD .
(7.21)
2
Здесь hD – вертикальная координата центра тяжести маятника:
u2
u2
hD = 2r + r ⋅ cosψ − 2r ⋅ cos ϕ = r − + rϕ 2 = r + 0,0156 .
r
8r
Выражение (7.21) для потенциальной энергии приобретает вид
mg
⎛
⎞
Π = ⎜ 2C +
⋅ 0,0156 ⎟ u 2 + mgr = C ( 2,0156u 2 + r 2 ) .
r
⎝
⎠
Записывая дифференциальное уравнение в форме Лагранжа
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂Π
+
= 0,
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂u ⎠ ∂u ∂u
получаем:
3,749mu + 4,03Cu = 0.
(7.22)
Отсюда искомая антирезонансная частота
Ω B = 1,037 ρ .
(7.23)
Сравнивая антирезонансные частоты (7.18) и (7.23), рассчитанные как собственные частоты механической системы с дополнительными связями, можно констатировать, что они, конечно, совпадают с антирезонансными частотами, полученными на основании анализа зависимости динамических податливостей от частоты
вынуждающей силы, приведенными в табл. 5.
2. Антивибратор
А
k1
С
k2
PAcosωt
2m
С
m, 4r
В
mа
Рис. 7.3. Схема механической системы с установленным антивибратором
Расчетная схема введения антивибратора, подавляющего вынужденные колебания точки В при возбуждении исследуемой неконсервативной механической
системы гармонической силой, прикладываемой в точке А, приведена на рис. 7.3.
Интересно, что в полученной диссипативной системе возможна полная остановка
точки В. Это обусловлено отсутствием трения в антивибраторе. При остановке
точки В колебания массы ma будут продолжаться бесконечно долго, а амплитуда
65
этих колебаний будет такой, что сила в пружине Сa уравновесит горизонтальную
составляющую силы в шарнире О.
А вот остановить точку А в рассматриваемой системе невозможно. При такой
остановке в системе без демпфирования вынуждающая сила РА уравновешивалась
бы колебаниями маятника ОВ (т.е. горизонтальной составляющей силы в шарнире
О). Не помешал бы покою точки А и демпфер k1. Однако ситуация в корне меняется с появлением демпфера k2. В нем при остановке точки А рассеивается энергия колебаний маятника ОВ, амплитуда этих колебаний уменьшается и горизонтальная составляющая сил в шарнире О уже не может уравновешивать силу РА(t).
Чем больше сопротивление демпфера k2, тем выше должны быть амплитуды точки А, поддерживающие необходимую амплитуду маятника ОВ.
2.1. Определение амплитуды колебаний точки приложения силы
На рис. 7.4 показаны силы, действующие на инерционные элементы, входящие
в исследуемую механическую систему.
PA (t)
C ⋅ 4r ⋅ψ
k1 ⋅ 4r ⋅ψ
k2 ⋅ (ψ − ϕ )
ROy ψ
ROx
ROy
О
k2 ⋅ (ψ − ϕ )
ROx
φ
xа
Е
mg
Сaxa
В
Сa xa
mа
Рис. 7.4. Схемы динамического равновесия инерционных элементов механической системы
с присоединенным антивибратором
Чтобы определить амплитуду вынужденных колебаний точки А после установки антивибратора, составим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний диска в прямой форме. Для этого используем условие динамического
равновесия в форме суммы моментов относительно точки Е контакта диска с шероховатой поверхностью:
J E ⋅ψ + k1 ⋅ 4rψ ⋅ 4r + k2 ⋅ (ψ − ϕ ) + C ⋅ 4rψ + ROx ⋅ 3r − ROy ⋅ 3rψ = − PA (t ) ⋅ 4r.
(7.24)
Здесь J E = 3mr 2 – момент инерции диска относительно точки Е контакта диска с
шероховатой поверхностью. Уравнение движения (7.24) приведено в линеаризованной форме в предположении малости амплитуд отклонений от положения равновесия механической системы. В выражение (7.24) входят две проекции усилия
взаимодействия диска с маятником. Для их определения воспользуемся двумя независимыми условиями динамического равновесия маятника: в форме суммы проекций сил на вертикальную ось
ROy = mg ,
(7.25)
66
а также в форме суммы моментов относительно точки В, к которой присоединяется антивибратор:
J B ⋅ ϕ − k2 ⋅ (ψ − ϕ ) − mg ⋅ 2rϕ − ROx ⋅ 4r + ROy ⋅ 4r ⋅ ϕ = 0.
(7.26)
16
В выражении (7.26) J B = mr 2 – момент инерции маятника относительно точ3
ки В. На основании (7.26), учитывая (7.25), получаем горизонтальную составляющую усилия взаимодействия маятника с диском:
4
k
1
ROx = mr ⋅ ϕ − 2 ⋅ (ψ − ϕ ) + mg ⋅ ϕ .
3
4r
2
Чтобы перемещения точки В оказались равны нулю, между углами поворота диска ψ и маятника φ должно выполняться соотношение:
ψ ⋅ 3r = ϕ ⋅ 4r.
(7.27)
С учетом уравнения связи (7.27) горизонтальная составляющая усилия взаимодействия маятника с диском принимает вид
1 k
3
ROx = mr ⋅ψ − ⋅ 2 ⋅ψ + mg ⋅ψ .
(7.28)
16 r
8
Подставляя (7.25) и (7.28) в (7.24) и учитывая, что Cr=mg, получаем:
3
1 k2 ⎞
17
⎛
mrψ + ⎜ 4rk1 +
(7.29)
⎟ψ + mgψ = − PA (t ).
2
64 r ⎠
32
⎝
Коэффициенты вязких демпферов были определены в задаче №6:
k1 = 0,0271mρ ,
k2 = 0,0131mr 2 ρ .
Подстановка этих значений в (7.29) позволяет получить окончательную форму
представления дифференциального уравнения движения диска:
P (t )
ψ + 0,0727 ρψ + 0,354 ρ 2ψ = −0,667 A .
(7.30)
mr
Чтобы получить стационарное решение этого уравнения, воспользуемся методом
комплексных амплитуд. Для этого заменим гармоническую вынуждающую силу
PА(t)=PАcosωt ее экспоненциальной формой представления:
PA (t ) = PAeiωt , где PA = Pa ei⋅0 ,
(7.31)
а частное решение дифференциального уравнения (7.30) будем искать в виде
i⋅α
ψ (t ) = ψ eiωt , где ψ = ψ e ψ .
Тогда, для ω=p1,
D P
−0,667 PA
P
ψ =
= ( −8,10 + i ⋅ 6,39 ) A = 10,3ei⋅142 A .
2
2
Cr
Cr
mr ( 0,354 ρ − p1 + i ⋅ 0,0727 ρ p1 )
Амплитуды обобщенных координат, использованных в примере решения задачи
№6, могут быть получены на основании уравнений связей
3
u a = −2rψ ,
ϕa = ψ .
4
Амплитуды обобщенных координат u и φ при установившихся вынужденных колебаниях в результате действия гармонической вынуждающей силы
67
PА(t)=PАcos p1t для исходной системы и для системы, в которой установлен антивибратор, приведены в табл. 3 и на рис. 7.5.
Таблица 3
Вариант демпфирования
«Слабое»
демпфировние:
k1 = 0, 0271m ρ ,
k2 = 0, 0131mr 2 ρ
Амплитуды обобщенных координат
на частоте первого резонанса в исходной механической системе
Амплитуды обобщенных координат
в системе с установленным антивибратором на частоте первого резонанса исходной системы
PA
,
C
D
P
ϕ1 = 19,9ei ( −90,6 ) A
Cr
PA
,
C
D
P
ϕ a = 7,74ei (142 ) A
Cr
D
D
u1 = 8,37ei ( −89,3 )
u a = 20,6ei ( −38,3 )
Угол поворота маятника
Перемещение центра тяжести диска
10
10
5
10
0
10
5
0
5
1
5
20
10
15
10
20
а)
б)
Рис. 7.5. Сопоставление комплексных амплитуд обобщенных координат в исходной системе и в
системе с установленным антивибратором (частота вынуждающей силы ω совпадает с первой
собственной частотой p1 исходной системы). Сплошной линией показана амплитуда колебаний
в исходной системе, штриховой – в системе с антивибратором
2.2. Определение параметров антивибратора
Для определения двух неизвестных параметров антивибратора – жесткости упругого элемента Са и массы инерционного элемента ma – воспользуемся двумя условиями:
68
а) равенством парциальной частоты антивибратора частоте вынуждающего
C
воздействия a = ω 2 , причем ω = p1 , где p1 – первая собственная частота
ma
исходной механической системы;
б) равенством амплитуд установившихся колебаний инерционного элемента
антивибратора и точки приложения вынуждающей силы.
Первое условие позволяет установить следующее соотношение между искомыми параметрами:
Ca
C
= 0,303ρ 2 = 0,303 .
(7.32)
ma
m
Амплитуда колебаний точки приложения вынуждающей силы может быть определена по найденному в пункте 2.1 амплитудному значению угла поворота диска
D P
x A = 4rψ = 41,2ei ( −38,3 ) A .
(7.33)
C
Для того, чтобы найти амплитуду колебаний антивибратора, воспользуемся
условием динамического равновесия маятника (см. рис. 7.4) в форме суммы моментов относительно точки О:
J O ⋅ ϕ − k2 ⋅ (ψ − ϕ ) + mg ⋅ 2rϕ = Ca xa ⋅ 4r ,
16
где J O = mr 2 – момент инерции маятника относительно точки О. Учитывая со3
отношение (7.27) между углами поворота диска и маятника, полагая
ψ (t ) = ψ eiωt ,
xa (t ) = xa eiωt ,
для амплитуды колебаний антивибратора получаем:
1 ⎛3
1
⎞
xa = ⎜ mgr − 4mr 2ω 2 − i ⋅ k2ω ⎟ψ .
4
Ca ⎝ 2
⎠
Таким образом, для рабочей частоты ω = p1 = 0,5507 ρ
D
C
P
P
0,0720 − i ⋅ 4,51 ⋅ 10−4 rψ = A ( −0,580 + i ⋅ 0, 466 ) = 0,743ei (141 ) A . (7.34)
xa =
Ca
Ca
Ca
Приравнивая модули комплексных амплитуд из выражений (7.33) и (7.34), получаем величину жесткости упругого элемента антивибратора:
0,743
Ca =
C = 0,0180C.
41, 2
Массу антивибратора получаем из выражения (7.32):
1 Ca
ma =
m = 0,0595m.
0,303 C
(
)
Equation Section 8
69
Задача №8. МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Условие задачи и варианты исходных данных
Неконсервативная система совершает вынужденные колебания. Рассеяние
энергии обусловлено наличием механического гистерезиса в материале упругого
элемента, сухого трения по соприкасающимся поверхностям, жидкостного трения
по боковым поверхностям инерционных элементов.
Коэффициент рассеяния в материале упругого элемента является функцией
амплитуд механических напряжений (нормальных или касательных)
ψ(s)=ψ0+ψ1s+ψ2s2,
где s = σa/σ–1 или s = τa /τ–1 – относительное значение амплитуды механических
напряжений;
σa, τa – амплитуды нормальных и касательных механических напряжений соответственно;
σ–1, τ–1 – предел усталостной прочности материала упругого элемента.
Сила сухого трения пропорциональна силе прижатия N соприкасающихся поверхностей
Fс = –µNsign(dx/dt),
где (dx/dt) – скорость взаимного движения поверхностей, µ – коэффициент трения.
Жидкостное трение характеризуется силой
Fж = – b1(dq/dt) – b2(dq/dt)2sign(dx/dt),
если инерционные элементы совершают поступательное движение, либо моментом
Мж = – b1(dq/dt) – b2(dq/dt)2sign(dx/dt),
если инерционные элементы совершают вращательное движение (здесь q – координата положения инерционного элемента относительно неподвижного основания).
Варианты расчетных схем колебательных систем приведены на рис. 8.1, числовые значения параметров – в табл. 1. Принять: силу прижатия трущихся поверхностей равной весу инерционного элемента, σ–1 =300 МПа, τ–1 =200 МПа,
E=2·1011 Н/м2, G=0.8·1011 Н/м2, ρ=7.8·103 кг/м3.
В задаче требуется:
1) определить недостающие геометрические размеры упругого элемента из условия совпадения собственной частоты консервативной колебательной системы с заданной частотой f внешнего вынуждающего воздействия;
2) рассмотреть случай резонансных колебаний, когда рассеяние энергии обусловлено наличием гистерезисного и сухого трения, а жидкостное трение
отсутствует. Определить амплитуды колебаний инерционных элементов и
амплитуду внешнего вынуждающего воздействия, соответствующие достижению в упругом элементе амплитуд максимальных механических напряжений, равных пределу усталостной прочности;
70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
12
14
15
Рис.8.1. Расчетные схемы механических систем к задаче №8
71
3) определить коэффициент жидкостного трения, если известно, что при сохранении определенной в пункте 1 амплитуды внешнего вынуждающего
воздействия введение жидкостного трения приводит к уменьшению амплитуд резонансных колебаний в 2 раза;
4) определить зависимость от амплитуд колебаний коэффициента линейного
вязкого демпфера, эквивалентного на резонансной частоте сочетанию всех
трех составляющих трения: сухого, жидкостного и гистерезисного;
5) для сочетания всех трех составляющих трения (сухого, жидкостного и гистерезисного) определить зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний;
6) рассчитать амплитуды резонансных колебаний, устанавливающиеся при
изменении амплитуды внешнего вынуждающего воздействия в r раз. Рассчитать время переходного процесса. Построить график огибающей амплитуд переходного процесса.
Таблица 1
№ сх.
f, Гц
m, кг
b1/b2
ψ0,%
ψ1/ψ0
ψ2/ψ0
µ
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10
30
10
50
20
100
100
2
30
4
20
6
10
75
15
3
5
3
5
0,1
0,2
100
10
1
5
1
9
3
10
2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,05
0,1
0,05
0,1
0,02
0,05
0,02
0,01
0,03
0,02
0,01
1,5
2
0,5
0,2
0,3
1,5
2
2
3
0,2
2
0,5
0,5
2
1,5
72
0
0
∞
∞
0
0
∞
∞
0
0
∞
∞
0
∞
0
0,5
1
1,5
2
1,5
3
0,5
0,5
1
1,5
1
0,5
0,5
2
1
0
0
5
3
5
0
4
3
0
0
3
7
0
5
0
7
5
0
0
0
5
0
0
3
7
0
0
9
0
3
Пример решения задачи №8
Расчетная схема механической системы показана на рис. 8.2.
2l, EJx
l, EJx
P(t)
d
m=1 кг
l=0,5 м
l, EJx
m
2m
P(t)
Рис. 8.2. Расчетная схема механической системы
Два инерционных элемента с массами 2m и m, соединенные невесомой упругой рамой из трех прямолинейных участков круглого поперечного сечения, способные перемещаться по шероховатой горизонтальной поверхности, подвергаются воздействию гармонических вынуждающих сил:
P(t ) = P cos ωt.
(8.1)
Частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой механической
системы и равна f = 100 Гц.
Коэффициент рассеяния в материале упругого элемента является функцией
амплитуд нормальных механических напряжений:
2
⎛ σ ⎞
ψ (σ ) = ψ 0 + ψ 2 ⎜
⎟ ,
σ
⎝ −1 ⎠
где ψ 0 = 1%, ψ 2 = 3%.
Сила сухого трения пропорциональна силе прижатия N соприкасающихся поверхностей
R= –µNsign(dx/dt),
где µ=0,3.
Жидкостное трение характеризуется силой:
Fж= –b1(dq/dt),
где q – обобщенная координата механической системы.
1. Определение диаметра поперечного сечения рамы
Для определения жесткости рамы, выступающей в роли упругого элемента
рассматриваемой колебательной системы, построим распределение в ней изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках и по направлению
действия на раму сил взаимодействия с инерционными элементами (рис. 8.3).
73
l
2l
l
l
l
l
l
1
1
ЭМ1
Рис. 8.3. Схема нагружения и соответствующее распределение изгибающего момента,
используемые при расчете жесткости упругой рамы
Взаимное перемещение точек приложения единичных сил определим при помощи интеграла Мора:
8 l3
δ11 = ( ЭМ 1 ) ⋅ ( ЭМ 1 ) =
.
(8.2)
3 EJ x
Жесткость динамической модели (рис. 8.4) рассматриваемой механической
системы
1 3 EJ x 3π E 4
C=
d .
=
=
(8.3)
512 l 3
δ11 8 l 3
C
2m
m
x2
x1
Рис. 8.4. Динамическая модель механической системы
Ненулевая собственная частота этой модели имеет следующее значение:
3C
p=
.
2m
Собственная форма, соответствующая этой частоте,
u1
1
=− ,
u2
2 ,
(8.4)
(8.5)
где u1 и u2 – амплитуды левой и правой масс соответственно.
Из условия совпадения заданной частоты вынуждающей силы ω = 2π f с собственной частотой (8.4) получаем диаметр поперечного сечения рамы:
4 64 3 23 3
(8.6)
d=
π ω l mE = 0,0546 м.
3π E
74
2. Установившиеся резонансные колебания при наличии
гистерезисного и сухого трения
2.1. Определение амплитуд колебаний инерционных элементов
В процессе движения механической системы упругая рама испытывает нагружение силами инерции сосредоточенных масс. Амплитудные значения инерционных сил обеих масс равны друг другу и при гармонических колебаниях составляют:
FJ = 2mAp 2 ,
(8.7)
где А – амплитуда перемещений первого инерционного элемента массой 2m.
Как следует из эпюры изгибающего момента, показанной на рис. 8.5, максимальное значение момента
(8.8)
max M = 2ω 2 mAl.
2ω2mAl
2
2ω mAl
2l
l
2ω mA
2
l
2ω2mA
ЭМp
Рис. 8.5. Схема нагружения и соответствующее распределение изгибающего момента
для записи условия усталостной прочности упругой рамы
Так как максимальные напряжения в раме по условию задачи следует принять
равными пределу усталостной прочности, т.е.
max M
max σ =
= σ −1 ,
(8.9)
Wx
то для амплитуды колебаний первого инерционного элемента массой 2m получаем:
1 σ −1
A−1 =
Wx = 0,0122 м.
(8.10)
2 ω 2 ml
2.2. Определение амплитуды вынуждающей силы
Амплитуду вынуждающей силы определим из условия энергетического баланса работы внешних сил L и энергии, рассеиваемой в системе на механический
гистерезис WГ и сухое трение WC .
Работа внешних сил складывается из работы двух сосредоточенных гармонических сил. Для случая совпадения частоты вынуждающих сил с собственной частотой (для резонанса) имеем
L = L1 + L2 = π ⋅ P ⋅ A + π ⋅ P ⋅ 2 A = 3π PA.
(8.11)
75
Энергия, рассеиваемая в элементарном объеме материала в результате механического гистерезиса, зависит от амплитуды механических напряжений:
dWГ = ψ (σ )
σ2
(8.12)
dV .
2E
Механические напряжения изменяются как по высоте поперечного сечения
(рис. 8.6), так и по длине участков рамы (см. рис. 8.5).
2
⎛d ⎞
x = ⎜ ⎟ − y2
⎝2⎠
dy
σ ( z, y ) =
y
M ( z)
y
Jx
Эσ(М)
Рис. 8.6. Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения стержней
рамы при изгибе
Для энергии, рассеиваемой за цикл колебаний на двух вертикальных участках
рамы, получаем
2
2
2
2
⎡
⎤
⎛
⎞
2
ω
mA
⎛
⎞
2
ω
mA
d
zy ⎟
zy ⎟ ⎥ ⎜
2
l 2⎢
⎜ J
J
d
⎛
⎞
2
x
⎝
⎠
⎢
⎥
x
⎟
WГ 1 = 8∫ ∫ ψ 0 + ψ 2 ⎜
⎜ ⎟ − y dydz =
⎢
⎥
σ −1
2E
⎜
⎟
⎝2⎠
0 0
⎢
(8.13)
⎜
⎟ ⎥
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
( 3ψ ω m d l
4
π
2
2 2
2
A2 + 10ψ 0 J x 2σ −12 )
.
ωmd l A
J x 4σ −12 E
480
Для энергии, рассеиваемой за цикл колебаний на горизонтальном участке рамы, получаем
2
2
⎡
⎛ 2ω 2 mA ⎞ ⎤ ⎛ 2ω 2 mA ⎞
d
ly ⎟
ly ⎟ ⎥ ⎜
2
2l 2 ⎢
⎜ J
J
d
⎛
⎞
2
x
⎝
⎠
⎢
⎥
x
⎟
WГ 2 = 4 ∫ ∫ ψ 0 + ψ 2 ⎜
⎜ ⎟ − y dydz =
⎢
⎥
2E
⎜ σ −1
⎟
⎝2⎠
0 0
⎢
⎥
(8.14)
⎜
⎟
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
=
=
π
32
4
2
4 3
2
(ψ ω m d l
4
ωmd l A
4
2
4 3
2
2
2
2 2
A2 + 2ψ 0 J x 2σ −12 )
J x 4σ −12 E
76
.
Энергия, рассеиваемая за цикл колебаний на механический гистерезис,
4 2 2 2 2
2
2
32 4 2 3 2 (ψ 2ω m d l A + 2ψ 0 J x σ −1 )
(8.15)
WГ = WГ 1 + WГ 2 = ω m l A
.
15
J x 4σ −12 E
Выражение (8.15) для потерь энергии на механический гистерезис, полученное
интегрированием по объему деформируемых элементов, получилось довольно
громоздким, поэтому не будет лишним выполнить его проверку. Для этого воспользуемся следующим обстоятельством. Если в подынтегральных выражениях
(8.13) и (8.14) для цикловых потерь на механический гистерезис коэффициент рассеяния в материале формально положить равным единице ψ(s)=ψ0+ψ2s2=1, то получаемый результат интегрирования есть не что иное, как амплитудное значение
потенциальной энергии деформации рассматриваемой механической системы:
π 2 2 3 d4 2
max П = ω m l
A.
(8.16)
12
EJ x 2
В свою очередь, амплитудное значение потенциальной энергии деформации
динамической модели консервативной механической системы (см. рис. 8.4) может
быть получено без выполнения операции интегрирования по объему, например, в
соответствии со следующими двумя расчетными выражениями:
1
1
max П = C (3 A) 2 = max T = ⎡⎣ 2m ⋅ ( pA) 2 + m ⋅ ( p ⋅ 2 A) 2 ⎤⎦ = Э ,
(8.17)
2
2
где maxT – амплитудное значение кинетической энергии механической системы,
Э – полная энергии механической системы. Поэтому, в качестве косвенной проверки правильности записи интегралов (8.13) и (8.14) сравним значения энергий,
получаемых в соответствии с выражениями (8.16) и (8.17). Полагая
A = A−1 = 0,0122 м, убеждаемся, что выражения (8.16) и (8.17) приводят к одному
результату max П = max T = Э = 176,1 Дж.
Интегральное значение энергии, рассеиваемой во всем объеме деформируемого материала, может быть использовано для вычисления коэффициента рассеяния
конструкции. Если бы в механической системе рассеяние энергии было обусловлено только механическим гистерезисом, то коэффициент рассеяния для рассматриваемой конструкции по определению составит
W
Ψ= Г .
Э
Для A = A−1 = 0,0122 м коэффициент рассеяния конструкции при учете потерь
только на механический гистерезис принимает значение Ψ = 0,0235.
Потери энергии в результате сухого трения инерционных элементов о шероховатую поверхность основания подсчитаем как работу сил трения на пути, который
проходят инерционные элементы за цикл колебаний:
WC = WC1 + WC 2 = R1 ⋅ 4 A + R2 ⋅ 4(2 A) = µ ⋅ 2mg ⋅ 4 A + µ ⋅ mg ⋅ 8 A = 16µ mgA.
(8.18)
77
Согласно методу энергетического баланса установившимся вынужденным колебаниям соответствует равенство работы вынуждающих сил и потерь энергии в
механической системе:
L( A) = WГ ( A) + WC ( A).
(8.19)
Условие энергетического баланса может быть использовано в качестве уравнения для определения амплитудного значения параметра силы Р при известном
значении амплитуд колебаний:
1 WГ ( A) + WC ( A)
P=
.
(8.20)
3π
A
Достижению в раме максимальных механических напряжений, равных пределу усталостной прочности, соответствуют:
A−1 = 0,0122 м; P = 41,0 H;
(8.21)
max П = max T = Э = 176,1 Дж;
WГ ( A−1 ) = 4,14 Дж;
WС ( A−1 ) = 0,574 Дж.
Для поддержания режима установившихся колебаний с такой амплитудой к
механической системе должна подводиться мощность
N = (WГ + WС ) f = 414 Вт + 57 Вт = 471 Вт .
3. Определение коэффициента жидкостного трения
После того, как дополнительно к гистерезисному и сухому трению было добавлено жидкостное трение, рассеивающее за цикл колебаний энергию
WЖ ( A) = πωb1 A2 ,
(8.22)
при неизменной амплитуде вынуждающей силы (8.20) амплитуда колебаний
уменьшилась в два раза:
A
A = −1 .
(8.23)
2
Коэффициент сопротивления вязкого демпфера b1 может быть определен из
нового условия энергетического баланса:
⎛A ⎞
⎛A ⎞
⎛A ⎞
⎛A ⎞
L ⎜ −1 ⎟ = WГ ⎜ −1 ⎟ + WC ⎜ −1 ⎟ + WЖ ⎜ −1 ⎟ .
(8.24)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
В соответствии с (8.22) из (8.24) получаем
⎛A ⎞
⎛A ⎞
3π PA−1 − 2WГ ⎜ −1 ⎟ − 2WС ⎜ −1 ⎟
(8.25)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ = 20,2 кг .
b1 = 2
2
πω A−1
с
Составляющие цикловых потерь энергии на двух уровнях амплитуд приведены в табл. 2.
78
Таблице 2
Амплитуда
колебаний
Полная энергия
цикла колебаний
Э, Дж
Потери энергии
на механический
гистерезис
WГ , Дж
Потери энергии
на сухое трение
WС , Дж
Потери энергии
на вязкое трение
WЖ , Дж
А-1 =0,0122 м
176,1
4,14
0,574
5,92
A−1
=0,0061 м
2
44,0
0,589
0,287
1,48
Потери за цикл колебаний, Дж
Зависимости составляющих потерь энергии от амплитуд колебаний показаны на
рис. 8.7.
6
5
4
3
2
1
0
0.004
0.008
Амплитуда первой массы, м
0.012
- потери на механический гистерезис,
- потери на сухое трение,
- потери на на вязкое трение
Рис. 8.7. Зависимости составляющих потерь энергии от амплитуд колебаний
4. Определение коэффициента эквивалентного трения
Энергия, рассеиваемая эквивалентным трением, рассчитывается по следующей
зависимости:
WЭ ( A) = πω kЭ A2 .
(8.26)
Приравнивая энергии, рассеиваемые на одинаковых амплитудах колебаний в
исследуемой механической системе и эквивалентным трением, получаем
W ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A )
(8.27)
.
kЭ ( А) = Г
πω A2
Энергия, рассеиваемая эквивалентным трением на двух уровнях амплитуд колебаний, а также значения коэффициентов сопротивления эквивалентного демпфера приведены в табл. 3.
79
Таблица 3
Амплитуда колебаний
Потери энергии в эквивалентном
демпфере
WЭ , Дж
Коэффициент сопротивления эквивалентного демпфера
kЭ , кг/с
А-1 =0,0122 м
10,6
36,2
A−1
=0,0061 м
2
2,35
32,1
Зависимость коэффициента эквивалентного трения от амплитуд колебаний показана на рис. 8.8.
5. Зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний
Воспользуемся соотношением, справедливым для резонансных колебаний:
Ψ ≅ 2δ ,
(8.28)
где δ – логарифмический декремент колебаний; Ψ – коэффициент рассеяния, по
определению равный отношению энергии, рассеиваемой за цикл колебаний, к
полной энергии Э механической системы:
W ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A )
Ψ ( A) = Г
.
(8.29)
Э ( A)
Так как
Э ( A) ≅ max T ( A) = ω 2 ⋅ 2m ⋅ A2 + ω 2 ⋅ m ⋅ ( 2 A ) = 6ω 2 mA2 ,
2
(8.30)
70
0.03
Логарифмический декремент
δ ( A) ≅
Коэффициент эквивалентного демфера, кг/с
1 ⎡⎣WГ ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A ) ⎤⎦ 1 ⎡⎣WГ ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A ) ⎤⎦
(8.31)
=
.
Э ( A)
2
2
6mA2ω 2
Зависимость (8.31) отличается от зависимости (8.27) только постоянным множителем, что и отражено на рис. 8.9.
то
60
0.025
50
40
0.02
0.015
30
4
5 .10
0.0045
0.0085
0.0125
Амплитуда колебаний первой массы, м
Рис. 8.8. Зависимость коэффициента
эквивалентного трения от амплитуд колебаний
80
0.01
4
5 .10
0.0045
0.0085
0.0125
Амплитуда колебаний первой массы, м
Рис. 8.9.Зависимость логарифмического
декремента от амплитуд колебаний
6. Поведение механической системы при изменении амплитуды
вынуждающей силы
Рассмотрим случай, когда амплитуда вынуждающей силы увеличивается в 2
раза. Амплитуду A∗ установившихся вынужденных колебаний при увеличенном
значении вынуждающей силы определим, воспользовавшись методом энергетического баланса:
L( A∗ ) = WГ ( A∗ ) + WC ( A∗ ) + WЖ ( A∗ ).
(8.32)
Цикловая работа вынуждающих сил, согласно (8.11)
L( A∗ ) = 3π ⋅ 2 P ⋅ A∗ = 6π PA∗ .
(8.33)
Цикловые потери на механический гистерезис, согласно (8.15), составят:
⎡ψ ω 4 m 2 d 2l 2 ( A∗ )2 + 2ψ J 2σ 2 ⎤
−1 ⎥
0 x
2 ⎢ 2
32
⎦.
(8.34)
WГ ( A∗ ) = ω 4 m 2l 3 ( A∗ ) ⎣
4
2
15
J x σ −1 E
Цикловые потери на сухое трение, согласно (8.18), оказываются:
WC ( A∗ ) = 16 µ mgA∗ .
(8.35)
И, наконец, цикловые потери на жидкостное трение согласно (8.22)
(8.36)
WЖ ( A* ) = πωb1 ( A* ) .
На рис. 8.10 показаны зависимости от амплитуд вынужденных колебаний
суммарных цикловых потерь энергии одновременно с энергией, вводимой в механическую систему вынуждающими силами за цикл колебаний.
2
Цикловая энергия, Дж
10
Amax
A−1
22
∗
A
Alim
5
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
Амплитуда механических колебаний, м
- потери энергии в механической системе,
- работа внешних сил с амплитудой 2Р,
- работа внешних сил с амплитудой Р
Рис. 8.10. Иллюстрация энергетического баланса в механической системе при амплитудах
установившихся вынужденных колебаний для двух уровней вынуждающего воздействия
Амплитуда А* установившихся вынужденных колебаний, соответствующая
равенству подводимой и рассеиваемой энергий (8.32) при увеличении параметра
вынуждающей силы в два раза, составляет:
A∗ = 1,83 ⋅
A−1
= 0,915 ⋅ A−1 = 0,0111 м.
2
и возрастает менее чем в два раза, а точнее на 83%.
81
(8.37)
Составляющие потерь энергии для амплитуд А* установившихся вынужденных колебаний приведены в табл. 4.
Таблица 4
Амплитуда
колебаний
Полная энергия
цикла колебаний
Э, Дж
Потери энергии
на механический
гистерезис
WГ , Дж
Потери энергии
на сухое трение
WС , Дж
Потери энергии
на вязкое трение
WЖ , Дж
A−1 = 0,0122 м
176,1
4,14
0,574
5,92
A−1
=0,0061 м
2
44,0
0,589
0,287
1,48
А* =0,0111 м
145,9
3,141
0,525
4,957
A−1
до значения A∗ вос2
пользуемся дифференциальным уравнением огибающей амплитуд неустановившихся колебаний:
dA L( A) − W ( A)
=
,
(8.38)
dt
CAT
где W ( A) = WГ ( A) + WС ( A) + WЖ ( A) – суммарная энергия, рассеиваемая в механической системе, T– период колебаний. Приведем уравнение (8.38) к виду с разделяющимися переменными:
CAT
dt =
dA .
(8.39)
L( A) − W ( A)
A
Его интегрирование в пределах от −1 до At приводит к несобственному интегра2
лу, поскольку по мере роста амплитуд колебаний рассеиваемая в механической
системе энергия приближается к работе вынуждающих сил:
W ( A) → L( A) ,
и подынтегральное выражение стремится к бесконечности. В результате переходный процесс, вообще говоря, длится бесконечно долго:
At
t
CATdA
∫0 dt = A∫
4 2 2 2 2
2
2
(8.40)
32 4 2 3 2 (ψ 2ω m d l A + 2ψ 0 J x σ −1 )
−1
2
−
−
mgA
kA
ωml A
1
6
µ
πω
2 6π PA −
J x 3σ −12 E
15
Практически, однако, можно считать переходный процесс закончившимся, когда
A ≈ ( 0,95...0,98 ) A∗ .
Поэтому в качестве верхнего предела интегрирования в правой части выражения
(8.40) может быть принята амплитуда At = 0,98 A* :
Для описания переходного процесса от амплитуды
82
t∗ =
0,98 A∗
∫
CATdA
ψ ω 4 m 2 d 2l 2 A2 + 2ψ 0 J x 2σ −12 )
2 ( 2
(8.41)
32 4 2 3
2
mgA
kA
ωml A
µ
πω
−
−
1
6
J x 3σ −12 E
15
Выполненный на основании (8.41) расчет дает:
(8.42)
t * = 0, 247 с = 24,7T .
Другими словами, переходный процесс длится около 25 периодов колебаний. Переходный процесс, построенный в соответствии с (8.41), приведен на рис. 8.11.
6π PA −
Отклонение от положения равновесия, м
A−1
2
0.015
0.01
0.005
0
5
10
15
20
25
0.005
0.01
0.015
Относительное время переходного процесса
Рис. 8.11. Переходный процесс в механической системе при увеличении амплитуды
вынуждающей силы в два раза
Equation Section 9
83
Задача №9. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ
ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
Условие задачи и варианты исходных данных
Для балки постоянного поперечного сечения (варианты форм поперечных сечений приведены на рис. 9.1, расчетные схемы балок – на рис. 9.2) требуется:
1. записать выражение для форм изгибных колебаний, используя функции
А.Н. Крылова. Записать граничные условия;
2. используя граничные условия, составить систему уравнений для определения
неизвестных констант. Получить частотный определитель и, построив его график, найти три первых ненулевых корня частотного уравнения. Вычислить
собственные частоты балки в рад/с и в Гц. Исходные данные по материалу
балки и размерам поперечного сечения приведены в табл. 1;
3. построить формы собственных колебаний балки, совместив их на одном рисунке и приняв максимальные прогибы одинаковыми. Проверить ортогональность собственных форм.
Сосредоточенные параметры присоединенных элементов m, I , C x1 , Cx 2 , Cϕ
связаны с основными параметрами балки (жесткостью сечения на изгиб EJ, погонной массой m0 и длиной L) следующими соотношениями:
m=m0⋅L, I = m0 L3 , C y1 = C y 2 = EJ L3 , Cϕ = EJ L .
(9.1)
а)
б)
Рис. 9.1. Форма поперечного сечения
84
в)
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 16
Рис. 9.2. Расчетные схемы механических систем к задаче №9
85
Таблица 1
Цифра
варианта
Порядковый номер цифры в варианте
1
2
3
Тип сечения
Материал
D, мм
d, мм
L, м
20
16
0,4
20
15
0,5
25
20
0,6
45
40
0,7
50
40
0,8
30
25
0,9
35
18
1
28
24
1,1
40
30
1,2
55
45
1,3
0
а
1
б
2
в
3
а
4
б
5
в
6
а
7
б
8
в
9
а
Алюминиевый сплав
Легированная сталь
Титановый
сплав
Алюминиевый сплав
Легированная сталь
Титановый
сплав
Алюминиевый сплав
Легированная сталь
Титановый
сплав
Алюминиевый сплав
4
Пример решения задачи №9
На рис. 9.3 изображена балка кольцевого поперечного сечения, выполненная
из титанового сплава.
x
m, I
L , EJ , m0
z
Cϕ
Cx1
Cx 2
Рис. 9.3. Расчетная схема механической системы
86
d
D
Для заданного материала имеем: модуль упругости E = 1,14 ⋅ 1011 Па, плотность
кг
ρ = 4500 3 , коэффициент Пуассона µ = 0,31.
м
Геометрические размеры: L =1,3 м, D=28 мм, d=24 мм.
1. Форма прогиба балки
Свободные поперечные колебания балки подчиняются дифференциальному
уравнению четвертого порядка
∂2 ⎛
∂2 x ⎞
∂2 x
⎜ EJ 2 ⎟ + m0 2 = 0.
∂z 2 ⎝
∂z ⎠
∂t
(9.2)
Здесь x( z , t ) – поперечное перемещение.
Соответствующее собственным колебаниям решение уравнения (9.2) будем
искать в виде
x ( z , t ) = u ( z ) cos ( pt + ϕ ) ,
(9.3)
где u(z) – искомая форма колебаний, p – круговая частота колебаний (рад/с). Подставляя выражение (9.3) в уравнение (9.2), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение форм колебаний:
∂2 ⎛
∂ 2u ⎞
EJ 2 ⎟ + m0 p 2u = 0.
2 ⎜
∂z ⎝
∂z ⎠
(9.4)
Решение дифференциального уравнения (9.4) может быть представлено в виде,
предложенном А.Н. Крыловым:
u ( z ) = C1K1 (α z ) + C2 K 2 (α z ) + C3 K 3 (α z ) + C4 K 4 (α z ),
(9.5)
m0 p 2
где C1, C2, C3, C4 – постоянные, определяемые граничными условиями; α =
;
EJ
K1 (α z ), K 2 (α z ), K3 (α z ), K 4 (α z ) − функции Крылова:
K1 (α z ) = 12 [ ch(α z ) + cos(α z ) ];
4
K 2 (α z ) = 12 [sh(α z ) + sin(α z ) ];
K 3 (α z ) = 12 [ ch(α z ) − cos(α z ) ];
K 4 (α z ) = 12 [sh(α z ) − sin(α z ) ];
Представление решения уравнения (9.4) в форме (9.5) удобно вследствие ряда
замечательных свойств функций А.Н. Крылова.
Во-первых,
K1 ( 0 ) = 1;
K 2 ( 0 ) = K3 ( 0 ) = K 4 ( 0 ).
(9.6)
Во-вторых, произвольные постоянные С1, С2, С3, С4, в решении, представленном в
форме (9.5), имеют ясный физический смысл:
87
C1 = u ( 0 ) ;
C2 =
1
α
u′ ( 0 ) ;
C3 =
1
u′′ ( 0 ) ;
EJα 2
C4 =
1
u′′′ ( 0 ) .
EJα 3
(9.7)
Во многих случаях это позволяет упростить процесс решения задачи о колебаниях балки. Решение (9.5) дифференциального уравнения 4-го порядка содержит
4 произвольные постоянные, для определения которых должно быть задано 4 граничных условия – по 2 на каждом конце балки. Граничные условия делят на геометрические и силовые. Геометрические граничные условия накладываются на
перемещения (линейные и угловые). Силовые условия при собственных колебаниях либо связывают внутренние силовые факторы М, Q в концевых сечениях
балки с перемещениями этих концов, либо указывают на отсутствие силовых факторов в концевых сечениях.
Для рассматриваемого случая на левом краю балки запрещен угол поворота
(геометрическое граничное условие), то есть
u ′ ( 0 ) = 0.
(9.8)
Второе условие – силовое, оно связывает поперечную силу EJu′′′ ( 0 ) в концевом сечении z=0 с перемещением u(0) этого конца, то есть третью произu(0)>0
z
водную функции (9.5) в точке z=0 со значением самой функции в этой же точке. Для установления
этой связи отклоним левый конец балки на малую
Cx1
положительную величину u(0) (рис. 9.4). В результате деформации пружины, в ней возникнет сила
dM
P=Cy1u(0), приложенная к балке и направленная в
Q=
<0
M(z)
сторону, противоположную перемещению u(0). Поdz
перечная сила в балке EJu'''(z) численно совпадает с
dz
этой силой, то есть
EJu′′′ ( 0 ) = −Cx1u ( 0 )
(9.9)
.
Рис. 9.4. Малое положительное
отклонение левого конца балки Знак в равенстве (9.9) устанавливается либо по
мнемоническим правилам сопротивления материаdM
. Так, изображенная на рис. 9.4 сила
лов, либо на основании соотношения Q =
dz
P создает на конце балки отрицательную кривизну и, следовательно, отрицательный изгибающий момент, увеличивающийся по абсолютной величине. Следовательно, в концевом сечении балки
dM
Q=
< 0.
dz
Таким образом, при положительном u(0) поперечная сила EJu'''(0) оказывается
отрицательной. Это возможно, если в (9.9) справа будет стоять знак минус.
x
u''(z)<0
88
а)
б)
Рис. 9.5. Малое положительное отклонение правого конца балки
На правом конце балки отсутствуют ограничения на перемещения. Нетрудно,
однако, понять, что на этом конце в балке существует и изгибающий момент
EJu''( L ) и поперечная сила Q=EJu'''( L ), создаваемые упругими и инерционными
элементами при перемещениях u( L ) и u'( L ) этого конца.
Для установления связи между EJu''( L ) и u'( L ) повернем правый конец балки
в положительном направлении на малый угол u'( L ) (рис. 9.5, а).
Пружина Сφ препятствует повороту балки, так что ее момент
M упр ( L ) = −Cϕ u′( L) направлен в сторону, противоположную этому повороту. Такой момент, приложенный справа от сечения, создает в балке отрицательную кривизну (чашечкой вниз). Изгибающий момент в балке численно равен приложенному справа моменту, следовательно,
EJu′′упр ( L ) = −Cϕ u′ ( L ) .
Поскольку при положительном u′( L) изгибающий момент отрицателен, в записанном равенстве справа поставлен знак «минус».
Инерционный момент, приложенный к балке, при колебаниях направлен в
сторону отклонения (рис. 9.5, б) и составляет
M ин = Ip 2u′ ( L ) .
Такой момент, приложенный справа от сечения, создает в балке положительную кривизну (чашечкой вверх), следовательно,
′′ ( L ) = Ip 2u′ ( L ) .
EJuин
В этом случае изгибающий момент по знаку совпадает с углом поворота сечения. Суммарный изгибающий момент равен сумме упругого и инерционного моментов:
EJu′′ ( L ) = Ip 2u′ ( L ) − Cϕ u′ ( L ) ,
(9.10)
или
u′′ ( L ) =
I ⎛ 2 Cϕ
⎜p −
EJ ⎝
I
89
⎞
⎟ u′ ( L ) .
⎠
(9.11)
Два элемента с сосредоточенными параметрами I и Cφ, размещенные на правом конце балки, образуют колебательную систему, которая, будучи отсоединена
от балки, обладает собственной частотой:
Cϕ
.
pϕ =
I
Таким образом, условие (9.11) можно записать в форме
I
u′′ ( L ) =
p 2 − pϕ2 ) u′ ( L ) .
(
EJ
(9.12)
Из выражения (9.12) следует, что кривизна u''( L ) на конце балки может либо
совпадать с углом поворота u'( L ), либо быть противоположной ему. Если p<pφ,
что может быть на низких собственных частотах, знаки u''( L ) и u'( L ) противоположны, то есть преимущественное влияние на колебания балки оказывает пружина Сφ. Если же p>pφ, что более вероятно с повышением частоты колебаний балки,
основное влияние на ее колебания оказывает инерционный элемент I, понижая
частоту системы. В этом случае u''( L ) по знаку совпадает со знаком u'( L ). Если
же p=pφ, то пара присоединенных элементов не влияет на колебания балки, поскольку u''( L )=0.
Связь амплитуды поперечной силы Q=EJu'''( L ) с амплитудой перемещения
u( L ) установим, отклонив концевое сечение в положительном направлении. Тогда пружина Сy2 создаст силу Сy2u( L ), действующую на балку вниз. Такая сила
создает в примыкающих слева сечениях изгибающий момент, эпюра которого показана на рис. 9.6, а.
а)
б)
Рис. 9.6. Иллюстрация к определению знаков внутренних силовых факторов
при записи граничных условий
dM
> 0 . Следовательно, при положительном u( L ) попеdz
речная сила EJu′′′упр ( L ) , создаваемая пружиной, также положительна:
При такой эпюре Q =
EJu′′′упр ( L ) = Cx 2u ( L ) .
90
Сила инерции массы m, приложенная к балке, направлена в сторону отклонения u( L ), равна mp 2u ( L ) и создает в прилегающих сечениях балки изгибающий
dM
момент, показанный на рис. 9.6, б. Здесь Q =
> 0 , так что эта часть поперечdz
ной силы отрицательна
′′′ ( L ) = − mp 2u ( L ) .
EJuин
Следовательно, суммарная поперечная сила на правом конце балки
EJu′′′ ( L ) = ( Cx 2 − mp 2 ) u ( L ) ,
или
u′′′ ( L ) =
m 2
px 2 − p 2 ) u ( L ) ,
(
EJ
(9.13)
(9.14)
Cx 2
– собственная частота присоединенной массы m на присоединенm
ной пружине Cx2. И в этом случае существует частота колебаний, на которой
влияние присоединенных элементов компенсирует друг друга, так что u'''( L )=0.
Таким образом, на 4 произвольных постоянных C1, C2, C3, C4 выражения (9.5)
наложены четыре условия (9.8), (9.9), (9.10), (9.13), связывающие функцию u(z) и
ее производные.
где px 2 =
2. Частотное уравнение
Свойства (9.6) постоянных в выражении (9.5) позволяют, используя условие
(9.8), сразу определить константу С2: C2 = 0 .
Остальные три константы должны быть найдены из совместной системы уравнений (9.9), (9.10), (9.13).
Дифференцируя (9.5) по z и подставляя в (9.9), получаем
EJ α 3 ⎡⎣C1K 2 ( 0 ) + C3 K 4 ( 0 ) + C4 K1 ( 0 ) ⎤⎦ + Cx1 ⎡⎣C1K1 ( 0 ) + C3 K 3 ( 0 ) + C4 K 4 ( 0 ) ⎤⎦ = 0
.
Свойство (9.6) упрощает это выражение:
C x1C1 + EJ α 3C4 = 0 .
(9.15)
Аналогично выражения (9.10) и (9.13) после обозначения α L =λ дают
⎡ EJ α 2 K 3 ( λ ) + α ( Cϕ − Ip 2 ) K 4 ( λ ) ⎤ C1 +
⎣
⎦
+ ⎡⎣ EJ α 2 K1 ( λ ) + α ( Cϕ − Ip 2 ) K 2 ( λ ) ⎤⎦ C3 +
(9.16)
⎡ EJ α 3 K 2 ( λ ) − ( C y 2 − mp 2 ) K1 ( λ ) ⎤ C1 +
⎣
⎦
+ ⎡⎣ EJ α 3 K 4 ( λ ) − ( C y 2 − mp 2 ) K 3 ( λ ) ⎤⎦ C3 +
+ ⎡⎣ EJ α 3 K1 ( λ ) − ( C y 2 − mp 2 ) K 4 ( λ ) ⎤⎦ C4 = 0 .
(9.17)
+ ⎡⎣ EJ α 2 K 2 ( λ ) + α ( Cϕ − Ip 2 ) K 3 ( λ ) ⎤⎦ C4 = 0 ;
91
Уравнения (9.15), (9.16), (9.17) образуют связанную систему, определяющую
константы С1, С3, С4. Может показаться, что эти константы, а следовательно и
форма u(z), зависят от множества параметров, в частности, от присоединенных
масс m, I, пружин Сx1, Сx2, Сφ. В действительности, однако, параметры присоединенных элементов выражены через основные параметры балки – жесткость сечения на изгиб EJ, погонную массу m0, и длину L . Разделив уравнение (9.10) на EJα2
и подставив в него Сφ, I из (9.1), найдем
Cϕ − Ip 2 1 − λ 4
=
.
λ
EJ α
Аналогично из (9.17) найдем
Cx 2 − mp 2 1 − λ 4
=
.
EJ α 3
λ3
Таким образом, система (9.15), (9.16), (9.17) приобретает следующий окончательный вид:
⎫
⎪
1 ⋅ C1 + λ 3 ⋅ C4 = 0
⎪
⎪
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛1− λ4 ⎞
⎛1− λ4 ⎞
⎪
⎢ K3 ( λ ) + ⎜
⎟ ⋅ K 4 ( λ ) ⎥ C1 + ⎢ K1 ( λ ) + ⎜
⎟ K 2 ( λ ) ⎥ C3 + ⎪
λ
λ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
⎪
4
⎡
⎤
⎛1− λ ⎞
⎪
+ ⎢ K2 ( λ ) + ⎜
(9.18)
⎬
⎟ K 3 ( λ ) ⎥ C4 = 0
⎝ λ ⎠
⎣
⎦
⎪
⎪
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛1− λ4 ⎞
⎛1− λ4 ⎞
⎢ K 2 ( λ ) − ⎜ 3 ⎟ K1 ( λ ) ⎥ C1 + ⎢ K 4 ( λ ) − ⎜ 3 ⎟ K 3 ( λ ) ⎥ C3 + ⎪⎪
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
⎪
⎡
⎤
⎪
⎛1− λ4 ⎞
+ ⎢ K1 ( λ ) − ⎜ 3 ⎟ K 4 ( λ ) ⎥ C4 = 0
⎪
⎝ λ ⎠
⎪⎭
⎣
⎦
Как видим, искомые константы, а следовательно и решение (9.5) уравнения
(9.4), зависят только от одного безразмерного параметра
m0 p 2
λ=
.
EJ
(9.19)
4
Нетривиальное решение системы (9.18) линейных однородных алгебраических
уравнений, соответствующее наличию колебаний, существует лишь при условии
равенства нулю ее определителя ∆(λ):
1
∆ ( λ ) = λ K 3 ( λ ) + (1 − λ 4 ) K 4 ( λ )
0
λ K1 ( λ ) + (1 − λ 4 ) K 2 ( λ )
λ3
λ K 2 ( λ ) + (1 − λ 4 ) K 3 ( λ ) .
λ 3 K 2 ( λ ) − (1 − λ 4 ) K1 ( λ ) λ 3 K 4 ( λ ) − (1 − λ 4 ) K 3 ( λ ) λ 3 K1 ( λ ) − (1 − λ 4 ) K 4 ( λ )
92
(9.20)
Определитель (9.20), зависящий от λ, называется частотным определителем,
поскольку в него входит частота колебаний балки p. Раскрыв этот определитель,
получим так называемое частотное уравнение. Корни λk частотного уравнения,
обращающие ∆(λ) в нуль, определяют собственные частоты балки pk. Из (9.19) получим
EJ
.
pk = λk2
(9.21)
m0 L4
Как видим, частота колебаний балки определяется, с одной стороны, параметрами самой балки – EJ, m0, L 4, а с другой – корнем λk частотного уравнения, зависящим от относительной величины присоединенных элементов (m, I, Cx1, Cx2, Cφ)
и от характера граничных условий.
Результаты вычисления корней λk частотного уравнения и собственных частот
pk приведены в табл. 2.
Таблица 2
Номер корня частотного уравнения
Собственная частота балки
Значение корня частотного уравнения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
λk
pk , рад/с
fk , Гц
0,994
1,189
2,705
5,655
8,744
11,86
14,98
18,11
21,25
24,36
27,15
38,8
200,9
878,1
2099
3861
6 166
9 012
12 399
16 296
4,320
6,18
31,98
139,7
334,1
614,6
981,3
1 434
1 973
2 593
3. Собственные формы балки
На собственных частотах pk система (9.18) имеет нетривиальное решение, поскольку на этих частотах ее определитель равен нулю. Однако, одно из уравнений
этой системы является на этих частотах следствием двух других и должно быть
отброшено. Отбрасывая в (9.18) второе уравнение, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными, одним из которых можно задаться произвольно. Из
двух уравнений системы (9.18) выражаем константы С3 и С4 через С1, то есть через линейное перемещение u(0) нулевого сечения балки:
1
C4 = − 3 C1 ;
(9.22)
λ
⎛1− λ4 ⎞
( 2 − λ ) K1 ( λ ) − λ K 2 ( λ ) − ⎜ λ 3 ⎟ K 4 ( λ )
⎝
⎠
.
C3 = C1
3
4
λ K 4 ( λ ) − (1 − λ ) K 3 ( λ )
4
3
93
(9.23)
Учитывая, что C2=0, для поперечных перемещений балки получаем:
⎡ ⎛ z⎞
⎤
⎢ K1 ⎜ λk L ⎟ +
⎥
⎠
⎢ ⎝
⎥
4
⎢
⎥
1 − λk
4
3
K 4 ( λk )
⎢ ( 2 − λk ) K1 ( λk ) − λk K 2 ( λk ) −
⎥
3
λk
⎛ z⎞ ⎥
⎢
uk ( z ) = C1k +
K 3 ⎜ λk ⎟ − .(9.24)
⎢
λk3 K 4 ( λk ) − (1 − λk4 ) K3 ( λk )
⎝ L⎠ ⎥
⎢
⎥
z
1
⎛
⎞
⎢
⎥
⎢ − λ 3 K 4 ⎜⎝ λk L ⎟⎠
⎥
⎢ k
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Таким образом, перемещения определяются с точностью до произвольного постоянного множителя C1k, то есть определяется только форма колебаний.
Дифференцируя выражение (9.24) один и два раза, получим распределение по
длине балки углов поворота и изгибающих моментов на собственных формах.
Соответствующие кривые представлены на рис. 9.7. При построении uk ( z ) за
единицу приняты C1k – перемещения левого конца балки, при построении uk′ ( z ) –
максимальные углы поворота сечений, а при построении uk′′′( z ) – максимальные
кривизны.
а)
б)
в)
Рис. 9.7. Собственные формы:а) поперечных отклонений,
б) углов поворота поперечного сечения, в) внутренних изгибающих моментов.
Собственные формы перемещений и углов поворота позволяют наглядно проконтролировать выполнение геометрических граничных условий. А сопоставление изгибающих моментов на правом конце балки с углом поворота u'( L ) в совокупности с выражением (9.12) – оценить выполнение одного из силовых граничных условий.
94
4. Проверка ортогональности собственных форм
Наиболее универсальной и точной проверкой правильности решения задачи
является проверка ортогональности полученных собственных форм.
Вычислим работу сил инерции k-й собственной формы на перемещениях l-й
собственной формы. Поскольку рассматриваемая механическая система содержит
и распределенные и сосредоточенные параметры, Akl имеет следующий вид:
⎡ L
⎤
Akl = ⎢ m0 ∫ uk ( z ) ul ( z ) dz + Muk ( L ) ul ( L ) + Iuk′ ( L ) ul′ ( L ) ⎥ pk2 .
(9.25)
⎣ 0
⎦
Формы колебаний uk(z) и ul(z) определены с точностью до произвольного постоянного каждая, так что (9.25) может иметь произвольное значение и мало пригодно для реальной оценки точности расчета. Значительно более информативна
величина относительной погрешности, не содержащая произвольных постоянных,
вычисляемая следующим образом:
L
δ=
m0 ∫ uk ( z ) ul ( z ) dz + muk ( L ) ul ( L ) + Iuk′ ( L ) ul′ ( L )
0
L
m0 ∫ uk ( z ) ul ( z ) dz + m uk ( L ) ul ( L ) + I uk′ ( L ) ul′ ( L )
.
(9.26)
0
При вычислении с помощью ЭВМ величина δ не должна превышать 1%. Результаты вычислений по формуле (9.26) приведены в табл. 3, где даны значения
каждого из слагаемых и погрешность δ. Указанному ограничению погрешность
удовлетворяет.
Таблица 3
L
Номера собственных форм
m0 ∫ uk ( z )ul ( z )dz
k=1
l=2
k=1
l=3
k=2
l=3
0,619 m0L С1
2
–0,229 m0L С1
2
–0,373 m0L С1
2
0,068 m0L С1
muk ( L)ul ( L)
Iuk ′ ( L)ul′ ( L)
δ
0
0,344 m0L С1
0,372 m0L С1
2
–0,39 m0L С1
2
–0,029 m0L С1
2
Equation Section 10
95
2
2
2
–0,44 m0L С1
0,0138%
0,00002%
−0,00007%
Задача №10.
КОЛЕБАНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ
ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
Условие задачи и варианты исходных данных
Балка, собственные частоты и собственные формы которой были определены
в задаче №9, совершает вынужденные колебания. Система вынуждающих сил показана на рис. 10.1.
M(t)
f(z,t)
m
z
m=m0L;
I=m0L3;
C=EJ/L3;
Cϕ=EJ/L.
l
P(t)
f(z,t)–плотность
распределенной
нагрузки, [Н/м]
L
Рис. 10.1. Типы нагружения балки
Частота вынуждающих воздействий ω = p1 + k ( p2 − p1 ) , где p1 и p2 – собственные частоты балки. Варианты исходных данных приведены в табл. 1.
В задаче требуется:
1) записать дифференциальное уравнение вынужденных колебаний балки под
действием заданной системы вынуждающих воздействий. Представив решение полученного уравнения в виде разложения по собственным формам
балки, получить уравнения для коэффициентов разложения;
2) рассчитать четыре собственные частоты и формы колебаний балки, найти
обобщенные массы и обобщенные силы, соответствующие всем собственным формам. В расчетах можно использовать результаты, полученные при
решении задачи №9;
3) проанализировать зависимость формы и максимальных значений амплитуд
колебаний и изгибающих моментов от числа слагаемых, удерживаемых в
методе главных координат, в нерезонансном режиме, когда
ω = p1 + k ( p2 − p1 ) ;
4) решить методом разложения по собственным формам задачу о вынужденных резонансных колебаниях той же балки при ω = p2 , используя гипотезу
Е.С. Сорокина. Принять ψ=0,1;
5) из условия прочности определить допускаемое значение плотности распределенной нагрузки при нерезонансном и резонансном режимах нагружения,
приняв нормативный коэффициент запаса прочности [ n−1 ] = 2,0 , предел выносливости σ −1 = 600 МПа ;
6) проанализировать влияние точки расположения сосредоточенных воздействий на амплитуду вынужденных колебаний. Найти координату точки приложения силы P(t) и момента M(t), обеспечивающую минимизацию амплитуды колебаний при резонансе.
96
Таблица 1
Порядковый номер цифры в варианте
Цифра варианта
1
2
l
L
M
f 0 L2
P
f0 L
1
0,20
0,8
0,4
2
0,25
0,7
0,5
3
0,30
0,6
0,6
4
0,35
0,5
0,7
5
0,40
0,8
0,4
6
0,45
0,7
0,5
7
0,50
0,6
0,6
3
4
f ( z)
f0
k
⎛π z ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ 2 L⎠
⎛π z ⎞
cos ⎜
⎟
⎝ 2 L⎠
⎛ z⎞
2sin ⎜ π ⎟
⎝ L⎠
⎛ z⎞
2cos ⎜ π ⎟
⎝ L⎠
z
L
z
1−
L
⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤
2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎣⎢ ⎝ L ⎠ ⎦⎥
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,50
2
8
0,55
0,5
0,7
9
0,60
0,8
0,3
0
0,65
0,7
0,5
⎛z⎞
2⎜ ⎟
⎝L⎠
⎡
⎛ z ⎞⎤
2 ⎢1 − sin ⎜ π ⎟ ⎥
⎝ L ⎠⎦
⎣
z⎞
⎛
2sin ⎜ 2π ⎟
L⎠
⎝
0,55
0,60
0,65
Пример решения задачи №10
Пусть система вынуждающих сил представлена распределенной нагрузкой
2
⎛z⎞
(10.1)
f ( t , z ) = 2 f 0 ⎜ ⎟ cos ωt ,
⎝L⎠
сосредоточенной силой
(10.2)
P(t ) = 0,8 f 0 L cos ωt
и сосредоточенным моментом
M (t ) = 0,8 f 0 L2 cos ωt.
(10.3)
97
Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент прикладываются в одном
сечении с координатой
(10.4)
z = l = 0,65 L.
Изобразим заданную балку с приложенными нагрузками, а также первые три
собственные формы колебаний балки на одном рисунке, разместив их друг под
другом (рис. 10.2).
f(z,t)
x
m,
I
M(t)
z
m0, L, EJ
P(t)
d
D
Cφ
Cx
EJ
;
L3
EJ
Сϕ =
;
L
m = m0 L ;
Cx
Сx =
l=0,65L
z
L
I = m0 L3 ;
1.5
I
2
⎛z⎞
f ( z , t ) = 2 f 0 ⎜ ⎟ cos ωt ;
⎝L⎠
P(t ) = 0,8 f 0 L cos ωt ;
1
II
0.5
M (t ) = 0,8 f 0 L2 cos ωt .
z
=ξ
L
0
III
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 10.2. Исходные данные к расчету вынужденных колебаний однопролетной балки.
I–первая собственная форма, II–вторая собственная форма, III–третья собственная форма.
1. Вынужденные колебания балки на нерезонансном режиме
1.1. Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня
Частота ω внешних гармонических нагрузок лежит между первой p1 и второй
p2 собственными частотами исследуемой балки:
ω = p1 + 0,5 ( p2 − p1 ) .
(10.5)
Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня под действием распределенной и сосредоточенной нагрузок можно записать в виде [1]:
98
∂ 4 x ( z, t )
∂ 2 x ( z, t )
EJ
+ m0
= f ( z , t ) + P ( t )σ 1 ( z − l ) + M ( t )σ 2 ( z − l ) .
(10.6)
∂z 4
∂t 2
Здесь σ 1 ( z − l ) – импульсивная функция первого порядка (функция Дирака);
σ 2 ( z − l ) – импульсивная функция второго порядка.
Решение уравнения (10.6) будем искать в виде
∞
x ( z , t ) = ∑ uk ( z ) qk ( t ) ,
(10.7)
k =1
где uk ( z ) – k-я собственная форма;
qk ( t ) = qk cos ωt – коэффициент разложения формы вынужденных колебаний
балки по ее собственным формам, так что qk – амплитуда k-й формы колебаний.
Коэффициенты разложения qk(t) должны удовлетворять дифференциальному
уравнению
Q (t )
qk + pk 2 qk = k ,
k = 1,2,... .
(10.8)
Mk
Здесь pk– k-я собственная частота балки;
M k – k-я обобщенная масса;
Qk ( t ) = Qk cos ωt – k-я обобщенная вынуждающая сила,
Qk – амплитуда k-й обобщенной силы.
Представим обобщенную силу суммой трех слагаемых:
Qk = Qk f + Qk P + Qk M ,
(10.9)
L
где Q = ∫ f ( z ) uk ( z ) dz –амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленная распреf
k
0
деленной нагрузкой;
QkP = Puk ( l ) –амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленная сосредоточенной силой (P=0,8f0L–амплитуда сосредоточенной силы);
QkM = Muk′ ( l ) –амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленная изгибающим
моментом (M=0,8f0L2–амплитуда сосредоточенного изгибающего момента).
Для вычисления обобщенных сил и обобщенных масс имеем следующие расчетные соотношения:
L
⎫
Qk = ∫ f ( z ) ⋅ uk ( z ) dz + P ⋅ uk ( l ) + M ⋅ uk′ ( l ) ⎪
⎪
0
(10.10)
⎬.
L
M k = ∫ m0 ⋅ uk2 ( z ) dz + m ⋅ uk2 ( L ) + I ⋅ uk′ 2 ( L ) ⎪
⎪
0
⎭
В формулах (10.10) uk(z) – безразмерная величина (форма колебаний), определяемая с точностью до произвольного множителя, так что Qk, имеющие размерность силы [Н], также определяются с точностью до этого множителя, а M k ,
99
имеющие размерность массы [кг], определяются с точностью до квадрата произвольного множителя.
Частное решение дифференциального уравнения (10.8), соответствующее установившимся колебаниям, имеет вид
Qk
1
(10.11)
qk ( t ) =
cos ωt ,
2
M k pk 1 − γ k2
где
γk =
ω
pk
.
Произведение M k pk2 = Ck можно трактовать как жесткость k-й собственной
формы балки. Тогда амплитуду k-й формы колебаний qk можно представить в
форме, аналогичной системе с одной степенью свободы:
Q 1
(10.12)
qk = k
,
Ck 1 − γ k2
Q
где k = qkst – статический прогиб балки по k-й форме под действием k-й обобCk
щенной силы;
1
= µk – коэффициент динамичности по перемещениям для k-й собственω2
1− 2
pk
ной формы.
Как видно из формул (10.11), (10.12), и qk (t ) , и qkst имеют размерность длины
[м], но определяются с точностью до произвольного множителя в знаменателе.
После подстановки (10.11) в (10.7) произвольный множитель сокращается, так что
в перемещения x(z, t), измеряемые в метрах, произвольный множитель не входит.
Это позволяет в промежуточных вычислениях в целях упрощения принимать этот
множитель равным единице.
z
du 1 du
.
Обозначим = ξ , так что dz = Ldξ ;
=
L
dz L dξ
Тогда формулы (10.10) примут следующий вид, удобный в численных расчетах на ЭВМ:
⎫
⎡ 1
⎤
du
2
*⎪
k
⎥ = f 0 LQk
Qk = f 0 L ⎢ ∫ 2ξ uk (ξ ) dξ + uk (ξl ) + 0,8
⎪
dz ξ = l ⎥
⎢ 0
⎪
⎣
L⎦
(10.13)
⎬.
2
⎡ 1
⎤
⎪
d u
M k = m0 L ⎢ ∫ uk2 (ξ ) dξ + uk2 (1) + 2k ⎥ = m0 LM*k
⎪
0
dz
⎢⎣
⎪⎭
ξ =1 ⎥
⎦
M
Q
В этих выражениях Qk * = k ; M k * = k – соответственно безразмерные (отf0 L
m0 L
носительные) обобщенные силы и массы.
100
st
После введения обозначений (10.13) статический прогиб балки qk примет вид
Qk*
f 0 L4 Qk*
f 0 L4 st*
qk .
=
=
(10.14)
4
* 4
λ
EJ
λ
EJ
EJ
M
k
M*k
4
m0 L
Результаты расчета безразмерных частот λk (корней частотного уравнения),
безразмерных обобщенных масс M*k , обобщенных сил Qk* , их составляющих
Qkf * , QkP* , QkM * , статических безразмерных прогибов qkst* , коэффициентов динамичности µk и амплитуд qk* = µk qkst* различных форм приведены в табл. 2.
Таблица 2
Qk
Qk
fL
=
= 0
2
Ck M k pk m0 L
Номер
формы
qkst =
λk
Qk*
QkP*
QkM *
Qkf *
M*k
qkst*
µk
qk* = µk qkst*
1
2
3
4
5
6
0,9943
1,189
2,705
5,655
8,744
11,86
1,699
–0,6720
–1,569
0,9210
5,053
–9,553
0,8527
0,3983
4,039·10–2
–0,7567
0,6831
0,1078
0,1241
–1,258
–1,566
1,922
4,155
–9,482
0,7217
0,1878
–4,300·10–2
–0,2446
0,2148
–0,1791
2,386
6,461
0,4865
0,5147
0,5046
0,5028
0,728
–0,052
–0,060
1,749·10–3
1,713·10–3
–9,604·10–4
–2,104
3,600
1,028
1,001
1,000
1,000
–1,533
–0,188
–0,062
1,752·10–3
1,713·10–3
–9,605·10–4
1.2.
Расчет перемещений и внутренних силовых факторов,
возникающих при вынужденных колебаниях
Аналитическое выражение закона движения (10.7) с учетом решения (10.11) и
данных табл. 2 принимает вид
f 0 L4
x ( z, t ) =
⎡ q1u1 ( z ) + q2u2 ( z ) + q3u3 ( z ) + ...⎤⎦ cos ωt .
(10.15)
EJ ⎣
Известно [2], что коэффициенты qk разложения формы вынужденных колеба1
ний в ряд по собственным формам (10.7) убывают как 4 . Это хорошо демонстk
рирует последний столбец табл. 2, из которого следует, что в выражении (10.15)
достаточным является удержание всего лишь двух слагаемых. Соотношение амплитуд, удерживаемых в разложении форм, становится особенно наглядным, если
в (10.15) вынести за скобку наибольший множитель – в данной задаче это q1:
⎤
f 0 L4 ⎡
q2
q3
(10.16)
x ( z , t ) = q1
u
z
u
z
u
z
.
..
+
+
+
(
)
(
)
(
)
2
3
⎢ 1
⎥ cos ωt .
EJ ⎣
q1
q1
⎦
В графической форме влияние количества удерживаемых слагаемых на формы
вынужденных колебаний представлено на рис. 10.3, где для сравнения приведен
результат расчета методом конечных элементов (AnSYS), принимаемый за этаf 0 L4
лон. Вертикальные отклонения приведены в параметре
.
EJ
101
Относительное отклонение
у
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.7
1.75
1.8
Рис. 10.3. Форма вынужденных колебаний балки
По-иному обстоит дело при вычислении изгибающих моментов
∂ 2 x ( z, t )
M ( z , t ) = EJ
∂z 2
в поперечном сечении балки
⎛ z⎞
Принимая во внимание, что uk ( z ) = uk ⎜ λk ⎟ , получаем:
⎝ L⎠
2
d 2uk ⎛ λk ⎞
= ⎜ ⎟ uk′′ ( z ) ,
dz 2 ⎝ L ⎠
где под uk′′ ( z ) следует понимать производную от uk по аргументу
λk
L
Подставляя (10.15) и (10.18) в (10.17), получаем:
M ( z , t ) = f 0 L2 ⎡⎣ q1λ12u1′′( z ) + q2λ22u2′′ ( z ) + q3λ32u3′′ ( z ) + ...⎤⎦ cos ωt
(10.17)
(10.18)
z.
.
(10.19)
Поскольку λk изменяются примерно пропорционально k, а λk – примерно как
то ряд (10.19) для изгибающих моментов сходится как
1
,
k4
1
, то есть достаточно
k2
медленно [2].
В табл. 3 приведены значения коэффициентов разложения qk*λk2 , показывающие,
что для получения инженерной точности необходимо в рассматриваемой задаче
удержать не менее 6 слагаемых. О том же говорит и графическое представление
102
амплитуд изгибающих моментов, показанное на рис. 10.4 (по оси ординат привеM
).
дена величина относительного изгибающего момента
f 0 L2
Таблица 3
Коэфk
фициенты разложения
qλ
Относительный изгибающий момент
* 2
k k
Внешний сосредоточенный момент
1
2
3
4
M ( t ) = 0,8 f 0 L2 cos ωt
–1,515
–0,2650
–0,4528
–5,600·10–2
M (t ) = 0
–1,404
–3
0,2311
5
–2
–0,755·10
–6,092·10
6
0,1310
0,1351
–1
0,233·10
–0,101·10–2
0.6
l
0.4
L
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.2
0.4
Рис. 10.4. Форма изгибающего момента при вынужденных колебаниях
Здесь эпюры моментов, рассчитанные при числе удерживаемых членов в разложении (10.19) N=3, N=6, N=9, сопоставляются с эпюрой моментов, рассчитанной методом конечных элементов с помощью пакета ANSYS.
Следует, однако, учитывать следующие три обстоятельства.
Во-первых, используемая модель балки, в которой не учитываются деформации сдвига и инерция поворота сечений, пригодна для расчета лишь низших частот и форм колебаний, при которых длина волны изгиба велика по сравнению с
высотой поперечного сечения балки. Поэтому любое число слагаемых ряда
(10.19) не может дать результата, близкого к экспериментально замеренному или
к тому, который дает расчет, использующий более точную расчетную модель –
скажем, балку Тимошенко.
Второе обстоятельство состоит в том, что в уточнении вычисляемого момента
просто нет необходимости. Обратим внимание на 3, 5-й столбцы табл. 2. Они показывают, что рост обобщенной вынуждающей силы Qk* , а следовательно и соответствующего qk* , с ростом k обусловлен составляющей QkM * , что вызвано ростом
103
du
с увеличением номера формы. Если к балке не приложены соdz
средоточенные внешние моменты, ситуация существенно изменяется. Так, в
третьей строке табл. 3 приведены коэффициенты разложения M(z,t) в форме
(10.19) при отсутствии сосредоточенного внешнего момента M(t). Как видим, в
этом случае для получения инженерной точности (~5%) в разложении (10.19) достаточно удержать всего 2 слагаемых.
Сосредоточенный момент M(t) – достаточно экзотический вид нагружения
балки, поскольку требует для своей реализации больших сосредоточенных сил,
способных создать местные напряжения, превышающие изгибные напряжения,
вызванные этим моментом.
Но самое главное обстоятельство заключается в том, что при гармоническом
нагружении любой конструкции она подлежит проверке на прочность при работе
на резонансном режиме, либо при проходе через резонанс. Нерезонансный же режим обычно не представляет для конструкции опасности и потому, если напряжения в этом режиме и определяются, то такие расчеты носят лишь оценочный
характер. Практически это означает, что даже при определении напряжений на
нерезонансном режиме в подавляющем большинстве случаев нет необходимости
в методе разложения по собственным формам удерживать более двух слагаемых.
углов поворота
2. Вынужденные колебания балки на резонансном режиме
Отличие этого случая от предыдущего состоит, главным образом, в необходимости учитывать демпфирование в системе, поскольку при его отсутствии
формула (10.11) дает коэффициент разложения для резонирующей формы, равный бесконечности. Трение в системе учитывается по Е.С. Сорокину введением
комплексного модуля упругости
ψ ⎞
⎛
E * = E ⎜1 + i
(10.20)
⎟,
2π ⎠
⎝
где ψ – коэффициент рассеяния в материале балки – принимается амплитудонезависимым ψ=0,1.
Трение, принимаемое в форме (10.20), является пропорциональным, что позволяет методом разложения по собственным формам консервативной системы
получить точное решение задачи о вынужденных колебаниях неконсервативной
системы.
При гармонических вынуждающих воздействиях (10.1), (10.2), (10.3) и разложение по собственным формам имеет вид, аналогичный (10.7):
∞
x ( z , t ) = ∑ qk uk ( z ) cos (ωt + ϕ k ) ,
(10.21)
k =1
где амплитудные значения коэффициентов разложения определяются формулой:
Qk
qk =
,
2
2
(10.22)
⎛ψ ⎞
M k pk2 (1 − γ k2 ) + ⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
104
а появляющиеся сдвиги по фазе φk перемещения по отношению к вынуждающей
силе формулой:
ψ
2π .
(10.23)
1 − γ k2
Теперь коэффициенты динамичности µk зависят и от частоты ω и от демпфирования в материале балки:
1
.
µk =
2
2
(10.24)
ψ
(1 − γ k2 ) + ⎛⎜⎝ 2π ⎞⎟⎠
Следствием сдвига фаз φk, зависящего от соотношения частот γk, является то,
что амплитуды колебаний разных форм не синфазны, то есть перемещения по
разным формам достигают максимумов в различные моменты времени и понятие
формы вынужденных колебаний в данном случае является некорректным.
Результаты расчета коэффициентов
Таблица 4 динамичности µ , амплитуд q* , сдвига
k
k
*
st *
фаз φk различных собственных форм
qk = µk qk
φk
k
µk
приведены в табл. 4. Результаты пока1
0,960
0,698
0,874
зывают, что амплитуда 1-й формы составляет 21%, а амплитуда 3-й формы
2
62,8
–3,27
90,0
–2
– всего 2% от амплитуды второй – ре3
1,04
–6,25·10
–0,947
–3
зонирующей формы. И, казалось бы, в
4
–0,914
1,00
1,75·10
разложении по собственным формам
(10.21) необходимо удерживать 2 слагаемых. Однако, сдвиг по фазе двух удерживаемых форм (первой и второй) составляет, практически, 90°. Это значит, что в
момент времени, когда перемещения по второй (резонирующей) форме максимальны, перемещения по первой (дорезонансной) форме практически равны нулю. Равны нулю перемещения и по всем высшим формам, опережающим вторую
на 90°. Следовательно, в выбранный момент времени форма вынужденных колебаний с высокой степенью точности совпадает с резонирующей второй собственной формой (гипотеза Видлера). Однако через четверть периода колебаний, когда
перемещения по резонирующей второй форме обратятся всюду в нуль, достигнут
максимума перемещения по первой форме и по всем высшим формам – третьей и
т.д. Поскольку амплитуда третьей формы на порядок меньше первой, можно считать, что в этот момент времени форма изогнутой оси балки близка к ее первой
собственной форме. Так что же, гипотеза Видлера неверна? Да, она нестрога.
Нужно, однако, помнить, что в большинстве инженерных задач интерес представляют максимальные перемещения, а они достигаются именно в тот момент, когда
балка изогнута по резонирующей второй форме. В этом смысле и следует понимать гипотезу Видлера, которая, как видим, выполняется даже при достаточно
высоком принятом коэффициенте рассеяния (ψ=0,1), и несмотря на то, что собственные частоты первой и второй (резонирующей) форм отличаются всего на 12%.
tg ϕ k = −
105
Вычисление изгибающих моментов в балке при наличии пропорционального трения осуществляется по формуле, аналогичной (10.19), но учитывающей несинфазность колебаний по различным формам:
M ( z , t ) = f 0 L2 ∑ ⎡⎣ qk*λk2uk′′ ( z ) cos (ωt + ϕk ) ⎤⎦.
(10.25)
k
*
k
Здесь q и φk следует взять из табл. 4. Соответствующие коэффициенты разложения в формуле (10.25) приведены в табл. 5.
Напомним, что в случае межрезонансных колебаний консервативной системы
для получения инженерной точности в разложении по собственным формам для
изгибающих моментов нужно было удержать 6 слагаемых (табл. 3). В случае резонансных колебаний коэффициенты разложения также убывают медленно (табл.
5). Однако, если в системе без трения все собственные формы колебаний либо
синфазны, либо противофазны, то в неконсервативной системе изгибающие моменты по разным формам, как и перемещения, достигают максимума в разные
моменты времени. На рис. 10.5 показано изменение во времени коэффициентов
разложения изгибающих моментов трех первых форм. Как видим, несмотря на
значительную величину первой и третьей гармоник, максимальный изгибающий
момент практически точно совпадает с максимумом второй гармоники, так что
для количественных расчетов в разложении (10.25) вполне достаточно удержиТаблица 5 вать всего одно слагаемое, соответствующее резонирующей
k
1
2
3
4
5
форме.
qk* ⋅ λk2 0,691 –4,625 –0,458 0,056 0,131
10
q2* ⋅ λ22 ⋅ cos (ωt + ϕ 2 )
5
q3* ⋅ λ32 ⋅ cos (ωt + ϕ3 )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
q1* ⋅ λ12 ⋅ cos (ωt + ϕ1 )
5
10
Рис. 10.5. Изменение во времени коэффициентов разложения изгибающих моментов
График изгибающего момента, включающего основную (вторую) гармонику,
представлен на рис. 10.6.
106
Относительный изгибающий момент
10
8
6
4
2
0,57
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Относительная координата сечения балки
0.8
0.9
1
Рис. 10.6. Форма изгибающего момента на резонансе при ω=p2
2.1. Определение допускаемого значения параметра распределенной
нагрузки из условия усталостной прочности
В условии прочности балки при изгибе
max M σ −1
max σ =
≤
(10.26)
Wx
[ n−1 ]
воспользуемся результатами расчета максимальных амплитуд изгибающих моментов (10.19), приведенных на рис. 10.4 (нерезонансный случай):
max M = Μ *max f 0 L2 .
(10.27)
Выбирая в качестве максимального амплитудного значения изгибающего момента значение, соответствующее расчету по наибольшему числу членов ряда (а
именно, с удержанием девяти членов ряда), получаем:
max M = 0,596 f 0 L2 .
(10.28)
Тогда величина искомого параметра распределенной нагрузки составляет:
1 σ −1 Wx
H
148
.
=
[ f0 ]нр =
(10.29)
0,596 [ n−1 ] L2
м
Н
Если же n=3, то соответственно max M = 0,352 f 0 L2 и тогда [ f ]нр = 250 .
м
По поводу различия результатов смотрите замечания пункта 1.2.
Для резонансного режима нагружения maxM берем с кривой, изображенной на
рис. 10.6. Здесь
max M = 8,16 f 0 L2 .
(10.30)
Отсюда
1 σ −1 Wx
H
11
.
=
[ f0 ] рез =
(10.31)
8,16 [ n−1 ] L2
м
Сопоставление [f0]рез и [f0]нр показывает, что в резонансном режиме допускаемые
нагрузки во много раз меньше, чем в нерезонансном.
107
Относительная обобщенная сила
2.2. Минимизация амплитуды вынужденных колебаний
Из свойств вынужденных колебаний известно, что k-я собственная форма не
возбуждается, если система вынуждающих сил ортогональна этой форме, то есть
Qk=0. Благодаря этому в системах со многими степенями свободы при действии
нескольких вынуждающих сил существует возможность подавления некоторых
форм колебаний за счет изменения расположения вынуждающих сил по отношению к колебательной системе. Попытаемся в рассматриваемой системе минимизировать амплитуду 2-й формы за счет перемещения силы P(t) и момента M(t) в
другую точку.
На рис. 10.7 построены кривые зависимости составляющих:
P
M
Q2f
P*
M*
f*
′
Q2 =
u2 ( l ) , Q2 =
u2 ( l ) , Q2 =
f0 L
f 0 L2
f0 L
и суммарной обобщенной силы трех составляющих
Q
Q2* = 2
f0 L
от координаты l точки приложения сосредоточенных нагрузок.
Приведенные графики показывают, что в случае приложения вынуждающей
силы P(t) и момента M(t) в одной точке l=0,43L удается сделать систему вынуждающих воздействий ортогональной ко второй собственной форме и, тем самым,
обратить в нуль амплитуду основной составляющей формы вынужденных колебаний системы.
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
2
Рис. 10.7. Составляющие обобщенной силы на второй форме при изменении точки приложения сосредоточенных нагрузок
Equation Section 11
108
Задача №11. КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ
Условие задачи и варианты исходных данных
Задана прямоугольная плоская рама (рис. 11.1), состоящая из двух жестко соединенных под прямым углом стержней постоянного поперечного сечения, каждый из которых может совершать продольные, крутильные и изгибные колебания.
Вариант 3
Вариант 2
Вариант 1
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 4
Вариант 7
Рис. 11.1. Расчетные схемы рам к задаче №11
109
Требуется в общем виде получить частотный определитель, из которого могут
быть найдены собственные частоты совместных изгибно-продольных колебаний
рамы в ее плоскости и изгибно-крутильных колебаний из плоскости рамы. Для
этого необходимо:
1) записать выражения для форм продольных (крутильных) и изгибных колебаний в плоскости (из плоскости) рамы;
2) записать граничные условия для обоих стержней при изгибно-продольных
(изгибно-крутильных) колебаниях;
3) записать геометрические и силовые условия сопряжения стержней;
4) получить систему уравнений для определения произвольных постоянных и
частотный определитель.
Пример решения задачи №11
Расчетная схема рамы представлена на рис. 11.2.
Рис. 11.2. Расчетная схема механической системы
Введем две правые местные системы координат O1 , x1 , y1 , z1 и O2 , x2 , y2 , z2 ,
связанные с недеформированным положением стержней рамы. Оси z1 , z2 системы
направим по осям стержней.
Обозначим:
u1 , u2 – перемещения сечений первого и второго стержней по направлениям x1 , x2
соответственно;
v1 , v2 – перемещения в направлениях y1 , y2 ;
w1 , w2 – перемещения в направлениях z1 , z2 ;
θ1 , θ 2 – углы вращения относительно осей z1 , z2 .
110
1. Изгибно-продольные колебания
1.1. Формы колебаний
Формы продольных колебаний стержней имеют следующий вид:
w1 ( z1 ) = C1 cos β1 z1 + C2 sin β1 z1 ,
w2 ( z2 ) = C3 cos β 2 z2 + C4 sin β 2 z2 ,
где β =
(11.1)
ρi p 2
(i = 1,2) , ρi , Ei – плотность материала i -того стержня и его модуль
Ei
упругости, p – частота колебаний.
Формы изгибных колебаний стержней имеют следующий вид
u1 ( z1 ) = C5 K1 (α1 z1 ) + C6 K 2 (α1 z1 ) + C7 K 3 (α1 z1 ) + C8 K 4 (α1 z1 ),
(11.2)
v1 ( z2 ) = C9 K1 (α 2 z2 ) + C10 K 2 (α 2 z2 ) + C11K 3 (α 2 z2 ) + C12 K 4 (α 2 z2 ),
2
i
m01 p 2
m p2
, α 24 = 02 , m01 , m02 – погонные плотности стержней, J y1 , J x 2 –
E1 J y1
E2 J x 2
моменты инерции сечений стержней относительно соответствующих осей,
K i (α z ) (i = 1,2,3,4) – функции Крылова.
где α14 =
1.2. Граничные условия
Формы колебаний (11.1), (11.2) содержат 12 произвольных постоянных, для
определения которых необходимо иметь 12 условий. Таковыми являются граничные условия на концах стержней (6 условий) и условия сопряжения стержней в
точке O2 – еще 6 условий.
В точке O1 при продольно-изгибных колебаниях стержня 1 условия закрепления стержня накладывают следующие ограничения:
u1 (0) = 0; u1′ (0) = 0; w1 (0) = 0
(11.3)
– это геометрические условия.
В точке А на конце второго стержня имеем следующие силовые условия:
E2 F2 w2′ (l2 ) = M 2 p 2 w2 (l2 ),
v2′′(l2 ) = 0,
(11.4)
E2 J x 2v2′′′(l2 ) = ( M 2 p 2 − C y 2 ) v2 (l2 ).
111
1.3. Условия сопряжения стержней
1.3.1. Геометрические условия сопряжения
Геометрические условия сопряжения стержней в точке O2 очевидны. Они определяются взаимной ориентацией систем координат, связанных со стержнями:
u1 (l1 ) = w2 (0),
u1′ (l1 ) = v2′ (0),
w1 (l1 ) = −v2 (0).
(11.5)
1.3.2. Силовые условия сопряжения стержней
Для установления связи силовых факторов в стержнях в окрестности точки O2
поступим следующим образом.
а. Вырежем узел O2 вместе с закрепленным в нем инерционным элементом и
придадим этому узлу малые положительные обобщенные перемещения
u1 (l1 ), w1 (l1 ), u1′ (l1 ) (рис. 11.3). Равным образом можно использовать систему перемещений v2 (0), w2 (0), v2′ (0) .
б. Определим и изобразим на расчетной схеме рис. 11.3 внешние силы упругости пружин и силы инерции масс, обусловленные перемещениями узла. Это силы инерции M 1 p 2u1 (l1 ), M 1 p 2 w1 (l1 ) и момент сил инерции I y1 p 2u1′(l1 ) . Их направления совпадают с направлениями обобщенных перемещений и показаны на
рис. 11.3. Ось невесомой пружины C y1
перпендикулярна плоскости z1 z2 , в которой колеблется точка O2 , так что эта
пружина не создает сил, влияющих на это
движение.
в. Действие на узел O2 отброшенных
стержней заменим силами N1 и N 2 ,
Qx1 , Qy 2 , и моментами M y1 , M x 2 (см. рис.
11.3), направленными так, что они создают в прилегающих к узлу O2 участках
стержней положительные внутренние сиРис. 11.3. Схема динамического равноловые факторы (см. задачу №9).
весия инерционного элемента
г. Составим уравнения равновесия сил
в проекциях на оси x1 , z1 и уравнение моментов относительно оси y1 , ориентируясь на знаки проекций, вытекающие из рис. 11.3:
N 2 +M 1 p 2u1 (l1 ) + Qx1 (l1 ) = 0,
∑ ( X1 )k = 0
∑ (Z ) = 0
∑ (M ) = 0
1 k
y1 k
Qy 2 (0) + M 1 p 2 w1 (l1 ) − N1 (l1 ) = 0,
M x 2 (0) + I y1 p 2u1′ (l1 ) − M y1 (l1 ) = 0.
112
(11.6)
Выражая N1 , N 2 , Qx1 , Qy 2 , M x 2 , M y1 через производные функций w1 , w2 , u1 , v2 ,
окончательно получаем силовые условия сопряжения стержней в следующем виде:
E2 F2 w2 (0) + E1 J y1u1′′′(l1 ) + M 1 p 2u1 (l1 ) = 0,
E2 J x 2v2′′′(0) + M 1 p 2 w1 (l1 ) − E1F1w1′(l1 ) = 0,
(11.7)
E2 J x 2v2′′(0) + I y1 p 2u1′(l1 ) − E1 J y1u1′′(l1 ) = 0.
1.4. Получение частотного определителя
Подставляя в условия (11.3), (11.4), (11.5), (11.7) функции u1 ( z1 ) , w1 ( z1 ) , v2 ( z2 ) ,
w2 ( z2 ) и их производные из (11.1), (11.2), получим однородную систему 12 линейных однородных алгебраических уравнений с 12 неизвестными коэффициентами Ci . Нетривиальное решение, соответствующее наличию изгибнопродольных колебаний в раме, существует лишь в том случае, если определитель
∆( p ) полученной системы (частотный определитель), зависящий от частоты колебаний p , равен нулю. Эти частоты, обращающие ∆( p ) в нуль, и являются собственными частотами изгибно-продольных колебаний. Как видно из выражений
(11.1) и (11.2), определитель ∆( p ) в общем случае зависит от α1 , α 2 , β1 , β 2 , т.е. от
всех упруго-массовых и геометрических характеристик обоих стержней
E1 , E2 , ρ1 , ρ 2 , F1 , F2 , J y1 , J x2 , а также от параметров M 1 , M 2 , C x1 , C y 2 , I x 2 , I z 2
присоединенных сосредоточенных элементов, что значительно усложняет интерпретацию получаемых результатов.
2. Изгибно-крутильные колебания рамы
2.1. Формы колебаний
Формы крутильных аналогичны формам (11.1) продольных колебаний, т.е.
θ1 ( z1 ) = C1 ⋅ cos β1k z1 + C2 ⋅ sin β1k z1 ,
(11.8)
θ 2 ( z2 ) = C3 ⋅ cos β 2 k z2 + C4 ⋅ sin β 2 k z2 ,
J pi ρi p 2
2
где β ik =
(i = 1,2) , ρi , Gi – плотность и модуль сдвига материала стержGi J ki
ней, J pi , J ki – полярный момент инерции и геометрический фактор жесткости на
кручение сечения стержней.
Формы изгибных колебаний стержней из плоскости рамы совпадают с (11.2):
v1 ( z1 ) = C5 K1 (α1′z1 ) + C6 K 2 (α1′z1 ) + C7 K 3 (α1′z1 ) + C8 K 4 (α1′z1 ),
(11.9)
u2 ( z2 ) = C9 K1 (α 2′ z2 ) + C10 K 2 (α 2′ z2 ) + C11K 3 (α 2′ z2 ) + C12 K 4 (α 2′ z2 ),
m01 p 2
m02 p 2
4
; m01 , m02 – погонные плотности стержней; J x1 , J y 2 –
где α1′ =
, α 2′ =
E1 J x1
E2 J y 2
4
–моменты инерции сечений стержней относительно соответствующих осей.
113
2.2. Граничные условия
В точке O1 при изгибно-крутильных колебаниях стержня 1 должны выполняться три геометрических условия:
(11.10)
θ1 (0) = 0; v1 (0) = 0; v1′(0) = 0 .
В точке А на конце второго стержня имеем три силовых условия:
θ 2′ (l2 ) = 0; u2′′(l2 ) = 0; E2 J y 2u2′′′(l2 ) = − M 2 p 2u2 (l2 )
(11.11)
.
При записи третьего условия из (11.11) считается, что пружина C y 2 не создает силы в направлении x2 .
2.3. Условия сопряжения стержней
2.3.1. Геометрические условия сопряжения
(11.12)
v1 (l1 ) = −u2 (0),
v1′ (l1 ) = −θ 2 (0),
θ1 (l1 ) = −u2′ (0).
2.3.2. Силовые условия сопряжения
а. Аналогично предыдущему случаю вырезаем узел O2 и придаем ему малые
положительные обобщенные перемещения v1 (l1 ), v1′(l1 ), θ1 (l1 ) .
б. Определяем величины и направления силы упругости пружины
C x1 и сил инерции массивного элемента M 1 , приложенных к узлу O2
(рис. 11.4).
Сила упругости C y1v1 (l1 ) обусловлена
перемещением узла v1 (l1 ) и направлена в сторону, противоположную перемещению. Сила инерции M 1 p 2v1 (l1 )
массивного элемента также обусловлена его перемещением v1 (l1 ) , но направлена в сторону перемещения, что
и показано на рис. 11.4. Момент сил
инерции I z1 p 2θ1 (l1 ) обусловлен поворотом массивного элемента вокруг
его оси, совпадающей с осью z1 , а
момент сил инерции I z 2 p 2v1′(l1 ) – поворотом массивного элемента на веРис. 11.4. Схема динамического равновесия
личину v1′(l1 ) вокруг оси z2 . Оба эти
инерционного элемента
момента направлены в сторону обоб′
щенных перемещений θ1 и v1 соответственно (см. рис. 11.4).
в. Действие на узел O2 отброшенных стержней заменяем внешними силами
Qy1 , Qx 2 и моментами M x1 , M y 2 , T1 , T2 , направленными таким образом, чтобы
вызванные ими поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты в участках
114
стержней, прилегающих к узлу O2 , были положительными. Такие силы и моменты показаны на рис. 11.4.
г. Составляем уравнения равновесия сил в проекциях на ось y1 (или x2 ) и
уравнения равновесия моментов относительно осей z1 и z2 :
Qx 2 (0) +M 1 p 2v1 (l1 ) − C y1v1 (l1 ) + Qy1 (l1 ) = 0,
∑ (Y1 )k = 0
∑ (M
∑ (M
) =0
z1 k
− M y 2 (0) + I y 2 p 2θ1 (l1 ) − T1 (l1 ) = 0,
(11.13)
) =0
T2 (0) − I z 2 p 2v1′ (l1 ) + M x1 (l1 ) = 0.
Выражая M x1 (l1 ) , T1 (l1 ) , M y 2 (0) , T2 (0) , Qy1 (l1 ) , Qx 2 (0) через производные функций
θ1 , θ 2 , v1 , u2 , получаем
E2 J y 2u2′′′(0) + E1 J x1v1′′′(l1 ) + ( M 1 p 2 − C y1 )v1 (l1 ) = 0,
z2 k
I y 2 p 2θ1 (l1 ) − G1 J k1θ1′(l1 ) − E2 J y 2u2′′(0) = 0,
(11.14)
E1 J x1v1′′(l1 ) + G2 J k 2θ 2′ (0) − I z 2 p 2v1′ (l1 ) = 0.
2.4. Получение частотного определителя
Подставляя в условия (11.10)–(11.14) функции v1 ( z1 ) , u2 ( z2 ) , θ1 ( z1 ) , θ 2 (z2 ) и их
производные из выражений для форм колебаний (11.8), (11.9), получаем систему
12-ти линейных однородных алгебраических уравнений относительно 12-ти неизвестных коэффициентов Ci (i = 1, 2,...,12) :
C1 = 0,
(11.15)
C5 = 0,
(11.16)
C6 = 0,
(11.17)
⎧ C3 sin ( β 2 k l2 ) + C4 cos ( β 2 k l2 ) = 0,
⎪
⎪ C9 K 3 (α 2′l2 ) + C10 K 4 (α 2′l2 ) + C11K1 (α 2′l2 ) + C12 K 2 (α 2′l2 ) = 0,
⎪ C ⎡ M p 2 K (α ′l ) + E J α ′3 K (α ′l ) ⎤ + C ⎡ M p 2 K (α ′l ) + E J α ′3 K (α ′l ) ⎤ +
1
2 2
2 y2 2
2
2 2 ⎦
10 ⎣
2
2
2 2
2 y2 2
3
2 2 ⎦
⎪ 9⎣ 2
⎪+C ⎡ M p 2 K (α ′l ) + E J α ′3 K (α ′l ) ⎤ + C ⎡ M p 2 K (α ′l ) + E J α ′3 K (α ′l ) ⎤ = 0,
12 ⎣
2
4
2 2
2 y2 2
1
2 2 ⎦
3
2 2
2 y2 2
4
2 2 ⎦
⎪ 11 ⎣ 2
⎪ C K (α ′l ) + C K (α ′l ) + C = 0,
8 4
11
9
⎪ 7 3 11
⎪ C3 + C7α1′K 2 (α1′l1 ) + C8α1′K 3 (α1′l1 ) = 0,
⎪
⎨ C2 sin β1k l1 + C10α 2′ = 0,
⎪
3
2
⎪ C7 ⎡⎣ E1 J x1α 2′ K 4 (α1′l1 ) + ( M 1 p − C y1K 3 (α1′l1 ) ⎤⎦ +
⎪
2
3
3
⎪+C8 ⎡⎣ E1 J x1α 2′ K1 (α1′l1 ) + ( M 1 p − C y1 ) K 4 (α1′l1 ) ⎤⎦ + C12 E2 J y 2α 2′ = 0,
⎪
2
2
⎪ C2 ⎡⎣ I y 2 p sin β1k l1 − G1 J k 1β1k cos β1k l1 ⎤⎦ − C11E2 J y 2α 2′ = 0,
⎪
2
2
⎪ C4G2 J k 2 β 2 k + C7 ⎡⎣ E1 J x1α1′ K1 (α1′l1 ) − I z 2 p α1′K 2 (α1′l1 ) ⎤⎦ +
⎪
2
2
⎪⎩+C8 ⎡⎣ E1 J x1α1′ K 2 (α1′l1 ) − I z 2 p α ′K 3 (α1′l1 ) ⎤⎦ = 0.
(11.18)
115
В рассматриваемом случае, благодаря однородным граничным условиям
(11.10), три произвольных постоянных определяются сразу, так что система уравнений (11.18) сводится к девяти уравнениям относительно девяти неизвестных.
Приравнивая нулю определитель полученной системы, получаем ∆( p ) , зависящий при фиксированных параметрах системы от частоты собственных колебаний p . Частоты pk (их бесконечное множество), обращающие ∆( p ) в нуль, являются собственными частотами связанных изгибно-крутильных колебаний рамы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику.–2-е изд.,
пер.и доп.–М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1991.–256 с.
2. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний.–М.: Высш. школа, 1980.–
408 с., ил.
3. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем/ Под
ред. В.В.Болотина.–М.: Машиностроение, 1978.–352 с., ил.
4. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических
систем. –Киев: Наукова думка, 1985.–215 с.
116