Аналитическая динамика и теория колебаний

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра «Техническая механика» 534(07) Р693 В.А. Романов, П.А. Тараненко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Учебное пособие Челябинск Издательский центр ЮУрГУ 2019 УДК 534(075.8)+531.3(075.8) Р693 Одобрено учебно-методической комиссией аэрокосмического факультета Рецензенты: Л.Г. Знаменский, В.В. Ерофеев Романов, В.А. Р693 Аналитическая динамика и теория колебаний: учебное пособие / В.А. Романов, П.А. Тараненко. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2019. – 177 с. Пособие содержит контрольные задания по тринадцати задачам, выполняемым студентами специальности «Прикладная механика» при изучении курса «Аналитическая динамика и теория колебаний». Для каждой задачи приводится пример решения. В необходимых случаях даются пояснения теоретических положений и проводится обсуждение УДК 534(075.8)+531.3(075.8) © Издательский центр ЮУрГУ, 2019 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................................................. 6 Задача №1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА Условие задачи и варианты исходных данных .......................................... 8 Пример решения задачи №1 ...................................................................... 10 1. Классификация механической системы ............................................... 10 2. Условие динамического равновесия ..................................................... 11 3. Уравнение движения............................................................................... 11 4. Линеаризация уравнения ........................................................................ 14 Задача № 2. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 15 Пример решения задачи №2 ...................................................................... 17 1. Классификация механической системы ............................................... 17 2. Определение положений равновесия .................................................... 18 3. Проверка выполнения условий статики для найденных положений равновесия................................................................................................ 20 Задача №3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 22 Пример решения задачи №3 ...................................................................... 23 1. Классификация механической системы ............................................... 24 2. Уравнение Лагранжа второго рода........................................................ 26 3. Линеаризация дифференциального уравнения .................................... 27 Задача № 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ФОРМЕ Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 28 Пример решения задачи № 4 1. Уравнения движения в обратной форме ............................................... 30 2. Собственные частоты и собственные формы ...................................... 31 3. Проверка ортогональности собственных форм ................................... 33 4. Свободные колебания ............................................................................. 35 Задача №5. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ, СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 39 Пример решения задачи №5 1. Дифференциальные уравнения движения ............................................ 41 2. Собственные частоты и собственные формы механической системы ................................................................................................................... 44 3. Парциальные подсистемы ...................................................................... 46 4. Главные координаты ............................................................................... 48 3 Задача №6. МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 50 Пример решения задачи №6 ...................................................................... 54 1. Определение диаметра поперечного сечения рамы ............................ 55 2. Установившиеся резонансные колебания при наличии гистерезисного и сухого трения ............................................................ 56 3. Определение коэффициента жидкостного трения .............................. 62 4. Определение коэффициента эквивалентного трения .......................... 63 5. Зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний. 64 6. Поведение механической системы при изменении амплитуды вынуждающей силы ................................................................................ 65 Задача №7. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯEquation Section 7 Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 68 Пример решения задачи №7 1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний ................. 69 2. Определение коэффициентов сопротивления демпферов вязкого трения ....................................................................................................... 70 3. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях методом комплексных амплитуд ........................................................... 78 4. Решение задачи о резонансных колебаниях методом разложения по собственным формам......................................................................... 88 5. Сравнение амплитуд вынужденных колебаний, найденных двумя методами .................................................................................................. 89 Задача №8. АНТИРЕЗОНАНСEQUATION SECTION 8 Условие задачи и варианты исходных данных ........................................ 93 Пример решения задачи №8 1. Определение антирезонансных частот ................................................. 93 2. Антивибратор ........................................................................................ 101 3. Определение параметров антивибратора ........................................... 105 Задача №9. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА Условие задачи и варианты исходных данных ...................................... 108 Пример решения задачи №9 .................................................................... 111 1. Характеристика восстанавливающей силы ........................................ 112 2. Построение скелетной кривой методом прямой линеаризации ....... 114 3. Представление движения на фазовой плоскости............................... 119 4. Определение зависимости частоты свободных колебаний интегрированием дифференциального уравнения движения .......... 121 4 Задача №10. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ Условие задачи и варианты исходных данных ...................................... 124 Пример решения задачи №10 .................................................................. 127 1. Дифференциальные уравнения свободных поперечных колебаний балки, форма прогиба, граничные условия ........................................ 127 2. Частотное уравнение............................................................................. 131 3. Собственные формы балки .................................................................. 134 4. Проверка выполнения граничных условий ........................................ 137 5. Проверка ортогональности собственных форм ................................. 138 Задача №11. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ. СЛУЧАЙ НЕРЕЗОНАНСНОГО РЕЖИМА КОЛЕБАНИЙ Условие задачи и варианты исходных данных ...................................... 139 Пример решения задачи №11 .................................................................. 140 1. Статический расчет балки .................................................................... 141 2. Расчет вынужденных колебаний балки на нерезонансном режиме методом разложения по собственным формам .................................. 146 3. Определение допускаемого условием прочности значения параметра распределенной нагрузки .................................................. 154 Задача №12. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ. СЛУЧАЙ РЕЗОНАНСНОГО РЕЖИМА КОЛЕБАНИЙ Условие задачи и варианты исходных данных ...................................... 157 Пример решения задачи №12 1. Установившиеся вынужденные колебания балки на резонансном режиме .................................................................................................... 157 2. Изгибающие моменты на резонансном режиме ................................ 162 3. Определение допускаемого значения параметра распределенной нагрузки из условия усталостной прочности ..................................... 164 4. Минимизация амплитуды вынужденных колебаний ........................ 165 Задача №13. КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ Условие задачи и варианты исходных данных ...................................... 166 Пример решения задачи №13 .................................................................. 170 1. Изгибно-продольные колебания.......................................................... 170 2. Изгибно-крутильные колебания рамы ................................................ 173 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 177 5 ПРЕДИСЛОВИЕ Дисциплина «Аналитическая динамика и теория колебаний» занимает одно из ведущих мест в системе подготовки студентов направления «Прикладная механика». Исторически сложилось так, что направление «Прикладная механика» оказалось приемником специальности «Динамика и прочность машин», предусматривавшей не только углубленную подготовку в области физики и математики, но и развитие творческого мышления и навыков решения исследовательских задач. На протяжении ряда лет как лекционная часть курса «Аналитическая динамика и теория колебаний», так и объем, и состав семестровых заданий по этой дисциплине претерпевали изменения. Целью корректировок было достижение преемственности и согласование содержания последовательно читаемых (базовых для специальности) курсов «Сопротивление материалов», «Теоретическая механика», «Аналитическая динамика и теория колебаний», «Динамика машин», а также поиск путей вовлечения студентов в решение таких задач, ответы на которые требуют основательного погружения в теоретический материал и исполнительской инициативы в использовании накапливаемых знаний. В настоящем учебном пособии нашли отражение результаты, достигнутые в этом направлении и новые требования, которые диктует время в отношении изменившихся условий подготовки современных специалистов в области механики машин. Резко выросший уровень вычислительных возможностей и вовлеченность в цифровые технологии, которыми располагают современные студенты, делают возможным и необходимым повысить внимание к приобретению и совершенствованию навыков реализации доступного вычислительного потенциала применительно к особенностям решения задач динамики. Программа курса «Аналитическая динамика и теория колебаний», читаемого на направлении 15.03.03 – «Прикладная механика» предусматривает выполнение студентами индивидуальных работ в форме задач семестровых заданий. Пособие включает варианты исходных данных для тринадцати задач, каждая из которых сопровождается подробным примером выполнения. Задачи с первой по пятую объединены в семестровое задание «Дифференциальные уравнения движения, собственные частоты и формы малых колебаний дискретных механических систем» и выполняются в V семестре. В задание вошли задачи по следующим темам: принцип Даламбера для твердых тел, принцип виртуальных перемещений, уравнения Лагранжа второго рода, уравнения движения в обратной форме. В этой части курса студенты знакомятся с различными способами составления дифференциальных уравнений движения дискретных механических систем, определением собственных частот и форм малых колебаний, свободными 6 колебаниями консервативных и неконсервативных механических систем и приобретают опыт выполнения соответствующих расчетов. Задачи № 6-8 составляют задание «Вынужденные колебания механических систем с конечным числом степеней свободы» и выполняются в VI семестре. Целью решения этих задач является усвоение методов расчета вынужденных колебаний дискретных систем, понимание свойств вынужденных колебаний, явления антирезонанса и возможностей динамического гашения колебаний. В задаче №6 обсуждаются способы моделирования диссипативных свойств механических систем на примере описания колебаний в установившихся и переходных режимах методом энергетического баланса. Задачи №7 и №8 предполагают использование той же расчетной схемы, для которой в задаче №5 были получены собственные частоты и собственные формы, теперь для обсуждения вопросов особенностей интегрирования дифференциальных уравнений вынужденных колебаний разными способами. Задача №8, в которой студентам предлагается показать возможность создания динамического гасителя колебаний, подводит итог и позволяет оценить качество освоения части дисциплины, в которой вопросы динамического поведения обсуждались с использованием дискретных моделей механических систем. Задачи № 9-13 выполняются в VII семестре. Задача №9 предполагает обсуждение ряда поставленных условием задачи вопросов, связанных с анализом колебательных режимов нелинейных механических систем. Задачи № 10-13 объединены в задание «Колебания балок и рам», здесь студенты могут получить опыт решения задач на собственные и вынужденные колебания механических систем, моделируемых континуальными расчетными схемами. Из вопросов исследовательского характера на обсуждение вынесен анализ эффективности метода главных координат для балочных конструкций на нерезонансных и резонансных режимах вынужденных колебаний. По отношению к предыдущему изданию в настоящем учебном пособии в каждой из задач увеличено количество вариантов расчетных схем с 15 до 20, скорректированы условия задач № 6-8, 10-12; добавлены две новые задачи. В примеры выполнения заданий внесены дополнения. Исправлены замеченные опечатки и погрешности оформления. Авторы пособия выражают искренние уважение и благодарность своему учителю профессору Олегу Кирилловичу Сливе, многие годы возглавлявшему отдел «Колебаний механических систем» кафедры «Динамика и прочность машин» в Челябинске, его знания и труд педагога положены в основу этой работы и являются её неотъемлемой частью. 7 Задача №1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА Условие задачи и варианты исходных данных Пользуясь принципом Даламбера, записать уравнение движения одной из консервативных систем, изображенных в таблице 1.1 в положении равновесия. Линеаризовать дифференциальное уравнение и определить собственную частоту малых колебаний системы. Таблица 1.1 Варианты расчётных схем механических систем к задаче №1 Вариант 1.1 Вариант 1.2 Вариант 1.3 Вариант 1.4 Вариант 1.5 Вариант 1.6 Вариант 1.7 Вариант 1.8 Вариант 1.9 8 Вариант 1.10 Вариант 1.11 Окончание табл. 1.1 Вариант 1.12 Вариант 1.13 Вариант 1.14 Вариант 1.15 Вариант 1.16 Вариант 1.17 Вариант 1.18 Вариант 1.19 Вариант 1.20 9 Пример решения задачи №1 Расчетная схема механической системы показана на рис. 1.1. Рис. 1.1. Расчетная схема механической системы 1. Классификация механической системы Рис. 1.2. Усилия, действующие на инерционный элемент при его малом положительном отклонении Введем правостороннюю декартову систему координат 0, x, y, z так, чтобы начало координат совпадало с точкой O расположения шарнирной опоры (рис. 1.2). Механическая система совершает движение в плоскости. Для этого случая число степеней свободы n определяется как n = 3 N − (d + g ), где N=1 – число твердых тел, входящих в механическую систему, d=2 – число геометрических связей, наложенных на механическую систему, g=0 – число дифференциальных связей, наложенных на механическую систему. Ограничения на абсолютные или взаимные положения либо скорости в рассматриваемой механической системе сводятся к запрещению перемещений точки О оси цилиндрического шарнира по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Таким образом, геометрических связей две ( d = 2 ), а дифференциальные связи отсутствуют ( g = 0 ). Рассматриваемая механическая система является голономной и имеет одну степень свободы n=1. 10 Рис. 1.3. Обозначения перемещений при малом положительном отклонении инерционного элемента Для голономной системы число обобщенных координат, однозначно определяющих положение механической системы, равно числу степеней свободы. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота  инерционного элемента 1 (рис. 1.3), отсчитываемый от положения статического равновесия, q = . 2. Условие динамического равновесия Согласно принципу Даламбера [2, 5] если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей добавить силы инерции, то полученная система сил оказывается уравновешенной. Для твердого тела, совершающего вращательное движение, необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю суммы моментов всех сил относительно оси вращения: (1.1) ∑Mz = 0, где z – ось вращения. С учетом моментов сил инерции условие динамического равновесия рассматриваемого твердого тела может быть представлено в виде: (1.2) M zA + M zI = 0. Здесь M zA и M zI – моменты относительно оси z, проходящей через точку О (см. рис. 1.2), активных сил и сил инерции соответственно. 3. Уравнение движения Условие (1.2) динамического равновесия является, по существу, неявной формой записи дифференциального уравнения движения рассматриваемого тела. Чтобы перейти к явной форме, необходимо выразить входящие в него величины через обобщенную координату  и ее производные. Для этого выведем механическую систему из положения статического равновесия и придадим инерционному элементу некоторый положительный угол поворота  и малую положительную скорость  . Отбросим взаимодействующие с инерционным элементом 1 пружину 2, упругую балку 3 (см. рис. 1.1) и заменим их действие силовыми факторами: силой Fпр со стороны упругого элемента; поперечной силой Qб и изгибающим моментом M б в поперечном сечении балки в месте её крепления к инерционному элементу (см. рис. 1.2). Таким образом, в условие (1.2) 11 динамического равновесия в качестве слагаемых входят моменты относительно оси z от силы в пружине M z ( Fпр ) , от поперечной силы в балке M z (Qб ) , от изгибающего момента M z ( M б ) , от силы тяжести M z ( FТ ) и от J сил инерции M z : 0. M z ( Fпр ) + M z (Qб ) + M z ( M б ) + M z ( FТ ) + M zJ = (1.3) Величину и направление сил Fпр , Qб , M б определим в предположении малости отклонения инерционного элемента от положения статического равновесия. При малом повороте инерционного элемента 1 против часовой стрелки (рис. 1.2) пружина 2, не поворачиваясь, укорачивается на величину ∆ x =l sin α . cosα l . Такое деформирование упругого Для α = π 4 получаем ∆ x = элемента приводит к возникновению в нем упругой силы: Fпр = C ∆ x = Cl. Момент этой силы относительно оси z: M ( Fпр ) = − Fпрl (1 − sin ). (1.4) Знак «–» в правой части поставлен потому, что сила Fпр стремится повернуть элемент 1 по часовой стрелке, т.е. знак момента противоположен знаку угла  . Действующие со стороны упругой балки сила Qб и момент M б обусловлены поворотом β и вертикальным отклонением ∆ y сечения, соответствующего креплению балки 3 к инерционному элементу 1 (см. рис. 1.2, рис. 1.3). Величины поперечной силы Qб и изгибающего момента M б в заделке, вызванные монтажными перемещениями β и ∆ y , получим, используя расчетную схему один раз статически неопределимой балки (рис. 1.4): 3 EI 3 EI Qб (β)= Q ∆ = ∆y; β; ( ) y б 4 l2 8 l3 3 EI 3 EI M б (β) = M б (∆ y= ∆y . β; ) 2 l 4 l2 Здесь I – момент инерции поперечного сечения балки, E – модуль упругости материала балки. 12 а) Для линейного упругого элемента справедлив принцип суперпозиции: Qб= Qб (β) + Qб (∆ y ), M б= M б (β) + M б (∆ y ). б) Рис. 1.4. Расчетная схема один раз статически неопределимой балки: а – при повороте заделки; б – при вертикальном отклонении заделки Обе составляющие силы Qб направлены одинаково, поэтому они складываются арифметически. l , Учитывая, что β=  , ∆ y = получаем величину поперечной силы: Qб = 9 EI . 8 l2 Как видно из рис. 1.3, момент силы Qб вращает элемент 1 относительно оси z по часовой стрелке, т.е. он по знаку противоположен углу  : 9 EI M z (Qб ) = − . . (1.5) 8 l Обе составляющие момента направлены в сторону, Má противоположную отклонению  инерционного элемента, поэтому они также складываются арифметически, а их сумма по знаку противоположна знаку угла  : 9 EI M z (M б ) = M б = −  (1.6) 4 l Силы тяжести заменим равнодействующей FT , приложенной в центре массы инерционного элемента: FT = mg . Сила FT направлена вертикально вниз и создает относительно оси z момент l (1.7) M ( FT ) = mg   sin  , 2 который направлен в сторону отклонения, так что его знак должен совпадать со знаком угла  . Поскольку инерционный элемент совершает вращательное движение вокруг оси z, то в условие динамического равновесия (1.3) инерционные силы войдут в виде момента сил инерции относительно оси вращения  , M zI = − I O  13 (1.8) где I O –массовый момент инерции элемента 1 относительно оси z, проходящей через точку О, 2 ml 2 2 l IO = + m   = ml 2 . 5 12 3 2 Подставляя выражения (1.4)–(1.8) в уравнение (1.3), получим дифференциальное уравнение в прямой форме. Прямой формой записи дифференциального уравнения называют такую, в которой уравнение разрешено относительно второй производной, а его слагаемые имеют физический смысл сил или моментов, действующих на инерционный элемент [4]: 27 EI l (1.9)  + Cl 2 (1 − sin  ) − mg   sin  + = 0. IO 8 l 2 Как видим, в уравнение не вошла угловая скорость  , так что в данном случае можно было при составлении уравнения движения и не придавать телу малой положительной скорости. Это, однако, относится только к линейным (или линеаризованным) консервативным системам. 4. Линеаризация уравнения Полагая отклонения механической системы от положения статического равновесия малыми, можно считать sin  ≅  и пренебречь слагаемыми, 2 содержащими  (считая их величиной более высокого порядка малости по сравнению с  ). Тогда уравнение (1.9) приводится к виду mgl   27 EI  +  + Cl 2 − IO 0,  = 2   8 l или в канонической форме записи уравнений движения:  +=  p 2 0,  27 EI C 1 g  = p 2 3 + − . 3 8 ml m 2l  (1.10) Здесь p 2 – квадрат собственной частоты колебаний. Заметим, что колебательный режим движения рассмотренной механической системы вблизи показанного положения равновесия возможен при достаточной жесткости упругих элементов, то есть когда 27 EI mgl + Cl 2 > . 8 l 2 В противном случае p 2 принимает отрицательное значение и решением уравнения (1.10) являются не гармонические колебания около положения равновесия, а апериодическое удаление от этого положения. Положение равновесия, показанное на рис. 1.2, в таком случае оказывается неустойчивым. Практически это означает, что при малых отклонениях элемента 1 (см. рис. 1.2) произойдёт его опрокидывание. Equation Section 2 14 Задача № 2. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Условие задачи и варианты исходных данных Используя принцип виртуальных перемещений, определить все положения равновесия систем, показанных в таблице 2.1. Изобразить систему во всех равновесных положениях. В найденных положениях равновесия проверить выполнение условий статики. Считать, что трение в шарнирах и проскальзывание при обкатывании твердых тел отсутствует. Принять длину линейного упругого элемента в свободном состоянии равной L0 . Системы, имеющие угловой упругий элемент Cφ , показаны в положениях, в которых упругий элемент не деформирован. Углы поворота в шарнирах не ограничены, а взаимные перемещения элементов системы ограничиваются лишь наложенными связями. Таблица 2.1 Варианты расчётных схем механических систем к задаче №2 Вариант 2.1 Вариант 2.2 Вариант 2.3 Вариант 2.4 15 Вариант 2.5 Вариант 2.6 Продолжение табл. 2.1 Вариант 2.7 Вариант 2.8 Вариант 2.9 Вариант 2.10 Вариант 2.11 Вариант 2.12 Вариант 2.14 Вариант 2.15 16 Вариант 2.13 Вариант 2.16 Вариант 2.17 Вариант 2.19 Окончание табл. 2.1 Вариант 2.18 Вариант 2.20 Пример решения задачи №2 Рис. 2.1. Расчетная схема механической системы Возможность использования принципа виртуальных перемещений для исследования положений равновесия механических систем продемонстрируем на примере системы, показанной на рис. 2.1. В качестве исходных данных примем, что при α = π 6 пружина не напряжена и задано соотношение CL=2mg. 1. Классификация механической системы Введем декартову систему координат 0, x, y таким образом, чтобы ось x совпадала с горизонтальной направляющей основания, а ось y – с  вертикальной. С направлением оси абсцисс свяжем единичный вектор i , а  с направлением оси ординат – единичный вектор j . Точку стержня, контактирующую с вертикальной направляющей, обозначим буквой А, а точку стержня, контактирующую с горизонтальной направляющей – буквой В. Положение механической системы двух точек А и В на плоскости подчинено трем уравнениям связей: 2 x A= 0; yB= 0; xB 2 + y A= (2l ) 2 . 17 (2.1) Связи, наложенные на механическую систему, являются геометрическими. Таким образом, механическая система, показанная на рис. 2.1, голономная с числом степеней свободы: n = 2 N − (d + g ), где N – число точек; g=0 и d=3 число дифференциальных и геометрических связей соответственно. В качестве обобщенной координаты, определяющей положение механической системы, выберем горизонтальную координату точки В: q = xB . 2. Определение положений равновесия Согласно принципу виртуальных перемещений [2, 5] механическая система находится в равновесии, если виртуальная работа активных сил равна нулю: δA = 0. В число активных включаются все действующие на механическую систему силы, кроме сил реакций наложенных связей. Для рассматриваемой схемы активными силами следует считать силу упругости пружины Fпр и равнодействующую сил тяжести FТ FT , приложенную в центре массы стержня. Виртуальная работа каждой из этих сил есть скалярное произведение вектора силы на вектор виртуального перемещения точки ее приложения: δA =   ( F ,δr ) + ( F Т D пр  ,δrB . ) Для вычисления скалярных произведений воспользуемся разложением   векторов по ортонормированному базису i , j :      δrD= δxD ⋅ i + δyD ⋅ j , FT= mg ⋅ j ,     δrB = δxB ⋅ i . Fпр = Fпрx ⋅ i , Действующая на стержень в точке В горизонтальная сила Fпрx пропорциональна удлинению пружины. Как следует из условия задачи, при x xB = L пружина не деформирована. Таким образом, зависимость силы Fпр от обобщенной координаты xB имеет вид Fпрx = −C ( xB − L ) . Сумма виртуальных работ активных сил запишем следующим образом: (2.2) Система имеет одну степень свободы, поэтому в уравнении (2.2) лишь одна независимая координата. Поскольку перемещение точки В выбрано в − mgδyD − C ( xB − L)δxB = 0. 18 качестве обобщенной координаты, исключим из уравнения (2.2) координату yD . Для этого воспользуемся уравнением связи (2.1) в виде: 1 2 (2.3) ( 2 L ) − xB2 . 2 Вычисляя вариацию левой и правой частей выражения (2.3) по правилам вычисления полного дифференциала сложной функции, получаем: = yD 1 xB δxB . 2 (2 L) 2 − xB 2 После подстановки δ yD в выражение (2.2) последнее принимает вид: δyD = − xB 1 mgδxB − C ( xB − L)δxB = 0. 2 (2 L) 2 − xB 2 Вариация независимой координаты произвольна, поэтому δxB ≠ 0 , и следовательно, поиск равновесных положений сводится к определению координаты xB , обеспечивающей выполнение условия: mg 1 xB − ( xB − L)C = 0. 2 (2 L) 2 − xB 2 Для заданного соотношения параметров CL=2mg и безразмерной формы представления параметра ξ = xB L решению подлежит уравнение: 1 ξ + 2 (1 − ξ ) = 0. 2 4 − ξ2 Корнями этого уравнения являются: 1 xB( ) = 1,184 L, xB( ) = 1,932 L. Механическая система в положениях равновесия изображена на рис. 2.2. 2 a) б) Рис. 2.2. Положения равновесия механической системы 19 3. Проверка выполнения условий статики для найденных положений равновесия Использование системы независимых уравнений статики позволяет не только определить величины реакций связей, но и проверить выполнение условий равновесия механической системы в положениях, полученных на основании принципа виртуальных перемещений. На рис. 2.3 показан стержень, к которому приложены активные силы FT , Fпр и x y реакции связей R A , R B . Реакции связей R x A , R y B определим из двух независимых Рис. 2.3. Схема равновесия стержня ΣM A = 0 ⇒ условий равновесия стержня. В качестве таких условий воспользуемся требованиями равенства нулю сумм моментов сил относительно осей, проходящих через точки опирания стержня. Для точки А имеем: 2mg xB )− ( xB − L) (2 L) 2 − xB 2 = 0, 2 L  1 2( x − L) (2 L) 2 − x 2  y B B . R B mg  + = 2  xB L   R y B xB − mg ( (2.4) Аналогично для точки В: ΣM B = 0 ⇒ R y A (2 L) 2 − xB 2 = mg ( RyB = mg 2 (2 L) 2 − xB 2 xB ), 2 xB . (2.5) Для определения реакций были использованы лишь два из трёх независимых условий равновесия. Третье, не использованное независимое уравнение статики, позволяет выполнить проверку правильности сделанных вычислений. Этим условием может быть сумма проекций сил на вертикальную либо горизонтальную ось. Покажем, что выполняются и то, и другое. Начнём с суммы проекций сил на вертикальную ось: (2.6) Реакцию R y B в первом положении равновесия определим, подставляя в выражение (2.4) координату ΣY= 0 ⇒ R y= mg . B () = xB x= 1,184 L . B 1 20 Получим: 2 ⋅ 0,184 ⋅ 1,612   R y B =mg ⋅  0,5 +  =mg , 1,184   что доказывает выполнение условия статики (2.6) в первом из найденных положений равновесия. Во втором положении равновесия: ( ) = xB x= 1,932 L . B получаем сходным образом, используя выражение (2.4), 2 Реакцию R y B 2 ⋅ 0,932 ⋅ 0,517   R y B =mg ⋅  0,5 +  =mg . 1,932   0 выполняется и во втором положении. Таким образом, условие ΣY = Проверим условие: Реакцию R x A = ΣX 0 ⇒ = RAx Fпр . в первом положении определим подставляя в (2.5) () 1,184 L . = xB x= B 1 Получим: = RxA 1,184 = mg 0,367 mg . 2 ⋅ 1,612 При этом усилие в пружине будет равно 2mg Fпрx = −C ( xB − L ) = ⋅ 0,184 L = 0,368mg . L 0 выполняется для первого положения с Следовательно, условие ΣX = точностью до погрешности вычисления. ( ) 1,932 L , согласно= xB x= Для = (2.5), R x A B 2 1,932 = mg 1,868mg . 2 ⋅ 0,517 Усилие в пружине во втором положении: 2mg Fпрx = −C ( xB − L ) = ⋅ 0,932 L = 1,864mg . L 0 выполняется с точностью до погрешности вычисления Условие ΣX = и для второго положения равновесия. Equation Section 3 21 Задача №3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА Условие задачи и варианты исходных данных Пользуясь уравнением Лагранжа второго рода, записать дифференциальное уравнение движения одной из консервативных систем, приведенных в таблице 3.1 в положении равновесия. Линеаризовать дифференциальное уравнение и определить собственную частоту малых колебаний системы. Таблица 3.1 Варианты расчётных схем механических систем к задаче №3 Вариант 3.1 Вариант 3.2 Вариант 3.3 Вариант 3.4 Вариант 3.5 Вариант 3.6 Вариант 3.7 Вариант 3.8 Вариант 3.9 Вариант 3.10 22 Вариант 3.11 Вариант 3.15 Вариант 3.12 Вариант 3.13 Вариант 3.16 Окончание табл. 3.1 Вариант 3.14 Вариант 3.17 Вариант 3.19 Вариант 3.18 Вариант 3.20 Через L0 обозначена длина пружины C в положении устойчивого равновесия механической системы. Пример решения задачи №3 Прямой стержень длиной l и массой m обкатывается в плоскости чертежа без проскальзывания по поверхности кругового цилиндра с радиусом кривизны r. В положении равновесия стержень горизонтален (рис. 3.1). 23 1. Классификация механической системы Рис. 3.1. Расчетная схема механической системы Введем декартову систему координат 0, x, y, z, образующих правоориентированную тройку так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны поверхности, по которой происходит обкатывание стержня (рис. 3.2). Ось x – горизонтальна, ось y – вертикальна. С направлением оси абсцисс свяжем единичный   вектор i , с направлением оси ординат – j . Введем также   направленный перпендикулярно векторам i , j . Рис. 3.2. Малое положительное отклонение механической системы единичный  вектор k , Выведем механическую систему из положения равновесия, отклонив ее на (см. рис. 3.2). положительный угол  Положение стержня на плоскости 0, x, y однозначно определяется тремя независимыми параметрами. В качестве таких параметров могут быть использованы, например, декартовы координаты центра тяжести стержня xВ, yВ и угол поворота стержня  . Ограничением на движение стержня в плоскости 0, x, y является условие обкатывания без проскальзывания, когда точка контакта A оказывается мгновенным центром скоростей стержня при его плоском движении:  2 2 VA = ( x A ) + ( y A ) = 0 . Здесь x A , y A – проекции скорости точки А на координатные оси. Связь (3.1), наложенная на рассматриваемую механическую систему, дифференциальная. В зависимости от того, интегрируема ли эта связь, рассматриваемая механическая система может быть отнесена либо к голономным, либо к неголономным. Для выяснения ответа на этот вопрос представим уравнение связи (3.1) в векторной форме     V= VB + Ω × BA= 0. (3.1) A    Здесь VA ,VB – векторы линейной скорости точек А и В соответственно, Ω – вектор угловой скорости стержня. Обозначим проекции скорости точки В на координатные оси x B и y B . 24 Каждый из рассматриваемых векторов в ортонормированном базисе    i , j , k может быть представлен совокупностью его перпендикулярных составляющих:         VB = x B i + y B j , Ω =  k , BA = − ( r cos  ) i − ( r sin  ) j . С учетом этих обозначений уравнение связи (3.1) принимает вид:      x B i + y B j +  k ×  − ( r cos  ) i − ( r sin  ) j  =0, или   ( xB +  r sin )i + ( y B −  r cos ) j = 0. Поскольку скорость точки А будет равна нулю только в случае, если равны нулю обе ее взаимно перпендикулярные составляющие, необходимо, чтобы множители, стоящие при единичных ортах были равны нулю: x B = − r sin ; y B =  r cos . (3.2) Дифференциальные уравнения (3.2) допускают интегрирование. Действительно, нетрудно убедиться, что соотношения xB = r ( cos  − sin  ), yB = r (cos  +  sin  ), являются решением дифференциальных уравнений (3.2) для начальных условий = φ 0,= xB t 0 = 0,= y B t 0 r. =t 0= Таким образом, на три параметра xB , yB ,  , однозначно определяющие положение стержня, накладываются две дифференциальные интегрируемые связи (3.2). В большинстве практических случаев для систем, совершающих движение в плоскости, когда не возникает затруднений с геометрической интерпретацией расположения элементов механической системы, интегрирования уравнений связи удается избежать. Действительно, если для отклоненного положения механической системы, показанного на рис. 3.2, вместо условия (3.1) воспользоваться утверждением, что расстояние между центром тяжести стержня в точке В и точкой контакта А должно быть равно длине дуги r , то вычисление координат точки В предоставляет два независимых соотношения между тремя параметрами xB , yB и  , однозначно определяющими положение стержня: = xB r (  cos  − sin  ) , = yB r ( cos  +  sin  ) . (3.3) (3.4) Эти соотношения совершенно совпадают с полученными ранее на основании формулировки связи как дифференциальной. 25 Поскольку из трех параметров, однозначно определяющих положение механической системы, в результате наложения двух голономных связей независимым оказывается только один, механическая система классифицируется как голономная стационарная с числом степеней свободы n = 1. (3.5) В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота стержня: q = . 2. Уравнение Лагранжа второго рода Для голономной системы с одной степенью свободы уравнения Лагранжа [2, 5] сводятся к одному уравнению: d  ∂T  ∂T − = Q. dt  ∂q  ∂q Здесь Т – кинетическая энергия системы, Q – обобщённая сила. Использование уравнений Лагранжа требует представления кинетической энергии Т механической системы, а также обобщенной силы Q, в виде функций обобщенных координат и обобщенных скоростей. С этой целью придадим обобщённой координате ϕ и обобщённой скорости φ малые положительные значения (см. рис. 3.2) и выразим через них Т и Q. 2.1. Кинетическая энергия Кинетическая энергия стержня во вращательном движении с мгновенным центром скоростей в точке А выражается следующим образом: 1 T = I A () 2 . 2 2 ) I B + m ( r ) – момент инерции стержня относительно оси, Здесь I A (= mL2 проходящей через точку А; I B = 12 относительно центра тяжести. – момент инерции стержня 2.2. Обобщенная сила Обобщенную силу Q получим на основании анализа виртуальной работы δ A действующих на механическую систему активных сил: δA . Q= δ Активные силы представлены единственной силой – силой тяжести стержня. 26 Равнодействующая сил тяжести FT совершает работу на виртуальном перемещении точки В:   δA = ( F T ,δrB ) = −mgδyB . Вариацию проекции перемещения точки В на координатную ось y получим, используя выражение (3.4), по правилам вычисления полного дифференциала сложной функции: δyB = r cos δ. Тогда для обобщенной силы имеем: δA Q= = −mgr cos δ. δ 2.3. Дифференцирование выражения для кинетической энергии Выполним дифференцирование выражения для кинетической энергии механической системы:  ∂T ∂T  ml 2 d  ∂T   ml 2 2 2   + 2mr 2 2 . = = +   = + mr 2 2   mr 2 2 , mr ,      ∂ ∂  12 dt  ∂   12   2.4. Формирование дифференциального уравнения Подставляя полученные результаты в уравнение Лагранжа, получим:  ml 2 2 2  + mr 2 + mgr cos  = 0, + mr     12  или в преобразованном виде: r2 2 rg  + 12 2 (    + 2 ) + 12 2  cos  =  0. l l 3. Линеаризация дифференциального уравнения Для малых отклонений механической системы от положения равновесия уравнение движения может быть линеаризовано. Полагая произведение малых величин величиной более высокого порядка малости, вторым (нелинейным) слагаемым уравнения можно пренебречь. Кроме того, для малых углов поворота cos  ≅ 1 . Линеаризованная форма уравнения движения приобретает вид: rg  +12 2  =0 .  L Коэффициент при  есть квадрат собственной частоты колебаний механической системы: rg p 2 = 12 2 . L Equation Section 4 27 Задача № 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ФОРМЕ Условие задачи и варианты исходных данных Для одной из консервативных систем с двумя степенями свободы, изображенных в таблице 4.1 в положении равновесия, требуется: 1. составить уравнения движения в обратной форме; 2. определить собственные частоты и формы малых колебаний; 3. проверить ортогональность собственных форм и изобразить их на графиках; 4. найти законы движения во времени каждой из масс при свободных колебаниях системы с начальными условиями:  dy   dy  y1 (0) = 1,  1  = 0, y2 (0) = 0,  2  = 1 ⋅ p1 ,  dt t 0=  dt t 0 = где yi – вертикальное перемещение массы mi ; p1 – первая собственная частота; 5. изобразить найденный закон движения на графике, показать составляющие движения масс по каждой из собственных форм колебаний. Уравнения движения записать в обратной форме. При решении считать: а) положение равновесия устойчиво; б) массы являются точечными и могут перемещаться лишь в вертикальном направлении; в) все участки стержня имеют одинаковую жесткость поперечного сечения EI и длину l; массы системы одинаковы: m1 =m2 =m; г) жесткость сосредоточенных упругих элементов и изгибная жесткость балок связаны: EI C =3 3 . l Таблица 4.1 Варианты расчётных схем механических систем к задаче №4 Вариант 4.1 Вариант 4.2 28 Вариант 4.3 Вариант 4.4 Вариант 4.5 Окончание табл. 4.1 Вариант 4.6 Вариант 4.7 Вариант 4.8 Вариант 4.9 Вариант 4.10 Вариант 4.11 Вариант 4.12 Вариант 4.13 Вариант 4.14 Вариант 4.15 Вариант 4.16 Вариант 4.17 Вариант 4.18 Вариант 4.19 Вариант 4.20 29 Пример решения задачи № 4 1. Уравнения движения в обратной форме 1.1. Классификация механической системы Механическая система совершает движение в плоскости. Введем декартову систему координат 0, y, z таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой заделки упругой балки, ось z направлена по оси упругой балки, ось y – вертикально (рис. 4.1). Для упругих и массовых характеристик заданы следующие соотношения Рис. 4.1. Расчетная схема l3 1 механической системы = , = m1 2= m2 2m. 3EI C Так как по условию задачи инерционные элементы m1 и m2 могут перемещаться только в вертикальном направлении, механическая система голономна, имеет две степени свободы: n = 2. В качестве обобщенных координат примем вертикальные отклонения точек А и В от положения статического равновесия: q1 = yA, q2 = yB . 1.2. Уравнения движения Отклонения q1 и q2 точек А и В от положения статического равновесия можно рассматривать как результат деформирования упругих элементов под действием прикладываемых к механической системе сил. Так как упругие элементы полагаются невесомыми, то силами, действующими на механическую систему, являются силы инерции движения масс m1 и m2 , которые прикладываются в точках А и В. Используя известное из курса «Сопротивление материалов» понятие коэффициента податливости δij деформируемой системы, можно записать: =  q1 δ11F1 + δ12 F2 , (4.1)  q δ F δ F . = + 21 1 22 2  2 Здесь F1, F2 силы инерции масс m1 и m2 : F1 = F1ИН = −m1q1 , F2 = F2 ИН = −m2 q2 . (4.2) Коэффициенты податливости могут быть определены, например, вычислением интегралов Мора. 30 Результаты вычислений, выполненных для рассматриваемой схемы деформируемой системы, таковы: l3 1 (4.3) δ11 = δ +δ = + , 3EI C 5 l3 ИЗГ (4.4) δ= δ δ , = = 12 21 11 6 EI 8 l3 ИЗГ (4.5) δ 22 δ= . = 22 3 EI После подстановки сил инерции (4.2) и коэффициентов податливости (4.3), (4.4), (4.5) система уравнений (4.1) принимает вид ИЗГ 11 ПР 11  l 3 1 5 l3  + m q + m2 q2 + q1 = 0,   1 1 6 EI  3EI C  (4.6)  3 3 8 l  5 l  + m q m2 q2 + q2 = 0. 1 1  6 EI 3 EI Слагаемые в уравнениях (4.6) имеют физический смысл перемещений, а сами уравнения называют уравнениями движения в обратной форме. 2. Собственные частоты и собственные формы Решением системы однородных дифференциальных уравнений второго порядка (4.6) являются тригонометрические функции времени: (4.7) q1= u1 cos(ωt + α), q2= u2 cos(ωt + α). Здесь u1 и u2 – амплитуды колебаний точек А и В. Подставляя решение (4.7) в систему дифференциальных уравнений (4.6), приходим к системе однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд u1 и u2 колебаний сосредоточенных масс:   l 3  1 5 l3 2 0, +  m1 p  u1 − m2 p 2u2 =  1 −  3 6 EI C EI     (4.8)  3 3   5 8 l l  2 2 0.  − 6 EI m1 p u1 + 1 − 3 EI m2 p  u2 =    Для анализа системы (4.8) введём параметр частоты ρ и безразмерную частоту λ: C p = ρ = , λ . m ρ Параметр ρ – это частота линейного осциллятора с одной степенью свободы, состоящего из массы m и упругого элемента с жесткостью C. Безразмерная частота λ показывает, во сколько раз собственная частота 31 рассматриваемой механической системы отличается от частоты линейного осциллятора ρ = C m . Введение безразмерной частоты λ позволяет представить частоту p в параметрической форме: C (4.9) = p λρ = λ . m Форма (4.9) представления частот системы в виде произведения двух сомножителей является общепринятой для континуальных систем – стержней, пластин, оболочек. В выражении (4.9) размерный множитель C m характеризует жесткостные и массовые свойства системы. Он при переходе от одной системы к другой может меняться на 2…3 порядка. В столь же широких пределах изменяется и частота p системы. Безразмерный же сомножитель λ зависит только от структуры механической системы – способа закрепления упругих элементов, числа, мест расположения и соотношения масс, наличия и расположения пружин, а также номера определяемой частоты. Поэтому абсолютное значение безразмерной частоты λ изменяется в достаточно узких пределах вблизи единицы, что облегчает определение ее величины. Введя параметры ρ и λ , а также учитывая заданное соотношение жесткостей и масс: l3 1 = , 3EI C = m1 2= m2 2m, получим систему уравнений (4.8) в следующем компактном виде: 5 2  2 0  (1 − 4λ )u1 − λ u2 = (4.10) 2  2 2  0. −5λ u1 + (1 − 8λ )u2 = Система уравнений (4.10) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю: 5 − λ2 (4.11) = 0. 2 2 2 5λ 1 − 8λ Определитель (4.11) называется частотным. Раскрывая частотный определитель (4.11), получаем частотное уравнение: 1 − 4λ 2 19,5λ 4 − 12λ 2 + 1 = 0. 2 Корням частотного уравнения λ 1 = 0,0994 и λ 2 2 = 0,516 соответствуют две собственные частоты малых колебаний механической системы: = p1 0,315ρ, = p2 0,718ρ. 32 Соотношения амплитуд колебаний сосредоточенных масс на собственных частотах, то есть собственные формы, могут быть получены из любого уравнения системы (4.10). Воспользуемся, например, первым уравнением. Тогда: u2 2(1 − 4λ 2 ) = . u1 5λ 2 Для первой собственной частоты, когда λ 2 = λ 21 , получаем первую собственную форму колебаний: u21 = 2, 43. u11 Здесь первый индекс у амплитуд соответствует номеру точки, а второй – номеру частоты. Для второй собственной частоты λ 2 = λ 2 2 : u22 = −0,825. u12 Поскольку собственные формы определяются с точностью до произвольного множителя, одну из амплитуд для каждой собственной частоты можно задать произвольно. Полагая, например, u= u= 1, 11 12 получим собственные векторы:  1   1  U1 = , U = 2   −0,825  ,  2,43    и матрицу собственных форм: 1   1 = U (U = U2 )  1 .  2,43 −0,825  3. Проверка ортогональности собственных форм Собственные векторы U 1 и U2 ортогональны, если T T U= U= 0, 1 [ A] U 2 2 [ A] U 1 где [A] – матрица инерции. Проверку ортогональности собственных форм можно выполнить и расчетом матрицы обобщенных масс: [ M ] = U T [ A] U . Элементы матрицы [ M ] , не стоящие на главной диагонали, должны быть равны нулю. При выполнении практических численных расчётов получить 33 нулевые значения, как правило, не удаётся в силу неизбежных погрешностей вычислений. Поэтому приемлемы величины недиагональных элементов в пределах погрешности выполнения инженерных расчетов. Для выбранных обобщенных координат кинетическая энергия рассматриваемой механической системы может быть подсчитана следующим образом: m1q12 m2 q2 2 = T + , 2 2 поэтому матрица инерции имеет вид  m1 0   2 0 = m [ A] =  . m 0 0 1    2 Расчет матрицы обобщенных масс для найденных значений собственных векторов и матрицы инерции дает: [ M=] 1   7,91 0,00  1 2,43   2 0   1 ⋅ m ⋅ 1 −0,825   0 1   2,43 −0,825=   0,00 2,68  m,         что подтверждает правильность решения системы (4.10). Собственные формы механической системы показаны на рис. 4.2. а) б) Рис. 4.2. Собственные формы колебаний механической системы а – первая собственная форма, б – вторая собственная форма Чтобы определить амплитуду колебаний точки оси упругой балки в месте крепления упругого элемента С, следует учесть, что амплитуда колебаний массы m1 складывается из двух составляющих: первая составляющая вызывается деформацией балки, вторая – деформацией пружины: u11 = u11ИЗГ + u11ПР = 1. Удлинение пружины обусловлено действием силы инерции массы m1: F1ИН = −m1q1 = m1u1k pk 2 = 2mu1k pk 2 . 34 Для первой собственной формы ИЗГ 11 u 2mu11 p12 = 1− = 0,803. C Аналогично на второй собственной форме u12 ИЗГ 2mu12 p2 2 = 1− = −0,0404. C 4. Свободные колебания Закон изменения во времени обобщенных координат при свободных колебаниях, обусловленных заданием ненулевых начальных условий, получим разложением движения механической системы по собственным формам: (4.12) {q(t )} = U {ϑ (t )} , где {ϑ (t )} – вектор главных координат механической системы. Для системы с двумя степенями свободы имеем 2 qi (t ) = ui1ϑ1 (t ) + ui 2ϑ2 (t ), ∑ uikϑk (t ) = i= 1, 2. k Определим главные координаты рассматриваемой расчетной схемы. На основании (4.11) имеем:  0,253 0,307  −1 (4.13) = {ϑ (t )} U= {q(t )}  {q (t )}.  0,747 −0,307  Операции обращения недиагональной матрицы U можно избежать, если использовать для определения главных координат тождественное выражению (4.13) выражение {ϑ (t )} = [ M ] −1 U T [ A]{q(t )}. Это удобно при выполнении вычислений «вручную». Набор главных координат, являющихся, как следует из (4.12), линейной комбинацией выбранных обобщенных координат, удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к обобщенным координатам. Вместе с тем, главные координаты по отношению к исходным обобщенным имеют отличительную особенность. 35 Эта особенность состоит в том, что при движении системы по k-й собственной форме изменяется лишь одна k-я главная координата. Остальные оказываются равными нулю:   1 ⋅ q1 (t ), при  ϑ1 (t ) =0,253q1 (t ) + 0,307q 2 (t ) =  0, при  q2 (t ) 2,43; = q1 (t )  0, при   ϑ2 (t ) =0,747q1 (t ) − 0,307q 2 (t ) =  1 ⋅ q (t ), при 1  q2 (t ) = 2,43; q1 (t ) q2 (t ) = −0,825. q1 (t ) q2 (t ) = −0,825. q1 (t ) Закон изменения во времени каждой из двух главных координат гармонический и определяется начальными условиями:  ϑk 0  ϑ= ϑk cos( pk t += α k ) ϑk cos pk t +   sin pk t. k (t ) p  k  0 0 0 Здесь ϑk , α k – амплитуда и фаза k-й главной координаты; ϑk , ϑk – отклонение и скорость для k-й собственной формы в начальный момент времени t=0. Векторы начальных отклонений и скоростей для главных координат связаны зависимостью (4.12) с заданными начальными условиями для обобщенных координат: {ϑ } = U {q }, {ϑ } = U {q }. 0 −1 0 0 −1 0 Для амплитуд и фаз главных координат имеем очевидные соотношения: 2  ϑk 0   ϑk 0  αk = arctg  . ϑk =+ (ϑk )  p  , 0  p ϑ  k   k k  Вычислительная обработка и построение графиков изменения во времени координат q1 (t ), q2 (t ) при свободных колебаниях рассмотренной механической системы для заданных начальных условий выполнены с использованием пакета MathCAD. 0 2 На графиках рис. 4.3 а, б показаны изменения во времени обобщённых координат q1 (t ), q2 (t ) , а также составляющие перемещения каждой из масс в их движении по первой и по второй форме. Из приведенных графиков 36 видно, что при свободных колебаниях с заданными начальными условиями законы изменения во времени обобщенных координат не являются не только гармоническими, но даже и периодическими функциями времени. Не совпадают и моменты времени, при которых сосредоточенные массы имеют наибольшие отклонения от положения равновесия. а) б) Рис. 4.3. Изменение обобщенных координат при свободных колебаниях (также показаны составляющие главные колебания): а – график изменения во времени первой обобщенной координаты, б – график изменения во времени второй обобщенной координаты. Чтобы свободные колебания механической системы были гармоническими, необходимо задать такие начальные условия, при которых вся энергия механической системы была бы обусловлена деформацией или движением только по одной из собственных форм. Например, можно 37 деформировать систему по первой собственной форме и затем предоставить возможность совершать свободные колебания. Этот случай показан на рис. 4.4. Рис. 4.4. Свободные колебания системы после отклонения по первой собственной форме Из графиков рис. 4.5 видно, что соотношение отклонений масс в момент времени t=0 точно соответствует первой собственной форме системы, а скорости равны нулю. Полная энергия механической системы представлена только потенциальной энергией деформации по первой собственной форме. Вследствие ортогональности собственных форм энергия одной формы не может переходить в энергию других форм. Поэтому во все последующие моменты времени система деформируется только по первой собственной форме, причём колебательное движение совершается с первой собственной частотой. Все точки механической системы движутся синфазно. Equation Section 5 38 Задача №5. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ, СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ Условие задачи и варианты исходных данных Варианты расчетных схем механических систем приведены в таблице 5.1. Выполнить анализ одной неконсервативной механической системы в предлагаемой последовательности: 1. Составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах. Линеаризовав их, получить уравнения малых колебаний. Получить матрицу инерции, квазиупругую матрицу и матрицу демпфирования в обобщенных координатах. Представить уравнения движения в матричной форме. 2. Найти собственные частоты и собственные формы малых колебаний системы. 3. Выделить в исходной колебательной системе парциальные подсистемы. Найти коэффициент связи парциальных подсистем. 4. Найти главные координаты системы. Получить квазиупругую матрицу, матрицу инерции и матрицу демпфирования в главных координатах. Таблица 5.1 Варианты расчётных схем механических систем к задачам №5, 7, 8 Вариант 5.1 Вариант 5.5 Вариант 5.2 Вариант 5.3 Вариант 5.6 39 Вариант 5.4 Вариант 5.7 Вариант 5.10 Вариант 5.12 Вариант 5.15 Продолжение табл. 5.1 Вариант 5.9 Вариант 5.8 Вариант 5.11 Вариант 5.13 Вариант 5.16 40 Вариант 5.14 Вариант 5.17 Вариант 5.18 Вариант 5.19 Окончание табл. 5.1 Вариант 5.20 Пример решения задачи №5 1. Дифференциальные уравнения движения 1.1. Классификация механической системы Механическая система состоит из двух твердых тел (рис. 5.1), движущихся в плоскости: – – диска, имеющего радиус 2r и массу 2m , перекатывающегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания, стержня длиной 4r и массой m , шарнирно соединенного с диском в точке F. Систему координат O, x, y свяжем с неподвижным основанием (см. рис. 5.1). Положение механической системы будет полностью определено, если указать положение каждого из твёрдых тел. Для этого достаточно задать шесть параметров (по три для каждого твёрдого тела). В качестве параметров, задающих положение механической системы, выберем координаты центров тяжести и углы поворота диска и физического маятника: (5.1) x E , y E , , x D , y D ,  . Из шести параметров (5.1) независимыми оказываются не все. Перечислим связи, наложенные на механическую систему. Качение диска по плоскости означает, что высота центра масс диска есть величина постоянная: (5.2) y E = 2r. Отсутствие проскальзывания в точке О контакта диска с плоскостью говорит о том, что точка О является мгновенным центром скоростей диска. Поэтому линейная скорость центра тяжести диска не может быть произвольной, и имеет место ограничение:    VO= VE + Ω × EO= 0. (5.3) 41   Здесь VE ,VO – векторы линейной скорости точек Е и O соответственно,  Ω – вектор угловой скорости диска. Связь (5.3) дифференциальная, но допускает интегрирование к виду (5.4) xE − 2r sin  = 0 (Показать, что эта связь может быть проинтегрирована, предлагается студентам самостоятельно). Цилиндрический шарнир, соединяющий два тела в точке F, эквивалентен следующим двум условиям: СТ = yF ДИСК y= xF ДИСК xF СТ , F , которые могут быть использованы в качестве связей для выбранных параметров положения механической системы: yO + r cos  − yD − 2r cos  = 0, (5.5) xO + r sin  − xD + 2r sin  = 0. Таким образом, на систему двух твердых тел N = 2 (диск, стержень), положение каждого из которых по отдельности при плоском движении характеризуется тремя параметрами, наложено четыре связи, одна из которых – дифференциальная интегрируемая. Следовательно, рассматриваемая механическая система является голономной с двумя степенями свободы: n=3N–d–g=3⋅2–4–0=2, где d – число голономных связей, g – число дифференциальных (неинтегрируемых) связей. В качестве обобщенных координат выберем горизонтальное смещение u центра масс диска и угол  поворота стержня – рис. 5.2: q1 = u , q2 =  . Рис. 5.1. Схема механической системы 42 Рис. 5.2. Положение механической системы при малых положительных приращениях обобщенных координат Координаты любой точки механической системы, могут быть выражены через обобщённые. Координаты из набора (5.1) выражаются через обобщенные на основании уравнений связи (5.2), (5.4), (5.5): u , sin  , xE u= y E 2r , = = 2r (5.6) 2 3  u  xD = u + 2r sin , yD =2r + r 1 −   − 2r cos . 2  2r  1.2. Дифференциальные уравнения малых колебаний Дифференциальные уравнения малых колебаний получаем, используя уравнения Лагранжа второго рода [2, 5] в следующей форме: d  ∂T  ∂T ∂Π ∂R + + = 0, i= 1,2.  − dt  ∂qi  ∂qi ∂qi ∂qi Здесь T – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, R – диссипативная функция Рэлея. Для вычисления T, П и R придаем обобщенным координатам и обобщенным скоростям малые положительные значения (положительные значения u и  показаны на рис. 5.3). При вычислении кинетической энергии механической системы учитываем, что оба инерционных элемента совершают плоское движение: 1 2m(2r ) 2  2 m(4r ) 2 2  2 2 2 (5.7)  + m( x D + y D ) +   . 2mu + = T 2  2 12  Потенциальная энергия механической системы складывается из потенциальной энергии деформации упругого элемента и потенциальной энергии положения центра тяжести физического маятника: 1 = Π C (2u ) 2 + mgyD . 2 Примем допущение о малости отклонений механической системы от положения равновесия. В этом случае соотношения (5.6), связывающие физические координаты с обобщёнными координатами, могут быть упрощены: u u2  ≅ u , = ≅ sin   , y D ≅ r − + r 2 2r 2r 8r 3 3 (5.8) y D ≅ 0, x D ≅ u + 2 r, x D ≅ u + 2r . 2 2 43 После подстановки выражений (5.8) в кинетическую и потенциальную энергии и учитывая заданное соотношение mg = Cr , получаем: 1 = T ( 5,25mu 2 + 6mr u + 5,33mr 2 2 ), (5.9) 2 mg  2  2 = Π  2C − ) 1,875Cu 2 + Cr 2 (1 +  2 ).  u + mgr (1 + = 8r   Диссипативная функция Рэлея, по определению равная половине мощности рассеяния энергии в демпферах, содержит два слагаемых, соответствующих демпферам k1 и k2 : 1  ) 2 = 1 (4k + k2 )u 2 + k2 u + k  2  .  k1 (2u ) 2 + k2 ( +  R= 2  2  1 4r 2  2 r (5.10) Подставляя T, П, R в уравнения Лагранжа второго рода, получаем:  k2  k2     5,25 3 4 0, mu + mr  + k + u +  + 3,75Cu = 1   2  4 r 2 r   (5.11)  k   + 2 u + k2 + 2Cr 2 = 3mru + 5,33mr 2 0,  2r или в матричной форме 0. [ A]{q} + [ K ]{q} + [C ]{q} = u  Здесь {q} =   – вектор-столбец обобщенных координат, φ  3r   5,25 m – матрица инерции, [ A] =  2 r r 3 5,33   k2 k2   4 k + 1 2  4r 2r   – матрица демпфирования, [K ] =  k2  k2    2r   3,75 0  C – квазиупругая матрица. [C ] =  2 0 2 r   2. Собственные частоты и собственные формы механической системы (5.12) (5.13) (5.14) Строго говоря, собственные частоты диссипативной системы, описываемой уравнениями (5.11), это комплексные числа, определяющие как частоту колебаний системы, так и скорость их затухания [3, 4]. Точно так же формы колебаний представляются комплексными числами, показывающими, что эти формы характеризуются не только соотношением амплитуд масс системы, но и сдвигом фаз этих амплитуд друг относительно 44 друга. Однако в подавляющем большинстве случаев, представляющих практический интерес, влияние трения как на собственные частоты колебаний, так и на их формы оказывается достаточно малым. Поэтому, под собственными частотами и формами диссипативной системы (5.11) обычно понимают, собственные частоты и формы соответствующей консервативной системы, дифференциальные уравнения движения (5.15) которой, получаются из системы дифференциальных уравнений (5.11) отбрасыванием диссипативных членов:  + 3,75Cu = 0  5,25mu + 3mr (5.15)  2  + 2Cr 2 = 0. 3mru + 5,33mr  Решением системы (5.15) являются гармонические функции времени: u (t ) = u cos(t +  ); (t ) =  cos(t +  ). (5.16) Подставляя (5.16) в (5.15), получаем систему алгебраических уравнений относительно двух неизвестных амплитуд u и  :  ( 3,75C − 5,25 2 m ) u − 3 2 mr = 0  (5.17)  2 2 2 2 0. −3 mru + ( 2Cr − 5,33 mr )  = { Нетривиальное решение однородной системы (5.13) существует, если равен нулю ее определитель: −5, 25 2 m + 3,75C −3 2 mr (5.18) = 0. −3 2 mr −5,33 2 mr 2 + 2Cr 2 Частоты малых колебаний ω , для которых определитель (5.18) оказывается равен нулю и существует нетривиальное решение системы однородных линейных алгебраических уравнений (5.17), называются собственными частотами механической системы. В рассматриваемом случае для механической системы с двумя степенями свободы частотный определитель (5.18) обращается в нуль при двух значениях частоты: = ω p= p2 . 1; ω Если ввести, как это было сделано в задаче №4, параметр частоты ρ и безразмерную частоту λ: С ω = ρ = ; λ ; m ρ частотное уравнение сводится к уравнению второй степени относительно квадрата безразмерной частоты λ (к биквадратному уравнению): 19λ 4 − 30,5λ 2 + 7,50 = 0. Корни частотного уравнения: = λ12 0,303; = λ 2 2 1,30; 45 позволяют получить следующие значения собственных частот рассматриваемой механической системы: (5.19) = p1 0= ,550; p2 1,14. Собственные формы найдем из первого уравнения (5.17): 1 3,75ρ 2 − 5,25 p12  2 3,75ρ 2 − 5,25 p2 2 1 1 = = = = − 2,37 ; 0,789 . u1 r u2 r 3rp12 3rp2 2 Матрица собственных форм: 1  1    (5.20) U=  2,37 1 −0,789 1   r r . Собственные формы показаны на рис. 5.3. а) б) Рис. 5.3. Собственные формы механической системы а – первая собственная форма, б – вторая собственная форма Как видим, на первой форме амплитуды обеих обобщенных координат положительны (синфазные), а на второй – они противоположны по знаку (противофазные), что соответствует теореме о числе узлов собственной формы. 3. Парциальные подсистемы Парциальными подсистемами [7] называют механические системы с одной степенью свободы, образованные из исходной системы так, что собственные частоты парциальных подсистем составляют: cii , = pi = i 1, 2,..., n. aii Здесь cii , aii – диагональные элементы квазиупругой матрицы и матрицы инерции соответственно. 46 Для рассматриваемой схемы: 3,75C 2C = pI 2 = 0,714ρ 2 ; = pII 2 = 0,375ρ 2 ; 5, 25m 5,33m = pI 0,845ρ; = pII 0,612ρ. Если в качестве обобщенных координат используются линейные перемещения или углы поворота, парциальные подсистемы допускают наглядную интерпретацию. В этом случае, чтобы получить парциальную подсистему, достаточно обеспечить равенство нулю всех обобщенных координат кроме одной, т.е. в нашем случае ввести связи ϕ=0 или u=0 (рис. 5.4). Очевидно, что парциальные подсистемы зависят от выбора обобщенных координат. Частоты парциальных подсистем могут быть использованы для качественной оценки собственных частот исходной системы. Известно, что «парциальные» частоты лежат между собственными частотами исходной системы, т.е. (5.21) p1 ≤ min( pI , pII ), p2 ≥ max( pI , pII ). Действительно, в рассматриваемом случае: p1= 0 ,550 ≤ pII= 0 ,612 p2= 1,14 ≥ pI= 0 ,845. Связанность парциальных подсистем может быть инерционной, квазиупругой или комбинированной и количественно оценивается коэффициентами связи: с12 a12 = γ1 = 0,567; = γ2 = 0. a11a22 с11с22 Если парциальные подсистемы не связаны ( γ= γ= 0 ), выражения (5.21) 1 2 обращаются в равенство. Чем выше коэффициент связи, тем в большей степени частоты исходной системы отличаются от парциальных частот. а) Рис. 5.4. Парциальные подсистемы: б) а – парциальная подсистема I (  = 0 ), б – парциальная подсистема II ( u = 0 ) 47 4. Главные координаты Главные координаты системы получим линейным преобразованием использованных обобщенных координат: 1   0,250 0,316   u  r −1 (5.22) =   . {ϑ} U= {q}   1  0,750 −0,316      r  Нетрудно проверить, что при колебаниях по собственным формам (т.е. с одной из собственных частот) ненулевой оказывается лишь одна главная координата: 1  1, при 1, 2,37 u = =   r ϑ1 =0,250u + 0,316r = 0, при u = 1,  = −0,790 1 ;  r 1  u 1,=  2,37 0, при= r ϑ2 =0,751u − 0,316r =  1, при u = 1,  = −0,790 1 . r  Матрица инерции в главных координатах (матрица обобщенных масс) имеет вид  49,5 0,00  T (5.23) = [ M ] U= [ A]U   m.  0,00 3,84  Диагональный вид матрицы обобщенных масс можно рассматривать как подтверждение ортогональности найденных собственных форм. Квазиупругая матрица в главных координатах вследствие ортогональности собственных форм также диагональная:  15,0 0,00  (5.24) = [ 2Π ] U T= [C ]U   C. 0,00 5,00   Матрица демпфирования в главных координатах: k2 k2   4 8,25 4 0,834 k k + − 1  1 r2 r 2 . T (5.25) =  [ B ] U= [ K ]U  k k 2 2    4k1 − 0,834 2 4k1 + 0,0844 2  r r   Как видно из (5.25), при определенном отношении коэффициентов 2 трения в демпферах (а именно, k2 = 4,80r k1 ) недиагональные элементы матрицы демпфирования в главных координатах оказываются равными нулю. Это случай так называемого пропорционального демпфирования. При любом другом сочетании характеристик трения демпферов (при 48 непропорциональном демпфировании) матрица [B] диагональной не будет, а дифференциальные уравнения движения в главных координатах: 0, [ M ]{ϑ} + [ B ]{ϑ} + [ 2Π ]{ϑ} = (5.26) оказываются связанными:  49,5mr 2ϑ1 + (4k1r 2 + 8,25k2 )ϑ1 + (4k1r 2 − 0,834k2 )ϑ2 + 15Cr 2ϑ1 = 0  2  2 2 2   0. 3,84mr ϑ2 + (4k1r + 0,0844k2 )ϑ2 + (4k1r − 0,834k2 )ϑ1 + 5Cr ϑ2 = Следствием диссипативной связанности главных колебаний является возможность передачи энергии механических колебаний от одной собственной формы к другой, что при отсутствии диссипации в линейных системах невозможно. Таким образом, факт непропорционального характера демпфирования может выступать причиной поведения системы, отличного от проявления связанности другой природы (упругой, инерционной), исчезающей при переходе к главным координатам. Значительная диссипативная связанность может приводить к неприемлемой для инженерных расчетов погрешности решения задач как о свободных, так и о вынужденных колебаниях методом разложения по собственным формам (методом главных координат). По этой причине заслуживает внимания вопрос: можно ли дать количественную оценку такого уровня диссипации в механической системе, при котором интегрирование системы дифференциальных уравнений движения следует выполнять учитывая диссипативную связанность, а при каком уровне непропорционального демпфирования диссипативной связанностью можно пренебречь. Общего ответа на этот вопрос не существует. В задаче №6 на примере конкретной расчетной схемы механической системы предлагается выполнить оценку влияния диссипативной связанности на амплитуды установившихся вынужденных колебаний путем сравнения результатов расчета двумя методами: с учетом диссипативной связанности и без такого учета.Equation Section 6 49 Задача №6. МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА Условие задачи и варианты исходных данных Неконсервативная система совершает вынужденные колебания. Рассеяние энергии обусловлено наличием механического гистерезиса в материале упругого элемента, сухого трения по соприкасающимся поверхностям, жидкостного трения по боковым поверхностям инерционных элементов. Коэффициент рассеяния в материале упругого элемента является функцией амплитуд механических напряжений (нормальных или касательных) ψ(s)=ψ0+ψ1s+ψ2s2, где s = σa/σ–1 или s = τa /τ–1 – относительное значение амплитуды механических напряжений; σa, τa – амплитуды нормальных и касательных механических напряжений соответственно; σ–1, τ–1 – предел усталостной прочности материала упругого элемента. Сила сухого трения пропорциональна силе прижатия N соприкасающихся поверхностей Fс = –μNsign(dx/dt), где (dx/dt) – скорость взаимного движения поверхностей, μ – коэффициент трения. Силу N принять равной силе веса инерционного элемента N = mg . Жидкостное трение характеризуется силой Fж = – b1(dq/dt) – b2(dq/dt)2sign(dx/dt), если инерционные элементы совершают поступательное движение, либо моментом Мж = – b1(dq/dt) – b2(dq/dt)2sign(dx/dt), если инерционные элементы совершают вращательное движение (здесь q – координата положения инерционного элемента относительно неподвижного основания). Варианты расчетных схем колебательных систем приведены в таблице 6.1, числовые значения параметров – в таблице 6.2. Принять: σ–1=300 МПа; τ–1=200 МПа; E=2·1011 Н/м2; G=0.8·1011 Н/м2; ρ=7.8·103 кг/м3. В задаче требуется: 1) определить недостающие геометрические размеры упругого элемента из условия совпадения собственной частоты консервативной колебательной системы с заданной частотой f внешнего вынуждающего воздействия; 2) рассмотреть случай резонансных колебаний, когда рассеяние энергии обусловлено наличием гистерезисного и сухого трения, а жидкостное трение отсутствует. Определить амплитуды колебаний инерционных 50 элементов и амплитуду внешнего вынуждающего воздействия, соответствующие достижению в упругом элементе амплитуд максимальных механических напряжений, равных пределу усталостной прочности; 3) определить коэффициент жидкостного трения, если известно, что при сохранении определенной в пункте 1 амплитуды внешнего вынуждающего воздействия введение жидкостного трения приводит к уменьшению амплитуд резонансных колебаний в 2 раза; 4) определить зависимость от амплитуд колебаний коэффициента линейного вязкого демпфера, эквивалентного на резонансной частоте сочетанию всех трех составляющих трения: сухого, жидкостного и гистерезисного; 5) для сочетания всех трех составляющих трения (сухого, жидкостного и гистерезисного) определить зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний; 6) рассчитать амплитуды резонансных колебаний, устанавливающиеся при изменении амплитуды внешнего вынуждающего воздействия в r раз. Рассчитать время переходного процесса. Построить график огибающей амплитуд переходного процесса. Таблица 6.1 Расчетные схемы механических систем к задаче №6 Вариант 6.1 Вариант 6.2 Вариант 6.3 Вариант 6.4 51 Вариант 6.5 Вариант 6.7 Вариант 6.6 Вариант 6.8 Вариант 6.9 Вариант 6.10 Вариант 6.11 52 Продолжение табл. 6.1 Вариант 6.12 Окончание табл. 6.1 Вариант 6.13 Вариант 6.14 Вариант 6.15 Вариант 6.16 Вариант 6.17 Вариант 6.18 Вариант 6.19 Вариант 6.20 Вариант 6.21 53 Таблица 6.2 Числовые значения параметров расчетных схем задачи № 6 № сх. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 f, Гц 10 30 4 50 5 25 15 30 25 10 4 10 2 20 100 6 100 100 2 75 30 m, кг 3 5 5 5 20 5,5 2 0,5 0,75 3 2,5 3 4 0,1 100 9 100 100 10 10 2 μ 0,01 0,2 0,05 0,4 0,05 0,1 0,01 0,3 0,03 0,3 0,05 0,03 0,1 0,05 0,05 0,01 0,05 0,01 0,1 0,02 0,02 r 1,5 2 0,2 0,2 2 0,33 1,5 3 2 0,5 0,2 0,5 2 0,3 2 0,5 2 0,5 2 2 3 b1/b2 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞ 0 0 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ψ0,% 0,5 1 1,5 2 3 2 1 1 2 1,5 1,5 0,5 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 2 1 ψ1/ψ0 0 0 0 3 1 1 0 0 1 5 0 0 3 5 4 7 4 5 3 5 0 ψ2/ψ0 7 5 7 0 0 0 3 3 0 0 7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Пример решения задачи №6 Расчетная схема механической системы показана на рис. 6.1. m=1 кг l=0,5 м Рис. 6.1. Расчетная схема механической системы Два инерционных элемента с массами 2m и m, соединенные невесомой упругой рамой из трех прямолинейных участков круглого поперечного сечения, способные перемещаться по шероховатой горизонтальной поверхности, подвергаются воздействию гармонических вынуждающих сил: P(t ) = P cos t. 54 (6.1) Частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой механической системы и равна f = 100 Гц. Коэффициент рассеяния в материале упругого элемента является функцией амплитуд нормальных механических напряжений: 2  σ  ψ(σ) = ψ0 + ψ 2   ,  σ −1  где ψ0 1%, = = ψ 2 3%. Сила сухого трения пропорциональна соприкасающихся поверхностей R= –μNsign(dx/dt), где μ=0,3. Жидкостное трение характеризуется силой: силе прижатия N Fж= –b1(dq/dt), где q – обобщенная координата механической системы. 1. Определение диаметра поперечного сечения рамы Для определения жесткости рамы, выступающей в роли упругого элемента рассматриваемой колебательной системы, построим распределение в ней изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках и по направлению действия на раму сил взаимодействия с инерционными элементами (рис. 6.2). l l 2l l l l 1 l 1 ЭМ1 Рис. 6.2. Схема нагружения и соответствующее распределение изгибающего момента, используемые при расчете жесткости упругой рамы Взаимное перемещение точек приложения единичных сил определим при помощи интеграла Мора: 8 l3 (6.2) δ11 = ( ЭМ 1 ) ⋅ ( ЭМ 1 ) = . 3 EI x Жесткость динамической модели (рис. 6.3) рассматриваемой механической системы 1 3 EI x 3π E 4 (6.3) = C = = d . 3 δ11 8 l 512 l 3 55 C 2m m x2 x1 Рис. 6.3. Динамическая модель механической системы Для определения собственной формы колебаний динамической модели рис. 6.3 на ненулевой собственной частоте p приравняем силы инерции сосредоточенных масс p 2u1m1 = − p 2u2 m2 , где u1 и u2 – амплитуды левой и правой масс соответственно. Поскольку массы m1 и m2 отличаются в два раза, собственная форма, соответствующая ненулевой собственной частоте p , должна быть равна: 1 u1 (6.4) = − . 2 u2 Собственная частота p , соответствующая найденной собственной форме, может быть получена, например, по формуле Релея: 2Π 3C (6.5) . p = = 2m M Здесь Π – полная энергия колебаний, M – обобщенная масса. Из условия совпадения заданной частоты вынуждающей силы  = 2πf с собственной частотой (6.5) получаем диаметр поперечного сечения рамы: 4 64 3 23 3 (6.6) = d = π  l mE 0,0546 м. 3πE 2. Установившиеся резонансные колебания при наличии гистерезисного и сухого трения 2.1. Определение амплитуд колебаний инерционных элементов В процессе движения механической системы упругая рама испытывает нагружение силами инерции сосредоточенных масс. Амплитудные значения инерционных сил обеих масс равны друг другу и при гармонических колебаниях составляют: FI = 2mp 2 A, (6.7) где А – амплитуда перемещений первого инерционного элемента массой 2m. Как следует из эпюры изгибающего момента, показанной на рис. 6.4, максимальное значение момента max M = 2 2 mAl. (6.8) 56 Рис. 6.4. Схема нагружения и распределение изгибающего момента, использованные для записи условия усталостной прочности упругой рамы Так как максимальные напряжения в раме по условию задачи следует принять равными пределу усталостной прочности, т.е. max M d (6.9) = max σ = σ −1 , Ix 2 то для амплитуды колебаний первого инерционного элемента массой 2m получаем: Ix = A−1 = σ −1 0,0122 м. (6.10) 2  mld 2.2. Определение амплитуды вынуждающей силы Амплитуду вынуждающей силы определим из условия энергетического баланса работы внешних сил L и энергии, рассеиваемой в системе на механический гистерезис WГ и сухое трение WC . Работа внешних сил складывается из работы двух сосредоточенных гармонических сил. Для случая совпадения частоты вынуждающих сил с собственной частотой (для резонанса) имеем (6.11) L = L1 + L2 = PA + 2PA = 3PA. Энергия, рассеиваемая в элементарном объеме материала в результате механического гистерезиса, зависит от амплитуды механических напряжений: σ2 dWГ = (σ) dV . (6.12) 2E Механические напряжения изменяются как по высоте поперечного сечения (рис. 6.5), так и по длине участков рамы (см. рис. 6.4). 57 dy y Эσ(М) Рис. 6.5. Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения стержней рамы при изгибе Для энергии, рассеиваемой за цикл колебаний на двух вертикальных участках рамы, получаем 2 2   2 2 mA    2 2 mA  d zy  zy    2 l 2  I Ix d       x  WГ 1 = 8∫∫  0 +  2  − y 2 dydz =    σ −1 2E    2 0 0         4 2 2 2 2 2 2  4 2 4 3 2 ( 3 2 m d l A + 10 0 I x −1 ) = . md l A I x 4−12 E 480 (6.13) Для энергии, рассеиваемой за цикл колебаний на горизонтальном участке рамы, получаем: 2 2 2 2     mA 2    2 mA  d ly  ly    2 2l 2   I I d   2 x     x  WГ 2 = 4 ∫ ∫  0 +  2    − y dydz =   2E  −1  2 0 0         4 2 2 2 2 2 2  4 2 4 3 2 (  2 m d l A + 2 0 I x −1 ) . = md l A I x 4−12 E 32 (6.14) Энергия, рассеиваемая за цикл колебаний на механический гистерезис: 1  3 4 2 2 2 2 2 2   2 m d l A +  0 I x −1  80 12 . WГ =WГ 1 + WГ 2 = π  4 m 2 d 4l 3 A2  4 2 I x −1 E (6.15) 58 Для обнаружения и количественного анализа установившегося режима вынужденных колебаний методом энергетического баланса принципиальное значение несет степень нелинейности зависимости цикловых потерь энергии от амплитуд колебаний обобщенных координат. Чтобы получить возможность наглядно увидеть вклад в рассеиваемую энергию слагаемых с разными показателями степени амплитуд (отвечающих за разные модели демпфирования), преобразуем выражение (6.15) к виду, использующему безразмерную амплитуду A . (6.16) a= A−1 Переходя в выражении (6.15) к новой переменной (6.16), получаем зависимость цикловых потерь на механический гистерезис от второй и четвертой степени амплитуды −12 2  1 3  (6.17) = WГ π ld   0 a 2 +  2 a 4  , E 80  12  причем безразмерный характер параметра амплитуды a делает размерность коэффициентов, стоящих при разных степенях амплитуды, одинаковой, что позволяет оценивать степень нелинейности прямым сопоставлением этих −12 коэффициентов. Множитель выступает в качестве параметра энергии E элементарного объема материала, а множитель ld 2 выступает в качестве параметра объема. Выражение (6.15) для потерь энергии на механический гистерезис, полученное интегрированием по объему деформируемых элементов, получилось довольно громоздким, поэтому не будет лишним выполнить его проверку. Для этого воспользуемся следующим обстоятельством. Если в подынтегральных выражениях (6.13) и (6.14) для цикловых потерь на механический гистерезис коэффициент рассеяния в материале формально положить равным единице σ   0 +  2σ 2 = 1 , то получаемый результат интегрирования есть не что иное, как амплитудное значение потенциальной энергии деформации рассматриваемой механической системы:  d4 2 (6.18) max П =  2 m 2l 3 A. 12 EI x 2 Выражение (6.18) также может быть представлено в виде зависимости от безразмерной амплитуды a :  2 −12 2 (6.19) max П = ld a . 12 E В свою очередь, амплитудное значение потенциальной энергии деформации динамической модели консервативной механической системы (см. рис. 7.3) может быть получено без выполнения операции 59 интегрирования по объему, например, в соответствии со следующими двумя расчетными выражениями: 1 1  2m( pA) 2 + m(2 Ap ) 2  = Э, (6.20) max = Π C (3= A) 2 max = T 2 2 где maxT – амплитудное значение кинетической энергии механической системы, Э – полная энергии механической системы. Поэтому, в качестве косвенной проверки правильности записи интегралов (6.13) и (6.14) сравним значения энергий, получаемых в соответствии с выражениями (6.15) и (6.20). Полагая = A A= 0,0122 м , убеждаемся, что выражения −1 (6.15) и (6.20) приводят к одному результату max Π= max Τ= Э= 176,1 Дж . Интегральное значение энергии, рассеиваемой во всем объеме деформируемого материала, может быть использовано для вычисления коэффициента рассеяния конструкции. Если в механической системе рассеяние энергии обусловлено только механическим гистерезисом, то коэффициент рассеяния для рассматриваемой конструкции по определению равен отношению энергии, рассеиваемой на гистерезис, и полной энергии цикла W Ψ= Г. Э Выражения для гистерезисных потерь WГ (6.17) и для интеграла энергии Э (6.19) позволяют увидеть связь между коэффициентом рассеяния в конструкции и коэффициентами рассеяния материала: 9 WГ (6.21) Ψ = = 0a 2 + 2a 4 . 20 Э Для = A A= 0,0122 м коэффициент рассеяния конструкции при учете −1 потерь только на механический гистерезис принимает значение Ψ =0,0235 (что выше, чем  0 = 1% , но ниже  2 = 3% , использованных по условию задачи). Потери энергии в результате сухого трения инерционных элементов о шероховатую поверхность основания подсчитаем как работу сил трения на пути, который проходят инерционные элементы за цикл колебаний: WC = WC1 + WC 2 = 4 AR1 + 4(2 A) R2 =  ⋅ 2mg ⋅ 4 A +  ⋅ mg ⋅ 8 A = 16mgA. (6.22) Потери энергии на сухое трение в форме зависимости от безразмерной амплитуды имеют вид: gI (6.23) WС = 16 2 x σ −1a .  ld 60 Согласно методу энергетического баланса установившимся вынужденным колебаниям соответствует равенство работы вынуждающих сил и потерь энергии в механической системе: (6.24) = L( A) WГ ( A) + WC ( A). Условие энергетического баланса может быть использовано в качестве уравнения для определения амплитудного значения параметра силы Р при известном значении амплитуд колебаний: 1 WГ ( A) + WC ( A) . (6.25) 3π A Достижению в раме максимальных механических напряжений, равных пределу усталостной прочности, соответствуют: P= = = A−1 0,0122 м; P 41,0 H. В результате подстановки выражений (6.17), (6.23), определяющих зависимости цикловых потерь от безразмерных амплитуд перемещений, в выражение энергетического баланса (6.25), необходимую для поддержания установившихся колебаний системы амплитуду вынуждающего воздействия можно представить в виде составляющих, отвечающих за компенсацию потерь на определенный вид демпфирования: σ −1 l 2 d 3 2  1 1  16 (6.26)  m   2 a 3 +  0 a  + μgm . P = E Jx 36  80  3π После подстановки в выражение (6.26) числовых значений параметров получаем следующую зависимость между амплитудой вынуждающей силы P и безразмерной амплитудой колебаний a = P 20,7Н ⋅ a 3 + 15,3Н ⋅ a + 4,99Н . Слагаемые, зависящие от амплитуды колебаний, соответствуют компенсации потерь на гистерезис, а слагаемое, не зависящее от амплитуды, необходимо для компенсации сухого трения. Количественные значения энергетических характеристик установившегося колебательного режима: max Π = maxT =Э=176,1 Дж; WГ ( A−1 ) =4,14 Дж; WС ( A−1 ) =0,574 Дж. Для поддержания режима установившихся колебаний с такой амплитудой к механической системе должна подводиться мощность = N (WГ + WС ) f =414 Вт+57 Вт=471 Вт. На рассмотренном режиме основной вклад в рассеяние энергии колебательной системы вносит механический гистерезис. 61 3. Определение коэффициента жидкостного трения После того, как дополнительно к гистерезисному и сухому трению было добавлено жидкостное трение, рассеивающее за цикл колебаний энергию WЖ ( A) = bЖ A2 , (6.27) при неизменной амплитуде вынуждающей силы (6.25) амплитуда колебаний уменьшилась в два раза: A A = −1 . (6.28) 2 Коэффициент сопротивления вязкого демпфера bЖ может быть определен из нового условия энергетического баланса: A  A  A  A  L  −1  = WГ  −1  + WC  −1  + WЖ  −1  .  2   2   2   2  В соответствии с (6.27) из (6.29) получаем (6.29)   A−1   A−1   3PA−1 − 2WГ  2  − 2WC  2   кг      bЖ 2= 20,2 . (6.30) 2 A−1 с Составляющие цикловых потерь энергии на двух уровнях амплитуд приведены в табл. 6.3. Зависимости составляющих потерь энергии от амплитуд колебаний показаны на рис. 6.6. Таблица 6.3 Энергетические оценки для двух уровней амплитуд колебаний Амплитуда колебаний Полная энергия Потери энергии Потери энергии цикла на механический на сухое трение колебаний Э, гистерезис WС , Дж Дж WГ , Дж Потери энергии на вязкое трение WЖ , Дж А-1 =0,0122 м 176,1 4,14 0,574 5,92 А−1 = 0, 0061 м 2 44,0 0,589 0,287 1,48 62 Рис. 6.6. Зависимости составляющих потерь энергии от амплитуд колебаний 4. Определение коэффициента эквивалентного трения Энергия, рассеиваемая эквивалентным трением, рассчитывается по следующей зависимости: WЭ ( A) = bЭ A2 . (6.31) Приравнивая энергии, рассеиваемые на одинаковых амплитудах колебаний в исследуемой механической системе и эквивалентным трением, получаем: W ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A ) . (6.32) bЭ(А) = Г A2 Энергия, рассеиваемая эквивалентным трением на двух уровнях амплитуд колебаний, а также значения коэффициентов сопротивления эквивалентного демпфера приведены в табл. 6.4. Таблица 6.4 Эквивалентное вязкое демпфирования Амплитуда колебаний Потери энергии в эквивалентном демпфере WЭ , Дж Коэффициент сопротивления эквивалентного демпфера bЭ , кг/с А-1 =0,0122 м 10,6 36,2 А−1 = 0, 0061 м 2 2,35 32,1 63 Зависимость коэффициента эквивалентного трения от амплитуд колебаний показана на рис. 6.7. 5. Зависимость логарифмического декремента от амплитуд колебаний Воспользуемся колебаний: соотношением, справедливым для резонансных 1 δ = − ln(1 − Ψ ), (6.33) 2 где δ – логарифмический декремент колебаний; Ψ – коэффициент рассеяния, по определению равный отношению энергии, рассеиваемой за цикл колебаний, к полной энергии Э механической системы: Так как WГ ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A ) Ψ ( A) = . Э( A) (6.34) Э( A) ≅ max T ( A) =2m 2 A2 +  2 m ( 2 A ) =6 2 mA2 , (6.35) 2 то WГ ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A )  WГ ( A ) + WC ( A ) + WЖ ( A )  Ψ ( A) ≅  = . (6.36) Э( A) 6mA2 2 Зависимость (6.36) отличается от зависимости (6.32) только постоянным множителем, что и отражено на рис. 6.7. Рис. 6.7. Зависимость коэффициента эквивалентного вязкого трения (сплошная линия), логарифмического декремента (штриховая линия), коэффициента рассеяния колебательной энергии (пунктирная линия) от амплитуд колебаний 64 6. Поведение механической системы при изменении амплитуды вынуждающей силы Рассмотрим случай, когда амплитуда вынуждающей силы увеличивается в 2 раза. Амплитуду A∗ установившихся вынужденных колебаний при увеличенном значении вынуждающей силы определим, воспользовавшись методом энергетического баланса: L( A∗ ) = WГ ( A∗ ) + WC ( A∗ ) + WЖ ( A∗ ). (6.37) Цикловая работа вынуждающих сил, согласно (6.11) L( A∗ ) = 6PA∗ . (6.38) Цикловые потери на механический гистерезис, согласно (6.22), составят: 1  3 4 2 2 2 2 2 2   2 m d l A +  0 I x −1  80 12  . (6.39) WГ ( A∗ ) = π  4 m 2 d 4l 3 A2  4 2 I x −1 E Цикловые потери на сухое трение, согласно (6.22), оказываются: WC ( A∗ ) = 16mgA∗ . (6.40) И, наконец, цикловые потери на жидкостное трение согласно (6.27) WЖ ( A∗ ) = kA∗2 . (6.41) На рис. 6.8 показаны зависимости от амплитуд вынужденных колебаний суммарных цикловых потерь энергии одновременно с энергией, вводимой в механическую систему вынуждающими силами за цикл колебаний. Рис. 6.8. Иллюстрация энергетического баланса в механической системе при амплитудах установившихся вынужденных колебаний для двух уровней вынуждающего воздействия 65 установившихся вынужденных колебаний, Амплитуда А* соответствующая равенству подводимой и рассеиваемой энергий (6.37) при увеличении параметра вынуждающей силы в два раза, составляет: A−1 = = = A∗ 1,83 A−1 0,0111 м 0,915 (6.42) 2 и возрастает менее чем в два раза, а точнее на 83%. Составляющие потерь энергии для амплитуд А* установившихся вынужденных колебаний приведены в табл. 6.5. Таблица 6.5 Энергетические оценки при изменении амплитуды вынуждающего воздействия Амплитуда колебаний Полная энергия цикла колебаний Э, Дж Потери энергии на механический гистерезис WГ , Дж Потери энергии на сухое трение WС , Дж Потери энергии на вязкое трение WЖ , Дж A−1 = 0,0122 м 176,1 4,14 0,574 5,92 A−1 = 0,0061 м 2 44,0 0,589 0,287 1,48 А* =0,0111 м 145,9 3,141 0,525 4,957 Для описания переходного процесса от амплитуды A−1 2 до значения A∗ воспользуемся дифференциальным уравнением огибающей амплитуд неустановившихся колебаний: dA L( A) − W ( A) (6.43) , = dt CAT где W ( A ) = WГ ( А ) + WС ( А ) + WЖ ( А ) – суммарная энергия, рассеиваемая в механической системе, T– период колебаний. Приведем уравнение (6.43) к виду с разделяющимися переменными: CAT (6.44) dt = dA . L( A) − W ( A) Его интегрирование в пределах от A−1 2 до At приводит к несобственному интегралу, поскольку по мере роста амплитуд колебаний рассеиваемая в механической системе энергия приближается к работе вынуждающих сил: W ( A) → L( A) , и подынтегральное выражение стремится к бесконечности. В результате переходный процесс, вообще говоря, длится бесконечно долго: 66 t ∫ dt = 0 = At CAT ∫ A−1 2 1  3 4 2 2 2 2 2 2   2 m d l A +  0 I x −1  80 12  − 16mgA − kA2 6PA − π  4 m 2 d 4l 3 A2  4 2 I x −1 E Практически, однако, закончившимся, когда можно считать переходный dA. (6.45) процесс A ≈ ( 0,95...0,98 ) A∗ . В качестве верхнего предела интегрирования в правой части выражения ∗ (6.45) принята амплитуда At = 0,999 A : t* = = 0,999 A* ∫ A−1 2 CAT 1  3 4 2 2 2 2 2 2   2 m d l A +  0 I x −1  80 12  − 16mgA − kA2 6PA − π  4 m 2 d 4l 3 A2  4 2 I x −1 E Выполненный на основании (6.46) расчет дает: dA. (6.46) (6.47) Другими словами, переходный процесс длится около 18 периодов колебаний. Переходный процесс, построенный в соответствии с (6.46), приведен на рис. 6.9. = t * 0,182 сек ≅ 18 T . Рис. 6.9. Переходный процесс в механической системе при увеличении амплитуды вынуждающей силы в два раза 67 Задача №7. НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯEquation Section 7 Условие задачи и варианты исходных данных Неконсервативная система (расчетные схемы приведены в таблице 5.1 и изображены в положении равновесия) совершает установившиеся вынужденные колебания. Вынуждающая сила PA ( t ) = PA cos t приложена в точке A по направлению касательной к траектории ее движения. Выполнить анализ установившихся вынужденных колебаний одной из механических систем в предлагаемой последовательности: 1. Записать дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы для исходных и главных координат. 2. Определить коэффициенты сопротивления k1 и k2 демпферов вязкого трения, если известно, что при колебаниях по первой собственной форме демпферы рассеивают одинаковую энергию, а наибольший уровень демпфирования при резонансных колебаниях составляет в первом случае 3% от критического демпфирования (случай "слабого" демпфирования), а во втором случае (случай "сильного" демпфирования) демпфирование составляет 12% от критического уровня. 3. Методом непосредственного решения уравнений малых колебаний в диапазоне частот 0 ≤  ≤ 1,3p2 (где p2 - вторая собственная частота консервативной системы) рассчитать и изобразить на графиках: а) амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики системы; б) синфазную и квадратурную составляющие отклика системы; в) амплитудно-фазовые частотные характеристики (диаграммы Найквиста) для обеих координат. 4. Методом разложения по собственным формам консервативной системы рассчитать комплексные амплитуды вынужденных колебаний системы на частоте первого резонанса. 5. Сравнить амплитуды вынужденных колебаний на частоте первого резонанса, полученные методом непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения (пункт 3) и методом разложения по собственным формам (пункт 4). Показать соответствующие амплитуды на одном рисунке. Результаты сравнения прокомментировать. Указание: расчеты пунктов 3, 4 и 5 выполнить сначала для значений коэффициентов сопротивления k1 и k2 демпферов вязкого трения, соответствующих случаю "слабого" демпфирования, а затем повторить для случая "сильного" демпфирования. 68 Пример решения задачи №7 1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний получим, используя уравнения Лагранжа второго рода в форме d  ∂T  ∂T ∂Π ∂R + + = Qi , = i 1, 2. (7.1)  − dt  ∂qi  ∂qi ∂qi ∂qi Здесь Qi – обобщенные вынуждающие силы. Система (7.1) отличается от полученной в примере решения задачи №5 системы (5.3) наличием правой части. Обобщенные вынуждающие силы, соответствующие обобщенным координатам q1=u и q2=φ, получим на основании анализа виртуальной работы заданной внешней силы: δA δA δA= = = PA (t ) ⋅ 2δ u; Q1 (t ) = 2 PA (t ); Q2 (t ) = 0. δu δφ Система уравнений вынужденных колебаний для обобщенных координат q1=u и q2=φ имеет вид {Q(t )} , [ A]{q} + [ K ]{q} + [C ]{q} = (7.2) где 3r   5,25 m – матрица инерции в обобщенных координатах (5.12), [ A] =  2 3 r 5,33 r    3,75 0  C – квазиупругая матрица (5.14) в обобщенных 2r 2   0 координатах, k2 k2   4 k + 1 2  4 r 2r   – матрица демпфирования (5.13) в обобщенных [K ] =  k2  k2    2r  координатах, 2 P (t )  {Q(t )} =  A  – вектор обобщенных сил в обобщенных координатах,  0  [C ] =  u   – вектор обобщенных координат. φ   Матрицы [A], [K], [C] получены в примере решения задачи №5. {q} =  69 Для главных координат (5.10) система (7.2) принимает вид    M ϑ + Β ϑ + 2 Π ϑ = Q (t ) , [ ] [ ] [ ]{ } {} где {} { } (7.3)  49,5 0,00   m – матрица обобщенных масс (5.23),  0,00 3,84  [M] =  k2  4 8,25 k +  1 r2 = [Β] U T= [ K ]U   4k − 0,834 k2  1  r2 в главных координатах, k2  r 2  – матрица демпфирования  k2  4k1 + 0,0844 2  r  4k1 − 0,834  15,0 0,00   C – матрица потенциальной энергии главных колебаний 0,00 5,00   [ 2Π ] = (5.24),  2  T = Q(t ) U= {Q(t )}   PA (t ) – вектор обобщенных сил для главных 2  координат, { }  1 U =  2,37 1  r 1  1  – матрица собственных форм (5.20). −0,789 r Матрицы [ M ] , [ Β] , [ 2Π ] , [U ] получены в примере решения задачи №5. 2. Определение коэффициентов сопротивления демпферов вязкого трения Условиями для определения двух неизвестных коэффициентов вязких демпферов k1 и k2 в исследуемой системе являются: 1) равенство энергий, рассеиваемых демпферами при колебаниях механической системы по первой собственной форме; 2) заданный по отношению к критическому наибольший уровень демпфирования резонансных колебаний. Энергия W1 и W2 , рассеиваемая демпферами вязкого трения k1 и k2 за период колебаний 2π  , может быть получена интегрированием мощности диссипативных сил в каждом из демпферов. Представляя мощность диссипативных сил произведением силы сопротивления линейного вязкого 70 демпфера на скорость точки ее приложения, получаем выражения для цикловых потерь энергии: 2π W1  2π  2  k 2u  1 dt , W2  0   0 2π 2   u   k2  E    dt  k2      dt. (7.4)  2r  0 2 Поскольку при установившихся вынужденных колебаниях u (t ) = u cos(t +  ), (t ) =  cos(t +  ), то π π   r (7.5) 2  W1 = 4π u k1 , W2 = 2 ( u + 2r ) k2 = 2  2 + 1 u 2 k2 . (7.6) 4r 4r  u  Получить выражения для цикловых потерь энергии в демпферах можно и по-другому. Этот второй (матричный) способ предпочтителен при большом числе обобщенных координат и лучше поддается алгоритмизации при применении вычислительной техники. Содержание приема заключается в следующем. Вся энергия W= W1 + W2 , рассеиваемая в механической системе за период колебаний, может быть получена интегрированием по времени диссипативной функции Рэлея, равной половине мощности рассеяния: 2 2 T W = ∫ 2 R(t )dt. (7.7) 0 Диссипативная функция Рэлея, в свою очередь, может быть получена как результат матричной операции: T  u (t )  1   u (t )  R(t ) =   (7.8)  [K ]  .  (t )  2   (t )     Для гармонических законов (7.5) изменения во времени обобщенных координат диссипативная функция Рэлея принимает вид T  u  1 2 u  = R(t )     [ K ]   sin 2 (t +  ). (7.9)  2       Выполнив в (7.9) операции матричного перемножения, получим: 1 2  1 k2  2  (7.10) R= (t ) u + k2u + k2 2  sin 2 ( t +  ) .   4k1 + 2  2  4r   Теперь остается лишь подставить (7.10) в (7.7) и сгруппировать слагаемые, содержащие k1 и k2 , 2 π  r  W= 4πu k1 + 2  2 + 1 u 2 k2 = W1 + W2 . 4r  u  2 71 (7.11) Таким образом, цикловые потери энергии в каждом из демпферов, согласно (7.11), зависят от амплитуды и формы колебаний 2 π  r  2 2 = W1 4πu k1= , W2  2 + 1 u k2 . 4r 2  u  В соответствии с условием задачи при колебаниях механической системы по первой собственной форме демпферы рассеивают одинаковую энергию W1 = W2 . Чтобы цикловые потери энергии в демпферах оказались одинаковыми необходимо, чтобы коэффициенты сопротивления вязких демпферов k1 и k2 удовлетворяли следующему взаимному соотношению: 2  k 1  U 2,1 = k1 + 1 22 .  2  r 16  U1,1  Поскольку для первой собственной формы справедливо r U 2,1 = = 2,37 , u U1,1 из условия равенства энергий, рассеиваемых демпферами при колебаниях механической системы по первой собственной форме, следует соотношение между коэффициентами сопротивления вязких демпферов k1 и k2 : 2  k2 1  U 2,1 k2 (7.12) k= + 1 = 2,06 .  2 1 2  r2 16  U1,1 r  При изменении частоты вынуждающей силы форма вынужденных колебаний изменится (соответственно изменится и соотношение между цикловыми потерями в демпферах), но полученное в (7.12) соотношение между коэффициентами сопротивления вязких демпферов k1 и k2 сохраняется неизменным при любых других формах вынужденных колебаний системы поскольку отражает не взаимное соотношение амплитуд обобщенных координат на разных режимах движения, а сделанный однократно при формировании модели механической системы выбор фиксированных параметров ее элементов. Вторым условием идентификации коэффициентов сопротивления вязких демпферов k1 и k2 выступает наибольший уровень демпфирования резонансных колебаний. Для количественной оценки уровня демпфирования условием задачи предложено использовать долю демпфирования ζ в рассматриваемой механической системе по отношению к критическому. При таком способе задания диссипативных свойств указанная доля ζ соответствует отношению коэффициента демпфирования ηk рассматриваемой механической системы к такому коэффициенту демпфирования η∗k , начиная с которого колебательный характер поведения рассматриваемой механической системы сменяется апериодическим. Если 72 систему уравнений (7.3) адаптировать для свободных колебаний (положить равными нулю вынуждающие силы) и привести к виду, разрешенному относительно второй производной главной координаты, то множителем при первой производной главной координаты оказывается удвоенное значение коэффициента демпфирования ϑk + 2ηkϑk + pk2ϑk = 0, k = 1,2 . Критическое значение коэффициента демпфирования η∗k соответствует равенству η∗k = pk , поэтому когда демпфирование задается как доля ζ от критического, справедливо соотношение ηk = ζ pk , что позволяет получить возможность оценить декремент свободных затухающих колебаний как 2πζ 2π ∗ . (7.13) δ k η= ηk = = kT pk2 − η2k 1 − ζ2 В выражении (7.13) T ∗ – период колебаний демпфированной системы. Декремент колебаний позволяет выполнить оценку скорости убывания максимальных отклонений обобщенных координат при затухающих колебаниях, что дает возможность оценить необратимые цикловые потери энергии механической системы и соответствующий коэффициент рассеяния Ψ k . Коэффициент рассеяния Ψ k по определению равен отношению энергии Wk , рассеиваемой в механической системе за период колебаний, к полной энергии механической системы Э: W Ψk = k . (7.14) Э Нетрудно показать, что коэффициент рассеяния Ψ k так же, как и логарифмический декремент δ k , непосредственно связан с долей демпфирования от критического  4πζ  Ψ k = 1 − exp  − (7.15) .  1 − ζ2    В соответствии с (7.13) и (7.15) связь между декрементом колебаний δ k и коэффициентом рассеяния Ψ k оказывается нелинейной (рис 7.1) 1 δ k = − ln (1 − Ψ k ) . (7.16) 2 73 Рис. 7.1 Взаимное соотношение логарифмического декремента δ и коэффициента рассеяния Ψ , а также зависимость каждого из них от ζ (доли демпфирования от критического) Чтобы выяснить, какому из двух резонансных режимов соответствует больший уровень диссипации, проведем сравнение коэффициентов рассеяния Ψ k на обоих режимах установившихся резонансных колебаний. Примем упрощающее допущение, что форма вынужденных колебаний на резонансной частоте совпадает с соответствующей собственной формой (запланируем проверить справедливость этого допущения позднее). Считая потери энергии за период колебаний малыми, для определения полной энергии Э воспользуемся соотношением = Э max T= (t ) max Π (t ). (7.17) Если в качестве обобщенных координат qi приняты такие, для которых диагональной будет матрица инерции, для вычисления Э удобнее пользоваться формой: Э = max T (t ). Матрица инерции диагональная в том случае, когда в качестве обобщенных координат приняты абсолютные перемещения инерционных элементов. Если же в качестве qi приняты координаты, для которых диагональной будет квазиупругая матрица, удобнее использовать форму: = Э max Π (t ). В рассматриваемом случае диагональной оказывается квазиупругая матрица, и полную энергию цикла колебаний оценим как максимальное значение потенциальной энергии: T u  r 2 2  1 u  2 Э= max Π (t )=   [C ]  = Cu 1,857 + 2  . (7.18)  u 2       Принимая во внимание (7.18) и (7.11), получаем выражение для коэффициента рассеяния: 2  1  r   π  4k1 + 2 1 + 2  k2  4r  u   16  (7.19) Ψ= . 2 C   r   15 + 8     u    74 Таким образом, коэффициент рассеяния линейной системы с диссипативными свойствами, описываемыми моделью линейного вязкого трения, определяется только формой колебаний r u и не зависит от амплитуды (причем, безотносительно к тому, является демпфирование пропорциональным или непропорциональным). Используя соотношение между коэффициентами сопротивления вязких демпферов (7.12), полученное из условия равенства рассеиваемых энергий на первой собственной форме, приводим выражение для расчета коэффициента рассеяния (7.19) к виду: 2 2  U 2,1   r     1 + 2  +  1 + 2    u U    1,1    4π k . (7.20) Ψ= 2  2 2 Cr    r  15 + 8     u    Эта форма представления коэффициента рассеяния может быть использована для сравнения уровней демпфирования на разных резонансных режимах: 2 2     U  2,2 U 2,1   + 15 8    2 1 + 2  U  U1,1   1,2   Ψ1 p1   , (7.21) = 2 2 2 Ψ 2 p2     U  U   U  1 + 2 2,1  + 1 + 2 2,2   15 + 8  2,1   U   U1,1   U1,2      1,1     где Ψ1 , Ψ 2 – коэффициенты рассеяния механической системы на первом и втором резонансе соответственно; p1 , p2 – собственные частоты; U1,k , U 2,k , k = 1,2 – элементы матрицы собственных форм. Полагая = p1 0= ,550; p2 1,14 и учитывая, что 1  1   , U=  2,37 1 −0,789 1   r r получаем Ψ1 Ψ 2 =0,318. Таким образом, наибольший уровень демпфирования соответствует второму резонансному режиму. Заметим, что в (7.21) для ответа на вопрос на какой резонансной частоте уровень демпфирования выше, знание абсолютных значений коэффициентов сопротивления вязких демпферов k1 и k2 оказалость необязательно. Обратим внимание также на то, что если бы трение в рассматриваемой механической системе удовлетворяло определению внешнего вязкого, то отношение декрементов колебаний δ 2 / δ1 оказалось бы равным отношению частот p2 p1 . В рассматриваемой механической 75 системе трение непропорциональное и декремент увеличивается даже в большее число раз δ 2 / δ1 = 3,57 , чем увеличивается частота p2 p2 = 2,07 . Используем подготовленную возможность оценить коэффициент рассеяния на втором резонансе с одной стороны по заданной доле демпфирования ζ (7.15), а с другой стороны по его зависимости от значений коэффициентов k1 и k2 и формы колебаний (7.19) в виде: 2 2  U 2,2   U 2,1    1 + 2  + 1 + 2    U U  1,2  1,1    4πζ  4πp2  k . Ψ 2 = 1 − exp  − ; Ψ2 = 2 2 2  1 − ζ2  Cr   U 2,2     15 + 8    U     1,2    Сравнение этих выражений позволяет получить величину коэффициента сопротивления второго вязкого демпфера: 2    U 2,2    4πζ   15 + 8     U   1 − exp  − 1 − ζ 2   2  1,2    Cr    . (7.22) k2 = 2 2 4πp2   U   U  1 + 2 2,2  + 1 + 2 2,1   U1,2   U1,1      Коэффициент сопротивления первого вязкого демпфера k1 определяется по связи с k2 (полученной из условия W1 = W2 равенства энергий, рассеиваемых каждым из демпферов на первом резонансном режиме): k k1 = 2,06 22 . r В выражении (7.22) ζ принимает значение ζ = 3% для случая "слабого" демпфирования и значение ζ = 12% для случая "сильного" демпфирования. Таким образом, для случая «слабого» демпфирования окончательно имеем: = k1 0,0542 = m k2 0,0263r 2 m (7.23) а для случая «сильного» демпфирования = k1 0,1348 = m, k2 0,0654r 2 m (7.24) Матрицы демпфирования в обобщенных и в главных координатах получим подстановкой (7.23) и (7.24) в (5.13) и в (5.25). Для случая "слабого" демпфирования:  0, 2234 0,0131   0, 4336 0,1949  = m, [ Β]  [K ]  =   m. (7.25)  0,0131 0,0263   0,1949 0, 2190  76 Для случая "сильного" демпфирования:  0,5553 0,0327   1,078 0,4845   = m Β [K ]  = [ ]   0,4845 0,5445  m. (7.26)  0,0327 0,0654    Для последующего анализа поведения рассматриваемой динамической модели важно, что значения недиагональных элементов матрицы [ B ] демпфирования (7.25) и (7.26) соизмеримы со значениями диагональных элементов, что свидетельствует о существенной непропорциональности демпфирования. По аналогии с коэффициентами инерционной и упругой связи введем коэффициент диссипативной связи дифференциальных уравнений для главных координат консервативной системы, полученной из рассматриваемой удалением диссипативных элементов B12 β= . (7.27) B11B22 Величина введенного коэффициента диссипативной связанности оказывается равной β = 0,632 как для случая «слабого» демпфирования, так и для случая «сильного» демпфирования. Декремент колебаний на обеих резонансных частотах может быть рассчитан, используя выражение (7.16), если в него подставить найденные величины k1 и k2 , а также частоты и формы резонансных колебаний. Результаты расчета декрементов, а также относительные значения цикловых потерь энергии в демпферах на обеих резонансных частотах приведены в таблице 7.1. Характеристики рассеяния в механической системе Таблица 7.1 "Слабое" демпфирование "Сильное" демпфирование Характеристики = k 0,= 0542m, k2 = 0, 0263r 2 k1 0,135 = m, k2 0, 0654r 2 m. рассеяния в 1 механической Первый Второй Первый Второй системе резонанс резонанс резонанс резонанс Коэффициент демпфирования η , ρ 4,62 ⋅ 10−3 3,42 ⋅ 10−2 0,0125 0,137 Логарифмический декремент δ , % 5,27 18,9 14,3 75,9 5,00 31,1 12,4 77,3 5,00 0,0032 12,4 0,0079 Доля энергии, рассеиваемая первым демпфером W1 Э , % Доля энергии, рассеиваемая вторым демпфером W2 Э , % 77 3. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях методом комплексных амплитуд Заменим систему дифференциальных уравнений вынужденных колебаний (7.2), решением которых являются гармонические функции времени (7.5), на систему уравнений (7.28) [ A]{q} + [ K ]{q} + [C ]{q} = {Q (t )} , в которых и обобщенным вынуждающим силам Q(t)=Qcos(ωt) и обобщенным координатам {q(t)}={q}cos(ωt+α) поставлены в соответствие функции времени, использующие комплексную форму представления: (7.29) = Q } eiωt , {q (t )} {q} eiωt , {Q (t )} {= где i = q1 q= uei , 1e i ei = q2 q= 2e (7.30) комплексные амплитуды обобщенных координат, α и β – их фазы. Известно, что вещественная часть решения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний (7.28) совпадает с решением системы уравнений (7.2). Система дифференциальных уравнений (7.28) после подстановки в них выражений (7.29) сводится к системе неоднородных алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд установившихся вынужденных колебаний: (7.31) ( − [ A] 2 + i [ K ]  + [C ]){q} = {Q }. Решение этой системы имеет вид: {q} = ( − [ A]  2 + i [ K ]  + [ C ] ) −1 {Q } (7.32) и является функцией частоты вынуждающей силы. Обсуждаемые далее результаты получены на основании вычислений, выполненных с использованием пакета MathCAD. На рис. 7.2, 7.3, 7.4 показаны три эквивалентных друг другу варианта графического представления результатов решения системы (7.32) при изменении частоты вынуждающей силы в диапазоне 0 ≤  ≤ 1,3 p2 . На рис. 7.2, 7.3 показан вариант представления решения уравнений вынужденных колебаний в форме амплитудно-частотных (АЧХ, рис. 7.2) и фазочастотных (ФЧХ, рис. 7.3) характеристик по первой (u) и второй (  ) обобщенным координатам. Частотная зависимость модуля комплексной амплитуды перемещений (а значит и деформаций, и напряжений) удобна для локализации частотных диапазонов, которые могут представлять опасность для прочности и жесткости конструкции. Этой формой целесообразно пользоваться также при решении задач отстройки от резонанса или подавления резонансов с помощью виброизоляции и дополнительных демпферов. Сравним АЧХ для случая «слабого» 78 демпфирования в системе (графики, показанные сплошной линией) с АЧХ для случая «сильного» демпфирования (графики, показанные штриховой линией). При увеличении демпфирования в системе происходит сглаживание резонансных пиков. Резонансные амплитуды снижаются. Как видно из графиков рис. 7.2, а при увеличении декрементов колебаний в четыре раза уменьшение амплитуд колебаний оказывается практически таким же. Изменение фазового угла между обобщенными координатами и вынуждающей силой (рис. 7.3), которое в консервативных системах происходит на собственных частотах скачкообразно, для демпфированных систем становится плавным, причем, чем выше демпфирование, тем скорость изменения фазы при изменении частоты вынуждающей силы оказывается меньше. Отметим также, что в случае «слабого» демпфирования можно наблюдать режим вынужденных колебаний, при котором амплитуда точки приложения вынуждающей силы (обобщенной координаты u) оказывается близкой к нулю. Частота вынуждающей силы при таком режиме лежит между резонансными частотами и называется «антирезонансной». Другой способ графического представления результатов расчета вынужденных колебаний механической системы с двумя степенями свободы показан на рис. 7.4, 7.5, где приведены зависимости от частоты колебаний действительной и мнимой составляющих комплексных амплитуд обобщенных координат (в литературе для этих графиков также используются термины синфазная и квадратурная составляющие отклика системы). Деление амплитуд вынужденных колебаний на две ортогональные компоненты может представлять интерес с позиции сопоставления их с силами, действующими в механической системе. Диссипативные силы вязкого трения находятся в фазе (или противофазе) со скоростями обобщенных координат, инерционные и упругие силы в фазе (или противофазе) с амплитудами перемещений. При возбуждении механической системы гармонической вынуждающей силой закон изменения во времени обобщенных координат оказывается также гармоническим, поэтому комплексные амплитуды обобщенных координат и обобщенных скоростей сдвинуты по фазе на угол, равный π 2 . Если демпфирование в механической системе пропорциональное (или достаточно мало), то на установившемся режиме резонансных вынужденных колебаний амплитуды обобщенных координат сдвинуты относительно амплитуды вынуждающей силы на угол, равный π 2 . Из графиков рис. 7.5 для случая «слабого» демпфирования видно, что резонансным режимам вынужденных колебаний соответствуют максимальные значения мнимых составляющих амплитуд обобщенных координат и нулевые значения вещественных (см. рис.7.4). 79 а) б) Рис. 7.2. Амплитудно-частотная характеристика демпфированной системы с двумя степенями свободы (сплошная линия – «слабое» демпфирование, штриховая линия – «сильное» демпфирование): а – зависимость модуля комплексной амплитуды первой обобщенной координаты q1=u (в параметре P/C) от частоты вынуждающей силы ω (в параметре ρ); б – зависимость модуля комплексной амплитуды второй обобщенной координаты q2=φ (в параметре P/(Cr)) от частоты вынуждающей силы ω (в параметре ρ). 80 а) б) Рис. 7.3. Фазочастотная характеристика демпфированной системы с двумя степенями свободы (штриховая линия – «слабое» демпфирование, сплошная линия – «сильное» демпфирование): а, б - фазы комплексных амплитуд обобщенных координат q1=u и q2=φ в зависимости от частоты вынуждающей силы ω (частота приведена в параметре ρ) при «слабом» и «сильном» демпфировании Установившееся значение мнимой составляющей амплитуды перемещений соответствует балансу вынуждающей силы и сил вязкого трения. Нуль вещественной составляющей комплексной амплитуды обобщенной координаты на резонансном режиме означает, что инерционные силы уравновешиваются упругими силами. Как видно из графиков рис. 7.5 для случая «сильного» демпфирования, при появлении диссипативной связанности главных колебаний на режимах максимальных амплитуд обобщенных координат инерционные и упругие силы уже не являются самоуравновешенными, а фаза перемещения точки приложения силы оказывается отличной от π 2 . Таким образом, графики действительной и мнимой частей отклика системы позволяют судить о том, как при изменении частоты вынуждающей силы изменяются условия для совершения вынуждающей силой работы на перемещениях точки ее приложения или, другими словами, как изменяются условия преобразования энергии источника вибровозбуждения в энергию колебаний механической системы. Отметим также, что этот вариант представления вынужденных колебаний механической системы используется при решении задачи идентификации параметров системы по результатам эксперимента [4]. Наибольшей наглядностью отличается представление результатов расчета в виде диаграммы Найквиста: амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 7.6 а, б). Эта диаграмма, вообще говоря, трехмерна и 81 представляет собой пространственную спираль. Ее третья ось – частота ω вынуждающей силы – расположена перпендикулярно плоскости чертежа, а на рис. 7.5 а, б мы видим проекции спиралей на плоскость, осями которой служат действительная и мнимая части отклика системы. Из диаграмм для случая «слабого» демпфирования видно, что петлевая фигура, которую описывает изображающая точка на комплексной плоскости, близка к окружности, проходящей через начало координат. Резонансу соответствует точка круговой диаграммы, диаметрально противоположная точке начала координат. Амплитуда вынужденных колебаний на резонансе равна диаметру петлевой фигуры. Круговая диаграмма Найквиста в наглядной и компактной форме несет в себе всю информацию об амплитудах, фазах, действительной и мнимой составляющих отклика системы, сосредоточенную в 8 кривых рис. 7.2, 7.3, 7.4, 7.5. Свойство диаграммы Найквиста оставаться в резонансных зонах очень близкой к дуге окружности сохраняется даже при очень высоком уровне демпфирования (всего в 2…3 раза меньшем критического значения) и для механических систем с близкими частотами. Для этих случаев привычные формы АЧХ (см. рис. 7.2), синфазной и квадратурной составляющих отклика системы (см. рис. 7.4, 7.5) претерпевают значительные искажения, которые могут затруднить не только решение задачи об идентификации динамических характеристик механической системы, но делают неочевидным даже момент наступления резонанса. Поэтому диаграммы Найквиста успешно используется при экспериментальном определении собственных частот, форм и декрементов колебаний механических систем [6]. Проанализируем резонансные режимы колебаний рассматриваемой механической системы и сравним формы вынужденных колебаний с ∗ собственными формами. Для этого рассчитаем резонансные частоты ωk в соответствии со следующим расчетным соотношением: ω∗k =− pk2 η2k , k= 1,2. (7.33) Поскольку коэффициенты демпфирования ηk , входящие в (7.33), связаны с логарифмическими декрементами соотношением: 2π = δ k η= , k 1,2; (7.34) k ∗ 2 ( ωk ) получаем возможность рассчитать резонансные частоты по известным собственным частотам с учетом логарифмических декрементов колебаний: pk = ω∗k = , k 1,2. (7.35) 2 δ   1+  k   2π  82 а) б) Рис. 7.4. Вещественная (синфазная) составляющая комплексной амплитуды вынужденных колебаний при изменении частоты вынуждающей силы  (частота приведена в параметре ρ) при «слабом» и «сильном» демпфировании: а – отклик по первой обобщенной координате q1=u (в параметре P/C), б – отклик по второй обобщенной координате q2=  (в параметре P/(Cr)). Случай "слабого" демпфирования показан сплошной линией, графики при "сильном" демпфировании показаны штриховой линией 83 а) б) Рис. 7.5. Мнимая (квадратурная) составляющая комплексной амплитуды вынужденных колебаний при изменении частоты вынуждающей силы  (частота приведена в параметре ρ) при «слабом» и «сильном» демпфировании: а – отклик по первой обобщенной координате q1=u (в параметре P/C), б – отклик по второй обобщенной координате q2=  (в параметре P/(Cr)). Случай "слабого" демпфирования показан сплошной линией, графики при "сильном" демпфировании показаны штриховой линией 84 а) б) Рис. 7.6. Круговые диаграммы (диаграммы Найквиста) для случая «слабого» (а) и «сильного» демпфирования (б). Сплошной линией показана первая обобщенная координата, штриховой линией показана вторая обобщенная координата 85 Разрешая (7.33) и (7.34) относительно коэффициентов демпфирования ηk, получаем возможность рассчитывать их по известным значениям логарифмических декрементов для соответствующих резонансов: pk = k 1,2. ηk = , (7.36) 2  2π  1+    δk  Резонансные частоты ωk и коэффициенты демпфирования ηk, рассчитанные в соответствии с выражениями (7.35), приведены в таблице 7.2. ∗ Таблица 7.2 Резонансные частоты Вариант демпфирования «Сильное» демпфирование: k1 = 0,0542m, k1 = 0,1348m, k2 = 0,0263r 2 m k2 = 0,0654r 2 m δ1 = 5,27% δ1 = 14,3% δ 2 = 18,86% η1 = 0,00462ρ δ 2 = 75,9% η1 = 0,0125ρ η2 = 0,03423ρ η2 = 0,1370ρ ω∗k pk ω1∗ = 1,000 p1 ω1∗ = 0,9997 p1 ω∗2 = 0,9995 p2 ω∗2 = 0,9928 p2 ω∗k ρ ω1∗ = 0,5507ρ ω1∗ = 0,5506ρ ω∗2 = 1,141ρ ω∗2 = 1,133ρ Логарифмические декременты δk Коэффициенты демпфирования ηk Резонансные частоты «Слабое» демпфирование: Амплитуды резонансных колебаний приведены в таблице 7.3. 86 Таблица 7.3 Результаты расчета амплитуд резонансных колебаний методом непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения Вариант демпфирования Амплитуды обобщенных координат Форма колебаний (отношение модулей комплексных амплитуд) Система без диссипации «Слабое» демпфирование: k1 = 0,0542m, k1 = 0,1348m, k2 = 0,0654r 2 m P u1 = 3,38ei ( −86,6 ) C P  1 = 7,97ei ( −93,1 ) Cr P u2 = 3, 21ei ( −83,3 ) C P  2 = 2,56ei (96,9 ) Cr  1 = 2,356 u1  2 = 0,795 u2 Второй резонанс u2 → ∞  2 → ∞ Первый резонанс 1 = 2,372 u1 k2 = 0,0263r 2 m P u1 = 8,38ei ( −88,6 ) C P  1 = 19,9ei ( −91,3 ) Cr P u2 = 8,00ei ( −88,9 ) C P  2 = 6,32ei (91,1 ) Cr  1 = 2,369 u1 Второй резонанс 2 = −0,790 u2  2 = 0,791 u2 Первый резонанс  u1 → ∞  1 → ∞ «Сильное» демпфирование:        Результаты расчета амплитуд резонансных колебаний позволяют сделать следующие выводы. При «слабом» демпфировании на частоте первого резонанса обобщенные координаты изменяются во времени практически синфазно, а на частоте второго резонанса – противофазно. Отношение же модулей комплексных амплитуд можно считать совпадающим с собственной формой. Это обстоятельство соответствует гипотезе Видлера о совпадении на резонансе формы вынужденных колебаний с соответствующей собственной формой. При увеличении демпфирования до значения, названного «сильным» демпфированием, наблюдается тенденция к отклонению фазы резонансных амплитуд от значений ±90 , и формы вынужденных колебаний относительно собственной формы консервативной системы. Впрочем, указанные отклонения имеют величину долей процентов и не превышают величины погрешности инженерных расчетов. 87 4. Решение задачи о резонансных колебаниях методом разложения по собственным формам Рассмотрим механическую систему, совершающую установившиеся вынужденные колебания под действием гармонической вынуждающей силы. Воспользуемся дифференциальными уравнениями движения в главных координатах (7.3). В силу ортогональности собственных форм матрицы инерции [ M ] и квазиупругая [ 2Π ] в главных координатах диагональные. Таким образом, связанность дифференциальных уравнений движения (7.3) в главных координатах обусловлена только недиагональностью матрицы демпфирования [B]. Примем допущение о том, что диссипативной связанностью дифференциальных уравнений движения в главных координатах можно пренебречь. Тогда в каждое уравнение движения войдет только одна главная координата:  Q k (t ) (7.37) ϑk + 2ηkϑk += pk2ϑk ,= k 1,2. Mk Коэффициенты демпфирования ηk могут быть заданы либо так, как это было сделано в пункте 3 настоящего примера (а именно, по декрементам колебаний в соответствии с расчетным соотношением (7.36)), либо используя диагональные элементы матрицы демпфирования [B] в главных координатах: Bk ,k (7.38) ηk = , = k 1,2. 2M k Расчетные соотношения (7.36) и (7.38) для определения коэффициентов демпфирования ηk тождественны. Оба способа вычисления основываются на одном упрощающем предположении о совпадении формы резонансных колебаний с соответствующей собственной формой (гипотеза Видлера). Представим обобщенную вынуждающую силу в комплексной форме:   iωt   i⋅0 , = Qk (t ) Qk e= Qk Q= k 1,2, ke , и заменим систему уравнений (7.37) на систему уравнений относительно комплексных значений главных координат:  Q   2  k ϑk + 2η= eit = k 1,2. , (7.39) kϑk + pk ϑk Mk где  it Решением уравнений (7.39) будут функции вида ϑ= k (t ) ϑk e ,  Q 1 k ϑk = , M k pk 2 −  2 + i ⋅ 2ηk  88 k = 1,2. k = 1,2 , Теперь для того, чтобы вернуться к исходным обобщенным координатам, следует выполнить линейное преобразование, матрицей которого выступает матрица собственных форм: {q} = [U ] ϑ . Результаты вычислений {} амплитуд главных и исходных обобщенных координат на частоте первого резонанса, выполненных методом разложения по собственным формам, приведены в таблице 7.4. Результаты расчета амплитуд резонансных колебаний на частоте первого резонанса методом главных координат Вариант демпфирования «Слабое» демпфировние: k1 = 0,0542m, k2 = 0,0263r 2 m «Сильное» демпфирование: k1 = 0,1348m, k2 = 0,0654r 2 m Амплитуды главных координат на частоте первого резонанса P Cr  P ϑ2 = 0,521ei⋅( −2,2 ) Cr  P ϑ1 = 2,931ei⋅( −89,4 ) Cr  P ϑ2 = 0,5155ei⋅( −8,6 ) Cr ϑ1 = 7,94ei⋅( −89,7 )  Таблица 7.4 Амплитуды исходных обобщенных координат на частоте первого резонанса P C  P  1МГК = 18,84ei⋅( −91,0 ) Cr  P u1МГК = 3,05ei⋅( −79,8 ) C  P  1МГК = 6,89ei⋅( −92,7 ) Cr  u1МГК = 7,988ei⋅( −86,0 ) Ненулевое значение амплитуды второй главной координаты на частоте первого резонанса означает, что форма установившихся резонансных колебаний рассматриваемой диссипативной системы, вообще говоря, отлична от первой собственной формы, хотя и очень близка к ней. При увеличении демпфирования в 4 раза амплитуда резонирующей первой формы уменьшается примерно в 4 раза. Амплитуда второй (нерезонансной) формы практически не меняется ( ϑ2 = 0,521 P / Cr в случае «слабого» демпфирования и ϑ2 = 0,515 P / Cr для «сильного» демпфирования). По мере увеличения демпфирования амплитуды обеих собственных форм становятся по величине сравнимы, а их суперпозиция совершенно не похожа на резонирующую форму. 5. Сравнение амплитуд вынужденных колебаний, найденных двумя методами Заслуживает внимания обсуждение вопроса о причинах и величине расхождения расчетных значений амплитуд резонансных колебаний, полученных в рассмотренном примере двумя разными методами. Основной причиной наблюдаемых различий является игнорирование методом разложения по собственным формам (методом главных координат) 89 диссипативной связанности дифференциальных уравнений в главных координатах консервативной системы (7.37). Иными словами, в методе главных координат для диссипативных систем так же, как и в случае консервативных систем, постулируется ортогональность деформирования по собственной форме: силы инерции (или упругие силы) одной собственной формы не могут совершать работы на перемещениях другой собственной формы. То есть предполагается, что энергия движения по одной собственной форме не может изменить энергию движения других собственных форм, и поэтому движение по какой-то собственной форме не может инициировать движение по другим собственным формам. Однако, в диссипативных системах кроме сил инерции и упругих сил возникают еще и диссипативные силы. За счет диссипативных сил происходит не только непрерывный отток колебательной энергии в необратимые потери, но и возможно перераспределение энергии между движением по разным собственным формам (этот случай получил название непропорционального демпфирования). Метод комплексных амплитуд такую возможность учитывает и поэтому может быть использован в качестве эталонного при ответе на вопрос о целесообразности учета диссипативной связанности дифференциальных уравнений диссипативной системы в главных координатах консервативной системы. Оценить априори степень влияния диссипативной связанности на результат решения конкретной расчетной задачи затруднительно: как и в случае упругой или инерционной связанности оказывается недостаточно знать коэффициенты связи (инерционной γ1 , упругой γ 2 или диссипативной β ). На итоговый результат окажут влияние ряд других обстоятельств, среди которых и близость собственных частот, и число удерживаемых слагаемых в методе разложения по собственным формам, и расположение точки определяемых перемещений. Воспользуемся академической возможностью создать представление о степени значимости диссипативной связанности на частном примере. Используя результаты вычислений, полученные в п.3 и п.4, оценим погрешность вычисления резонансных амплитуд, обусловленную пренебрежением в методе главных координат диссипативной связанностью главных колебаний. Погрешности определения модулей и фаз комплексных амплитуд вынужденных колебаний на первом резонансе приведены в таблице 7.5. Комплексные амплитуды колебаний обобщенных координат u и  на частоте первого резонанса, рассчитанные непосредственным интегрированием уравнений движения и методом главных координат ( u МГК МГК и  ), приведены на рис. 7.7. Для рассмотренной механической системы пренебрежение диссипативной связанностью главных колебаний приводит 90 к ошибке вычисления резонансных значений амплитуд обобщенных координат, в пределах точности выполнения инженерных расчетов (5%) для уровня демпфирования, названного в задаче «слабым». По мере увеличения демпфирования расхождение между результатами расчета двумя методами будет только увеличиваться. Для уровня демпфирования, обозначенного как «сильное», и составляющего лишь 12% от критического, ошибка возрастает до 13,5%. Таблица 7.5 Сопоставление амплитуд резонансных колебаний на частоте первого резонанса, полученных расчетом методом комплексных амплитуд (точный метод) и методом главных координат Погрешности определения модуля комплексной Вариант амплитуды демпфирования u1 − u1МГК 1 − 1МГК = ξu = , ξφ u1 1 «Слабое» демпфирование: 8,38 − 7,98 = −4,69% ξu = 8,38 k1 = 0,0542m, 19,86 − 18,84 = ξ φ = 5,12% 2 k2 = 0,0263r m 19,86 «Сильное» демпфирование: 3,38 − 3,057 ξu = = −9,72% 3,38 k1 = 0,1348m, 7,97 − 6,89 ξ φ = 13,5% 2= k2 = 0,0654r m 7,97 Погрешности определения фазы комплексной амплитуды ∆ α =  −  МГК , ∆β =  − МГК (град) ∆ α =−88, 66 − ( −88, 02 ) = = − 2, 64 ∆β =−91, 28 − ( −91, 01 ) = = − 0, 27 ∆ α =−86,58 − ( −79, 76 ) = = − 6,82 ∆β =−93, 06 − ( −92, 69 ) = = − 0,37 Установленный в настоящем примере факт нарастающего по мере увеличения демпфирования расхождения результатов расчета между рассмотренным методами совсем не обязательно следует рассматривать как решающий аргумент при выборе метода расчета. Целесообразность достижения формальной математической строгости применяемых алгоритмов вполне может оказаться под сомнением при решении практических задач. Точность любого расчета не может быть выше точности используемых при вычислениях исходных данных. Определение количественных характеристик демпфирования (расчетное или экспериментальное) является отдельной темой для обсуждения, однако практика показывает, что можно уверенно говорить о существенно меньшей предсказуемости их моделирования по отношению, скажем, к механическим характеристикам материалов или, тем более, упругомассовым параметрам динамической модели. В такой ситуации 91 предположение о пропорциональности трения в системе в большинстве задач прочности и жесткости оказывается оправданным, а применение метода главных координат при расчете амплитуд резонансных колебаний приводит к вполне приемлемым результатам. Equation Section 7 а) б) г) в) Рис. 7.7. Комплексные амплитуды обобщенных координат на первом резонансе: а – амплитуда первой обобщенной координаты в случае "слабого" демпфирования б – амплитуда второй обобщенной координаты в случае "слабого" демпфирования, в – амплитуда первой обобщенной координаты в случае "сильного" демпфирования, г – амплитуда второй обобщенной координаты в случае "сильного" демпфирования. Сплошной линией показан результат расчета методом комплексных амплитуд (точный метод), штриховой линией показан расчет методом главных координат 92 Задача №8. АНТИРЕЗОНАНСEquation Section 8 Условие задачи и варианты исходных данных Неконсервативная система (использовать расчетные схемы задачи №5) совершает вынужденные колебания под действием вынуждающих сил PA (t ) = PA cos ωt или PB (t ) = PB cos ωt , приложенных соответственно в точках A и B по касательной к траектории движения соответствующей точки. 1. Определить антирезонансные частоты колебаний механической системы при двух вариантах возбуждения: а) сила PA (t ) = PA cos ωt прикладывается в точке А, б) сила PB (t ) = PB cos ωt прикладывается в точке В. 2. Ввести в колебательную систему антивибратор, обеспечивающий неподвижность точки В при возбуждении системы силой PA (t ) = PA cos ωt , совпадающей по частоте с первой собственной частотой p1 исходной системы. Определить амплитуду колебаний точки А после присоединения антивибратора. 3. Определить параметры антивибратора, при которых амплитуда его колебаний не превышает амплитуду колебаний точки А. Пример решения задачи №8 Решение задачи №8 проиллюстрируем на примере механической системы, рассмотренной в задаче №5 настоящего пособия. 1. Определение антирезонансных частот Антирезонансной частотой механической системы будем называть частоту вынуждающего воздействия, при которой точка приложения Рис. 8.1. Расчетная схема исходной вынуждающей силы остается механической системы неподвижной [3]. Формально полная остановка точки приложения вынуждающей силы на частоте антирезонанса возможна лишь в недиссипативных механических системах (и, с оговорками, в системах с неполной диссипацией). Однако, в инженерной практике термин «антирезонанс» может употребляться и применительно к реальной (диссипативной) колебательной системе, когда амплитуды вынужденных колебаний соответствующей точки не обнуляются математически, но с позиции выполнения условий прочности или жесткости эту точку можно считать остановившейся. 93 1.1. Определение антирезонансных частот решением задачи вынужденных колебаний недиссипативной системы Для решения задачи о вынужденных колебаниях механической системы без демпфирования воспользуемся методом главных координат. Дифференциальные уравнения свободных колебаний и динамические характеристики исследуемой механической системы получены при решении задачи №5:  + 3,75Cu = 0  5,25mu + 3mr (8.1)  2  + 2Cr 2 = 0. 3mru + 5,33mr  Системе дифференциальных уравнений свободных колебаний (8.1) соответствуют следующие собственные частоты и собственные формы: 1  1   . = p1 0= ,550; p2 1,14 U=  2,37 1 −0,789 1   r r Обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам u и , для возбуждения механической системы силой PA(t) были получены при решении задачи №7 на основании анализа виртуальной аботы:   δAA δAA AA PA (t ),δ= rA 2 PA (t )δu; Q A1= δ= (t ) = 2 PA (t ); Q A 2= (t ) = 0. δu δ Для второго варианта возбуждения (когда вынуждающая сила PB(t) прикладывается в точке В) поступаем таким же образом. Для вычисления виртуальной работы силы PB (t ) на виртуальном перемещении точки ее приложения ( )   δAB = PB (t ),δrB ,  выразим виртуальное перемещение δrB точки В через обобщенные координаты u и . ( ) Перемещение любой точки рассматриваемой механической системы может быть выражено через перемещения по обобщенным координатам. Ограничимся случаем малых отклонений механической системы. Тогда перемещение точки В можно считать горизонтальным: 3  u  xB =+ u r  + 4r =+ u r   + 4r =u + 4r . 2  2r  Или в матричном виде 3 u    ( B) ( B) T где {Γ } = (8.2) xB = {Γ } {q} ,  2  , {q} =   .      4r   94 Для случая возбуждения механической системы сосредоточенной силой в точке В получаем: 3 δ AB= PB (t ) ⋅ δ u + PB (t ) ⋅ 4r ⋅ ; 2 δ AB 3 δ AB Q B= PB (t ); Q B= = = 4rPB (t ). 1 (t ) 2 (t ) δu 2 δ При переходе к главным координатам (см. задачу №5):  0,249 0,316r   u  −1 (8.3) = {ϑ} U= {q}   ⋅   0,750 0,316 r −     система дифференциальных уравнений свободных колебаний принимает вид: 49,5mϑ1 + 15Cϑ1 = 0 (8.4)   + 5Cϑ = 3,84 m ϑ 0.  2 2 Обобщенные силы, соответствующие главным координатам, получим линейным преобразованием. В случае возбуждения механической системы в точке А:  2 T (8.5) = Q A (t ) U= {Q A (t )} 2 PA cos(t ).   Аналогично для случая возбуждения механической системы в точке В:   10,98   10,98  T = Q B (t ) U= Q B (t )  =  PB (t )   PB cos(t ). (8.6) − − 1,656 1,656     Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях по методу главных координат сводится к интегрированию несвязанных дифференциальных уравнений движения:  Q 2 k (t ) k=1,2. (8.7) ϑk + pkϑk = , Mk При гармоническом законе изменения во времени вынуждающей силы уравнения (8.7) имеют стационарное решение:  Qk (t ) 1 k=1,2, (8.8) ϑk (t ) = , 2 M k pk −  2 а главные координаты так же, как и вынуждающие силы, изменяются гармонически k=1,2. (8.9) ϑk (t ) = ϑk cos(t ), Как следует из выражения (8.9), при вынужденных колебаниях (в отличие от случая свободных колебаний) обе главные координаты изменяются во времени с частотой вынуждающей силы. Амплитуды главных координат могут быть представлены в виде произведения статической составляющей перемещения на коэффициент динамичности, { { } } { } 95 зависящий от соотношения между частотой вынуждающей силы и соответствующей собственной частотой ϑk = ϑkстμ k (), k=1,2. (8.10) Здесь  Q 1 k k=1,2. (8.11) ϑkст = , μ k ( ) = 2 2 M k ⋅ pk 1− 2 pk Матрица обобщенных масс  49,5 0,00  T = [ M ] U= [ A]U  m  0,00 3,84  была получена в задаче №5. После определения законов изменения во времени главных координат могут быть получены и законы изменения во времени исходных обобщенных координат q1=u и q2=  : (8.12) {q(t )} = U {ϑ (t )} . Законы изменения во времени исходных обобщенных координат q1=u и q2=  гармонические, синфазные: i=1,2. (8.13) qi (t ) = qi cos(t ) , Для перемещений w j (t ) произвольной j -й точки механической системы получаем w j (t ) = {Γ( j ) } {q(t )} = {Γ( j )} U {ϑ (t )} = {Γ( j )} U {ϑ st()} cos(t ) T T T (8.14) Амплитуда колебаний произвольной j-й точки механической системы с двумя степенями свободы   Q Q 1 2 w j = Γ1( j )u11 + Γ (2 j )u21   () + Γ1( j )u12 + Γ (2 j )u22   2 () . 2 1 M1 p1 M 2 p22 (8.15) Выражение (8.15) позволяет представить амплитуду колебаний произвольной точки механической системы в виде двух слагаемых, показывающих вклад в движение этой точки каждой из собственных форм. При фиксированной точке приложения вынуждающей силы соотношение между двумя слагаемыми изменяется только в результате зависимости динамических коэффициентов 1 () и  2 () от частоты вынуждающего воздействия  . 96 Если соотношение между динамическими коэффициентами окажется равным  Q1 ( j) ( j) Γ1 u11 + Γ 2 u21   2 ( ) M1 p12  = − , (8.16) 1 (  ) Q ( j) ( j) 2 Γ1 u12 + Γ 2 u22  M p 2 2 2 то в соответствии с (8.15) амплитуда колебаний j -ой точки будет равна нулю. Частота ω вынуждающей силы, приложенной в j -ой точке, удовлетворяющая условию (8.16), является антирезонансной  = Ω( j ) . Для рассматриваемого примера при возбуждении механической системы в точке А соотношение (8.16)  A оказывается равно: Q1 2 PA Γ1( А)u11 + Γ (2А)u21  2u11 + 0 ⋅ u21 ] [ 2 M1 p1 49,4mr 2 (0,550) 2  − = − = −0.333 . 2 PA Q 2A ( А) ( А) [ 2u12 + 0 ⋅ u22 ] Γ1 u12 + Γ 2 u22  2 2 3,83mr 2 (1,14 ) M 2 p2 Здесь учтено, что на основании связи x( А) = 2u , для Γ ( A) справедливо 2  Γ ( A) =  . 0  Таким образом, в соответствии с зависимостью (8.11) динамического коэффициента от частоты вынуждающей силы, уравнение для определения антирезонансной частоты при возбуждении системы в точке А имеет вид 2 2 ( A) 2  p p − Ω ( A) ( )  2 1  2 (Ω )  = = −0,333 . 1 ( Ω ( A ) ) p 2  p 2 − ( Ω ( A ) ) 2  1  2   Решением этого уравнения является частота вынуждающего воздействия Ω( A) = 0,612 . При возбуждении механической системы в точке В соотношение (8.16) оказывается равным:  Q1B 10,9PA 3  ( В) ( В) Γ1 u11 + Γ 2 u21  + u ru 4 11 21 2  2  49,4mr 2 (0,550) 2 M1 p1  − = − = −14,65 . −1,65PA ) ( 3 Q 2B   ( В) ( В) Γ1 u12 + Γ 2 u22   2 u12 + 4ru22  3,83mr 2 1,14 2 M 2 p2 2 ( ) 97 Соответственно, уравнение для определения антирезонансной частоты при возбуждении системы в точке В имеет вид 2 2 ( B) 2  p p − Ω ( B) ( )  2 1  2 (Ω )  = = −14,65 . 1 ( Ω ( B ) ) p 2  p 2 − ( Ω ( B ) ) 2  1  2   ( B) 1,037 . Откуда Ω = На рис. 8.2 показаны зависимости от частоты вынуждающей силы динамических податливостей механической системы, которые определялись в соответствии с соотношениями x ( ) x ( ) x () x ( ) , , ,  AB () = A  BA () = B  AA () = A  BB () = B PB PA PB PA (8.17) Две найденные антирезонансные частоты приведены в таблице 8.1. а) б) в) г) Рис. 8.2. Динамическая податливость механической системы: а)  АА () ; б)  ВА () ; в)  АВ () ; г)  ВВ () . 98 Антирезонансные частоты механической системы Таблица 8.1 Антирезонансная частота Ω, ρ Возбуждение в точке А. Возбуждение в точке В. Останавливается точка А. Останавливается точка В. 0  АА (Ω( ) ) =  BB (Ω( ) ) = 0 B A 0,612 1,037 1.2. Определение антирезонансных частот как собственных частот механической системы с дополнительными связями Антирезонансные частоты, соответствующие остановке точки приложения силы, могут быть определены как собственные частоты механической системы со связью, наложенной на точку приложения вынуждающей силы. Для определения антирезонансной частоты, при которой  АА (Ω) =0 , наложим на точку А связь, запрещающую движение диска (рис. 8.3, а). а) б) Рис. 8.3. Расчетные схемы механической системы для определения первой (а) и второй (б) антирезонансных частот Собственная частота полученной механической системы с одной степенью свободы – физического маятника ОВ – совпадает с искомой антирезонансной частотой. Для определения собственной частоты составим дифференциальное уравнение движения маятника в прямой форме:  + 2mgr = IO 0, где I O = (8.18) 16 2 mr – момент инерции маятника относительно точки подвеса. 3 99 Подставляя момент инерции I O в уравнение (8.18) и делая очевидные преобразования, получаем: 3g  +  = 0, (8.19) 8r откуда 3g 3C A Ω(=) = = 0,375=  0,612. (8.20) 8r 8m Механическая система, показанная на рис. 8.3 (а) совпадает с одной из парциальных подсистем, рассмотренных в задаче №5 (см. рис. 5.4, стр. 47). В результате в рассматриваемом частном примере одна из парциальных частот совпала с одной из антирезонансных частот. Поскольку парциальные подсистемы (парциальные частоты) зависят от выбора обобщенных координат, замеченное совпадение является случайным. Антирезонансную частоту, при которой останавливается точка В приложения гармонической вынуждающей силы, получим из решения уравнения движения механической системы, показанной на рис. 8.3 (б). Уравнение движения этой системы с одной степенью свободы получим так же, как это было сделано в задаче №5 (с помощью уравнений Лагранжа второго рода), с наложением дополнительной связи на исходные обобщенные координаты: u 3 u = − = −0,375 . (8.21) r 2 4r Кинетическая энергия этой системы (см. выражение (5.9) на с. 42): 1 2 5,25mu 2 + 6mr u + 5,33mr 2= = T ( ) 2 (8.22) 1 2 2 2 0,375 )  1.875mu . mu 5,25 − 6 ⋅ 0,375 + 5,33 ⋅ (= =   2 Потенциальная энергия этой механической системы 1 2 = Π C ( 2u ) + mghD . (8.23) 2 Здесь hD – вертикальная координата центра тяжести маятника: u2 u2 2 hD =2r + r cos  − 2r cos  =r − + r =r + 0,0156 . (8.24) 8r r Выражение (8.23) для потенциальной энергии приобретает вид mg  2  = Π  2C + 0,0156 = C ( 2,0156u 2 + r 2 ) .  u + mgr r   Записывая дифференциальное уравнение в форме Лагранжа d  ∂T  ∂T ∂Π + = 0,  − dt  ∂u  ∂u ∂u получаем: 3,749mu + 4,03Cu = 0. (8.25) 100 Отсюда следует искомая антирезонансная частота: B Ω( ) = 1,037. (8.26) Сравнивая антирезонансные частоты (8.20) и (8.26), рассчитанные как собственные частоты механической системы с дополнительными связями, можно констатировать, что они совпадают с антирезонансными частотами, полученными на основании анализа зависимости динамических податливостей от частоты вынуждающей силы, приведенными в таблице 8.1. 2. Антивибратор Расчетная схема введения антивибратора, подавляющего вынужденные колебания точки В при возбуждении исследуемой диссипативной механической системы гармонической силой, прикладываемой в точке А, приведена на рис. 8.4. Интересно, что в полученной диссипативной системе возможна полная остановка точки В. Это обусловлено отсутствием трения в антивибраторе. Другими словами, рассматриваемая диссипативная система является системой с неполной диссипацией. При остановке точки В колебания массы ma будут продолжаться бесконечно долго, а амплитуда этих колебаний будет такой, что сила в пружине Сa (совместно с горизонтальной составляющей сил инерции маятника) уравновесит горизонтальную составляющую силы в шарнире О. Амплитуду вынужденных колебаний точки А после установки антивибратора определим интегрированием дифференциального уравнения движения диска. Рис. 8.4. Схема механической системы с установленным антивибратором 101 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний диска получим, используя прямую форму записи. На рис. 8.5 показаны силы, действующие на инерционные элементы, входящие в исследуемую механическую систему. а) б) в) Рис. 8.5. Схемы динамического равновесия инерционных элементов механической системы с присоединенным антивибратором Используем условие динамического равновесия в форме суммы моментов всех действующих на диск сил относительно точки Е контакта диска с шероховатой поверхностью: M ЕДИСК = 0 . При такой форме записи уравнения движения диска в качестве обобщенной координаты удобно использовать угол поворота диска  .  малые Придадим углу поворота диска  и его угловой скорости  положительные приращения, направленные против хода часовой стрелки. Силы сопротивления со стороны упругого элемента С и вязкого демпфера  , обязаны препятствовать k1 , сопровождающие малые приращения  и  отклонению и направлены на рис.8.5 таким образом, что создают вращательное действие по ходу часовой стрелки. Момент со стороны  и углового демпфера k2 зависит от разности угловых скоростей диска  маятника  и направлен в сторону противоположную положительному  . Силы реакции связей R и R , действующие на направлению скорости  Oy Ox диск со стороны маятника, неизвестны (подлежат определению на основании дополнительных условий) и на этапе записи дифференциального уравнения движения диска могут быть направлены произвольно. Следует, однако, иметь ввиду, что принятые на схеме динамического равновесия диска направления реакций ROx и ROy должны быть противоположно направлены соответствующим реакциям, действующим со стороны диска на маятник (см. рис.8.5,а и рис.8.5,б). Учитывая приведенные соображения, ∑ 102 сумма моментов всех сил, действующих на диск, относительно оси, проходящей через точку Е, принимает вид: ( )  − 16r 2  k −  −  k − 14r 2 C − 3rR + r R − 4rP (t ) = 0. −IE 1 2 Ox Oy A (8.27) 2 Здесь I E = 12mr – момент инерции диска относительно точки Е контакта диска с шероховатой поверхностью. Уравнение движения (8.27) приведено в линеаризованной форме в предположении малости амплитуд отклонений от положения равновесия механической системы. В выражение (8.27) входят две проекции усилия взаимодействия диска с маятником. Для их определения воспользуемся двумя независимыми условиями динамического равновесия маятника (см. рис.8.4, б). Первое условие динамического равновесия маятника запишем в форме суммы проекций сил на вертикальную ось: = ROy mg. ∑ FyМАЯТН. 0= (8.28) Уравнение (8.28) приведено в линеаризованной форме в предположении малости отклонений элементов механической системы от положения равновесия, поэтому в нем опущено слагаемое, соответствующее вертикальной составляющей сил инерции маятника. В качестве второго условия динамического равновесия маятника воспользуемся формой записи в виде суммы моментов всех сил, действующих на маятник, относительно оси, проходящей через точку В, к которой присоединяется антивибратор: ∑M МАЯТН. B = 0 ( )  +  −  k2 + 2rmg + 4rROx − 4rROy= 0. (8.29) − I B 16 2 mr – момент инерции маятника 3 относительно точки В. При составлении дифференциального уравнения (8.29) направления реакций ROx и ROy , а также момент в угловом демпфере k2 согласованы со схемой равновесия диска. Уравнение (8.29), совместно с (8.28), позволяет получить горизонтальную составляющую усилия взаимодействия маятника с диском: В выражении (8.29) IB = 4 1 k  (8.30)  − 2  mr −  + mg . 3 4r 2 Чтобы перемещения точки В оказались равны нулю, между углами поворота диска  и маятника  должно выполняться соотношение: 3r  = 4r. (8.31) С учетом уравнения связи (8.31) горизонтальная составляющая усилия взаимодействия маятника с диском принимает вид  − 1 k2   + 3 mg . (8.32) ROx = mr  16 r 8 ( R= Ox 103 ) Подставляя (8.28) и (8.32) в (8.27) и учитывая, что Cr=mg, получаем:  + 16r 2 k + 1 k    + 129 mgr  = 15mr 2  −4rPA (t ), 1 2  16  8  или в форме записи, разрешенной относительно второй производной обобщенной координаты (в канонической форме записи) 4 PA (t )  +  16 k1 + 1 k2    + 129  2  = (8.33)  − .   2 m mr mr 15 240 120 15   В уравнении (8.33) коэффициент стоящий при обобщенной координате  есть квадрат собственной частоты исходной механической системы, для которой запрещено горизонтальное перемещение точки В. В пункте 1.2 B настоящей задачи была найдена антирезонансная частота Ω( ) исходной системы, одним из способов определения которой было наложение дополнительной связи на горизонтальное перемещение точки В. Нетрудно видеть, что 129 B 1.037, = Ω( ) = 120 что является подтверждением правильности записи дифференциального уравнения (8.33). Коэффициенты вязких демпферов были определены в задаче №7: = k1 0,0542 = m k2 0,0263r 2 m Подстановка этих значений в (8.33) позволяет получить окончательную форму представления дифференциального уравнения движения диска: P (t )  + 0,0579 + 1,075 2  =  −0,267 A . (8.34) mr Чтобы получить стационарное решение этого уравнения, воспользуемся методом комплексных амплитуд. Для этого заменим гармоническую вынуждающую силу PA (t ) = PA cos ωt ее экспоненциальной формой представления: PA (t ) = PAeit , где PA = Pa ei⋅0 , (8.35) а частное решение дифференциального уравнения (8.34) будем искать в виде i  (t ) =  eit , где  = e  . Тогда, для ω = p= 0,550ρ , 1 −0,267 PA PA i⋅177 PA  = = − + i ⋅ = e 0,345 0,0143 0,346 . ( ) Cr Cr mr (1,075 2 − p12 + i ⋅ 0,0695p1 ) (8.36) 104 Амплитуды исходных обобщенных координат u и  , использованных в примере решения задачи №6, могут быть получены на основании уравнений 3 u= −2r , = . связей 4 Амплитуды обобщенных координат u и  при установившихся вынужденных колебаниях в результате действия гармонической вынуждающей силы PA (t ) = PA cos p1t для исходной системы и для системы, в которой установлен антивибратор, приведены в таблице 8.2 и на рис. 8.6. Таблица 8.2 Сопоставление амплитуд колебаний до и после установки антивибратора Вариант демпфирования «Слабое» демпфирование: k1 = 0,0542m, k2 = 0,0263r 2 m Амплитуды обобщенных координат на частоте первого резонанса в исходной механической системе P C  P  1 = 19,9ei ( −91,3 ) Cr  u1 = 8,38ei ( −88,6 ) Амплитуды обобщенных координат в системе с установленным антивибратором на частоте первого резонанса исходной системы PA , C  P  a = 0,259ei (178 ) A Cr  u a = 0,691ei ( −2,4 ) 3. Определение параметров антивибратора Для определения двух неизвестных параметров антивибратора – жесткости упругого элемента Са и массы инерционного элемента ma – воспользуемся двумя условиями: а) равенством парциальной частоты антивибратора частоте 2 вынуждающего воздействия Ca ma =  , причем  = p1 , где p1 – первая собственная частота исходной механической системы; б) равенством амплитуд установившихся колебаний инерционного элемента антивибратора и точки приложения вынуждающей силы. Первое условие позволяет установить следующее соотношение между искомыми параметрами: Ca C (8.37) 0,303 = =  2 0,303 . ma m Амплитуда колебаний точки приложения вынуждающей силы может быть определена по найденному в пункте 2 амплитудному значению угла поворота диска (8.36)  P ( A) x= 4= r  1,383ei⋅(178 ) A . (8.38) C 105 а) б) Рис. 8.6. Сопоставление комплексных амплитуд обобщенных координат в исходной системе и в системе с установленным антивибратором при совпадении частоты вынуждающей силы  с первой собственной частотой p1 исходной системы: а – первая обобщенная координата u , б – вторая обобщенная координата  . Штриховой линией показана амплитуда колебаний в исходной системе, сплошной линией показана амплитуда в системе с антивибратором Для того, чтобы установить как параметры Сa и ma влияют на амплитуду колебаний антивибратора, воспользуемся условием динамического равновесия маятника (см. рис. 8.4) в форме суммы моментов действующих на него сил относительно оси, проходящей через точку его подвеса О: ∑M МАЯТН. O = 0  +k2 ( −  ) − 2mgr +4rC − I B = 0, (8.39) a xa где I B = (16 3) mr 2 – момент инерции маятника относительно точки В. В уравнении (8.39) инерционное слагаемое представлено моментом инерционных сил во вращательном движении маятника вокруг точки В крепления антивибратора. Учитывая соотношение (8.31) между углами поворота диска и маятника, и полагая = eit , xa (t ) xa eit ,  (t ) = уравнение (8.39) принимает вид:   4mr 2 2 +i ⋅ 1 k − 3 mgr  +4rC x = 0.  2 a a   4 2   106 Таким образом, существует однозначная связь между амплитудой колебаний антивибратора и амплитудой колебаний диска исходной механической системы: 1  3 k2   2 xa mg mr i = − − ⋅   ,   16r  Ca  8  причем, как следует из результата интегрирования дифференциального уравнения (8.39), в этой связи присутствует жесткость упругого элемента антивибратора Ca . Соотношение между амплитудами колебаний антивибратора и угла поворота диска для рабочей частоты  = p= 0,5507 , коэффициента 1 2 сопротивления второго демпфера k2 = 0,0263r m , с учетом mg = Cr , сводится к виду: C . = xa 0,0714 − i ⋅ 1,084 ⋅ 10−3 ) r  ( Ca Вводя в это выражение известное значение амплитуды колебаний диска (8.36)  P  = 0,345ei⋅177 A , Cr для амплитуды колебаний антивибратора получим:  PA P (8.40) x= ( −0,0246 + i ⋅ 0,0016=) 0,0247ei (176 ) A . a Ca Ca Чтобы подобрать жесткость антивибратора, обеспечивающую равенство амплитуд колебаний антивибратора и точки А диска, приравняем модули комплексных амплитуд из выражений (8.38) и (8.40). Полученное таким образом уравнение позволяет найти величину жесткости упругого элемента антивибратора: 0,0247 Ca = C 0,0179C. = 1,383 Завершает проектирование антивибратора определение его массы из условия совпадения собственной частоты присоединяемого к исходной системе линейного осциллятора с рабочей частотой  = p1 рассматриваемой механической системы (операция выполняется на основании выражения (8.37)): 1 Ca = ma = m 0,0595m. 0,303 C Equation Section 9 107 Задача №9. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА Equation Chapter 1 Section 9 Условие задачи и варианты исходных данных Варианты расчетных схем механических систем приведены в таблице 9.1. Выполнить анализ расчетной схемы нелинейной механической системы с одной степенью свободы в предлагаемой последовательности: 1. Записать выражение для характеристики восстанавливающей силы. 2. Получить зависимость частоты свободных колебаний нелинейной консервативной системы от размахов колебаний (скелетную кривую) методом прямой линеаризации. 3. Построить фазовый портрет движения нелинейной системы. 4. Получить зависимость частоты свободных колебаний нелинейной консервативной системы от размахов колебаний (скелетную кривую) интегрированием основного дифференциального уравнения движения механической системы. Сравнить полученный результат с результатом, полученным в пункте 2 методом прямой линеаризации. Таблица 9.1 Варианты расчётных схем механических систем к задаче №9 Вариант 9.1 Вариант 9.2 Пружины C1 и C2 предварительно поджаты на величину ∆ 2 C1  C , C2  2C , C3  100C Вариант 9.3 Вариант 9.4 α = π 4, C = 108 mg R Продолжение табл. 9.1 Вариант 9.6 Вариант 9.5 f ( x)  1 x 2 , x0 = mg C Принять: H = 2d , C = 2,5ρgd 2 , D = 2d , ∆1 =0,2H , ∆ 2 =0, 2H Вариант 9.7 Вариант 9.8 Пружины С1 и С2 поджаты на ∆1 =∆ 2 и ∆ 2 =∆ C1  C , C2  2C , C3  100C φ 0 = π 4, ∆ =φ 0 L 2 Вариант 9.9 Вариант 9.10 Пружина C предварительно натянута на ∆L = L 4 . Принять C1 = C 5 , C2 = C 3 , ∆1 = 2∆ 2 = L 2 . 109 H = 2d , D = 2d , ∆1 =d 3, ∆ 2 =d 6 . Вариант 9.11 Вариант 9.12 Продолжение табл. 9.1 Уравнение состояния газа: p  = const адиабатический процесс   v v = 1, 4  Принять: L = 3l , C = mg L Вариант 9.13 Вариант 9.14 Стержень упругий Стержень упругий = ∆1 L 4, ∆ = L 3 , EI = mgL2 2 ∆1 =0,01L , ∆ 2 =0,05L , EI = mgL2 Вариант 9.15 Вариант 9.16 C= φ 0 = π 4, ∆ =0,1L 110 mg , L = 1,85 R , α = π 4 R Вариант 9.17 Вариант 9.18 Окончание табл. 9.1 C =3 Вариант 9.19 Вариант 9.20 mg R Поперечная балка абсолютно жесткая D = 200 мм, R = 100 мм, b = 10 мм, h = 2 мм, d = 10 мм, L = 400 мм, ∆1 =5 мм , ∆1 =10 мм C1 = C , C2 = 2C , Cφ = a 2C , ∆1 =∆ , ∆ 2 = 2∆ Пример решения задачи №9 Особенности колебательных режимов нелинейных систем рассмотрим на примере системы с одной степенью свободы, инерционный элемент которой совершает вращательное движение (рис. 9.1). В качестве обобщенной координаты будем использовать угол поворота φ инерционного элемента, отсчитываемый от положения, соответствующего недеформированному состоянию упругого вала с крутильной жесткостью Cφ . Собственная частота колебаний с амплитудами, при которых еще не достигается контакт инерционного диска с упругими элементами C1 , C2 и с p 2π ⋅ 10 1/c. упором в зазоре ∆ 3 , составляет = Момент инерции диска I = 0,06 кг ⋅ м2. 111 Рис. 9.1. Расчетная схема нелинейной колебательной системы Заданы соотношения между показанными на рис. 9.1 зазорами ∆1 =∆ , ∆ 2 = 2∆ , ∆ 3 = 3∆ , где ∆ =1 см, и соотношения между жесткостями упругих элементов = C 1,048 ⋅ 104 Н/м. C1 = C , C2 = 2C , Cφ = a 2C , где a = 15 см, Жесткость упора в зазоре ∆ 3 по условию задачи равна C3 = 100C . 1. Характеристика восстанавливающей силы Дифференциальное уравнение движения показанной на рис. 9.1 нелинейной консервативной механической системы с одной степенью свободы имеет следующий вид d 2φ (9.1) I 2 + M (φ) = 0, dt где M (φ) – восстанавливающий момент (момент, действующий на инерционный диск со стороны упругих элементов механической системы, в случае отклонения от положения статического равновесия). 112 В рассматриваемой механической системе (рис. 9.1) восстанавливающий момент M (φ) может быть представлен кусочно-линейной функцией с четырьмя участками (рис. 9.2):  Cϕ ( 3φ + 4α ) , если φ< − 2α;  − 2α ≤ φ<α; если  Cϕ φ, M (φ) =  (9.2) − ≤ ≤ C 2φ α , если α φ 3α; ( ) ϕ   Cϕ (102φ − 301α ) , если φ>3α.  Здесь использовано обозначение угла поворота α = ∆ / a , соответствующего такому повороту инерционного диска, при котором выбирается зазор величины ∆ между контактирующими поверхностями диска и упругого элемента. Выполним переход к безразмерной обобщенной координате ξ=φ/α (9.3) и характеристике восстанавливающей силы 1 M (ξ) f (ξ) = . (9.4) I Cφ α Дифференциальное уравнение движения (9.1) принимает вид  (9.5) ξ + f (ξ) = 0. Зависимость относительного (безразмерного) значения M (ξ) от безразмерной обобщенной восстанавливающего момента Cφ α координаты ξ показана на рис. 9.2. Соответствующая уравнению (9.5) характеристика восстанавливающей силы имеет вид если ξ< − 2;  3ξ + 4,  ξ, если − 2 ≤ ξ<1; 1 f (ξ) =  (9.6) если 1 ≤ ξ ≤ 3; I  2ξ − 1,  102ξ − 301, если ξ>3. На участке характеристики восстанавливающей силы, который на рис. 9.1 обозначен как первый, величина обобщенной координаты изменяется в интервале –2≤ ξ ≤1, и инерционный элемент взаимодействует только с упругим валом. Второй участок (по обозначению рис. 9.1) соответствует движению механической системы, при котором отрицательные углы поворота диска (углы поворота по часовой стрелке на рис. 9.1) по абсолютной величине становятся больше, чем ξ = 2 , зазор ∆ 2 выбирается, 113 и к взаимодействию диска с упругим валом добавляется усилие со стороны упругого элемента жесткости C2 . На третьем участке диск поворачивается в сторону противоположную той, что соответствует второму участку (против часовой стрелки на рис. 9.1). На третьем участке инерционный диск взаимодействует с валом и упругим элементом жесткости C1 . Во всех положениях на третьем участке упругий элемент с жесткостью C2 никак себя не проявляет (не деформируется) несмотря на то, что величина угла поворота для третьего участка оказывается больше, чем тот модуль, при котором на втором участке уже происходит контакт с упругим элементом жесткости C2 . На четвертом участке характеристики восстанавливающей силы суммируются действия на инерционный элемент со стороны закручиваемого вала и поджатых упругого элемента жесткости C1 и упора жесткости C3 . Рис. 9.2. Зависимость восстанавливающего момента от угла поворота инерционного диска 2. Построение скелетной кривой методом прямой линеаризации 2.1. Случай симметричной характеристики восстанавливающей силы В основе способа лежит замена нелинейной характеристики f(ξ) линейным выражением [6] (9.7) f* (ξ) = p 2ξ со специально подбираемым коэффициентом p2. Уклонение заменяющей характеристики (9.7) от заменяемой характеристики f(ξ) зависит от координаты ξ: r= (ξ) f (ξ) − p 2ξ . 114 В случае симметричной характеристики восстанавливающей силы максимальное отклонение обобщенной координаты в одну сторону будет по модулю равно максимальному отклонению обобщенной координаты в другую сторону. Выбор заменяющей линейной характеристики (9.7) может быть подчинен требованию минимума интеграла a R = ∫ r 2 (ξ)dξ , 0 выражающего интегральное квадратичное уклонение r(ξ) в интервале изменения координаты 0 ≤ ξ ≤ a. Здесь a – максимальное отклонение обобщенной координаты от положения статического равновесия. Интеграл R, очевидно, зависит от выбора параметра p2, поэтому минимизация достигается определением этого параметра из уравнения dR = 0. d p2 ( ) При таком подходе равные уклонения r(ξ) принимаются в равной мере важными независимо от значения координаты ξ. Поскольку в задачах о колебаниях более существенны уклонения r(ξ) при больших значениях координаты ξ, более правильным оказывается рассмотрение «взвешенного» уклонения r (ξ)= ⋅ ξ  f (ξ) − p 2ξ  ⋅ ξ . Теперь задача выбора угла наклона заменяющей линейной характеристики восстанавливающей силы сводится к минимизации интеграла = R1 a ∫{ −a } 2  f ( ξ ) − p 2ξ  ξ dξ , т. е. к определению p2 из уравнения dR1 = 0. d ( p2 ) (9.8) Этот подход предполагает, что ошибка, вызываемая уклонением, пропорциональна соответствующему значению координаты. Из уравнения (9.8) следует a 5 2 p = 5 ∫ f (ξ)ξ 3dξ . (9.9) 2a − a После того как параметр p2 найден, задача сводится к известному линейному уравнению  ξ + p 2ξ = 0, заменяющему заданное нелинейное уравнение. Отсюда непосредственно видно, что параметр p2 представляет собой квадрат частоты свободных колебаний. 115 2.2. Случай несимметричной характеристики восстанавливающей силы Если характеристика f(ξ) несимметрична (как в рассматриваемом примере рис. 9.2), то при начальном отклонении a1 наибольшее отклонение в другую сторону будет a2, причем в общем случае a1≠a2. Связь между этими наибольшими отклонениями определяется формулой a2 ∫ f (ξ)dξ = 0 , − a1 выражающей равенство потенциальных энергий систем в обоих крайних положениях. Взаимное соотношение между углами поворота в положительном и отрицательном направлениях для характеристики восстанавливающей силы (9.6) показано на рис. 9.3 (а). На графике рис. 9.3 (а) хорошо видны значения углов поворота диска, при которых происходит переход от линейного поведения системы к нелинейному (точка (α,α), соответствующая замыканию зазора между диском и упругим элементом жесткости C1) и момент начала контакта с упором жесткости C3. Момент замыкания контакта с упругим элементом жесткости C2 (угол поворота по часовой стрелке равный 2α) тоже проявляется, но менее выраженно. Среднее положение, около которого совершаются колебания, смещено от положения, соответствующего недеформированному валу, на угол = a0 ( a2 − a1 ) / 2 . Угловое смещение центра колебаний в рассматриваемой механической системе с характеристикой восстанавливающей силы (9.6) показано на рис. 9.3 (б). Некоторому отклонению a1 соответствуют вполне определенные отклонения a2 и смещения центра колебаний a0. Заменяющая линейная характеристика должна быть проведена через центр колебаний и учитывать его смещение f= p 2 ( ξ + a0 ) . * (ξ) Образуем, как и раньше, уклонение r= (ξ) f (ξ) − p 2 (ξ+a0 ) , а вызываемую им ошибку будем считать пропорциональной величине (ξ+a0). Тогда минимизации подлежит интеграл = R2 a2 ∫ { f ( ξ ) − p (ξ+a )  (ξ+a )} dξ . 2 a1 116 2 0 0 а) б) Рис. 9.3. Взаимная зависимость максимальных отклонений при повороте инерционного диска в противоположных направлениях (а) и зависимость смещения центра колебаний нелинейной системы с несимметричной характеристикой восстанавливающей силы от размахов колебаний (б) Решая уравнение dR2 = 0, d ( p2 ) получим a 1 5 p = f (ξ)(ξ+a0 )3 dξ . 5 ∫ (a1 + a2 ) − a2 2 Введем переменную ξ1= ξ+a0 и полуразмах колебаний (или амплитуду колебаний в эквивалентной линейной системе) a +a a= 1 2. 2 Тогда выражение a 5 2 p f (ξ1 − a0 )ξ13dξ1 = (9.10) 5 ∫ 2a − a представляет собой формулу для квадрата частоты свободных колебаний. На рис. 9.4 совмещены изображения исходной характеристики восстанавливающей силы (9.6) и варианты её линеаризации для трех разных колебательных режимов, инициированных начальным положительным отклонением. 117 Рис. 9.4. Линеаризация характеристики восстанавливающей силы Уместно предположить, что близость предсказания поведения исходной системы упрощенной линеаризованной моделью будет зависеть от размахов колебаний: уклонение графика, соответствующего началу движения механической системы с закручивания на a1= –1,5α, на рис. 9.4 едва заметно, в то время как при угле закручивания a1= –4,5α линеаризованная жесткость отличается от жесткости захватываемых участков исходной характеристики восстанавливающей силы существенно, а кроме того, появляется заметное смещение угла, при котором восстанавливающий момент меняет знак. Однако, такого рода качественные оценки хоть и полезны с позиции осмысления отличий в деформировании моделей, малоинформативны с точки зрения количественной оценки качества приближения. Оценка качества приближения оказывается предсказуемо разной по отношению к моделированию линеаризованной системой перемещений и частот свободных колебаний. Оценка зависимости частоты свободных колебаний рассматриваемой (рис. 9.1) нелинейной системы от размахов колебаний, полученная методом 118 прямой линеаризации в соответствии с расчетным соотношением (9.10), приведена на рис. 9.5. На рис. 9.5 без труда угадываются причины, следствием которых оказывается изменение угла наклона графика: при полуразмахе колебаний близком к значению α появляется контакт диска с упругим элементом жесткости С1, при полуразмахе колебаний близком к значению 2α появляется контакт диска с упругим элементом жесткости С2, наконец, при полуразмахе колебаний близком к значению 3α появляется контакт Рис. 9.5. Скелетная кривая, полученная диска с упором жесткости С3. Каждая методом прямой линеаризации из перечисленных особенностей деформирования сопровождается увеличением жесткости механической системы, что сопровождается увеличением частоты свободных колебаний при соответствующем размахе перемещений инерционного элемента. 3. Представление движения на фазовой плоскости Для построения фазовых траекторий представим основное дифференциальное уравнение задачи (9.5) в виде двух уравнений первого порядка: dξ dω = ω; = − f (ξ) dt dt и разделим второе из этих уравнений на первое. Это позволяет свести полученное дифференциальное уравнение dω f (ξ) = − dξ ω к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными dω f (ξ) , = − ω dξ в котором время t отсутствует. Совокупность интегральных кривых этого уравнения образует фазовый портрет системы. 119 При интегрировании выберем за начало отсчета времени мгновение наибольшего отклонения, когда перемещение ξ максимально (ξmax=a), а скорость равна нулю (ω=0). Как результат получим ω ξ 0 a ∫ ω dω = −∫ f (ξ) dξ, или ξ a ω2 = − ∫ f (ξ) dξ = ∫ξ f (ξ) dξ. 2 a (9.11) Это соотношение выражает закон сохранения энергии: в левой части стоит кинетическая энергия, накопленная в процессе движения от крайнего положения (ξmax=a, ω=0) к текущему положению (ξ, ω), а в правой части – потенциальная энергия, потерянная в процессе того же движения (обе энергии отнесены к единице массы). Из последнего выражения следует a ω = − 2∫ f (ξ) dξ . (9.12) ξ Рис. 9.6. Фазовая характеристика нелинейной системы на колебательных режимах с разными размахами колебаний Из двух знаков перед корнем знак минус взят потому, что движение из положения максимального отклонения в положительном направлении начинается с отрицательной скоростью. 120 Так как уравнение (9.11) четно относительно ω=ξ , фазовые траектории симметричны относительно оси абсцисс. В случае симметричной упругой характеристики f(ξ) они окажутся симметричны также и относительно оси ординат. 4. Определение зависимости частоты свободных колебаний интегрированием дифференциального уравнения движения Использованное для построения фазовых траекторий дифференциальное уравнение (9.12) a dξ = − 2∫ f (ξ) dξ , dt ξ является первым интегралом уравнения движения (9.5). Определение закона изменения во времени обобщенной координаты требует выполнения второго интегрирования. Выполнение этой операции в замкнутой (аналитической) форме возможно в ограниченном числе случаев. Например, для характеристики восстанавливающей силы в виде кусочно-линейной функции возможно формирование решения в виде состыкованных аналитических зависимостей перемещений от времени (метод припасовывания). Каждая из этих аналитических функций соответствует своему линейному участку характеристики восстанавливающей силы, на котором для получения решения в замкнутой форме достаточно в качестве начальных условий записать значения перемещения и скорости в конце предшествующего кусочно-линейного участка характеристики восстанавливающей силы. Одним из альтернативных подходов к исследованию поведения нелинейной системы является выполнение второго интеграла относительно параметра времени dξ . (9.13) dt = − a 2 ∫ f (ξ) dξ ξ Ввиду сложности решения уравнения (9.5) обычно ограничиваются определением частоты свободных колебаний, не выясняя деталей протекания процесса колебаний; этого оказывается достаточно для многих практических приложений. Интегрирование уравнения (9.13) дает время t в функции перемещения: ξ a dξ dξ t= −∫ = . ∫ a a a 2∫ f (ξ) dξ ξ 121 ξ 2∫ f (ξ) dξ ξ Если вести интегрирование в пределах от ξ=0 до ξ=a, то для системы с симметричной характеристикой будет найдено время четверти полного колебания (четверть периода). Соответственно период колебаний равен a dξ T =2 2 ∫ . (9.14) a 0 ∫ f (ξ) dξ ξ Эта формула позволяет найти точную зависимость периода свободных колебаний от их амплитуды для нелинейной системы с симметричной характеристикой восстанавливающей силы. Для несимметричной характеристики восстанавливающей силы часть периода колебаний, в которой обобщенная координата принимает отрицательные значения, может отличаться от части периода, в которой обобщенная координата положительна. Поэтому для несимметричной характеристики восстанавливающей силы период колебаний представим двумя частями a1 a2 dξ dξ T = τ1 + τ 2 = 2 ∫ + 2 ∫ , (9.15) a a 0 1 ∫ − f (−ξ) dξ ξ 0 2 ∫ f (ξ) dξ ξ где a1 – максимальное отклонение обобщенной координаты в той части периода колебаний, где обобщенная координата отрицательна, a2 – модуль максимального отклонения обобщенной координаты в той части периода колебаний, где обобщенная координата принимает положительные значения. Для рассматриваемой в настоящем примере механической системы полученные по расчетному выражению (9.15) значения времени τ1 и τ2 показаны на рис. 9.7. Зависимость частоты свободных колебаний от размахов колебаний, полученная интегрированием основного дифференциального уравнения, на рис. 9.8 совмещена с аналогичной зависимостью, полученной методом прямой линеаризации. Поскольку при выполнении интегрирования уравнения (9.13) преобразования характеристики восстанавливающей силы не проводилось, в этом смысле основанный на интеграле (9.15) способ построения скелетной кривой может быть назван точным. 122 Наличие точного решения позволяет выполнить оценку погрешности метода прямой линеаризации применительно к задаче определения частоты свободных колебаний нелинейной системы. Чтобы наглядно увидеть, когда метод прямой линеаризации приводит к наибольшей погрешности вычислений, на рис. 9.8 результаты вычисления погрешности совмещены с зависимостями частоты свободных колебаний от их размаха. Погрешность определения частоты свободных колебаний методом прямой Рис. 9.7. Время одного цикла колебаний, в течение которого, линеаризации (рис. 9.8) содержит обобщенная координата локальные минимумы на амплитудах принимает положительные колебаний вблизи стыков кусочнозначения (штриховая линия) и линейных участков характеристики отрицательные значения восстанавливающей силы и возрастает по (сплошная линия) мере удаления от них. Результаты расчетов, выполненных в приведенном примере, дают возможность создать представление об особенностях поведения нелинейных механических систем, а также степени трудоемкости наиболее востребованных количественных оценок и их точности. Рис. 9.8. Иллюстрация зависимостей частоты свободных колебаний от размаха колебаний для двух вариантов расчета: методом прямой линеаризации и интегрированием основного дифференциального уравнения движения. Штриховой линией показана погрешность определения квадрата частоты свободных колебаний методом прямой линеаризации по отношению к методу интегрирования основного дифференциального уравнения, принятого за точное решение 123 Задача №10. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ Equation Chapter 1 Section 10 Условие задачи и варианты исходных данных Для балки постоянного поперечного сечения (варианты форм поперечных сечений приведены на рис. 10.1, расчетные схемы балок приведены в таблице 10.1) требуется: 1. Записать выражение для форм изгибных колебаний, используя функции А.Н. Крылова. Записать граничные условия. 2. Используя граничные условия, составить систему уравнений для определения неизвестных констант функций А.Н. Крылова. Получить частотный определитель, построить его график, найти корни частотного определителя, вычислить несколько собственных частот балки в рад/с и в Гц. Исходные данные по материалу балки и вариантам поперечного сечения приведены в табл. 10.1. 3. Определить формы собственных колебаний балки, соответствующие трем низшим собственным частотам. Совместить полученные собственные формы на одном рисунке (для наглядности формы пронормировать). Проверить ортогональность собственных форм. 4. Для найденных собственных форм проверить выполнение граничных условий. Расчетные схемы механических систем к задаче №10 Вариант 10.1 Вариант 10.2 Вариант 10.3 Вариант 10.4 124 Таблица 10.1 Продолжение табл.10.1 Вариант 10.5 Вариант 10.6 Вариант 10.7 Вариант 10.8 Вариант 10.9 Вариант 10.10 Вариант 10.11 Вариант 10.12 Вариант 10.13 Вариант 10.14 Вариант 10.15 Вариант 10.16 125 Вариант 10.17 Вариант 10.18 Вариант 10.19 Вариант 10.20 Окончание табл.10.1 Таблица 10.2 Варианты исходных данных для выбора параметров расчетной схемы задачи №10 Цифра варианта Порядковый номер цифры в варианте 1 2 3 Вариант сечения Материал D, мм d, мм L, м 0 а Алюминиевый сплав 20 16 0,4 1 б Легированная сталь 20 15 0,5 2 в Титановый сплав 25 20 0,6 3 а Алюминиевый сплав 45 40 0,7 4 б Легированная сталь 50 40 0,8 5 в Титановый сплав 30 25 0,9 6 а Алюминиевый сплав 35 18 1 7 б Легированная сталь 28 24 1,1 8 в Титановый сплав 40 30 1,2 9 а Алюминиевый сплав 55 45 1,3 а) б) в) Рис. 10.1 Варианты поперечных сечений 126 4 Сосредоточенные параметры присоединенных элементов m , I 0 , C, Cϕ связаны с основными параметрами балки (жесткостью сечения на изгиб EI, погонной массой m0 и длиной L) следующими соотношениями: m = m0 L , I 0 = m0 L3 , C = EI L3 , Cφ = EI L . Пример решения задачи №10 На рис. 10.2 изображена балка кольцевого поперечного сечения, выполненная из титанового сплава. = m 0,5 = m0 L , I 0 0,1m0 L3 , Сx1 = 40 EI EI EI , Сx 2 = 50 3 , = Сφ 4 ⋅ 3 L L L Рис. 10.2. Расчетная схема механической системы E 1,14 ⋅ 1011 Па, Для заданного материала имеем: модуль упругости = плотность ρ=4500 кг м3 , коэффициент Пуассона ν=0,31 . Геометрические размеры: L =1,3 м, D=28 мм, d=24 мм. 1. Дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний балки, форма прогиба, граничные условия Свободные поперечные колебания балки дифференциальному уравнению четвертого порядка подчиняются ∂2  ∂2 x  ∂2 x (10.1) 0.  EI  + m0 2 = ∂z 2  ∂z 2  ∂t Здесь x(z,t) – поперечное перемещение. Соответствующее собственным колебаниям решение уравнения (10.1) будем искать в виде = x ( z , t ) u ( z ) cos ( pt + φ ) , (10.2) где u(z) – искомая форма колебаний, p – круговая частота колебаний (рад/с). 127 Подставляя выражение (10.2) в уравнение (10.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение форм колебаний: ∂ 2  ∂ 2u  (10.3) 0 EI 2  − m0 p 2u = 2  ∂z  ∂z  Решение дифференциального уравнения (10.3) может быть представлено в виде, предложенном А.Н. Крыловым: (10.4) u ( z ) = C1K1 (αz ) + C2 K 2 (αz ) + C3 K 3 (αz ) + C4 K 4 (αz ), где C1, C2, C3, C4 – постоянные, определяемые граничными условиями; K1 (αz ), K 2 (αz ), K 3 (αz ), K 4 (αz ) – функции Крылова: 1 1 K1 (αz ) = 2 [ cosh(αz ) + cos(αz ) ] , K 2 (αz ) = 2 [ sinh(αz ) + sin(αz ) ] , 1 1 K 3 (αz ) = 2 [ cosh(αz ) − cos(αz ) ] , K 4 (αz ) = 2 [ sinh(αz ) − sin(αz ) ] ; α= 4 m0 p 2 – параметр корня частотного уравнения, учитывающий EI инерционные и жесткостные свойства поперечного сечения балки (имеет размерность 1 м ). Представление решения уравнения (10.3) в форме (10.4) удобно вследствие ряда замечательных свойств функций А.Н. Крылова. Во-первых: (10.5) K= K= K= K= 0. 1 ( 0 ) 1; 2 ( 0) 3 ( 0) 4 ( 0) Во-вторых, произвольные постоянные С1, С2, С3, С4 в решении, представленном в форме (10.4), имеют ясный физический смысл: 1 1 1 ′′(0); (10.6) u′= C3 u= C4 u′′′(0). (0); 2 EIα EIα3 α Во многих случаях это позволяет упростить процесс решения задачи о колебаниях балки. Решение (10.4) дифференциального уравнения 4-го порядка содержит 4 произвольные постоянные, для определения которых должно быть задано 4 граничных условия – по 2 на каждом конце балки. Граничные условия делят на геометрические и силовые. Геометрические граничные условия накладываются на перемещения (линейные и угловые). Силовые условия при собственных колебаниях либо связывают внутренние силовые факторы М, Q в концевых сечениях балки с перемещениями этих концов, либо указывают на отсутствие силовых факторов в концевых сечениях. Для установления связи внутренних силовых факторов М, Q с соответствующими перемещениями используются условия динамического равновесия бесконечно малого фрагмента балки, примыкающего к рассматриваемому в силовом граничном условии сечению. При записи условий динамического равновесия направление внутренних силовых факторов в балке принимается положительным (в соответствии с правилами = C1 u= C2 (0); 128 знаков для внутренних силовых факторов), инерционные факторы направлены в сторону принятого положительного направления отклонения, силы взаимодействия с сосредоточенными упругими элементами направлены так, чтобы возвращать точку их приложения в положение равновесия после положительного отклонения. Сформулируем граничные условия для рассматриваемого примера однопролетной балки. На левом краю балки запрещен угол поворота (геометрическое граничное условие), то есть (10.7) u′ ( 0 ) = 0. Второе условие на левом краю – силовое, оно связывает поперечную силу Q(0) = EIu′′′(0) в концевом сечении z=0 с перемещением u(0) этого конца (то есть третью производную функции (10.4) в точке z=0 со значением самой функции в этой же точке). Для установления этой связи отклоним левый конец балки на малую положительную величину u(0). В результате деформации пружины, в ней возникнет упругая сила, пропорциональная удлинению пружины P Упр = Сx1 ⋅ u (0) . Отбрасывая пружину Cx1 , заменяем её действие на балку сосредоточенной силой C x1 ⋅ u (0) , направленной таким образом, чтобы возвращать систему в недеформированное состояние (рис. 10.3, а). Или, другими словами, сила, действующая на фрагмент балки со стороны отброшенного упругого элемента, направлена в сторону, противоположную положительному направлению перемещения u (0) . а) Левый край балки ( z = 0 ) б) Правый край балки ( z = L ) Рис. 10.3 Схемы динамического равновесия бесконечно малого участка балки, примыкающего к сечению записи граничных условий: а) для левого края, б) для правого края однопролетной балки. Положительным направлением для поперечной силы Q(0) на левом краю балки является направление вниз. Соответствующий крайнему левому сечению фрагмент балки бесконечно малой длины не содержит сосредоточенных инерционных элементов и, поэтому, условие его динамического равновесия не будет содержать инерционных слагаемых. 129 Воспользуемся условием равновесия в форме суммы проекций сил на вертикальную ось x : ∑X : − EIu′′′ ( 0 ) − C x1u ( 0 ) = 0, что позволяет сформулировать силовое граничное условие на левом краю как (10.8) EIu′′′ ( 0 ) = −Cx1u ( 0 ) . На правом краю балки ограничения на перемещения отсутствуют, что предопределяет силовой характер обоих недостающих граничных условий. Сначала из бесконечного числа форм записи условий динамического равновесия для примыкающего к правому краю балки фрагмента бесконечно малой длины (рис. 10.3 б) сформируем сумму моментов сил относительно перпендикулярной плоскости рисунка оси, проходящей через сечение z = L ( ∑ M yL = 0 ): ∑M L y : − EI ⋅ u′′( L) − Cϕ ⋅ u′( L) + I 0 p 2 ⋅ u′( L) = 0. Заслуживает обсуждения назначение направлений входящих в ∑ M yL слагаемых. Для установления связи между M ( L= ) EI ⋅ u′′( L) и u'(L) мысленно придадим сечению z = L бесконечно малое положительное приращение угла поворота u′ > 0 (против часовой стрелки). Чтобы возвращать рассматриваемый узел в недеформированное состояние, момент со стороны углового упругого элемента M Упр = Cφ ⋅ u′ ( L ) должен быть в этом случае направлен по часовой стрелке (рис. 10.3, б). Инерционный момент, приложенный к инерционному элементу I 0 , при колебаниях направлен в сторону положительного отклонения (рис. 10.3, б) и связан c Ин углом поворота соотношением M= I 0 p 2 ⋅ u′ ( L ) . Внутренний силовой фактор изгибающий момент M ( L= ) EI ⋅ u′′( L) направлен по часовой стрелке, чтобы обеспечить положительное значение кривизне в рассматриваемом сечении балки. Первое силовое граничное условие на правом краю принимает вид −Cϕ ⋅ u′( L) + I 0 p 2 ⋅ u′( L) . EIu′′( L) = (10.9) Два элемента с сосредоточенными параметрами I 0 и Cφ, размещенные на правом конце балки, образуют колебательную систему, которая, будучи отсоединена от балки, обладает собственной частотой: Cφ pφ = . I0 Учитывая это обозначение, условие (10.9) можно записать в форме I0 2 = u′′ ( L ) p − pφ2 ) u′ ( L ) . (10.10) ( EI 130 Из выражения (10.10) следует, что кривизна u''(L) на конце балки может либо совпадать с углом поворота u'(L), либо быть противоположной ему. Если p<pφ, что может быть на низких частотах колебаний, знаки u''(L) и u'(L) противоположны, и преимущественное влияние на колебания балки оказывает пружина Сφ. Если же p>pφ, что неизбежно произойдет с повышением частоты колебаний балки, основное влияние на ее колебания оказывает инерционный элемент I 0 , понижая собственную частоту колебаний системы. В этом случае u''(L) по знаку совпадает со знаком u'(L). Если же p=pφ, то пара присоединенных элементов на колебания балки не влияет, о чем свидетельствует u''(L)=0. Связь амплитуды поперечной силы Q( L= ) EI ⋅ u′′′( L) с амплитудой перемещения u(L) установим, воспользовавшись условием динамического равновесия в форме суммы проекций сил на вертикальную ось x ( ∑ X = 0 ). Для примыкающего к правому краю рассматриваемой механической системы бесконечно малого фрагмента балки, мысленно отклонив концевое сечение в положительном направлении, получим: (10.11) EI ⋅ u′′′( L) + mp 2 ⋅ u ( L) − C ⋅ u ( L) = 0. ∑X : При смещении правого края балки вверх пружина Сx2 создает силу Сx2⋅u(L), действующую на балку вниз. Сила инерции массы m , направлена в сторону отклонения u ( L) и по величине равна mp 2 ⋅ u ( L ) . Следовательно, суммарная поперечная сила на правом конце балки EIu′′′ (= L ) Cx 2 − mp 2 u ( L ) , (10.12) ( или u′′′ ( L = ) ) m 2 px 2 − p 2 ) ⋅ u ( L ) , ( EI (10.13) Cx 2 – собственная частота колебательной системы с одной m степенью свободы, имеющей массу m и жесткость упругого элемента Cx2. где px 2 = И в этом случае существует частота колебаний, на которой влияние присоединенных элементов компенсирует друг друга, так что u'''(L)=0. Таким образом, на 4 произвольных постоянных C1, C2, C3, C4 выражения (10.4) наложены четыре условия (10.7), (10.8), (10.9), (10.11), связывающие функцию u(z) и ее производные. 2. Частотное уравнение В рассматриваемой расчетной схеме балки, благодаря перечисленным в (10.6) свойствам постоянных C1, C2, C3, C4 в выражении (10.4), используя геометрическое граничное условие (10.7) на левом краю, удается сразу определить константу С2: С2=0. 131 Остальные три константы должны быть найдены решением системы уравнений (10.8), (10.9), (10.11). Дифференцируя (10.4) по z и подставляя в (10.8), получаем EIα3 C1K 2 ( 0 ) + C3 K 4 ( 0 ) + C4 K1 ( 0 )  + Cx1 C1K1 ( 0 ) + C3 K 3 ( 0 ) + C4 K 4 ( 0 )  = 0. Свойство (10.6) упрощает это выражение: Cx1C1 + EIα3C4 = 0. (10.14) Выражения (10.9) и (10.11) после обозначения αL=λ принимают вид  EIα 2 K 3 ( λ ) + α ( Cφ − I 0 p 2 ) K 4 ( λ )  C1 +   +  EIα 2 K1 ( λ ) + α ( Cφ − I 0 p 2 ) K 2 ( λ )  C3 + +  EIα 2 K 2 ( λ ) + α ( Cφ − I 0 p 2 ) K 3 ( λ )  C4 = 0; (10.15) 3 2  EIα K 2 ( λ ) − ( Cx 2 − mp ) K1 ( λ )  C1 +   +  EIα3 K 4 ( λ ) − ( Cx 2 − mp 2 ) K 3 ( λ )  C3 + +  EIα3 K1 ( λ ) − ( Cx 2 − mp 2 ) K 4 ( λ )  C4 = 0. (10.16) Уравнения (10.14), (10.15), (10.16) образуют связанную систему, определяющую константы С1, С3, С4. Параметрическая форма представления геометрических размеров, величин инерционных ( m , I 0 ) и упругих элементов (Сx1, Сx2, Сφ) расчетной модели балки позволяет упростить вид этих уравнений, оперируя только основными параметрами балки – жесткостью поперечного сечения на изгиб EI, погонной массой m0 , и длиной L. Разделив уравнение (10.15) на EIα2 и подставив в него Сφ и I 0 EI m L3 из условия задачи ( Cφ = 4 , I 0 = 0 ), найдем: L 10 Cφ − I 0 p 2 4 − 0,1 ⋅ λ 4 = . EIα λ Аналогично из (10.16) найдем C x 2 − mp 2 50 − 0,5 ⋅ λ 4 . = λ3 EIα3 132 Таким образом, система (10.14), (10.15), (10.16) приобретает следующий окончательный вид:  1 ⋅ C + λ 3 ⋅ C ⋅ 1 = 0, 4  1 40  4   K ( λ ) +  4 − 0,1 ⋅ λ  ⋅ K ( λ )  ⋅ C +  1   4   3 λ         4 − 0,1 ⋅ λ 4  +  K1 ( λ ) +  ⋅ K λ ( )   ⋅ C3 +  2 λ          4 − 0,1 ⋅ λ 4   + + K λ 0,   2( )   ⋅ K 3 ( λ )  ⋅ C4 = λ       4   K ( λ ) −  50 − 0,5 ⋅ λ  ⋅ K ( λ )  ⋅ C +   1 1  2 λ3         50 − 0,5 ⋅ λ 4  ⋅ K λ + − K λ ( ) ) (     3  ⋅ C3 + 4 3 λ       (10.17)    50 − 0,5 ⋅ λ 4   +  K1 ( λ ) −  ⋅ ⋅ = K C λ 0.  4 ( ) 4  λ3     Как видим, искомые константы, а следовательно и решение (10.4) уравнения (10.3), зависят только от одного безразмерного параметра m0 p 2 (10.18) = ⋅L. λ α= L EI Нетривиальное решение системы (10.17) линейных однородных алгебраических уравнений, соответствующее наличию колебаний, существует лишь при условии равенства нулю ее определителя Δ(λ): λ3 1 0 40 λK 3 ( λ ) + λK1 ( λ ) + λK 2 ( λ ) + 4 ∆ ( λ ) = + ( 4 − 0,1λ 4 ) K 4 ( λ ) λ3 K 2 ( λ ) − − ( 50 − 0,5λ 4 ) K1 ( λ ) + ( 4 − 0,1λ 4 ) K 2 ( λ ) λ3 K 4 ( λ ) − − ( 50 − 0,5λ 4 ) K 3 ( λ ) + ( 4 − 0,1λ 4 ) K 3 ( λ ) λ 3 K1 ( λ ) − − ( 50 − 0,5λ 4 ) K 4 ( λ ) (10.19) 133 Определитель (10.19), зависящий от λ, называется частотным определителем. Приравнивая частотный определитель нулю, получим частотное уравнение. Корни λk частотного уравнения, позволяют согласно (10.18) определить собственные частоты балки pk: EI pk = λ 2k . (10.20) m0 L4 Как видим, частота колебаний балки определяется, с одной стороны, параметрами самой балки – EI, m0 , L , а с другой стороны – корнем λk частотного уравнения, зависящим от взаимного соотношения количественных параметров присоединенных элементов ( m , I 0 , Cx1, Cx2, Cφ) и от характера граничных условий. Результаты вычисления корней λk частотного уравнения и собственных частот pk приведены в табл. 10.3. Там же приведено отличие собственных частот от решения, полученного методом конечных элементов. Таблица 10.3 Результаты вычисления собственных частот однопролетной балки Номер корня частотного уравнения Корень частотного уравнения λk Собственная частота балки pk , рад/с fk , Гц fk МКЭ , Гц Отличие ε, % ε= f k − f k МКЭ f k МКЭ 1 2,669 195,58 31,128 31,126 % 6,267⋅10–3 2 2,819 218,22 34,730 34,729 3,287⋅10–3 3 3,688 373,55 59,452 59,443 0,015 4 5,915 960,68 152,897 152,79 0,07 5 8,867 2159,05 343,623 343,04 0,17 6 11,942 3915,64 623,194 621,23 0,316 7 15,048 6217,95 989,617 984,64 0,505 8 18,168 9063,32 1442,472 1432,0 0,731 9 21,295 12451,04 1981,644 1962,2 0,991 10 24,425 16380,87 2607,097 2574,2 1,278 3. Собственные формы балки , Поскольку определитель матрицы системы алгебраических уравнений (10.17)относительно амплитуд отклонений обобщенных координат на собственных частотах pk равен нулю, уравнения этой системы оказываются линейно зависимыми: одно из уравнений этой системы является следствием двух других и может быть отброшено. Отбрасывая в (10.17) второе уравнение, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными, одним 134 из которых можно задаться произвольно. Из двух уравнений системы (10.17) устанавливаем связь констант С3 и С4 с константой С1, которая имеет физический смысл линейного перемещения u (0) крайнего левого сечения балки: (10.21) C4 = − ( 40 λ 3 ) C1 , ⋅ ( 50 − 0,5λ ) ⋅ K ( λ ) ( 90 − 0,5λ ) ⋅ K ( λ ) − λ K ( λ ) − 40 λ C. = λ K ( λ ) − ( 50 − 0,5λ ) K ( λ ) 4 C3 3 1 3 2 4 3 4 4 4 1 (10.22) 3 Учитывая, что C2=0, для поперечных перемещений балки получаем:  λ   λ  40  λ   (10.23) uk ( z ) = K1  k z  + AK 3  k z  − 3 K 4  k z   C1k . λ L L L       k   Здесь использовано обозначение 50 − 0,5λ 4k ) K 4 ( λ k ) ( 90 − 0,5λ 4k ) K1 ( λ k ) − λ3k K 2 ( λ k ) − 40 3 ( λk A= . 3 λ k K 4 ( λ k ) − ( 50 − 0,5λ k4 ) K 3 ( λ k ) Согласно выражению (10.23) вертикальные перемещения сечений балки определяются с точностью до произвольного постоянного множителя C1k, то есть определяется только форма колебаний. При построении собственной формы задавать перемещение определенной точки механической системы может оказаться неудобно: если на какой-то форме расположение выбранной точки окажется близко к узлу колебаний, измерение перемещений остальных точек может быть затруднено необходимостью использовать большие числа. Такого недостатка лишен вариант нормирования собственных форм, при котором значение нормирующего множителя Rk выбирается из условия равенства единице величины обобщенной массы балки на каждой собственной форме: L  R ⋅  ∫ m0uk2 ( z )dz + m ⋅ uk2 ( L) + I 0 ⋅ [uk′ ( L)]2  = 1. 0  2 k Заменив множитель С1k в правой части выражения (10.23) на Rk, получим вариант представления форм колебаний, для сопоставления которых на одном графике не требуется дополнительного масштабирования. Дифференцируя выражение (10.23) один и два раза, получим распределение по длине балки углов поворота и изгибающих моментов (кривизны) на собственных формах. Соответствующие кривые представлены на рис. 10.4. 135 а) б) в) Рис. 10.4. Собственные формы: а) поперечных отклонений, б) углов поворота поперечного сечения, в) изгибающих моментов. Поскольку в обобщенные вынуждающие силы Qk входят как величины поперечных смещений uk ( z ) , так и углы поворота сечений uk′ ( z ) , для упрощения проверки правильности вычислений при решении задачи о 136 вынужденных колебаниях обе эти функции при графической форме представления желательно изображать в одном масштабе. Масштаб изображения u''k может быть другим. Собственные формы перемещений и углов поворота позволяют наглядно проконтролировать выполнение геометрических граничных условий. Сопоставление изгибающих моментов на правом конце балки с углом поворота u'(L) в совокупности с выражением (10.10) позволяет оценить выполнение одного из силовых граничных условий. 4. Проверка выполнения граничных условий Проверкой правильности решения задачи является проверка выполнения граничных условий. Вычислим левые и правые части граничных условий (10.7), (10.8), (10.9) и (10.12) на первой, второй и третьей собственной формах. Результаты вычислений приведены в табл. 10.4. Таблица 10.4 Результаты проверки соответствия найденных собственных форм использованным формулировкам граничных условий Номер собственной формы k=1 Левая часть формулировки граничного условия Правая часть формулировки граничного условия u1′ ( 0 ) = 0 0 −40 ( EI L3 ) С1 ⋅ EIu1′′′( 0 ) = −Cx1u1 ( 0 ) = −40 ( EI L3 ) С1 EIu1′′( L ) = −2, 454 ( EI L2 ) С1 I 0 p 2u1′ ( L ) − Cφu1′ ( L ) = −2, 454 ( EI L2 ) С1 EIu1′′′( L ) = 18,139 ( EI L3 ) С1 k=2 k=3 (C x2 − mp 2 ) u1 ( L ) = 18,139 ( EI L3 ) С1 u1′ ( 0 ) = 0 0 EIu1′′′( 0 ) = −40 ( EI L3 ) С1 −Cx1u1 ( 0 ) = −40 ( EI L3 ) С1 EIu1′′( L ) = −112, 04 ( EI L2 ) С1 I 0 p 2u1′ ( L ) − Cφu1′ ( L ) = −112, 04 ( EI L2 ) С1 EIu1′′′( L ) = −318, 426 ( EI L3 ) С1 (C x2 − mp 2 ) u1 ( L ) = −318, 426 ( EI L3 ) С1 u1′ ( 0 ) = 0 0 EIu1′′′( 0 ) = −40 ( EI L3 ) С1 −Cx1u1 ( 0 ) = −40 ( EI L3 ) С1 EIu1′′( L ) = 13,935 ( EI L2 ) С1 I 0 p 2u1′ ( L ) − Cφu1′ ( L ) = 13,936 ( EI L2 ) С1 EIu1′′′( L ) = 16, 651( EI L3 ) С1 137 (C x2 − mp 2 ) u1 ( L ) = 16, 651( EI L3 ) С1 5. Проверка ортогональности собственных форм Наиболее универсальной и точной проверкой правильности решения задачи является проверка ортогональности полученных собственных форм. Вычислим работу Akl сил инерции k-й собственной формы на перемещениях точек их приложения в l-ой собственной форме. Поскольку рассматриваемая механическая система содержит и распределенные и сосредоточенные параметры, Akl имеет следующий вид:  L  = Akl  m0 ∫ uk ( z ) ⋅ ul ( z ) dz + m ⋅ uk ( L ) ⋅ ul ( L ) + I 0 ⋅ uk′ ( L ) ⋅ ul′ ( L )  pk2 . (10.24)  0  Формы колебаний uk(z) и ul(z) определены с точностью до произвольного постоянного множителя каждая, так что результат вычисления по (10.24) может иметь произвольное значение и мало пригоден для реальной оценки точности расчета. Значительно более информативна величина относительной погрешности, не содержащая произвольных постоянных, вычисляемая следующим образом: L δ= m0 ∫ uk ( z ) ⋅ ul ( z ) dz + m ⋅ uk ( L ) ⋅ ul ( L ) + I 0 ⋅ uk′ ( L ) ⋅ ul′ ( L ) L 0 m0 ∫ uk ( z ) ⋅ ul ( z ) dz + m ⋅ uk ( L ) ⋅ ul ( L ) + I 0 ⋅ uk′ ( L ) ⋅ ul′ ( L ) . (10.25) 0 При вычислении с помощью ЭВМ величина δ не должна превышать 1%. Результаты вычислений по формуле (10.25) приведены в табл. 10.5, где даны значения каждого из слагаемых и погрешность δ. Указанному ограничению погрешность удовлетворяет. Проверка ортогональности собственных форм Номера собственных форм L m0 ∫ uk ( z ) ⋅ ul ( z )dz m ⋅ uk ( L) ⋅ ul ( L) 0 k=1 l=2 –4,692 mL С1 k=1 l=3 0,364 mL С1 k=2 l=3 1,264 mL С1 2 2 –6,365 mL С1 2 –0,1441 mL С1 2 2 3,383 mL С1 2 Equation Section 10Equation Section 10 138 I 0 ⋅ uk ′ ( L) ⋅ ul′ ( L) 2 11,06 mL С1 Таблица 10.5 δ, % – 8,543 ⋅10−4 2 –0,2195 mL С1 – 1, 402 ⋅10−4 2 −3, 430 ⋅10−4 –4,647 mL С1 Задача №11. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ. СЛУЧАЙ НЕРЕЗОНАНСНОГО РЕЖИМА КОЛЕБАНИЙ Equation Chapter 1 Section 11 Условие задачи и варианты исходных данных Параметры балок и их расчетные схемы приведены на рис. 10.1 и в таблице 10.1, схема нагружения показана на рис. 11.1. В таблице 11.1 приведены варианты исходных данных, уточняющие параметры системы вынуждающих воздействий: относительная координата l L точки приложения сосредоточенной силы P (t ) и момента M (t ) , их амплитуда и знак, закон изменения распределенной нагрузки по длине балки f ( z ) и коэффициент β , определяющий частоту ω = p1 + β ( p1 + p2 ) синфазных вынуждающих воздействий на нерезонансном режиме (p1, p2 – собственные частоты балки). Вариант исходных данных задается преподавателем в виде случайного набора из шести цифр. Каждая цифра в варианте определяет номер строки, в которой находится значение параметра, стоящего, соответственно, в первом, втором и т.д. столбцах таблицы. Рис. 11.1. Вынуждающие воздействия на балку Цель работы: сопоставить допустимые значения параметра внешней нагрузки при статическом  f 0St  и гармоническом нерезонансном  f 0F  режимах нагружения балки, приняв в обоих случаях одинаковые значения допускаемых механических напряжений: [σ]=300 МПа. Содержание работы: 1. Выполнить анализ деформированного состояния балки при статическом нагружении. 2. Выполнить анализ деформированного состояния балки на установившемся режиме нерезонансных вынужденных колебаний: 2.1 Для заданного набора вынуждающих воздействий вычислить обобщенные вынуждающие силы, соответствующие полученным 139 при решении задачи №10 собственным формам исследованной балки. 2.2 Вычислить коэффициенты разложения формы вынужденных колебаний балки по её собственным формам и представить на одном графике формы вынужденных колебаний, соответствующие разному числу удерживаемых членов ряда. 2.3 Проанализировать изменение амплитуды перемещений одной характерной точки механической системы в зависимости от числа удерживаемых членов ряда разложения по собственным формам. 2.4 Представить на одном графике формы нерезонансных колебаний для изгибающего момента при удержании в разложении разного числа слагаемых. 3. Из условия прочности определить допускаемые значения плотности f0 распределенной нагрузки, соответствующие статическому и гармоническому нерезонансному режимам нагружения балки. Таблица 11.1 Варианты вынуждающих воздействий на балку Цифра варианта 1 Порядковый номер цифры в варианте 2 3 4 5 6 l/L P/f0L M/f0L f(z)/f0 ψ β 1 0,20 0,4 0,2 sin  πz ( 2 L )  0,15 0,70 2 0,25 –0,5 0,15 cos  πz ( 2 L )  0,12 0,65 3 0,30 –0,6 –0,10 2sin ( πz L ) 0,08 0,60 4 0,35 0,8 –0,12 2cos ( πz L ) 0,05 0,55 5 0,40 –0,4 0,10 z/L 0,12 0,50 6 0,45 0,5 0,20 1− z / L 0,10 0,45 7 0,50 –0,6 –0,10 2 2 1 − ( z L )    0,15 0,50 8 0,55 0,7 0,15 2( z L) 0,09 0,55 9 0,60 –0,3 –0,15 2 1 − sin ( πz L )  0,08 0,60 0 0,65 0,5 0,20 2sin ( 2πz L ) 0,20 0,65 2 Пример решения задачи №11 2 Воспользуемся расчетной схемой и полученными результатами анализа однопролетной балки, рассмотренной в примере решения задачи №10 (рис. 10.4). 140 Пусть условия нагружения заданы вариантом 040865, чему соответствуют: координата приложения сосредоточенной силы и момента (11.1) z = l = 0,65 L ; сосредоточенная сила (11.2) P ( t ) = 0,8 ⋅ f 0 ⋅ L ⋅ cosωt ; сосредоточенный момент M ( t ) = 0,2 ⋅ f 0 ⋅ L2 ⋅ cosωt ; (11.3) распределенная нагрузка 2 f ( z, t ) = 2 f 0 ⋅ ( z L ) ⋅ cosωt ; (11.4) частота вынуждающих воздействий выше низшей, но не превышает второй собственной частоты колебаний рассматриваемой механической системы: β =0,5. = m 0,5 = m0 L , I 0 0,1m0 L3 , Сx1 = 40 EI EI EI , Сx 2 = 50 3 , = Сφ 4 ⋅ 3 L L L Рис. 11.2. Расчетная схема нагружения однопролетной балки Собственные формы колебаний балки описываются выражением (10.23) и показаны на рис. 10.4. 1. Статический расчет балки Механическая система (рис. 11.2) является дважды статически неопределимой. Расчет распределений изгибающих моментов, углов поворота сечений и вертикальных перемещений выполним методом сил. На рис. 11.3 показана статически определимая, кинематически неизменяемая система, полученная из исходной отбрасыванием лишних связей. Эта система использована в качестве «основной». Поскольку в статическом расчете силы инерции не учитываются, на расчетной схеме «основной системы» (рис. 11.3) инерционные элементы, присутствующие в заданной расчетной схеме задачи (см. рис. 11.2), проигнорированы. 141 Рис. 11.3. Основная система, использованная для решения дважды статически неопределимой задачи Эквивалентная исходной статически определимая система показана на рис. 11.4. Рис. 11.4. Эквивалентная система, использованная при решении дважды статически неопределимой задачи Условиями эквивалентности исходной статически неопределимой системы (рис. 11.2) и статически определимой системы (рис. 11.4) являются равенство нулю угла поворота в сечении, соответствующем левой опоре, и равенство угла поворота сечения, соответствующего правой опоре, углу закручивания упругого элемента Cφ :  δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1P =0 (11.5) δ X + δ X + ∆ = Θ . 2P Cϕ  21 1 22 2 Если выразить угол закручивания упругого элемента Cφ через неизвестный силовой фактор Х2 X ΘCϕ = − 2, (11.6) Cϕ то система канонических уравнений метода сил принимает вид: δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1P =0    1   δ X + δ +   21 1  22 C  X 2 + ∆ 2 P =0. ϕ    142 (11.7) Схемы нагружения, используемые при расчете коэффициентов системы уравнений (11.7), приведены на рис.11.5. Коэффициенты податливости δij обусловлены изгибом балки δизг и её ij поворотом δijвр в результате осадки упругих опор: 1 L 1 1 1 1  1 L 1 9  227 L + ⋅ − ⋅ = , ⋅ =  +  3 EI  L Cx 2 L Cx 2  L EI  3 200  600 EI 1 L 1 1 1 1  L  1 9  73 L + δ12 вр =− + ⋅ − ⋅ = − ,  = − +  6 EI  L Cx 2 L Cx 2  EI  6 200  600 EI δ11= δ11изг + δ11вр= δ12 = δ 21 = δ12изг δ 22= δ 22изг + δ 22 вр= 9  227 L 1 L 1 1 1 1  L 1 + ⋅ − ⋅ =   + = . 3 EI  L Cx 2 L Cx 2  EI  3 200  600 EI (11.8) а) первое единичное состояние б) второе единичное состояние в) грузовое состояние Рис. 11.5. Расчетные схемы нагружения, использованные при решении дважды статически неопределимой задачи методом сил: а) первое единичное состояние; б) второе единичное состояние; в) грузовое состояние. 143 Законы изменения поперечной силы 2 z  z −0,2467 f 0 L + ∫ 2 f 0   dz =  QP ( z ) = L 0   f  = − 0,2467 f 0 L + 0,667 03 ⋅ z 3 для 0 ≤ z < 0,65 L, L   f  QP ( z ) =−0,2467 f 0 L + 0,667 03 ⋅ z 3 + 0,8 f 0 L для 0,65 ≤ z ≤ L  L и изгибающего момента z  f0 3   0,2467 f L 0,667 − + ⋅ z  dz = M P ( z) = 0  3 ∫0  L    f  для 0 ≤ z < 0,65 L, =−0,2467 f 0 L ⋅ z + 0,166 02 ⋅ z 4  L  f  M P ( z ) =−0,2467 f 0 L ⋅ z + 0,166 02 ⋅ z 4 + L   + 0,8 f 0 L ⋅ ( z − 0,65 L ) − 0,2 f 0 для 0,65 ≤ z ≤ L  (11.9) (11.10) для грузового состояния показаны на рис. 11.6. а) б) Рис. 11.6. Распределения поперечной силы (а) и изгибающего момента (б) в «грузовом» состоянии Грузовые слагаемые ∆iP системы канонических уравнений метода сил (11.7), так же как и коэффициенты податливости δij , обусловлены изгибом балки и её поворотом в результате осадки упругих опор: ∆1P = ∆1P изг + ∆1P вр QP ( L) QP (0) + M1( z) ⋅ M P ( z) Cx1 Cx 2 =∫ dz + = EI L 0 = L f 0 L3 f 0 L3 , ( 0,0421 + 0,0256=) 0,0676 EI EI 144 ∆ 2 P = ∆ 2 P изг + ∆ 2 P вр QP ( L) QP (0) + M 2 ( z) ⋅ M P ( z) Cx1 Cx 2 =∫ dz + = EI L 0 L (11.11) f 0 L3 f 0 L3 =− −0,0434 . ( 0,0689 + 0,0256 ) = EI EI Решением системы канонических уравнений метода сил (11.7) являются значения сосредоточенных моментов Х1 и Х2: (11.12) −0,1423f 0 L2 ; X1 = X2 = 0,0531f 0 L2 . Поскольку рассматриваемая механическая система является линейной, суммарные эпюры поперечной силы и изгибающего момента могут быть получены как суперпозиция единичных и грузового состояний: QΣ ( z )= Q1 ( z ) ⋅ X 1 + Q2 ( z ) ⋅ X 2 + QP ( z ); (11.13) ) M 1 ( z ) ⋅ X 1 + M 2 ( z ) ⋅ X 2 + M P ( z ). M Σ ( z= Суммарные эпюры поперечной силы и изгибающего момента приведены на рис. 11.7. a) б) Рис. 11.7. Распределения поперечной силы (a) и изгибающего момента (б) по длине балки при статическом нагружении рассматриваемой дважды статически неопределимой механической системы Перемещения в исследуемой механической системе интегрированием уравнения упругой линии z z M Σ ( z) M Σ ( z) θ( z ) = θ(0) + ∫ dz = dz , ∫ EI EI 0 0 z z Q (0) θ( z )dz + Σ . x( z ) = x(0) + ∫ θ( z )dz = ∫ Cx1 0 0 Результаты интегрирования приведены на рис. 11.8. 145 получаются (11.14) а) эпюра углов поворота б) эпюра вертикальных перемещений Рис. 11.8. Распределения углов поворота сечений и вертикальных перемещений при статическом нагружении рассмотренной дважды статически неопределимой механической системы 2. Расчет вынужденных колебаний балки на нерезонансном режиме методом разложения по собственным формам 2.1. Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня. Расчет обобщенных сил и масс Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня под действием распределенной и сосредоточенной нагрузок можно записать в виде [1]: EI ∂ 4 x ( z, t ) ∂ 2 x ( z, t ) + m = 0 ∂z 4 ∂t 2 f ( z , t ) + P ( t ) ⋅ σ1 ( z − l ) + M ( t ) ⋅ σ 2 ( z − l ) . (11.15) Здесь σ1 ( z − l ) - импульсивная функция первого порядка (функция Дирака); σ 2 ( z − l ) - импульсивная функция второго порядка. Решение уравнения (11.15) будем искать, предполагая возможность разделения переменных (метод Фурье) = x ( z, t ) ∞ ∑ u ( z ) ⋅ q (t ) , k =1 k k где uk ( z ) – k-я собственная форма – безразмерная функция; (11.16) qk ( t= ) qk ⋅ cos ωt – коэффициент разложения формы вынужденных колебаний балки по ее собственным формам, т. е. qk – амплитуда k-й формы колебаний с размерностью «метр». 146 С позиции математической строгости представление изгибных колебаний балки в виде ряда (11.16) требует учета бесконечного числа слагаемых. При решении практических (инженерных) задач такой подход формально реализован быть не может (невозможно вычислить бесконечное число собственных частот и собственных форм), поэтому число удерживаемых слагаемых неизбежно придется сократить, и предпочтительно было бы делать это, контролируя точность искомого результата. Это обстоятельство делает актуальным обсуждение вопроса о сходимости ряда (11.16) разложения формы вынужденных колебаний по собственным формам как в случае решения задач жесткости (когда необходимо контролировать точность расчетной оценки перемещений), так и в случае решения задач прочности (когда контролируется точность расчетной оценки внутренних усилий (в случае изгиба это, в первую очередь, изгибающий момент). Решение вопроса о достаточном числе членов ряда зависит от особенностей рассматриваемой расчетной схемы, однако, достижение искомого уровня сходимости при решении задачи перемещений оказывается с вычислительной точки зрения, как правило, менее затратно, чем при решении задачи внутренних усилий, для которых значимость высокочастотных слагаемых ряда увеличивается. Вклад каждой из собственных форм uk ( z ) в форму вынужденных колебаний балки устанавливается коэффициентами разложения qk ( t ) . Учет динамических особенностей возбуждения балки заданным вариантом прикладываемой внешней нагрузки сводится к определению коэффициентов разложения qk ( t ) интегрированием дифференциальных уравнений (11.17) = qk + pk 2 qk Qk (t ) M = k 1,2,... . k, Здесь pk – k-я собственная частота балки; M k – k-я обобщенная масса; Qk ( t= ) Qk ⋅ cos ωt – k-я обобщенная вынуждающая сила (с размерностью Ньютон), Qk – амплитуда k-ой обобщенной силы. Заметим, что уравнения (11.17) не связаны и каждое из них можно ассоциировать с поведением колебательной системы с одной степенью свободы, собственная частота EI которой равна pk = λ 2k . m0 L4 Частное решение k-го дифференциального уравнения (11.17), соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, имеет вид: Qk 1 qk ( t ) = ⋅ ⋅ cosωt , (11.18) 2 M k pk 1 − γ 2k где γ k = ω pk . 147 Если произведение M k pk2 = Ck трактовать как жесткость балки на k-й собственной форме, то амплитуду k-й формы колебаний qk можно представить в виде, аналогичном системе с одной степенью свободы: Qk q= ⋅ μk , (11.19) k Ck 1 где μ k = – коэффициент динамичности по перемещениям для k-й 1 − γ 2k собственной формы. В случае, когда частота вынуждающего воздействия не совпадает ни с одной из собственных частот упомянутых подсистем с одной степенью свободы, эти подсистемы деформируются либо в зарезонансном режиме колебаний (если их собственная частота ниже частоты вынуждающего воздействия), либо в дорезонансном режиме колебаний (если их собственная частота выше частоты вынуждающего воздействия). При игнорировании диссипации в механической системе (что для нерезонансных режимов обосновано и общепринято) это означает, что фаза деформирования для каждой из подсистем с одной степенью свободы совпадает (либо противоположна) фазе деформирования от внешнего воздействия, а следовательно, распределение внутренних силовых факторов в режиме нерезонансных (квазистатических) установившихся вынужденных колебаний под действием гармонических сил отличается от чисто статического нагружения лишь добавлением к внешним воздействиям на балку сил инерции, вызванных движением по каждой из собственных форм (с учетом их амплитуд). В рассматриваемой задаче обобщенная сила является суммой трех слагаемых: Qk = Qkf + QkP + QkM , f k = Q где (11.20) L ∫ f ( z ) ⋅ u ( z ) dz – амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленной k 0 распределенной нагрузкой (где – амплитуда f ( z ) = 2 f 0 ( z L) 2 распределенной нагрузки); QkP= P ⋅ uk ( l ) – амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленной сосредоточенной силой (где P=0,8f0L – амплитуда сосредоточенной силы); QkM= M ⋅ uk′ ( l ) – амплитуда k-й обобщенной силы, обусловленной сосредоточенным моментом (где M=0,2f0L2–амплитуда сосредоточенного момента). 148 Для вычисления обобщенных сил и обобщенных масс имеем следующие расчетные соотношения: L  Qk ∫ f ( z ) ⋅ uk ( z ) dz + P ⋅ uk ( l ) + M ⋅ uk′ ( l )  =  0 (11.21) . L M k = ∫ μ ⋅ uk2 ( z ) dz + m ⋅ uk2 ( L ) + I 0 ⋅ uk′ 2 ( L )   0  Если воспользоваться безразмерной координатой текущего сечения ξ = z L , то от определений обобщенной силы и обобщенной массы (11.21) можно перейти к их безразмерной форме представления: 1 duk ( ξ l )  Qk  * 2 Qk ==  ∫ 2ξ uk ( ξ ) dξ + 0,8uk ( ξ l ) + 0, 2 , f0 L  0 dξ  (11.22) 2 1    du (1)  Mk M *k = =  ∫ uk2 ( ξ ) dξ + 0,5uk2 (1) + 0,1 k  . ξ m0 L  0 d     l dz du 1 du Здесь использованы обозначения ξ l = , dξ = , . = L L dξ L dz Как видно из формул (11.18), (11.19), коэффициенты разложения qk ( t ) имеют размерность длины [м] и определяются с точностью до произвольного множителя, стоящего в знаменателе. После подстановки (11.18) в ряд разложения по собственным формам (11.16) произвольный множитель, входящий также и в собственные формы колебаний uk ( z ) , сокращается и в перемещения x ( z , t ) , измеряемые в метрах, он уже не входит. Это позволяет выбирать для обсуждаемого k-го произвольного множителя любое удобное значение, в частности, значение Rk , позволяющее получить единичное значение для величины обобщенной массы M k (как это было сделано в примере решения задачи о собственных значениях рассматриваемой балки). 2.2. Расчет перемещений и внутренних силовых факторов при нерезонансном режиме колебаний Аналитическое выражение закона движения (11.16) с учетом решения (11.18) принимает вид f 0 L4 *  q1 u1 ( z ) + q2*u2 ( z ) + q3*u3 ( z ) + ... cos ωt . (11.23) EI Здесь использовано обозначение qk* безразмерной амплитуды k-той формы колебаний, связанной с амплитудой qk соотношением x (= z, t ) Qk Qk f 0 L4 Qk* f 0 L4 * 1 1 qk = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ qk . (11.24) Ck M k pk2 1 − γ 2k EI M *k ⋅ λ 4k 1 − γ k2 EI 149 В преобразованиях (11.24) учтено, что для изгибных колебаний EI , а также использованы введенные обозначения (11.22) pk2 = λ k4 m0 L4 безразмерных обобщенной силы Qk* и обобщенной массы M *k . Сходимость ряда (11.23) определяется набором коэффициентов величины которых оказываются собственных форм qk* , частотнозависимыми и могут быть получены с помощью соответствующих динамических коэффициентов μ k * (11.25) q= μ k ⋅ qkst* . k Величины безразмерных амплитуд собственных форм qk* и соответствующие им динамические коэффициенты μ k для нескольких собственных частот, начиная с низшей, приведены на рис. 11.9. Результаты расчета отношений γk=ω/pk частоты вынуждающего воздействия к соответствующей собственной частоте, обобщенных сил Qk* и их составляющих Qkf * , QkP* , QkM * , безразмерных обобщенных масс M*k , безразмерных обобщенных жесткостей Ck* ( = Ck* M*k ⋅ λ k4 ), статических безразмерных прогибов qkst* = Qk* Ck* , коэффициентов динамичности μk и максимальных амплитуд xk* max = μ k qkst*uk max различных форм приведены в табл. 11.2. Номер собственной формы Номер собственной формы а) динамический коэффициент μ k для нескольких собственных форм колебаний, начиная с низшей * б) безразмерный коэффициент qk для нескольких собственных форм колебаний, начиная с низшей Рис. 11.9. Иллюстрация вклада в форму вынужденных колебаний нескольких собственных форм, начиная с низшей Создать представление о достижимом для метода разложения по собственным формам качестве прогнозирования распределений по длине 150 балки перемещений и изгибающих моментов позволяют приведенные на рис. 11.10 и 11.11 сопоставления. На первом из них (рис. 11.10, а) представлены формы вынужденных колебаний x(ξ) (в параметре f 0 L4 EI ), соответствующие удержанию в разложении (11.23) разного числа слагаемых. Там же для сравнения приведен результат расчета методом конечных элементов (ANSYS), принимаемый за эталон. Как и следовало ожидать, основной вклад в амплитуду колебаний вносят околорезонансные формы – первая и вторая, на которых велик коэффициент динамичности μk (динамический коэффициент для первой собственной формы μ1 = −8,39 , а для второй μ 2 = 9,89 (см. табл. 11.2)). Амплитуды высших форм, вследствие роста их «жесткости» M k pk2 и уменьшения коэффициента динамичности μk быстро убывают. Таблица 11.2 Коэффициенты, использованные в расчете амплитуд вынужденных колебаний для нескольких привлекаемых в разложение (11.23) собственных форм колебаний балки Номер формы 1 γk 2 Qkf * 3 QkP* 4 QkM * 5 Qk* 6 Ck* 7 qkst* 8 9 μk 1 1,058 0,511 0,720 –0,091 1,115 53,09 214,8·10-4 –8,398 –0,167 2 0,948 –0,298 –0,217 –0,222 –0,716 66,09 –111,6·10-4 9,898 0,094 3 0,554 –0,139 –0,044 –0,658 –0,823 193,66 –43,46·10-4 1,443 –8,7·10-3 4 0,215 –0,235 –0,972 0,796 –0,402 1281 –3,212·10-4 1,049 –0,5·10-3 5 0,096 0,260 1,001 1,382 2,585 6470 4,086·10-4 1,009 0,6·10-3 6 0,053 –0,231 0,108 –3,443 –3,486 21279 –1,676·10-4 1,003 0,2·10-3 * k max x На рис. 11.10 б) приведена зависимость оценки величины амплитуды поперечных перемещений крайней левой точки балки от числа слагаемых ряда, удерживаемых в расчете. Обращает на себя внимание уменьшение с ростом числа удерживаемых слагаемых скорости асимптотического приближения суммы ряда к результату, используемому в качестве эталонного решения. Также нетрудно видеть (рис. 11.10, а), что сохраняющаяся даже при значительном (наибольшем из рассмотренных) числе членов ряда, погрешность расчета амплитуд колебаний по длине балки может менять знак: в одной части балки амплитуда колебаний может оказаться заниженной, а в другой части балки - завышенной. При обсуждении использования метода разложения по собственным формам для расчета внутренних силовых факторов на нерезонансном режиме вынужденных колебаний следует обратить внимание на два обстоятельства, сохраняющих актуальность для любой расчетной схемы однопролетной балки. Обсудим эти особенности на примере разложения по собственным формам изгибающего момента ∂ 2 x ( z, t ) . (11.26) M ( z , t ) = EI ∂z 2 151 В результате вычисления изгибающего момента согласно выражению M ( z , t )= f 0 L2 ⋅  q1 ⋅ λ12 ⋅ u1′′( z ) + q2 ⋅ λ 22 ⋅ u2′′ ( z ) + q3 ⋅ λ 32 ⋅ u3′′ ( z ) + ... ⋅ cos ωt (11.27) вклад высокочастотных членов ряда в итоговую сумму увеличивается (за счет множителя, равного квадрату собственной частоты), скорость сходимости этого ряда оказывается ниже, чем при вычислении перемещении (11.23). Так, если в перемещениях четвертое слагаемое составляет лишь 0,3 % от первого, то в изгибающих моментах это соотношение равно 2,2 %, а вклад пятой и шестой форм еще больше. Оценить эффективность применения метода разложения по собственным формам на нерезонансном режиме для расчета амплитуд перемещений и изгибающих моментов позволяют рис. 11.10 б) и 11.11 б), иллюстрирующие скорость сходимости каждого из этих рядов (в качестве эталонного решения используется результат, полученный методов конечных элементов). При удержании четырех слагаемых ряда результат расчета амплитуды перемещений крайней левой точки балки отличается от точного решения на 1,1%, а при расчете изгибающего момента (в сечении приложения внешних нагрузок) даже восемь слагаемых ряда обеспечивают существенно меньшую точность расчета: погрешность составляет 12%. б) зависимость расчетной оценки относительной амплитуды колебаний левого края балки x(0) f 0 L4 EI от ( а) распределение по длине балки поперечных отклонений x(ξ) f 0 L4 EI ( ) для установившихся вынужденных нерезонансных колебаний ) числа членов ряда, удерживаемых в разложении по собственным формам (11.23) (штриховой линией показано значение, полученное методом конечных элементов) Рис. 11.10. Иллюстрация сходимости расчета формы вынужденных колебаний 152 Вторая особенность разложения изгибающего момента по собственным формам в рассматриваемой задаче связана с фазовыми соотношениями при нерезонансном характере колебаний, когда моменты времени возникновения экстремальных значений внешних воздействий и инерционных нагрузок совпадают. Следствием этого выступает необходимость алгебраически суммировать результаты приложения и внешних вынуждающих воздействий, и инерционных сил, сопровождающих колебательное движение. В этом случае наличие сосредоточенного внешнего вынуждающего момента должно сопровождаться скачком на распределении изгибающего момента по длине балки. Указанное обстоятельство вступает в противоречие с непрерывным характером базисных функций, используемых для разложения формы изгибающего момента в ряд. На графических построениях рис. 11.10 а) можно заметить, как с увеличением числа удерживаемых слагаемых в разложении (11.27) трансформируется форма изгибающего момента, постепенно «адаптируясь» к виду, содержащему скачок. б) зависимость расчетной оценки изгибающего момента в сечении приложения сосредоточенных нагрузок М ξ =0.65 f 0 L2 от числа слагаемых, а) распределение по длине балки изгибающего момента М (ξ) f 0 L2 для установившихся вынужденных нерезонансных колебаниях удерживаемых в ряде (11.27) (штриховой линией показано значение, полученное методом конечных элементов) Рис. 11.11. Иллюстрация сходимости расчета величины амплитуды максимального изгибающего момента при установившихся вынужденных нерезонансных колебаниях 153 Однако, чтобы линейной комбинацией непрерывных функции (каковыми являются собственные формы изгибающих моментов однопролетной балки) сформировать распределение, содержащее скачок в месте приложения внешнего (вынуждающего) сосредоточенного момента, потребовалось бы бесконечное число членов ряда, что при выполнении практических расчетов недостижимо. Следствием этого обстоятельства выступает не только нестрогая оценка величины максимального значения изгибающего момента, но и погрешность в определении расположения опасного поперечного сечения. 3. Определение допускаемого условием прочности значения параметра распределенной нагрузки Для записи условия прочности max M ≤ [σ], Wx воспользуемся результатами расчета значений максимальных амплитуд изгибающих моментов (11.26), приведенных на рис. 11.11 б): − для статического нагружения max M St = 0,246 f 0 L2 ; − для нерезонансного режима установившихся вынужденных колебаний max M F = 0,978 f 0 L2 (в качестве максимального амплитудного значения изгибающего момента для метода разложения по собственным формам (в методе Фурье, решения системы дифференциальных уравнений движения в частных производных) выбрано значение, соответствующее расчету по наибольшему числу членов ряда (а именно, с удержанием двенадцати членов ряда)); − «точное» значение амплитуды изгибающего момента для режима гармонических нерезонансных колебаний принято по результатам расчета методом конечных элементов max M FEA = 1,03 f 0 L2 . Таким образом, величина допустимого значения параметра интенсивности распределенной нагрузки при статическом нагружении оказывается равной [σ ] Wx 358 Н м,  f 0St  = = 0,246 L2 величина допустимого значения параметра интенсивности распределенной нагрузки, полученная по результатам расчета колебаний методом разложения по собственным формам, оказывается почти в 4 раза ниже 1  f 0F  =  f 0St  90,0 Н м, = 3,97 = max σ 154 причем последнее значение оказывается заниженным, поскольку было получено в результате использования заниженной на 5% по отношению к «точному» значению оценки изгибающего момента. Распределения значений амплитуд вертикальных перемещений и изгибающих моментов, полученных в результате решения задачи анализа напряженно-деформированного состояния рассмотренной механической системы, приведены на рис. 11.12. Как видно из графиков на рис. 11.12, режим установившихся вынужденных нерезонансных колебаний нельзя ассоциировать со статическим нагружением. Приведенное сравнение показывает, что распределения и перемещений, и внутренних силовых факторов под действием гармонической нагрузки существенным образом отличаются от соответствующих распределений в результате статического нагружения. При гармоническом нагружении характер деформирования механической системы обуславливается действием не только заданной внешней системы сил, но и появлением инерционных нагрузок, сопровождающих колебательное движение. Равным образом не удается ассоциировать режим вынужденных нерезонансных колебаний с движением по какой-то одной собственной форме. а) поперечные отклонения б) изгибающий момент Рис. 11.12. Сопоставление распределений по длине балки поперечных отклонений и изгибающих моментов для статического и гармонического нерезонансного нагружений 155 Рассмотренный в настоящем примере случай нерезонансных установившихся колебаний заслуживает того, чтобы позиционироваться отдельно по отношению к статическому и резонансному нагружению. Интерес к такому нагружению в равной степени можно рассматривать и как академический, и как практический. Необходимость алгебраического суммирования внешней и инерционной нагрузок (особенность, отличающая нерезонансное гармоническое нагружение и от статического, и от резонансного нагружения) оказалась серьезным испытанием для метода разложения по собственным формам, отлично работающего на резонансных режимах, но уязвимого при моделировании разрывных функций распределения внутренних усилий по длине конструкции. С практической точки зрения к аналогичной задаче можно прийти при любом периодическом (нерезонансном) воздействии на динамическую систему (в результате разложения периодического внешнего воздействия в ряд Фурье). Как показано в выполненном примере, даже в случае, когда частота вынуждающего воздействия удалена от собственных частот, допустимое значение параметра внешней нагрузки оказывается существенно ниже соответствующего значения при статическом нагружении (в рассмотренном случае почти в четыре раза). Существенно, что динамические коэффициенты для соседних с рабочей собственных частот были и вовсе под 10 единиц, но при суперпозиции движений по этим собственным формам имела место их взаимная компенсация. То есть обусловленная колебательным движением инерционная добавка к внутренним усилиям взаимодействия между составными частями динамической системы даже на нерезонансном режиме способна понизить прочность конструкции в разы по отношению к статическому случаю нагружения. 156 Задача №12. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ. СЛУЧАЙ РЕЗОНАНСНОГО РЕЖИМА КОЛЕБАНИЙ Equation Chapter 1 Section 12 Условие задачи и варианты исходных данных Параметры балок и их расчетные схемы приведены на рис. 10.1 и в таблице 10.1, схема нагружения вынуждающими силами показана на рис. 11.1. Параметры вынуждающих сил и коэффициент ψ рассеяния энергии в конструкции заданы в таблице 11.1. 1. Для балки, рассмотренной в задачах 10 и 11, методом разложения по собственным формам получить решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях на частоте второго резонанса. Диссипативные свойства учесть по методу Е.С. Сорокина. 2. На резонансном режиме при ω=p2 получить распределение изгибающего момента M ( z ) по длине балки и рассчитать амплитуды изгибающих моментов. 3. Из условия прочности определить допускаемое значение [ f 0 ] интенсивности распределенной нагрузки при резонансном режиме ω=p2 . Сравнить полученное допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки при резонансном режиме колебаний со значением, полученным при решении задачи №11 для нерезонансного режима колебаний, приняв в обоих случаях одинаковые значения допустимых напряжений. Принять σ −1 = 600 МПа, [ n−1 ] = 2 . 4. Проанализировать влияние точки расположения сосредоточенных воздействий на амплитуду обобщенной вынуждающей силы и, соответственно, амплитуду вынужденных колебаний. Пример решения задачи №12 1. Установившиеся вынужденные колебания балки на резонансном режиме Формальное отличие случая резонансных колебаний от рассмотренного в задаче 11 состоит в необходимости учета демпфирования в системе, поскольку при его отсутствии формула (11.18) дает коэффициент разложения для резонирующей формы, равный бесконечности. Для введения диссипации в математическую модель рассматриваемой колебательной системы воспользуемся предложенным Е.С. Сорокиным подходом, в котором используется комплексная форма представления модуля упругости 157 * E= E (1 + i ⋅ ψ 2π ) , (12.1) где ψ=0,10 – коэффициент рассеяния в материале балки, считающийся амплитудонезависимой величиной (такой коэффициент рассеяния в колебательной системе соответствует уровню диссипации в 0,83% от критического (см. выражение (7.15)), а декремент свободных затухающих колебаний в этом случае составит 5,3% (см. выражение (7.16)). Главным достоинством такого подхода к учету диссипации в совершающей колебания балке является пропорциональный характер математической модели демпфирования, допускающий возможность представления решения дифференциального уравнения движения (11.15) неконсервативной системы в виде разложения по собственным формам консервативной системы без потери точности на диссипативную связанность главных колебаний. При гармонических вынуждающих воздействиях (11.2), (11.3), (11.4) представление решения уравнения установившихся вынужденных колебаний в виде разложения по собственным формам имеет вид, аналогичный (11.16): ∞ x ( z , t ) = ∑ qk ⋅ uk ( z ) ⋅ cos ( ωt + φ k ) , k =1 (12.2) где амплитудные значения коэффициентов разложения определяются формулой: Qk 1 (12.3) = qk = qkSt μ k , 2 2 M k pk 2  ψ ⋅ (1 − γ 2k ) +   ⋅ γ 2k  2π  а появляющиеся сдвиги по фазе φk перемещения по отношению к обобщенной вынуждающей силе Qk определяются формулой: ψ tg φ k = − 2π2 . (12.4) 1 − γk Теперь коэффициенты динамичности μk зависят и от относительной частоты возбуждения γk=ω/pk , и от демпфирования в материале балки: 1 (12.5) μk = . 2 2 ψ 2 (1 − γ k2 ) +  2π  ⋅ γk  Величины динамических коэффициентов μ k рассматриваемой механической системы и безразмерные величины статических *  f L составляющих коэффициентов qkSt = qkSt  0  нескольких собственных  EI  форм показаны на рис. 12.1. 158 Номер собственной формы Номер собственной формы б) безразмерные значения статических а) динамические коэффициенты μ k членов ряда (12.2) St * составляющих qk коэффициентов собственных форм ряда (12.2) Рис. 12.1. Составляющие вклада отдельных собственных форм в установившиеся вынужденные колебания на резонансном режиме ω = p2 Результаты расчета динамических коэффициентов μk, безразмерных * статических составляющих коэффициентов собственных форм qkSt , углов сдвига фаз φk и безразмерных значений коэффициентов собственных форм * qk* = qkSt μ k для нескольких первых собственных форм приведены в табл. 12.1. Таблица 12.1 Вклад нескольких низших собственных форм в режим установившихся вынужденных колебаний на резонансном режиме ω = p2 Номер собственного значения k Динамический коэффициент μk Безразмерная статическая составляющая коэффициента собственной формы qkSt 1 2 4,074 Угол фазового сдвига φk, град * 0,0471 –0,0245 Безразмерный коэффициент собственной формы * qk* = qkSt μ k 3,719 0,1922 –1,541 –0,0145 –7,441·10–4 9,069·10–4 3 4 62,83 1,518 1,054 –0,00954 –0,000705 –90,00 –1,384 –0,961 5 1,010 0,000897 –0,921 Расчеты показывают, что максимальная амплитуда первой формы составляет 13,5%, а третьей – всего 1,5% от максимальной амплитуды 159 второй – резонирующей формы. Вклад в резонансные колебания более высокочастотных собственных форм еще меньше. В общем случае присутствие в разложении (12.2) резонирующей формы делит члены ряда на три группы: группа членов ряда, соответствующих колебаниям в дорезонансном режиме, резонансный член и группа членов ряда, описывающих движение в зарезонансном режиме. Это предопределяет несинфазность амплитуд колебаний разных форм: перемещения, соответствующие слагаемым дорезонансной группы происходят почти синфазно с обобщенной вынуждающей силой; перемещения резонирующей собственной формы колебаний отстают от обобщенной вынуждающей силы практически на π 2 ; перемещения слагаемых зарезонансной группы находятся в противофазе с обобщенной вынуждающей силой. В рассматриваемом случае угол фазового сдвига между членами ряда, отвечающими за колебания по первой и второй собственным формам, составляет 90°. Это значит, что в момент времени, когда перемещения по второй (резонирующей) форме максимальны, перемещения по первой (дорезонансной) форме оказываются равными нулю. Равны нулю перемещения и по всем высшим формам, опережающим вторую на 90°. Следовательно, в выбранный момент времени форма вынужденных колебаний с высокой степенью точности совпадает с резонирующей второй собственной формой (гипотеза Видлера). Однако, через четверть периода колебаний, когда перемещения по резонирующей второй форме обратятся всюду в нуль, достигнут максимума перемещения по первой форме и по всем высшим формам – третьей и т.д. Поскольку амплитуда третьей формы на порядок меньше первой, можно считать, что в этот момент времени форма изогнутой оси балки близка к ее первой собственной форме. Нужно, однако, помнить, что в большинстве инженерных задач интерес представляют максимальные перемещения, а они достигаются именно в тот момент, когда балка изогнута по резонирующей второй форме. В этом смысле и следует понимать гипотезу Видлера. Как видим, она выполняется даже при достаточно высоком принятом коэффициенте рассеяния (ψ=0,1), и несмотря на то, что собственные частоты первой и второй (резонирующей) форм отличаются всего на 9%. Вклад в форму перемещений при установившихся вынужденных колебаниях от каждой собственной формы варьируется от сечения к сечению. Это означает, что если представить амплитуды колебаний каждого сечения балки в комплексной форме, то они будут иметь разные не только модули комплексных амплитуд, но и углы фазового сдвига. Представление решения задачи установившихся резонансных вынужденных колебаний в комплексной форме приведено на рис. 12.2. На рис. 12.2 (а) показаны распределения по длине балки модулей комплексных амплитуд 160 вынужденных колебаний, полученные удержанием в разложении (12.2) одного, двух и двенадцати слагаемых. Кроме того, приведена деформированная форма, соответствующая только одному – резонирующему – члену разложения. Распределение перемещений по длине балки, соответствующее резонирующему члену разложения (показанное сплошной тонкой черной линией), можно ассоциировать со «стробоскопическим» способом визуализации характера деформирования, когда фиксируется положение всех сечений в одно и тоже мгновение времени. Штриховой линией показаны положения максимальных отклонений всех сечений, которые достигаются в разные моменты времени. Такой характер деформирования получился бы на «фотоснимке» с выдержкой, превышающей один период колебаний. На рис. 12.2 (б) показаны фазы комплексных амплитуд установившихся вынужденных колебаний. Если бы левый и правый край балки двигались в противофазе (что справедливо для второй собственной формы колебаний), то разность углов фазового сдвига для левого и правого края балки составляла бы π радиан. В механической системе с демпфированием, как видно из рис. 12.2 (б), такая идеализация перестает быть справедливой. а) распределение по длине балки модуля комплексной амплитуды колебаний б) распределение по длине балки угла фазового сдвига Рис. 12.2. Иллюстрация комплексной формы представления амплитуд установившихся резонансных колебаний 161 2. Изгибающие моменты на резонансном режиме Формально определение изгибающих моментов в балке при наличии пропорционального демпфирования может быть выполнено вычислением суммы бесконечного числа членов ряда, аналогичного (11.27), но учитывающего несинфазность колебаний по различным формам: = M ( z , t ) f 0 L2 ∑  qk* λ 2k uk′′ ( z ) ⋅ cos ( ωt + φ k ) . (12.6) k Входящие в (12.6) величины qk* , λ k и φk будем рассматривать как уже предварительно подготовленные (их можно взять из табл. 11.4 и табл. 10.3). Ряд (12.6), как и в случае нерезонансных колебаний является сходящимся. Относительно сходимости этого ряда можно сделать два замечания. Во первых, как и в случае нерезонансных колебаний, сходимость ряда (12.6) в виду наличия коэффициента λ 2k при собственных формах (использующихся в качестве базисных функций) оказывается более медленной, чем для ряда (12.2), позволяющего применительно к задаче о вынужденных колебаниях разложить по собственным формам поперечные перемещения. Сходимость ряда (12.6) для изгибающих моментов оказывается даже ниже, чем сходимость ряда для углов поворота сечений, поскольку члены ряда для углов поворота содержат при базисных функциях коэффициент λ k в первой степени. Сопоставление погрешности оценки максимального изгибающего момента (достигающегося в рассматриваемой механической системе в сечении z = L ), максимального угла поворота (достигающегося также для сечения z = L ) и максимального поперечного отклонения (также для сечения z = L ) в зависимости от числа удерживаемых членов ряда и по отношению к случаю удержания максимального из рассмотренных числа членов ряда (для всех трех рядов максимальным числом членов ряда выступало 12) показано на рис. 12.3. Говоря о сходимости ряда отметим главное с практической точки зрения обстоятельство, что согласно показанным на рис. 12.3 результатам, при удержании уже трех слагаемых ряда для изгибающих моментов оценка максимального момента будет отличатся от случая удержания двенадцати слагаемых лишь на сотые доли процента, что для инженерных задач можно считать точным решением. Второе замечание относительно сходимости ряда (12.6), связано с вопросом, который обсуждался в задаче №11, о необходимости при нерезонансных колебаниях раскладывать в ряд по собственным формам разрывные функции распределения внутренних усилий от вынуждающих воздействий. В случае резонансных колебаний необходимости раскладывать в ряд разрывные функции просто нет. Фазы вынуждающих воздействий и фазы максимальных внутренних силовых факторов на резонансе отличаются на π 2 (на четверть периода). С практической точки 162 зрения интерес представляет только наибольшее значение изгибающего момента, поскольку только это значение будет привлечено в условие прочности. Наибольшим значением изгибающего момента в колебательной системе неизбежно (в результате наибольшего динамического усиления) оказывается изгибающий момент, обусловленный деформированием по резонирующей собственной форме, достигающий максимума в моменты времени, когда изгибающие моменты от вынуждающих сил оказываются равны нулю. Распределения по длине балки максимальных изгибающих моментов для трех первых форм (трех первых слагаемых ряда (12.6)), а также самой высокой из привлекавшихся к анализу распределения изгибающего момента - двенадцатой формы, представлены на рис. 12.4. Несмотря на заметную величину изгибающего момента, соответствующего первому члену разложения (12.6), его максимум во времени приходится на момент, когда второй (соответствующий резонирующей собственной форме) член ряда оказывается практически равным нулю. И наоборот, когда достигает максимального значения изгибающий момент резонирующей собственной формы, оказываются практически равными нулю остальные слагаемые ряда (12.6). Рис. 12.3. Зависимость погрешности оценки параметров деформированного состояния балки на резонансном режиме установившихся колебаний от числа удерживаемых членов ряда в разложении по собственным формам Рис. 12.4. Взаимное соотношение распределений изгибающих моментов по длине балки, соответствующих отдельным членам ряда (12.6) 163 Таким образом, несмотря на чисто формальное снижение скорости сходимости ряда для изгибающего момента, выбор собственных форм в качестве базисных функций разложения позволяет на резонансном режиме за счет фазовой исключительности резонирующей собственной формы получить возможность при выполнении прочностных расчетов использовать всего одно слагаемое ряда (12.6), соответствующее резонирующей форме. Результатом проведенного анализа возможности использовать разложение по собственным формам в качестве способа оценки установившегося режима резонансных колебаний континуальной колебательной системы может служить утверждение: после определения собственных частот, собственных форм и обобщенных вынуждающих сил, метод разложения по собственным формам сводит задачу о вынужденных резонансных колебаниях механической системы с бесконечным числом степеней свободы к задаче о колебаниях системы с одной степенью свободы. 3. Определение допускаемого значения параметра распределенной нагрузки из условия усталостной прочности Для записи условия прочности балки, деформируемой в условиях поперечного изгиба на нерезонансном режиме вынужденных гармонических колебаний σ max M (12.7) ≤ [ σ −1= max σ= ] −1 , Wx [ n−1 ] воспользуемся результатами расчета максимальных амплитуд изгибающих моментов, приведенных на рис. 11.11 (нерезонансный случай), где (12.8) max M = Μ *max ⋅ f 0 L2 . Выбрав в качестве максимального амплитудного значения изгибающего момента значение, соответствующее удержанию максимального числа членов ряда, получаем (12.9) max M = 0,978 f 0 L2 . Используя условие прочности (12.7) в качестве уравнения для определения величины искомого параметра распределенной нагрузки, получаем: 1 σ −1 Wx Н  f 0F  = (12.10) = 90,0 . 2 0,978 [ n−1 ] L м Для резонансного режима нагружения максимальное значение момента maxM берем с кривой, изображенной на рис. 12.4: (12.11) max M = 3,875 f 0 L2 . 164 Отсюда 1 σ −1 Wx Н R 22,7 . = = 2  f 0  3,875 м [ n−1 ] L (12.12) Сопоставление  f 0F  и  f 0R  показывает, что в резонансном режиме допускаемые нагрузки оказываются почти в 4 раза меньше, чем в нерезонансном. И это вполне предсказуемый результат, поскольку на резонансном режиме коэффициент динамичности (по перемещениям) оказался в 6,3 раза больше, чем максимальный коэффициент динамичности на нерезонансном режиме. Различие между двумя рассмотренными режимами на других частотах возбуждения (и в других колебательных системах) может оказаться еще больше, что зачастую диктует необходимость устранения возможности работы на резонансных режимах. 4. Минимизация амплитуды вынужденных колебаний Из свойств вынужденных колебаний известно, что k-я собственная форма не возбуждается, если система вынуждающих сил ортогональна этой форме, то есть Qk=0. Благодаря этому в системах со многими степенями свободы при действии нескольких вынуждающих сил существует возможность снижения амплитуд резонирующих форм колебаний за счет изменения расположения вынуждающих сил. Попытаемся в рассматриваемой системе минимизировать амплитуду 2-й формы за счет перемещения силы P(t) и момента M(t) в другую точку. На рис. 12.5 построены кривые зависимости составляющих M ⋅ u2′ ( l ) P ⋅ u2 ( l ) Q2f M* P* f* Q2 = , Q2 = , Q2 = f0 L f0 L f0 L и суммарной обобщенной силы трех составляющих Q2* = Q2 f 0 L от координаты l точки приложения сосредоточенных нагрузок. Приведенные на рис. 12.5 графики показывают, что при совпадении частоты вынужденных колебаний со второй собственной частотой, в случае приложения вынуждающей силы P(t) и вынуждающего момента M(t) в точке l=0, удается уменьшить амплитуду обобщенной силы (и как следствие – амплитуду вынужденных Рис. 12.5. Составляющие обобщенной силы установившихся на второй форме при изменении точки резонансных колебаний) более чем приложения сосредоточенных нагрузок в 2 раза. 165 Задача №13 Equation Chapter 13 Section 1Equation Section 13 КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ Условие задачи и варианты исходных данных Задана прямоугольная плоская рама (варианты расчетных схем показаны в таблице 13.1), состоящая из двух жестко соединенных под прямым углом стержней постоянного поперечного сечения, каждый из которых может совершать продольные, крутильные и изгибные колебания. Требуется в общем виде получить частотный определитель, из которого могут быть найдены собственные частоты совместных изгибно-продольных колебаний рамы в ее плоскости и изгибно-крутильных колебаний из плоскости рамы. Для этого необходимо: 1) записать выражения для форм продольных (крутильных) и изгибных колебаний в плоскости (из плоскости) рамы; 2) записать граничные условия для обоих стержней при изгибнопродольных (изгибно-крутильных) колебаниях; 3) записать геометрические и силовые условия сопряжения стержней; 4) получить систему уравнений для определения произвольных постоянных и частотный определитель. Расчетные схемы рам к задаче №13 Вариант 13.1 Вариант 13.2 166 Таблица 13.1 Вариант 13.3 Вариант 13.4 Вариант 13.5 Вариант 13.6 Вариант 13.7 Вариант 13.8 167 Продолжение табл.13.1 Продолжение табл. 13.1 Вариант 13.9 Вариант 13.10 Вариант 13.11 Вариант 13.12 Вариант 13.13 Вариант 13.14 168 Вариант 13.15 Вариант 13.16 Вариант 13.17 Вариант 13.18 Вариант 13.19 Вариант 13.20 169 Окончание табл. 13.1 Пример решения задачи №13 Расчетная схема рамы представлена на рис. 13.2. Рис. 13.2. Расчетная схема механической системы Введем две правые местные системы координат O1, x1, y1, z1 и O2, x2, y2, z2, связанные с недеформированным положением стержней рамы. Оси z1, z2 системы направим по осям стержней. Обозначим: u1, u2 – перемещения сечений первого и второго стержней по направлениям x1, x2 соответственно; v1, v2 – перемещения в направлениях y1, y2; w1, w2 – перемещения в направлениях z1, z2; θ1, θ2 – углы вращения относительно осей z1, z2. 1. Изгибно-продольные колебания 1.1. Формы колебаний Формы продольных колебаний стержней имеют следующий вид: = w1 ( z1 ) C1 cos ( β1 z1 ) + C2 sin ( β1 z1 ) , = w2 ( z2 ) C3 cos ( β 2 z2 ) + C4 sin ( β 2 z2 ) , (13.1) ρi p 2 = = (i 1,2) , ρi , Ei – плотность материала i -того стержня и его где β Ei модуль упругости, p – частота колебаний. 2 i 170 Формы изгибных колебаний стержней имеют следующий вид u1 ( z1 ) = C5 K1 (α1 z1 ) + C6 K 2 (α1 z1 ) + C7 K 3 (α1 z1 ) + C8 K 4 (α1 z1 ), (13.2) v1 ( z2 ) =C9 K1 (α 2 z2 ) + C10 K 2 (α 2 z2 ) + C11K 3 (α 2 z2 ) + C12 K 4 (α 2 z2 ), m01 p 2 4 m02 p 2 4 , m01, m02 – погонные плотности стержней, Jy1, Jx2 где α1 = , α2 = E1 J y1 E2 J x 2 – моменты инерции сечений стержней относительно соответствующих осей, K i (αz ) (i=1, 2, 3, 4) – функции Крылова. 1.2. Граничные условия Формы колебаний (13.1), (13.2) содержат 12 произвольных постоянных, для определения которых необходимо иметь 12 условий. Таковыми являются граничные условия на концах стержней (6 условий) и условия сопряжения стержней в точке O2 – еще 6 условий. В точке O1 при продольно-изгибных колебаниях стержня 1 условия закрепления стержня накладывают следующие ограничения: = u1 ( 0 ) 0;= u1′ ( 0 ) 0;= w1 ( 0 ) 0 (13.3) – это геометрические условия. В точке А на конце второго стержня имеем следующие силовые условия (рис. 13.3): Рис. 13.3. Иллюстрация записи силовых граничных условий на конце второго стержня E2 F2 w2′ ( l2 ) = M 2 p 2 w2 ( l2 ) , v2′′ ( l2 ) = 0, E2 J x 2v2′′′(= l2 ) (13.4) (C y2 − M 2 p 2 ) v2 ( l2 ) . 1.3. Условия сопряжения стержней 1.3.1. Геометрические условия сопряжения Геометрические условия сопряжения стержней в точке O2 очевидны. Они определяются взаимной ориентацией систем координат, связанных со стержнями: u1 ( l1 ) = w2 ( 0 ) , u1′ ( l1 ) = v2′ ( 0 ) ; w1 ( l1 ) = −v2 ( 0 ) . (13.5) 171 1.3.2. Силовые условия сопряжения стержней Для установления связи силовых факторов в стержнях в окрестности точки O2 поступим следующим образом. а. Вырежем узел O2 вместе с закрепленным в нем инерционным элементом и придадим этому узлу малые положительные обобщенные перемещения u1 ( l1 ) , w1 ( l1 ) , u1′ ( l1 ) (рис. 13.4). Равным образом можно использовать систему перемещений v2 ( 0 ) , w2 ( 0 ) , v2′ ( 0 ) б. Определим и изобразим на расчетной схеме рис. 13.4 внешние силы упругости пружин и силы инерции масс, обусловленные перемещениями узла. Это силы инерции M 1 p 2u1 ( l1 ) , M 1 p 2 w1 ( l1 ) и момент сил инерции I y1 p 2u1′ ( l1 ) . Их направления совпадают с направлениями обобщенных перемещений и показаны на рис. 13.4. Ось невесомой пружины Cy1 перпендикулярна плоскости z1z2, в которой колеблется точка O2, так что эта пружина не создает сил, влияющих на это движение. в. Действие на узел O2 отброшенных стержней заменим силами N1 и N2, Qx1, Qy2 и моментами My1, Mx2, Рис. 13.4. Схема динамического (см. рис. 13.4), направленными равновесия инерционного элемента так, что они создают в прилегающих к узлу O2 участках стержней положительные внутренние силовые факторы (см. задачу №10). г. Составим уравнения равновесия сил в проекциях на оси x1, z1 и уравнение моментов относительно оси y1, ориентируясь на знаки проекций, вытекающие из рис. 13.4: N 2 + M 1 p 2u1 ( l1 ) + Qx1 ( l= 0, )k 0 ∑ ( X1= 1) (Z ) 0 ∑= ) 0 ∑ ( M= 1 k y1 k Qy 2 ( 0 ) + M 1 p 2 w1 ( l1 ) −= N1 ( l1 ) 0, 0. M x 2 ( 0 ) + I y1 p 2u1′ ( l1 ) − M y= 1 ( l1 ) 172 (13.6) Выражая N1, N2, Qx1, Qy2, Mx2, My1 через производные функций w1, w2, u1, v2, окончательно получаем силовые условия сопряжения стержней в следующем виде: E2 F2 w2 ( 0 ) + E1 J y1u1′′′( l1 ) + M 1 p 2u1 ( l1 ) = 0, E2 J x 2v2′′′( 0 ) + M 1 p 2 w1 ( l1 ) − E1F1w1′ ( l1 ) = 0, (13.7) E2 J x 2v2′′ ( 0 ) + I y1 p 2u1′ ( l1 ) − E1 J y1u1′′( l1 ) = 0. 1.4. Получение частотного определителя Подставляя в условия (13.3), (13.4), (13.5), (13.7) функции u1(z1), w1(z1), v2(z2), w2(z2) и их производные из (13.1), (13.2), получим систему 12 линейных однородных алгебраических уравнений с 12 неизвестными коэффициентами Ci. Нетривиальное решение, соответствующее наличию изгибно-продольных колебаний в раме, существует лишь в том случае, если определитель ∆(p) полученной системы (частотный определитель), зависящий от частоты колебаний p, равен нулю. Эти частоты, обращающие ∆(p) в нуль, и являются собственными частотами изгибно-продольных колебаний. Как видно из выражений (13.1) и (13.2), определитель ∆(p) в общем случае зависит от α1, α2, β1, β2, то есть от всех упруго-массовых и геометрических характеристик обоих стержней E1, E2, ρ1, ρ2, F1, F2, Jy1, Jx2, а также от параметров M1, M2, Cx1, Cy2, Ix1, Iz2 присоединенных сосредоточенных элементов, что значительно усложняет интерпретацию получаемых результатов. 2. Изгибно-крутильные колебания рамы 2.1. Формы колебаний Формы крутильных аналогичны формам (13.1) продольных колебаний, а именно: = θ1 ( z1 ) C1 cosβ1k z1 + C2 sinβ1k z1; (13.8) = θ 2 ( z2 ) C3 cosβ 2 k z2 + C4 sinβ 2 k z2 ; 2 ik где β = J piρi p 2 (i=1, 2), ρi, Gi– плотность и модуль сдвига материала Gi J ki стержней, Jpi, Jki – полярный момент инерции и геометрический фактор жесткости на кручение сечения стержней. 173 Формы изгибных колебаний стержней из плоскости рамы совпадают с (13.2): v1 ( z1 ) = C5 K1 (α1′ z1 ) + C6 K 2 (α1′ z1 ) + C7 K 3 (α1′ z1 ) + C8 K 4 (α1′ z1 ); (13.9) u2 ( z2 ) =C9 K1 (α′2 z2 ) + C10 K 2 (α′2 z2 ) + C11K 3 (α′2 z2 ) + C12 K 4 (α′2 z2 ); m01 p 2 m02 p 2 4 ; m01, m02 – погонные плотности стержней; где α′ = = , α′2 E1 J x1 E2 J y 2 4 1 Jx1, Jy2 – моменты соответствующих осей. инерции сечений стержней относительно 2.2. Граничные условия В точке O1 при изгибно-крутильных колебаниях стержня 1 должны выполняться три геометрических условия: (13.10) = v1 (0) 0;= v1′(0) 0 . θ1 (0) 0;= В точке А на конце второго стержня имеем три силовых условия: (13.11) θ′2 (l2 ) = 0; u2′′(l2 ) = 0; E2 J y 2u2′′′(l2 ) = − M 2 p 2u2 (l2 ) . При записи третьего условия из (13.11) считается, что пружина Cy2 не создает силы в направлении x2. 2.3. Условия сопряжения стержней 2.3.1. Геометрические условия сопряжения (13.12) −u2 (0), −θ 2 (0), −u2′ (0). v1 (l1 ) = v1′(l1 ) = θ1 (l1 ) = 2.3.2. Силовые условия сопряжения а. Аналогично предыдущему случаю вырезаем узел O2 и придаем ему малые положительные обобщенные перемещения v1 (l1 ), v1′(l1 ), θ1 (l1 ) . б. Определяем величины и направления силы упругости пружины Cx1 и сил инерции массивного элемента M1, приложенных к узлу O2 (рис. 13.5). Сила упругости C y1v1 (l1 ) обусловлена перемещением узла v1(l1) и направлена в сторону, противоположную перемещению. Сила инерции M 1 p 2v1 (l1 ) массивного элемента также обусловлена его перемещением v1(l1), но направлена в сторону перемещения, что и показано на рис. 13.5. Момент сил инерции I y 2 p 2θ1 (l1 ) обусловлен поворотом массивного элемента вокруг его оси, совпадающей с осью z1, а момент сил инерции I z 2 p 2v1′(l1 ) – поворотом массивного элемента на величину v1′(l1 ) вокруг оси z2. Оба эти момента направлены в сторону обобщенных перемещений θ1 и v1′ соответственно (см. рис. 13.5). 174 Рис. 13.5. Схема динамического равновесия инерционного элемента в. Действие на узел O2 отброшенных стержней заменяем внешними силами Qy1, Qx2 и моментами Mx1, My2, T1, T2, направленными таким образом, чтобы вызванные ими поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты в участках стержней, прилегающих к узлу O2, были положительными. Такие силы и моменты показаны на рис. 13.5. г. Составляем уравнения равновесия сил в проекциях на ось y1 (или x2) и уравнения равновесия моментов относительно осей z1 и z2 : = Qx 2 (0) +M 1 p 2v1 (l1 ) − C y1v1 (l1 )= + Qy1 (l1 ) 0, ∑ (Y1 )k 0 ∑ (M ) = ) ∑ (M= z1 k 0 − M y 2 (0) + I y 2 p 2θ1 (l1 ) − T1 (l1 ) = 0, z2 k 0 T2 (0) − I z 2 p 2v1′ (l1 ) + M= 0. x1 (l1 ) (13.13) Выражая Mx1(l1), T1(l1), My2(0), T2(0), Qy1(l1), Qx2(0), через производные функций θ1, θ2, v1, u2, получаем E2 J y 2u2′′′(0) + E1 J x1v1′′′(l1 ) + ( M 1 p 2 − C y1 ) ⋅ v1 (l1 ) = 0, I y 2 p 2θ1 (l1 ) − G1 J k1θ1′ (l1 ) − E2 J y 2u2′′(0) = 0, (13.14) E1 J x1v1′′(l1 ) + G2 J k 2θ′2 (0) − I z 2 p 2v1′(l1 ) = 0. 2.4. Получение частотного определителя Подставляя в условия (13.10)–(13.14) функции v1(z1), u2(z2), θ1(z1), θ2(z2) и их производные из выражений для форм колебаний (13.8), (13.9), получаем 175 систему 12-ти линейных однородных алгебраических уравнений относительно 12-ти неизвестных коэффициентов Ci (i = 1, 2, …, 12):                              0, C3 ⋅ sin ( β 2 k l2 ) + C4 ⋅ cos ( β 2 k l2 ) = C1 = 0; C5 = 0; C6 = 0; (13.15) (13.16) (13.17) 0, C9 ⋅ K 3 (α′2l2 ) + C10 ⋅ K 4 (α′2l2 ) + C11 ⋅ K1 (α′2l2 ) + C12 ⋅ K 2 (α′2l2 ) = C9  M 2 p 2 ⋅ K1 (α′2l2 ) + E2 J y 2α′23 ⋅ K 2 (α′2l2 )  + +C10  M 2 p 2 ⋅ K 2 (α′2l2 ) + E2 J y 2α′23 ⋅ K 3 (α′2l2 )  + + C11  M 2 p 2 ⋅ K 3 (α′2l2 ) + E2 J y 2α′23 ⋅ K 4 (α′2l2 )  + + C12  M 2 p 2 ⋅ K 4 (α′2l2 ) + E2 J y 2α′23 ⋅ K1 (α′2l2 )  = 0, C7 ⋅ K 3 (α1′l1 ) + C8 ⋅ K 4 (α1′l1 ) + C9 = 0, C3 + C7 ⋅ α1′ K 2 (α1′l1 ) + C8 ⋅ α1′ K 3 (α1′l1 ) = 0, C2 sinβ1k l1 + C10α′2 = 0, C7  E1 J x1α′23 ⋅ K 4 (α1′l1 ) + ( M 1 p 2 − C y1 ) ⋅ K 3 (α1′l1 )  + + C8  E1 J x1α′23 ⋅ K1 (α1′l1 ) + ( M 1 p 2 − C y1 ) ⋅ K 4 (α1′l1 )  + 0, + C12 ⋅ E2 J y 2α′23 = 0, C2  I y 2 p 2 sinβ1k l1 − G1 J k1β1k cosβ1k l1  − C11 ⋅ E2 J y 2α′22 = C4 ⋅ G2 J k 2β 2 k + (13.18) + C7  E1 J x1α1′2 ⋅ K1 (α1′l1 ) − I z 2 p 2α1′ ⋅ K 2 (α1′l1 )  + + C8  E1 J x1α1′2 ⋅ K 2 (α1′l1 ) − I z 2 p 2α′ ⋅ K 3 (α1′l1 )  = 0. В рассматриваемом случае, благодаря однородным граничным условиям (13.10), три произвольных постоянных определяются сразу, так что система уравнений (13.18) сводится к девяти уравнениям относительно девяти неизвестных. Приравнивая нулю определитель полученной системы, получаем ∆(p), зависящий при фиксированных параметрах системы от частоты собственных колебаний p. Частоты pk (их бесконечное множество), обращающие ∆(p) в нуль, являются собственными частотами связанных изгибно-крутильных колебаний рамы. 176 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бабаков, И.М. Теория колебаний: учебное пособие / И.М. Бабаков. – М.: Дрофа, 2004. – 591 с. 2. Бутенин, Н.В., Введение в аналитическую механику / Н.В. Бутенин, Н.А. Фуфаев. – 2-е изд., пер. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 256 с. 3. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов / В.Л. Бидерман. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. – 414 с. 4. Вибрации в технике: справочник. Т. 1: Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. – М.: Машиностроение, 1978. – 352 с.: ил. 5. Гантмахер, Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер. – М.: Физматлит, 2005. – 264 с. 6. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. – 3-е изд., пер. и доп. – Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1976. – 320 с.: ил. 7. Редько, С.Ф. Идентификация механических систем / С.Ф. Редько, В.Ф. Ушкалов, В.П. Яковлев. – Киев: Наукова думка, 1985. – 215 с. 8. Стрелков, С.П. Введение в теорию колебаний: учебник / С.П. Стрелков. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 440 с. 177

Аналитическая динамика и теория колебаний

Related documents

Products

Support

Аналитическая динамика и теория колебаний

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib