Usikkerhetsberegning knyttet til pendel-oppgave
Rapport
mohamud A. Hersi
Hjemmeoppgave, February 2022
1
Innledning
I denne oppgaven skal vi gjøre et hjemmeforsøk med pendel. Vi vet allerede at
tyngdeakselerasjonens g = 9.8 så vi skal ikke oppfinne hjulet på nytt, men hensikten med forsøket er å bruke planpendelen for å øve på usikkerhetsberegning.
2
Metode
Dette forsøket ble gjort på bibliotekt på Bjørvika. Der har de fine galge-lignende
lamper som er ideelle for pendeloppsett. Pendelen vår bestod av en skrue, som
vi hang fra lampen med en sytråd. Vi prøvde å ha lampen stående, men da
traff pendelen undersiden av bordet, Så det var bedre å ha den på langs. Utstyr
og oppsettet er illustrert i figur 1, 2 og 3. Tidtakeren vår er mobilen som
brukes til å ta bildet.
Vi tok 3 forskjellige målinger av 5 perioder, og tok
gjennomsnittet av de tre målingene for å finne svingetiden t for de forskjellige
pendellengdene. For eksempel, for L = 0.388m målte vi 6.5s, 6, 63s og 6, 68s.
Da ble gjennomsnitstiden
19, 81s
1X
ti =
= 6, 603s
(1)
t̄ =
n
3
Deretter fant vi perioden T ved å dele på 5. Vi anslo målesikkerheten vår for t
til å være forskjellen mellom den største og den minste målingen, som gir oss
∆t =
6, 68 − 6, 5
= 0.18
2
(2)
For pendellengden L anslo vi vår målesikkerhet til å være ∆L = ±2mm og
massesenteret på loddet/skruen til å være et sted mellom ”hodet”, og midtpunktet av ”halsen”. Beklager fattig språk her, men vi er ikke byggfolk heller.
Det at loddet hadde en uniform masse bød på sine problemer som vi kommer
tilbake til. Vi fant de relative usikkerhetene for pendellengden Lrel og perioden
Trel ved å bruke formelen
∆y
∆yrel =
(3)
y
1
Deretter beregnet vi g ved å omgjøre formelen som ble gitt i oppgaveteksten
s
L
T = 2π
(4)
g
som gir oss g som
(2π)2 L
(5)
T2
Ettersom det er sammensatt størrelse, fant vi dets relative usikkerhet ved å
addere de relative usikkehetene i T og L.
g=
3
Resultater
Tabellen i figur 4 viser forholdet mellom L, T og g og deres respektive usikkerheter. Vi fant at gjennomsnittsverdien av g er
1X
44.14
ḡ =
gi =
= 8.828m/s2
(6)
n
5
Standardavviket fikk vi som
σ=
1X
(gi − ḡ)2
n
! 21
= 0.1708461296 ≈ 0.171
(7)
Figure 1: Utstyret for forsøket. Mutterne ble ikke brukt som en del av pendelen
likevel.
2
og standardfeilen σm , som er standardavviket på gjennomsnittet får vi ved
σ
0.171
σm = √ = √ = 0.07647352483 ≈ 0.0765
n
5
(8)
Hvis vi antar at målingene av g er normaltfordelt, kan vi skrive
g = ḡ ± 2σm = 8.828 ± 0.153
(9)
som gir oss g i slyngingsrommet [8.765-8.981].
Figur 5 viser grafiske fremstillingen av regresjonalyse av T 2 mot L. Vi skulle
ha fått g som stigningstallet på den lineære funksjonen som har likning:
y = 0.06x + 0.14
Dette avviker veldig fra det vi har funnet så langt.
4
Diskusjon
Det er alt for mange variabler som bidrar til usikkerheter når man gjør dette
forsøket hjemme. Derfor tror vi ikke noen av disse målingene eller resultatene
s
Figure 2: Pendelen hengende i ro. Lengdemålinger ble gjort fra nedre kantlinjen
hvor snora henger som det første referansepunktet.
3
våre er nøyaktige, men det kan også stilles spørsmål ved hvor presise de er ettersom det er store variasjoner i våre funn av g, for eksempel, eller dets relative
usikkerhet. Vi vet at den sanne verdien for g er 9.81m/s2 , men regresjonsanalysen ga oss g = 0.06. Et annet problem med å gjøre regresjonsanalysen er at
vi ikke fikk opp en korrelasjonskoeffisient R. Vi vet ikke om det betyr at plottet var så dårlig, men det er ikke vanskelig å se at den korrelasjonkoeffisienten
hadde vært langt nærmere 0 enn 1.
Noen usikkerhetsfaktorer er det at det var vanskelig å måle en nøyaktig periode. Ettersom loddet vi brukte ikke var av en uniform masse og vi ikke festet
snoren vår i massetyngdepunktet, men litt over det, medførte det at loddet spant
når det ble satt i bevegelse. Denne spinningen gjorde også at banen til loddet
ikke var lineær, men litt elliptisk. Felles for usikkerhetskildene er at det er våre
menneskelige mangler, som vår evne til å måle tiden og pendellengden nøyaktig.
Men vi prøver å eliminere den feilen ved å være konsekvente i målingene våre,
ved å f.eksempel to referansepunkter for målingen av pendellengden, eller starte
klokken på nå når vi teller 3 − 2 − 1 − nå! og forsøke å stoppe på toppen av
perioden hver gang, som er enklere sagt enn gjort.
Alt i alt, kan vi konkludere at hensikten med forsøket var oppnådd- vi fikk
god trening på å beregne usikkerheter og på å tenke mer kritisk/praktisk over
metodikken i forsøk. Det var god trening i selvrefleksjon også. Vi fikk øynene
Figure 3: Nærbilde av skruen. Lengdemålinger ble gjort til der sytråden henger
i butteren som det andre referansepunktet.
4
Pendellengde L
0.235
0.388
0.56
1.13
1.31
Periode T (s)
1.06
1.321
1.588
2.38
0.3987
∆T
0.09
0.018
0.86
0.337
0.096
∆Trel
0.085
0.0136
0.542
0.241
0.08
∆Lrel
8.5x10−3
5.155x10−3
3.571x10−3
1.7699x10−3
1.527x10−3
g
8.257
8.982
8.767
8.876
8.988
∆grel
0.094
0.019
0.546
0.243
0.0815
Figure 4: Tabell over måledata og analytiske funn.
opp for våre egne biaser og mangler. I blant kan man finne seg selv ”ønske” å
få et viss utfall- vi ville jo gjerne regne oss frem til riktig verdig verdi for g, men
vi målle la egoet ligge og være objektive om forsøket og bruke de måledataene
vi har fått.
5
Didaktisk kommentar
Dette forsøket er utmerket for å demonstrere for elevene at det ikke skal mye
til for å være en ”forsker”. Man ikke trenger å være et geni i labfrakk som
jobber i et svært forskningsfirma for å utføre vitenskapelige eksperimenter. Du
kan gjøre det hjemme i din egen stue med så enkle instrumenter som dette, og
få trening i den vitenskapelige metoden. Derfor hadde vi brukt dette som et
motiverende prosjekt for elevene kanskje ved starten av semesteret i fysikk 1 slik
Figure 5: ”best fit” plot av regresjonsanalysen av T 2 mot L
5
at det hadde vært selvtillitsøkende og og engasjerende øvelse. Dette passer bra
til kompetansemålet planlegge og gjennomføre forsøk, analysere data og
trekke konklusjoner. Man kunne gjort forsøket til en større del av fysikkundervisningen ved å ta det bruke igjen i fysikk 2, men denne gangen med litt større
forventninger og større fokus på læringsutbytte. Kompetansemålet planlegge,
gjennomføre og videreutvikle forsøk, og analysere data og beregne
usikkerhet for å vurdere gyldigheten av funn legger til rette for at man
skal kunne videreutvikle forsøket, så da kunne man gjort det over lengre periode
i to omganger kanskje.
Ulempen med dette forsøket er at det er et enkelt og ensidig forsøk, derfor
har er det litt begrenset. For de teoretisk sterke elevene som er veldig motiverte
for faget kan det kanskje bli litt kjedelig. I fysikk 2 kan man eventuelt utfordret dem til å skrive en kode til modellerer pendelen. På den måten får man
tilpasset undervisning for de forskjellige elevene. Forsøke vil fungere veldig godt
for de mer praktisk anlagte elevene som liker å få bevege på seg og få en mer
”hands - on” undervisning. En annen utfordring ved denne øvelsen kan være
at det er vanskelig for å forstå dette med antall gjeldene siffer og når man skal
avrunde. Det opplevde vi var vanskelig til tross for å ha lest igjennom relevant
pensum. Dette kunne man enkelt løst ved å ta en grundig time eller to i forkant
av eksperimentet med mange eksempler.
6