L1 Maths-Info
Analyse 2
Partiel du jeudi 21 février 2019
Durée : 2H
Les téléphones portables doivent être éteints.
Les documents ne sont pas autorisés. Seule la calculette de l’Institut Galilée est autorisée.
Exercice 1 Inégalités de convexité
1. Montrer que la fontion tangente est convexe sur 0, π2 .
2. En déduire que l’on a
h πh
∀x ∈ 0,
2
et
h πi
∀x ∈ 0,
4
,
,
x ≤ tan x
tan x ≤
4
x
π
Exercice 2 Dérivées d’ordre n, convexité
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
1
.
1+x2
1. Justifier, à l’aide de propriétés du cours, que f est de classe C ∞ sur R.
2. On considère pour tout entier naturel n la propriété (Pn ) suivante :
Il existe une fonction polynomiale Qn telle que pour tout réel x , f (n) (x) =
Qn (x)
.
(1 + x2 )n+1
(a) Montrer que (P0 ), (P1 ) et (P2 ) sont vraies. On donnera les expressions de
Q0 (x), Q1 (x) et Q2 (x).
(b) Etudier la convexité de la fonction f sur R. On précisera les points d’inflexion
éventuels de la courbe représentative de f .
(c) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, (Pn ) est vraie.
On donnera une relation entre Qn+1 (x) et Qn (x).
Exercice 3 Sommes de Darboux
1. Rappeler la valeur de la somme
n−1
X
q k pour q dans C \ {1} et n dans N∗ .
k=0
2. Calculer pour n dans
N∗
la somme
n−1
X
k
en .
k=0
3. Lorsque f est la fonction exponentielle sur l’intervalle [0, 1], donner les expressions
des sommes de Darboux Sn− (f ) et Sn+ (f ), puis les calculer.
1
ex − 1
.
x→0
x
Z 1
et dt sans faire appel à la notion de primitive.
5. En déduire le calcul de
4. Rappeler la valeur de lim
0
Exercice 4 Calcul intégral et primitives
1. Justifier que la fonction Arctan admet des primitives sur R.
2. Donner toutes les primitives sur R de la fonction g définie sur R par g(x) =
Z x
Arctan t dt.
3. Calculer pour tout x réel l’intégrale
0
En déduire toutes les primitives sur R de la fonction Arctan.
2
x
.
1+x2