Dépt. de Mathématiques - UMC 1
M2-MAEF
2023/2024
Corrigé de l’Examen de Statistiques des Valeurs Extrêmes
Exercice 1: Questions de cours (13pts)
1. Dans la gestion de risque, quelles sont les deux quantités qu’on calcule souvent pour mésurer
le risque. (0.5pt)
Solution: la volatilité et la Value-at-Risk.
2. Soient X1 , ..., Xn n-variables aléatoires. Qu’est-ce qu’une statistique d’ordre extrême de la suite
(Xn )n≥1 ? Donner la fonction de répartition de Mn et mn . (2 pts)
Solution: Les statistiques d’ordre extrême sont définies comme termes du minimun
(X1,n ) et du maximum (Xn,n ) des variables aléatoires (Xn )n≥1 .
F (Mn ) = P (Mn ≤ x) = P (Xn,n ≤ x) = P (max(X1 , X2 , ..., Xn ) ≤ x) =
P (X1 ≤ x, X2 ≤ x, ..., Xn ≤ x) = P [∩ni=1 (Xi ≤ x)] =
n
Y
P (Xi ≤ x) =
i=1
n
Y
F (x) = [F (x)]n
i=1
F (mn ) = P (mn ≤ x) = P (X1,n ≤ x) = 1 − P (X1,n > x) = 1 − P [∩ni=1 (Xi > x)] =
1−
n
Y
i=1
P (Xi > x) = 1 −
n
Y
(1 − F (x)) = 1 − [1 − F (x)]n
i=1
3. Qu’est ce que cette expression signifie ”H ∈ RV ρ ”? Que représente RV ρ ? (1 pt)
1
Solution: H ∈ RV ρ signifie que la fonction H est à variations régulières d’indice
ρ∈R
RV ρ est l’ensemble des fonctions à variations régulières d’indice ρ ∈ R.
4. Expliquez le concept de domaine d’attraction dans la distribution des valeurs extrêmes. (1pt)
Solution: Le domaine d’attraction en TVE se réfère à la classe de distributions qui
converge vers une distribution limite extrême.
5. Quel est le rôle et l’utilité de la fonction de moyenne des excès? Donner sa formule. (1.5pt)
Solution: La fonction de moyenne des excès mesure l’excès moyen au-dessus d’un
seuil (u). Elle est utilisée pour modéliser les valeurs extrêmes au-delà d’un certain
seuil. Son expression: e(u) = E(X − u|X > u)
6. Qu’est-ce que la Value at Risk (VaR) et comment est-elle calculée? (1.5pt)
Solution: La VaR est une mesure du risque financier qui
estime la perte maximale probable dans un portefeuille à un niveau de confiance
spécifié sur une période définie.
Expression: V aR(h, α) = F −1 (α)
7. Donner deux iconvénients de la VaR Gaussienne. (1pt)
Solution: l’asymétrie/les queues épaisses/le clustering (avec explication).
8. Comparez la VaR historique et la VaR bootstrap en expliquant leurs avantages et inconvénients
respectifs. (2pts)
Solution: La VaR historique utilise des données passées réelles, tandis que
la VaR bootstrap génère plusieurs échantillons bootstrap à partir des données et
utilise ces échantillons pour estimer la distribution de la VaR.
L’avantage: n’imposent pas d’hypothèse sur la loi de distribution des rentabilités.
L’inconvénient: le surajustement, c.à.d. elles impliquent la dépendance trop forte à
l’échantillon sur lequel elles ont été déterminées.
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9. Comment la TVE aide à mesurer le risque? (1pt)
Solution: la TVE s’interoge pour permettre de modéliser la queue de la distribution
des pertes financières (d’un portefeuille d’investissement).
10. Donner la définition mathématique de la fonction de répartition des exès au-dessus d’un seuil
u. Donner la fonction de survie. (1.5pt)
Solution:
1/
Fu (y) = P (X − u ⩽ y|X > u) =
F (u + y) − F (u)
,
1 − F (u)
0 < y < xF − u.
2/
Fu (y) = P (X − u > y|X < u) = 1 − Fu (y) =
F (u + y)
, 0 < y < xF − u.
F (y)
Exercice 2 (7pts)
On considère un échantillon (X1 , ..., Xn ) de variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées, où la fonction de densité f est définie par:
(
0
si x < 0
f (x) =
λ − exp(−λx) sinon
1. Montrer que f est une fonction de densité.(2pts)
Solution:
1/ f continue et positive
R
2/ ∞ f (x)dx = 1
2. Calculer la fonction de répartition et de survie F associée. (2pts)
(
C
si x < 0
Solution: F (x) = ∞ f (x)dx =
1
λx + λ exp −λx + C sinon
(
1−C
si x < 0
F (x) = 1 − F (x) =
1 − λx − λ1 exp −λx − C sinon
R
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3. Supposons que la fonction de répartition est F (x) = 1 − exp(−x):
Appliquez le théorème de Belkema-de Haan et Pickands pour identifier la distribution des
valeurs extrêmes. (2pts)
Solution:
F (u + y) − F (u)
, y ⩾ 0.
1 − F (u)
exp(−u) − exp(−u − y)
Fu (y) =
, y ⩾ 0.
exp(−u)
Fu (y) = 1 − exp(−y), y ⩾ 0.
Fu (y) =
Donc F appartient au domaine d’attraction de Gumbel car ξ = 0.
4. Utilisez la méthode de maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres de la distribution
des valeurs extrêmes. (1pt)
Solution: Si ξ = 0 :
La fonction de vraisemblance donnée par:
L(0, σ) =
n
Y
g0,σ (yi ).
i=1
La log-vraisemblance est égale à:
log L(0, σ) =
=
n
X
log g0,σ (yi ).
i=1
n X
− log σ −
i=1
yi .
σ
En déviant l’éxpresion par rapport à σ, on obtient:
n
d log L(σ, Y )
−n
1 X
=
+ 2
yi = 0.
dσ
σ
σ i=1
Donc:
n
−n
1 X
+ 2
yi = 0.
σ
σ i=1
Nous obtenons alors:
n
σ̂ =
1X
yi .
n i=1
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