Algèbre 1 : AS1
Année universitaire 2023/2024
Dr. S. DIOUF
Premier semestre
Espaces vectoriels
Exercice 1 Déterminer si R2 , muni des lois internes et externes suivantes
est un espace vectorirl sur R.
Pour tout (a, b) et (c, d) dans R2 et λ dans R :
1) (a, b) + (c, d) = (a + b, b + d) ; λ(a, b) = (a, λb).
2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; λ(a, b) = (λ2 a, λ2 b).
3) (a, b) + (c, d) = (c, d) ; λ(a, b) = (λa, λb).
Exercice 2 On considère les espaces vectoriels Rn , pour n = 2, 3, 4 et
F(R, R) muni des lois usuelles.
1)Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de F(R, R) ou
de Rn sur R ?
E1 = {(x, y, z) ∈ R3
/ x + 2y − 3z = 0}
E − 2 = {(x + y, x − y, 2y) / (x, y) ∈ R2 }
E3 = {(x, y, z) ∈ R3
/ xy = 0}
E4 = {(x, y, z, t) ∈ R4
/ x = 0 et y = z}
E5 = {(x, y, z, t) ∈ R4
/ x + 2y − 2t = 0 et x − 3y + 9z = 2}
E6 = {(x, y) ∈ R2
/ x2 + xy ≥ 0}
E7 = {(x, y) ∈ R2
/ x2 + xy + y 2 ≥ 0}
E8 = {(x, y, z) ∈ R3
/ x = 1}
1
E8 = {(x, y, z) ∈ R3
/ 3x + 2z = α − y}(discuter selon les valeurs de α).
E9 = {f ∈ F(R, R) / f (1) = 0}
E11 = {f ∈ F(R, R) / f (0) = 1}
E12 = {f ∈ F(R, R) / f
est croissante}
E13 = {f ∈ F(R, R) / f
est paire}
L’ensemble ses suites de reéls (un )n∈N
/∀n ∈ N, 3un+1 − 2un = 0}.
2) Soit f ∈ F(E, F ) où E et F sont espaces vectoriels. Montrer que kerf et
Imf sont sous espaces vectoriels respectifs de E et de F .
Exercice 3 Soit B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 .
1. On pose u1 = e2 + 2e3 , u2 = e3 − e1 et u3 = e1 + 2e3 .
Montrer que B ′ = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 .
2. On pose v1 = e1 + 2e2 + 2e3 et v2 = e2 + e3 .
a. Montrer que (v1 , v2 ) est une famille libre.
b. Déterminer un vecteur v3 tel (v1 , v2 , v3 ) soit une base de R3 .
3. On pose w1 = (1, 1, 1), w2 = (1, 2, 3) et w3 = (2, 3, 1).
a. Montrer que B ′ = (w1 , w2 , w3 ) est une base de R3 .
b. Déterminer les cordonnées de (1, 1, 4) dans B ′
Exercice 4 Déterminer la dimension de
1){(x, y, z) ∈ R3 / 2x+y−3z = 0} 3) {(x−y, 2x+3y, −x+y)/(x, y) ∈ R2 }
2) {(x, y, z) ∈ R3 / x = 2y = 3z}
4) {(−x−y, x+2y, 2x+y)/(x, y) ∈ R2 }.
Exercice 5
1) Montrer que (cos, sin) est une famille libre de RR .
2) La famille (1, cos, sin, cos2 , sin2 ) est-elle libre dans RR ?
3) Montrer que (1, X + 1, X 2 + X + 1) est une base de R[X].
2
Exercice 6
1) Vérifier que (1, 1) et (2, 3) engendrent R2 .
2) Conclure.
Exercice 7 Soit F = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) une famille de R4 où u1 = (1, 1, 1, 1),
u2 = (1, 2, 3, 4), u3 = (3, 1, 4, 2), u4 = (10, 4, 13, 7), u5 = (1, 7, 8, 14).
1. Déterminer le rang de la famille F. La famille F est-elle libre ?
2. Extraire de F une base de E = V ect(u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ).
3. Déterminer une équation caractéristique de E.
Exercice 8 Soit F1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0},
F2 = {(x, y, z) ∈
R3 /x+2y−z = 0}, G1 = V ect((1, 1, 1), (1, 1, 0)) et G2 = V ect((1, −1, 1), (1, 0, 0)).
Déterminer une base, ainsi que la dimension, de : F1 ∩ F2 , F1 ∩ G1 et G1 ∩ G2 .
Exercice 9 Soient P0 , P1 , P2 et P3 , les polynômes de R2 [X] défins par :
1
1
1
P0 = (X − 1)(X − 2), P1 = X(X − 1), P2 = 2X(X − 2), P3 = (X −
2
2
3
1)(X − 3).
1) Exprimer 1, X, X 2 en fonction de P0 , P1 et P2 .
2) On note F = vect{P0 , P1 } et G = vect{P2 , P3 }.
Calculer dimF , dimG, dim(F + G) et dim(F ∩ G).
Exercice 10 Soient un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F ∪ G est un sous-espaces vectoriels de E si et
seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 11 Soient les ensembles suivants : E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = z}
et E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}.
1) Montrer que E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels de R3 .
2) Montrer, par deux méthodes, que R3 = E1 ⊕ E2
3