Licence Economie-Gestion, 2e année, 2021–2022.
Mathématiques : Algèbre linéaire.
Travaux dirigés d’Algèbre Linéaire
1
Vecteurs
Exercice 1. 1
Soient X = −2 , Y =
3
0
2
−5
,Z=
1
0
1
. Calculer les expressions suivantes :
−X + 2Y, −X + 2Z, Y + Z, (−X + 2Y ) + 2Z, 2Y + (−X + 2Z), −X + 2(Y + Z).
Exercice 2. 3
0
−3
Soient X = −1 , Y = 4 , Z = −2 . Calculer les expressions suivantes :
2
0
2
−X + 2Y, −X + 2Z, Y + Z, (−X + 2Y ) + 2Z, 2Y + (−X + 2Z), −X + 2(Y + Z).
Exercice 3.
Soient X = ( 31 ) et Y = ( 20 ). Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires des vecteurs
X et Y :
−1 ( 11 ), −5
−1 ,
3 .
Exercice 4.
Soient X = ( 24 ) et Y = ( 03 ). Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires des vecteurs
X et Y :
( 27 ), ( 60 ), −44 .
2
Matrices
Exercice 5.
Soit le vecteur colonne C = ( 14 ) et le vecteur ligne L = ( −2 2 ).
1. Calculer les expressions suivantes :
C T , C T + L, LC.
2. Soit A la matrice 2 × 2 A = ( 12 20 ). Calculer AC, LA et LAC.
Exercice 6.
−3 Soit le vecteur colonne C =
et le vecteur ligne L = ( 1 5 1 ). Calculer les expressions suivantes :
0
2
C T , LT , 2C − LT , 2C T − L.
Exercice 7.
On considère dans cette question les matrices A et B suivantes :
A = ( 10 00 ), B = ( 00 10 ).
Calculer AB et BA.
Exercice 8.
Soit A = ( 12 04 ), B =
1 −2
0 1
,C =
1 0
24
05
,D=
−1 2 4
122
, E = ( 10 01 00 ). Calculer 2A − B, D + E, AB,
BA, B 2 , C 2 , CB, AD, CD, DC.
Exercice 9.
0 1 −1 3 0 −1 −1 2 4
Soient A =
et X =
122 , B = 1 0 241
1 .
235
0 −2
321
2
Lorsqu’elles ont un sens, calculer les expressions A + X, A + B, AB, BA, B T A , B + AB, A + AB,
AX, BX, X T B.
Exercice 10.
On considère les formules suivantes :
1. (In − A)(In + A) = In − A2 ,
2. (A − B)(A + B) = A2 − B 2 ,
3. (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
Lesquelles de ces formules sont vraies indépendamment du choix des matrices A et B de taille n × n ?
3
Sous-Espaces Vectoriels
Exercice 11.
Déterminer si les ensembles suivants sont des SEVs de R3 .
E1 = {x ∈ R3 : x2 > 0},
E3 = {x ∈ R3 : 3x1 − 7x2 + x3 = 0},
E2 = {x ∈ R3 : x3 = −x1 },
E4 = {x ∈ R3 : x1 + x2 = 2}.
Exercice 12.
Déterminer si les ensembles suivants sont des SEVs de R3 ou R4 .
E1 = {x ∈ R3 : x1 x2 = 0},
E2 = {x ∈ R3 : x1 − 2x3 = 4},
E3 = {x ∈ R4 : x3 − x1 + 2x2 + x4 = 0},
E4 = {x ∈ R3 : 2x1 + x2 − x3 = 0 et x1 + x3 = 0}.
Ecrire (si possible) sous forme matricielle les systèmes associés et retrouver les conclusions précédentes.
Exercice 13.
Mettre sous forme matricielle les systèmes d’équations linéaires suivants dans R3 :


x2 + x3 = 1

 x1 − 2x2 − x3 = 0
3x1 − x2 − 2x3 = 2 , (S2 )
x2 + x3 = 1 ,
(S1 )


x1 +
x3 = 1
x1 +
x3 = 1
(S3 )
x1 + x2 + x3 = 0
, (S4 )
4x1 − x2 − 3x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
.
2x1 + 4x2 + 6x3 = 10
Les ensembles de solutions sont-ils des SEV de R3 ?
4
Systèmes d’équations linéaires
Exercice 14.
En raisonnant par équivalences, résoudre ces systèmes de deux équations à deux inconnues :
11x + 6y = 17
3x + 5y = 0
7x − 8y =
4
(S1 )
, (S2 )
, (S3 )
7y = 14
4x − y = 0
−63x + 72y = −36
Décrire géométriquement les ensembles de solutions.
.
Exercice 15.
En raisonnant par équivalences, résoudre ces systèmes d’équations linéaires à 2 inconnues :
3x + 2y = 8
−24x + 16y = 0
(S1 )
, (S2 )
, (S3 ) 7x − 8y = 4
3x + 6y = 0
4x − 2y = 0
.
Décrire géométriquement les ensembles de solutions.
Exercice 16.
On considère les matrices A, B, Y suivantes :
3 1 −2 1
A = 11 −10 32 , B = 3 1 −2 , Y = 1 .
6 2 −4
2
Résoudre les systèmes (écrits sous forme matricielle) suivants :
AX = 0, BX = 0, BX = Y.
Comment s’appelle l’ensemble {X ∈ R3 |AX = 0} ?
Exercice 17.
Résoudre les systèmes suivants dans R3 et décrire géométriquement les ensembles de solutions :
x1 + x2 + x3 = 0
(S1 ) 2x1 − 4x2 + x3 = 0 , (S2 )
.
2x1 + 2x2 + x3 = 2
Exercice 18.
Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes linéaires de l’exercice 13.
Exercice 19.
1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss chaque système d’inconnues x1 , x2 , x3 et x4 réelles
suivants (en déduire une famille de vecteurs F telle que l’ensemble des solutions x ∈ R4 est
Vect F).

3x1 +
2x3
= 0



x1 + x2 + x3 + x4 = 0
3x2 + x3 + 3x4 = 0
, (S2 )
(S1 )
.
2x1 − x2 + x3 − x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0



2x1 − x2 + x3 − x4 = 0
2. Ecrire les systèmes sous forme matricielle et donner le noyau et l’image des matrices associées.
5
Inverse d’une matrice carrée
Exercice 20.
Déterminer, s’il existe, l’inverse des matrices suivantes. Le vérifier en effectuant un produit matriciel.
√
7 0 0
2 6 8
1 1 1
1 0 1
20 0 0
1
2
0 0 0 ln 2
A = (3 4) , D = 0 2 0 , T = 0 3 9 , B = 1 2 2 , C = 1 1 0 , E =
0 0π 0
008
001
132
211
0 e 0 0
Exercice 21.
Déterminer, s’il existe, l’inverse des matrices suivantes. Le vérifier en effectuant un produit matriciel.
4 0 0
3 4 3
1 1 0
A = ( 21 34 ) , T = 1 2 0 , B = 0 1 9 , C = 1 0 2
208
343
012
6
Base et dimension d’un SEV
Exercice 22.
1
1
1
1
Soit dans R3 les vecteurs X1 = 1 , X2 = 2 , X3 = 2 et X4 = 3 .
1
3
2
5
1. La famille {X1 , X2 } est-elle libre ?
2. La famille {X1 , X2 , X3 } est-elle libre ? Le vecteur X3 est-il une combinaison linéaire de la famille
{X1 , X2 } ?
3. La famille {X1 , X2 , X4 } est-elle libre ? Le vecteur X4 est-il une combinaison linéaire de la famille
{X1 , X2 } ?
4. La famille {X1 , X2 , X3 , X4 } est-elle libre ?
Exercice 23.
Parmi les familles de vecteurs suivantes, lesquelles sont libres ? lesquelles forment une base de Rn ?
n = 2 : B1 = ( 21 ) , B2 = {( 21 ), ( 11 )} , B3 = {( 10 ), ( 01 ), ( 00 )} , B4 = {( 10 ), ( 01 ), ( 11 )} ,
n 2 2 o
n −2 1 0 o
n −2 1 0 2 o
3 , 1
n = 3 : B5 =
, B6 =
, B7 =
.
3 , 1 , 5
3 , 1 , 5 , 2
1
3
0
1
1
1
0
1
0
Exercice 24.
Les familles suivantes sont-elles libres ?
n 1 0 1 o
0 , 1 , 1
1. F1 =
1
0
0
n 1 0 1 2 o
−1 , 1 , −1 , −3
2. F2 =
1
11 0 1 2 4
0 , 1 , 1
3. F3 =
0
0
0
1
0
1
Exercice 25.
Corrigé vidéo http://www.canal-u.tv/video/tele2sciences/exercice_1_dimension_finie_00981.
10374
0
1
1
1
1
, v2 = 0 et v3 = 1 forment une base de R3 . Trouver
1
0
1
les coordonnées du vecteur w = 1 dans cette base {v1 , v2 , v3 }.
1
1
1
−1 0 forment une base de R3 . Trouver
2. Montrer que les vecteurs v1 = 1 , v2 =
1 et v3 =
−1
1 0 1
0
0
les coordonnées des vecteurs e1 = 0 , e2 = 1 et e3 = 0 dans cette base {v1 , v2 , v3 }.
1. Montrer que les vecteurs v1 =
0
0
1
3. Dans R3 , donner un exemple de famille libre qui n’est pas génératrice de R3 .
4. Dans R3 , donner un exemple de famille génératrice de R3 qui n’est pas libre.
Exercice 26.
Trouver une base des SEV suivants et en calculer la dimension.
E1 = {X ∈ R2 : x2 = −x1 },
E2 = {X ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}.
E3 = {X ∈ R3 : 3x1 + x2 = 0 et x2 + x3 = 0}.
Exercice 27.
1 3
Soit la matrice P =
. On notera par X1 et X2 les colonnes de P . Ainsi, X1 = ( 12 ) et X2 = ( 34 ).
2 4
1. La matrice P est-elle inversible ? La famille {X1 , X2 } est-elle une base de R2 ?
2. Quel système doit-on résoudre pour trouver les coordonnées du vecteur ( 11 ) dans la base
{X1 , X2 } ? Écrire ce système sous forme matricielle.
3. Calculer P −1 et en déduire les coordonnées de ( 11 ) dans la base {X1 , X2 }.
4. Quel système doit-on résoudre pour trouver les coordonnées Λ = λλ12 d’un vecteur X = ( xx12 )
dans la base {X1 , X2 } ? Écrire ce système sous forme matricielle. Exprimer Λ à l’aide de P et
de X.
5. Donner les coordonnées dans la base {X1 , X2 } des vecteurs suivants :
X1 , X2 , X1 + X2 , ( 10 ), ( 01 ), −21 .
Exercice 28.

1 −1 1
1
0 ,
2 0. On notera par X1 , X2 et X3 les colonnes de P . Ainsi, X1 =
Soit la matrice P =  0
−1
−1 0 0
−1 1
X2 =
et X3 = 0 .
2
0

0
1. La matrice P est-elle inversible ? La famille {X1 , X2 , X3 } est-elle une base de R3 ?
1
2. Quel système doit-on résoudre pour trouver les coordonnées du vecteur 1 dans la base
0
{X1 , X2 , X3 } ? Écrire ce système sous forme matricielle.
1
3. Calculer P −1 et en déduire les coordonnées de 1 dans la base {X1 , X2 , X3 }.
0
x1 λ1
4. Quel système doit-on résoudre pour trouver les coordonnées Λ = λ2 d’un vecteur X = xx2
3
λ3
dans la base {X1 , X2 , X3 } ? Écrire ce système sous forme matricielle. Exprimer Λ à l’aide de P
et de X.
5. Donner les coordonnées dans la base {X1 , X2 , X3 } des vecteurs suivants :
1 0 0 −2 X1 , X2 , X1 − X3 , 0 , 1 , 0 ,
1 .
0
7
0
1
3
Diagonalisation
Exercice 29.
5 −3
.
Soit la matrice A =
6 −4
1. Le vecteur X1 = ( 12 ) est-il un vecteur propre de A ? associé à quelle
2. Le vecteur X2 = ( 11 ) est-il un vecteur propre de A ? associé à quelle
3. Le vecteur ( 01 ) est-il un vecteur propre de A ?
4. La famille {X1 , X2 } est-elle une base de R2 ?
5. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P
telle que A = P DP −1 .
0
10
10
10
10
6. Calculer A X1 , A X2 , A (X1 − X2 ) et en déduire A
.
1
Exercice 30.
−3 4
Soit la matrice A =
.
−1 2
1. Le vecteur X1 = ( 11 ) est-il un vecteur propre de A ? associé à quelle
2. Le vecteur X2 = ( 41 ) est-il un vecteur propre de A ? associé à quelle
3. Le vecteur ( 10 ) est-il un vecteur propre de A ?
4. La famille {X1 , X2 } est-elle une base de R2 ?
5. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P
telle que A = P DP −1 .
1
8
8
8
8
6. Calculer A X1 , A X2 , A (X2 − X1 ) et en déduire A
.
0
valeur propre ?
valeur propre ?
inversible et D diagonale
valeur propre ?
valeur propre ?
inversible et D diagonale
Exercice 31.
1 0
Soit la matrice B =
.
3 2
1. Montrer que 1 est une valeur propre de B et donner un vecteur propre associé à cette valeur
propre.
2. Montrer que 2 est une valeur propre de B et donner un vecteur propre associé à cette valeur
propre.
3. Donner une base propre de B.
4. La matrice B est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que B = P DP −1 .
Exercice 32.
2 5
Soit la matrice B =
.
0 −1
1. Montrer que 2 est une valeur propre de B et donner un vecteur propre associé à cette valeur
propre.
2. Montrer que −1 est une valeur propre de B et donner un vecteur propre associé à cette valeur
propre.
3. Donner une base propre de B.
4. La matrice B est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que B = P DP −1 .
Exercice 33.
Soit la matrice C =
1 1
.
2 2
1. Déterminer les valeurs propres de C et pour chacune de ces valeurs propres donner un vecteur
propre associé à cette valeur propre.
2. Donner une base propre de C.
3. La matrice C est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que B = P DP −1 .
Exercice 34.
Soit la matrice C =
1
3
.
−2 −6
1. Déterminer les valeurs propres de C et pour chacune de ces valeurs propres donner un vecteur
propre associé à cette valeur propre.
2. Donner une base propre de C.
3. La matrice C est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que B = P DP −1 .
Exercice 35.


1 0
1
Soit la matrice M = 0 −1 −1.
0 0
2
1. Montrer que 1, −1 et 2 sont des valeurs propres de M et pour chacune de ces valeurs propres
donner un vecteur propre associé à cette valeur propre.
2. Donner une base propre de M .
3. La matrice M est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que M = P DP −1 .
Exercice 36.


3 −1 2
Soit la matrice M = 0 −1 1 .
0 0 −2
1. Montrer que 3, −1 et 2 sont des valeurs propres de M et pour chacune de ces valeurs propres
donner un vecteur propre associé à cette valeur propre.
2. Donner une base propre de M .
3. La matrice M est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P inversible et D diagonale
telle que M = P DP −1 .