Exercices du chapitre 4
1
9. Soit a ∈ IRn tel que kak < 1 et soit f : IRn → IR, x 7→ (1 + kxk2 ) 2 − ha, xi. Montrer
que f est convexe et déterminer ArgIRn min f .
10. Soit ϕ : Ω ⊂ IRn → IR. Pour tout y ∈ IRn , on pose ϕ∗ (y) = sup(hy, xi − ϕ(x)).
x∈Ω
a) Montrer que ϕ∗ est convexe.
p
. Montrer que ϕ est convexe ; déterminer ϕ∗ (y)
b) Soit p ∈]1, +∞[ et ϕ(x) = kxk
p
et montrer que ϕ∗∗ = ϕ. (On utilisera q tel que p1 + 1q = 1).
c) Soit ϕ(x) = 12 hAx, xi+hb, xi+c où A est une matrice symétrique définie positive.
Montrer que ϕ est convexe ; déterminer ϕ∗ (y) et montrer que ϕ∗∗ = ϕ.
11. Soit C ⊂ IRn un convexe fermé non vide et b ∈ IRn . Soit π = ArgC min N où
N (x) = kx − bk2 .
a) Montrer que :
i) π est non vide ;
ii) si p ∈ π, pour tout c ∈ C, hp − b, p − ci ≤ 0.
(On utilisera F (λ) = kλc + (1 − λ)p − bk2 ).
iii) π contient exactement 1 élément, noté p(b).
iv) Si hu − b, u − ci ≤ 0 pour tout c ∈ C, alors u = p(b).
b) Déduire de a) que, b ∈
/ C si et seulement si il existe w ∈ IRn tel que
hw, bi < inf hw, ci.
c∈C