DERIVADAS (1)
Derivada de una constante
f ( x)  K
K 
F ´( x)  0
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
f ( x)  x r
r 
f ´( x)  r. x r 1
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la
variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
1
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
2
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
f ( x)  ln x
f ´( x ) 
1
x
Ejercicio nº 22)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
f ( x)  e x
Ejercicio nº 23)
f ´( x)  e x
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e:
Forma simple
f ( x)  a x
f ´(x)  a x  ln a
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
f ( x)  sen x
Ejercicio nº 29)
f ´( x)´ cos x
Sol:
3
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
f ( x)  cos x
f ´( x)   sen x
Ejercicio nº 30)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
f ( x)  tg x
f ´( x)  1  tg 2 x  sec 2 x 
1
cos 2 x
Ejercicio nº 31)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
f ( x)  arc sen x
f ´( x) 
1
1 x2
Ejercicio nº 32)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco
tangente: Forma simple
f ( x)  arc tg x
Ejercicio nº 33)
f ´( x) 
1
1 x2
Sol:
4
DERIVADAS (2)
y  k . f ( x)
y´ k . f ´( x)
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la
constante por la derivada de la función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
POTENCIAS
Sigue recordando:
Ejercicio nº 9)
Sol:
5
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
6
y  f ( x)  g ( x)
y´ f ´( x)  g´( x)
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las
derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22)
Sol
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
y  f ( x)  g ( x)
y´ f ´( x).g ( x)  f ( x).g´( x)
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de
la primera función por la segunda función mas la primera función por la derivada
de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
7
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
y
f ( x)
g ( x)
y´
g ( x). f ´( x)  f ( x). g´( x)
g 2 ( x)
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de
la función del numerador por la función del denominador menos la función del
numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por
el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
Solución:
Ejercicio nº 35)
Solución:
Ejercicio nº 36)
Solución:
Ejercicio nº 37)
8
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple: Recuerda:
1
f ´( x ) 
f ( x)  ln x
x
Ejercicio nº 39)
Sol:
Ejercicio nº 40)
Sol:
9
DERIVADAS (3)
AVISO
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que
estamos representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe
escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
y  ln ux
y´
u´
u
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es
igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
10
Ejercicio nº 7)
Sol:
LOGARITMOS
Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado
por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
11
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
12
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
13
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
14
y  eux
y  u´ e u  x 
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual
al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha
función
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Ejercicio nº 37)
Sol:
Ejercicio nº 38)
Sol:
Ejercicio nº 39)
Sol:
Ejercicio nº 40)
Sol:
DERIVADAS (4)
Derivada de una función potencial:
y  u x 
r
r 
y´ u´ u  x 
r 1
Ejercicio:
f ( x)  x 2  1
7
Solución :
f ´( x)  7( x 2  1) 6 .2 x  14 xx 2  1
Ejercicio:
f ( x) 
x
Solución : f  x   x1 / 8
; f ´( x) 
1 7 / 8
x
8
15
Ejercicio:
f ( x)  sen 2 2 x  1
Solución : f ´( x)  2.sen2 x  1.2. cos2 x  1  4sen(2 x  1). cos( 2 x  1)  2sen(4 x  2)
Ejercicio:

f ( x)  sen 2 x 2  x

 
Solución : f ´( x)  2 .sen x 2  x
 .2 x  1. cosx
3
2

x 
 (4 x  2) cos( x 2  x)
sen 3 ( x 2  x)
Ejercicio:
f ( x)  cos 3 5 x  1
Solución : f ´( x)  3. cos 2 5 x  1. 5.sen5x  1  15 cos 2 (5 x  1).sen(5x  1)
Ejercicio:


f ( x)  x 2  1
1 / 3
4
Solución :
4
1 2
2
f ´( x) 
( x  1) 3 .2 x   x x 2  1 3
3
3


Ejercicio:
f ( x)  tg 1 / 2 2 x  1
Solución :
f ´( x) 
1
tg
2
3
2
2 x  12 sec 2 2 x  1  tg 2 2 x  1  sec 2 2 x  1

3
Ejercicio:
f ( x)  cot g 1 / 2 3x  1
Solución :
f ´( x) 
1
cot g
2
1
2
3x  1 3 cos ec 2 3x  1   3 cot g 2 3x  1  cos ec 2 3x  1

1
2
Ejercicio:
f ( x)  cot g 1 / 2 x
3
Solución :


3

1
1
f ´( x)   cot g 2 x  cos ec 2 x  cot g 2 x  cos ec 2 x
2
2
Derivada de una función logarítmica
Ejercicio
16
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base el número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
17
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio:
f ( x)  sen 3x  6
2
Solución : f ´( x)  2. 3x  6 3 cos 3x  6  6(3x  6). cos( 3x  6) 2
2
Ejercicio:
f ( x)  senln x  6
1
. cosln x  6
x6
Solución : f ´( x) 
Ejercicio:
f ( x)  sentg x 
Solución : f ´( x) 
1
. costgx
cos 2 x
Ejercicio:
f ( x)  sencot g 2 x 
Solución : f ´( x)  
2
. coscot g 2 x 
sen 2 2 x
Ejercicio:


f ( x)  sen 5 x 2  1
7
 
x  1  cosx
7

 1
 
7

6
Solución : f ´( x)  5sen 4 x 2  1 . cos x 2 1  7 x 2  1  2 x 


6
70 x x 2  1 .sen 4
7
2
2
7
Ejercicio:

f ( x)  sen L x 3  3 x
Solución : f ´( x) 

3 x 2 3
. cos L x 3  3 x
x 3  3x


Ejercicio:

f ( x)  sen 32 x 4




Solución : f ´( x)  2.32 x  4  L3. cos 32 x  4  2 L3  32 x  4 cos 32 x  4

18
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio:
f ( x)  cos 2  3x  6
2
Solución : f ´( x)  2. cos 3x  6   2 3x  6 3  sen 3x  6 
2
2
12(3x  6). cos( 3x  6) 2  sen 3x  6  6 3x  6sen 2 3x  6
2
2
Ejercicio:
 
f ( x)  cos ln 4 x 2  x
Solución : f ´( x)  

8x  1
.sen ln 4 x 2  x
2
4x  x
 

Ejercicio:
f ( x)  coscos cos x 
Solución : f ´( x)   sencoscosx    sencosx    senx  
 sencoscosx   sencosx   senx 
Ejercicio:

f ( x)  cos x 3  2 x

3

Solución : f ´( x)  3 x 3  2 x
 3x
2
2
 
 2 .sen x 3  2 x

3
Ejercicio:


f ( x)  cos 4 x 2  1
6



 

 48 xx  1 . cos x  1  senx  1
6

6
5
Solución : f ´( x)  4 cos 3 x 2  1 .  sen x 2 1  6 x 2  1  2 x 
2
5
3
6
2
2
6
Ejercicio:

f ( x)  cos 2 L x 3  3x

 3x 2 3 
.sen L x 3  3x 
Solución : f ´( x)  2  cos L x 3  3x   3
 x  3x 


 6 x 2 6 
  3
 cos L x 3  3x sen L x 3  3x
x

3
x



  



19
Ejercicio:
 
f ( x)  cos 3 x
2
4
Solución : f ´( x)  2 x.3 x
2
4
    2xL3  3
 L3.sen 3 x
2
4
x2 4
 
sen 3 x
2
4
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función trigonométrica tipo cotangente
Ejercicio:
f ( x)  cot g 2 x


Solución : f ´( x)   1  cot g 2 2 x  2  2 cos ec 2 2 x
Ejercicio:
f ( x)  cot g  3x  6
7
Solución : f ´( x)  7 3x  6  3 cos ec 2  3x  6  21 3x  6 cos ec 2  3x  6
6
7
6
7
Ejercicio:
f ( x)  cot g x 2
Solución : f ´( x)  2  x 3 cos ec 2 x 2
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
20
Solución:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
21