MATEMÁTICA ANALÍTICA 5 (MA655)
UNIDAD 3: Análisis Fourier
Sesión de clase 10.1
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los conceptos de función periódica
y ortogonalidad de las funciones senoidales para el cálculo de los
coeficientes de la Serie Trigonométrica de Fourier .
2
Contenido de clase
Análisis de Fourier: SERIE DE FOURIER
• Funciones Periódicas
• Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
• Coeficientes de la Serie Trigonométrica de Fourier
• Representación de una función periódica por Serie
Trigonométrica de Fourier
3
Función periódica
❑ Definición
Una Función 𝑓(𝑡) es periódica con período T, si cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
𝑓 𝑡 = 𝑓(𝑡 + 𝑇)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el
periodo de la función
Nota: 𝑓 𝑡 = 𝑓(𝑡 + 𝑘𝑇) , donde 𝑘=0,1,  2, 3,...
4
Función periódica
Ejemplo
El periodo 𝑇 de la función sen 𝑡 y cos(𝑡) es 2π
𝑓 𝑡 = sen 𝑡 + 2𝑘𝜋 , 𝑘𝜖ℤ
𝑓 𝑡 = cos 𝑡 + 2𝑘𝜋 , 𝑘𝜖ℤ
5
Función periódica
❑ Ejemplo
Halle el periodo de las siguientes funciones periódicas:
a) 𝑓 t = sen 𝑛𝑡 , donde n es un entero
b) 𝑓 t = sen 5𝑡 +
𝜋
3
6
Función periódica
Ejemplo
¿Cuál el periodo de la función f 𝑡 = cos
𝑡
3
+ cos
𝑡
4
?
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
t+T
t+T
t T
t T
𝑓(t + T) = cos
+ cos
= cos +
+ cos +
3
4
3 3
4 4
Pero como se sabe cos 𝑥 + 2𝑘𝜋 =cos 𝑥 para cualquier entero 𝑘, entonces para que se
cumpla la igualdad se requiere que:
T/3=2k1p , T/4=2k2p
Es decir T = k16p = k28p , donde k1 y k2 son enteros,
𝑘1 4
⇒
=
𝑘2 3
El valor mínimo de T se obtiene con 𝑘1 =4, 𝑘2 =3, es decir:
T=24p
7
Función periódica
Ejemplo
Grafica de la función f 𝑡 = cos
𝑡
3
+ cos
𝑡
4
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
f(t)
1
0
-1
-2
24p
-3
0
50
100
150
200
t
8
Función periódica
❑ Ejercicios
Halle el periodo de las siguientes funciones periódicas:
a) 𝑓 t = sen2 2𝜋𝑡
b) 𝑓 t = 3 + cos3 4𝑡
9
Ortogonalidad de funciones en un intervalo
❑ Se dice que un conjunto de funciones 𝑓𝑘 𝑡 son ortogonales en el intervalo
a < t < b si dos funciones cualesquiera 𝑓𝑚 𝑡 , 𝑓𝑛 𝑡 de dicho conjunto
cumplen
b
0
න 𝑓m (t)𝑓n (t) 𝑑𝑡 = ቊ
𝑟𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≠ 𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 𝑛
𝑎
Ejemplo: Las funciones sen𝑡 𝑦 cos𝑡 son ortogonales en el intervalo −𝜋 < t < 𝜋, ya que
𝜋
𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝜋
න sen𝑡 ⋅ cos𝑡 d𝑡 =
ฬ
=0
−𝜋
2
−𝜋
10
Ortogonalidad de funciones senoidales
❑ A continuación se muestra un conjunto de una infinidad de funciones
𝑇
𝑇
ortogonales en el intervalo − 2 < 𝑡 < 2
1 , cos𝜔𝑜 𝑡 , cos2𝜔𝑜 𝑡, cos3𝜔𝑜 𝑡, … . , sen𝜔𝑜 𝑡 , sen2𝜔𝑜 𝑡, sen3𝜔𝑜 𝑡, … .
(para cualquier valor de 𝝎𝒐 = 𝟐𝝅Τ𝑻 ).
Probemos con algunos pares de funciones dadas:
1.- 𝑓1 t = 1 Vs. 𝑓2 t =cos(mw0t):
𝑇/2
𝑇/2
sen(𝑚𝜔𝑜 𝑡)
න cos(m𝜔0 t)dt =
ቤ
𝑚𝜔𝑜
−𝑇/2
−𝑇/2
𝜔𝑜 𝑇
𝜔𝑜 𝑇
sen(𝑚
) sen 𝑚 − 2
2 −
=
𝑚𝜔𝑜
𝑚𝜔𝑜
=0 ,
𝑚≠0
2.- 𝑓1 t = 1 Vs. 𝑓2 t =sen(mw0t):
𝑇/2
𝑇/2
− cos( 𝑚𝜔𝑜 𝑡)
න sen(m𝜔0 t)dt =
ቤ
𝑚𝜔𝑜
−𝑇/2
−𝑇/2
𝑇
𝑇
− cos( 𝑚𝜔𝑜 ) cos( 𝑚𝜔𝑜 (− ))
2 +
2 = 0,
=
𝑚𝜔𝑜
𝑚𝜔𝑜
𝑚≠0
11
Ortogonalidad de funciones senoidales
𝑇/2
1 Vs. cos(𝐦𝝎𝟎 𝐭)
න cos(m𝜔0 t)dt = 0,
𝑚≠0
−𝑇/2
𝑇/2
1 Vs. sen(𝐦𝝎𝟎 𝐭)
න sen(m𝜔0 t)dt = 0,
𝑚≠0
−𝑇/2
𝑇/2
cos(𝐦𝝎𝟎 𝐭) Vs. cos(𝐧𝝎𝟎 𝐭)
න cos(m𝜔0 t)cos(n𝜔0 t)dt = ቊ
0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≠ 𝑛
𝑇/2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 𝑛 ≠ 0
−𝑇/2
𝑇/2
sen(𝐦𝝎𝟎 𝐭) Vs. sen(𝐧𝝎𝟎 𝐭)
න sen(m𝜔0 t)sen(n𝜔0 t)dt = ቊ
0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≠ 𝑛
𝑇/2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 𝑛 ≠ 0
−𝑇/2
𝑇/2
sen 𝐦𝝎𝟎 𝐭 𝑽𝒔. cos(𝐧𝝎𝟎 𝐭)
න sen(m𝜔0 t)cos(n𝜔0 t)dt = 0,
−𝑇/2
para cualquier 𝑚, 𝑛
12
Serie Trigonométrica de Fourier
❑ Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente
serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
𝑓(𝑡) =
1
𝑎 + a1cos(𝜔0 𝑡)
2 0
+ +a2cos(2𝜔0 𝑡) + . . . + b1𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)+b2𝑠𝑒𝑛(2𝜔0 𝑡)+. . .
Donde w0=2p/T.
Es decir,
∞
1
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ෍ [𝑎𝑛 cos( 𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)]
2
𝑛=1
13
Serie Trigonométrica de Fourier
∞
1
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ෍ [𝑎𝑛 cos( 𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)]
2
𝑛=1
¿Cómo se modela la señal de tren de pulsos con la serie
de Fourier?
t
14
Coeficientes de la Serie de Fourier
❑ Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
∞
1
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ෍ [𝑎𝑛 cos( 𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)]
2
𝑛=1
El problema se resuelve si podemos calcular los coeficientes a0, a1, a2,..., b1, b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y
coseno comentada anteriormente.
𝑇/2
න sen(m𝜔0 t)dt = 0, 𝑚 ≠ 0
Ejemplo: Hallando el coeficiente a0
−𝑇/2
𝑇/2
න cos(m𝜔0 t)dt = 0, 𝑚 ≠ 0
−𝑇/2
15
Coeficientes de la Serie de Fourier
❑ De esta manera tenemos:
𝑇/2
2
𝑎0 =
න 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
−𝑇/2
❑ Multiplicando ambos miembros por cos( 𝑛𝜔0 𝑡) e integrando de –T/2 a T/2,
obtenemos:
𝑇/2
𝑎𝑛 =
2
න 𝑓(𝑡) cos( 𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
𝑛 = 0,1,2,3, . . .
−𝑇/2
❑ Similarmente, multiplicando por 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡) e integrando de –T/2 a T/2,
obtenemos:
𝑇/2
2
𝑏𝑛 =
න 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
𝑛 = 1,2,3, . . .
−𝑇/2
16
Coeficientes de la Serie de Fourier
❑ Observación:
• El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.
• Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el
intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo
completo. Por ejemplo:
De 𝒕𝟎 a 𝒕𝟎 + 𝑻, con 𝑡0 arbitrario
Las fórmulas para calcular los coeficientes de la serie trigonométrica de
Fourier pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este
requisito.
17
Representación de función periódica por Serie de Fourier
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
T/
2
T ...
-1
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es:
𝑇
−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 − < 𝑡 < 0
2
𝑓(𝑡) =
𝑇
1
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 <
2
18
Representación de función periódica por Serie de Fourier
❑ Calculando coeficiente 𝑎0 :
𝑇/2
2
𝑎0 =
න 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
𝑇
<𝑡<0
2
𝑇
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 <
2
−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 −
𝑓(𝑡) =
1
−𝑇/2
𝑎0 = 0
19
Representación de función periódica por Serie de Fourier
❑ Calculando coeficiente 𝑏𝑛 :
𝑇
<𝑡<0
2
𝑇
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 <
2
−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 −
𝑇/2
2
𝑏𝑛 =
න 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
𝑓(𝑡) =
1
−𝑇/2
0 , 𝑛 par
𝑏𝑛 = ቐ 4
, 𝑛 impar
𝑛𝜋
o
𝑏𝑛 =
2
1 − (−1)𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍
𝑛𝜋
20
Representación de función periódica por Serie de Fourier
❑ Calculando coeficiente 𝑎𝑛 :
𝑇/2
2
𝑎𝑛 =
න 𝑓(𝑡) cos( 𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
𝑇
<𝑡<0
2
𝑇
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 <
2
−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 −
𝑓(𝑡) =
1
−𝑇/2
𝑎𝑛 = 0
21
Representación de función periódica por Serie de Fourier
❑ Finalmente la serie de Fourier
f(t)
∞
1
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ෍ [𝑎𝑛 cos( 𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)]
2
𝑛=1
queda:
∞
1
t
...
-T/
2
2(1 − (−1)𝑛 )
𝑓(𝑡) = ෍
sen(𝑛𝜔𝑜 𝑡)
𝑛𝜋
0
T/
2
T ...
-1
𝑛=1
4
1
1
𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(3𝜔0 𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(5𝜔0 𝑡)+. . .
𝜋
3
5
En la siguiente figura se muestran: la primera armónica o componente
fundamental (n=1) así como la suma parcial de los primeros siete términos de la
serie para w0=p, es decir, T=2:
22
Representación de función periódica por Serie de Fourier
∞
2(1 − (−1)2 )
4
1
1
1
𝑓 𝑡 =෍
sen(𝑛𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡 +. . .
𝑛𝜋
𝜋
3
5
7
𝑛=1
4
Para 𝑛 = 1: 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡
𝜋
1.5
(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)
Serie con 1 armónico
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
23
Representación de función periódica por Serie de Fourier
∞
2(1 − (−1)2 )
4
1
1
1
𝑓 𝑡 =෍
sen(𝑛𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡 +. . .
𝑛𝜋
𝜋
3
5
7
𝑛=1
4
1
Para 𝑛 = 1,2,3 : 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(3𝜋𝑡)
𝜋
3
1.5
Serie con 3 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
24
Representación de función periódica por Serie de Fourier
∞
2(1 − (−1)2 )
4
1
1
1
𝑓 𝑡 =෍
sen(𝑛𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡 +. . .
𝑛𝜋
𝜋
3
5
7
𝑛=1
4
1
1
Para 𝑛 = 1,2,3,4,5 : 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡
𝜋
3
5
1.5
Serie con 5 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
25
Representación de función periódica por Serie de Fourier
∞
2(1 − (−1)2 )
4
1
1
1
𝑓 𝑡 =෍
sen(𝑛𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 0 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡 +. . .
𝑛𝜋
𝜋
3
5
7
𝑛=1
4
1
1
1
Para 𝑛 = 1,2,3,4,5,6,7 : 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡
𝜋
3
5
7
1.5
Serie con 7 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
26
Representación de función periódica por Serie de Fourier
∞
2(1 − (−1)2 )
4
1
1
1
𝑓 𝑡 =෍
sen(𝑛𝜋𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 5𝜋𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 7𝜋𝑡 + …
𝑛𝜋
𝜋
3
5
7
𝑛=1
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Asesoría virtual – semana 10
Ejercicios
Los ejercicios mostrados
serán trabajados en la
asesoría virtual
Retroalimentación
Evaluación unidad 2
28
Bibliografía
Textos recomendados para la Unidad 3:
❑ HSU, Hwei (1987)
Análisis de Fourier. Wilmington, DL : Addison-Wesley Iberoamericana
❑ OPPENHEIM Alan y Willsky Alan (1998)
Señales y sistemas. México, D. F. : Prentice-Hall Hispanoamericana.
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