PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 1
ÁLGEBRA
GEOMETRÍA
Operaciones aritméticas
ab
c
ab
c
a
a
b
b
Fórmulas geométricas
c
d
a
b
a
b
c
d
ac
c
b
ad
bc
Fórmulas para área A, circunferencia C y volumen V:
bd
a
b
Triángulo
d
c
A
ad
bc
1
2
-12 ab sen u
a
Exponentes y radicales
x mx n
xm
xm
n
x mn
xy
n
x nyn
n
n
xy
s
xm
A
C
2 r
s
n
xn
yn
Esfera
V 43 r 3
(sx ) m
n
xm
s
A
n
Cilindro
V
r 2h
y x
x3
y3
x
y x2
xy
y2
3
3
x
2
xy
y2
x
y
y x
4 r2
A
n
x
s
n
y
s
x
y
r
Distancia entre P1 x1, y1 y P2 x 2, y2 :
2
x2
2xy
x
y
3
x3
3x 2 y
3xy 2
y3
x
y
3
x3
3x 2 y
3xy 2
y3
x
y
n
xn
nx n 1y
y2
x
nn
2
y
1
2xy
y2
Punto medio de P1 P2 :
x n 2y2
2
1
n
1 2 3
x2
s x2
d
n n k k
x y
k
k
nxy n
1
x1
2
bx
c
x 2 y1
,
m
sb 2
2a
b
4ac
Desigualdades y valor absoluto
byb
c, entonces a
Si a
b, entonces a
Si a
byc
0, entonces ca
cb.
Si a
byc
0, entonces ca
cb.
Si a
0, entonces
b
y1
c.
y2
2
.
y2
x2
y1
x1
Ecuación de punto-pendiente de la recta que pasa por P1 x1, y1 con
pendiente m:
y y1 m x x1
Ecuación de intersección-pendiente de la recta con pendiente m e
intersección b con el eje y:
y mx b
c.
Círculos
x
a
significa x
x
a
significa
x
a
significa x
2
Pendiente de la recta que pasa por P1 x1, y1 y P2 x 2, y2 :
k
Si a
y2
2
Rectas
1
0, entonces x
c
x1
yn
Fórmula cuadrática
Si ax2
h
h
Fórmulas de distancia y de punto medio
y
nn
h2
y
x
n
k
rsr 2
r
Teorema del binomio
donde
s
Cono
V 13 r 2h
r
x
r u (u en radianes)
¨
b
Factorización de polinomios notables
y2
r2
r
r
n
n
xm n
x2
1
2
r
x
y
n
n
xs
y
s
r2
1
xn
n
x
Sector de círculo
A
h
¨
xm
xn
n
x
s
x1 n
Círculo
bh
a
a
o
x
a
x
a
Ecuación del círculo con centro (h, k) y radio r:
a
o
x
a
x
h
2
y
k
2
r2
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 2
TRIGONOMETRÍA
Medida de un ángulo
p radianes
Identidades fundamentales
180°
csc
1
sen
sec
1
cos
tan
sen
cos
cot
cos
sen
(u en radianes)
cot
1
tan
sen2
cos 2
Trigonometría de ángulo recto
1
1
180
rad
1 rad
r
ru
s
sen
cos
tan
s
r
180
op
hip
csc
ady
hip
sec
op
ady
cot
hip
op
hip
hip
ady
y
r
cos
x
r
tan
y
x
r
y
sec
r
x
cos
tan
tan
sen
cos
sen
2
tan
cos
2
cot
2
B
a
C
c
La ley de cosenos
x
y
tan
a2
b2
c2
2bc cos A
b2
a2
c2
2ac cos B
2
2
2
2ab cos C
c
a
b
b
A
cos
1
1
Fórmulas de adición y sustracción
x
y
sen
csc 2
r
y
sen
cot 2
La ley de senos
y
Gráficas de funciones trigonométricas
y
sen
cos
x
y
cot
1
ady
ady
op
csc
sec 2
op
Funciones trigonométricas
sen
tan 2
1
x
x
csc
y
sec
y
cot
1
1
x
x
x
sen(x
y)
sen x cos y
cos x sen y
sen(x
y)
sen x cos y
cos x sen y
cos(x
y)
cos x cos y
sen x sen y
cos(x
y)
cos x cos y
sen x sen y
tan x
y
tan x tan y
1 tan x tan y
tan x
y
tan x tan y
1 tan x tan y
Fórmulas de ángulo doble
Funciones trigonométricas de ángulos importantes
u
0°
30°
45°
60°
90°
radianes
0
6
4
3
2
sen u
0
12
s2 2
s3 2
1
cos u
1
s3 2
s2 2
12
0
tan u
0
s3 3
1
s3
—
sen 2x
2 sen x cos x
cos 2x
cos2 x
tan 2x
1
sen2 x
2 cos2 x
1
1
2 tan x
tan2x
Fórmulas de semiángulo
sen2x
1
cos 2x
cos 2x
1
cos 2x
2 sen2 x
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 3
FUNCIONES ESPECIALES
Funciones de potencias
i) f x
f x
xa
y
x n , n es entero positivo
y
y=x $
(1, 1)
y=x^
y=x#
y=≈
(_1, 1)
y=x%
(1, 1)
x
0
(_1, _1)
x
0
n par
n impar
ii) f x
x1
n
n
x , n es entero positivo
s
y
y
0
x
0
x
ƒ=œ„
iii) f x
x
1
1
x
x
ƒ=œ
# x„
y
y=Δ
1
0
x
1
y
Funciones trigonométricas inversas
arcsen x
arccos x
arctan x
sen 1x
1
cos x
1
tan x
y &? sen y
y &? cos y
y &? tan y
π
2
x
y
y
2
2
lím tan 1 x
0
x
x y 0
y
lím tan 1 x
x y
2
xl
2
y
_ π2
2
y=tan–!x=arctan
xl
2
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 4
FUNCIONES ESPECIALES
y
Funciones exponenciales y logarítmicas
log a x
y
&?
a
ln x
log e x,
ln x
y &? e y
y
y=´
x
ln e
donde
1
1
x
y=ln
0
Ecuaciones de cancelación
Leyes de los logaritmos
loga a x
1. log a xy
log a x
log a y
x
y
loga x
loga y
a log a x
x
ln e x
x
e ln x
x
2. loga
x
3. loga x r
®
1
4
y
®
10® 4®
e®
x
1
lím e x
xl
r loga x
lím e x
0
xl
lím ln x
lím ln x
xl0
1
2
2®
xl
y
y=log
1.5®
y=ln
y=log
y=log x
1
1®
0
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones hiperbólicas
cosh x
tanh x
ex
e
y=cosh
x
2
ex
e
csch x
1
senh x
sech x
1
cosh x
coth x
cosh x
senh x
x
2
senh x
cosh x
&? senh y
senh 1x
y
cosh 1x &? cosh y
y
tanh 1x
&?
tanh y
x
x y
x
y
0
y
y=tanh
x
y=senh
Funciones hiperbólicas inversas
y
x
1
x
0
senh x
y=x
senh 1x
ln( x
sx 2
1)
cosh 1x
ln (x
sx 2
1)
tanh 1x
1
2
ln
1
1
x
x
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 5
REGLAS DE DIFERENCIACIÓN
Fórmulas generales
1.
d
c
dx
3.
d
f x
dx
5.
d
f x tx
dx
7.
d
f tx
dx
0
tx
t x
f x
f x t x
tx f x
f tx t x
(regla del producto)
(regla de la cadena)
2.
d
cf x
dx
4.
d
f x
dx
6.
d
dx
8.
d
xn
dx
nx n
10.
d
ax
dx
a x ln a
12.
d
log a x
dx
cf x
tx
t x
f x
tx f x
f x
tx
f x t x
tx
1
(regla del cociente)
2
(regla de potencias)
Funciones exponenciales y logarítmicas
9.
11.
d
ex
dx
ex
d
ln x
dx
1
x
1
x ln a
Funciones trigonométricas
13.
d
sen x
dx
16.
d
csc x
dx
cos x
csc x cot x
14.
d
cos x
dx
sen x
15.
d
tan x
dx
17.
d
sec x
dx
sec x tan x
18.
d
cot x
dx
20.
d
cos 1x
dx
s1
21.
d
tan 1x
dx
23.
d
sec 1x
dx
1
x sx 2
24.
d
cot 1x
dx
26.
d
cosh x
dx
senh x
27.
d
tanh x
dx
29.
d
sech x
dx
sech x tanh x
30.
d
coth x
dx
32.
d
cosh 1x
dx
1
sx 2
33.
d
tanh 1x
dx
1
35.
d
sech 1x
dx
36.
d
coth 1x
dx
1
sec 2x
csc 2x
Funciones trigonométricas inversas
19.
d
sen 1x
dx
22.
d
csc 1x
dx
1
s1
x2
1
x sx 2
1
1
x2
1
1
x2
1
1
x2
1
Funciones hiperbólicas
25.
d
senh x
dx
28.
d
csch x
dx
cosh x
csch x coth x
sech 2x
csch 2x
Funciones hiperbólicas inversas
31.
d
senh 1x
dx
34.
d
csch 1x
dx
1
s1
x2
1
x sx 2
1
1
1
x s1 x 2
1
x2
1
x2
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 6
TA B L A D E I N T E G R A L E S
Formas básicas
1.
y u dv
2.
yu
3.
y
du
u
4.
y
e u du
eu
5.
y
a u du
au
ln a
6.
n
un 1
n 1
du
ln u
C, n
8.
y sec u du
9.
y csc u du
1
C
C
cos u
y cos u du
sen u
2
y sa
C
sec u
C
22.
yu
23.
y
sa 2
24.
y
sa 2 u 2
du
u2
25.
y sa
26.
y sa
27.
y u sa
28.
y u sa
29.
y
2
sa 2
u2
du
du
2
u 2 du
2
du
u
2
du
2
a2
2
du
u2
u
2
2u 2 sa 2
u2
sa 2
u2
ln(u
sa 2
u2)
C
sa 2
u2)
C
C
C
u2
u
sa 2 u 2
a 2u
C
u2
sa 2
u2
1
sa 2
ln
a
a 2 sa 2
a4
ln(u
8
u2
a2
ln(u
2
u2
u
3 2
18.
y u su
19.
ya
20.
yu
u2)
C
C
sa 2
u
u2)
sa 2
u2)
sa 2
a
a ln
u
u
sa 2
2
u2
2
sa 2
ln(u
u2
ya
0
a2
ln(u
2
u2
u 2
a
8
u 2 du
u
u2 , a
u
sa 2
2
u 2 du
17.
C
Formas que involucran sa 2
21.
y sa
C
cot u
y sec u tan u du
16.
C
tan u
2
2
y csc u cot u du csc u C
12. y tan u du ln sec u
C
13. y cot u du ln sen u
C
14. y sec u du ln sec u tan u
15. y csc u du ln csc u cot u
11.
C
y sen u du
7.
10.
y v du
uv
C
a
C
du
2
u
2
du
2
du
a2
du
2
1
u
a
C,
1
u
a
C
1
sec
a
1
u
a
C
a0
C
u2
1
u
ln
2a
u
a
a
C
a2
1
u
ln
2a
u
a
a
C
du
2
1
tan
a
u2
2
sen
C
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 7
TA B L A D E I N T E G R A L E S
Formas que involucran sa 2
30.
y sa
31.
y u sa
32.
y
sa 2
33.
y
sa 2 u 2
du
u2
34.
y sa
35.
y u sa
36.
y u sa
37.
y
38.
y
2
2
u 2 du
u2
u
2
du
2
u
2
u2
a2
du
u2
3 2
a 2 sa 2
39.
y su
40.
y u su
41.
y
su 2
42.
y
su 2 a 2
du
u2
43.
y su
44.
y su
45.
y u su
46.
y
2
a 2 du
a2
u
du
du
2
u 2 du
a2
u
2
2
du
a2
su 2
a
2
su 2 a 2
a 2u
a su 2
2
C
u
a
C
u
a
C
C
C
3a 4
sen
8
u2
1
u
a
C
0
a 2 su 2
a cos
1
ln u
a2
C
C
a2
su 2
a2
a2
a4
ln u
8
a
u
C
C
su 2
su 2
a2
C
su 2
a2
C
C
a2
ln u
2
u
3 2
1
1
u2
u
a
a2
ln u
2
u
a2
a4
sen
8
C
a2
su 2
1
5a 2 sa 2
a2
su 2
u
su 2
2
du
2
C
a2
u
2u 2
8
ln u
a2
2
u2
a2 , a
u
su 2
2
a 2 du
2
u2
u2
Formas que involucran su 2
2
sa 2
u
u
3 2
C
sa 2
u
a2
sen
2
u
2u 2
8
du
sen
u2
1
sa 2
a 2u
u2
a2
u2
u
a
u2
a
a ln
1
a
ln
a
2
du
2
u2
u
sa 2
2
u2
1
a 2 sa 2
1
sa 2
u
u 2 du
a
sen
2
u2
u
2u 2
8
sa 2
du
0
2
u
sa 2
2
u 2 du
2
u2 , a
a2
C
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 8
TA B L A D E I N T E G R A L E S
Formas que involucran a
47.
ya
48.
ya
49.
y ua
du
50.
yu
du
51.
y
52.
y ua
53.
y
54.
y u sa
55.
y sa
56.
y sa
57.
y u sa
u du
bu
1
(a
b2
u 2 du
bu
1
2b 3
2
a
bu
[a
bu
1
au
bu
u du
bu
b2 a
u 2 du
a bu
2
1
b3
u du
u 2 du
du
1
2
s a
sa
59.
y
sa
60.
y u sa
61.
y sa
62.
y u sa
bu
u
bu
u2
n
u n du
bu
du
n
bu
sa
a
bu
a
bu
bu
1
sa bu
a n 1 un
bu
a
bu
C
C
bu
C
C, si a
0
si a
0
C,
y u sa
du
b
2
bu
y u sa
un a
du
bu
2na
b 2n 1
1
3 2
4abu sa
sa
1
C
C
bu
2
b 2n 3
2u nsa
b 2n
bu
bu
u
bu du
bu
sa
sa
du
2a a
sa
tan
C
C
2a ln a
bu
3b 2u 2
2 sa
du
a
2a sa
ln
bu
a2
2
3bu
15b 2
sa
bu
]
C
1
a bu
ln
u
a2
bu
bu
C
bu
2
8a 2
15b 3
bu
2a 2 ln a
bu
1
ln a
b2
2
bu
3b 2
bu
C
bu
a
bu du
)
b
a bu
ln
a2
u
aa
2
bu
4a a
1
bu
y
2
a
2
du
58.
a ln a
1
u
ln
a
a bu
bu
a
bu
b 2n
2a n
bu
3 2
na
un
y sa
3
1
1
yu
n 1
sa
du
yu
bu
du
sa
n 1
bu
bu du
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 9
TA B L A D E I N T E G R A L E S
Formas trigonométricas
63.
y sen u du
1
2
u
1
4
sen 2u
C
64.
y cos u du
1
2
u
1
4
sen 2u
C
y tan u du
tan u
65.
2
2
2
u
y
cot u
67.
y
sen3u du
1
3
68.
y cos u du
1
3
69.
y tan u du
1
2
70.
y cot u du
71.
y sec u du
72.
y csc u du
1
2
y sen u du
1
senn 1u cos u
n
73.
3
3
1
2
1
2
n
y cos u du
75.
y tan u du
n
cot 2u
1
2
1
2
77.
y sec u du
n
78.
y csc u du
n
79.
y sen au sen bu du
sen a
2a
80.
y cos au cos bu du
sen a
2a
81.
y sen au cos bu du
82.
y u sen u du
83.
y u cos u du
84.
yu
n
sen u du
85.
yu
n
cos u du
86.
y sen u cos u du
C
tan u
ln csc u
n
1
n
n
y tan
C
cot u
y sen
y cos
1
n
tan n 1u
1
C
ln sec u
csc u cot u
1
n
C
ln sen u
1
cos n 1u sen u
n
n
C
ln cos u
sec u tan u
3
74.
sen2u cos u
tan 2u
n
C
cos 2u sen u
2
3
3
u
2
y cot u du
C
cot u du
66.
2
76.
C
n 2
u du
n 2
u du
1
n
1
n
1
1
n
n
y cot
cot n 1u
1
1
n 2
u du
tan u sec n 2u
n
n
2
1
y sec
n 2
cot u csc n 2u
n
n
2
1
y csc
n 2
bu
b
sen a
2a
bu
b
C
bu
b
sen a
2a
bu
b
C
cos a
2a
bu
b
sen u
u cos u
C
cos u
u sen u
C
u n cos u
u n sen u
n
n
yu
yu
cos a
2a
n 1
n 1
u du
bu
b
C
sen u du
senn 1u cos m 1u
n m
n 2
u du
cos u du
senn 1u cos m 1u
n m
m
u du
n
n
1
m
y sen
n 2
u cosmu du
1
m
y sen u cos
un
m
n
n
m 2
u du
Formas trigonométricas inversas
87.
y sen
1
88.
y cos
1
u du
u du
89.
y
90.
y u sen
1
91.
y u cos
1
tan 1u du
u du
u du
u sen 1u
s1
u2
C
u cos 1u
s1
u2
C
1
2
u tan 1u
2u 2
1
4
2u 2
1
4
ln 1
u2
y
93.
yu
n
94.
yu
n
95.
yu
n
u tan 1u du
sen 1u du
u2
1
2
1
n
1
tan 1u
un
1
un
1
un
1
u
2
sen u
C
cos 1u
u s1 u 2
4
C
cos 1u du
tan 1u du
1
n
1
1
n
1
C
y s1
1
sen 1u
y s1
un
1
cos 1u
tan 1u
y1
C
u s1 u 2
4
1
92.
un
du
u2
1
du
u2
, n
1
, n
1
du
, n
u2
1
PÁ G I N A D E R E F E R E N C I A 1 0
TA B L A D E I N T E G R A L E S
Formas exponenciales y logarítmicas
96.
y ue
97.
yu e
98.
ye
99.
y
au
n au
au
1
au
a2
du
1 e au
1 n au
u e
a
du
yu
n
a
e au
sen bu du
a
2
b2
e au
e au cos bu du
a2
C
b2
n 1 au
e du
a sen bu
b cos bu
C
a cos bu
b sen bu
C
100.
y ln u du
101.
yu
ln u du
un 1
n 1
102.
y u ln u du
ln ln u
n
1
u ln u
u
C
2
n
1 ln u
C
Formas hiperbólicas
103.
104.
105.
106.
107.
y senh u du
y cosh u du
y tanh u du
y coth u du
y sech u du
cosh u
C
108.
senh u
C
109.
ln cosh u
ln senh u
tan
1
y s2au
senh u
114.
y u s2au
115.
y
s2au
u
116.
y
s2au u 2
du
u2
117.
y s2au
118.
y s2au
119.
y s2au
120.
y u s2au
u
u 2 du
u2
du
du
u
2
u
2
u
2
au
6
u2
2 s2au
u
a
u
2
u2
3a
2
du
3a 2
s2au
u2
1
1
a
2
2
u
a
1
C
a3
cos
2
u2
a
u
a
1
a
u
a
C
a
cos
u
C
a
C
a cos
s2au
s2au u 2
au
a2
cos
2
a cos
a
1
2
0
u2
u
s2au
u 2 du
u
s2au
s2au
1
112.
C
u2 , a
2u 2
cos
u du
a
2
u 2 du
111.
C
Formas que involucran s2au
113.
110.
C
y csch u du ln tanh u C
y sech u du tanh u C
y csch u du coth u C
y sech u tanh u du sech u
y csch u coth u du csch u
1
u2
C
a
u
C
a
3a 2
cos
2
1
a
u
a
C
C
C
C
1
C