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RESUMO DOS COMPORTAMENTOS RLC NO DOMÍNIO DO TEMPO
𝑝𝑅 = 𝑣𝑅 . 𝑖𝑅
𝑝𝑅 = 𝑖𝑅 2 . 𝑅
𝑣𝑅
𝑖 =
𝑅
𝑅
𝑣𝑅 = 𝑅 . 𝑖𝑅
OHMS
Ω
𝒅𝒊𝑳 (𝒕)
𝒅𝒕
𝒑𝑳 (𝒕) = 𝒗𝑳 (𝒕). 𝒊𝑳 (𝒕)
𝒑𝑳 (𝒕) = 𝑳 . 𝒊𝑳 (𝒕) .
𝒅𝒊𝑳 (𝒕)
𝒅𝒕
𝟏 𝒕
𝒊 (𝒕) = ∫ 𝒗 (𝒕) . 𝒅𝒕 + 𝑰𝟎
𝑳
𝑳 𝟎 𝑳
𝒗𝑳 (𝒕) = 𝑳
Henries
H
𝒅𝒕
𝒅𝒗𝑪 (𝒕)
𝒑𝑪 (𝒕) = 𝒗𝑪 (𝒕). 𝒊𝑪 (𝒕)
𝒑𝑪 (𝒕) = 𝑪 . 𝒗𝑪 (𝒕) .
𝒅𝒗𝑪 (𝒕)
𝒅𝒕
𝟏 𝒕
∫ 𝑰 (𝒕) . 𝒅𝒕 + 𝑽𝟎
𝑪 𝟎 𝑪
𝑰𝑪 (𝒕) = 𝑪
𝒗𝒄 (𝒕) =
Farads
F
Capacitância
Potência
Corrente
Tensão
Unidade
Elemento
Resistência
Indutância
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TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Tabela Básica
𝒇(𝒕)
1
→
→
𝑭(𝒔)
1
𝑠
𝑡
→
1
𝑠2
𝑡𝑛
→
𝑛!
𝑠 𝑛+1
𝑒 𝑎𝑡
→
sin 𝑎𝑡
→
cos 𝑎𝑡 →
1
𝑠−𝑎
𝑎
𝑠 2 + 𝑎2
𝑠
𝑠 2 + 𝑎2
Funções Comuns
Função Exponencial
A. e−at
→
A
𝑠+a
Função Degrau (Heaviside)
A
→
A
s
Função Rampa
A.t
→
A
𝑠2
Função Senoidal
A . sen at →
A. a
𝑠 2 − 𝑎2
Função Cossenoidal
A . cos at
→
A. s
𝑠 2 − 𝑎2
Funções Especiais
Transformada de 1ª ordem
f ′ (t)
→
Transformada de 2ª ordem
f " (t)
→ 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ′ (0)
Transformada de Integrais
𝑡
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0
→
sF(s) − f(0)
𝐹(𝑠)
𝑠
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IMPEDÂNCIAS E ADMITÂNCIAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
R (Ω)
L (H)
C (F)
TEMPO
Resistência
(R)
Condutância
(G)
Reatância
(XL)
Susceptância
(B)
Reatância
(XC)
Susceptância
(B)
FREQUÊNCIA
R
R
Ω (OHMS)
→
1
𝑅
S (Siemens)
→
1
𝑅
XL
Ω (OHMS)
→
sL
1
𝑋𝐿
S (Siemens)
→
1
𝑠𝐿
XC
Ω (OHMS)
→
1
𝑋𝐶
S (Siemens)
→
1
𝑠𝐶
sC
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
A energia armazenada no circuito mostrado é zero no instante em que a
chave é fechada. Determine para t>0:
a) Encontre I(s) usando as técnicas da Transformadas de Laplace pura, sem usar os
atalhos atribuídos aos componentes RLC.
b) Encontre I(s) usando Transformada de Laplace aplicada a circuitos elétricos.
c) Compare os valores encontrados nos itens (a) e (b).
d) Com a informação correta de I(s) definida no item (c) , encontre i(t).
a) Encontre I(s) usando as técnicas da Transformadas de Laplace pura, sem usar os
atalhos atribuídos aos componentes RLC.
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Aplicar 2ª Lei de Kirchhoff:
𝑣𝑅 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 𝑣𝐷𝐶
Aplicando o comportamento elétrico dos componentes no domínio do tempo
obtemos a equação diferencial e integral:
𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿 𝑖 ′ (𝑡) +
1 𝑡
∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑉0 = 𝑣𝐷𝐶
𝐶 0
Conforme enunciado, V0 = 0:
𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿 𝑖 ′ (𝑡) +
1 𝑡
∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑣𝐷𝐶
𝐶 0
Aplicar a Transformada de Laplace em cada termo:
𝑅 . ℒ{𝑖(𝑡)} + 𝐿 . ℒ{𝑖 ′ (𝑡)} +
𝑡
1
. ℒ {∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡} = 𝑣𝐷𝐶 . ℒ{1}
𝐶
0
Apresentando a tabela da transformada de Laplace:
f(t)
1
F(s)
1
𝑠
𝑓 ′ (𝑡)
𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑡
1
ℒ{𝑓(𝑡)}
𝑠
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0
Continuando:
𝑅 . 𝐼(𝑠) + 𝐿 . 𝑠 . 𝐼(𝑠) − 𝑖(𝑜) +
1 1
1
. . 𝐼(𝑠) = 𝑣𝐷𝐶 .
𝐶 𝑠
𝑠
Conforme enunciado, i (0) = 0:
𝑅 . 𝐼(𝑠) + 𝑠. 𝐿 . 𝐼(𝑠) +
1
𝑣𝐷𝐶
. 𝐼(𝑠) =
𝑠𝐶
𝑠
Colocando I(s) em evidência:
𝐼(𝑠) . (𝑅 + 𝑠𝐿 +
𝐼(𝑠) =
𝑣𝐷𝐶
𝑠
1
𝑅 + 𝑠𝐿 + 𝑠𝐶
=
𝑣𝐷𝐶
1
𝑠 (𝑅 + 𝑠𝐿 + 𝑠𝐶 )
1
𝑣𝐷𝐶
) =
𝑠𝐶
𝑠
=
𝑣𝐷𝐶
1
𝑠𝑅 + 𝑠 2 𝐿 + 𝐶
=
𝑣𝐷𝐶
1
𝑠 2 𝐿 + 𝑠𝑅 + 𝐶
Aplicando os valores do circuito:
𝐼(𝑠) =
160
𝑠 2 4 + 𝑠4,8 +
1
0,25
=
160
𝑠 2 4 + 𝑠4,8 + 4
(𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 ÷ 4)
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Resultado de I(s):
𝑰(𝒔) =
𝟒𝟎
𝒔𝟐 + 𝟏, 𝟐𝒔 + 𝟏
b) Encontre I(s) usando Transformada de Laplace aplicada a circuitos elétricos.
Transformando o circuito no tempo para frequência:
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Aplicando a lei de OHM no domínio da frequência:
160
𝑉(𝑠)
160
𝑠
𝐼(𝑠) =
=
=
4
4
𝑍
𝑠4 + 4,8 + 𝑠
𝑠 (𝑠4 + 4,8 + 𝑠 )
𝐼(𝑠) =
160
4𝑠 2 + 4,8𝑠 + 4
𝐼(𝑠) =
(𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 ÷ 4)
40
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
c) Compare os valores encontrados nos itens (a) e (b).
No item (a) não há necessidade de conhecimentos específicos de circuitos
elétricos para encontra I(s).
No item (b) temos a Transformada de Laplace aplicada, portanto não há
necessidade de conhecer a parte matemática do Laplace, apenas conhecer o
comportamento dos componentes RLC no domínio da frequência e aplicar a lei de
OHM.
Obviamente, ambos os casos obterão a mesma resposta.
d) Com a informação correta de I(s) definida no item (c) , encontre i(t) para t>0.
Qual o método você ficou mais confortável?
1. Laplace puro (solução matemática)
2. Laplace aplicado (solução por circuitos elétricos)
Na prática de concursos você pode ser questionado das duas formas de
solução, então aprenda as duas formas.
Resgatando I(s):
𝐼(𝑠) =
40
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
Iniciando o processo de rearranjo da expressão para torná-la compatível
com a tabela de Transformada de Laplace para aplicar a transformada inversa.
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Aplicando produtos notáveis no denominador:
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
1𝑠 2 + 2.1𝑠. 0,6 + 0,62 + 0,64
𝑎=𝑠
{𝑏 = 0,6
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑠 + 0,6)2 + 0,64
Como:
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1 = (𝑠 + 0,6)2 + 0,64
Temos que:
𝐼(𝑠) =
40
40
=
(𝑠 + 0,6)2 + 0,64
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
Vamos objetivar as duas Transformadas de Laplace:
𝑓(𝑡)
→
F(s)
sin at
→
a
s 2 + a2
eat f(t) → F(s − a)
Preparando a expressão objetivando a transformada inversa de Laplace do
seno com deslocamento de translação na frequência:
𝐶𝑜𝑚𝑜 √0,64 = 0,8
𝐼(𝑠) =
40
0,8
0,8
.
= 50 .
2
2
(𝑠 + 0,6)2 + 0,82
0,8 (𝑠 + 0,6) + 0,8
Destacando F(s) (sem o deslocamento):
𝐹(𝑠) =
0,8
(𝑠)2 + 0,82
0,8
ℒ −1 { 2
} = 𝑠𝑒𝑛 0,8𝑡
𝑠 + 0,82
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Aplicando o deslocamento de translação na frequência:
ℒ −1 {
0,8
} = 𝑒 −0,6𝑡 𝑠𝑒𝑛 0,8𝑡
(𝑠 + 0,6)2 + 0,82
Voltando a expressão original:
𝐼(𝑠) = 50 .
0,8
(𝑠 + 0,6)2 + 0,82
𝑖(𝑡) = 50. 𝑒 −0,6𝑡 . 𝑠𝑒𝑛0,8𝑡
RESUMO
BIBLIOGRAFIA
RIEDEL, S.A.; NILSSON, J.W.; Circuitos Elétricos 8.ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2008.
EDMINISTER, J.A.; NAHVI, M.; Coleção Schaum - Circuitos Elétricos. 5.ed. São
Paulo: Bookman, 2014.
CAPUANO, F. G.; MARINO, M.A.M; Laboratório de Eletricidade e Eletrônica:
Teoria e Prática, Ed. 24, São Paulo: Editora Érica, 2007.