Задача 1. Доказать, что lim an  a определив для каждого   0 число N  N ( ) такое, что
n 
an  a   для всех n  N ( ) . Заполнить таблицу

N ( )
0,1
0,01
0,001
Вариант 23
an 
1  2n 2
1
, a
2
2
2  4n
Решение:
Согласно определению предела последовательности an  a   для всех n  N ( ) начиная
с какого-то числа N  N ( ) . Подставим исходные данные в формулу
an  a  
2 1  2n2   2  4n 2
1  2n 2 1
2  4n 2  2  4n 2
an  a 







 
2  4n 2 2
4  8n 2
2  2  4n 2 

4
4
    
 
2
4  8n
4  8n2
 4
4  8n 2
 4
 2
4
1
  
  4  8n 2  4
8n    4 



2


8
 4  8n
 







2
4
4
1
4
4

8
n
2
2

  4  8n  4
8n   4 
 
 4  8n 2
 


8

Знак в верхнем неравенстве был изменѐн при умножении на
выражение отрицательное при всех значениях   0
4  8n 2
, так как данное

1 1
 2
n   2  2

n 2  1  1

2 2
Так как n2  0 , то верхнее неравенство всегда выполняется (при   0 ), следовательно,
его можно убрать. Окончательно условие примет вид
Полную версию задания или отдельные задачи можно купить у автора http://vk.com/id799968
2
n
1 1

2 2
При   0,1
n
1 1
 n
2 2
1
1
10 1
9
1
1
 
 
 4 ;n  4  N  2
2  0,1 2
2 2
2
2
2
При   0, 01
n
1 1
 n
2 2
1
1
100 1
99
1
1
 
 
 49 ; n  49  N  7
2  0, 01 2
2
2
2
2
2
При   0, 001
n
1 1
 n
2 2
1
1
1000 1
999
1
1
 
 
 499 ; n  499  N  22
2  0, 001 2
2
2
2
2
2
Ответ:

N ( )
0,1
2
0,01
7
0,001
22
Полную версию задания или отдельные задачи можно купить у автора http://vk.com/id799968
3
Задача 2. Вычислить пределы (а, б, в, г, д, е)
Вариант 23
x3  2 x  1
;
x 1 x 5  2 x  1
а) lim
3x 2  x 4 5  4 x 2  3x
;
x 
1  5x2  x
б) lim
в) lim
x 3
3
9x  3
3  x  2x
;
1
г) lim  cos  x  x sin x ;
x 0
 e3 x  e x 
д) lim 

x 0
x 

 
log 2 cos x  
 4
;
2  3x  1
x 1
x
cos
2
е) lim
Решение:
x3  2 x  1
x 1 x 5  2 x  1
а) lim
x3  2 x  1
0
lim
 {подставляем -1}   
x 1 x 5  2 x  1
0
разделим многочлен числителя x3  2 x  1 на x  1 "в столбик"
x3  2 x  1 x  1
x3  x 2
x2  x  1
А многочлен знаменателя разложим следующим
образом ("в столбик" также можно было разделить,
но это дольше)
 x2  2 x
x5  2 x  1  x5  x  x  1  x  x 4  1   x  1 
 x2  x
 x  x 2  1 x 2  1   x  1  x  x  1 x  1  x 2  1 
 x 1
 x 1


  x  1   x  1 x  x  1  x 2  1  1
0
Таким образом, многочлены числителя и знаменателя представляем в виде
Полную версию задания или отдельные задачи можно купить у автора http://vk.com/id799968
4


x3  2 x  1   x  1 x  x  1  x 2  1  1
x3  2 x  1   x  1  x 2  x  1
Подставляем разложенные многочлены в исходный предел
 x  1  x 2  x  1
x3  2 x  1
lim
 lim
 {сокращаем на x  1} 
x 1 x 5  2 x  1
x 1
 x  1 x  x  1  x 2  1  1

 lim
x 1
x  x 1
2
x  x  1  x  1  1
Ответ:
2

 {подставляем  1} 
1
1

1   2   2  1 3
1
3
P.S.: готов ответить на все вопросы. Желаю успехов и побед!
Denis P
Полную версию задания или отдельные задачи можно купить у автора http://vk.com/id799968