Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Лекцiя 2. Числовi послiдовностi
Мирослава Клапчук
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
Кафедра вищої математики
Львiв, 2023
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
1
Основнi поняття та означення
2
Важливi типи числових послiдовностей
3
Границя числової послiдовностi
4
Властивостi збiжних послiдовностей
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Основнi поняття та означення
Означення 2.1
Якщо кожному значенню n з натурального ряду чисел 1, 2, . . . , n, . . . ставиться у
вiдповiднiсть за певним законом деяке дiйсне число xn , то множину
занумерованих дiйсних чисел
x1 , x2 , . . . , xn , . . .
називають числовою послiдовнiстю або просто послiдовнiстю.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Основнi поняття та означення
Означення 2.1
Якщо кожному значенню n з натурального ряду чисел 1, 2, . . . , n, . . . ставиться у
вiдповiднiсть за певним законом деяке дiйсне число xn , то множину
занумерованих дiйсних чисел
x1 , x2 , . . . , xn , . . .
називають числовою послiдовнiстю або просто послiдовнiстю.
Дiйснi числа x1 , x2 , . . . , xn , . . . називають елементами або членами числової
послiдовностi. Для компактностi записувань математичних виразiв числовi
послiдовностi позначають символом
{xn } := (x1 , x2 , . . . , xn , . . .).
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Основнi поняття та означення
Означення 2.1
Якщо кожному значенню n з натурального ряду чисел 1, 2, . . . , n, . . . ставиться у
вiдповiднiсть за певним законом деяке дiйсне число xn , то множину
занумерованих дiйсних чисел
x1 , x2 , . . . , xn , . . .
називають числовою послiдовнiстю або просто послiдовнiстю.
Дiйснi числа x1 , x2 , . . . , xn , . . . називають елементами або членами числової
послiдовностi. Для компактностi записувань математичних виразiв числовi
послiдовностi позначають символом
{xn } := (x1 , x2 , . . . , xn , . . .).
Приклади
1
2n
≡
1 1 1 1
n+1
3 4 5
; ; ;
;...;
≡ 2; ; ; ; . . . ;
2 4 8 16
n
2 3 4
{(−1)n } ≡ (−1; 1; −1; 1; . . .) .
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Способи задання числових послiдовностей
1
Аналiтичний спосiб. Формулою
xn = f (n), (n ∈ N),
що виражає xn через його порядковий номер n.
2
Рекурентний спосiб.
xn+1 = F (n, xn , xn−1 , xn−2 , . . . , xn−k−1 ).
3
Описовий спосiб. Наприклад,
{rn } ≡ 1, 4;
1, 41;
1, 414;
1, 4142; . . .
iнший приклад – послiдовнiсть простих натуральних чисел.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Важливi типи числових послiдовностей
Означення 2.1
Послiдовнiсть {xn } називають обмеженою (bounded sequence), якщо iснує
таке число M > 0, що для всiх n ∈ N справедлива нерiвнiсть
|xn | ≤ M.
Означення 2.2
Послiдовнiсть {xn } називають:
– обмеженою згори (bounded above), якщо iснує таке число M, що для
всiх n ∈ N справедлива нерiвнiсть
xn ≤ M;
– обмеженою знизу (bounded below), якщо iснує таке число m, що для
всiх n ∈ N справедлива нерiвнiсть
xn ≥ m.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Приклади
Послiдовнiсть
{xn } ≡
1 1 1 1
1
; ; ; ;...; n;...
3 9 27 81
3
1
– обмежена, оскiльки |xn | ≤ , для будь-якого n ∈ N.
3
Послiдовнiсть
{xn } ≡ 1; 4; 9; 16; . . . ; n2 ; . . .
– обмежена знизу, оскiльки xn ≥ 1, для будь-якого n ∈ N.
Послiдовнiсть
{xn } ≡ (−1; 2; −3; 4; . . . ; (−1)n n; . . .)
– необмежена, оскiльки для будь-якого числа M > 0 знайдуться такi
елементи послiдовностi, для яких |xn | > M.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Важливi типи числових послiдовностей
Означення 2.3
Послiдовнiсть {xn } називається нескiнченно малою (infinitesimal sequence),
якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться такий номер N = N(ε), що для всiх
n > N(ε) виконується умова |xn | < ε.
1
Переконаємось, що послiдовнiсть
– нескiнченно мала. Для
3n
довiльного ε > 0 пiдберемо таке N(ε) > 0, щоб при n > N(ε) виконувалась
умова
1
1
= n < ε,
3n
3
1
1
звiдки n > log3 . Отже, за N(ε) можна взяти число log3
+ 1.
ε
ε
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Важливi типи числових послiдовностей
Означення 2.3
Послiдовнiсть {xn } називається нескiнченно малою (infinitesimal sequence),
якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться такий номер N = N(ε), що для всiх
n > N(ε) виконується умова |xn | < ε.
1
Переконаємось, що послiдовнiсть
– нескiнченно мала. Для
3n
довiльного ε > 0 пiдберемо таке N(ε) > 0, щоб при n > N(ε) виконувалась
умова
1
1
= n < ε,
3n
3
1
1
звiдки n > log3 . Отже, за N(ε) можна взяти число log3
+ 1.
ε
ε
Означення 2.4
Послiдовнiсть {xn } називається нескiнченно великою (infinitely large), якщо
для будь-якого K > 0 знайдеться такий номер N = N(K ), що для всiх
n > N(K ) виконується умова |xn | > K .
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Арифметичнi операцiї
Означення 2.5
Нехай {xn } та {yn } – двi послiдовностi
i c ∈ R – довiльне число. Тодi послiдовнiсть:
{cxn } = (cx1 ; cx2 ; . . .) називають добутком послiдовностi {xn } на число
c;
{xn + yn } = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; . . .) називають сумою послiдовностей
{xn } та {yn };
{xn − yn } = (x1 − y1 ; x2 − y2 ; . . .) називають рiзницею послiдовностей
{xn } та {yn };
{xn · yn } = (x1 · y1 ; x2 · y2 ; . . .) називають добутком послiдовностей
{xn } та {yn };
xn
x1 x2
=
;
; . . . називають часткою послiдовностей {xn } та
yn
y1 y2
{yn } (при умовi yn ̸= 0).
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Властивостi нескiнченно малих та нескiнченно великих послiдовностей
Теорема 2.1
Сума (рiзниця) двох нескiнченно малих послiдовностей {xn } та {yn } є
нескiнченно малою послiдовнiстю.
Нехай {xn } i {yn } – нескiнченно малi послiдовностi.
Задамо довiльне ε > 0. Тодi iснує такий номер N1 , що при n > N1 виконується
ε
умова |xn | < , й iснує такий номер N2 , що при n > N2 має мiсце нерiвнiсть
2
ε
|yn | < .
2
Виберемо N = max {N1 , N2 }. Тодi при всiх n > N одночасно виконуватимуться
ε
ε
нерiвностi |xn | < i |yn | < . Отже, згiдно з властивiстю модуля суми дiйсних
2
2
чисел, матимемо
ε
ε
+ = ε.
2
2
Отже, послiдовностi {xn + yn } та {xn − yn } є нескiнченно малi.
|xn ± yn | ≤ |xn | + |yn | <
Наслiдок
Алгебраїчна сума будь-якого скiнченного числа нескiнченно малих
послiдовностей є нескiнченно малою послiдовнiстю.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Властивостi нескiнченно малих та нескiнченно великих послiдовностей
Теорема 2.2
Добуток обмеженої послiдовностi на нескiнченно малу є нескiнченно малою
послiдовнiстю.
Нехай {xn } − обмежена послiдовнiсть, а {αn } − нескiнченно мала. Оскiльки {xn }
обмежена, то iснує таке число A > 0, що для всiх xn виконується нерiвнiсть
|xn | < A. Задамо довiльне ε. Оскiльки послiдовнiсть {αn } нескiнченно мала, то
ε
iснує такий номер N(ε), що при n > N(ε) виконується нерiвнiсть |αn | < . Тодi,
A
ε
|xn · αn | = |xn | · |αn | < A ·
= ε.
A
Отже, числова послiдовнiсть {xn · αn } нескiнченно мала.
Приклад
sin n
Послiдовнiсть {xn } = n є нескiнченно малою як добуток нескiнченно малої
3
1
послiдовностi
та обмеженої послiдовностi {sin n} (адже | sin n| ≤ 1).
3n
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Зв’язок мiж нескiнченно малими та нескiнченно великими
послiдовностями
Теорема 2.3
1
є
xn
нескiнченно велика послiдовнiсть.I навпаки:
якщо {xn } – нескiнченно
1
– нескiнченно мала послiдовнiсть.
велика послiдовнiсть i xn ̸= 0, то
xn
Якщо послiдовнiсть {xn } є нескiнченно мала i xn ̸= 0, то
Послiдовнiсть
{xn } ≡ (1; 4; 9; . . . ; n2 ; . . .)
є нескiнченно велика. Тодi послiдовнiсть, складена з обернених елементiв
yn = 1/xn , тобто
1 1
1
{yn } ≡ 1; ; ; . . . ; 2 ; . . .
4 9
n
– нескiнченно мала.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Границя числової послiдовностi
n+1
■ Збiжнi числовi послiдовностi. Наприклад, xn =
. Зобразимо
n
3 4
декiлька перших її членiв 2; ; ; . . . точками числової осi.
2 3
0
1
x3
x2
x1
4
3
3
2
2
R
Рис.: Зображення членiв послiдовностi на числовiй осi
зi збiльшенням n члени послiдовностi {xn } як завгодно близько
наближаються до 1. При цьому вiдстань |xn − 1| точки xn вiд 1 iз
збiльшенням n зменшується:
|x1 − 1| = 1, |x2 − 1| =
1
,
2
|x3 − 1| =
1
1
, ..., |xn − 1| = , ...
3
n
Наприклад, якщо вибрати ε = 0, 001, то нерiвнiсть |xn − 1| < 0, 01, тобто
1
< 0, 01, досягається для всiх n > 100.
n
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Означення 2.1
Число a називається границею послiдовностi (Limit of sequence) {xn },
якщо для довiльного як завгодно малого числа ε > 0 можна вказати такий
номер N(ε), що для кожного натурального числа n > N(ε) виконується
нерiвнiсть
|xn − a| < ε.
Якщо послiдовнiсть має границю, то її називають збiжною (convergent
sequence) Той факт, що число a є границею послiдовностi {xn }
записується:
lim xn = a
n→∞
або
xn → a
при
n → ∞.
Мовою кванторiв означення збiжної послiдовностi записуємо так:
lim xn = a := (∀ε > 0) (∃N(ε))(∀n > N(ε)) : (|xn − a| < ε).
n→∞
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Геометричний змiст границi послiдовностi
x1
0
a -e
xN
xN+2
xN+1
x3
a
x2
a +e
x
Рис.: Геометричний змiст границi послiдовностi
Те, що lim xn = a геометрично означає, що яким би малим не було число ε > 0
n→∞
всi члени послiдовностi {xn } з номерами n > N(ε) перебуватимуть всерединi
ε-околу точки a (попадають в Uε (a), так звану ε-пастку). При цьому ззовнi
ε-околу числа a може мiститися лише скiнченна кiлькiсть елементiв
послiдовностi.
Приклад
n
= 1.
n+1
Розв’язання. Переконаємося, що (∀ε > 0) (∃N = N(ε)) (∀n > N(ε)):
Довести за означенням, що lim
n→∞
n−n−1
n
1
−1 =
=
< ε.
n+1
n+1
n+1
1
Остання нерiвнiсть виконується, якщо n > − 1, тобто за N(ε) можна взяти цiлу
ε
1
1
частину виразу − 1, тобто N(ε) =
−1 .
ε
ε
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Розбiжнi та нескiнченно великi числовi послiдовностi
Розбiжнi послiдовностi (divergent sequence) – це тi послiдовностi, якi або
мають нескiнченну границю, або не мають границi взагалi.
Означення 2.2
Якщо для довiльного числа K > 0 можна вказати такий номер N(K ), що
для кожного n > N(K ) виконується нерiвнiсть
xn > K ,
то кажуть, що послiдовнiсть дiйсних чисел {xn } розбiгається до +∞ i
записують так:
lim xn = +∞,
n→∞
чи
xn → +∞
при
n → ∞.
Коливнi послiдовностi (Oscillatory sequence) бувають iз скiнченими
“амплiтудами” (finitely oscillating sequence) та з нескiнченними
“амплiтудами” (infinitely oscillating sequence). Прикладом перших є
послiдовнiсть xn = (−1)n (1 + 1/n), а других: xn = (−1)n n2 .
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Критерiй Кошi збiжностi послiдовностi
Теорема 2.1
Для того, щоб числова послiдовнiсть {xn } була збiжною, необхiдно i
достатньо, щоб для будь-якого числа ε > 0 iснував такий номер N = N(ε),
що для будь-яких n, m > N(ε) виконувалась нерiвнiсть
|xn − xm | < ε.
Послiдовнiсть, яка задовольняє теорему Кошi називається
фундаментальною послiдовнiстю.
(2.1)
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Властивостi збiжних послiдовностей
Теорема 2.1
(про єдинiсть границi числової послiдовностi). Якщо границя числової
послiдовностi {xn } iснує, то ця границя єдина.
Припустимо протилежне, що збiжна послiдовнiсть має двi границi:
lim xn = a1 ;
n→∞
lim xn = a2 .
n→∞
Тодi для довiльного ε > 0 знайдуться такi N1 , N2 , що
|xn − a1 | < ε, ∀n > N1 (ε);
|xn − a2 | < ε, ∀n > N2 (ε).
Нехай m = max{N1 , N2 }. Тодi
|xm − a1 | < ε ;
|xm − a2 | < ε.
Звiдси випливає нерiвнiсть
|a1 − a2 | ≡ |a1 − xm − a2 + xm | ≤ |a1 − xm | + |xm − a2 | < 2ε,
що i доводить твердження про єдинiсть границi збiжної послiдовностi.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Властивостi збiжних послiдовностей
Теорема 2.2
(про обмеженiсть збiжної послiдовностi). Якщо числова послiдовнiсть {xn }
збiжна, то вона обмежена.
Якщо послiдовнiсть {xn } – збiжна, то вона має границю: lim xn = a. Тодi
n→∞
для будь-якого ε > 0 знайдеться таке N(ε), що для всiх n > N(ε)
справедлива подвiйна нерiвнiсть
a − ε < xn < a + ε
Поза промiжком (a − ε; a + ε) знаходиться тiльки скiнченна кiлькiсть
перших членiв послiдовностi x1 ; x2 ; . . . ; xN(ε) . Виберемо
M = max{a + ε; x1 ; x2 ; . . . ; xN(ε) };
m = min{a − ε; x1 ; x2 ; . . . ; xN(ε) },
тодi матимемо m ≤ xn ≤ M для n ∈ N, тобто послiдовнiсть обмежена.
Зауваження! послiдовнiсть {(−1)n } = (1; −1; 1; . . .) – обмежена, але не має
границi.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Властивостi збiжних послiдовностей
Теорема 2.3
(про збереження знака границi послiдовностi). Нехай lim xn = a i b > a –
n→∞
довiльне число. Тодi всi члени послiдовностi {xn }, починаючи з деякого
номера n0 , меншi, нiж число b: xn < b.
Теорема 2.4
(про порiвняння двох збiжних послiдовностей). Нехай {xn } та {yn } – двi
збiжнi послiдовностi, причому lim xn = a; lim yn = b i, починаючи з
n→∞
n→∞
деякого номера n0 , справедливi нерiвностi xn ≤ yn , тодi
a ≤ b.
Теорема 2.5
(про три послiдовностi). Нехай члени послiдовностей {xn }, {yn }, {zn },
починаючи з деякого номера n0 , задовольняють нерiвностi xn ≤ yn ≤ zn i
lim xn = lim zn = a, то i послiдовнiсть {yn } збiжна та
n→∞
n→∞
lim yn = a.
n→∞
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Зв’язок мiж н.м. послiдовностями та iснуванням границi
Теорема 2.6
Число a є границею послiдовностi {xn } тодi i лише тодi, коли її загальний
член можна подати у виглядi xn = a + αn , де αn – нескiнченно мала при
n → ∞, тобто
lim xn = a ⇐⇒ xn = a + αn ,
n→∞
lim αn = 0.
n→∞
■ Арифметичнi властивостi збiжних послiдовностей.
Теорема 2.7
Нехай {xn } та {yn } – збiжнi числовi послiдовностi, причому
lim xn = a,
lim yn = b, тодi
n→∞
n→∞
lim (xn ± yn ) = lim xn ± lim yn = a ± b.
n→∞
n→∞
n→∞
lim (xn · yn ) = lim xn · lim yn = a · b.
n→∞
n→∞
lim
n→∞
b ̸= 0.
xn
yn
n→∞
lim xn
=
n→∞
lim yn
n→∞
=
a
, за умови, що для будь-якого n ∈ N yn ̸= 0, i
b
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Невизначеностi
Приклади
1
1
1
, yn = √ , то lim xynn = lim √1n = lim √1n = 0;
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
1
1
1
xn
n
– якщо xn = , yn = 2 , то lim yn = lim 1 = lim n = +∞;
n→∞
n→∞ 2
n→∞
n
n
n
1
1
– якщо xn = , yn =
, то
n
n+1
1
n+1
1
lim xynn = lim 1n = lim
= lim 1 +
= 1;
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n+1
(−1)n
1
xn
– якщо xn = , yn =
, то lim
= (−1)n
n→∞ yn
n
n
i границi не iснує.
0
xn
є невизначенiстю типу
.
Кажуть, що послiдовнiсть
yn
0
– якщо xn =
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Приклади
Обчислити границi послiдовностей:
n(n + 1)2
а) lim
;
n→∞ (n − 3)(n + 2)
в) lim
n→∞
(n + 1)!
;
(n + 2)! + n!
√
3
8n3 + 2n2 − 1
б) lim
;
n→∞
2n + 3
г) lim
n→∞
√
n2 − 2n − 1 −
√
n2 − 7n + 3 .
Зауваження. Можна показати, що
k
lim
n→∞
k−1
a0 n + a1 n
+ ... + ak−1 n + ak
b0 nm + b1 nm−1 + ... + bm−1 n + bm

якщо k < m,

 0,
a0
, якщо k = m, ;
=
 b0

∞, якщо k > m,
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Монотоннi послiдовностi
Означення 2.1
Числову послiдовнiсть {xn } називають:
– зростаючою (increasing sequence), якщо кожен її наступний елемент
бiльший, нiж попереднiй:
xn+1 > xn ,
∀n ∈ N;
– спадною (decreasing sequence), якщо кожен її наступний елемент менший,
нiж попереднiй:
xn+1 < xn , ∀n ∈ N.
Означення 2.2
Числову послiдовнiсть {xn } називають:
– неспадною (nonincreasing sequence), якщо кожен її наступний елемент не
менший, нiж попереднiй
xn+1 ≥ xn ,
∀n ∈ N;
– незростаючою (nondecreasing sequence), якщо кожен її наступний елемент не
бiльший, нiж попереднiй
xn+1 ≤ xn ,
∀n ∈ N.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Монотоннi послiдовностi
З помiж послiдовностей, заданих загальними членами
xn = n2 ;
xn =
1
;
2n
xn =
n2 − n + 6
;
n
xn = (−1)n n−3 ,
перша – зростаюча, друга – спадна, третя та четверта – не монотоннi.
Приклад
Доведемо, що числова послiдовнiсть {xn }, загальний член якої задається
виразом
2n
xn =
,
(n + 2)!
спадна. З цiєю метою зробимо тотожнi перетворення загального члена
послiдовностi:
xn =
2n
2n−1 · 2
2
=
= xn−1
< xn−1 .
(n + 2)!
(n + 1)! · (n + 2)
n+2
Отже, для будь-яких сусiднiх членiв послiдовностi має мiсце вiдношення
xn < xn−1 , тому послiдовнiсть спадна.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Теорема Вейерштрасса
Теорема 2.8
Монотонно зростаюча (спадна) i обмежена згори (знизу) послiдовнiсть
завжди має границю.
D
K
Рис. 3. Коло та правильнi n-кутники вписанi
в нього. Периметри n-кутникiв {Pn } = nan є
зростаючою та обмеженою згори послiдовнiстю
C
L
A
o
M
N
B
Послiдовнiсть периметрiв правильних n-кутникiв: {Pn } = nan , де an – довжина
сторони вписаного правильного n-кутника:
π
Pn = n · 2R sin
(n = 4; 8; 16; . . .)
n
Послiдовнiсть обмежена згори, наприклад, довжиною кола, отже, вона має
границю.
Довжиною кола C i називають границю цiєї послiдовностi:
C = lim Pn .
n→∞
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
Число e. Натуральнi логарифми
Теорема 2.9
e = lim
n→∞
1+
1
n
n
.
Розглянемо допомiжну числову послiдовнiсть {yn } iз загальним членом
1
1 n+1
yn = xn · 1 +
= 1+
.
n
n
Переконаємося, що ця послiдовнiсть спадає i обмежена знизу. Застосуємо
нерiвнiсть Бернуллi
(1 + α)n ≥ 1 + nα, де n ∈ N, α ∈ R, α > −1
до розрахунку вiдношення сусiднiх членiв послiдовностi:
n
1
1+
yn−1
nn
nn+1
n2n
n
n−1
= =
=
·
= 2
·
yn
(n − 1)n (1 + n)n+1
(n − 1)n n + 1
1 n+1
1+
n
n
n
n
1
n
n
1
= 1+ 2
·
≥ 1+ 2
> 1+
= 1.
n −1
n+1
n −1 n+1
n n+1
yn−1
Маємо нерiвнiсть,
> 1, звiдки yn < yn−1 , (n ∈ N), тобто числова
yn
послiдовнiсть {yn } є монотонно спадною.
Основнi поняття та означення
Важливi типи числових послiдовностей
Границя числової послiдовностi
Властивостi збiжних послiдовностей
З iншого боку, за нерiвнiстю Бернуллi
n+1
1
1
1
yn = 1 +
≥ 1 + (n + 1) = 1 + 1 + > 2.
n
n
n
Отже, послiдовнiсть {yn } спадає i обмежена знизу, тому за теоремою
Веєрштраса, вона має границю, яку позначимо через e:
n+1
n n
1
1
1
1
lim 1 +
= lim 1 +
1+
= lim 1 +
· 1 = e.
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
n
Твердження теореми доведено.