НГАВТ - Стр 1 из 57
Е.С. Мироненко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
инженерных специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1998
НГАВТ - Стр 2 из 57
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами
математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную
литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и
повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на
математический язык.
Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля,
числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений
математической физики, теории вероятностей и математической статистики.
Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем
каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной
работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным
пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые
начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на
учебно-консультационных пунктах.
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на
обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату
отправки работы в институт.
Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в
условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано
перед ее решением.
В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не
зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию.
Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или
экзамена.
В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со
спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса,
принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики
вузов дополнительно к настоящему пособию.
НГАВТ - Стр 3 из 57
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. M.: 1987, 1998.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.:
1981, 1985.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982,
1987.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.:
1997.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике.— М.: 1997.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.
9. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.
Демидовича - М.: 1986, 1987.
10. Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.
11. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.
НГАВТ - Стр 4 из 57
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Основные теоретические сведения
1. Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D, равное
алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Обозначение:
D = det[a ij ] =
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
...
...
a n1
an2
... a nn
...
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием
i-й строки и j-го столбца и умноженный на (- 1)i+j .
Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид
D = a n1 An1 + a n 2 An 2 + ... + a nn Ann
(разложение определителя по элементам n-й строки).
Определитель второго порядка
D=
2. Скалярным
a11
a 21
a12
= a11a 22 - a12 a 21
a 22
произведением
двух
векторов
r
r
r
r
a = axi + a y j + azk
r
r
r
r
b = bx i + by j + bz k называется число, определяемое равенством
v r
v r v r
(a , b ) = a " b = a " b " cosj = a x bx + a y by + a z bz
r
r
где j - угол между векторами a и b .
и
(1)
НГАВТ - Стр 5 из 57
r r r
с = a ¥b
r
N ( A; B; C )
r
b
М3
М1
j
М2
r
a
Рис. 1
Рис. 2
r r
r
3. Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор с ,
длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла
r r
a
между ними и который направлен перпендикулярно векторам
и b так, что
r
r
r
векторы a , b , с образуют правую тройку (рис. 1):
r
r
r
i
j k
r r r r r
c = [a , b ] = a ¥ b = a x a y a z =
b x b y bz
r
r
r
= ( a y bz - a z b y )i + ( a z bx - a x bz ) j + ( a x b y - a y bx )k ;
r
r r
c = a b sin j
(2)
r
Геометрически c равен площади S параллелограмма, построенного на век-
r r
a
торах
и b:
r r
S = a b sin j
4. Смешанное
произведение
трех
векторов
r
r
r
r
a = axi + a y j + azk ,
r
r r
r
r
r
r
r
b = bx i + by j + bz k , c =c x i + c y j + c z k есть число, равное
НГАВТ - Стр 6 из 57
ax
r
r r
ab c = bx
сx
ay
by
сy
az
bz
сz
(3)
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного
r r r
на векторах a , b , с .
5. Общее уравнение плоскости Р имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0,
r
r
r
r
где N = Ai + Bj + Ck - нормальный вектор плоскости (рис. 2).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М0(x0,y0,z0),
М1(x1,y1,z1), и М2(x2,y2,z2) имеет вид
x - x0
y - y0
z - z0
x1 - x 0
x 2 - x0
y1 - y 0
y2 - y0
z1 - z 0 = 0
z 2 - z0
(4)
Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы
r
r
r
r
r
r
r
r
N1 = A1i + B1 j + C1k и N 2 = A2i + B2 j + C2 k , определяется как угол между
r
r
N1 и N 2 ; косинус этого угла находится по формуле
r r
N1 " N 2
cos j = r r
N1 N 2
(5)
6. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
М0(x0,y0,z0) и М1(x1,y1,z1) имеют вид
x - x0
y - y0
z - z0
=
=
x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0
7. Матрицей A = ( a ij ) размера m ¥ n называется прямоугольная таблица
чисел, состоящая из т строк и n столбцов:
(6)
НГАВТ - Стр 7 из 57
Ê a11 a12
Á
a 22
Áa
A = Á 21
...
...
Á
Áa
Ë m1 a m 2
... a1n ˆ
˜
... a2 n ˜
... ... ˜
˜
... amn ˜¯
Произведением матрицы A = ( a ij ) размера m ¥ r на матрицу B = (b jk )
размера r ¥ n называется матрица C = AB = ( cik ) размера m ¥ n c элементами
cik = ai1b1k + ai 2 b2 k + ... + air brk
(7)
(поэлементное умножение i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B).
Матрица размера n ¥ n называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы a11 , a 22 ,..., a nn образуют главную диагональ матрицы. Определитель,
составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы н обозначается A или det A .
Ï1 при i = j
a
=
Ì
ij
Матрица Е с элементами
называется единичной
Ó0 при i - j
матрицей n-го порядка.
Матрица A
-1
называется обратной к матрице A(det A - 0), если
A-1 A = AA-1 = E
-1
-1
Элементы aij обратной матрицы A
aij-1 =
(8)
= (aij-1 ) вычисляются по формулам
Aij
A
,
(9)
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij , матрицы A , а A - ее определитель.
8. Матрица Ar называется канонической, если в начале ее главной диагонали
стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например,
НГАВТ - Стр 8 из 57
Ê1
Á
Á0
A=Á
0
ÁÁ
Ë0
0
1
0
0
0
0
1
0
0ˆ
˜
0˜
0˜
˜˜
0¯
Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду Ar путем
элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножения
столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавления к элементам какоголибо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки),
умноженных на число.
Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: A ~ Ar .
Число г единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы Ar не
зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется
рангом исходной матрицы A: r(A)=r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот
же ранг.
9. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2,
х3 имеет вид
Ï а11 х1 + а12 х2 + а13 х3 = b1 ,
Ô
Ìа21 х1 + а22 х2 + а23 х3 = b2 ,
Ôа х + а х + а х = b ,
Ó 31 1 32 2
33 3
3
(10)
где аij - коэффициенты системы; bi - свободные члены. Определитель третьего
порядка D , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется
определителем системы. Если D - 0 , то единственное решение системы (10)
выражается формулами Крамера:
x1 = D1 / D; x2 = D 2 / D; x3 = D 3 / D,
(11)
где D1 , D 2 , D 3 - определители третьего порядка, получаемые из определителя
системы D заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами
b1 , b2 , b3 .
Систему (10) можно записать матричной форме: AX = B , где
НГАВТ - Стр 9 из 57
Ê a11
Á
A = Á a 21
Áa
Ë 31
a12
a 22
a 32
a13 ˆ
˜
a 23 ˜,
a 33 ˜¯
Ê x1 ˆ
Ê b1 ˆ
Á ˜
Á ˜
X = Á x 2 ˜, B = Á b2 ˜.
Áx ˜
Áb ˜
Ë 3¯
Ë 3¯
Тогда ее решение имеет вид
X = A-1 B,
(12)
если определитель системы отличен от нуля.
Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг
матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
r<n
(13)
то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n – r неизвестных
выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным
образом через свободные неизвестные.
9. Вектор-столбец
Ê x1 ˆ
Á ˜
Á x2 ˜
Á . ˜
X =Á ˜-0
Á . ˜
Á . ˜
Á ˜
Áx ˜
Ë n¯
называется собственным вектором квадратной матрицы А п-го порядка, соответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному
уравнению
АХ=lХ, или (А - lЕ)Х = 0
Здесь Е - единичная матрица n-го порядка, а 0 - нулевой вектор-столбец. При
условии, что вектор Х"О, получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений l:
det( A - lE ) = 0
(14)
Координаты собственного вектора Xi соответствующего собственному значению li, являются решением системы уравнений
НГАВТ - Стр 10 из 57
Ï (a11 - l1 ) x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
Ôa x + (a - l ) x + ... + a x = 0
Ô 21 1
22
2
2
2n n
Ì
Ô .................................................
ÔÓan1 x1 + an 2 x2 + ... + (ann - ln ) xn = 0
(15)
Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
Пример 1. По координатам вершин пирамиды А1 (3; -2; 2), А2 (1; —3; 1), A3 (2;
0; 4), А4 (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер А1Аг и А1А3; 2) угол между ребрами А1Аг и
А1А3; 3) площадь грани А1АгА3 ; 4) объем пирамиды
Решение. 1) Находим векторы А1Аг и А1А3:
r
r
r
r r r
A1 A2 = (1 - 3) i + ( -3 - ( -2 )) j + (1 - 2 ) k = -2i - j - k ;
r
r
r
r
r
r
A1 A3 = ( 2 - 3)i + ( 0 - ( -2 )) j + ( 4 - 2 ) k = -i + 2 j + 2k .
Длины этих векторов, т. е. длины ребер А1Аг и А1А3, таковы:
A1 A2 = ( -2 ) 2 + ( -1) 2 + ( -1) 2 = 6 ;
A1 A3 = ( -1) 2 + 2 2 + 2 2 = 3.
2) Скалярное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 находим по формуле (1):
A1 A2 " A1 A3 = ( -2 ) " ( -1) + ( -1) " 2 + ( -1) " 2 = -2,
а косинус угла между ними — по формуле (5):
cos f =
A1 A2 " A1 A3
A1 A2 A1 A3
=
-2
= -0,27
3 6
Отсюда следует, что f — тупой угол, равный p - arccos 0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А1Аг и А1А3.
3) Площадь грани А1АгА3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A1 A2 и A1 A3 , т. е. половине модуля векторного
произведения этих векторов [см. формулу (2)]:
НГАВТ - Стр 11 из 57
r
i
r
j
r
k
r
r
A1 A2 ¥ A1 A3 = - 2 - 1 - 1 = 5 j - 5k .
-1 2
2
Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,
S A1 A2 A3 =
1
1 2
5 2
A1 A2 A1 A3 =
5 + ( -5) 2 =
2
2
2
4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на
r
r
r
векторах A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 . Вектор A1 A4 = 3i - 2 j + 4k . Используя формулу
(3), получаем
- 2 -1 -1
1
1
1
V = A1 A2 A1 A3 A1 A4 = mod - 1 2
2 = mod( -30) = 5
6
6
6
3 -2 4
Пример 2. Найти угол между плоскостью Р1, проходящей через точки А1 (2;
—4; 1), А2 (—1; 2; 0), А3 (0; —2; 3), и плоскостью Р2 , заданной уравнением
5х+2у-3z=0.
Решение. Уравнение плоскости Р1 находим по формуле (4):
x-2
y+4
z -1
x-2
- 1 - 2 2 + 4 0 - 1 = 0,
0 - 2 - 2 + 4 3-1
-3
-2
y + 4 -1
- 1 = 0,
2
6
2
т. е.
7(х-2)+4(у+4)+3(z-1)=0, 7x+4y+3z=1
По
уравнениям
плоскостей
определяем
их
нормальные
векторы:
r r
r
r
r
r
r
r
N1 = 7i + 4 j + 3k , N 2 = 5i + 2 j - 3k . Угол j между плоскостями P1 и P2
находим по формуле (5):
НГАВТ - Стр 12 из 57
r r
N1 " N 2
cos j = r r ª 0,64
N1 N 2
откуда j = arccos 0,64 = 0,87 рад.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А1 (4; -3; 1)
и А2 (5; -3; 0).
Решение. Используя формулу (6), получаем
x-4
y( -3 )
z -1
=
=
,
5 - 4 - 3 - ( - 3) 0 - 1
x -4 y+ 3 z -1
=
=
1
0
-1
Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит
плоскости y = -3.
Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных
уравнений
Ï2 x1 + x2 - 3 x3 = -5
Ô
Ì x1 - 2 x2 + 2 x3 = 17
Ô x + x + 3x = 4
2
3
Ó 1
(16)
Решение. Вычислим определитель системы
2 1 - 3 2 -1 -9
-1 -9
D = 1 - 2 2 = 1 - 3 - 1 = 1 & ( -1) 3+1
= -26
- 3 -1
1 1
3
1 0
0
Так как D ( 0 , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера
(11). Для этого найдем D 1 , D 2 , D 3 :
-5 1 -3
2 -5 -3
D 1 = 17 - 2 2 = -78, D 2 = 1 17
2 = 130 ,
4
1
3
1 4
3
НГАВТ - Стр 13 из 57
2
1
D3 = 1 - 2
1 1
-5
17 4 = -52
3
Подставляя найденные значения определителей в формулы (11), получаем искомое решение системы: x1 = D 1 / D = 3, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 2.
Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.
Решение. Здесь
Ê 2 1 - 3ˆ
Á
˜
A = Á 1 - 2 2 ˜,
Á1 1
3 ˜¯
Ë
Ê x1 ˆ
Á ˜
X = Á x2 ˜,
Áx ˜
Ë 3¯
Ê - 5ˆ
Á ˜
B = Á 17 ˜
Á 4 ˜
Ë ¯
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля (см. пример 4):
A = -26 , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы
A -1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
A11 =
A12 = A13 =
-2 2
1
3
1 2
1 3
= -8,
A21 = -
= -1,
A22 =
1 -2
= 3,
1
1
1 -3
1
3
2 -3
1
A23 = -
3
= - 6,
A31 =
= 9,
A32 = -
2 1
= -1,
1 1
A33 =
1
-3
-2
2
2 -3
1
2
= - 4,
= -7 ,
2
1
= -5
1 -2
-1
Согласно формуле (9), матрица A , обратная к А, имеет вид
A -1
Ê - 8 - 6 - 4ˆ
˜
1 Á
= - Á -1 9 - 7˜
26 Á
˜
Ë 3 - 1 - 5¯
-1
Проверим правильность вычисления A , исходя из определения обратной
матрицы (8) и используя формулу (7):
НГАВТ - Стр 14 из 57
1 - 3ˆ
Ê - 8 - 6 - 4 ˆÊ 2
Á
˜
Á
˜
1
A -1 A = - Á - 1
9 - 7 ˜Á 1 - 2
2˜ =
26 Á
˜Á
1
3 ˜¯
Ë 3 - 1 - 5 ¯Ë 1
Ê - 8 & 2 + ( -6 ) & 1 + ( -4 ) & 1 - 8 & 1 + ( - 6 ) & ( -2 ) + ( -4 ) & 1
1 Á
= - Á - 1 & 2 + 9 & 1 + ( -7 ) & 1
- 1 & 1 + 9 & ( -2 ) + ( - 7 ) & 1
26 Á
3 & 1 + ( -1) & ( -2 ) + ( -5 ) & 1
Ë 3 & 2 + ( -1) & 1 + ( -5 ) & 1
- 8 & ( -3) + ( -6) & 2 + ( -4) & 3 ˆ
0
0 ˆ Ê1 0 0ˆ
Ê - 26
˜
˜ Á
˜
1 Á
- 1 & ( -3 ) + 9 & 2 + ( - 7 ) & 3 ˜ = - Á 0
- 26
0 ˜ = Á0 1 0˜ = Е
26 Á
3 & ( -3 ) + ( -1) & 2 + ( -5 ) & 3 ˜¯
0
- 26 ˜¯ ÁË 0 0 1 ˜¯
Ë 0
Матричное решение системы (16) в силу формулы (12) имеет вид
Ê x1 ˆ
Ê - 8 - 6 - 4 ˆÊ - 5 ˆ
Ê - 78 ˆ Ê 3 ˆ
Á ˜
Á
˜
Á
˜
˜ Á ˜
1
1 Á
x
=
1
9
7
17
=
130
Á 2˜
Á
˜Á ˜
Á
˜ = Á - 5˜
26
26
Áx ˜
Á 3 - 1 - 5 ˜Á 4 ˜
Á - 52 ˜ Á 2 ˜
Ë 3¯
Ë
¯Ë ¯
Ë
¯ Ë ¯
откуда следует (из условия равенства двух матриц), что х1 = 3, х2 = - 5, х3 = 2.
Пример 6. Найти решение однородной системы линейных уравнений
Ï8 x1 - 3 x2 - 4 x3 = 0
Ô
Ì - x1 + x2 + x3 = 0
Ô 4x + x = 0
1
2
Ó
(17)
Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг
матрицы системы
Ê 8 - 3 - 4ˆ
Á
˜
A = Á-1
1
1˜
Á 4
1
0 ˜¯
Ë
меньше числа неизвестных [см. формулу (13)]. Приведем матрицу А к каноническому виду Ar путем элементарных преобразований. Прибавляя к 1-му столбцу 3-
НГАВТ - Стр 15 из 57
й, а из 3-го вычитая 2-й, получаем
Ê 4 - 3 - 1ˆ
Á
˜
A ~ Á0
1
0˜
Á4
1 - 1 ˜¯
Ë
Умножим 1-й столбец на 1/4, а затем вычтем из 3-й строки 1-ю:
Ê 1 - 3 - 1ˆ Ê 1 - 3 - 1ˆ
Á
˜ Á
˜
A ~ Á0
1
0 ˜ ~ Á0
1
0˜
Á1
1 - 1 ˜¯ ÁË 0
4
0 ˜¯
Ë
Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 4, а затем ко 2-му и 3-му столбцам
прибавим 1-й столбец, умноженный соответственно на 3 и 1:
Ê 1 - 3 - 1ˆ Ê 1 0 0 ˆ
Á
˜ Á
˜
A ~ Á0
1
0 ˜ ~ Á0 1 0˜
Á0
0
0 ˜¯ ÁË 0 0 0 ˜¯
Ë
Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и система (17) имеет нетривиальное
решение. Примем за главные неизвестные x1 и x 2 . Тогда система (17) сводится к
системе двух уравнений
Ï- x1 + x2 = - x3
Ì
Ó 4 x1 + x2 = 0
1
4
x 3 , x 2 = - x 3 . Придавал свободному
5
5
неизвестному x 3 произвольные значения x 3 = 5 t , получаем решение системы
(17) в виде x1 = t , x 2 = - 4 t , x 3 = 5 t .
решение которой имеет вид x1 =
Пример 7. Определить собственные значения и собственные векторы
матрицы
НГАВТ - Стр 16 из 57
Ê1 6ˆ
A = ÁÁ
˜˜
1
2
Ë
¯
Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (14):
1- l
6
1
2-l
= 0, или l2 - 3l - 4 = 0,
откуда следует, что матрица А имеет два собственных значения l1 = 4 и
l2 = -1 . Собственный вектор X 1 , соответствующий l1 = 4 , определяется из
системы уравнений вида (15)
Ï(1 - 4) x1 + 6 x2 = 0
Ï- 3 x1 + 6 x2 = 0
или Ì
Ì
Ó x1 + ( 2 - 4) x2 = 0
Ó x1 - 2 x2 = 0
которая сводится к одному уравнению x1 = 2x 2 . Полагая x 2 = t , получаем
решение в виде x1 = 2 t , x 2 = t . Следовательно, первый собственный вектор есть
Ê 2ˆ
X 1 = ÁÁ ˜˜ t .
Ë1¯
Второй собственный вектор X 2 , соответствующий собственному значению
l2 = -1 , определяется из системы уравнений вида (15):
Ï(1 + 1) x1 + 6 x2 = 0
Ì
Ó x1 + ( 2 + 1) x2 = 0
Эта система уравнений также сводится к одному уравнению x1 + 3 x 2 = 0 ;
полагая x 2 = t , запишем ее решение в виде x1 = - 3t , x 2 = t . Следовательно,
Ê - 3ˆ
X
=
ÁÁ ˜˜ t .
2
второй собственный вектор есть
Ë 1 ¯
Таким образом, матрица А имеет два собственных различных значение
l1 = 4 и l2 = -1 и два собственных вектора, равных (с точностью до
Ê 2ˆ
Ê - 3ˆ
X
=
Á
˜
t
X
=
˜˜ t .
постоянного множителя) 1 Á ˜ , 2 ÁÁ
1
1
Ë ¯
Ë ¯
НГАВТ - Стр 17 из 57
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Основные теоретические сведения
1. Прямоугольные координаты (х, у) точки М и ее полярные координаты
( r , j ) связаны соотношениями
x = r cos j ,
r=
x 2 + y2 ,
y = r sin j
tgj = y / x
(1)
где r - полярный радиус, а j - полярный угол точки М (рис. 3).
2. Определение конечного предела функции в точке: число А называется
пределом функции f ( x ) при x Æ a , если для любого e > 0 найдется d > 0
такое, что
f ( x) - A < e
f ( x ) = A или
при x - a < d . Обозначение: lim
xÆa
f ( x ) Æ a при x Æ a .
Функция f ( x ) ( F ( x )) называется бесконечно малой (бесконечно большой)
при x Æ a , если lim f ( x ) = 0 (lim F ( x ) = • ) .
xÆa
xÆa
f ( x ) и j ( x ) , одновременно стремящиеся к нулю или
f (x)
= 1.
бесконечности при x Æ a , называются эквивалентными, если lim
xÆa j ( x )
Обозначение: f ( x ) ~ j ( x ) .
Две функции
Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не
изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т. е.
f ( x)
f ( x)
= lim 1
xÆa j ( x )
xÆa j ( x )
1
lim
(2)
если f ( x ) ~ f1 ( x ), j ( x ) ~ j 1 ( x ) .
3. К основным элементарным функциям относятся: 1) степенная функция
y = x n ; 2) показательна функция y = a x ; 3) логарифмическая функция
y = log a x ; 4) тригонометрические функции: y = sin x , y = cos x , y = tg x ,
y = ctg x; 5) обратные тригонометрические функции: y = arcsin x ,
y = arccos x , y = arctg x .
НГАВТ - Стр 18 из 57
Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частно-
f ( x ) = f (a) .
му значению функции в этой точке: lim
xÆa
Y
0
r
x,r
j
M(r;j)
Рис. 3
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их
•
•
пределов, приводит к неопределенностям вида • - • , • & 0 , 0 / 0 , 1 , 0 , • .
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1)
сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и
знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при
x Æ • 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно
больших; 4) использование двух замечательных пределов:
sin a ( x )
lim
= 1;
a ( x )Æ 0
a( x )
lim (1 + a ( x ))
1
a( x )
a ( x )Æ 0
=e
Отметим также, что
lim
C
= 0,
f ( x)
если lim f ( x ) = •
lim
C
= •,
f ( x)
если lim f ( x ) = 0
xÆa
xÆa
xÆ a
xÆa
lim
f (x)
= 0,
xÆa j ( x )
если lim f ( x ) = 0 , lim j ( x ) = •
f ( x)
= •,
xÆa j ( x )
если lim f ( x ) = • , lim j ( x ) = 0
lim
xÆa
xÆa
xÆa
xÆa
0
(3)
НГАВТ - Стр 19 из 57
4. Функция/(х) называется непрерывной в точке x = a , если:
1) частное значение функции в точке x = a равно f (a ) ;
2) существуют конечные односторонние пределы функции
lim f ( x ) = f ( a - 0 ),
x Æ a -0
lim f ( x ) = f ( a + 0 )
xÆa+0
(4)
3) односторонние пределы равны:
f ( a - 0) = f ( a + 0 ) = C ,
(5)
4) предельное значение функции в точке x = a равно ее частному значению
f (a )
С = f (a )
(6)
f ( x ) = f (a)
Обозначение: lim
xÆa
Точка x = a называется точкой устранимого разрыва, если f ( a ) ( С
[нарушается условие (6)].
Точка x = a называется точкой разрыва первого рода, если оба
односторонних предела конечны, но f ( a - 0 ) ( f ( a + 0 ) [нарушается условие
(5)].
Точка x = a называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один
из односторонних пределов равен бесконечности или не существует [нарушается
условие (4)].
z = x + yi = r (cos j + i sin j )
5. Выражение
вида
называется
комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме
соответственно). Здесь i2 = - 1, x = Re z — действительная часть, а y = Im z
— мнимая часть комплексного числа z ; r и j — модуль и аргумент числа z .
r= z =
x 2 + y 2 , j = arg z
( tgj = y / x )
(7)
Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.
4).
Извлечение корня n-й степени (n — натуральное число) из числа
z = x + yi = r (cos j + i sin j ) ( z ( 0 ) производится по формуле
НГАВТ - Стр 20 из 57
j + 2kp
j + 2kp ˆ
Ê
r Á cos
+ i sin
˜
n
n
Ë
¯
r — арифметический корень из модуля z , a k = 0,1..., n - 1 .
n
n
где
z =
n
у
у
у
(8)
5
6
÷3
z=x+iy
0
у
0
7
х,r
j
j
r
х
4
Действительная ось
х
Мнимая
ось
3
8
-1
2
М(÷3;-1)
Рис. 4
х,r
0
Рис. 5
Рис. 6
Пример 1. Найти полярные координаты точки M ( 3 ;- 1) (рис. 5).
Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный
угол точки М:
r =
x 2 + y2 =
( 3 ) 2 + ( - 1) 2 = 2,
j = - arctg
tg j =
y
3
=,
x
3
3
p
=- ,
3
6
так как точка М лежит в IV четверти.
Пример 2. Построить по точкам график r = 2 sin j в полярной системе
координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе
координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох —
с полярной осью. Определить вид кривой.
Решение. Так как полярный радиус не отрицателен, т. е. r 3 0 , то
sin j 3 0 , откуда 0 £ j £ p ; значит, вся кривая расположена в верхней
полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:
Номера точек
j
sin j
1
0
0
2
p/8
0,38
3
p/4
0,71
4
3p/8
0,92
5
p/2
1
6
5p/8
0,92
7
3p/4
0,71
8
7p/8
0,38
9
p
0
НГАВТ - Стр 21 из 57
r = 2 sin j
0
0,76
1,42
1,84
2
1,84
1,42
0,76
0
Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом j k , откладываем соответствующее значение полярного радиуса r k = r (j k ) и соединяем
полученные точки (рис. 6).
Найдем уравнение кривой r = 2 sin j в прямоугольной системе координат.
Для этого заменим r и j их выражениями через x и y по формулам (1):
x 2 + y2 =
2y
x 2 + y2
,
x 2 + y2 = 2 y
Окончательно имеем x + ( y - 1 ) = 1 , т. е. рассматриваемое уравнение
выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.
2
2
ctg ( x - 3 )
lim
Пример 3. Найти x Æ 3
ln( 4 - x )
Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем
в числителе бесконечно большую, а в знаменателе — бесконечно малую функцию:
lim ctg ( x - 3 ) = • ,
xÆ 3
Поэтому lim
xÆ 3
lim ln( 4 - x ) = 0
xÆ 3
ctg ( x - 3 )
=•
ln( 4 - x )
12 x 4 + 5 x
Пример 4. Найти lim
xƕ - 4 x 4 + 7
Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида • / • . Так как под знаком предела стоит отношение двух
многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумен4
та, т. е. на x . В результате получим
12 x 4 + 5 x
12 + 5 / x 3
- 12 + 0
lim
=
lim
=
= -3
xƕ - 4 x 4 + 7
xƕ - 4 + 7 / x 4
-4+0
3
4
поскольку при x Æ • функции 5 / x и 7 / x являются бесконечно малыми.
1 - cos 4 x
Пример 5. Найти lim
x Æ 0 ln( 1 - x 2 )
Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида 0 / 0
НГАВТ - Стр 22 из 57
используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при
xÆ0
1 - cos 4 x = 2 sin 2 2 x ~ 8 x 2 ,
ln( 1 - x 2 ) ~ - x 2 , то на основании
формулы (2) находим
1 - cos 4 x
8x2
lim
= lim
= -8
x Æ 0 ln( 1 - x 2 )
x Æ0 - x 2
(5 + 2 x )
Пример 6. Найти xlim
Æ -2
1
x+2
.
x = - 2 приводит к неопределенности
y = 0 . Тогда
Произведем замену переменных: y = x + 2 , xlim
Æ -2
Решение. Подстановка
lim ( 5 + 2 x )
1
x+2
x Æ -2
1• .
2
1
Ê
ˆ
y ˜
Á
= lim (1 + 2 y ) = lim (1 + 2 y )
= e2
yÆ0
Á
˜
Ë
¯
1
y
yÆ 0
Здесь использован второй замечательный предел (3).
Пример 7. Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме
a ( x ) = sin 3 x - 4 tgx при x Æ 0
x Æ 0 оба слагаемых являются бесконечно
Решение. Очевидно, что при
малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя
замену бесконечно малых эквивалентными:
sin 3 x - 4 tgx
4 tgx ˆ
tgx
Ê
lim
= lim Á 1 = 1 - 4 lim
=•
˜
3
3
x Æ0
xÆ0
x Æ 0 sin 3 x
sin x
sin
x
Ë
¯
sin 3 x - 4 tgx
sin 3 x
lim
= lim
+1 = 1
x Æ0
x Æ 0 - 4 tgx
- 4 tgx
Следовательно, функция
второму слагаемому.
a ( x ) = sin 3 x - 4 tgx эквивалентна при x Æ 0
Пример 8. Исследовать функцию
НГАВТ - Стр 23 из 57
Ï
x +1
при x < - 1,
Ô
x
+
1
ÔÔ
y = Ì 1 - x 2 при - 1 £ x £ 0 ,
Ô
1 - x при x > 0
Ô
ÔÓ
на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить
схематический график функции.
Решение. Так как данная функция определена на всей числовой оси, то
«подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналиx = - 1 и x = 0 . Вычислим
тическое выражение функции, т. е. точки
односторонние пределы в этих точках.
Для точки x = - 1 имеем:
x +1
- ( x - 1) sin 3 x
f ( - 1 - 0 ) = lim
= lim
= - 1;
x Æ -1- 0 x + 1
x Æ - 1- 0
x+1
f ( - 1 + 0 ) = lim
x Æ -1+ 0
1 - x2 = 0
Односторонние пределы функции в точке x = - 1 существуют, но не равны
между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.
Для точки x = 0 получаем
f ( 0 - 0 ) = lim
xÆ 0- 0
1 - x 2 = 1,
f ( 0 + 0 ) = lim 1 - x = 1
x Æ0 +0
Односторонние пределы функции при x Æ 0 равны между собой и равны
f (0) = 1 - x
частному значению функции
исследуемая точка является точкой непрерывности.
График данной функции приведен на рис. 7.
2
x =0
= 1.
Следовательно,
Пример 9. Изобразить на комплексной плоскости числа: 1) z1 = - 8 ,
p
p
Ê
z 2 = 2Á cos + i sin
4
4
Ë
в алгебраической форме.
2)
ˆ
˜ . Записать число z1 в тригонометрической, а число z 2
¯
НГАВТ - Стр 24 из 57
z1 имеем x1 = Re z1 = - 8 , y1 = Im z1 = 0 .
Откладывая по оси Ox x1 = - 8 , а по оси Oy y1 = 0 , получаем точку
комплексной плоскости, соответствующую числу z1 (рис. 8). Модуль этого числа
Решение. 1) Для числа
находим по формуле (7):
Y
Y
1
Z2
Z1
1
-1
0
Рис. 7
Х
-8
p/4
0
Х
Рис. 8
r 1 = z1 = ( - 8 ) 2 + 0 2 = 8 .
Аргумент
определяем
из
равенства
y
0
tg j = =
= 0 . Так как число z1 находится в левой полуплоскости, то
x ( -8)
его аргумент j 1 = p . Тригонометрическая форма числа z1 имеет вид
z1 = 8 (cos p + i sin p ) .
p
2) Модуль числа z 2 равен r 2 , а аргумент j 2 =
. Для его изображения на
4
p
комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом j 2 =
к полярной
4
оси и откладываем на нем отрезок длиной r 2 = 2 . Полученная точка
соответствует числу z 2 (рис. 8).
Его
действительная
часть
p
Re z 2 = x 2 = r 2 cos j 2 = 2 cos = 2 ,
а
мнимая
часть
4
p
Im z 2 = y2 = r 2 sin j 2 = 2 sin = 2 . Таким образом, алгебраическая форма
4
числа z 2 имеет вид z 2 = 2 + i 2 .
НГАВТ - Стр 25 из 57
3
Пример 10. Вычислить - 8
Решение. Модуль числа - 8 равен 8 , а аргумент равен p . Используя
формулу (8), получаем
3
-8 =
3
8 (cos p + i sin p =
3
p + 2kp
p + 2kp ˆ
Ê
8 Á cos
+ i sin
˜;
3
3
Ë
¯
k = 0, 1, 2
p + 2 & 0 &p
p + 2 & 0 &p ˆ
Ê
При k = 0 : 3 - 8 = 2Á cos
+ i sin
˜=
3
3
Ë
¯
p
pˆ
Ê
= 2Á cos + i sin ˜ = 1 + i 3
3
3¯
Ë
p + 2 &1 &p
p + 2 &1 &p ˆ
Ê
При k = 1 : 3 - 8 = 2Á cos
+ i sin
˜=
3
3
Ë
¯
= 2(cos p + i sin p ) = - 2
p + 2 & 2 &p
p + 2 & 2 &p ˆ
Ê
При k = 2 : 3 - 8 = 2Á cos
+ i sin
˜=
3
3
Ë
¯
5p
5p ˆ
Ê
= 2Á cos
+ i sin
˜ = 1- i 3
3
3 ¯
Ë
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Основные теоретические сведения
1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций (неопределенность 0 / 0 или • / • ) равен пределу
отношения их производных:
НГАВТ - Стр 26 из 57
f ( x)
f ¢( x )
= lim
xÆa j ( x )
x Æ a j ¢( x )
lim
(1)
если предел справа существует.
2. Если в некоторой окрестности точки
x 0 выполняется неравенство
f ( x ) < f ( x 0 ) или f ( x ) > f ( x 0 ) , то точка x 0 называется точкой экстремума
f ( x ) (соответственно точкой максимума или минимума).
функции
Необходимое условие экстремума: если x 0 — экстремальная точка функции
f ( x ) , то первая производная f ¢( x 0 ) либо равна нулю или бесконечности, либо
не существует. Достаточное условие экстремума: x 0 является экстремальной
точкой функции f ( x ) , если ее первая производная f ¢( x ) меняет знак при
переходе через точку x 0 : с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс
— при минимуме.
3. Точка x 0 называется точкой перегиба кривой y = f ( x ) , если при
x 0 меняется направление выпуклости. Необходимое
условие точки перегиба: если x 0 — точка перегиба кривой y = f ( x ) , то вторая
производная f ¢¢( x 0 ) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует.
переходе через точку
Достаточное условие точки перегиба: x 0 является точкой перегиба кривой
y = f ( x ) , если при переходе через точку x 0 вторая производная f ¢¢( x 0 )
меняет знак,
4. Прямая
y ac = kx + b
называется
наклонной
асимптотой
кривой
y = f ( x ) , если расстояние от точки ( x ; f ( x )) кривой до этой прямой
стремится к нулю при x Æ • . При этом
k = lim
xƕ
f (x)
,
x
b = lim ( f ( x ) - kx )
xÆ •
(2)
При k = 0 имеем горизонтальную асимптоту: y = b .
Если
lim f ( x ) = • ,
xÆ a-0
или
lim f ( x ) = • ,
xÆa+0
то прямая x = a называется вертикальной асимптотой,
4. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
I. Элементарное исследование:
(3)
НГАВТ - Стр 27 из 57
1) найти область определения функция;
2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;
3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;
4) выяснить существование асимптот;
5) определить, если это не вызовет особых затруднения, точки пересечения
графика функция с координатными осями;
6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.
II. Исследование графика функции по первой производной:
1) найти решения уравнений y ¢( x ) = 0, y ¢( x ) = • и y ¢ не существует;
2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;
3) вычислить значения функции в точках экстремума;
4) найти интервалы монотонности функции;
5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;
6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.
III. Исследование графика функции по второй производной:
1) найти решения уравнений y ¢¢( x ) = 0, y ¢¢( x ) = • и y ¢¢ не существует;
2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;
3) вычислить значения функции в точках перегиба;
4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
5) нанести на эскиз графика точки перегиба;
6) окончательно построить график функции.
Если исследование цроведено без ошибок, то результаты всех этапов должны
согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо
проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные
ошибки.
6. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных
u = f ( x , y , z ) по аргументу x называется предел
lim
Dx Æ 0
D f
f ( x + D x , y, z ) - f ( x , y, z )
= lim x
D Æ 0 Dx
Dx
(приращение получает только один аргумент x ). Обозначение: u ¢x =
(4)
du
.
dx
du
сводится к дифференцированию функции
dx
одной переменной u( x ) = f ( x , y0 , z 0 ) , полученной при фиксировании аргументов y и z : y = y0 , z = z 0 .
7. Скалярным полем U = U ( M ) называется скалярная функция точки M
Отыскание частной производной
НГАВТ - Стр 28 из 57
вместе с областью ее определения.
Уравнение
U ( x , y, z ) = C
( или U ( x , y ) = C )
(5)
определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное
поле принимает одно и то же значение C .
Скалярное поле U ( M ) характеризуется градиентом
6 U r 6 U r 6U r
grad U =
i+
j+
k
6x
6y
6z
(6)
r
r
r
r
l
=
l
i
+
l
j
+
l
k
и производной по направлению
скалярному
x
y
z , равной
r0
r
произведению grad U и единичного вектора l направления l :
Пример 1. Составить уравнение касательной к нормали к кривой
y = 1 - 4 x в точке, абсцисса которой x 0 = - 2 .
Решение. Найдем ординату точки касания: y0 =
коэффициент
k = y ¢( x 0 ) =
касательной
(
Подставляя
1 - 4x
)¢
x0
значения
равен
=-
значению
4
2 1 - 4 x0
x0 ,
y0 и
1 - 4 x 0 = 3 . Угловой
производной в точке x 0 :
=x 0 = -2
y0¢
y - y0 = f ¢( x 0 )( x - x 0 ) и нормали y - y0 = -
в
2
3.
уравнения
касательной
1
( x - x 0 ) , получаем:
f ¢( x 0 )
2
y - 3 = - ( x + 2 ), 2 x + 3 y - 5 = 0 (касательная);
3
3
y - 3 = ( x + 2 ), 3 x - 2 y + 12 = 0 (нормаль).
2
Пример 2. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:
x 3 - x 2 - 8 x + 12
1 ) lim 3
;
xÆ2 x - 5 x 2 + 8 x - 4
2
ex
2 ) lim 2 .
xƕ x
Решение. 1) Подстановка предельного значення аргумента x = 2 приводит к
неопределенности вида 0 / 0 . Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1):
НГАВТ - Стр 29 из 57
x 3 - x 2 - 8 x + 12
( x 3 - x 2 - 8 x + 12 ) ¢
lim 3
= lim 3
=
xÆ2 x - 5 x 2 + 8 x - 4
x Æ 2 ( x - 5 x 2 + 8 x - 4 )¢
3x2 - 2x - 8
= lim
.
x Æ 2 3 x 2 - 10 x + 8
Однократное
применение
правила
Лопиталя
неопределенности (по-прежнему получаем
не
приводит к раскрытию
0
), поэтому применим его еще раз:
0
3x2 - 2x - 8
( 3 x 2 - 2 x - 8 )¢
6x - 2
12 - 2
lim
=
lim
=
lim
=
= 5.
x Æ 2 3 x 2 - 10 x + 8
x Æ 2 ( 3 x 2 - 10 x + 8 ) ¢
x Æ 2 6 x - 10
12 - 10
Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя
находим, что искомый предел равен 5.
2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида • • , применим
правило Лопиталя:
( )
2
2 ¢
2
ex
ex
2 xe x
lim 2 = lim
= lim
= •.
xƕ x
xƕ
xƕ
2 ¢
2
x
x
( )
x3
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию y = .
( x + 1) 2
x 2 ( x + 3)
Решение. Находим первую производную: y ¢ = . Из уравнений
( x + 1) 3
y ¢ = 0 и y ¢ = • получаем точки, «подозрительные» на экстремум: x 1 = 0 ,
x 2 = - 3 , x 3 = - 1 . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и
справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы
изменения знака y ¢ :
x
y¢
y
( -• , - 3 )
-
-3
0
( - 3 , - 1)
+
-1
•
(- 1, 0 )
-
убыв.
min
возр.
не опр.
убыв.
0
0
0
( 0, + • )
убыв.
В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками x 1 , x 2 , x 3 и сами эти точки. Во второй строке указаны
НГАВТ - Стр 30 из 57
знаки производной y ¢ в интервалах монотонности. В третьей строке приведено
заключение о поведении функции.
Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке
x = - 3 : y ( - 3 ) = 27 / 4 . Точки x = - 1 и x = 0 не являются точками
экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности
второй точки первая производная сохраняет знак.
x3
.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции y = 2
( x + 1)
Решение. Точка x = - 1 является точкой разрыва функции. Так как
- x3
lim
= +• , то прямая x = - 1 служит вертикальной ассимптотой
x Æ - 1 ± 0 ( x + 1) 2
графика функции [см. формулы (3)].
Ищем наклонные асимптоты yac = kx + b , используя формулы (2):
f ( x)
- x3
k = lim
= lim
= - 1,
x Æ ±•
x Æ ±• ( x + 1) 2 & x
x
Ê - x3
ˆ
˜˜ = 2 .
b = lim ( f ( x ) - kx ) = lim ÁÁ
+
x
x Æ ±•
x Æ ±• ( x + 1) 2
Ë
¯
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид y ac = - x + 2 .
x3
Пример 5. Построить график функции y = ( x + 1 ) 2 , используя общую
схему исследования функции.
Решение. I. Область определения: ( -• , - 1 ), ( - 1, +• ) . Функция не является
симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:
- x3
- x3
- x3
lim
= +• , lim
= -• , lim
= +• .
x Æ -• ( x + 1) 2
x Æ +• ( x + 1) 2
x Æ - 1 ± 0 ( x + 1) 2
График функции имеет одну вертикальную асимптоту x = - 1 и одну
наклонную асимптоту y = - x + 2 (см. пример 4). Он пересекает координатные
оси в точке (0; 0).
II. Функция имеет один минимум при x = - 3 (см. пример 3).
- 6x
¢
¢
y
=
III. Вторая производная
( x + 1) 4 обращается в бесконечность при
x = - 1 и равна нулю в точке x = 0 , которая является единственной точкой
перегиба (см. таблицу):
НГАВТ - Стр 31 из 57
x
y¢
( -• , - 1)
+
-1
•
(- 1, 0 )
+
0
0
( 0, + • )
-
y
»
не опр.
»
точка
перегиба
«
Учитывая
полученные
результаты,
строим
график
функции
x3
y=( x + 1 ) 2 (рис. 9).
Пример 6. Найти первую производную функции
параметрически:
y = f ( x ) , заданной
x = ln( 1 - t ),
y = ( t - 1) 2 .
x (t ) и
Дифференцируем
Решение.
y (t ) no
параметру t :
1
, y t¢ = 2( t - 1) . Искомая производная от y по x равна отношению
1- t
производных от y (t ) и от x (t ) по t :
y¢
dy
2( t - 1)
y ¢x =
= t =
= 2( t - 1) 2 .
dx x t¢ - 1 /(1 - t )
x t¢ = -
Пример
7.
Найти
частные
производные
du du du
,
,
dx dy dz
функции
u = z x 3 - ye z .
Решение. Считая функцию u функцией только одной переменной x , а
переменные y и z рассматривая как постоянные [см. формулу (4)], находим
du 3
= z x . Аналогично, считая u функцией только y , а затем только z ,
dx 2
du
du
z
=
e
,
= x 3 - ye z .
получаем
dy
dz
t
2
2
-3
-1
0
x
y=-x+2
Рис. 9
НГАВТ - Стр 32 из 57
Пример 8. Найти поверхности уровня скалярного поля U = x + y + z .
2
Вычислить производную поля в точке
2
2
A ( - 2 3 ; - 1; 1 ) по направлению
Æ
вектора AB , где B ( 0; - 4; 3 ) .
Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические
сферы с центром в начале координат [см. формулу (5)]: x + y + z = С .
2
2
2
r
r
r
Градиент вычисляется по формуле (6): gradU = 2 x i + 2 y j + 2 zk .
Æ
Найдем единичный вектор AB :
Æ
r
r
r
r0
AB
2 3i - 3 j + 2k 2 3 r 3 r 2 r
l = Æ =
=
i - j + k,
5
5
5
12 + 9 + 4
AB
а затем по формуле (7) производную скалярного поля U по направлению вектора
Æ
AB в точке A :
dU
dl
A
r0
Ê
2 3
2ˆ
Ê 3ˆ
= ( gradU , l ) = ÁÁ 2 x &
+ 2 y & Á - ˜ + 2 z & ˜˜ = - 2,8
5
5¯
Ë 5¯
Ë
A
dU
< 0 , то данное скалярное поле убывает в направлении вектора
Так как
dl
Æ
AB .
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
I. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и
А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем
пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и
А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.
1. А1(-1; 2; 1), А2(-2; 2; 5), А3(-3; 3; 1), А4(-1; 4; 3).
2. А1(-2; I; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1).
3. А1(1; 1; 2), А2(0; 1; 6), А3(-l; 2; 2), A4(l; 3; 4).
4. А1(-1; -2; 1), А2(-2; -2; 5), А3(-3, -1; 1), A4(-1; 0; 3).
5. А1(2; -1; 1), А2(1; -1; 5), (0; 0; 1), (2; 1; 3).
6. А1(-l; 1; -2), А2(-2; 1; +2), А3(-3; 2; -2), А4(-1; 3;0).
НГАВТ - Стр 33 из 57
7. А1 (1; 2; 1), А2(0; 2; 5), А3(-1; 3; 1), А4(1; 4; 3).
8. А1(-2; -1; 1), А2(-3; -1; 5), А3(-4; 0; 1), А4(-2; 1; 3).
9. А1 (1; -1; 2), А2(0; -1; 6), А3(-1; 0; 2), А4(1; 1; 4).
10. А1(1; -2; 1), А2(0; -2; 5), А3(-1; -1; 1), А4(0; 0; 3).
11. А1 (0; 3; 2), А2(-1; 3; 6), А3(-2; 4; 2), А4(0; 5; 4).
12. А1(-1; 2; 0), А2(-2 2; 4), А3(-3; 3; 0), А4(-1; 4; 2).
13. А1(2; 2; З), А2(1; 2; 7), А3(0; 3; З), А4(2; 4; 5).
14. А1(0; -1; 2), А2(-1; -1; 6), А3(-2; 0; 2), А4(0; 1; 4).
15. А1(3; 0; 2), А2(2; 0; 6), А3(1; 1; 2), А4(3; 2; 4).
16. А1(0; 2; -1), А2(-1; 2; 3), А3(-2; 3; 7), А4(0; 4; 1).
17. А1(2; 3; 2), А2(1; 3; 6), А3(0; 4; 2), А4(2; 5; 4).
18. А1(-1; 0; 2), А2(-2; 0; 6), А3(-3; 1; 2), А4(-1; 2; 4).
19. А1 (2; 0; 3), А2(1; 0; 7), А3(0; 1; 3), А4(2; 2; 5).
19.А1(2; -1; 2), А2(1; -1; 6), А3(0; 0; 2), А4(2; 1;4).
II. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
Ï - x1 + 2 x2 + x3 = 5
Ô
2 x - 3 x2 + 3 x3 = 1
1) Ì 1
Ô x - 5 x = -9
2
3
Ó
Ï - 2 x2 - 5 x3 = -12
Ô
- 2 x1 - x2 + 3 x3 = 7
2) Ì
Ô -х +x +x =4
1
2
3
Ó
Ï- 3 x1 + х2 + 3 x3 = 10
Ô
- 2 x 2 - x 3 = -4
3) Ì
Ô 2х - x + 3x = 3
1
2
3
Ó
Ï - x1 + 2 x3 = 5
Ô
2 x + 2 x2 + 5 x3 = 10
4) Ì 1
Ô3 х - 2 x + 2 x = -1
2
3
Ó 1
Ï2 x1 - x2 - 6 x3 = -15
Ô
3 x1 - x2 + x3 = -2
5) Ì
Ô - x + 3x = 7
1
3
Ó
Ï - x1 + x2 - x3 = 0
Ô
3 x - 4 x 2 + 3 x 3 = -1
6) Ì 1
Ô - 2 x - 3 x = -8
2
3
Ó
Ï2 x1 - х2 + x3 = -1
Ô
- x1 + 3 x3 = 7
7) Ì
Ô х + x + 3x = 6
2
3
Ó 1
Ï 3 x1 - 2 x2 = -5
Ô
x - 2 x 2 + x 3 = -1
8) Ì 1
Ô х + 3x - x = 0
2
3
Ó 1
Ï x1 - 3 x2 + x3 = -2
Ô
x - 2 x2 - 4 x3 = -11
9) Ì 1
Ô - 2x - x = 1
1
2
Ó
Ï - x1 + 3 x2 = 4
Ô
3 x - 2 x 2 + x 3 = -3
10) Ì 1
Ô 2 х + x - x = -3
2
3
Ó 1
НГАВТ - Стр 34 из 57
Ï4 x1 + 7 x2 - 3 x3 = -10
Ô
2 x1 + 9 x2 - x3 = 8
11) Ì
Ô - x + 6x - 3x = 3
1
2
3
Ó
Ï2 x1 + 4 x2 - 3 x3 = -10
Ô
- x1 + 5 x2 - 2 x3 = 5
13) Ì
Ô 3x - 2x + 4x = 3
1
2
3
Ó
Ï x1 - 5 x2 + 3 x3 = -1
Ô
2 x1 + 4 x2 + x3 = 6
12) Ì
Ô- 3 x + 3 x - 7 x = -13
1
2
3
Ó
Ï- 2 x1 + 5 x2 - 6 x3 = -8
Ô
x1 + 7 x2 - 5 x3 = 4
14) Ì
Ô 4 x + 2 x - x = -12
2
3
Ó 1
Ï- 3 x1 + 5 x2 - 6 x3 = -5
Ô
2 x1 - 3 x2 + 5 x3 = 8
15) Ì
Ô x + 4x - x = 1
1
2
3
Ó
Ï3 x1 - 9 x2 + 8 x3 = 5
Ô
2 x - 5 x 2 + 5 x3 = 4
16) Ì 1
Ô 2 x - x + x = -4
2
3
Ó 1
Ï x1 + 3 x2 - 2 x3 = -5
Ô
x + 9 x 2 - 4 x 3 = -1
17) Ì 1
Ô- 2 x + 6 x - 3 x = 6
1
2
3
Ó
Ï- 2 x1 + x2 - 3 x3 = -4
Ô
4 x + 7 x 2 - 2 x 3 = -6
19) Ì 1
Ô x - 8x + 5x = 1
2
3
Ó 1
Ï2 x1 + 3 x2 + x3 = 4
Ô
4 x - x2 + 5 x3 = 6
18) Ì 1
Ô x - 2x + 4x = 9
2
3
Ó 1
Ï x1 + 7 x2 - 2 x3 = 3
Ô
3 x1 + 5 x2 + x3 = 5
20) Ì
Ô- 2 x + 5 x - 5 x = -4
1
2
3
Ó
III. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Ï 3 x1 - 5 x2 - x3 - 2 x4 = 0
Ô
8 x - 6 x2 + 3 x3 - 7 x4 = 0
1) Ì 1
Ô2 x + 4 x + 5 x - 3 x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 3 x1 + 2 x2 - x3 - 9 x4 = 0
Ô
5 x - 3 x2 + 4 x3 - 3 x4 = 0
2) Ì 1
Ô x + 7 x - 6 x - 15 x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 3 x1 + x2 - 3 x3 - 10 x4 = 0
Ô
4 x + 5 x2 - 7 x3 - 20 x4 = 0
3) Ì 1
Ô
2 x1 - 3 x2 + x3 = 0
Ó
Ï x1 + 3 x2 - x3 - 6 x4 = 0
Ô
7 x + 3 x2 + 2 x3 - 15 x4 = 0
4) Ì 1
Ô 5 x - 3x + 4x - 3x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï x1 + x2 - 3 x3 - 6 x4 = 0
Ô
7 x - 3 x2 - 7 x3 - 18 x4 = 0
5) Ì 1
Ô 4 x - x - 5 x - 12 x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï x1 + 3 x2 + 4 x3 - x4 = 0
Ô
5 x - 7 x2 - 2 x3 - 5 x4 = 0
6) Ì 1
Ô 3x - 2x + x - 3x = 0
2
3
4
Ó 1
НГАВТ - Стр 35 из 57
Ï x1 + 4 x2 - 3 x3 - 9 x4 = 0
Ô
3 x2 - 7 x3 - 10 x4 = 0
7) Ì
Ô2 x + 5 x + x - 8 x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 = 0
Ô
5 x - 2 x2 + 4 x3 - 4 x4 = 0
8) Ì 1
Ô x + 2x - 2x - 6x = 0
2
3
4
Ó 1
x1 + 3 x3 + x4 = 0
Ï
Ô
3 x - 2 x2 + 8 x3 + 4 x4 = 0
9) Ì 1
Ô- x + 2 x - 2 x - 2 x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 2 x1 - 2 x2 + x3 - x4 = 0
Ô
2 x - 3 x2 + 5 x3 + 4 x4 = 0
10) Ì 1
Ô- 2 x + x + 3 x + 6 x = 0
1
2
3
4
Ó
Ï 3 x1 - 8 x2 - 7 x3 - x4 = 0
Ô
- x + 7 x2 - 5 x3 - 1,5 x4 = 0
11) Ì 1
Ô x + 6x - 3x + 5x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 3 x1 - x2 + 4 x3 + 2 x4 = 0
Ô
- x - 2 x2 - 7 x3 - x4 = 0
12) Ì 1
Ô 5x - 4x - x + 3x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï x1 + 8 x2 - 6 x3 - 2 x4 = 0
Ô
- 2 x1 - 3 x2 + x3 - x4 = 0
13) Ì
Ô- 3 x - 2 x - 4 x - 4 x = 0
1
2
3
4
Ó
Ï- 3 x1 - 9 x2 + 25 x3 + x4 = 0
Ô
2 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 3 x4 = 0
15) Ì
Ô x - x + 9x - 5x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 3 x1 + x2 + x3 - 3 x4 = 0
Ô
x + 3 x2 - 2 x3 + 2 x4 = 0
14) Ì 1
Ô5 x + 7 x - 3 x + x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï - x1 - 3 x2 + x3 - 8 x4 = 0
Ô
2 x - 4 x2 + 5 x3 - 12 x4 = 0
17) Ì 1
Ô 4x + 2x + 3x + 2x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 2 x1 + x2 - 4 x3 + 2 x4 = 0
Ô
4 x - 9 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 0
18) Ì 1
Ô - x + 5 x - 3x - x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 2 x1 - 4 x2 - x3 + x4 = 0
Ô
x - 7 x2 - 6 x3 - 3 x4 = 0
19) Ì 1
Ô- 3 x + x - 4 x - 5 x = 0
1
2
3
4
Ó
Ï x1 + 4 x2 - 7 x3 - 3 x4 = 0
Ô
- x - 2 x 2 + 3 x3 - x4 = 0
20) Ì 1
Ô- x - 3 x + 5 x + x = 0
2
3
4
Ó 1
Ï 3 x1 - x2 + 2 x3 + x4 = 0
Ô
- 4 x1 + 5 x2 - 3 x3 - x4 = 0
16) Ì
Ô 2x + 3x + x + 3x = 0
2
3
4
Ó 1
IV. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы
третьего порядка.
8
5
Ê 2
Á
-4 1
3
1) Á
Á 8 -2 -6
Ë
4
3
Ê 1
Á
-8 2 -5
2) Á
Á- 2 - 8 - 6
Ë
НГАВТ - Стр 36 из 57
Ê- 6 8 - 2
Á
5
2
8
3) Á
Á 3 -4 1
Ë
Ê 1 4 -3
Á
-8 2 5
5) Á
Á 2 8 -6
Ë
Ê2 - 8 5
Á
4 1 -3
7) Á
Á8 2 - 6
Ë
Ê 2 -8 -5
Á
4
1
3
4) Á
Á- 8 - 2 - 6
Ë
Ê- 6 - 2 8
Á
3
1 -4
6) Á
Á 5
8
2
Ë
-4
3
2
8
5
-6
Ê- 6 -8 2
Á
-5 2 8
9) Á
Á- 3 -4 1
Ë
Ê 1
Á
8
8) Á
Á- 2
Ë
Ê 2
Á
-8
10) Á
Á 4
Ë
Ê-1 - 2 3
Á
1 -2 1
11) Á
Á 1
3 -4
Ë
1
Ê- 2 1
Á
- 2 -1 3
12) Á
Á 3
1 -4
Ë
1
Ê- 4 3
Á
1 -2 1
13) Á
Á 3 - 2 -1
Ë
Ê-1 3 - 2
Á
1 -4 3
14) Á
Á 1
1 -2
Ë
Ê- 3 - 2 1
Á
- 2 - 3 -1
15) Á
Á 4
3 -1
Ë
Ê- 3 - 2 -1
Á
-2 -3 1
16) Á
Á 3
4 -1
Ë
4
Ê-1 3
Á
-1 - 3 - 2
17) Á
Á 1 -2 -3
Ë
Ê- 3 1 - 2
Á
4 -1 3
18) Á
Á- 2 -1 - 3
Ë
3
Ê- 4 1
Á
3 -1 - 2
19) Á
Á 1
1 -2
Ë
3
Ê-1 4
Á
1 -3 -2
20) Á
Á-1 - 2 - 3
Ë
-5 -8
-6 -2
3
1
НГАВТ - Стр 37 из 57
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
f ( x , y) = 0 к
каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax + By + C = 0 .
I.
Привести
уравнение
кривой
второго
порядка
Построить графики кривой и прямой.
1. 2 x - 4 x - y + 3 = 0 ,
2
2. x - 2 y + 4 y - 3 = 0 ,
2
3. x - 2 x - y + 2 = 0 ,
2x - y - 1 = 0
x - 2y +1 = 0
4. x - y + 2 y - 2 = 0 ,
x- y=0
x+ y-2= 0
5. x - 2 x + y + 2 = 0 ,
x- y-2 = 0
2
2
2
6. x + y - 2 y + 3 = 0 ,
x+ y+1 = 0
2
7. 2 x + 8 x + y + 7 = 0 , 2 x + y + 3 = 0
2
8. x + 2 y - 4 y + 4 = 0 , x - 2 y + 4 = 0
2
9. x + 4 x + y + 3 = 0 , x - y + 3 = 0
2
10. x + 2 y + 4 y + 1 = 0 ,
2
11. x - 2 x + y - 3 = 0 ,
2
x + 2y +1 = 0
3x - y - 2 = 0
12. y + x - 4 y + 6 = 0 ,
3 x + 10 = 0
2
2
13. 2 x + y - 12 x + 10 = 0 , x + y - 2 = 0
2
14. x + 2 x + y - 2 = 0 , 2 x - y + 4 = 0
2
2
15. 2 x + 4 x + y - 2 = 0 , 2 x + y + 2 = 0
2
16. x + 2 y - 12 y + 10 = 0 ,
x+ y-3 = 0
2
2
17. x + y - 6 x + 5 = 0, 2 x + y - 6 = 0
2
18. y + x + 4 y + 3 = 0 , x + 2 y + 2 = 0
2
2
19. x + 2 y + 8 y + 4 = 0 ,
2
2
20. x + y - 4 y + 3 = 0,
2
2
5y+4 = 0
3x + y - 3 = 0
II. Требуется: 1) построить по точкам график функции r = r (j ) в
полярной системе координат. Значение функции вычислять в точках j k = p k / 8 ;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой
совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox - с полярной осью; 3)
определить вид кривой.
НГАВТ - Стр 38 из 57
1. r = 6 cos( j )
2. r = - 2 sin( j )
3. r = 2 cos( j )
4. r = - 4 sin( j )
5. r = - 4 cos( j )
6. r = - 2 cos( j )
7. r = 4 cos( j )
8. r = - 6 sin( j )
9. r = 4 sin( j )
10. r = 2 sin( j )
11. r = 2 cos( 2j )
12. r = 2 sin( 2j )
13. r = 4 cos( 2j )
14. r = 4 sin( 2j )
15. r = 6 cos( 2j )
16. r = - 2 cos( 2j )
17. r = - 2 sin( 2j )
18. r = - 4 cos( 2j )
19. r = - 4 sin( 2j )
20. r = 6 sin( 2j )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
III. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
1. 1)
3)
lim
xƕ
lim
xÆ0
lim
2. 1)
xƕ
3)
3. 1)
lim
xÆ4
lim
xƕ
3x2 - 5x
;
- 5x2 + x - 1
ln( 1 + sin 2 x )
e
x2
-1
;
- 2x2 + 7x + 2
;
x2 - 5x
arcsin( 4 - x )
;
ln( x - 3 )
- 4x2 - x
;
3x2 + 7x - 1
2)
4)
lim
x Æ -2
ln( x + 4 )
;
ctg ( x + 2 )
lim ( 3 + 2 x )
x Æ -1
5
x +7
;
2x - 1
lim
;
2)
ln( 0 , 5 - x )
x Æ 0 ,5 - 0
4)
1
2 2x2
lim (1 + 3 x )
xÆ0
3x
2)
lim
;
2
x Æ • 1 - cos
x
;
НГАВТ - Стр 39 из 57
lim
3)
x Æ -1
4. 1)
3)
5. 1)
3)
6. 1)
lim
xƕ
lim
xÆ0
lim
xƕ
lim
xÆp
lim
xƕ
Ê p px ˆ
tg Á +
˜
4 ¯
Ë4
;
e x +1 - 1
2x2 - 2x + 5
;
- 5x2 + 3x
ln( 1 - sin 2 3 x )
;
x2
- x2 - x
;
2x2 + 3x + 2
tg 2 (p - 3 x )
;
(3 x - p )2
4)
2)
4)
2)
4)
3
- 3x2 + 5x + 2
;
x2 + 4x
Ê px ˆ
ctg Á
˜
2 ¯
Ë
lim
;
3)
x -1
xÆ1
- 3x + 5x
lim
;
7. 1)
x2 + 4x + 3
xƕ
lim ( 5 - x )
xÆ4
lim
x Æ 1-0
3)
lim
xÆ0
2
x -4
lim
xÆ3
;
ln( 1 - x 2 )
;
sin( 3 x - 1)
lim ( 7 + 2 x )
x Æ -3
4
x+3
;
e x -3
;
x2 - 5x + 6
lim ( 2 x - 3 )
-
3
4- 2x
;
xÆ2
2 x +1
2)
4)
lim
;
1 ˆ
Ê
x Æ 0 ln Á 1 + 2 ˜
x ¯
Ë
lim ( 2 x - 3 )
xÆ2
-
3
4- 2x
;
1
x ;
2
3x + 4
sin
2
e5x - 1
;
ln( 1 - 3 x )
-
2)
4)
lim
xƕ
lim ( 9 + 2 x )
x Æ -4
6
x +4
;
НГАВТ - Стр 40 из 57
5x + 6x - 1
lim
;
8. 1)
- 2x2 + 3x
xƕ
2
1 - tgx
lim
;
3)
p
Ê
ˆ
x Æ p sin Á - x ˜
4
Ë4
¯
9. 1)
- 7x2 + 4x
;
3x2 - x + 2
lim
xƕ
3)
10. 1)
lim
2x + 4
;
arcsin ( x + 2 )
x Æ -2
6x2 - 3x - 1
;
- 4x2 + 2x
lim
xƕ
2)
4)
2)
4)
2)
1 - cos 6 x
3)
11. 1)
3)
12. 1)
lim
;
2
e -x - 1
xÆ0
lim
x Æ -3
6x2 + 5x + 1
;
2x2 - x - 1
lim
x Æ 0 ,5
lim
xÆ1
cos( x - 3 ) + 2 x
;
x+3
x-2
;
tg p x
4)
2)
4)
2)
lim
xÆ0
Êp
ˆ
tg Á - 2 x ˜
Ë2
¯;
sin 5 x
lim ( - 3 - 2 x )
x Æ -2
lim
xÆ3
-
2
x+2
ctg ( x - 3 )
;
2x
lim ( 2 - x )
-
3
x -1
;
xÆ1
lim
x Æ -1
x2 + 4x - 3
;
tg ( x + 1)
lim ( 4 - x )
xÆ3
lim
xƕ
1
6-2 x
;
x2 - 4
;
3x2 - 3x + 2
lim ( 5 - x )
2
x -4
;
xÆ4
lim
xƕ
5x2 - 3x + 1
;
2
2x - 2x + 7
;
НГАВТ - Стр 41 из 57
3)
13. 1)
3)
lim
xÆ2
x2 - 3x + 2
;
2x2 - x - 6
ln x
;
x +1
lim
xÆ0
lim
x Æ - 0 ,5
2)
2x2 + 3x + 1
;
6x2 + x - 1
3x3 - 5
lim
;
14. 1)
1ˆ
Ê
x Æ • ln Á 1 + ˜
x¯
Ë
3)
15. 1)
3)
16. 1)
3)
lim
xÆ2
2x3 - 5x + 2
;
x2 - x - 2
lim
xÆp
4)
sin x & ( tgx + x );
4)
2)
4)
2)
2
lim
xÆ-1
3x2 + 4x + 1
;
3x2 - 5x - 2
3
1
x2
lim ( 2 + x ) ;
xÆ0
lim
xÆ-1
4)
3x2 + 7x + 2
;
3x2 - 2x - 1
3
2)
4)
lim ( 7 + 2 x )
x Æ -3
lim
xƕ
-
4
x+3
;
2x2 - x - 4
;
4x2 + 3x + 2
lim (1 - sin 2 x )
2
-
1
1- cos 4 x
xÆ0
lim
xƕ
4x3 + 3x2 - 2
;
x3 - x - 6
lim (1 - sin 3 x )
xÆ0
lim
xƕ
8 x 3 + 11
;
7x3 - 5x2 + x
lim (10 - 3 x )
xÆ3
lim
xƕ
1
1 - cos 2 x
1
3 ( 3- x )
;
4x3 - 2x2 + x
;
3 x 3 + 5 x - 10
lim ( 5 + 2 x )
x Æ -2
1
x+2
;
;
;
НГАВТ - Стр 42 из 57
2
17. 1)
3)
18. 1)
- e -x - 1
;
arctgx
lim
xƕ
2x2 + x - 1
;
6x2 - x - 1
lim
x Æ 0 ,5
lim
xÆp
2)
4)
1 - cos 3 x
;
ctgx
2)
2x + 7x + 6
;
x2 + x - 2
2
3)
19. 1)
3)
20. 1)
3)
lim
x Æ -2
lim
x Æ -2 +
lim
x Æ 1/ 3
e x+2 - 1
;
ln( x + 2 )
3x2 - 7x + 2
;
3 x 2 + 11 x - 4
lim ( 4 - x )
x Æ -1
lim
x Æ 0 ,5
1
( 1+ x ) 2
;
6x2 - 5x + 1
;
2x2 - 3x + 1
4)
2)
4)
2)
4)
lim
xƕ
x2 + 3x - 8
;
3x2 - 5x - 2
lim ( 9 - x )
3
4
x-2
;
xÆ2
lim
xƕ
2x2 - 5x + 8
;
3 x 2 + 6 x - 15
lim ( 3 - 2 x )
xÆ1
2
lim
xƕ
1
2 ( 1- x )
14 x 3 + 9 x + 17
;
21 x 3 + 10 x - 2
lim ( 9 + 2 x )
x Æ -4
lim
xƕ
;
-1
2( x +4 )
;
4x3 + 9x2 + 2x
;
3x3 - 8x + 4
lim ( 4 + 3 x )
x Æ -1
3
x +1
;
IV. Функция f ( x ) представляет собой сумму трех одночленов. Указать
среди них одночлен, эквивалентный всей сумме: а) при x Æ 0 ; б) при x Æ • .
2
3
1. f ( x ) = 5 x - 3 x + x
2
2. f ( x ) = - 3 x + x -
2
2
3. f ( x ) = x - 5 x + 4 x
2
5
4. f ( x ) = - 2 x + 4 x - 3 x
2
4
5. f ( x ) = - 4 x - 2 x + 4 x
2
5
6. f ( x ) = 4 x + 7 x - 2 x
3
3
4
x3
4
НГАВТ - Стр 43 из 57
7. f ( x ) = - 6 x - 2 x + 3 x
3
2
5
8. f ( x ) = x - 4 x 2
5
x2
4
9. f ( x ) = - 5 x - 3 x + x
2
5
10. f ( x ) = 3 x + 6 x - 2 x
11. f ( x ) = 3 x + 7 sin 2 x
12. f ( x ) = 5 x + 1 - cos x
13. f ( x ) = x - 2 sin x
14. f ( x ) = 3 x - 2 cos x + 2
15. f ( x ) = x + 4 sin 3 x
16. f ( x ) = 2 x - 1 + cos( x )
17. f ( x ) = 3 x - sin x
18. f ( x ) = x + 3 - 3 cos 2 x
19. f ( x ) = 2 x - sin x
20. f ( x ) = 6 x +
2
2
4
2
3
2
3
5
3
5
3
5
6
2
4
2
1 - cos 2 x
V. Исследовать функцию y = f ( x ) на непрерывность: найти точки
разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
x+5 5
x+5 x
x+4 4
y
=
3.
x+4 x
x+3 3
y
=
5.
x+3 x
x+2 2
y
=
7.
x+2 x
x +1 1
y
=
9.
x +1 x
Ï
x+2
, x < - 2,
Ô
x
+
2
ÔÔ
y = Ì 4 - x 2 , - 2 £ x £ 2,
11.
Ô
1
, x>2
Ô
x
2
ÔÓ
1. y =
x-5 5
+
x-5 x
x-4 4
y
=
+
4.
x-4 x
x-3 3
y
=
+
6.
x-3 x
x-2 2
y
=
+
8.
x-2 x
x -1 1
y
=
+
10.
x -1 x
Ï
x+3
, x < - 3,
Ô
x
+
3
ÔÔ
y = Ì 9 - x 2 , - 3 £ x £ 3,
12.
Ô
1
, x>3
Ô
x
3
ÔÓ
2. y =
НГАВТ - Стр 44 из 57
13.
15.
17.
19.
Ï
x
, x < 0,
Ô
x
ÔÔ
y = Ì 1 - x 2 , 0 £ x £ 1,
Ô
1
Ô x -1, x > 1
ÔÓ
Ï
3x
, x < 0,
Ô
x
ÔÔ
y = Ì 9 - x 2 , 0 £ x £ 3,
Ô
1
Ô x-3, x > 3
ÔÓ
1
Ï
, x < - 3,
Ô
x+3
Ô
y = Ì - 9 - x 2 , - 3 £ x £ 3,
Ô
x-3
, x>3
Ô
x
3
Ó
1
Ï
, x < - 2,
Ô
x+2
Ô
y = Ì 4 - x 2 , - 2 £ x £ 2,
Ô
2x
, x>2
Ô
x
Ó
Ï
2x
, x < 0,
Ô
x
ÔÔ
y = Ì 4 - x 2 , 0 £ x £ 2,
14.
Ô
1
Ô x-2, x > 2
ÔÓ
1
Ï
, x < - 2,
Ô
x+2
Ô
y = Ì - 4 - x 2 , - 2 £ x £ 2,
16.
Ô
x-2
, x>2
Ô
x
2
Ó
1
Ï
, x < - 1,
Ô
x +1
Ô
y = Ì 1 - x 2 , - 1 £ x £ 0,
18.
Ô
x
, x>0
Ô
x
Ó
1
Ï
, x < - 3,
Ô
x+3
Ô
y = Ì 9 - x 2 , - 3 £ x £ 0,
20.
Ô
3x
, x>0
Ô
x
Ó
VI. А.
Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа
z = z1 + z 2 . Изобразить числа z1 , z 2 и z на комплексной плоскости.
Вычислить z
Номер
задачи
z1
1.
-2
3.
-2
12
по формуле Муавра.
2(cos
Номер
задачи
z1
4p
4p
+ i sin
)
3
3
2.
- 2i
p
p
+ i sin )
3
3
4.
- 2i
2(cos
z2
2(cos
2(cos
5p
5p
+ i sin
)
6
6
11p
11p
+ i sin
)
12
12
НГАВТ - Стр 45 из 57
5.
2
2(cos
4p
4p
+ i sin
)
3
3
6.
- 2i
7.
2
2(cos
5p
5p
+ i sin
)
3
3
8.
2i
2(cos
7p
7p
+ i sin
)
6
6
9.
2
2(cos
2p
2p
+ i sin
)
3
3
10.
-2
2(cos
5p
5p
+ i sin
)
6
6
2(cos
p
p
+ i sin )
6
6
az 3 + bz 2 + cz + d = 0 и изобразить его корни
Б. решить уравнение
z1 , z 2 , z 3 на комплексной плоскости.
Проверить, что
b
z1 + z 2 + z 3 = - ,
a
Номер
задачи
11
13
15
17
19
z1 z 2 + z1 z 3 + z 2 z 3 =
a
b
c
d
9
4
9
4
2
15
-12
21
12
-4
11
13
17
13
3
5
-5
5
5
-1
Номер
задачи
12
14
16
18
30
c
,
a
z1 z 2 z 3 = -
d
a
a
b
c
d
9
2
4
9
4
-21
4
8
-15
8
17
3
9
11
9
-5
1
-5
-5
5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
I. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения
производной.
5
3x - 4
4
3. y = 3x - 5
3
5. y = 4x - 5
3
y
=
7.
5x - 4
1. y = -
3
5x + 4
5
4. y =
4x + 3
5
6. y =
3x + 4
4
y
=
8.
3x + 5
2. y =
НГАВТ - Стр 46 из 57
5
4x - 3
11. y = 2 x - 3
13. y = 4 - 3 x
9. y = -
3
4x + 5
12. y = 1 - 2 x
14. y = 3 x + 4
10. y =
15. y =
3x - 7
16. y =
2x + 3
17. y =
3 - 2x
18. y =
2x - 9
19. y =
1 + 2x
20. y =
5 - 3x
II. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила
вычисления производных.
1. 1) y = 3 x - sin x
5
3) y =
ln x
4 - 3 cos x
2. 1) y = 4 x + e
4
x
3
x
y
=
3)
ctgx
3
3. 1) y = 3 x - ln x
ctgx
3) y =
x4
4. 1) y = 5 x - arcsin x
2
3
x4
3) y =
ex
4
5. 1) y = 4 x + arctg x
tg x
y
=
3)
ln x
5
6. 1) y = 5 x - 7 arcctg x
3 x5
3) y =
ex
2) y =
x & tgx
ÏÔ x = arcsin 2 t
1
4) Ì y =
ÔÓ
1 - 4t 2
2) y = sin x & ln x
Ï x = (1 - t 2 )
4) Ì
2
Ó y = cos( t - 1)
x
2) y = e arcsin x
Ï x = ( t - 1) 2
4) Ì
2
Ó y = sin( t - 1)
2) y =
3
x 2 ln x
Ï x = tg t 2
4) Ì
2
Óy = t -5
5 x
2) y = x e
Ï x = 7 + t2
4) Ì
2
Ó y = ctg 3 t
2) y = cos x & ( 3 x - 1)
Ï x = ln( 1 - t 4 )
4) Ì
2
Ó y = arccos t
НГАВТ - Стр 47 из 57
7. 1) y = 10 x + 2 cos x
3
ln x
3) y =
arcsin x
2
8. 1) y = 6 x - 7 tg x
3
2
+ 3 ctg x
x
2) y = ln x & arctg x
Ï x = sin 2 (1 - 4 t )
4) Ì
2
Ó y = cos (1 - 4 t )
ex
3) y =
arcsin x
10. 1) y = 7 x + 2 arccos x
6
3) y =
3
Ï
Ôx =
1+ t2
4) Ì
ÔÓ y = arctg t
x
2) y = e & arccos x
Ï x = arctg (1 + t 2 )
4) Ì
2
Ó y = t + 2t + 2
ctg x
y
=
3)
2x4
9. 1) y =
4
2) y = sin x & x
2) y = e & ctg x
x
5 ln x
3
11. 1) y =
3) y = e
12. 1) y =
4)
x2
7
2)
57 x 5
arctg
x
3
4)
4
2)
34 x 3
3) y = cos ln( 1 - x )
2
13. 1) y =
5
65 x 6
3) y = ctg e
14. 1) y =
7x
3
73 x7
4)
Ï x = 3e - t
Ì
-t 3
Ó y = (2 + e )
x
y = sin 4
4
Ï x = arctg t 2
Ì
4
Ó y = ln( 1 + t )
2x
y = tg 5
5
Ï x = ar cos t
Ì
2 3
Ó y = (1 - t )
4x
3
Ï x = ln( 5 - 2 t )
4) Ì
Ó y = arctg ( 5 - 2 t )
2) y = cos
3
4
2) y = ctg
x
4
НГАВТ - Стр 48 из 57
3) y = arcsin
15. 1) y =
3) y = e
16. 1) y =
3
4 - 5x
3
2)
33 x 4
arcsin( 2 x - 4 )
4)
5
2)
75 x 7
3) y = ln( x - cos 3 x )
17. 1) y =
4
3
6
19. 1) y =
5-2x
4)
7
4x
3
1
Ï
Ôx =
sin 2 ( 2 - t )
4) Ì
ÔÓ y = tg ( 2 - t )
2) y = arctg
67 x 6
3) y = ln( 2 - cos x )
2
20. 1) y =
4)
2)
56 x 5
3) y = tg e
4)
2)
54 x 5
3) y = sin ln( x + 1)
18. 1) y =
4)
Ï x = t & e -4 t
Ì
2
Ó y = (1 - 4 t )
x
y = ln 5
5
Ï x = ctg (1 - 2 t )
Ô
1
Ìy =
2
ÔÓ
cos (1 - 2 t )
5x
y = arcsin 4
3
Ï x = sin 3 ( t - 4 )
Ì
3
Ó y = cos ( t - 4 )
5x
y = arccos 4
3
Ï x = t & e -5 t
Ì
2
Ó y = ( 5 t - 1)
2x
y = arcctg 5
5
Ï x = cos 3 ( 2 t + 6 )
Ì
3
Ó y = sin ( 2 t + 6 )
5
3
ex
2) y = sin
4
ÏÔ x = (1 - t 2 ) 3
4) Ì
ÔÓ y = arcsin t
4
45 x 4
3) y = ln( 3 x - tg 2 x )
2
III. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой
y = f ( x ) в точке, абсцисса которой равна x 0 .
НГАВТ - Стр 49 из 57
1. y = 3 x + 2 x + 2
x0 = - 1
2
2. y = 3 x - 8 x - 1
x0 = 1
3. y = 3 x + 6 x + 3
x0 = - 1
4. y = 3 x - 2 x - 2
x0 = 1
2
5. y = 3 x + 6 x + 1
x0 = - 1
2
6. y = 3 x - 2 x + 2
x0 = 1
7. y = 3 x + 8 x - 1
x0 = - 1
2
8. y = 3 x - 6 x - 3
x0 = 1
9. y = 3 x + 2 x + 2
x0 = - 1
2
10. y = 3 x - 6 x - 1
x0 = 1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
11. y =
4 - x2
2
x0 = - 2
12. y =
4 - 2x2
x0 = 1
13. y =
6 - x2
3
x0 = - 3
4 - x2
14. y = 2
x0 =
2
15. y = - 4 - 2 x
x0 = 1
6 - x2
16. y = 3
x0 = - 3
2
17. y =
4 - x2
2
x0 =
18. y =
4 - 2x2
x0 = - 1
2
6 - x2
19. y = 3
x0 =
2
20. y = - 4 - 2 x
x0 = - 1
3
IV. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.
НГАВТ - Стр 50 из 57
3
lim
1.
xÆ0
lim
3.
xÆ0
5.
lim
xÆ0
lim
7.
xÆ0
9.
lim
xÆ0
1 - 6x - 1 + 2x
;
x2
6 sin 2 x - 12 x
;
x3
3 tg 2 x - 6 x
;
x3
e -5 x - 1 + 5 x
;
x2
2 sin 3 x - 6 x
;
x3
x -1
lim
;
11.
ln x
xÆ1
13.
15.
lim
x Æ -2
lim
x Æ -1
arctg ( x + 2 )
;
( x + 2)
3
x +1
;
x-7 +2
x - sin x
lim
;
17.
x - tgx
xÆ0
lim
19.
x Æ -1
cos( p x / 2 )
;
x +1
lim
2.
xÆ0
2e
lim
8.
xÆ0
10.
16.
- 2- x
;
x2
ln( 1 - 3 x ) + 3 x
;
x2
arcsin 4 x - 4 x
;
x3
lim
xÆ0
lim
12.
xÆ0
14.
2
1 + 4x - 1 - 2x
;
x2
lim
4.
xÆ0
lim
6.
xÆ0
x
lim
xÆ3
lim
xÆ0
2 ln( 1 + 0 , 5 x ) - x
;
x2
4+ x -2
;
x
( x - 3) 2
;
sin 2 ( x - 3 )
4 sin x - 1
;
sin 2 x
ln x
lim
;
18.
ln sin x
xÆ0
lim
20.
xÆ2
x-2
;
5 - 2x - 1
НГАВТ - Стр 51 из 57
V. Построить график функции
исследования функции.
y = f ( x ) , используя общую схему
1. y = x + 6 x + 9 x + 4
2. y = x + 3 x - 9 x + 5
3. y = x + 6 x - 15 x + 8
4. y = x - 3 x - 24 x - 28
5. y = x + 12 x + 45 x + 50
6. y = x - 6 x + 9 x - 4
7. y = x - 3 x - 9 x - 5
8. y = x - 6 x - 15 x - 8
9. y = x + 3 x - 24 x + 28
10. y = x - 12 x + 45 x - 50
3
2
3
2
3
2
3
2
3
11. y =
13. y =
15. y =
17. y =
19. y =
VI.
r=
2
2x2 + 4x + 3
x2 + x + 1
3x2 + x + 2
x2 + x + 1
x2 + 5x + 3
x2 + x + 1
x2 + 3x + 2
x2 + x + 1
- x2 + 3x + 1
x2 + x + 1
А.
Найти
3
3
2
3
2
3
2
3
12. y =
14. y =
16. y =
18. y =
20. y =
градиент
2
скалярного
2
- x2 + 5x - 6
x2 - 3x + 3
2x2 - 4x + 3
x3 - 3x + 3
- x2 + 7x + 9
x2 - 3x + 3
- x2 - x + 3
x2 - 3x + 3
2x2 - 8x + 9
x2 - 3x + 3
поля
3 2 -a a
f (r) =
r ,
a
где
x 2 + y 2 + z 2 . Вычислить производную этого поля в точке А по
направлению вектора AB
1. a = - 6;
A( - 1; 2; - 2 ), B ( 2; 6; - 2 )
2. a = 6; A ( - 2; 2; - 1), B ( - 2; 6; 2 )
3. a = - 5; A( 2; 2; 1), B ( 6; 2; - 2 )
4. a = 5; A (1; 2; 2 ), B ( - 2; 6; 2 )
5. a = - 4; A( 2; - 2; 1), B ( 2; - 6; - 2 )
6. a = 4; A( - 1; 2; 2 ), B ( 2; 2; 6 )
7. a = - 3; A( - 1; - 2; 2 ), B ( 2; - 6; 2 )
8. a = 3; A( - 2; 1; 2 ), B ( - 2; - 2; 6 )
НГАВТ - Стр 52 из 57
9. a = - 2;
10. a = 2;
A(1; - 2; - 2 ), B ( - 2; - 2; - 6 )
A(1; - 2; 2 ), B ( - 2; - 6; 2 )
VI. Б. Дано скалярное поле u = u( x , y ) . Требуется: 1) составить уравнение
линии уровня u = C и построить ее график; 2) вычислить с помощью градиента
производную скалярного поля u = u( x , y ) в точке A по направлению вектора
AB ; 3) найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A
Номер
задачи
u = u( x , y )
С
11
x2 + y2 + 4 x + 2 y
-4
12
x 2 + y2 + 2 x - 2 y
2
13
x 2 + y2 + 2 x - 4 y
-1
14
x 2 + y2 - 2 x - 2 y
7
15
x 2 + y2 + 2 x + 4 y
4
16
x 2 + y2 - 2 x + 2 y
2
17
x 2 + y2 - 2 x - 4 y
-1
18
x 2 + y2 - 4 x - 2 y
-4
19
x 2 + y2 - 2 x + 4 y
4
20
x 2 + y2 + x + 2 y
7
Координаты
точки А
Координаты
точки В
3 1
;- )
2
2
1
3
(- ; 1 )
2
2
3 5
( -1 ; )
2 2
1
3
( ;1)
2
2
3
3
( -1 +
;- )
2
2
3
(1, 5; - 1 )
2
3 5
(1 ; )
2 2
3
3
( ;1)
2
2
3
5
(1 +
;- )
2
2
1
3
(- ; - 1 +
)
2
2
3
; 0)
2
3
(0 ; 1 )
2
3
( -1 ; 0)
2
3
(0 ; 1 )
2
3
( -1 +
; 0)
2
3
(0 ; - 1 )
2
3
(1 ; 0)
2
3
(0 ; 1 )
2
3
(1 +
; 0)
2
3
(0 ; - 1 +
)
2
( -2 +
( -2 +
НГАВТ - Стр 53 из 57
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных
основных элементарных функций
1.
( x n ) ¢ = nx n - 1 .
2.
(sin x ) ¢ = cos x .
3.
(cos x ) ¢ = - sin x .
4.
( tgx ) ¢ =
5.
( ctgx ) ¢ = -
6.
(arcsin x ) ¢ =
7.
(arccos x ) ¢ = -
8.
( arctgx ) ¢ =
10.
( a x ) ¢ = a x ln a .
12.
(log a x ) ¢ =
9.
1
.
sin 2 x
1
1- x2
1
( arcctgx ) ¢ = .
1+ x2
11.
( e x )¢ = e x .
13.
(ln x ) ¢ =
.
1
.
cos 2 x
1
1- x
2
.
1
.
2
1+ x
1
.
x ln a
1
.
x
Основные правила дифференцирования
а ) ( C ) ¢ = 0; б ) ( u ± v ) ¢ = u ¢ ± v ¢;
в ) ( uv ) ¢ = u ¢v + uv ¢;
¢
u ¢v - u v ¢
Ê uˆ
г) Á ˜ =
v2
Ëv¯
Здесь C = const , u и v - дифференцируемые функции.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица простейших интегралов
1.
x n+1
Ú x dx = n + 1 + C ( n ( -1)
n
2.
dx
Ú x = ln x + C
НГАВТ - Стр 54 из 57
3.
ax
Ú a dx = ln a + C
4.
x
x
e
dx
=
e
+C
Ú
5.
Ú cos xdx = sin x + C
6.
Ú sin xdx = - cos x + C
8.
dx
Ú sin 2 x = - ctg x + C
x
dx
Ú cos 2 x = tg x + C
dx
x
=
arcsin
+C
Ú a2 - x2
a
7.
9.
dx
1
a+ x
=
ln
Ú a 2 - x 2 2a a - x + C
11.
10.
12.
dx
1
x
=
arctg
+C
Ú x2 + a2 a
a
dx
= ln x + x 2 + a
Ú x2 + a2
+C
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Разложение в ряд Маклорена
некоторых функций
x2 x3
xn
e = 1+ x +
+
+ ... +
+ ...; - • < x < +• ;
2! 3!
n!
x3 x5
x 2 n+1
n
sin x = x +
- ... + ( - 1)
+ ...; - • < x < +• ;
3! 5!
( 2 n + 1)!
2n
x2 x4
n x
cos x = 1 +
- ... + ( - 1)
+ ...; - • < x < +• ;
2! 4!
( 2 n )!
x
m ( m - 1) 2
m ( m - 1)...( m - n + 1 ) x 2 n n
(1 + x ) = 1 + mx +
x + ... +
x + ...;
2!
n!
- 1 < x < 1;
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + ...; - 1 < x < 1;
1- x
n
x2 x3
n-1 x
ln( 1 + x ) = x +
- ... + ( - 1)
+ ...; - 1 < x £ 1 .
2
3
n
m
НГАВТ - Стр 55 из 57
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица значений функции j ( x ) =
2
2p
e-x
2
/2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2705
2568
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0540
0
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
НГАВТ - Стр 56 из 57
3,7
3,8
3,9
0004
0003
0002
0004
0003
0002
0004
0003
0002
0004
0003
0002
0004
0003
0002
0004
0002
0002
0003
0002
0002
0003
0002
0002
0003
0002
0002
0003
0002
0001
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Таблица значений функции j ( x ) =
1
2p
x
-x
Úe
2
/2
dz
0
х
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
х
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
Ф(х)
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
х
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
Ф(х)
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
х
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0.85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф(х)
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
НГАВТ - Стр 57 из 57
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4703
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
НГАВТ - Стр 1 из 45
Е.С. Мироненко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
инженерных специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1998
НГАВТ - Стр 2 из 45
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами
математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную
литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и
повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на
математический язык.
Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля,
числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений
математической физики, теории вероятностей и математической статистики.
Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем
каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной
работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным
пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые
начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на
учебно-консультационных пунктах.
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на
обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату
отправки работы в институт.
Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в
условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано
перед ее решением.
В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не
зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию.
Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или
экзамена.
В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со
спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса,
принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики
вузов дополнительно к настоящему пособию.
НГАВТ - Стр 3 из 45
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. M.: 1987, 1998.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.:
1981, 1985.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982,
1987.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.:
1997.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике.— М.: 1997.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.
9. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.
Демидовича - М.: 1986, 1987.
10. Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.
11. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.
НГАВТ - Стр 4 из 45
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные теоретические сведения
1. Неопределенным интегралом от функции f ( x ) называется выражение
Ú f ( x ) dx = F ( x ) + C ,
F ¢( x ) = f ( x ) . Функция
называется первообразной для заданной функции f ( x ) .
вида
если
F ( x ) F(x)
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.
1) Если
Ú
Ú f ( x ) dx = F ( x ) + C , то
f ( ax ) dx =
1
F ( ax ) + C ;
a
Ú f ( x + b ) dx = F ( x + b ) + C ,
(1)
где a и b — некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:
Ú f (j ( x ))j ¢( x ) dx = Ú f (j ( x )) d (j ( x )),
(2)
так как j ¢( x ) dx = dj ( x ) .
3) Формула интегрирования по частям:
Ú udv = uv - Ú vdu .
(3)
Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За u , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций,
интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида P ( x ) e
ax
,
P ( x ) sin ax , P ( x ) cos ax , P ( x ) ln x , P ( x ) arcsin x , P ( x ) arctgx , где
P ( x ) - многочлен от х.
4) Интегрирование рациональных дробей, т. с. отношений двух многочленов
Pk ( x ) и Q n ( x ) (соответственно k -й и n -й степени): R ( x ) = Pk ( x ) / Q n ( x ) ,
НГАВТ - Стр 5 из 45
сводится к разложению подынтегральной функции R ( x ) на элементарные,
всегда интегрируемые дроби вида
A
Mx + N
,
,
( x - a ) l ( x 2 + px + q ) m
(4)
где l и m - целые положительные числа, а трехчлен x + px + q не имеет
действительных корней. При этом в случае неправильной дроби ( k $ n ) должна
быть предварительно выделена целая часть.
5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки)
является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит
в переходе от переменной x к новой переменной t : x = j (t ) . Наиболее
целесообразная для данного интеграла замена переменной, т. е. выбор функции
j (t ) , не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов
функций можно указать такие стандартные подстановки:
2
Ê
ax + b
n
Á
R
x
,
Ú Á ax + d
Ë
Ú R (x ,
Ú R (x ,
ˆ
˜ dx ,
˜
¯
)
) dx ,
) dx ,
n
ax + b
= t;
ax + d
a 2 - x 2 dx ,
x = a + sin t ;
a2 + x 2
x = a + tgt ;
(
2
2
Ú R x, x - a
x=
a
,
sin t
где R - символ рациональной функции.
2. Формула Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла
имеет вид
b
Ú f ( x )dx = F ( x )
a
b
= F ( b ) - F ( a ),
(5)
a
если F ¢( x ) = f ( x ) и первообразная F ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] .
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми x = a , x = b , y = 0 и частью графика функции
y = f ( x ) , взятой со знаком плюс, если f ( x ) $ 0 , и со знаком минус, если
f (x) £ 0 .
3. Если интервал интегрирования [ a , b ] не ограничен (например, b = • )
НГАВТ - Стр 6 из 45
или функция f ( x ) не ограничена в окрестности одного из пределов
интегрирования (например, при x = b ), то по определению полагают
+•
b
Ú f ( x ) dx = lim Ú f ( x )dx ,
bƕ
a
(6)
a
и
b-a
b
Ú f ( x ) dx = lim Ú f ( x ) dx ,
aÆ0
a
(7)
a
Интегралы в левых частях равенств (6) н (7) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (б) и (7). Если же предел не существует или
равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
4. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a , x = b ,
y = 0 и частью графика кривой y = f ( x ) , вращается вокруг оси Ox . Тогда
объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле
b
b
V = p Ú y dx =p Ú ( f ( x )) 2 dx ,
2
a
a
dx
.
Пример 1. Найти Ú
( 2 x - 3) 2
dx
1
=
+ C , то, используя формулы (1), получим
Решение. Так как Ú 2
x
x
dx
1
d (2 x )
1 d ( 2 x - 3)
1
=
=
=
Ú ( 2 x - 3 ) 2 2 Ú ( 2 x - 3 ) 2 2 Ú ( 2 x - 3 ) 2 2( 2 x - 3 ) + C .
Проверка:
¢
¢
Ê
1
ˆ
1Ê 1 ˆ
1
-2
1
+ C ˜˜ = - Á
=
.
ÁÁ ˜ =- +
2
2
2
(
2
x
3
)
2
2
x
3
2
(
2
x
3
)
(
2
x
3
)
Ë
¯
Ë
¯
sin x
dx .
Пример 2. Найти Ú cos xe
Решение. Так как cos xdx = d (sin x ) , то по формуле (2) находим
Ú cos xe
sin x
dx = Ú e sin x d (sin x ) = e sin x + C .
(8)
НГАВТ - Стр 7 из 45
Пример 3. Найти
Ú x cos 2 xdx .
Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим u = x ,
1
sin 2 x . Используя формулу (3), имеем
2
1
1
x
cos
2
xdx
=
x
sin
2
x
sin 2 xdx =
Ú
2
2Ú
1
1
= x sin 2 x + cos 2 x + C .
2
4
2
3 x - 7 x + 10
dx .
Пример 4. Найти Ú
( x 2 + 4 )( x - 2 )
dv = cos 2 xdx ; тогда du = dx , v =
Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):
3 x 2 - 7 x + 10
Ax + B
C
=
+
.
( x 2 + 4 )( x - 2 )
x2 + 4 x - 2
Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая
числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов
А, В и С:
3 x 2 - 7 x + 10 / Ax ( x - 2 ) + B ( x - 2 ) + Cx 2 + 4C
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая x = 2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других
получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях
2
0
тождества, например при x и x :
x = 2 : 8 = 4C + 4C ,
x2 : 3 = A + C,
x 0 : 10 = - 2 B + 4C .
Решение этой системы дает: A = 2, B = - 3, C = 1 . Таким образом,
=
Ú
3 x 2 - 7 x + 10
1 ˆ
Ê 2x - 3
dx
=
+
Á
Ú ( x 2 + 4 )( x - 2)
Ú Ë x 2 + 4 x - 2 ˜¯ dx =
2 xdx
dx
dx
3
x
2
3
+
=
ln(
x
+
4
)
arctg
+ ln x - 2 + C .
Ú x2 + 4 Ú x - 2
2
2
x2 + 4
9
Пример 5. Вычислить определенный интеграл
Ú
4
x -1
x +1
dx
НГАВТ - Стр 8 из 45
x = t , откуда
Решение. Применим метод замены переменной; положим
dx = 2 tdt . Найдем пределы интегрирования по переменной t : при x = 4 имеем
t = 2 , а при x = 9 имеем t = 3 . Переходя в исходном интеграле к новой
переменной t и применяя формулу Ньютона — Лейбница (5), получаем
9
Ú
4
3
3
x -1
t -1
dx = Ú
2 tdt = ( t 2 - 4 t + 4 ln t + 1 ) =
t +1
x +1
2
2
= ( 9 - 12 + 4 ln 4 ) - ( 4 - 8 + 4 ln 3 ) = 2,15 .
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходи•
Ú
мость: 1)
e
dx
;
x ln x 2)
p
4
dx
Ú0 sin 2 x .
Решение. 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (6), имеем
•
Ú
e
b
l
dx
dx
= lim
= lim (ln ln x ) = lim (ln ln b ) - 0 = • .
bƕ
e
x ln x b Æ • Úa x ln x b Æ •
Следовательно, данный интеграл расходится.
2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной
функции; f ( x ) =
1
терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при
sin 2 x
x = 0 . Согласно определению (7), получаем
p
4
dx
Ú0 sin 2 x = lim
e Æ0
p
p
dx
4
=
lim
(
tg
x
)
= 1 - lim ( tg e ) = 1,
2
Úe sin x e Æ 0
e Æ0
e
4
т. e. этот несобственный интеграл сходится.
Пример 7. Вычислять площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
y1 = sin x + 2, y 2 = - 1, x = 0 , x = p (рис. 10).
Y
2
p
0
-1
Х
НГАВТ - Стр 9 из 45
Рис. 10
p
Ú(y
Решение. S =
p
1
0
- y 2 ) dx = Ú (sin x + 2 + 1) dx = 2 + 3p .
0
Пртер 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
кривой y = 4 x - x , y = 0 , x = 2 ( 0 £ x £ 2 ) .
Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле (8):
2
2
2
V = p Ú y dx = p Ú ( 4 x - x 2 ) dx =
2
0
0
16p
.
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
Основные теоретические сведения
1. Вычисление двойного интеграла от функции f ( x , y ) , определенной в
области D , сводится к вычислению двукратного интеграла вида
ÚÚ
D
b
f ( x , y ) dxdy = Ú dx
a
f2 ( x )
Ú f ( x , y ) dy ,
(1)
f1 ( x )
если область D определяется условиями a £ x £ b , f 1 ( x ) £ y £ f 2 ( x ), или
вида
ÚÚ
D
d
f ( x , y ) dxdy = Ú dx
c
j 2 ( y)
f ( x , y ) dx ,
Ú
j
1(
(2)
y)
если область D определяется условиями c £ y £ d , j 1 ( y ) £ x £ j 2 ( y ) .
Переход от равенства (1) к (2) иди обратно называется изменением порядка
интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка
НГАВТ - Стр 10 из 45
интегрирования.
2. Вычисление тройного интеграла от функции f ( x , y, z ) , определенной в
области V , сводится к вычислению интеграла вида
ÚÚÚ
f ( x , y, z ) =
V
где D xy -
y 2 ( x, y)
ÚÚ dxdy Ú f ( x , y, z ) dz ,
y 1 ( x, y)
D xy
проекция
V
области
(3)
на
плоскость
xOy , z = y 1 ( x , y ) и
z = y 2 ( x, y) —
уравнения поверхностей, ограничивающих область V
соответственно снизу и сверху. В тройном интеграле, так же как и в двойном,
порядок интегрирования может быть изменен.
3. Наряду с прямоугольной системой координат пространстве могут быть
введены цилиндрическая и сферическая системы координат (рис. 11).
Прямоугольные координаты ( x; y; z ) точки M связаны с ее цилиндрическими
( r ;j ; z ) и сферическими ( r;q ;j ) координатами соотношениями
Ï x = r cos j ,
Ô
Ì y = r sin j ,
Ô z = z;
Ó
Ï x = r sin q cos j ,
Ô
Ì y = r sin q sin j ,
Ô z = r cos q .
Ó
Z
M
q
r
0
y
j
x
y
X
Рис. 11
Тройной интеграл записывается в виде
Y
(4)
НГАВТ - Стр 11 из 45
ÚÚÚ
f ( x , y , z ) dxdydz =
V
Ï
f ( r , j , z ) r dj d r dz - в цилиндриче ской системе ;
Ô ÚÚÚ
=Ì V
2
Ô ÚÚÚ f ( r , q , j ) r sin q d j d q dr - в сферическо й системе .
Ó V
(5)
4. Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой Г , сводится к вычислению определенного интеграла вида
Ú P ( x , y, z ) dx + Q ( x , y, z ) dy + R ( x , y, z ) dz =
Г
b
= Ú P ( x ( t ), y( t ), z ( t )) x ¢( t ) dt + Q ( x ( t ), y( t ), z ( t )) y ¢( t ) dt +
(6)
a
+ R ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) z ¢( t ) dt ,
если кривая Г задана параметрически: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ) и t = a
соответствует начальной точке кривой Г , а t = b — ее конечной точке.
5. Вычисление поверхностного интеграла от функции F ( x , y , z ) ,
определенной на двусторонней поверхности s , сводится к вычислению двойного
интеграла, например, вида
ÚÚ F ( x , y, z ) ds =
a
ÚÚ F ( x , y, f ( x , y ))
D xy
dxdy
,
cos g
(7)
если поверхность s , заданная уравнением z = f ( x , y ) , однозначно проецируется на плоскость xOy в область D xy . Здесь g - угол между единичным
r
вектором нормали n к поверхности s и осью Oz .
r
n=±
4f r 4f r r
i +
j -k
4x
4y
2
2
Ê 4f ˆ Ê 4f ˆ
Á ˜ +Á ˜ +1
Ë 4x ¯ Ë 4 y ¯
(8)
Требуемая условиями задачи сторона поверхности а определяется выбором соот-
НГАВТ - Стр 12 из 45
ветствующего знака в формуле (8).
6. С помощью тронных интегралов можно вычислить:
а) объем V тела и его массу M :
V =
ÚÚÚ dxdydz ,
M =
V
ÚÚÚ µ ( x , y, z )dxdydz ,
V
где µ - объемная плотность распределения массы;
б) момент инерции однородного тела относительно, например, оси Oz :
Iz =
ÚÚÚ ( x
2
+ y 2 ) dxdydz .
V
r
7. Векторным полем a ( M ) называется векторная функция точки M вместе
с областью ее определения:
r
r
r
r
a ( M ) = P ( x , y, z ) i + Q ( x , y, z ) j + R ( x , y , z ) k .
r
Векторное поле a ( M ) характеризуется скалярной величиной — дивергенцией
r 4P 4 Q 4 R
div a =
+
+
4x 4 y 4 z
(9)
и векторной величиной — ротором:
r
i
r
4
rot a =
4x
P
r
j
4
4y
Q
r
k
4
=
4z
R
(10)
Ê 4R 4Q ˆ r Ê 4P 4R ˆ r Ê 4Q 4P ˆ r
= ÁÁ
˜˜ i + Á
˜˜ k .
˜ j + ÁÁ
Ë 4 z 4x ¯
Ë 4y 4z ¯
Ë 4x 4 y ¯
r
8. Потоком векторного поля a ( M ) через поверхность s называется поверх
ностный интеграл
П =
r r
(
a
ÚÚ , n ) ds ,
a
(11)
НГАВТ - Стр 13 из 45
r
где n - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности s , а
r r
r r
( a , n ) - скалярное произведение векторов a и n .
r
r
r
r
9. Циркуляцией векторного поля a = P ( x , y, z ) i + Q ( x , y, z ) j + R( x , y, z ) k no
замкнутой кривой Г называется криволинейный интеграл
r r
Ц = Ú Pdx + Qdy + Rdz = Ú a d r ,
Г
(12)
Г
r
r
r
r
d
r
=
dx
i
+
dy
j
+
dz
k
где
.
10. Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного
r
поля a через замкнутую поверхность s и дивергенцией поля:
r r
(
a
ÚÚ , n )ds =
s
r
div
a
ÚÚÚ dV ,
(13)
V
где V - объем, ограниченный поверхностью s .
11. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного
r
поля a и его ротором:
Ú Pdx + Qdy + Rdz =
Г
r r
(
rot
a
, n ) ds ,
ÚÚ
(14)
s
r
где s — поверхность, ограниченная замкнутым контуром Г , а n — единичный
вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура Г .
Пример 1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
1
2 x
0
-2 x
I = Ú dx
Ú f ( x , y )dy .
Решение. Зная пределы интегрирования, найдем границы области интегрирования D : x = 0 , x = 1, y = 2 x , y = - 2 x и построим их (рис. 12).
Область D располагается в полосе 0 £ x £ 1 и ограничена снизу и сверху
соответствующими ветвями параболы y = 4 x .
Найдем новые пределы внешнего (по y ) и внутреннего (по
2
x)
интегрирования. Так как область D проецируется на ось Oy в отрезок AB , то
пределами внешнего интегрирования являются ординаты точек A и B , т. е.
НГАВТ - Стр 14 из 45
y = - 2 и y = 2 соответственно. Левой границей области является кривая
x = y 2 / 4 (уравнение параболы y 2 = 4 x разрешено относительно x ), а правой
— прямая x = 1 . Таким образом, двойной интеграл I с измененным порядком
интегрирования запишется в виде
I=
2
1
-2
y2 / 4
Ú dy Ú f ( x , y )dx .
Пример 2. Вычислить тройной интеграл I =
ÚÚÚ ( -2 x )dV , если область V
V
ограничена поверхностями s 1 : z = 2 и s 2 : z = x + y ( z $ 0 ) (рис. 13).
2
2
2
Решение. Исключая z из уравнений s 1 и s 2 , получим уравнение границы
области D xy (проекции V на плоскость xOy ): x + y = 4 . Для вычисления
интеграла I переходим к цилиндрическим координатам по формулам (4) с
0 £ j £ 2p , 0 £ r £ 2, r £ z £ 2
пределами
интегрирования
(z = r
2
уравнение верхней части конуса z = x + y
По формуле (5) получаем
2
I=
2
2
2
в цилиндрических координатах).
ÚÚÚ ( -2 z ) dV = ÚÚÚ ( -2 z ) r drdj dz
V
V
2p
2
2
2p
2
2
0
0
r
0
0
r
2p
2
= - Ú d j Ú r dr Ú 2 zdz = - Ú d j Ú r ( z 2 ) d r =
2
2p
2p
r2
2
2
= - Ú d j Ú r ( 4 - r ) d r = - Ú (( 2 r ) ) d j = - 4 Ú d j = - 8p .
4 0
0
0
0
0
Y
Z
В
0
1
r
n2
r
n1
Х
Y
А
Dxy
Х
НГАВТ - Стр 15 из 45
Рис. 12
Рис. 13
Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл
I=
z3
ÚÚ
x + y +z
2
s2
2
2
ds ,
где s 2 — внешняя часть конуса z = x + y ( z $ 0 ) , отсекаемая плоскостью
z = 2 (рис. 13).
2
Решепие. Поверхность s 2
2
2
однозначно проецируется в область
D xy
плоскости xOy , и интеграл вычисляется по формуле (7).
Единичный вектор внешней нормали к поверхностях s 2 найдем по формуле
(8):
r
n2 = ±
r
r
r
2 xi + 2 y j - 2 z k
4 x + 4 y + 4z
2
2
2
xi + yj - zk
=
x +y +z
2
2
2
.
Здесь в выражении для нормали выбран знак плюс, так как угол g между осью
r
Oz и нормалью n2 — тупой и, следовательно, cos g = ±
должен быть отрицательным. Учитывая, что z =
получаем
I=
ÚÚ
D xy
=
z3
x + y +z
2
2
2
+
z/ x + y + z
2
x 2 + y2 + z2
x 2 + y 2 , на поверхности s 2
dxdy
2
(- z)
2
=
ÚÚ z
2
dxdy =
D xy
2
2
(
x
+
y
) dxdy .
ÚÚ
D xy
2
2
Область D xy есть круг x + y £ 4 . Поэтому в последнем интеграле переходим
к полярным координатам (при этом 0 £ j £ 2p , 0 £ r £ 2 ):
НГАВТ - Стр 16 из 45
2p
ÊÊ r ˆ 2 ˆ
2
I = ÚÚ r + r dr dj = Ú dj Ú r dr = Ú Á Á
˜ ˜dj = 4 Ú dj = 8p .
Á 4 ¯0˜
D xy
0
0
0 ËË
0
¯
2p
2p
2
2
3
r
Пример 4. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a = yi - xj - z k .
Решение. По формуле (9) получаем
2
r
4
4
4
div a =
y+
( - x ) + ( - z 2 ) = -2 x .
4x
4y
4z
Ротор данного векторного поля находим по формуле (10):
r
i
r
4
rota =
4x
y
r
j
4
4y
x
r
k
4
=
4z
- z2
Ê 4
4
ˆr Ê 4
4 ˆr
2
2
= ÁÁ ( - z ) - ( - x ) ˜˜ i - Á
(-z ) y˜ j +
4
y
4
z
4
x
4
z
Ë
¯
Ë
¯
r
Ê 4
4 ˆr
+ ÁÁ
(- x) y ˜˜ k = - 2 k .
4y ¯
Ë 4x
r
r
r
r
2
Пример 5. Вычислить поток векторного поля a = yi - x j - z k через
замкнутую поверхность s , образованную плоскостью z = 2 и частью конуса
z 2 = x 2 + y 2 ( z > 0) .
Проверить
Остроградского.
Решение. Поверхность s
результат
с
помощью
формулы
состоит из двух поверхностей: s 1 — части
плоскости z = 2 и s 2 — части конуса z = x + y (рис. 13). Поэтому поток
r
через s равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:
2
П = П1 + П 2 =
2
r r
r r
(
a
,
n
)
d
s
+
(
a
ÚÚ 1
ÚÚ , n2 )ds ,
s1
r
2
s2
r
где n1 и n2 — внешние нормали к плоскости и конусу соответственно.
Для поверхности
z=2
r
r
в силу формулы (8) получим n1 = k
и,
НГАВТ - Стр 17 из 45
следовательно,
П1 =
r r
(
a
ÚÚ , n1 ) ds =
s1
2p
ÚÚ ( - z
s1
2p
2
2
) d s = - 4 ÚÚ dxdy =
D xy
(
= - 4 Ú d j Ú r d r = - 4 Ú ÊÁ r 2 / 2
Ë
0
0
0
)
2p
ˆ˜d j = - 8 d j = - 16p ,
Ú0
0 ¯
2
так как на поверхности s 1 имеем z = 2 .
Вычислим поток через поверхность s 2 уравнение которой в явном виде
дается
r
n2 =
соотношением
r
r
r
x i + y j - zk
x 2 + y2 + z2
z=
x 2 + y2 ,
вектор
внешней
нормали
равен
. По формуле (11) получаем
r r
xy - xy + z 3
П 2 = ÚÚ ( a , n2 ) d s = ÚÚ
ds =
2
2
2
x + y +z
s2
s2
=
ÚÚ
s2
(см. пример 3).
Таким
образом,
s = s 1 + s 2 равен
z 3 ds
x + y +z
2
поток
2
2
векторного
= 8p
поля
через
поверхность
П = П 1 + П 2 = -16p + 8p = - 8p .
Найдем решение этой задачи с помощью формулы Остроградского (13).
r
r
r
r
2
a
=
y
i
x
j
z
k
Дивергенция поля
равна div a = - 2 z (см. пример 4), и поток
П =
r
div
a
ÚÚÚ dV =
V
как это было вычислено в примере 2.
ÚÚÚ ( -2 z )dV = -8p ,
s
r
r
r
2
Пример 6. Вычислить циркуляцию векторного поле a = yi - xj - z k no
Г , образованному пересечением поверхностей s 1 : z = 2 и
s 2 : z 2 = x 2 + y 2 ( z $ 0 ) . Проверить результат с помощью формулы Стокса.
контуру
Решение. Пересечением указанных поверхностей является окружность
НГАВТ - Стр 18 из 45
x 2 + y 2 = 4, z = 2 (рис. 13). Направление обхода контура выбирается обычно
так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические
уравнения контура Г :
Ï x = 2 cos t ,
Ô
Ì y = 2 sin t ,
Ô z = 2,
Ó
откуда
Ï dx = - 2 sin tdt ,
Ô
Ì dy = 2 cos tdt ,
Ô
dz = 0 ,
Ó
(15)
причем параметр t изменяется от 0 до 2p . По формуле (12) с учетом (6) и (15)
получаем
Ц = Ú Pdx + Qdy + Rdz =
Г
2p
=
Ú ( -4 sin
0
2p
Ú 2 sin t ( -2 sin t )dt - 2 cos t + 2 cos tdt - 4 + 0 =
0
2p
2
t - 4 cos t ) dt = - 4 Ú dt = - 8p .
2
0
Применим теперь формулу Стокса (14). В качестве поверхности s ,
натянутой на контур Г , можно взять часть плоскости z = 2 . Направление
r r
нормали n = k к этой поверхности согласуется с направлением обхода контура
r
r
Г . Ротор данного векторного поля вычислен в примере 4: rot a = - 2 k .
Поэтому искомая циркуляция
Ц =
r r
(
rot
a
, n )ds =
ÚÚ
s
r r
(
2
k
, k ) ds =
ÚÚ
s
2p
2
0
0
= - 2 ÚÚ d s = - 2 ÚÚ r d r d j = - 2 Ú dj Ú r d r =
s
D xy
Ê r2
= -2 Ú Á
Á 2
0Ë
2p
2p
ˆ
˜d j = - 4 d j = - 8p ,
Ú0
˜
0 ¯
2
что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным
вычислением.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
РЯДЫ
НГАВТ - Стр 19 из 45
Основные теоретические сведения
1. Числовой ряд
•
a1 + a 2 + ... + a n + ... = Â a n ,
(1)
n=1
называется
сходящимся,
если
существует
предел
его
частичных
сумм
•
S n = Â a k . Число S = lim S n называется суммой ряда. Если же предел
nÆ •
k =1
частичных сумм не существует, то ряд (1) называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости: если ряд (1) сходится, то его общий член
a n = 0.
стремится к нулю при n Æ • : nlim
Æ•
К достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами
( a n $ 0 ) относятся:
а) Признак сравнения в предельной форме: если
an
= k ( k 6 0 , • ),
nÆ • b
n
lim
•
Âa
то ряды
n =1
(2)
•
и
n
Âb
n =1
n
одновременно сходятся или расходятся. В качестве
эталонных рядов для сравнения обычно служат:
•
1
ряд Â
n
n =1
•
ряд
Âq
n =1
a
, сходящийся при a > 1 и расходящийся при a £ 1 ;
n-1
сходящийся при 0 £ q < 1 расходящийся при q $ 1 .
n-l
б) Признак Даламбера: если существует
an+1
= q,
nÆ • a
n
lim
(3)
•
тo ряд
Âa
n =1
n
сходится при 0 £ q < 1 и расходится при q > 1 . Если же q = 1 , то
вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.
НГАВТ - Стр 20 из 45
•
Ряд
Âa
n =1
n
с членами, имеющими разные знаки, называется условно сходя•
щимся, если ряд
Âa
n =1
•
Âa
сходится, а ряд
n
n =1
n
расходится, и абсолютно
•
сходящимся, если ряд
Âa
n =1
n
сходится.
•
в) Признак Лейбница: если члены ряда
1)
Âa
n =1
n
удовлетворяют условиям:
a n a n + 1 < 0 (т.е. ряд знакочередующийся); 2) a1 > a 2 > ... > a n > ... ; 3)
lim a n = 0 , то ряд сходится. Погрешность D , происходящая от замены суммы
сходящегося знакочередующегося ряда суммой его первых n членов, по
nÆ •
абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов:
D = S - S n < an+1 .
(4)
1. Ряд вида
a 0 + a1 ( x - a ) + ... + a n ( x - a ) + ... =
n
•
Âa
n=0
n
( x - a) n
(5)
называется степенным рядом (относительно ( x - a ) ), точка x = a центром
разложения, a n — коэффициентами ряда. Число R называется радиусом
сходимости степенного ряда, если ряд (5) сходится при x - a < R и расходится
при x - a > R . При x - a = R ряд может как сходиться, так и расходиться.
Интервал ]a - R , a + R[ называется интервалом сходимости степенного ряда
(5). Радиус сходимости R может быть найден по формуле
R = lim
nÆ •
an
.
an+1
(6)
Степенной ряд (5) внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.
3. Степенным рядом с комплексными членами называется выражение вида
НГАВТ - Стр 21 из 45
•
a 0 + a1 z + a 2 z + ... + a n z + ... = Â a n z n ,
2
n
n=0
где z n = x n + iyn , a n - комплексные постоянные. Областью сходимости этого
ряда является круг с центром в начале координат: z < R , где R — радиус
сходимости ряда.
По определению,
z2
zn
e = 1+ z +
+ ... +
+ ..., R = •;
2!
n!
2n
z2 z4
n z
cos z = 1 +
- ... + ( - 1)
+ ..., R = •;
2! 4!
( 2 n )!
z
(7)
z3 z5
z 2 n+1
n
sin z = z +
- ... + ( - 1)
+ ..., R = •;
3! 5!
( 2 n + 1)!
Отсюда следует, что
e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y ).
(8)
4. Рядом Фурье периодической функции f ( x ), - l £ x £ l , называется ряд
вида
•
a0
np x
np x
f ( x) =
+ Â a n cos
+ bn sin
,
2 n =1
l
l
l
1
np x
a n = Ú f ( x ) cos
dx ,
l -l
l
n = 0 , 1, 2, ...;
l
1
npx
bn = Ú f ( x ) sin
dx ,
l -l
l
n = 1, 2, ...;
Функция, заданная на полупериоде [0 , l ] , может быть представлена различными рядами Фурье. При четном продолжении данной функции на второй
полупериод [0 , - l ) получается ряд по косинусам:
a
f ( x) = 0
2
•
Âa
n=1
n
cos
np x
;
l
(9)
НГАВТ - Стр 22 из 45
l
2
np x
bn = 0; a n = Ú f ( x ) cos
dx ,
l -l
l
n = 0 , 1, 2, ...;
а при нечетном продолжении — ряд по синусам:
•
f ( x ) = Â bn sin
n=1
np x
; a n = 0;
l
l
bn =
2
np x
f
(
x
)
sin
dx ,
l -Úl
l
n = 1, 2, 3, ...;
Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд
arctg ( 2 n + 3 )
.
Â
n
n=1
•
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера (3). Так как
arctg ( 2 n + 3 )
, то, заменяя в выражении n -го члена n
n
arctg ( 2 n + 5 )
a
=
на n + 1 , находим
n+1
. Затем ищем предел отношения
n+1
последующего члена a n + 1 к предыдущему a n при n Æ • :
общий член ряда a n =
an+1
n + arctg ( 2 n + 5 )
= lim
= 1.
nÆ • a
n Æ • ( n + 1) arctg ( 2 n + 3 )
n
q = lim
Поскольку полученный предел равен единице, признак Даламбера не дает ответа
на вопрос о сходимости ряда (здесь для вычисления предела было использовано
правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В
•
качестве эталонного ряда выберем ряд
1
 n,
n=1
bn =
1
и в силу формулы (2)
n
получим
an
arctg ( 2 n + 3 )
p
= lim
= lim arctg ( 2 n + 3 ) = .
nÆ • b
nÆ •
nÆ •
n +1
2
n
k = lim
Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с
НГАВТ - Стр 23 из 45
общим членом bn =
1
и расходится (гармонический ряд).
n
Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
n+3
( x + 2 ) n . Исследовать сходимость ряда на концах интервала
Â
2
n= 0 n + 1
•
сходимости.
Решение. Радиус сходимости находим по формуле (6):
an
( n + 3 )(( n + 1) 2 + 1)
R = lim
= lim
= 1.
2
nÆ • a
nÆ •
(
n
+
4
)(
n
+
1
)
n+1
Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством x + 2 < 1
или - 3 < x < - 1
Исследуем концы интервала сходимости. При x = - 1 получаем числовой
ряд
•
n+ 3
n+ 3
n
(
1
+
2
)
=
,
Â
Â
2
2
n
+
1
n
+
1
n= 0
n=0
•
предельного признака сравнения (эталонный пряд — гармонический).
При x = - 3 получаем числовой знакочередующийся ряд
•
n+ 3
n
n n+ 3
(
3
+
2
)
=
(
1
)
,
Â
Â
2
2
n
+
1
n
+
1
n=0
n=0
•
который сходится по признаку Лейбница. Так как ряд, составленный из
•
абсолютных членов данного ряда, т. е. ряд
n+ 3
, расходится, то
2
+1
Ân
n=0
исследуемый ряд, сходится условно.
Таким образом, интервал сходимости исследуемого степенного ряда имеет
вид - 3 £ x < 1 .
0
Пример 3. Вычислить I =
Ú
-0,6
dx
3
1+ x2
с точностью до 0,001.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд по
степеням x :
НГАВТ - Стр 24 из 45
(1 + x 2 )
-1
= 1-
3
1 2 1+ 4 4 1+ 4 + 7 6
x +
x x + ...,
3
3+6
3+6+9
x < 1.
Таж как отрезок интегрирования [- 0, 6; 0] находится внутри интервала
сходимости биномиального ряда, то ряд можно почленно интегрировать.
Подставляя в интеграл вышеприведенное разложение подынтегральной функции
и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем
0
I=
Ú
-0,6
dx
3
1+ x2
0
=
Ú
-0,6
(1 -
1 2 2 4 14 6
x + x x + ...) dx =
3
9
81
0
1 3
2 5
14 7
Ê
ˆ
=Áxx +
x x + ... ˜
=
3
+
3
9
+
5
81
+
7
Ë
¯ -0,6
Ê
ˆ
( 0, 6 ) 3 2 + ( 0 , 6 ) 5 14 + ( 0 , 6 ) 7
= - ÁÁ - 0 ,6 +
+
- ... ˜˜ .
9
45
567
Ë
¯
7
( 0 ,6 )
14
+
ª 0 , 0007 меньше 0 , 001 . Поэтому согласно
Четвертый член
567
неравенству (4) для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой
точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами ряда:
( 0 ,6 ) 3 2 + ( 0 ,6 ) 5
I = 0 ,6 +
ª 0 ,579 .
9
45
Пример 4. Найти сумму ряда с комплексными членами:
p2 p3
p4 p5
1 + pi i+
+
i - ... .
2!
3!
4!
5!
Решение. Общий член данного ряда имеет вид
p n n (p i ) n
zn =
i =
,
n!
n!
т. е. ряд, по определению, является функцией f ( z ) = e при z = p i [см.
формулу (7)]. Следовательно, сумма этого ряда равна значению функции
z
f ( z ) = e z в указанной точке: e pi = cos p + i sin p = - 1 [см. формулу (8)].
НГАВТ - Стр 25 из 45
(p i ) n
= -1 .
Таким образом, получаем Â
n
!
n= 0
•
Прамер 5. Разложить периодическую функцию f ( x ) = x - 1 , 0 £ x £ 3 в
ряд Фурье по косинусам. Построить график функции.
Решение. Данная функция определена на полупериоде [0 , 3] , т. e. l = 3 .
Для разложения такой функции в ряд Фурье по косинусам ее следует продолжить
на второй полупериод [- 3 , 0 ) четным образом (рис. 14). Для четной функции
коэффициенты bn = 0 коэффициенты a n вычисляются по формулам (9):
y
2
1
x
-3l
-1
0
13
Рис. 14
3
2
n px
2
n px
a n = Ú f ( x ) cos
dx = Ú x - 2 cos
dx .
l 0
l
30
3
Так как
Ï x - 1 при x $ 1,
x -1 = Ì
Ó - ( x - 1) при x < 1,
то отрезок интегрирования разобьем на два отрезка: от 0 до 1 , где f ( x ) = - x + 1
и от 1 до 3 , где f ( x ) = x - 1 . Тогда
1
3
2Ê
np x
npx ˆ
a n = ÁÁ Ú (1 - x ) cos
dx + Ú ( x - 1) cos
dx ˜˜ .
3Ë0
3
3
1
¯
При n = 0 имеем
1
3
ˆ
2Ê
a 0 = ÁÁ Ú (1 - x )dx + Ú ( x - 1)dx ˜˜ =
3Ë0
1
¯
НГАВТ - Стр 26 из 45
2 ÊÁ (1 - x ) 2
=
Á
3
2
Ë
1
0
3
( x - 1) 2 ˆ˜ 2 Ê 1
ˆ 2 5 5
+
= Á + 2˜ = + = .
˜ 3Ë2
2
¯ 3 2 3
1 ¯
a n ( n = 1, 2, ...)
Для вычисления коэффшаиентов
интегрирования по частям:
b
b
a
a
Ú udv = ( uv )
причем
в
первом
du = - dx , v =
dv = cos
=
интеграле
3
np x
sin
.
np
3
примем
применим
метод
b
- Ú vdu ,
a
u = 1 - x , dv = cos
np x
, откуда
3
Во втором интеграле положим
u = x - 1,
np x
3
npx
dx , откуда du = dx , v =
sin
. Тогда
3
np
3
1
1
2 ÊÁ 3
np x
3
np x ˆ˜
an =
(1 - x ) sin
+
sin
dx +
˜
3 ÁË pn
3 0 np Ú0
3
¯
3
3
2 ÊÁ 3
np x
3
n p x ˆ˜
+
( x - 1 ) sin
sin
dx =
˜
3 ÁË p n
3 0 np Ú1
3
¯
1
3
2 ÊÁ
9
np x ˆ˜ 2 ÊÁ 9
np x ˆ˜
=
co s
+
co s
=
3 ÁË p 2 n 2
3 0 ˜¯ 3 ÁË p 2 n 2
3 1 ˜¯
2
9 Ê
np x
np ˆ
= + 2 2 Á - cos
+ 1 + cos np - cos
˜=
3 p n Ë
3
3 ¯
6 Ê
np ˆ
6 Ê
np ˆ
n
cos
n
p
+
1
2
cos
=
(
1
)
+
1
2
cos
Á
˜
Á
˜,
3 ¯ p 2n2 Ë
3 ¯
p 2n2 Ë
так как cos np = ( - 1) .
Следовательно, искомое разложение функции в ряд Фурье по косинусам
имеет вид
n
НГАВТ - Стр 27 из 45
•
a0
np x
f ( x) =
+ Â a n cos
=
2 n =1
3
5 • 6 Ê
np ˆ
np x
= + Â 2 2 Á ( - 1) n + 1 - 2 cos
.
˜ cos
6 n=1 n p Ë
3 ¯
3
Это разложение справедливо в области непрерывности данной функции.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
I. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов
проверить дифференцированием.
xdx
Ú 7 + x2 ;
dx
;
2. 1) Ú
2 x
sin
5
dx
1. 1)
3. 1)
Ú
5 - x2
dx
;
4. 1) Ú
5x + 3
5. 1)
6. 1)
2)
2)
;
Ú sin( 2 - 3 x )dx ;
Úe
1
x-2
4
dx ;
dx
;
7. 1) Ú
7 + 4x2
dx
;
8. 1) Ú
2
cos 2 x
Êx
ˆ
cos
4
Á
˜ dx ;
9. 1) Ú
3
Ë
¯
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
Ú
( x + 18 ) dx
;
x 2 - 4 x - 12
3)
Ú ( 3 - x ) cos xdx ;
Ú
( x + 4 ) dx
;
x2 - 2x - 8
3)
Ú x ln( 1 - 3 x )dx ;
3)
-7 x
xe
dx ;
Ú
3)
Ú arctg 4 xdx ;
3)
Ú
3)
Ú x sin 5 xdx ;
3)
Ú ( 2 x + 5 ) sin xdx ;
( x + 23 ) dx
Ú x 2 + x - 20 ;
( x + 12 ) dx
Ú x2 - x - 6 ;
( x + 19 ) dx
Ú x 2 - 2 x - 15 ;
( 5 x + 6 ) dx
Ú x 2 + 4 x - 12 ;
( 5 x - 7 ) dx
Ú x 2 - x - 20 ;
5 xdx
Ú x2 + x - 6 ;
( 5 x + 2 ) dx
Ú x2 + 2x - 8 ;
x 3 ln xdx ;
ln xdx
Ú x ;
x
arcsin
dx ;
3) Ú
3
3)
НГАВТ - Стр 28 из 45
10. 1)
Ú
3
dx
;
( 2 x + 1)
e x dx
11. 1)
Ú
12. 1)
Úx
3
2)
2)
Ú
3 - x 2 dx ;
2)
Ú
2)
Ú
2)
Ú
x
arctgxdx
;
13. 1) Ú
1 + x2
14. 1)
2 - cos 2 x dx ;
sin xdx
;
15. 1) Ú
1 - cos x
3
16. 1)
17. 1)
18. 1)
19. 1)
20. 1)
19 - 4 x
dx ;
2x2 + x - 3
2x + 9
dx ;
x2 + 5x + 6
x+9
dx ;
x2 + 2x - 3
2 x + 27
dx ;
2
x - x - 12
;
1- e
Ú sin 2 x
Ú
( 5 x + 1) dx
;
x 2 + 2 x - 15
ln x dx
Ú x ;
1 - tgx
Ú cos 2 x dx ;
x2
Ú 8 + x 3 dx ;
sin 2 x
Ú cos 2 x + 3 dx ;
x 2 dx
Ú cos 2 x 3 ;
1.
Ú
2
1
3.
Ú
0
7
5.
Ú
2
x + 2 dx
x
x dx
4- x
dx
x -3
Ú xe
3)
Ú ( 5 x - 2 ) ln xdx ;
3)
Ú x cos
3)
Ú ln( 3 + x
3)
Ú x arcsin xdx ;
3)
Ú ( 2 - x ) sin xdx ;
3)
Ú (1 - ln x ) dx ;
3)
Ú ( 3 x + 4 ) cos xdx ;
3)
Ú arcctg ( 4 x )dx ;
3)
Ú x ln
3)
Úx
2)
Ú
4 x + 31
dx ;
2 x 2 + 11 x + 12
11 x - 2
dx ;
2) Ú 2
x + x-2
17 - 2 x
dx ;
2) Ú 2
x - 5x + 4
9 - 2x
dx ;
2) Ú 2
x - 5x + 6
4 x + 27
dx ;
2) Ú
2x2 - x - 6
x - 13
dx ;
2) Ú 2
x - 2x - 8
II. Вычислить определенный интеграл.
7
3)
0
2.
Ú
-3
0
4.
( x + 1) 3
4
dx
Ú 5-
-8
1
6.
3 xdx
Ú
-4
3
x2
xdx
(5 - x ) 3
2
3x
dx ;
2
2
2 xdx ;
2
) dx ;
xdx ;
sin 3 xdx ;
НГАВТ - Стр 29 из 45
0
dx
7. Ú
1+ x
-3 4 2 -
1
4
Ú
11.
0
3
Ú
13.
0
49
Ú
15.
25
Ú
17.
-8
2
Ú
19.
1
x2 + 3
4 + 3 x2
-1
x-3
dx
x
Ú
3
1
x-2
dx
1+ x - 2
Ú
14.
2
1
x dx
x-6
3
dx
Ú
10.
12.
x2 + 1 + x
dx
1+ x
3 x2
0
6
x dx
4+ x
0
8 + 3 x2
-1
0
dx
9. Ú
3x + 1
-1 4 1 +
dx
Ú
8.
xdx
2x + 7
Ú
16.
0
9
dx
dx
2+ 4 x -1
dx
x ( x - 1)
Ú
18.
4
4
dx
x +5
Ú
20.
0
III. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
5
Ú
1.
3
-3
•
3.
dx
x ln 2 x
Ú
e
3
5.
xdx
x -1
Ú
1
p 4
Ú
7.
e
3
9.
cos xdx
sin 2 x
dx
Ú
( x + 1) 3
1
1
11.
dx
x+3
Ú
0
dx
1 - x2
•
-x
2. Ú xe dx
2
0
5
dx
4. Ú
( x - 4) 2
4
•
6.
-
Úp tgxdx
2
•
8.
Úx
0
2
dx
+ 2x + 5
p 2
10.
Ú ctgxdx
0
•
dx
12. Ú
9x2 + 1
0
НГАВТ - Стр 30 из 45
8
13.
Ú
0
8
15.
Ú
0
Ú
Ú
-5
dx
-x
xdx
16. Ú e
2
-•
•
18.
dx
Ú0 4 x 2 + 1
•
dx
3
-5 x
0
( x + 1) 3
-1
Úe
0
dx
-4
19.
14.
dx
x ln 3 x
0
17.
•
3x + 2
dx
3
x
20.
( x + 5 )4
Ú
4
14
dx
x+2
IV. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.
Сделать чертеж области.
1. 3 x - 4 y = 0 ,
2
2. 3 x + 4 y = 0 ,
2
3. 2 x + 3 y = 0 ,
2
4. 3 x - 4 y = 0 ,
2
5. 3 x + 4 y = 0 ,
2
6. 2 x - 3 y = 0 ,
2x - 4 y + 1 = 0
2x - 4 y - 1 = 0
2x + 2 y + 1 = 0
2x + 4 y - 1 = 0
2x + 4 y + 1 = 0
7. 3 x - 2 y = 0 ,
2x + 2 y - 1 = 0
2x - 2 y + 1 = 0
8. 4 x + 3 y = 0 ,
4x + 2y + 1 = 0
2
2
2
9. 3 x - 2 y = 0 ,
2x + 2 y - 1 = 0
4 x - 3 y 2 = 0, 4 x + 2 y - 1 = 0
y = x 3 + 3, x = 0 , y = x - 1, x = 2
y = x 3 + 2, x = 0 , y = x - 2, x = 2
y = x 3 + 1, x = 0 , y = x - 3, x = 2
y = x 3 - 1, x = 0 , y = x - 5 , x = 2
y = x 3 - 2, x = 0 , y = x - 6 , x = 2
2
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. y = x + 3,
17. y = x + 2,
x = 0,
x = 0,
y = x + 7,
y = x + 6,
x = -2
x = -2
18. y = x + 1,
x = 0,
y = x + 5,
x = -2
3
3
3
НГАВТ - Стр 31 из 45
19. y = x - 1,
x = 0,
y = x + 3,
x = -2
20. y = x - 2,
x = 0,
y = x + 2,
x = -3
3
3
L.
V. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой
1. x - y = 0,
x = - 1,
y=0
2. x + y = 0 ,
x = 0,
y = -1
3. x + 2 y = 0 ,
x = 1, y = 0
x = 1, y = 0
4. x - y = 0 ,
x = 0,
x = 1,
y=1
y=0
x = 0,
x = 0,
8. x + y = 0 ,
2
2
5. x - y = 0 ,
2
7. x - y = 0,
2
9. x - y = 0 ,
2
11. y = - 4 x ,
x = 0, y = 4
x = 0, y = 4
3
13. y = 4 x ,
3
15. y = 1 + 8 x ,
3
17. y = - 4 x ,
3
19. y = 4 x ,
3
y = -1
y=1
x = 0,
y=9
x = - 1, y = 0
x = - 1, y = 0
2
2
6. x - y = 0 ,
2
x = - 1, y = 0
2
10. x + y = 0 , x = 0 , y = 1
3
12. y = - 4 x , x = 1, y = 0
3
14. y = 4 x , x = 1, y = 0
2
16. y = 4 x ,
3
x = 0,
y = -4
18. y = - 4 x ,
x = 0, y = - 4
3
20. y = 1 + 8 x , x = - 1 / 2, y = 1
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
I. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж
области интегрирования.
0
1.
3.
Ú dx Ú f ( x , y )dy
-1
-8 x
1
4 x+4
0
7.
2
Ú dx Ú f ( x , y )dy
0
5.
-2 x + 6
8x
3
8x
4.
3
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
-1
4 x -4
1
-8 x 3
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
0
2.
- 2 x -6
6.
8.
1
-8 y3
0
-4 y -4
0
8 y3
-1
2 y- 6
1
2 y +6
0
8 y3
0
-4 y+ 4
-1
-8 y 3
Ú dy Ú f ( x , y )dy
Ú dy Ú f ( x , y ) dy
Ú dy Ú f ( x , y ) dy
Ú dy Ú f ( x , y )dy
НГАВТ - Стр 32 из 45
-8 x 3
1
9.
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
-4 x -4
0
3
11.
4x-x2
3
17.
14.
- 8x-x2
-4 x- x 2
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
0
-2
0
16.
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
-4
6
19.
0
-3
18.
- -6 x - x 2
8 x- x2
Ú dx Ú f ( x , y )dy
2
-1
4 y -4
Ú dy Ú f ( x , y )dy
20.
0
- 6 y- y2
Ú dy Ú f ( x , y )dy
-5
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
-1
15.
12.
0
5
8 y3
-1
Ú dx Ú f ( x , y ) dy
1
13.
10.
0
0
-1
0
-3
- -4 y - y2
Ú dy Ú f ( x , y ) dy
7
8 y - y2
1
0
Ú dy Ú f ( x , y )dy
3
0
1
- 4 y- y 2
4
0
2
- 6 y- y 2
Ú dy Ú f ( x , y ) dy
Ú dy Ú f ( x , y ) dy
II. А. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать схематический чертеж.
1. x + y = 4 ,
y + 2 z - 4 = 0,
z=0
2. x + y = 1,
y + 2 z + 2 = 0,
z=0
3. x + y = 4 ,
y - 2 z - 4 = 0,
y - 2 z - 2 = 0,
z=0
z=0
2
2
2
2
2
2
4. x + y = 1,
2
2
5. x + y = 9 ,
2
2
6. x + y = 4 ,
2
2
7. x + y = 1,
2
2
8. x + y = 4 ,
2
2
y + 2 z - 6 = 0, z = 0
y - 2 x - 4 = 0, z = 0
y - 2 z + 2 = 0, z = 0
y + 2 z + 4 = 0, z = 0
9. x + y = 1,
y + 2 z - 2 = 0, z = 0
2
2
10. x + y = 9 , y - 2 x + 6 = 0 , z = 0
2
2
Б. Выполнить следующие задания, сделав схематический чертеж.
1. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
x 2 + y = 3,
2 y - z = 0,
z = 0.
НГАВТ - Стр 33 из 45
2.
Найти
3.
Найти
x - y - z = 0,
однородного
тела,
ограниченного
поверхностями
массу
однородного
тела,
ограниченного
поверхностями
тела,
ограниченного
поверхностями
y = 0,
x 2 + y - 4 = 0,
4.
массу
Найти
y - 2 z = 0,
массу
x - y + z = 0,
z = 0.
x = 0,
z =0.
однородного
z = 0.
5. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями x + y - 1 = 0 , x + y - 1 = 0 , x = 0 , z = 0 , z - 2 = 0 .
6. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
x 2 + y - 2 = 0,
3 y - 2 z = 0,
z = 0.
7.
Найти
массу
однородного
тела,
ограниченного
поверхностями
8.
Найти
массу
однородного
тела,
ограниченного
поверхностями
тела,
ограниченного
поверхностями
3 y + z = 0,
x - 2 = 0,
x + y - 1 = 0,
2
9.
Найти
x - 3 y = 0,
z = 0.
y - 2 z = 0,
массу
z = 0.
однородного
2 x - z = 0,
y - 2 = 0,
z = 0.
11. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями x + y = 0 , x - y = 0 , x - 1 = 0 , z = 0 , z = 3 .
III. А. Требуется: 1) найти поток векторного поля a через замкнутую
поверхность s = s 1 + s 2 (выбирается внешняя нормаль к s ); 2) вычислить
циркуляцию векторного поля a по контуру Г , образованному пересечением
поверхностей s 1 и s 2 (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы
область, ограниченная контуром Г , находилась слева); 3) проверить
правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул
Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников или стоков
внутри области, ограниченной поверхностью s ; 5) сделать схематический
чертеж поверхности s .
1. a = ( 3 y - 5 x ) i + ( 6 x + 5 y ) y + ( 4 z - xy + 4 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z + 1) 2 , s 2 : z = 1 .
2. a = ( x - y ) i + ( 2 x + y ) y + ( x + 2 z + 4 ) k ,
2
s 1 : x 2 + y 2 = ( z + 2 ) 2 , s 2 : z = 4.
3. a = ( 3 x + 2 y ) i + ( 5 x - 2 y ) y + ( 3 z - y - 3 ) k ,
2
s 1 : x 2 + y 2 = ( z - 1) 2 , s 2 : z = 3.
НГАВТ - Стр 34 из 45
4. a = ( 3 x - 4 y ) i + ( 3 y - x ) y + ( xy - 2 z + 4 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z - 2 ) 2 , s 2 : z = 4.
5. a = ( - x - 2 y ) i + ( x + 2 y ) y + ( 3 z - 2 xy + 9 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z + 3 ) 2 , s 2 : z = - 1.
6. a = ( 7 x + 5 y ) i + ( 8 x - y ) y + ( 3 xy - 2 z - 2 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z + 1) 2 , s 2 : z = - 3 .
7. a = ( 2 x - 3 y ) i + ( 5 z - 4 y ) y + ( 6 z - 2 y - 6 ) k ,
2
s 1 : x 2 + y 2 = ( z - 1) 2 , s 2 : z = - 1 .
8. a = ( 6 x + 5 z ) i + ( 3 x - y ) y + ( 2 y - z + 4 ) k ,
2
s 1 : x 2 + y 2 = ( z - 4 ) 2 , s 2 : z = 6.
2
9. a = ( y - 2 x ) i + ( 4 x + 3 y ) y + ( 3 z - 2 y + 9 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z + 3 ) 2 , s 2 : z = - 5.
10. a = ( 5 x + 4 y ) i + ( 7 x - 2 y ) y + ( 2 xy + 2 z - 4 ) k ,
s 1 : x 2 + y 2 = ( z - 4 ) 2 , s 2 : z = 2.
Б. Выполнить те же задания, что и в п. А, взяв в качестве вектора a вектор
rot G .
11.
G = ( 2 x - z ) i + ( 2 y - xz ) j + ( 4 - 2 x ) k ; s 1 : x 2 + y 2 + 2 z + 3 = 0 ,
s 2 : z = -2.
12.
G = ( x + 2 ) i + ( y - xz ) j + ( 3 - z ) k ; s 1 : x 2 + y 2 + 2 z + 1 = 0 ,
s 2 : z = - 1.
13.
G = ( 2 x + z ) i + ( 2 y - xz ) j + ( 3 + x ) k ; s 1 : x 2 + y 2 + 2 z - 3 = 0 ,
s 2 : z = 1.
14.
G = ( x - 6 ) i + ( xz - y ) j + (1 + z 2 ) k ; s 1 : x 2 + y 2 + 2 z - 5 = 0 ,
s 2 : z = 2.
15.
G = 3 z i + ( 4 - xz ) j + ( z 2 + 3 x ) k ; s 1 : x 2 + y 2 + 2 z - 7 = 0 ,
s 2 : z = 3.
НГАВТ - Стр 35 из 45
G = ( x + z ) i + ( y - xz ) j + ( 2 z + x ) k ; s 1 : x 2 + y 2 - 2 z - 3 = 0 ,
16.
s 2 : z = - 2.
G = 2 x i + ( xz - 2 y ) j + ( 4 + z 2 ) k ; s 1 : x 2 + y 2 - 2 z + 1 = 0 ,
17.
s 2 : z = - 1.
G = ( 2 x - z ) i + ( xz - 2 y ) j + ( x - z ) k ; s 1 : x 2 + y 2 - 2 z + 1 = 0 ,
18.
s 2 : z = 1.
G = ( 3 x + z ) i + ( 3 y - xz ) j + (1 + x ) k ; s 1 : x 2 + y 2 - 2 z + 3 = 0 ,
19.
s 2 : z = 2.
G = ( x + 1) i + ( y - 2 - xz ) j + z k ; s 1 : x 2 + y 2 - 2 z + 5 = 0 ,
20.
s 2 : z = 3.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
I. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью достаточных
признаков сходимости.
2n + 5
Â
3
n=1 4n - 1
•
4n - 2
Â
3
n=1 3n + 1
•
5n + 4
Â
3
n= 2 2n - 3
•
3n - 5
Â
3
n= 2 5n + 4
•
4n - 3
Â
3
n=1 6n + 5
•
1.
3.
5.
7.
9.
•
1 ˆ
Ê
˜
11. Â ln Á 1 +
2n ¯
Ë
n =1
2
1+ n
13. Â sin
n3
n=1
n-3
2. Â
n
n= 3 7
•
3n + 1
4. Â
6n
n=1
•
5n - 4
6. Â
3n
n =1
•
3n + 2
Â
8.
4n
n=1
•
2n + 3
10. Â
5n
n=1
•
Ê n2
ˆ
Á
˜
e
1
12. Â Á
˜
n=1 Ë
¯
•
•
•
14.
 n + arctg n
n=1
2
5
+4
НГАВТ - Стр 36 из 45
•
3 ˆ
Ê
ln
1
Á
16. Â
2 ˜
n
Ë
¯
n= 2
•
n-2
18. Â sin 2
n +5
n= 2
1 - cos n
15. Â 2
n=1 n + n - 1
•
•
17.
Â
e
-1
-1
n2
n
n =1
•
1 - cos 2 n
20. Â
3n + 4
n= 0
•
1
2
arctg
19. Â
n-1
n= 2 n
II. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать
сходимость ряда на концах интервала сходимости.
n2 + 3
n
(
x
+
3
)
Â
3n
n= 0
•
n2 - 4
( x - 4 )n
Â
n
4
n= 3
•
n2 + 6
n
(
x
+
6
)
Â
6n
n= 0
•
n2 - 2
n
(
x
2
)
Â
2n
n= 2
•
n2 + 5
( x + 5 )n
Â
n
5
n= 0
•
( x - 4) n
n2 - 6
n
(
x
6
)
Â
2.
6n
n= 3
•
n2 + 2
(x + 2 )n
4. Â
n
2
n= 3
•
n2 - 5
n
(
x
5
)
6. Â
5n
n= 3
•
n2 + 4
n
(
x
+
4
)
8. Â
4n
n= 0
•
n2 - 3
(x - 3 )n
10. Â
n
3
n= 2
•
( x + 3) n
12. Â
3n
n= 0
•
1.
3.
5.
7.
9.
11.
Â
n=0
•
13.
•
n( n + 1 )
 ( 2n
2
- 1)( x - 2 )
n=1
•
(2 x ) 2n
15. Â
n = 2 ln( 4 n + 2 )
( x - 3) n
17. Â
2n
n= 0
•
( x - 1) n
19. Â
4n
n=0
n
( x + 1) n
14. Â
5n
n=0
•
( x + 4) n
•
16.
Â
n= 2
3
n4 - 2
•
•
18.
 ( 3 n - 1)( x + 2 )
n
n= 2
•
( 3 x ) 2n
20. Â
n = 2 ln( 2 n - 1 )
III. Вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение
НГАВТ - Стр 37 из 45
подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование
полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.
0
0
5x2
1. Ú sin 2 dx
- 0, 4
0
3.
Ú
-1
3
2.
0
1 - cos 3 x
dx
x2
4x2
4. Ú sin 3 dx
- 0 , 75
0
0
ln( 1 - 2 x 3 ) dx
6. Ú
x
- 0, 2
10 x 2
dx
5. Ú cos
3
- 0, 3
0
7.
Úe
-5 x 2
sin 2 x
dx
Ú
x
- 0 , 25
0 , 16
dx
8.
- 0, 2
Úe
0
x2
dx
9. Ú sin
5
-1
10.
0
0 ,1
0
0,5
15.
Úe
8+ x
- x3
17.
Ú
- 0, 2
0
19.
Ú xe
dx
- 0, 5
1
14.
3
Ú sin x
2
dx
-1
3
dx
16.
0
0
2
sin 0 ,6 xdx
12. Ú
x
0
dx
3
Ú arctg x
0,6
ln( 1 - x 2 )
dx
11. Ú
x
- 0, 5
Ú
dx
0
0
13.
- x
4
Ú arctg x
2
dx
0
0 ,1
e -2 x - 1
dx
18. Ú
x
0
dx
1+ x3
-2 x3
1
dx
20.
- 0, 5
Ú cos
2 x dx
0
IV. А. Представить функцию w = f (z ) комплексной переменной z в виде
степенного ряда. Используя полученное представление, найти сумму ряда при
z = z0 .
1. f ( z ) = cos iz ; z 0 = -
pi
6
2. f ( z ) = cos ip z; z 0 = -
i
6
НГАВТ - Стр 38 из 45
3. f ( z ) = sin iz ; z 0 = - iz
5. f ( z ) = e ; z 0 = -
pi
3
p
2
pi
6
iz
pi
9. f ( z ) = cos ; z 0 = 3
2
7. f ( z ) = sin 2 iz ; z 0 = -
p zi
2i
; z0 = 2
3
- iz
3p
3
f
(
z
)
=
e
;
z
=
6.
0
2
pi
8. f ( z ) = cos 2 iz ; z 0 =
12
4. f ( z ) = sin
10. f ( z ) = e
- iz
2
; z0 = p
Б. Найти сумму ряда, используя разложения
соответствующих функций комплексной переменной.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
в
степенной
ряд
p
p2
p3
p4
1+ i - 2
i+ 4
+ ...
2
2 + 2! 2 3 + 3!
2 + 4!
p2 p4 p6
1+
+
+
...
2!
4!
6!
p
p3
p3
p4
1- i - 2
+
i+ 4
+ ...
3
3 + 2! 3 3 + 3!
3 + 4!
p
p2
p3
p4
1+ i - 2
i+ 4
+ ...
6
6 + 2! 6 3 + 3!
6 + 4!
p
p2
p3
p4
1- i - 2
+
i+ 4
+ ...
4
4 + 2! 4 3 + 3!
4 + 4!
p
p3
p5
p7
i+ 3
i+ 5
i+ 7
i + ...
2
2 + 3!
2 + 5!
2 + 7!
p
p2
p3
p4
1- i - 2
+ 3
i+ 4
+ ...
2
2 + 2! 2 + 3!
2 + 4!
2
3
p
p
p
p4
1+ i - 2
i+ 4
+ ...
3
3 + 2! 3 3 + 3!
3 + 4!
23 + i 25 + i 27 + i 29 + i
2i +
+
+
+
+ ...
3!
5!
7!
9!
22 24 26
1+
+
+
+ ...
2! 4! 6!
V. Представить периодическую функцию f ( x ) , заданную на полупериоде
НГАВТ - Стр 39 из 45
[0 , l ] , рядом Фурье по синусам или косинусам. постоить график функции и
график суммы полученного ряда Фурье.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
p
Ï
1
+
sin
x
,
0
£
x
£
Ô
2 по косинусам
Ì
p
Ô 0, < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
£
Ô
2
по синусам
Ì
p
Ô - cos x , < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
£
Ô
2
по косинусам
Ì
p
Ô - sin x , < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
£
Ô
2 по синусам
Ì
p
Ô cos x , < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
<
Ô
2 по косинусам
Ì
p
Ô sin x , £ x £ p
Ó
2
p
Ï
1
+
cos
x
,
0
£
x
£
Ô
2 по синусам
Ì
p
Ô 0, < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
£
Ô
2 по косинусам
Ì
p
Ô cos x , < x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
<
Ô
2
по синусам
Ì
p
Ô - sin x , £ x £ p
Ó
2
НГАВТ - Стр 40 из 45
p
Ï
0
,
0
£
x
<
Ô
2 по косинусам
f ( x) = Ì
9.
p
Ô sin x , £ x £ p
Ó
2
p
Ï
0
,
0
£
x
<
Ô
2 по синусам
f ( x) = Ì
10.
p
Ô sin x , £ x £ p
Ó
2
Ï 2 x ; 0 £ x £ 3,
f
(
x
)
=
по синусам
Ì
11.
6
;
3
<
x
£
6
Ó
Ï - x ; 0 £ x £ 2,
f
(
x
)
=
по косинусам
Ì
12.
Ó - 2; 2 < x £ 4
Ï 1; 0 £ x £ 1,
f
(
x
)
=
по синусам
Ì
13.
Ó 2 - x; 1 < x £ 2
Ï - 2; 0 £ x £ 1,
f
(
x
)
=
по косинусам
Ì
14.
2
x
4
;
1
<
x
£
2
Ó
Ï x ; 0 £ x £ 2,
f
(
x
)
=
по синусам
Ì
15.
2
;
2
<
x
£
4
Ó
Ï - 2 x ; 0 £ x £ 3,
f
(
x
)
=
по косинусам
Ì
16.
6
;
3
<
x
£
6
Ó
Ï 3; 0 £ x £ 3,
f
(
x
)
=
по синусам
Ì
17.
x
+
6
;
3
<
x
£
6
Ó
Ï - 4; 0 £ x £ 2,
f
(
x
)
=
по косинусам
Ì
18.
2
x
8
;
2
<
x
£
4
Ó
Ï 3 x ; 0 £ x £ 1,
f
(
x
)
=
по синусам
Ì
19.
3
;
1
<
x
£
2
Ó
Ï - x ; 0 £ x £ 3,
f
(
x
)
=
по косинусам
Ì
20.
3
;
3
<
x
£
6
Ó
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НГАВТ - Стр 41 из 45
Таблица производных
основных элементарных функций
1.
( x n ) ¢ = nx n - 1 .
2.
(sin x ) ¢ = cos x .
3.
(cos x ) ¢ = - sin x .
4.
( tgx ) ¢ =
5.
( ctgx ) ¢ = -
6.
(arcsin x ) ¢ =
7.
(arccos x ) ¢ = -
8.
( arctgx ) ¢ =
10.
( a x ) ¢ = a x ln a .
12.
(log a x ) ¢ =
9.
1
.
sin 2 x
1
1- x2
1
( arcctgx ) ¢ = .
1+ x2
11.
( e x )¢ = e x .
13.
(ln x ) ¢ =
.
1
.
cos 2 x
1
1- x
2
.
1
.
1+ x2
1
.
x ln a
1
.
x
Основные правила дифференцирования
а ) ( C ) ¢ = 0; б ) ( u ± v ) ¢ = u ¢ ± v ¢;
в ) ( uv ) ¢ = u ¢v + uv ¢;
¢
u ¢v - u v ¢
Ê uˆ
г) Á ˜ =
v2
Ëv¯
Здесь C = const , u и v - дифференцируемые функции.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица простейших интегралов
1.
3.
x n+1
Ú x dx = n + 1 + C ( n 6 -1)
ax
x
Ú a dx = ln a + C
n
2.
dx
Ú x = ln x + C
4.
x
x
e
dx
=
e
+C
Ú
НГАВТ - Стр 42 из 45
Ú cos xdx = sin x + C
5.
dx
Ú cos 2 x = tg x + C
dx
x
=
arcsin
+C
Ú a2 - x2
a
7.
9.
dx
1
a+ x
=
ln
Ú a 2 - x 2 2a a - x + C
11.
6.
Ú sin xdx = - cos x + C
8.
dx
Ú sin 2 x = - ctg x + C
10.
12.
dx
1
x
=
arctg
+C
Ú x2 + a2 a
a
dx
= ln x + x 2 + a
Ú x2 + a2
+C
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Разложение в ряд Маклорена
некоторых функций
x2 x3
xn
e = 1+ x +
+
+ ... +
+ ...; - • < x < +• ;
2! 3!
n!
x3 x5
x 2 n+1
n
sin x = x +
- ... + ( - 1)
+ ...; - • < x < +• ;
3! 5!
( 2 n + 1)!
2n
x2 x4
n x
cos x = 1 +
- ... + ( - 1)
+ ...; - • < x < +• ;
2! 4!
( 2 n )!
x
m ( m - 1) 2
m ( m - 1)...( m - n + 1 ) x 2 n n
(1 + x ) = 1 + mx +
x + ... +
x + ...;
2!
n!
- 1 < x < 1;
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + ...; - 1 < x < 1;
1- x
n
x2 x3
n-1 x
ln( 1 + x ) = x +
- ... + ( - 1)
+ ...; - 1 < x £ 1 .
2
3
n
m
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
НГАВТ - Стр 43 из 45
Таблица значений функции j ( x ) =
2
2p
e-x
2
/2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2705
2568
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0540
0
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
НГАВТ - Стр 44 из 45
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Таблица значений функции j ( x ) =
1
2p
x
-x
Úe
2
/2
dz
0
х
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
х
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
Ф(х)
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
х
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
Ф(х)
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
х
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0.85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф(х)
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
Е.С. Мироненко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
инженерных специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1998
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами
математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную
литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и
повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на
математический язык.
Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля,
числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений
математической физики, теории вероятностей и математической статистики.
Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем
каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной
работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным
пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые
начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на
учебно-консультационных пунктах.
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на
обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату
отправки работы в институт.
Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в
условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано
перед ее решением.
В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не
зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию.
Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или
экзамена.
В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со
спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса,
принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики
вузов дополнительно к настоящему пособию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. M.: 1987, 1998.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.:
1981, 1985.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982,
1987.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.:
1997.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике.— М.: 1997.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.
9. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.
Демидовича - М.: 1986, 1987.
10. Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.
11. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основные теоретические сведения
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется дифференцируемая функция y = ϕ ( x , C ) , которая при любом
значении произвольной постоянной C является решением данного уравнения.
Решения, получающиеся из общего решения y = ϕ ( x , C ) при определенном
значении произвольной постоянной C , называются частными. Задача
нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y = y0
x = x 0 (другая запись y x = x 0 = y0 ), называется задачей Коши.
График всякого решения y = ϕ ( x ) данного дифференциального уравнения,
построенный на плоскости xOy , называется интегральной кривой этого
при
уравнения.
2. Уравнение
вида
y ′ + A( x ) y = B ( x )
называется
линейным.
Если
B( x ) = 0 ,
B( x ) ≠ 0 то уравнение называется однородным; если
неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем
разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из
общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации
произвольной постоянной интегрирования C .
Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью
замены y = uv , где u, v — две неизвестные функции.
3. Дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно
производной, имеет вид
y ( n ) = f ( x , y, y ′, ..., y ( n − 1 ) ) . Задача нахождения
решения y = ϕ ( x ) данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям
y x = x = y0 ; y ′ x = x = y0′ … ; y ( n − 1 )
0
0
x = x0
= y0( n − 1 ) называется задачей Коши.
Для нахождения частного решения иногда используют так называемые
краевые условия. Эта условии (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые
условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.
4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в
уравнении y
( n)
= f ( x , y, y ′, ..., y ( n − 1 ) ) функция f ( x , y, y ′, ..., y ( n − 1 ) ) а)
( n−1)
непрерывна по всем своим аргументам x , y , y ′, ..., y
в некоторой области
D их изменения; б) имеет ограниченные в области D частные производные
∂f ∂f
∂f
,
, ..., ( n − 1 ) , по аргументам y, y ′, ..., y ( n − 1 ) , то найдется интервал
∂y ∂y ′
∂y
x 0 − h < x < x 0 + h ( h > 0 ) , на котором существует единственное решение
y = ϕ ( x ) данного уравнения, удовлетворяющее условиям y( x 0 ) = y0 ;
y ′( x 0 ) = y0′ ; y ( n − 1 ) ( x 0 ) = y0( n − 1 ) , где значения x = x 0 ; y = y0 ; y ′ = y0′ ; ...;
y ( n − 1 ) = y0( n − 1 ) содержатся в области D .
Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n -гo порядка можно только
в некоторых частных случаях.
5. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = f ( x ) , где a0 , a1 , a 2 - числа,
причем a0 ≠ 0 . Если f ( x ) = 0 , то уравнение называется однородным, а если
f ( x ) ≠ 0 - неоднородным.
6. Квадратное уравнение a0 k + a1 k + a 2 = 0 называется характеристичес2
ким уравнением дифференциального уравнения a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = 0 . Пусть
D = a12 − 4 a0 a 2 — дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие
случая:
1) D > 0 — общим решением уравнения a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = 0 является
функция y = C 1 e
ния);
k1 x
+ C 2 e k 2 x ( k1 и k 2 - корни характеристического уравне-
2) D = 0 — общим решением служит функция y = ( C 1 + C 2 x ) e
корень характеристического уравнения);
3) D < 0 — общим решением является функция
+ C 2 sin β x )
( k1 = α + β i , k 2 = α − β i
-
kx
(k —
y = e ax ( C 1 cos β x +
корни
характеристического
уравнения).
7. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
*
Теорема. Если y — некоторое частное решение неоднородного уравнения
a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = f ( x )
однородного
уравнения
и
Y — общее решение
a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = 0 , то
соответствующего
общее
решение
неоднородного уравнения имеет вид y = Y + y .
Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения
*
методом неопределенных коэффициентов.
1) Пусть f ( x ) = b0 x + b1 x + b2 ; тогда:
2
а) y = Ax + Bx + C , если нуль не является корнем характеристического
уравнения;
*
2
б) y = Ax + Bx + Cx ,
характеристического уравнения;
если
в) y = Ax + Bx + Cx ,
характеристического уравнения.
если
*
3
*
2
4
3
2
нуль
нуль
является
является
простым
двукратным
корнем
корнем
αx
α
2) Пусть f ( x ) = be ; тогда:
αx
α
а) y = Ae , если число
уравнения;
*
αx
α не является корнем характеристического
α
б) y = Axe , если число
уравнения;
*
αx
α
в) y = Ax e , если число
характеристического уравнения.
*
2
является корнем характеристического
α
является
двукратным
корнем
αx
α
3) Пусть f ( x ) = e ( M cos β x + N sin β x ) ; тогда:
αx
а) y = e ( A cos β x + B sin β x ) , если число
характеристического уравнения;
*
α + β i не является корнем
αx
α
б) y = xe ( A cos β x + B sin β x ) , если число α + β i является корнем
характеристического уравнения;
8. Система дифференциальных уравнений вида
*
 ∂x1
 ∂ t = f1 ( t , x1 , x 2 , ..., x n ),
 ∂x
 2 = f 2 ( t , x1 , x 2 , ..., x n ),
 ∂t
 .......... .......... .......... .......... ...
 ∂x n
= f n ( t , x 1 , x 2 , ..., x n ).

 ∂t
где x 1 , x 2 , ..., x n — неизвестные функции независимой переменной t ,
называется нормальной системой.
Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами:
 ∂x 1
 ∂ t = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 n x n ,
 ∂x
 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ,
 ∂t
 .......... .......... .......... .......... ...
 ∂x n
= a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n .

 ∂t
Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального
уравнения
dX
= AX , где
dt
 a11

a
A =  21
...

 a n1
a12
...
a 22
...
...
an 2
...
...
a1 n 

a2 n 
;
... 

a nn 
Решение системы ищем в виде
 x1 
 
x 
X =  2 ;
...
 
 xn 
 dx 1

dX  dt
=  ...
dt  dx n
 dt




.



x 1 = p1 e λt , x 2 = p 2 e λt , ..., x n = p n e λt .
Подставив значении x 1 , x 2 , ..., x n в систему дифференциальных уравнений,
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно
p1 , p 2 , ..., p n :
( a11 − λ ) p1 +
 a p +

21 1

...

 a n1 p1 +
a12 p 2 +
( a 22 − λ ) p 2 +
...
...
...
...
a1 n p n = 0 ,
a 2 n pn = 0,
...
... ( a nn − λ ) p n = 0.
an2 p2 +
Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения
уравнение n -й степени:
a11 − λ
a 21
...
a n1
a12
...
a1 n
a 22 − λ
...
an2
...
a2n
...
...
... a nn − λ
= 0.
λ получаем
Пусть это характеристическое уравнение имеет n различных корней
λ1 , λ 2 , ..., λ n . Тогда система дифференциальных уравнений имеет n решений:
1-е решение, соответствующее корню λ = λ1 :
x 11 = p11 e λ1 t ; x 21 = p 21 e λ1 t ; ...; x n1 = p n1 e λ1 t ;
2-е решение, соответствующее корню λ = λ 2 :
x 12 = p12 e λ 2 t ; x 22 = p 22 e λ 2 t ; ...; x n 2 = p n 2 e λ 2 t ;
……………………………………………………………………….
n-е решение, соответствующее корню λ = λ n :
x 1 n = p1 n e λ n t ; x 2 n = p 2 n e λ n t ; ...; x nn = p nn e λ n t ;
Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид
 x1 = c 1 x11 + c 2 x12 + ... + c n x1 n ,
 x = c x + c x + ... + c x ,
 2
1 21
2 22
n 2n

 .......... .......... .......... .......... .........
 x n = c 1 x n1 + c 2 x n 2 + ... + c n x nn .
9. Пусть u = u( x; t ) — функция, характеризующая отклонение точек
струны от положения равновесия в момент времени t . Функция u = u( x; t )
удовлетворяет дифференциальному уравнению
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
+ f,
∂t 2
∂x 2
где a = T0 / ρ , f = F / ρ , ρ — масса единицы длины (линейная плотность
2
струны); F — сила, действующая на струну перпендикулярно оси Ox и
рассчитанная на единицу длины; T0 — начальное натяжение.
Если f = 0 (т. е. внешняя сила отсутствует), то получается уравнение
свободных
∂u
∂x
колебаний
струны
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
.
∂t 2
∂x 2
u t = 0 = ϕ ( x ),
Пусть
= ψ ( x ), (форма и скоросгь струны в начальный момент времени). Эти
t =0
условия называются начальными условиями задачи.
Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны
имеет вид
u=
ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )
2
1
+
2a
x + at
∫ψ ( z )dz .
x − at
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
Решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее
∂t 2
∂x 2
∂u
= ψ ( x ) и граничным (краевым)
u
=
ϕ
(
x
),
начальным условиям
t =0
∂x t = 0
условиям u x = 0 = 0 и
бесконечного ряда:
u x = l = 0 , может быть представлено как сумма
kπ at
kπ at 
kπx

u( x , t ) = ∑  a k cos
+ bk sin
,
 sin
l
l
l

k =1 
∞
2
kπx
2
kπx
a
(
x
)
sin
dx
,
b
ψ
(
x
)
sin
dx .
ϕ
=
=
k
k
где
l ∫0
l
kπ a ∫0
l
l
l
Граничные условия вводятся при изучении колебаний струны длины l ,
закрепленной в двух точках x = 0 и x = l .
Пример 1. Найти общее решение уравнения xy + e + xy ′ = 0 и частное
x
решение, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 2 .
Решение. Перепишем данное уравнение так: x y ′ + xy = − e
x
и рассмотрим
однородное уравнение x y ′ + xy = 0 ⇒ x ( y ′ + y ) = 0 . Так как x ≠ 0 (значение
x = 0 не является решением неоднородного уравнения), то y ′ + y = 0 ⇒
dy
=
dx
= −y⇒
dy
y
= − dx ⇒ ln y = − x + ln C ⇒ ln = − x ⇒ y ⋅ C ⋅ e − x — общее
y
C
решение однородного уравнения.
Применяем далее метод вариации произвольной постоянной C . Общее
решение неоднородного уравнения будем искать в виде
y ′ = C ′( x ) e − x − C ( x ) e − x . Подставив значения
yи
y = C ( x )e − x ;
y ′ в неоднородное
уравнение, получим
xC ′( x ) e − x − xC ( x ) e − x + xC ( x ) e − x = e − x ⇒ xe − x C ( x ) = e − x .
−x
−
Так как e ≠ 0 , то
xC ′( x ) = 1 ⇒ x
dC ( x )
dx
= 1 ⇒ dC ( x ) =
⇒ C ( x ) = ln x + C .
dx
x
Подставив это значение C ( x ) в общее решение неоднородного уравнения, полу−x
−
чим y = (ln x + C ) e
— общее решение неоднородного уравнения.
Для нахождения частного решения подставим значения x = 1, y = 2 в об−
щее решение: y (1) = 2 ⇒ 2 = ( 0 + C ) ⋅ 1 ⇒ C = 2 . Значит, y = (ln x + C ) e
— частное решение неоднородного уравнения.
Пример 2. Найтн общее решение уравнения 2 xy ′′′ = y ′′ и частное решение,
−x
удовлетворяющее начальным условиям y (1) = − 1; y ′(1) = 0; y ′′(1) = 1 .
Решение.
Пусть
y ′′ = z . Имеем
2 xz ′ − z = 0 ⇒ 2 x
1 dx
1
⋅
⇒ ln z = ln x + ln C 1 ⇒ z = C 1 x . Но z =
2 x
2
3 2
x
2
2
⇒ y′ = C1
+ C 2 ; y′ = C1 x x + C 2 ⇒ y = C1
3 2
3
3
4
y
=
C 1 x 2 ⋅ x + C 2 x + C 3 — общее
Следовательно,
15
=
dz
dz
=z⇒
=
dx
z
y ′′ ⇒ y ′′ = C 1 x ⇒
x5 2
+ C2 x + C3 .
5 2
решение дифференци-
ального уравнения.
Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для y , y ′, y ′′
значение x = 1 :
4
C 1 + C 2 + C 3 = − 1;
15
2
y ′(1) = 0 ⇒ C 1 + C 2 = 0;
3
y ′′(1) = 1 ⇒ C 1 = 1.
y (1 ) = − 1 ⇒
Из системы уравнений C 2 + C 3 =
C3 = −
19
2
2
; C2 = −
находим C 2 = − ;
15
3
3
3
. Значит, искомое частное решение имеет вид
5
y=
4 2
2
3
x − x − x− .
15
3
5
Пример 3. Найти общее решение уравнения y ′′ + 4 y ′ + 13 y = 5 sin 2 x и
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y0 =
при x = 0 .
Решение.
2
1
; y0′ =
29
29
y ′′ + 4 y ′ + 13 y = 0 .
2
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k + 4 k + 13 = 0 ,
−2 x
( C 1 cos 3 x +
откуда k1 = − 2 − 3 i , k 2 = − 2 + 3 i . Следовательно, Y = e
+ C 2 sin 3 x ) общее решение однородного уравнения.
Частное
Рассмотрим
решение
однородное
неоднородного
уравнение
уравнения
будем
искать
в
y = A cos 2 x + B sin 2 x . Имеем
*
′
″
y * = − 2 A ⋅ sin 2 x + 2 B cos 2 x , y * = − 4 A ⋅ cos 2 x − 4 B sin 2 x .
Подставим эти выражения в неоднородное уравнение
− 4 A ⋅ cos 2 x − 4 B sin 2 x − 8 A ⋅ sin 2 x + 8 B cos 2 x + 13 A ⋅ cos 2 x +
+ 13 B sin 2 x = 5 sin 2 x ;
( 9 A + 8 B ) cos 2 x + ( − 8 A + 9 B ) sin 2 x = 5 sin 2 x
и получим систему для вычисления коэффициентов A и B :
виде
8

9
A
+
8
B
=
0
A
=
−

29

⇒

9
− 8 A + 9 B = 5
B=

29

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
y* = −
8
9
cos 2 x +
sin 2 x ,
29
29
а общее решение неоднородного уравнения — вид
y = e − 2 x ( C 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ) −
8
9
cos 2 x +
sin 2 x .
29
29
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y0 =
2
8
2
10
⇒ С1 −
⇒ С1 =
;
=
29
29 29
29
y ′ = − 2 x −2 x ( C 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ) + e −2 x ( − 3C 1 sin 3 x + 3C 2 cos 3 x ) +
16
18
1
18
1
1
+
sin 2 x +
cos 2 x; y ′ =
⇒ − 2C 1 + 3C 2 +
=
⇒ C2 =
.
29
29
29
29 29
29
Искомое частное решение таково:
1
9
 10
 8
y = e − 2 x  cos 3 x +
sin 3 x  −
cos 2 x +
sin 2 x .
29
29
 29
 29
Пример 4. Найти общее решение системы
 dx 1
 dt = x1 − 3 x 2 ,
 dx
 2 = x 2 − 3 x1 .
 dt
Решение. Перепишем систему в виде
 dx 1
 dt = x 1 − 3 x 2 ,
 dx
 2 = −3 x1 + x 2 .
 dt
Рассмотрим характеристическое уравнение:
1− λ
−3
−3
= 0 ⇒ (1 − λ ) 2 − 9 = 0 ⇒ 1 − λ = ± 3 ⇒ λ1 = − 2; λ 2 = 4.
1− λ
Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в
систему линейных алгебраических уравнений относительно p1 , p 2 .
Для λ = − 2 имеем
 ( 1 + 2 ) p1 − 3 p 2 = 0
⇒

−
3
p
+
(
1
+
2
)
p
=
0

1
2
 − 3 p1 − 3 p 2 = 0
⇒

−
3
p
+
3
p
=
0

1
2
 p1 − p 2 = 0

 p1 − p 2 = 0
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, p1 = k ; тогда
p 2 = − k . Полагая k = 1 , найдем p1 = 1; p 2 = − 1 . Итак, для λ = − 2 получим
x 11 = e −2 t ; x 21 = e −2 t .
Для λ = 4 имеем
 ( 1 − 4 ) p1 − 3 p 2 = 0
⇒

−
3
p
+
(
1
−
4
)
p
=
0

1
2
 − 3 p1 − 3 p 2 = 0
⇒

−
3
p
−
3
p
=
0

1
2
 p1 + p 2 = 0

 p1 + p 2 = 0
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, p1 = k ; тогда
p 2 = − k . Полагая k = 1 , найдем p1 = 1 ; p 2 = − 1 . Итак, для λ = 4 получим
x 12 = e 4 t ; x 22 = − e 4 t .
Фундаментальная система решений:
λ = − 2 : x 11 = e −2 t ; x 21 = e −2 t ,
4t
4t
для λ = 4 : x 12 = e ; x 22 = − e .
для
Следовательно, общее решение системы имеет вид
x 1 = С 1 e −2 t + С 2 e 4 t , x 2 = С 1 e −2 t − С 2 e 4 t
Пример 5. Дана струна, закрепленная на концах x = 0, x = l . Пусть в
начальный момент времени форма струны имеет вид ломаной OAB ,
изображенной на рис. 15. Найти форму струны для любого момента времени, если
l

2
α
x
,
0
≤
x
≤
,

2
ψ ( x) = 
l
 2α ( l − x ), ≤ x ≤ l .

2
A
y
h
0
l/2
х
l
Рис. 15
Решение. Из рисунка и условия задачи имеем
l
 2h
x
,
0
≤
x
≤
,
 l
2
ψ ( x) = 
2h
l

( l − x ), ≤ x ≤ l .
2
 l
Находим
l
2
kπ x
4h 2
kπx
a k = ∫ ϕ ( x ) ⋅ sin
dx = 2 ∫ x ⋅ sin
dx +
l 0
l
l
l 0
l
l
+ ∫ ( l − x ) ⋅ sin
l
2
kπx
dx .
l
kπ x
kπ x
x
⋅
sin
dx
u
=
x
,
dv
=
sin
dx , откуда
Интеграл ∫
берем по частям;
l
l
l
kπ x
cos
dx следовательно;
kπ
l
du = dx , v = −
∫ x ⋅ sin
kπx
l
kπ x
l
kπ x
dx = −
x cos
+∫
cos
dx =
l
kπ
l
kπ
l
l
kπ x
l2
kπ x
=−
x cos
.
+ 2 2 sin
kπ
l
l
k π
Итак,
l
4h
ak = 2
l
kπx
4h
kπx
4h
∫0 x ⋅ sin l dx + l 2 l∫ sin l dx − l 2
l
2
2
В результате получим a k =
8h
k 2π 2
sin
l
kπx
4α
bk =
ψ
(
x
)
⋅
sin
dx
=
kπα ∫0
l
kπα
4α
+
kπα
kπ x
4α
(
l
−
x
)
⋅
sin
dx
=
∫
l
kπα
l
l
2
4α l
+
kπα
∫ x ⋅ sin
l
kπ x
dx
l
2
kπ
. Далее, находим
2
l
2
l
kπ x
4α
sin
dx
−
∫
l
kπα
l
l
2
8αl 2
kπ
b
sin
=
Окончательно получим k
.
2
k 3π 3α
l
2
∫ x ⋅ sin
0
l
2
∫ x ⋅ sin
0
∫ x ⋅ sin
l
2
Таким образом, искомая функция имеет вид
kπx
dx +
l
kπ x
dx +
l
kπ x
dx .
l
 h
kπα t α l 2
kπα t 
kπ
kπ x
 sin
u( x , t ) = 2 ∑  2 cos
sin
.
+ 3 sin
l
l 
2
l
k
π k =1  k
8
∞
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные теоретические сведения
1. При классическом определенна вероятность события A определяется
m
, где m — число элементарных исходов испытания,
n
благопринятствующнх наступлению события A , а n — общее число возможных
соотношением P ( A ) =
элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы
единственно возможны и равновозможны. Относительная частота события A
есть w ( A ) =
m
, где n — число испытаний, в которых событие A наступило, а
n
n — общее число произведенных испытании.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
2. Схема испытаний Бернулли (повторение опытов). Вероятность того, что
в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления
события равна p ( 0 < p < 1) , событие наступит ровно k раз (безразлично, в
какой последовательности), есть
(1)
Pn ( k ) = C nk p k q n − k , где q = 1 − p
Вероятность того, что событие наступит:
а) менее k раз: Pn ( 0 ) + Pn (1) + ... + Pn ( k − 1) ,
б) более k раз: Pn ( k + 1) + Pn ( k + 2 ) + ... + Pn ( n ) ,
в) не менее k раз: Pn ( k ) + Pn ( k + 1) + ... + Pn ( n ) ,
г) не более k раз: Pn ( 0 ) + Pn (1) + ... + Pn ( k ) .
3. Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли
приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными
теоремами Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p ( 0 < p < 1) ,
событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), выражается приближенным равенством
1
Pn ( k ) ≈
где
ϕ ( x) =
1
2π
⋅e
−x2
2
;x=
ϕ ( x ),
npq
k − np
npq
(2)
. Функция
ϕ ( x ) — четная, т. е.
ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) . При x > 5 можно считать, что ϕ ( x ) = 0 .
Интугральная теорема Лапласа. Вероятность TОГО, ЧТО В n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна
p ( 0 < p < 1) , событие наступит не менее k1 раз и не более k 2 раз, выражается
приближенным равенством
P ( k1 ; k 2 ) ≈ Ф ( x 2 ) − Ф ( x 1 ),
где
x2 =
Ф( x ) =
k 2 − np
1
2π
x
∫e
−t2
2
dt
функция
—
(3)
Лапласа;
0
. При x > 5 полагают
npq
т. е. Ф ( − x ) = Ф ( x ) .
x1 =
k1 − np
npq
;
ϕ ( x ) = 0,5 . Функция Лапласа—четная,
4. Нормальным распределением называют распределение вероятностей
непрерывной случайной величины X , плотность распределения которого имеет
вид
f ( x) =
1
σ 2π
( x −m )2
⋅e
2α 2
,
где m — математическое ожидание, а σ - среднее квадратическое отклонение
величины X .
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу
(α , β ) , составляет
β −m
α − m 
P (α < x < β ) = Ф 
 − Ф
,
σ
σ




(4)
где Ф ( x ) — функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положитель-
ного числа
σ , выражается равенством
( σ ).
P ( x − m < σ ) = 2Ф δ
(5)
5. Если линия регрессии Y на X — прямая, то корреляцию называют
линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид
y x − y = rB ⋅
где rB =
∑n
xy
xy − nx y
nσ xσ y
σy
( x − x ),
σx
(6)
.
Если данные наблюдения над признаками X и Y заданы в виде
корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно
перейти к условным вариантам ui =
y j − C2
x i − C1
, vj =
, где C 1 — ложный
h1
h2
нуль вариант X (в качестве его выгодно принять варианту, расположенную
примерно в центре вариационного ряда и имеющую наибольшую частоту); h1 —
шаг, т. е. разность между соседними вариантами X . Величины C 2 и h2
относятся к варианту Y . В этом случае выборочный коэффициент корреляции.
rB =
∑n
uv
uv − nu v
nσ uσ v
.
(7)
Величины u , v , σ u , σ v , могут быть найдены либо методом произведений,
либо непосредственно по формулам
u=
∑ n u; v = ∑ n v ;σ
u
n
v
n
u
=
u − (u ) 2 ; σ v = v − (v ) 2 .
Зная эти величины, можно определить входящие в уравнение регрессии значения
по формулам
Пример 1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5
женщин, выбирает делегацию нз 5 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того,
что в делегацию войдут 2 женщины и 3 мужчины.
Решение. Число всех способов выбора 5 человек из 25 равно С 25 , а число
3
способов выбора двух женщин из 5 равно С 5 . Каждая такая двойка может
2
сочетаться с каждой тройкой из 20 мужчин. Число таких троек равно С 20 .
Искомая вероятность составляет
3
C 52 ⋅ С 203
380
P=
≈ 0, 215 .
=
5
1771
C 25
Пример 2. Слово «лотос», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают
одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово
«сто»?
Решение. Вероятность появления буквы «с» равна 1 5 . Вероятность появле-
1
ния вслед за ней буквы «т» равна
, и, наконец, вероятность появления буквы
4
2
1 1 2
1
P
=
⋅
⋅
=
≈ 0,033 .
«о» равна - . Искомая вероятность
3
5 4 3 30
Пример 3. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может оказаться
брюнетом, с вероятностью 0,3 — блондином, с вероятностью 0,4 — шатеном и с
вероятностью 0,1 —рыжим. Каковая вероятность того, что среди пяти случайно
встреченных лиц: а) не мевее четырех блондинов; б) два блондина н три шатена;
в) хотя бы один рыжий?
Решение, а) Искомая вероятность составляет [см. формулу (1)]
P = P5 ( 4 ) + P5 ( 5 ) = C 54 ( 0, 3 ) 4 ⋅ ( 0,7 ) 1 + C 55 ( 0, 3 ) 5 ⋅ ( 0,7 ) 0 = 0,03078
б) Искомая вероятность
P = P5 ( 2 ) + P5 ( 3 ) = [C 52 ⋅ ( 0, 3 ) 2 ⋅ ( 0,7 ) 3 ] ⋅ [C 53 ⋅ ( 0,4 ) 3 ⋅ ( 0,6 ) 2 ] =
= 0, 3078 ⋅ 0, 2304 ≈ 0,07 .
в) Искомая вероятность
P = 1 − P5 ( 0 ) = 1 − C 50 ⋅ ( 0,1) 0 ⋅ ( 0,9 ) 4 = 1 − 0,6561 = 0, 3439 .
Пример 4. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того,
что шестерка при этом выпадет 50 раз?
Решение.
Здесь
p= 1 ;
6
1
k − np 50 − 500 ⋅ 6
x=
= − 4;
=
50
npq
6
n = 500;
1 5 50
npq = 500 ⋅ ⋅ =
;
6 6
6
k = 50;
q=5 ;
6
ϕ ( −4) =
= ϕ ( 4 ) = 0,000134 . По формуле (2) находим искомую вероятность:
P500 ( 50 ) =
0,000134
= 0,000016 .
50
6
Пример 5. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь
41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более
100 потребуют обувь этого размера.
Решение. По условию, n = 400 ; p = 0, 2; q = 0,8; k1 = 0; k 2 = 100;
npq = 400 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,8 = 8;
x2 =
k 2 − np
npq
=
100 − 400 ⋅ 0, 2
= 2,5;
8
x1 =
k1 − np
npq
Согласно
=
0 − 400 ⋅ 0, 2
= − 10;
8
формуле
(3),
искомая
вероятность есть
P400 ( 0,100 ) = Ф ( 2,5 ) − Ф ( − 10 ) = Ф ( 2,5 ) + Ф (10 ) =
= 0,49379 + 0,5 = 0,99379 .
Пример 6. Непрерывная случайная величина X распределена нормально.
Известно, что D ( x ) = 4 и P ( x < 1) = 0, 5 . Найти P ( x > 0 ) .
Решение. По формуле (4) получим
 + ∞ −α 
 0 −α 
P ( x > 0 ) = P (0 < x + ∞ ) = Ф
 − Ф
=
 σ

 σ 
α 
Ф ( +∞ ) + Ф   .
2
Найдем
α . Имеем
1−α 
 − ∞ −α 
P ( x < 1) = P ( −∞ < x < 1) = Ф 
 − Ф
=
σ
σ




1−α 
 1−α 
Ф
 − Ф (− ∞ ) = Ф 
 + 0,5.
2
2




откуда
1−α
 1−α 
1−α 
Ф
= 0 ⇒ α + 1.
 + 0,5 = 0,5 ⇒ Ф 
=0⇒
2
2
2




Окончательно находим
α 
P ( x > 0 ) = Ф (+ ∞ ) + Ф   = 0,5 + Ф (0,5 ) =
2
= 0,5 + 0,191462 = 0,691462 .
Пример 7. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2; M ( x ) = 16 . Найти границы, в
которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значения случайной величины.
δ 
δ 
P
(
x
−
α
<
δ
)
=
2
Ф
⇒
2
Ф


 =
Решение. По формуле (5) имеем
σ
 
σ 
δ
δ 
= 0,95 ⇒ Ф   = 0,475 ⇒ = 1,96 ⇒ δ = 3,92 . Найдем границы интер2
2
вала:
x − α < δ ⇒ x − 16 < 3,92 ⇒ − 3,92 < x − 16 < 3,92 ⇒ 12,08 <
x < 19 ,92 .
Пример
y x − y = rB
8.
Найти
выборочное
уравнение
прямой
линии
σy
( x − x ) регрессии Y и X по данным корреляционной таблицы
σx
(табл. 1).
Таблица 1
Y
10
20
Х
4
2
-
9
3
7
14
3
19
-
24
-
29
-
ny
5
10
30
40
50
2
nx
10
2
1
6
50
10
4
64
2
6
7
15
3
3
54
17
14
n=100
Решение. Составим корреляционную таблицу (табл. 2) в условных вариантах,
выбрав в качестве ложных нулей С 1 = 19 и С 2 = 30 .
Таблица 2
Х
Y
-3
2
2
-2
-1
0
1
2
nx
-2
3
7
10
-1
3
2
1
6
0
50
10
4
64
1
2
6
7
15
2
3
3
ny
5
10
54
17
14
n=100
Найдем u и v :
u=
∑ n u = − 6 − 20 − 6 + 0 + 15 + 6 = −0,11;
u
n
100
∑ nv v = − 10 − 10 + 0 + 17 + 28 = 0, 25.
v=
n
100
Найдем u
u
2
2
2
и v :
∑n u
=
2
2 ⋅ 9 + 10 ⋅ 4 + 6 ⋅ 1 + 64 ⋅ 0 + 15 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4
91
=
= 0,91;
n
100
100
nv v 2 5 ⋅ 4 + 10 ⋅ 1 + 54 ⋅ 0 + 17 ⋅ 1 + 14 ⋅ 4 103
∑
2
v =
=
=
= 1,03 .
n
100
100
Найдем
u
=
σu и σv :
σ u = u 2 − ( u ) 2 = 0,91 − ( − 0,11 ) 2 ≈ 0,95;
σ v = v 2 − ( v ) 2 = 1,03 − ( 0, 25 ) 2 ≈ 0,97 .
Найдем
∑n
uv
uv , для чего составим расчетную таблицу. Суммируя числа
∑ vU = 72 . Для контроля вычислений
находим сумму чисел последней строки: ∑ uV = 72 .
последнего столбца табл. 3, получим
v
u
Указания к составлению табл. 3. Произведений частоты nuv , на варианту u ,
т. е. nuv u , записывают в правом верхнем углу клетки, содержащей частоту.
Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток данной
строки, и их сумму помещают в клетку этой же строка «столбца U ». Умножают
варианту v на U и полученное произведение записывают в соответствующую
клетку «столбца vU ». Сложив все числа «столбца vU », получают сумму
∑ vU , которая равна искомой сумме ∑ n uv . Для данной таблицы
∑ n uv = 72 . Для контроля расчета аналогичные вычисления производят по
uv
v
uv
столбцам: произведения nuv v записывают в левый нижний угол клетки,
содержащей частоту; все числа, помещенные а левых нижних углах одного
столбца, складывают и их сумму помещают в «строку V ». Умножают каждую
варианту V на u и результат записывают в клетках последней строки. Сложив
все числа последней строки, получают сумму
∑ uV ,
которая также равна
u
∑
nuv uv (в данном случае 72). По формуле (7) найдем ИСКОМЫЙ
искомой сумме
выборочный коэффициент корреляции:
rB =
∑n
uv
uv − nu v
nσ uσ v
=
72 − 100 ⋅ ( − 0,11 ) ⋅ 0, 31
= 0,82 .
100 ⋅ 0,95 ⋅ 0,97
Таблица 3
u
v
-3
-2
-6
-2
0
1
2
U = ∑ nuv u
vU
-
-
-
-
-12
24
-6
2
-4
-1
3
-6
-1
-14
7
-7
-3
3
-
-
-
-
0
2
-
2
0
1
1
0
10
10
-
-
-
4
uV
-4
12
0
-
5
5
13
26
6
-13
26
-2
2
18
0
Далее находим h1 и h2 , x и y ,
7
6
7
14
8
V = ∑ nuv v
0
6
6
0
2
-
0
-1
-
17
2
50
0
1
-17
-3
-2
0
-
3
6
20
∑ vU = 72
6
20
12
∑ uV
= 72
↑
←
Контроль
σ x и σ y:
h1 = 9 − 4 = 5; h2 = 20 − 10 = 10;
x = u ⋅ h1 + C 1 = − 0,11 ⋅ 5 + 19 = 18 ,45;
y = v ⋅ h2 + C 2 = 0, 25 ⋅ 10 + 30 = 32,5; σ x = h1 ⋅ σ u = 5 ⋅ 0,95 = 4,75;
Подставив найденные величины в формулу (6), получим
y x − 32,5 = 0,82 ⋅
9,7
( x − 18 ,45 ),
4,75
или y x = 1,67 x + 2, 2.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
I. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x 0 .
1. y ′ sin x − y cos x = 1; y0 = 0 , x 0 =
π
.
2
− cos x
sin 2 x ; y0 = 3, x 0 =
2. y ′ − y sin x = e
π
2
.
2y
= − x 2 ; y0 = 1, x 0 = 3 .
x
e−x
; y 0 = 2, x 0 = 0 .
4. y ′ + y =
1+ x2
2
2 2
5. (1 + x ) y ′ − 2 xy = (1 + x ) ; y0 = 5 , x 0 = − 2 .
3. y ′ +
6. x y ′ − 2 y = x cos x ; y0 = 1, x 0 = π .
3
7. y ′x ln x − y = 3 x ln x ; y0 = 0, x 0 = e .
3
2
−x2
−
; y0 = 4 , x 0 = 0.
8. y ′ + 2 xy = xe
9. y ′ cos x − 2 y sin x = 2; y0 = 3, x 0 = 0 .
3y
= x 3 e x ; y0 = e , x 0 = 1 .
x
4 x
11. x y ′ − 3 y = x e ; y0 = e , x 0 = 1.
12. y ′ cos x + y sin x = 1; y0 = 2, x 0 = 0 .
10. y ′ −
y sin x
π
; y0 = 1, x 0 = .
=
x
x
2
y
14. y ′ − = − 2 ln x ; y0 = 1, x 0 = 1 .
x
1
15. x y ′ + 2 y = ; y0 = 1, x 0 = 3 .
x
16. y ′ − y cos x = − cos x ; y0 = 3, x 0 = 0.
13. y ′ +
− x3
−
17. y ′ + 2 xy = e
sin x ; y0 = 1, x 0 = 0.
18. x y ′ + xy + 1 = 0; y0 = 2, x 0 = 1 .
2
1
; y0 = 5, x 0 = 0 .
cos x
2y
1
= ( x + 1) 3 ; y0 = , x 0 = 0 .
20. y ′ −
x +1
2
19. y ′ − ytgx =
III. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям.
1. y ′′x ln x = y ′; y ( e ) = e − 1, y ′( e ) = 1 .
2. y ′′′ cos x = − sin 2 x ; y (π ) = 0 , y ′(π ) = 2, y ′′(π ) = − 1.
4
3. 2 xy ′′ = y ′; y ( 9 ) = 8 , y ′( 9 ) = 3.
4. y ′′ = y ′ ln y ′; y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 1.
2
5. y ′′( x + 1) = 2 xy ′; y ( 0 ) = 1, y ′( 0 ) = 3.
1
, y ′( 0 ) = 2 .
4
−x
7. y ′′ + y ′ = e ; y ( 0 ) = 1, y ′( 0 ) = 1.
2
8. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 9 x − 12 x + 2; y ( 0 ) = 1, y ′( 0 ) = 3 .
3x
9. y ′′ + 9 y = 36 e ; y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0 .
3
10. y ′′ + 2 y ′ − 8 y = 3 sin x ; y ( 0 ) = − 1, y ′( 0 ) = − .
2
2
−x
11. y ′′ + 6 y ′ + 13 y = 8 e ; y ( 0 ) = , y ′( 0 ) = 2 .
3
2
12. y ′′ − 4 y ′ + 8 y = 8 x + 4; y ( 0 ) = 2, y ′( 0 ) = 3.
13. y ′′ + y ′ − 5 y = 50 cos x ; y ( 0 ) = 3, y ′( 0 ) = 5 .
2x
14. y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 13 e ; y ( 0 ) = 1, y ′( 0 ) = 4 .
15. y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 10 x ; y ( 0 ) = 10 , y ′( 0 ) = 6.
4
2
16. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 3 x − x ; y ( 0 ) = 3, y ′( 0 ) = .
3
x
17. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 4 e ; y ( 0 ) = 3, y ′( 0 ) = 8 .
18. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = − 169 sin 3 x ; y ( 0 ) = − 12 , y ′( 0 ) = 16 .
19. y ′′ + 2 y ′ − 8 y = 16 x + 4; y ( 0 ) = 2, y ′( 0 ) = 6 .
2
3
2
′
′
′
′
y
−
4
y
+
5
y
=
5
x
−
4
;
y
(
0
)
=
,
y
(
0
)
=
.
20.
25
5
6. y ′′ cos x + y ′ sin x = 0; y ( 0 ) = −
IV. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
 dx 1
 dt = 12 x 1 + 5 x 2
1.  dx 2

= 5 x 1 + 12 x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 + 3 x 2
2.  dx 2

= x1 − x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 + 4 x 2
3.  dx 2

= x1 + x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 − x 2
5.  dx 2

= x 2 − x1
 dt
 dx 1
 dt = x 1 + x 2
7.  dx 2

= 4 x 2 − 2 x1
 dt
 dx 1
 dt = x 1 − 5 x 2
9.  dx 2

= − 2 x1 − 2 x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 + 3 x 2
11.  dx 2

= 2 x1
 dt
 dx 1
 dt = − 3 x 1 + 2 x 2
13.  dx 2

= 5 x1 − 6 x 2
 dt
 dx 1
 dt = 4 x 1 − x 2
15.  dx 2

= − 2 x1 + 5 x 2
 dt
 dx 1
 dt = x1 + 2 x 2
17.  dx 2

= 3 x1 − 4 x 2
 dt
 dx 1
 dt = 3 x 1 + x 2
4.  dx 2

= − 4 x1 − 2 x 2
 dt
 dx 1
 dt = 2 x 1 − 4 x 2
6.  dx 2

= x1 − 3 x 2
 dt
 dx 1
 dt = 4 x 1 + 5 x 2
8. 
dx 2

= x1
dt

 dx 1
 dt = 2 x 1 + 6 x 2
10.  dx 2

= 3 x1 − x 2
 dt
 dx 1
 dt = 4 x 1 − x 2
12.  dx 2

= − 2 x1 + 3 x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 − 2 x 2
14.  dx 2

= −3 x1 − 4 x 2
 dt
 dx 1
 dt = − x 1 + 3 x 2
16.  dx 2

= 2 x1 − 2 x 2
 dt
 dx 1
 dt = − 3 x1 + 2 x 2
18. 
dx 2

= 5 x1
dt

 dx 1
 dt = x1 − 2 x 2
19.  dx 2

= − 3 x1 + 6 x 2
 dt
 dx 1
 dt = x 1 + 2 x 2
20.  dx 2

= 3 x1 + 2 x 2
 dt
V. Решить уравнение колебания струны методом Фурье.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
3
 2 hx
;0≤ x ≤ ,

3
2
ψ ( x ) = x ( 2 − x ).

3
 2 h( 2 − x );
≤ x ≤ 2;

2
3
 − 2 hx
;
0
≤
x
≤
,

3
2
ψ ( x ) = x ( 3 − x ).
 2 h( x − 3 )
3

;
≤ x ≤ 2;
2
3

 hx ; 0 ≤ x ≤ 1,

h; 1 ≤ x ≤ 2,
ψ ( x ) = x ( 3 − x ).

 h( 3 − x ); 2 ≤ x ≤ 3;

1

2
hx
;
0
≤
x
≤
,

2
ψ ( x ) = x ( 4 − x ).
 2 h( 4 − x )

; 1 ≤ x ≤ 4;
2
3

1

−
4
hx
;
0
≤
x
≤
,

4
ψ ( x ) = x ( 5 − x ).
 4 h( x − 5 )
1

;
≤ x ≤ 5;
4
19

 − hx ; 0 ≤ x ≤ 1,

ψ ( x ) = x ( 4 − x ).
 − h; 1 ≤ x ≤ 3,
 h( x − 4 ); 3 ≤ x ≤ 4;

 hx
; 0 ≤ x ≤ 3,

3
ψ ( x ) = x ( 6 − x ).
 h( 6 − x )

; 3 ≤ x ≤ 6;
3

7
 − 2 hx
;0≤ x ≤ ,

7
2
ϕ ( x) = 
ψ ( x ) = x ( 7 − x ).
8.
2 h( x − 7 ) 7

;
≤ x ≤ 7;
2

7
 hx
 2 ; 0 ≤ x ≤ 2,

ϕ ( x ) =  h; 2 ≤ x ≤ 4,
ψ ( x ) = x ( 5 − x ).
9.
 h( 5 − x ); 4 ≤ x ≤ 5;


 − hx
 3 ; 0 ≤ x ≤ 3,

ϕ ( x ) =  − h; 3 ≤ x ≤ 6,
ψ ( x ) = x ( 7 − x ).
10.
 h( x − 7 ); 6 ≤ x ≤ 7;



2h
5
5

x
;
0
≤
x
≤
,
2
x
,
0
≤
x
≤


5
2
2
ϕ ( x) = 
ψ ( x) = 
11.
2h
5
 ( 5 − x ); 5 ≤ x ≤ 5;
 2( 5 − x ), ≤ x ≤ 5
2
 5

2
12.
13.
14.
15.
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =
ϕ ( x) =

2h
3
3

x
;
0
≤
x
≤
,
2
x
,
0
≤
x
≤


3
2
2
ψ
(
x
)
=
 2h

3
 ( 3 − x ); 3 ≤ x ≤ 3;
 2( 3 − x ), ≤ x ≤ 3
2
 3

2

2h
7
7

x
;
0
≤
x
≤
,
4
x
,
0
≤
x
≤


7
2
2
ψ ( x) = 
 2h
7
 ( 7 − x ); 7 ≤ x ≤ 7;
 4( 7 − x ), ≤ x ≤ 7
2
 7

2

2h
9
9

x
;
0
≤
x
≤
,
4
x
,
0
≤
x
≤


9
2
2
ψ ( x) = 
 2h
9
 4 ( 9 − x ), ≤ x ≤ 9
 ( 9 − x ); 9 ≤ x ≤ 9;
2
 9

2

2h
11
11

−
x
;
0
≤
x
≤
,
6
x
,
0
≤
x
≤


11
2
2
ψ ( x) = 
 2h
11
 ( x − 11 ); 11 ≤ x ≤ 11;
 6 (11 − x ),
≤ x ≤ 11
2
 11

2

2h
13
−
x; 0 ≤ x ≤
,

13
2
ϕ ( x) = 
ψ ( x) =
16.
2h
 ( x − 13 ); 13 ≤ x ≤ 13;
2
 13
13

6
x
,
0
≤
x
≤

2

13
 6 (13 − x ),
≤ x ≤ 13

2

2h
15
−
x; 0 ≤ x ≤
,

15
2
ϕ ( x) = 
ψ ( x) =
17.
2h
 ( x − 15 ); 15 ≤ x ≤ 15;
2
 15
15

8
x
,
0
≤
x
≤

2

15
8 (15 − x ),
≤ x ≤ 15

2

2h
3
 − 3 x ; 0 ≤ x ≤ 2 ,
ϕ ( x) = 
ψ ( x) =
18.
2h
 ( x − 3 ); 3 ≤ x ≤ 3;
2
 3
3

8
x
,
0
≤
x
≤

2

3
 8( 3 − x ), ≤ x ≤ 3

2

2h
5
 − 5 x ; 0 ≤ x ≤ 2 ,
ϕ ( x) = 
ψ ( x) =
19.
2h
 ( x − 5 ); 5 ≤ x ≤ 5;
2
 5
5

 10 x , 0 ≤ x ≤ 2

5
10 ( 5 − x ), ≤ x ≤ 5

2
20.

2h
17
x
;
0
≤
x
≤
,

17
2
ϕ ( x) = 
ψ ( x) =
2h
 (17 − x ); 17 ≤ x ≤ 17 ;
2
 17
17

10
x
,
0
≤
x
≤

2

17
10 (17 − x ),
≤ x ≤ 17

2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
I. 1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и помня
лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что
набраны нужные цифры.
2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу
отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся
3 женщины.
3. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу
отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5
отличников.
4. Собранием, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин,
выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
5. На полке расставляют наудачу 10 книг. Найти вероятность того, что 3 оп-
ределенные книги окажутся рядом.
6. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет
одинаковое число очков.
7. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин будет
одинаково.
8. В зале 50 мест. Найти вероятность того, что из 10 человек 5 займут определенные места, если места занимаются ими случайным образом.
9. Для производственной практик на 30 студентов предоставлено 15 мест в
Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в Воронеже. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?
10. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.
11. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого
стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. найти вероятность того,
что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один
стрелков попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.
12. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. чему равна вероятность того, что вынутые шары одного цвета?
13. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что
деталь стандартная, для первого станка равна 0,8, для второго – 0,9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что
взятая наудачу деталь окажется стандартной.
14. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. наугад
выбирают одну за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на
второй карточке будет больше, чем на первой?
15. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов;
2) по крайней мере одна деталь без дефектов?
16. Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные
буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы
одну за другой. какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?
17. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной?
18. Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что
цифра 6 появится хотя бы на одной грани.
19. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,3, а из
второго – 0,4.
20. В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что: 1) три из них красные; 2) красных шаров вынуто не более
трех?
II. 1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а)
менее 2 раз; б) не менее 2 раз.
2. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4-х независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.
3. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4 раз.
Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна
0,8.
4. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при трех испытаниях равна 0,936. Найти вероятность наступления события А при одном испытании.
5. Вероятность поражения цели хотя бы одной пулей при 4-х независимых
выстрелах равна 0,59. Какова вероятность поражения цели при одном выстреле?
6. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная равна
0,1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей не более 2 нестандартных.
7. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного
срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не
потребует ремонта.
8. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.
9. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти вероятность
разрушения объекта, если для этого необходимо не менее трех попаданий и сделано 15 выстрелов.
10. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, не менее двух девочек. Предполагается, что вероятность рождения мальчика и девочки одинаковые.
11. Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти
вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.
12. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти вероятность того, что дважды появится число очков, кратное трем.
13. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее четырех
раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено
пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5.
14. Случайно встреченное лицо может оказаться, с вероятностью р=0,2, брюнетом, с р=0,3 – блондином, с р=0,4 – шатеном и с р=0,1 – рыжим.
Какова вероятность того, что среди случайно встреченных лиц: 1) не менее
двух брюнетов; 2) один блондин и два шатена; 3) хотя бы один рыжий?
15. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99.
Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
16. В квартире четыре электролампочки. Для каждой электролампочки вероятность того, что она останется неисправной в течение года равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек?
17. В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами
№ 1 и № 2. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу отобранных деталей
изготовлены заводом № 1: 1) две детали; 2) менее двух деталей; 3) более двух деталей.
18. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного
срока из трех телевизоров: 1) не более одного потребует ремонта; 20 хотя бы один
не потребует ремонта.
19. В ящике лежит несколько тысяч одинаковых предохранителей. Половина
из них изготовлена I заводом, остальные – II заводом. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что I заводом из них изготовлены: 1)
два предохранителя; 2) менее двух предохранителей; 3) более двух предохранителей?
20. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равно 0,1. Найти вероятность того, что: 1)
из трех проверенных изделий только одно нестандартное; 2) нестандартным будет
только третье по порядку проверенное изделие.
III. 1. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 60 раз в 100 испытаниях.
2. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не
менее 20 и не более 30 раз.
3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что событие произойдет 12 раз в 100 испытаниях.
4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что
среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
6. В опыте Бюффона монета подбрасывалась 4040 раз. При этом «герб» выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?
7. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие окажется высшего сорта, равна 0,62.
8. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того,
что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 (включительно) годных.
9. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера,
равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
10. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность
того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.
11. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что
цифра 1 при этом выпадет 50 раз?
12. Вероятность получения по лотерее безвыигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не
более 60 безвыигрышных?
13. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагается, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?
14. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится в этих испытаниях: 1) ровно 90 раз; 2) не менее 80 и не более 90 раз.
15. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового
способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?
16. Игральную кость подбрасывают 320 раз. Какова вероятность того, что
цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83 раз?
17. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна
0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 625 пассажиров и вероятность этого события.
18. При проведении эксперимента монету подбрасывали 4096 раз, причем
герб выпал 2068 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?
19. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность появления изделия высшего
сорта в партии равна 0,8.
20. Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?
IV. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины x . Найти: 1) вероятность
того, что x примет значение, принадлежащее интервалу (α , β ) ; 2) вероятность
того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше δ .
1. m = 15 ,
2. m = 14 ,
3. m = 13 ,
4. m = 12 ,
5. m = 11,
6. m = 10 ,
7. m = 9 ,
σ = 2,
σ = 4,
σ = 4,
σ = 5,
σ = 3,
σ = 2,
σ = 4,
α = 16 ,
α = 18 ,
α = 15 ,
α = 17 ,
α = 17 ,
α = 11,
α = 15 ,
β = 25 ,
β = 34 ,
β = 17 ,
β = 22 ,
β = 26 ,
β = 13 ,
β = 19 ,
δ = 4.
δ = 8.
δ = 6.
δ = 15 .
δ = 12 .
δ = 5.
δ = 18 .
σ = 2, α = 6, β = 15 , δ = 8.
9. m = 7 , σ = 5 , α = 2, β = 22 , δ = 20 .
10. m = 6, σ = 3, α = 0, β = 9 , δ = 9 .
11. m = 15 , σ = 2, α = 9 , β = 19 , δ = 3 .
12. m = 14 , σ = 4 , α = 10 , β = 20 , δ = 4 .
13. m = 13 , σ = 4 , α = 11, β = 21, δ = 8 .
14. m = 12 , σ = 5, α = 12 , β = 22 , δ = 10 .
15. m = 11, σ = 4 , α = 13 , β = 23 , δ = 6 .
16. m = 10 , σ = 8 , α = 14 , β = 18 , δ = 2 .
17. m = 9 , σ = 3, α = 9 , β = 18 , δ = 6.
18. m = 8, σ = 4 , α = 8, β = 12 , δ = 8 .
19. m = 7 , σ = 2, α = 6 , β = 10 , δ = 4.
20. m = 6, σ = 2, α = 4 , β = 12 , δ = 4 .
8. m = 8 ,
σy
( x − x ) регрессии
V. Найти выборочное уравнение прямой y x − y = rB
σ
x
Y на X по данной корреляционной таблице.
1.
Y
10
20
30
40
50
nх
2.
Y
30
40
50
60
70
nх
3.
Y
Х
4
2
2
9
3
7
10
14
3
2
1
6
19
50
10
4
64
24
2
6
7
15
29
3
3
25
35
10
5
50
30
8
8
6
22
35
3
3
30
35
40
Х
10
2
2
15
6
4
10
20
4
7
2
13
Х
15
20
25
ny
5
10
54
17
14
n=100
ny
8
8
50
20
14
n=100
ny
5
10
15
20
25
nх
4.
Y
6
12
18
24
30
nх
5.
Y
20
30
40
50
60
nх
6.
Y
8
12
16
20
24
nх
7.
Y
10
20
30
40
50
nх
8.
4
4
2
6
8
4
6
2
12
45
8
4
57
2
6
7
15
4
4
25
40
8
4
52
30
5
7
7
19
35
8
8
20
40
11
4
55
25
2
6
7
15
30
3
3
20
30
10
5
45
25
10
8
6
24
30
3
3
17
50
10
4
64
22
2
6
7
15
27
3
3
Х
15
4
4
15
2
6
8
20
2
5
2
9
Х
5
1
1
10
5
5
10
15
3
9
4
16
Х
5
2
2
10
4
3
7
15
7
5
7
19
Х
2
2
2
7
4
6
10
12
2
3
1
6
6
10
53
16
15
n=100
ny
6
8
50
17
19
n=100
ny
6
8
51
21
14
n=100
ny
6
10
45
25
14
n=100
ny
6
8
55
17
14
n=100
Y
25
35
45
55
65
nх
9.
Y
8
18
28
38
48
nх
10.
Y
11
21
31
41
51
nх
11.
Y
10
20
30
40
50
nх
12.
Y
30
40
50
60
Х
11
2
2
16
4
6
10
21
3
6
2
11
26
45
8
4
57
31
4
6
7
17
36
3
3
19
2
10
4
16
24
8
6
7
21
29
3
3
20
45
8
4
57
25
5
7
7
19
30
3
3
20
40
10
4
54
25
2
13
7
22
30
3
3
30
30
10
35
9
8
40
5
-
Х
4
3
3
9
3
5
8
14
4
40
5
49
Х
5
4
4
10
2
5
7
15
3
5
2
10
Х
5
2
2
10
6
7
13
15
3
2
1
6
Х
15
1
-
20
6
4
-
25
4
7
2
ny
6
9
55
16
14
n=100
ny
6
9
50
21
14
n=100
ny
6
8
55
17
14
n=100
ny
8
10
44
24
14
n=100
ny
7
9
50
20
70
nх
13.
Y
5
10
15
20
25
nх
14.
Y
6
12
18
24
30
nх
15.
Y
20
30
40
50
60
nх
16.
Y
8
12
16
20
24
nх
17.
Y
10
6
10
13
40
6
23
3
8
19
2
8
4
14
24
2
2
29
4
4
8
17
4
40
8
4
56
22
2
5
7
14
27
7
7
26
40
11
4
55
31
7
2
6
15
36
3
3
17
30
10
40
22
10
8
4
22
27
4
3
4
26
-
31
1
36
-
Х
4
45
7
52
9
6
6
12
14
4
6
2
12
Х
2
8
8
7
5
5
10
12
3
2
5
Х
11
1
1
16
4
6
10
21
3
9
4
16
Х
2
2
5
7
7
3
4
1
8
12
7
5
7
19
Х
11
-
16
4
21
-
14
n=100
ny
6
10
53
16
15
n=100
ny
6
8
50
17
19
n=100
ny
7
7
52
27
7
n=100
ny
6
10
45
29
10
n=100
ny
5
20
30
40
50
nх
18.
Y
25
35
45
55
65
nх
19.
Y
8
18
28
38
48
nх
20.
Y
11
21
31
41
51
nх
2
10
12
6
10
2
3
1
6
40
2
4
46
2
6
8
17
6
3
9
19
40
4
44
24
1
4
9
7
21
29
1
2
3
20
4
4
25
4
8
6
7
25
30
1
2
3
6
17
2
45
4
51
22
7
7
14
27
4
8
12
Х
4
7
3
10
9
8
8
14
4
2
6
2
14
Х
5
5
5
10
10
10
15
1
4
40
5
50
Х
2
3
3
7
5
8
13
12
5
2
7
10
51
19
15
n=100
ny
6
11
50
19
14
n=100
ny
6
9
50
21
14
n=100
ny
6
8
50
17
19
n=100
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных
основных элементарных функций
1.
( x n ) ′ = nx n − 1 .
2.
(sin x ) ′ = cos x .
3.
(cos x ) ′ = − sin x .
4.
( tgx ) ′ =
5.
( ctgx ) ′ = −
6.
(arcsin x ) ′ =
7.
(arccos x ) ′ = −
8.
( arctgx ) ′ =
10.
( a x ) ′ = a x ln a .
12.
(log a x ) ′ =
9.
1
.
sin 2 x
1
1− x2
1
( arcctgx ) ′ = −
.
1+ x2
11.
( e x )′ = e x .
13.
(ln x ) ′ =
.
1
.
cos 2 x
1
1− x
2
.
1
.
1+ x2
1
.
x ln a
1
.
x
Основные правила дифференцирования
а ) ( C ) ′ = 0; б ) ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′; в ) ( uv ) ′ = u ′v + uv ′;
′
u ′v − u v ′
u
г)   =
.
v2
v
Здесь C = const , u и v - дифференцируемые функции.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица простейших интегралов
1.
3.
5.
x n+1
∫ x dx = n + 1 + C ( n ≠ − 1)
ax
x
∫ a dx = ln a + C
n
∫ cos xdx = sin x + C
2.
dx
∫ x = ln x + C
4.
∫e
6.
∫ sin xdx = − cos x + C
x
dx = e x + C
dx
∫ cos 2 x = tg x + C
dx
x
=
arcsin
+C
∫ a2 − x 2
a
7.
9.
∫a
11.
2
dx
1
a+ x
ln
+C
=
2
2a a − x
−x
8.
10.
12.
dx
∫ sin 2 x = − ctg x + C
dx
1
x
arctg
+C
=
∫ x 2 + a2 a
a
dx
= ln x + x 2 + a
∫ x 2 + a2
+C
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Разложение в ряд Маклорена
некоторых функций
x2 x3
xn
e = 1+ x +
+
+ ... +
+ ...; − ∞ < x < +∞ ;
2! 3!
n!
x3 x5
x 2n+1
n
sin x = x −
+
− ... + ( − 1)
+ ...; − ∞ < x < +∞ ;
3! 5!
( 2 n + 1)!
2n
x2 x4
n x
cos x = 1 −
+
− ... + ( − 1)
+ ...; − ∞ < x < +∞ ;
2! 4!
( 2 n )!
x
m ( m − 1) 2
m ( m − 1)...( m − n + 1) x 2 n n
(1 + x ) = 1 + mx +
x + ... +
x + ...;
2!
n!
− 1 < x < 1;
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + ...; − 1 < x < 1;
1− x
n
x2 x3
n −1 x
ln( 1 + x ) = x −
+
− ... + ( − 1)
+ ...; − 1 < x ≤ 1.
2
3
n
m
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица значений функции ϕ ( x ) =
2
2π
e−x
2
/2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2705
2568
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0540
04400
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0002
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Таблица значений функции ϕ ( x ) =
1
2π
x
−x
∫e
2
/2
dz
0
х
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
х
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
Ф(х)
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
х
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
Ф(х)
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
х
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0.85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф(х)
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
1,13
1,14
1,15
0,3708
0,3729
0,3749
1,33
1,34
1,35
0,4082
0,4099
0,4115
1,53
1,54
1,55
0,4370
0,4382
0,4394
1,73
1,74
1,75
0,4582
0,4591
0,4599
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4703
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
НГАВТ - Стр 45 из 45
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4703
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997