МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
51(07)
M34
А.Б. Самаров,
Н.А. Манакова, О.Н. Цыпленкова, О.В. Гаврилова
МАТЕМАТИКА
Сборник контрольных заданий
Челябинск
2017
Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра уравнений математической физики
51(07)
M34
А.Б. Самаров, Н.А. Манакова, О.Н. Цыпленкова, О.В. Гаврилова
МАТЕМАТИКА
Сборник контрольных заданий
Челябинск
Издательский центр ЮУрГУ
2017
УДК 51(076.1)
М34
Одобрено
учебно-методической комиссией
Института естественных и точных наук
Рецензенты: С.И. Кадченко, Т.Г. Сукачева.
М34
Математика. Сборник контрольных заданий / А.Б. Самаров,
Н.А. Манакова, О.Н. Цыпленкова, О.В. Гаврилова. – Челябинск:
Издательский центр ЮУрГУ, 2017. – 190 с.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и
соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту
укрупненной группы направлений 05.00.00 "Технические науки". В учебном
пособии представлен необходимый теоретический материал и образцы решения
типовых задач, а также содержится большое количество заданий для
самостоятельного решения.
УДК 51(076.1)
© Издательский центр ЮУрГУ, 2017
Оглавление
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
Часть
I. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . .
III. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . .
IV. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Исследования функций . . . . . . . . . . . . .
VI. Неопределенный и определенный интегралы
VII. Кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . .
VIII. Функции нескольких переменных. . . . . .
IX. Дифференциальные уравнения . . . . . . . .
X. Операционное исчисление . . . . . . . . . . .
XI. Теория функций комплексных переменных .
XII. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIII. Векторный анализ . . . . . . . . . . . . . .
XIV. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
19
24
36
53
76
92
98
106
121
132
145
159
174
Часть I. Линейная алгебра
Задача 1.1. Вычислить определитель
a) разложив его по элементам i-й строки;
б) разложив его по элементам j-го столбца.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
−5 1 4 1
i = 2,
1 4 −1 5
,
j = 1.
−4 1 −8 −1
3 2 6 −1
2 3 4 5
i = 1,
3 4 5 6
,
j = 1.
4 6 8 10
2 3 7 6
3 −2 1 1
0 1 2 0
i = 4,
,
−1 2 4 2
j = 4.
1 −3 0 0
1
5 −2 3
0
2
7 1
i = 2,
,
2 10 −1 5
j = 1.
−3 −15 −6 13
2 1 1 0
7 1 3 1
i = 1,
,
3 −1 1 2
j = 2.
1 3 2 1
2 1 −5 1
1 −3 0 −6
i = 2,
,
0 2 −1 2
j = 1.
1 4 −7 6
2 8 −5 1
1 9 0 −6
i = 3,
,
0 −5 −1 2
j = 3.
1 0 −7 6
2 1 1 8
1 −3 −6 9
i = 3,
,
0 2 2 −5
j = 4.
1 4 6 0
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
4
2 3 −1 2
i = 3,
1 2 −3 1
,
j = 4.
4 −2 1 0
3 2 2 3
2 5 0 4
i = 2,
1 7 0 2
,
j = 1.
3 8 1 6
4 9 3 8
2 −3 4 −2
2 −1 3 1
i = 3,
,
1 2 −1 0
j = 4.
3 1 4 −1
2 −1 3 0
−1 1 2 3
i = 4,
,
0 4 −1 −5
j = 2.
0 2 1 6
0 1 −1 1
1 2 3 −1
i = 3,
,
0 4 3 2
j = 1.
1 −1 1 2
8 1 −5 1
9 −3 0 −6
i = 2,
,
−5 2 −1 2
j = 1.
0 4 −7 6
2 1 8 1
1 −3 9 −6
i = 3,
,
0 2 −5 2
j = 2.
1 4 0 6
5 1 2 7
3 0 0 2
i = 2,
,
1 3 4 5
j = 3.
2 0 0 3
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
1 1 3 4
i = 2,
2 0 0 8
,
j = 1.
3 0 0 2
4 4 7 5
2 2 1 3
i = 4,
−3 −1 2 1
,
j = 3.
4 3 −1 4
−2 1 0 −1
7 1 3 1
i = 2,
2 1 1 0
,
j = 2.
3 −1 1 2
1 3 2 5
1 3 −2 4
i = 2,
0 1 −2 0
,
j = 4.
3 −1 3 0
4 1 2 5
2 −1 1 0
0 1 2 −1
i = 2,
,
3 −1 2 3
j = 1.
3 1 6 1
−5 1 4 1
1 4 −1 5
i = 2,
,
−4 1 −8 −1
j = 1.
3 2 6 −1
−5 1 4 1
1 4 −1 5
i = 2,
,
−4 1 −8 −1
j = 1.
3 2 6 −1
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
0 5 2 0
i = 2,
8 3 5 4
,
j = 4.
7 2 4 1
0 4 1 0
1 0 2 −3
i = 1,
5 2 10 −15
,
j = 1.
−2 7 −1 −6
3 1 5 13
1 0 −1 1
i = 1,
2 1 3 −1
,
j = 3.
4 0 3 2
−1 1 1 2
1 2 −1 5
i = 1,
1 5 6 3
,
j = 2.
−1 −2 3 5
2 4 −2 8
−5 1 4 1
1 4 −1 5
i = 2,
,
−4 1 −8 −1
j = 1.
3 2 6 −1
−5 1 4 1
1 4 −1 5
i = 2,
,
−4 1 −8 −1
j = 1.
3 2 6 −1
−5 1 4 1
1 4 −1 5
i = 2,
,
−4 1 −8 −1
j = 1.
3 2 6 −1
Пример 1.1. Вычислить определитель
a) разложив его по элементам i-й строки;
б) разложив его по элементам j-го столбца.
−1 3 2 −3
4 −2 5 1
, i = 3, j = 2.
−5 0 −4 0
9 7 8 −7
Решение. a) Так как i = 3, то разложение проводим по третьей строке.
n
P
Используя формулу ∆ =
aij Aij = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +. . .+ain Ain , запишем
j=1
5
разложение определителя по третьей строке:
∆ = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 .
В данном примере a31 = −5, a32 = 0, a33 = −4, a34 = 0, тогда по формуле
вычисления определителя получим:
∆ = −5 · A31 − 4 · A33 .
Обратимся к алгебраическим дополнениям A31 и A33 . Для их вычисления используем формулу Akl = (−1)k+l Mkl , где Mkl – определитель
полученный из исходного вычёркиванием k-й строки и l-го столбца.
A31 = (−1)
A33 = (−1)
6
4
3 2 −3
−2 5 1 = 10;
7 8 −7
−1 3 −3
4 −2 1 = −34.
9 7 −7
Подставляя полученные данные в формулу для вычисления определителя, получим:
−1 3 2 −3
4 −2 5 1
= −5 · A31 − 4 · A33 = −5 · 10 − 4 · (−34) = 86.
−5 0 −4 0
9 7 8 −7
б) Рассуждая аналогично пункту (а), получим
−1 3 2 −3
4 −2 5 1
= a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 + a42 A42 =
−5 0 −4 0
9 7 8 −7
4 5 1
3
= 3 · A12 − 2 · A22 + 0 · A32 + 7 · A42 = 3 · (−1) −5 −4 0 −
9 8 −7
−1 2 −3
−1 2 −3
4
6
4 5 1 =
− 2 · (−1) −5 −4 0 + 7 · (−1)
9 8 −7
−5 −4 0
= −3 · (−67) − 2 · (−86) + 7 · (−41) = 86.
Задача 1.2. Выполнив действия над матрицами, найти матрицу C.
Данные к условию
соответствующие
вариантам:
задачи,
2 3
1 −1
1. C = AT − 2B T , A =
,B=
.
1 2
1 1
6
3 5
2 −3
2. C = AB − A , A =
,B=
.
6
−1
1
2




1 2 3
−1 −2 −4
3. C = AB + 4A, A = 2 4 6 , B = −1 −2 −4 .
9
3 6 1 2 4
1 2
5 7
4. C = AB T − 3B, A =
,B=
.
3 4
6
8
1 2
5 3
T
T
5. C = A B − BA , A =
,B=
.
6 7
 −1 3
 
3 1 8
2
T
6. C = A − 4B, A = 2 4 3 , B = 3 .
7 3 4 6
2 3
5 1
T
T
7. C = 2A B − BA , A =
,B=
.
4 
7
2 11


2 3 −1
−1 0 5
8. C = (A + B)(2B − A), A =  4 5 2  , B =  0 1 3 .
2 −2 4
−1 0 7
2 1
1 −1
9. C = (B + AB)T , A =
,B=
.
3 2 1 1
3
5
2
1
.
,B=
10. C = (A − BA)T , A =
6
−1
−3
2
3
2
1
2
20
19
11. C = B − AAT , A =
,B=
.
4 1 1 3
18
17
1
−1
5
3
.
,B=
12. C = (AB + BA)T , A =
2
3
6
7
5
7
11
16
13. C = (B − 2A)AT , A =
,B=
.
6
8
15
20
1
−6
3
2
14. C = 2A(A − B)T , A =
,B=
.
0
4
−7
−5
5 2
2 3
T T
15. C = 3B − B A , A =
,B=
.
1 11
4
7


3 2 4
1 2 3
16. C = AB T + A, A =
, B = 2 1 3 .
4 5 6
1 3 0
2 3
−1 −4
17. C = AT (B + A), A =
,B=
.
1
2
0
−1
5 2
2 −3
T
18. C = (A − B)B , A =
,B=
.
1 2 7 1 1 −2
1 2
19. C = (B T + A)3 , A =
,B=
.
−1 −1
3 4
T
T
7
2 1
1 2
20. C = (A + 3B) B, A =
,B=
.
−3
−4
3
4
5 6
1 2
T T
21. C = 3A − 2B A , A =
,B=
.
−1 3 3 7
−3 −22
2 7
22. C = (A + 3B T )B, A =
,B=
.
21
−23
8
9
5
1
7
6
23. C = 2A(B − AT ), A =
,B=
.
2
11
4
18
 


1
1 4 7
T
24. C = A B − 3B, A = 2 5 8 , B = 2 .
3 6 9
3 1 2
5 6
25. C = (AB − BA)T , A =
,B=
.
3
4
7
8




−1 −2 −4
1 2 3
26. C = AB + 4B, A = 2 4 6 , B = −1 −2 −4 .
1 2 4
3 6 9 20 19
3 2 1 2
.
,B=
27. C = A − BB T , A =
18
17
4
1
1
3
5 −6
−1 2
28. C = 4A − 2AB, A =
,B=
.
3
7
−1
3
0
1
2
0
.
,B=
29. C = (B + AB)T , A =
1
4
−3
2
3 5
2 −3
30. C = BA + A, A =
,B=
.
6 −1
1 2
Пример 1.2. Выполнив действия над матрицами


3 1 −2
2 1 −3
2 3 2
, C =  0 5 −1  ,
A=
,B=
−2 4 0
1 −2 6
1 4 0
T
найти матрицу K = −4A + 3BC T .
Решение. Выполним вычисление по действиям, в соответствии с порядком и правилами действий над матрицами.
Вычислим произведение C · DT (каждый элемент i-й строки, i = 1, 2,
матрицы C умножаем на соответствующие элементы j-го столбца,
j = 1, 2, 3, матрицы DT , полученные произведения складываем)




3 1 −2 T 3 0 1
2 1 −3 
2 1 −3 
1 5 4=
C·DT =
· 0 5 −1  =
·
−2 4 0
−2 4 0
1 4 0
−2 −1 0
6+1+6 0+5+3
2+4−0
13 8 6
=
=
.
−6 + 4 + 0 0 + 20 + 0 −2 + 16 + 0
−2 20 14
8
Умножим каждый элемент матрицы A на (– 4)
2 3 2
−8 −12 −8
−4A = −4 ·
=
,
1 −2 6
−4 8 −24
каждый элемент матрицы C · DT на 3
13 8 6
3 · 13 3 · 8 3 · 6
39 24 18
T
3CD = 3·
=
=
.
−2 20 14
3 · (−2) 3 · 20 3 · 14
−6 60 42
Полученные матрицы сложим и найдем матрицу C
−8 −12 −8
39 24 18
C=
+
=
−4
8
−24
−6
60
42
−8 + 39 −12 + 24 −8 + 18
31 12 10
=
=
.
−4 − 6
8 + 60 −24 + 42
−10 68 18
Задача 1.3. Исследовать систему линейных уравнений на
совместность. В случае совместности системы определить количество решений и решить ее
а) матричным методом (методом обратной матрицы);
б) по формулам Крамера.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:




2x + 3y + z = 0,
2x + 6y + 5z = 1,
2. 7x + 9y + 5z = −3,
1. 5x + 3y − 2z = 0,



3x + 4y − 3z = 2.
3x + 4y + 3z = 5.



x + 2y + 3z = 3,
3x + 2y + 3z = −2,
4. 3x + z = 9,
3. −4x − 3y − 5z = 1,


2x + 4y + 5z = 6.
5x + y − z = 3.




5x
+
2y
+
3z
=
1,

x + 2y + 2z = 10,
5. x + 2y = 1,
6. 2x + y − 2z = 1,


3x + 4y + 7z = 1.
2x − 2y + z = 7.




x
+
2y
+
3z
=
2,

x + 2y − z = 2,
7. 4x + z = 1,
8. x + 3y − 2z = 3,


6x + 2y + 5z = 2.
x + 5y + z = 4.




6x + 5y + 2z = 5,
2x − z = 12,
9. 3x − 2y + 5z = 1,
10. 5x + y − 2z = 15,


4x − 3y + 7z = 2.
−3x + 2y + z = 1.




2x + y − z = 5,
x + 3y + 2z = −3,
11. 5x + y − 2z = 10,
12. 4x + y = 5,


5x + y + z = 5.
6x + 5y + 2z = 3.
9


3x + 2y + 2z = −1,
14. x + 4z = −1,

5x + 2y + 6z = 0.


6x + 2y + 5z = 2,
16. 3x + 5y − 2z = 1,

4x + 7y − 3z = 1.


2x + y + 3z = −6,
18. 3y + z = 12,


4x + 2y + 5z = 3.

3x + 2y + 5z = 7,
20. 2y + z = −1,

7x + 4y + 3z = 1.


−x + y + 2z = 3,
22. −2x + y + 3z = 3,

x + y + 5z = 8.


2x + 2y + z = 27,
24. −2x + y + 2z = 9,

x − 2y + 2z = 18.


2x + 6y + 5z = 1,
26. 5x + 3y − 2z = 0,

3x + 4y − 3z = 2.


x + 5y − 2z = −11,
28. 2x − y = z = 5,

3x + 2y − z = −2.


x + y + 3z = −1,
30. −3x + 2y − z = −8,

x − 3y + 2z = −3.


3x + 3y + 2z = 0,
13. −5x − 4y − 3z = 7,

−x + 5y + z = 1.


−2x + y + 8z = 2,
15. 5x + 3y + 2z = 3,

6x + y + z = 1.


2x + y + 3z = 6,
17. 7x + 5y + 9z = 3,

3x + 3y + 4z = 10.


2x + 3y + 3z = −2,
19. −3x − 4y − 5z = 3,

x + 5y − z = 1.


−x + 2z = 6,
21. −2x + y + 2z = 7,

x + 2y − 3z = 2.


2x + 5y + 6z = 2,
23. 10x + y − 3z = 1,

x + 2y = 1.


−x + 2z = 1,
25. −2x + 2y + z = 4,

x − 3y + 2z = −6.


2x − z = 4,
27. x + 3y − 2z = −7,

3y + 5z = 4.


4x − y + z = 22,
29. x + 2y + 2z = 5,

3x + y − z = 13.
Пример 1.3. Исследовать систему линейных уравнений на совместность. В случае совместности системы определить количество решений и решить ее
а) матричным методом (методом обратной матрицы);
б) по формулам Крамера.

 2x + 3y − z = 3,
−x − y + 2z = −3,

3x + y + z = 2.
10
Решение. По теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы
A равен рангу расширенной матрицы A|B этой системы.
В условиях данной задачи




2 3 −1 3
2 3 −1
−3  .
A =  −1 −1 2  , A |B =  −1 −1 2
2
3 1 1
3 1 1
Поскольку ранг матрицы системы равен числу ненулевых строк данной
матрицы, если она приведена к ступенчатому виду, и элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, то приведем матрицы A и A|B
к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

 

−3
−1 −1 2
3
2 3 −1
3 ∼
−3  ∼  2 3 −1
A|B =  −1 −1 2
2
3 1 1
2
3 1 1


A
z
}|
{


 −1 −1 2 −3 
−1 −1 2 −3


 0 1 3 −3  ∼  0 1 3 −3  .


 0 0 13 −13 
0 −2 7 −7
|
{z
A |B
}
Таким образом, rang A = rang A |B = 3, следовательно, система совместна. Кроме того, ранг матриц совпадает с количеством переменных,
поэтому система имеет единственное решение.
а) Для решения системы матричным методом запишем ее в матричном
виде


   
2 3 −1
x
3
 −1 −1 2  ·  y  =  −3 
2
3 1 1
z
или
A · X = B,
где A – основная матрица системы, B – матрица-столбец свободных членов, X – матрица-столбец неизвестных.
Вычислим определитель матрицы коэффициентов
2 3 −1
|A| = −1 −1 2 = −2 + 1 + 18 − 3 − 4 + 3 = 13.
3 1 1
11
Поскольку |A| = 13 6= 0, то матрица не вырождена, значит существует
обратная матрица, и решение системы можно найти по формуле
X = A−1 · B,
где A−1 – обратная матрица для матрицы A.
Обратную матрицу найдем по формуле


A11 A21 A31
1 
A12 A22 A32  ,
A−1 =
|A| A A A
13
23
33
где Aij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A.
2 3
−1 2
= 7,
= −3, A23 = (−1)2+3 ·
A11 = (−1)1+1 ·
3 1
1 1
−1 2
3 −1
A12 = (−1)1+2 ·
= 7, A31 = (−1)3+1 ·
= 5,
3 1
−1 2
2 −1
−1 −1
= −3,
= 2, A32 = (−1)3+2 ·
A13 = (−1)1+3 ·
−1 2
3 1
3 −1
2 3
A21 = (−1)2+1 ·
= −4, A33 = (−1)3+3 ·
= 1,
1 1
−1 −1
2 −1
= 5.
A22 = (−1)2+2 ·
3 1
Подставив найденные значения алгебраических дополнений элементов
матрицы в формулу, получим обратную матрицу


−3 −4 5
1 
7 5 −3  .
A−1 =
·
13
2 7 1
Найдем
  матрицу
 неизвестных 


 

−3 −4 5
13
3
1
x
 y  = 1 ·  7 5 −3  ·  −3  = 1 ·  0  =  0  ,
13
13
2 7 1
2
−13
−1
z
откуда следует, что x = 1, y = 0, z = −1.
б) Ранее было определено, что система имеет единственное решение, следовательно, возможно решение по формулам Крамера
∆x
,
∆
∆y
y=
,
∆
∆z
,
z=
∆
x=
12
где ∆ – определитель матрицы системы, ∆x , ∆y и ∆z – определители,
полученные из определителя основной матрицы заменой соответственно
первого, второго и третьего столбца на столбец свободных членов.
Вычислим значения выражений необходимые для формул Крамера
3 3 −1
∆x = −3 −1 2 = −3 + 3 + 12 − 2 − 6 + 9 = 13,
2 1 1
2 3 −1
∆y = −1 −3 2 = −6 + 2 + 18 − 9 − 8 + 3 = 0,
3 2 1
2 3 3
∆z = −1 −1 −3 = −4 − 3 − 27 + 9 + 6 + 6 = −13.
3 1 2
Найдем значения переменных, подставив полученные значения в формулы Крамера
x=
13
= 1,
13
y=
0
= 0,
13
z=
−13
= −1.
13
Задача 1.4. Исследовать систему линейных уравнений на
совместность, в случае совместности системы найти ее общее
решение. Выполнить проверку.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
 x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 1,
1. 7x1 + 3x2 − 5x3 + 5x4 = 10,

 2x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 3.
4x + 2x2 + x3 = 7,


 1
x1 − x2 + x3 = −2,
2.
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11,



 4x1 + x2 − x3 = 7.
x − x3 + x4 = 3,


 1
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2,
3.
5x1 + 3x4 = −6,



 x1 + x2 + x3 + x4 = 2.
 x1 − x2 + x3 − 2x4 = 1,
4. x1 − x2 + 2x3 − x4 = 2,

 5x1 − 5x2 + 8x3 − 7x4 = 3.
x + 2x2 + 3x3 = 6,


 1
2x1 + 3x2 + 4x3 = 9,
5.
3x1 + 4x2 + 5x3 = 12,



x1 − x2 − x3 = −1.
13

3x + 2x2 − x3 = 1,


 1
x1 + 3x2 + 2x3 = 5,
6.
5x1 + 8x2 + 3x3 = 11,



 x1 + x2 = 1.
2x + 3x2 − x3 + x4 = 5,


 1
3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1,
7.
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 6,



 6x1 + 4x2 + 4x3 + 6x4 = 1.
 3x1 + 2x2 + 4 − 3x3 + 4x4 = 1,
8. 2x1 + 3x2 − 2x3 + 3x4 = 2,

 4x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 3.
 3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0,
9. 3x1 − 2x2 − x3 + x4 = 1,

x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = 3.
2x + +x2 − x3 − x4 + x5 = 1,


 1
x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0,
10.
3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 2,



 4x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 3.
x − 2x2 − 3x3 = −3,


 1
x1 + 3x2 − 5x3 = 0,
11.
−x1 + 4x2 + x3 = 3,



 3x1 + x2 − 13x3 = −6.
x + x2 + x3 = 3,


 1
x1 + x2 − 3x3 = −1,
12.
2x1 + x2 − 2x3 = 1,



 x1 + 2x2 − 3x3 = 1.
x − 2x2 + 3x3 = −1,


 1
2x1 − x2 + x3 = −2,
13.
x1 − 3x2 − 2x3 = 3,



 5x1 + 5x2 + 16x3 = −5.
2x1 + x2 − x3 = 3,




 x1 + x2 + x3 = 2,
14. 3x1 + x2 + 5x3 = 4,


x1 − x2 + x3 = 0


 5x + 2x − x = 7.
2
3
 1
2x + x2 − x3 − x4 + x5 = 1,


 1
x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0,
15.
3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 2,



4x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 3.
14




16.





17.



18.







19.









20.





21.





22.







23.





24.





25.





26.

3x1 − x2 + 2x3 = 5,
2x1 − x2 − x3 = 2,
4x1 − 2x2 − 2x3 = −3,
5x1 − 2x2 + x3 = 7.
2x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 3,
3x1 + 5x2 + 9x3 − 4x4 = −8,
4x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 14.
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,
2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,
5x1 + 10x2 + 7x3 + 2x4 = 11.
3x1 − x2 + x3 = 6,
x1 − 5x2 + x3 = 12,
2x1 + 4x2 = −6,
2x1 + x2 + 3x3 = 3,
5x1 + 4x3 = 9.
x1 + 2x2 − 4x3 = 1,
2x1 + x2 − 5x3 = −1,
x1 − x2 − x3 = −2,
4x1 + 5x2 − 13x3 = 1.
5x1 − x2 + 2x3 + x4 = 7,
2x1 + x2 − 4x3 − 2x4 = 1,
x1 − 3x2 − 6x3 + 5x4 = 0.
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1,
2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 2,
4x1 + 3x2 − 5x3 + 2x4 = 4,
7x1 + 4x2 − 7x3 + 5x4 = 7.
2x1 + 3x2 − 5x3 − x4 − x5 = 0,
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + 2x5 = 3,
4x1 + 7x2 + x3 + 5x4 + 3x5 = 1,
5x1 + 9x2 + 4x3 + 7x4 + 5x5 = 8.
x1 + x2 − 3x4 − 4x5 = 0,
x1 + x2 − x3 + 2x4 + x5 = 1,
2x1 + 2x2 + x3 − x4 + 3x5 = 0.
x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
2x1 − 3x2 + x3 = 0,
3x1 − 2x2 + 4x3 = 5,
x1 − x2 + 3x3 = 3.
5x1 − 4x2 + x3 = 0,
x2 − x4 = 4,
3x1 − x3 − 2x4 = 0.
15


27.



28.



29.



30.

5x1 + 3x2 + x3 = 0,
x1 + 2x3 = 0,
x2 − x3 = 2.
2x1 − 3x2 + x3 = −4,
5x1 + x2 − 4x3 = 7,
x1 + 7x2 − 6x3 = 0.
5x1 − 2x2 + x3 = 2,
2x1 + x2 = 8,
8x1 − 5x2 + 2x3 = −4.
x1 − 2x2 + x4 = 1,
2x1 + 3x2 + 4x3 = 1,
x3 + 2x4 = −2.
Пример 1.4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности системы найти ее общее решение. Выполнить проверку.

 x1 + 3x2 − x3 + 2x4 + x5 = −1,
2x1 − x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 2,

−x1 + 4x2 + x4 − x5 = 3.
Решение. Для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
в общем виде применимы методы Гаусса и Жордана – Гаусса. Составим
расширенную матрицу системы


1 3 −1 2 1
−1
A |B =  2 −1 2 3 −2 2  .
−1 4 0 1 −1 3
В соответствии с методом Жордана – Гаусса будем выполнять следующие операции: в ненулевой строке основной матрицы системы выберем
элемент – разрешающий элемент; в столбце, соответствующем выбранному элементу с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы получим нули. Далее будем повторять аналогичные действия (выбирать элементы необходимо в разных строках матрицы) до
тех пор, пока разрешающие элементы не будут выбраны во всех строках:


h1i 3 −1 2 1
−1
1
строка
·
(−2)
+
2
строка
2 ∼
A|B =  2 −1 2 3 −2
∼
1 строка · 1 + 3 строка
−1 4 0 1 −1
3
16

−1
1 3 −1 2 1
4  ∼ [3 строка · (−1)] ∼
∼  0 −7 4 −1 −4
0 7 −1 3 0  2

−1
1 3 −1 2 1
3
строка
·
(−4)
+
2
строка
4 ∼
∼
∼  0 −7 4 −2 −4
3 строка · 1 + 1 строка
−2
0 −7 h1i −3 0

−3
1 −4 0 −1 1
∼  0 21 0 11 −4 12  ∼ 2 строка · − 14 ∼
0 −7 1 −3 0 −2 


1 −4 0 −1 1
−3
1 54 0 74 0
0
0 11
h1i −3  ∼  0 21
∼  0 21
0 11
1 −3  ∼
4
4
4
4
−2
0 −7 1 −3 0
 0 5 −7 1 7 −3 0 −2
1 4 0 4 0 0
2 строку и 3 строку
∼
∼  0 −7 1 −3 0 −2  ,
поменяем местами
0 21
0 11
1 −3
4
4

rang A = rangA|B = 3, значит, система совместна. Кроме того, ранг матриц меньше количества переменных, поэтому система имеет бесконечно
много решений.
Столбцы, в которых в процессе решения были выбраны разрешающие элементы, образуют единичную матрицу, а соответствующие им переменные являются базисными.
Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений, которую записываем на основе последней матрицы

+ 74 x4
= 0,
 x1 + 45 x2
−7x2 +x3 −3x4
= −2,

21
11
− 4 x2
− 4 x4 +x5 = −3,
x1 , x3 , x5 – базисные переменные, x2 , x4 – свободные переменные.
Выразим из каждого уравнения базисные переменные через свободные

 x1 = − 54 x2 − 74 x4 ,
x3 = 7x2 + 3x4 − 2,

11
x5 = 21
4 x2 + 4 x4 − 3.
Свободные переменные принимают произвольные значения, а значения
базисных переменных вычисляются в соответствии с полученными выражениями.
Пусть x2 = a, x4 = b, тогда получим общее решение системы
7
21
11
5
X = − a − b; a; 7a + 3b − 2; b;
a + b − 3 , a ∈ R, b ∈ R.
4
4
4
4
17
Для проверки подставим найденное решение в исходную систему
 5
11
− (7a + 3b − 2) + 2b + 21
 − 4 a − 74 b + 3a
4 a + 4 b − 3 = −1,
11
2 · − 45 a − 74 b − a + 2 · (7a + 3b − 2) + 3b − 2 · 21
a
+
b
−
3
= 2,
4
4

5
7
21
11
− − 4 a − 4 b + 4a + b − 4 a + 4 b − 3 = 3.
Упростив каждое уравнение в системе, получим верные равенства. Значит, решение системы найдено верно.
18
Часть II. Векторная алгебра
Задача 2.1. Даны векторы ~a = {2; 3; −1}, ~b = {0; 1; 4},
~c = {1; 0; −3}. Найти:
1) координаты и длину вектора P~ , построить вектор P~ ;
2) скалярное произведение векторов ~a и P~ ;
3) проекцию вектора P~ на направление вектора ~b;
4) косинус угла между векторами ~c и P~ .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
~a + ~b − ~c
~
~
~
1. P = 2~a − b + ~c.
2. P =
.
4
3. P~ = 2~a − ~b + 3~c.
4. P~ = ~a + 2~b − ~c.
5. P~ = ~a − ~b − ~c.
6. P~ = ~a + 2~b − 2~c.
7. P~ = ~a − 2~b + 2~c.
8. P~ = ~a − ~b + 2~c.
9. P~ = ~a + 3~b + 2~c.
10. P~ = ~a − 3~b + 3~c.
11. P~ = 2~a − 3~b + ~c.
12. P~ = 2~a − ~b + 3~c.
13. P~ = ~a − 2~b + 4~c.
14. P~ = 3~a − 2~b + ~c.
~a + ~b + 3~c
~
15. P =
.
16. P~ = ~a + ~b + 2~c.
2
17. P~ = 2~a − 2~b − 3~c.
18. P~ = 2~a − 2~b + ~c.
19. P~ = ~a − 2~b + ~c.
20. P~ = 4~a − 2~b − 3~c.
2~a + ~b − ~c
.
21. P~ = 3~a − ~b − ~c.
22. P~ =
2
23. P~ = 2~a + 2~b − 3~c.
24. P~ = 2~a − ~b + 2~c.
25. P~ = ~a + ~b − ~c.
26. P~ = ~a − ~b + ~c.
27. P~ = ~a − ~b − 3~c.
28. P~ = 2~a − 3~b − 3~c.
2~a + 2~b − 3~c
29. P~ =
.
30. P~ = ~a + 2~b − ~c.
2
Пример 2.1. Даны векторы ~a = {2; 3; −1}, ~b = {0; 1; 4}, ~c = {1; 0; −3}.
Найти:
1) координаты и длину вектора P~ , построить его;
2) найти скалярное произведение векторов ~a и P~ ;
3) найти проекцию вектора P~ на направление вектора ~b;
4) найти косинус угла между векторами ~c и P~ , если известно,
что P~ = ~a − 4~b − ~c.
Решение. 1) Найдем координаты вектора P~ :
P~ = {2 − 4 · 0 − 1; 3 − 4 · 1 − 0; −1 − 4 · 4 − (−3)} = {1; −1; −14}.
~
Найдем
pдлину вектора P :
√
√
√
|P~ | = 12 + (−12 ) + (−142 ) = 1 + 1 + 196 = 198 = 3 22.
19
2) ~a · P~ = 2 · 1 + 3 · (−1) + (−1) · (−14) = 2 − 3 + 14 = 13.
3) Проекцию вектора P~ на направление вектора ~b вычислим по формуле:
пр b P~ =
~b · P~
|~b|
Найдем ~b · P~ и |~b| :
~b · P~ = 0 · 1 + 1 · (−1) + 4 · (−14) = −1 − 56 = −57,
p
√
~
|b| = 02 + 12 + 42 = 17.
Тогда
√
57
57
17
.
пр~b P~ = − √ = −
17
17
4) cos(~c ∧ P~ ) – косинус угла между векторами ~c и P~ .
~c · P~
~c · P~ = |~c| · |P~ | · cos(~c ∧ P~ ) ⇒ cos(~c ∧ P~ ) =
|~c| · |P~ |
Найдем ~c · P~ и |~c|:
~c · P~ = 1 · 1 + 0 · (−1) + (−3) · (−14) = 1 + 42 = 43,
p
√
~c = 12 + 02 + (−3)2 = 10.
Тогда
cos(~c ∧ P~ ) = √
43
43
43
√ = √
= √ .
10 · 3 22 3 220 6 55
Задача 2.2. Вычислить работу, выполненную силой F~ , при
перемещении из точки A в точку B.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
~
1. F = {2; 1; 1}, A(1; 2; 1), B(1; 0; 4).
2. F~ = {−1; 4; 3}, A(2; 1; 1), B(3; 4; 2).
3. F~ = {−5; 4; −3}, A(0; −2; 1), B(−2; 3; 1).
4. F~ = {0; 1; −3}, A(3; −1; −2), B(0; 1; −4).
5. F~ = {4; 5; 2}, A(3; −7; 1), B(6; −1; −2).
6. F~ = {3; 4; −1}, A(1; −2; 1), B(2; 4; −3).
7. F~ = {3; −4; 5}, A(2; −1; 0), B(−1; 2; −3).
8. F~ = {−1; −5; −1}, A(−3; 4; 0), B(2; 1; −1).
9. F~ = {−5; −4; 2}, A(1; 2; 0), B(1; −6; −2).
20
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
F~
= {−3; 2; −1}, A(0; −2; −3), B(1; 3; −1).
= {−2; −1; 1}, A(−1; 2; 1), B(−1; 4; 0).
= {1; 2; −1}, A(0; −1; 2), B(−1; 6; 2).
= {1; −2; 3}, A(−1; 3; 2), B(0; −4; 1).
= {−2; 3; −1}, A(−1; −1; −1), B(2; 2; 3).
= {1; 5; −1}, A(3; 4; 0), B(−1; 2; −1).
= {5; −4; 2}, A(1; −3; 7), B(6; −1; 2).
= {4; −3; 1}, A(0; −1; 2), B(2; −1; 0).
= {−4; 3; 5}, A(−1; 2; 0), B(3; 2; −1).
= {5; 4; 2}, A(−7; 3; 1), B(−1; 6; −2).
= {0; −1; 3}, A(−3; 1; 2), B(0; −1; 4).
= {1; 2; −1}, A(1; 2; −1), B(0; −1; 4).
= {2; 1; −2}, A(3; 7; −1), B(−6; 1; 2).
= {1; −2; −3}, A(1; −3; 2), B(−4; 0; 1).
= {1; −5; −1}, A(0; −3; 1), B(1; −1; 2).
= {5; 4; −2}, A(7; 3; −1), B(1; −6; 2).
= {−1; 2; 3}, A(3; −1; −2), B(1; 0; −4).
= {2; 5; −4}, A(1; −1; 3), B(2; −1; −3).
= {3; 0; −2}, A(0; 1; 4), B(2; −3; −1).
= {−2; 2; −1}, A(5; 1; 0), B(6; −3; 0).
= {0; 4; 3}, A(−2; 1; −1), B(3; 0; 1).
Пример 2.2. Вычислить работу A, выполненную силой F~ = {6; 1; 0},
при перемещении из точки A(4; −2; −1) в точку B(0; 3; 0).
~ = 6 · (−4) + 1 · 5 + 0 · 0 = −24 + 5 = 19.
Решение. A = F~ · AB
Задание 2.3. Даны три силы F~1 , F~2 , F~3 , приложенные в точке
A. Определить величину и направляющие косинусы момента
равнодействующей этих сил относительно точки B.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
№
F~1
F~2
F~3
A
B
1 {2; −1; 1}
{4; 2; 5}
{5; 1; 1}
(8; 4; −2)
(6; −2; 4)
2 {−3; 2; 1} {4; −5; −2} {1; −5; 1} (−4; 8; −2) (−2; 6; −4)
3 {4; 1; −5} {2; 1; −1}
{0; 1; 2}
(−3; 1; 3)
(−1; 0; 2)
4 {−2; 1; 3} {−3; −2; 1} {4; −1; −3} (1; −4; −2) (−2; −3; 1)
5 {2; 1; 3}
{3; 2; 1}
{4; −1; 3} (−1; 4; −2)
(2; 3; 1)
21
№
F~1
F~2
F~3
A
B
6
{1; −1; 2}
{2; 0; 3}
{−1; 4; −2}
(−1; 4; 2)
(2; 3; 1)
7
{−1; 0; 1}
{−3; 1; 2}
{−2; 2; 2}
(1; 3; 4)
(4; 3; 1)
8 {−2; −3; 1} {4; −1; 2}
{−4; 3; 1}
(−1; 2; 4)
(2; −1; 3)
9
{2; 1; −3} {−5; −2; 4} {1; 1; −5}
(−2; −4; 8) (−4; −2; 6)
10 {1; 0; −1}
{3; 1; 2}
{2; −2; 2}
(2; 4; 1)
(−1; 3; −2)
11 {−1; 0; 2}
{−2; 2; 1}
{1; −1; 0}
(1; 2; −3)
(−1; 2; 1)
12 {−3; −1; 2} {−1; 2; 3}
{3; 1; −4}
(2; 4; −1)
(−1; 3; 2)
13 {1; −3; 2} {−4; 4; −5} {1; −5; 1}
(−4; 8; −2) (−2; 6; −4)
14 {−2; 0; 1} {1; −2; −2} {−1; 1; 0}
(1; 1; 1)
(−1; 2; 3)
15 {2; −3; 1} {−5; 4; −2} {1; −5; 1}
(−2; 8; −4) (−4; 6; −2)
16 {−3; 2; −1} {−1; 2; 3}
{3; −4; 1}
(2; −1; 4)
(−1; 2; 3)
17 {2; 1; −3} {3; −2; −1} {−4; 1; −3} (−1; −4; 2) (2; −2; −1)
18 {−3; 2; 0}
{0; −1; 2} {5; −3; −1}
(2; −1; 4)
(−1; 3; 2)
19 {−1; 2; −3} {2; 3; −1}
{1; −4; 3}
(4; −1; 2)
(3; 2; −1)
20 {1; −3; 2} {−2; 4; −5} {1; −5; 1}
(−4; 8; −2) (−2; 6; −4)
21 {−1; 1; 2}
{−2; 0; 3} {1; −4; −2}
(1; −4; 2)
(2; −3; 1)
22 {2; −1; −3}
{3; 2; 1}
{−4; 1; 3}
(−1; 4; 2)
(2; 3; −1)
23 {−2; 3; 1}
{5; 4; −2} {−1; −5; 1}
(2; 8; −4)
(4; 6; −2)
24 {2; −3; 1}
{3; −1; 2}
{−4; 3; 1}
(−1; 2; 4)
(2; −1; 3)
25
{2; 3; 1}
{−1; 4; 2}
{1; 5; 1}
(−2; −8; −4) (−2; 6; −4)
26 {−2; 1; −3} {−3; 2; −1}
{4; 1; 3}
(1; 4; 2)
(−2; 3; −1)
27 {5; −1; 4}
{1; −1; 2} {0; −1; −2}
(−3; 1; 3)
(−1; 0; 2)
28 {2; −3; −1} {−5; 4; 2} {1; −5; −1} (−2; −8; 4)
(−4; 6; 2)
29 {−2; 0; −1} {1; 2; −2} {−1; −1; 0}
(2; 2; 3)
(−1; 2; −1)
30 {2; 0; −1} {−1; 2; −2} {1; −1; 0}
(0; 1; −2)
(2; −3; 1)
Пример 2.3. Даны три силы F~1 = {5; 0; −2}, F~2 = {4; −3; 1},
F~3 = {0; 6; −1} приложенные в точке A(3; 2; −1). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей
этих сил относительно точки B(−1; 0; 7).
~ – равнодействующей сил F~1 ,
Решение. а) Найдем координаты вектора R
F~2 , F~3 .
~ = F~1 + F~2 + F~3 = {5; 0; −2} + {4; −3; 1} + {0; 6; −1} = {9; 3; −2}.
R
~ относительно точки B. Для этого вычислим
б) Найдем момент силы R
−→
BA = {4; 2; −8},
22
~i ~j ~k
−
→
~ = BA · R
~ = 4 2 −8 = ~i 2 −8 − ~j 4 −8 +
M
9 −2
3 −2
9 3 −2
4 2
= 20~i − 64~j − 6~k.
+~k
9 3
~ – это его модуль:
Величина M
p
√
√
~ | = 202 + 642 + 62 = 4532 = 2 1133.
|M
Отсюда
~ 0 = √20 ~i − √64 ~j − √ 6 ~k = √ 10 ~i − √ 32 ~j − √ 3 ~k,
M
2 1133
2 1133
2 1133
1133
1133
1133
10
,
1133
32
cos β = − √
,
1133
3
cos γ = − √
.
1133
cos α = √
23
Часть III. Аналитическая геометрия
Задача 3.1. Напишите уравнения прямых, проходящих через
точку M , одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна заданной прямой.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. M (−2; 1), 3x − 2y + 12 = 0.
2. M (3; −3), x + 2y − 4 = 0.
3. M (−5; 0), −x + 2y + 9 = 0.
4. M (2; −1), x − y + 1 = 0.
5. M (−1; 4), 2x − 5y + 2 = 0.
6. M (7; 4), x − 3y + 5 = 0.
7. M (−5; 4), 6x − 2y + 3 = 0.
8. M (4; 5), 3x − 2y + 4 = 0.
9. M (−4; 4), 5x + 9y − 1 = 0.
10. M (5; 3), x − 2y + 3 = 0.
11. M (−2; 3), 2x − 4y + 1 = 0.
12. M (4; 4), 4x − 3y + 2 = 0.
13. M (2; 5), 5x + 3y − 1 = 0.
14. M (3; 7), 2x − y + 7 = 0.
15. M (6; 4), 3x − 4y − 2 = 0.
16. M (−7; 2), 2x + 4y − 3 = 0.
17. M (−5; 2), 6x + 3y − 2 = 0.
18. M (−5; 4), x + 5y − 4 = 0.
19. M (3; −1), 7x − 4y + 3 = 0.
20. M (2; −1), 2x − 5y + 2 = 0.
21. M (1; −2), 2x − 8y + 3 = 0.
22. M (3; 2), x − 3y + 8 = 0.
23. M (−4; 2), 6x − 3y − 3 = 0.
24. M (−5; 3), 2x + 4y − 1 = 0.
25. M (−3; 3), x − 5y − 2 = 0.
26. M (5; −2), 3x + 6y + 3 = 0.
17. M (−2; 1), x − 8y + 4 = 0.
28. M (−2; 2), 4x + 8y + 5 = 0.
29. M (4; −6), 5x − 7y + 10 = 0.
30. M (1; −3), 6x + 3y − 8 = 0.
Пример 3.1. Напишите уравнения прямых, проходящих через
точку M (−2; −3), одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой 2x + y − 1 = 0.
Решение. а) Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0 ; y0 ) параллельно заданной прямой Ax + By + C = 0, имеет вид
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0.
24
Искомое уравнение прямой: 2(x + 2) + (y + 3) = 0 или 2x + y + 7 = 0.
б) Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0 ; y0 ) перпендикулярно заданной прямой Ax + By + C = 0, имеет вид
y − y0
x − x0
=
.
A
B
Тогда, искомое уравнение прямой:
x+2 y+3
=
,
2
1
(x + 2) − 2(y + 3) = 0,
x − 2y − 4 = 0.
Задача 3.2. Напишите уравнение прямой, которая проходит
через точку М и через точку пересечения прямых L1 и L2 .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. M (1; −2), L1 : 2x − y − 1 = 0, L2 : x + 3y − 4 = 0.
2. M (−4; 0), L1 : x + y − 2 = 0, L2 : x − 3y + 2 = 0.
3. M (1; −1), L1 : 7x − 2y − 5 = 0, L2 : x − 5y + 4 = 0.
4. M (−4; −3), L1 : −5x + 2y + 1 = 0, L2 : −2x + 3y − 4 = 0.
5. M (3; 3), L1 : x − 2y − 1 = 0, L2 : x − 7y + 4 = 0.
6. M (1; −1), L1 : 2x − 2y − 1 = 0, L2 : x + 3y − 4 = 0.
7. M (−4; 1), L1 : 2x + y − 2 = 0, L2 : x − 3y + 2 = 0.
8. M (1; −3), L1 : 7x − 2y − 4 = 0, L2 : x − 5y + 4 = 0.
9. M (2; 3), L1 : 5x − 2y − 1 = 0, L2 : 2x − 3y + 4 = 0.
10. M (1; 3), L1 : 4x − 2y − 1 = 0, L2 : x − 7y + 4 = 0.
11. M (5; −2), L1 : 2x − 3y − 1 = 0, L2 : 5x + 3y − 4 = 0.
12. M (−4; 3), L1 : 2x + 3y − 2 = 0, L2 : 5x − 3y + 2 = 0.
13. M (−3; −1), L1 : 7x − 2y − 8 = 0, L2 : 3x − 5y + 4 = 0.
14. M (7; −3), L1 3x − 2y − 1 = 0, L2 : 2x − 3y + 4 = 0.
15. M (2; 5), L1 : 2x − 2y + 1 = 0, L2 : 3x − 7y + 4 = 0.
16. M (4; −2), L1 : 9x − 8y − 1 = 0, L2 : 4x + 3y − 4 = 0.
17. M (−4; −1), L1 : 7x + 3y − 2 = 0, L2 : x − 3y + 12 = 0.
18. M (−3; −1), L1 : 2x − 3y − 5 = 0, L2 : 4x − 5y + 4 = 0.
19. M (4; 5), L1 : 6x − y − 1 = 0, L2 : x − 5y + 4 = 0.
20. M (1; 1), L1 : 3x − y − 1 = 0, L2 : 4x − 7y + 4 = 0.
21. M (1; −2), L1 : 2x − 8y − 1 = 0, L2 : 4x + 3y − 1 = 0.
22. M (−4; 5), L1 : x + y − 2 = 0, L2 : −2x − 3y + 2 = 0.
23. M (5; −1), L1 : 3x − 2y − 5 = 0, L2 : 2x − 5y + 1 = 0.
24. M (4; 0), L1 : 5x − 2y − 1 = 0, L2 : 2x − 3y + 4 = 0.
25. M (0; 3), L1 : x − 9y − 1 = 0, L2 : x − 2y + 5 = 0.
26. M (4; −2), L1 : 2x − 4y − 1 = 0, L2 : 7x + 3y − 1 = 0.
25
27. M (−1; 0), L1 : −4x + y − 2 = 0, L2 : 7x − 3y + 5 = 0.
28. M (5; −1), L1 : 2x − 2y + 7 = 0, L2 : 3x − 5y + 4 = 0.
29. M (−4; 3), L1 : 2x + 5y − 1 = 0, L2 : 2x − 3y + 4 = 0.
30. M (1; −5), L1 : x − 2y − 1 = 0, L2 : x − 7y + 4 = 0.
Пример 3.2. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M (4; 3) и через точку пересечения прямых L1 : 5x −
2y − 1 = 0 и L2 : 2x − 3y + 4.
Решение. Найдем точку пересечения прямых L1 и L2 :
5x − 2y − 1 = 0,
⇒
2x
−
3y
−
4
=
0,
10x − 4y − 2 = 0,
⇒
⇒
10x − 15y + 20 = 0,
11y − 22 = 0,
⇒
⇒
10x
−
15y
+
20
=
0,
y = 2,
⇒
⇒
10x
−
15y
+
20
=
0,
y = 2,
⇒
x = 1.
Таким образом, прямые L1 и L2 пересекаются в точке M1 (1; 2).
Уравнение прямой, которая проходит через точки M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 )
имеет вид:
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x1
y 2 − y1
Получим уравнение прямой, проходящей через точки M (4; 3) и M1 (1; 2):
x−4 y−3
=
,
1−4
2−3
x−4 y−3
=
,
−3
−1
−(x − 4) = −3(y − 3),
−x + 4 = −3y + 9,
x − 3y + 5 = 0.
Задача 3.3. Найдите расстояние от точки M до прямой L.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
y+1
1. M (2; 2), L : x−2
3 = 2 .
y−2
2. M (2; 3), L : x−4
3 = 4 .
y+3
3.M (2; 4), L : x−1
2 = 2 .
y+1
4. M (3; −1), L : x−1
−2 = 2 .
26
y−1
5. M (−1; 3), L : x−4
4 = 3 .
y+1
6. M (2; 2), L : x−5
2 = 7 .
y+1
7. M (2; 0), L : x−1
2 = 7 .
y−1
8. M (0; 4), L : x−4
3 = 7 .
y+1
9. M (7; −1), L : x+5
3 = 2 .
y−1
10. M (4; 3), L : x−4
4 = 7 .
y+1
11. M (−2; 2), L : 2x+3
2 = 4 .
4y+1
12. M (2; 0), L : x−5
4 = 7 .
13. M (3; 4), L : x2 = y−1
7 .
3y+1
14. M (2; −1), L : 2x+5
2 = −7 .
y
15. M (−4; −3), L : 4x−5
2 = 3.
2y+4
16. M (3; 0), L : x−7
6 = 5 .
3y+2
17. M (−1; 1), L : 2x+3
2 = 1 .
18. M (3; 4), L : x+11
2 = y − 4.
x−5
19. M (4; 5), L : 30 = 2y+1
40 .
2y+1
20. M (−1; 3), L : x−3
3 = 4 .
y+1
21. M (2; 2), L : 3x−5
12 = 5 .
2y+1
22. M (5; 3), L : x−1
6 = 8 .
3y+1
23. M (2; −4), L : 2x−1
9 = 12 .
1
24.
25.
26.
27.
28.
1
x− 1
y+1
M (−1; −1), L : 5 8 3 = 4 15 .
M (−2; −4), L : 0.5x−5
= 0.25y+1
12
16 .
2y+1
M (−3; −1), L : 3x−5
2 = 2 .
2y−6
M (1; 4), L : x−1
5 = 12 .
2y+1
M (7; 1), L : x+1
9 = 12 .
1
y+1
5
29. M (3; −1), L : x−5
15 = 8 .
y+1
30. M (−1; 3), L : 0.1x
9 = 40 .
Пример 3.3. Найдите расстояние от точки M (1; 2) до прямой
L:
x−2 y−7
=
.
−4
3
Решение. Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до данной прямой L : Ax +
By + C = 0 находится по формуле:
|Ax0 + By0 + C|
√
.
A2 + B 2
Для того, чтобы воспользоваться этой формулой приведем уравнение
заданной прямой к общему виду:
d=
x−2 y−7
=
,
−4
3
27
3(x − 2) = −4(y − 7),
3x − 6 = −4y + 28,
3x + 4y − 34.
x−2
y−7
Тогда расстояние от точки M (1; 2) до прямой L :
=
будет
−4
3
равно:
d=
|3 · 1 + 4 · 2 − 34| |3 + 8 − 34| | − 23| 23
√
√
=
= 4, 6.
=
=
5
5
25
32 + 42
Задача 3.4. Дан треугольник с вершинами A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ),
C(x3 ; y3 ). Составьте уравнения:
a) стороны AC;
б) высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
в) медианы, проведенной из вершины B.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. A(−3; 3), B(5; 1), C(6; −2).
2. A(2; 0), B(5; 3), C(3; 7).
3. A(2; 1), B(−1; −1), C(3; 2).
4. A(−2; −1), B(1; 1), C(4; 0).
5. A(4; −2), B(1; 6), C(−3; 1).
6. A(1; −2), B(0; −1), C(3; 4).
7. A(0; −3), B(−12; −3), C(−9; −6).
8. A(3; 3), B(5; −2), C(4; 1).
9. A(−1; 2), B(3; 4), C(1; 1).
10. A(−4; −2), B(−1; 2), C(3; 6).
11. A(5; 3), B(6; −2), C(−4; 6).
12. A(−3; 7), B(0; −1), C(2; 3).
13. A(2; −4), B(0; −2), C(6; 8).
14. A(0; 1), B(3; 2), C(−8; 4).
15. A(3; 3), B(1; 5), C(−4; 4).
16. A(2; 1), B(6; −1), C(4; 2).
17. A(−1; −2), B(−4; −3), C(−8; 2).
18. A(6; 2), B(8; 7), C(−4; 6).
19. A(0; 4), B(−3; −6), C(−5; 0).
20. A(2; −8), B(4; −6), C(−2; 0).
21. A(3; −6), B(0; −3), C(9; 12).
22. A(0; 2), B(8; 6), C(−4; 8).
23. A(3; 3), B(5; 1), C(−8; 4).
24. A(−4; 3), B(0; 1), C(−2; −4).
25. A(1; −1), B(−2; 1), C(8; 2).
26. A(2; −2), B(3; −5), C(5; 7).
28
27. A(1; −1), B(−2; 1), C(3; 5).
28. A(5; −4), B(−1; −3), C(−3; −2).
29. A(1; −2), B(−2; 0), C(5; 4).
30. A(−3; 5), B(−1; −4), C(7; −1).
Пример 3.4. Дан треугольник с вершинами A(4; 3), B(−3; −3), C(2; 7).
Составьте уравнения:
a) стороны AC;
б) высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
в) медианы, проведенной из вершины B.
Решение. а) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две
точки:
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x1
y 2 − y1
Получим уравнение стороны AC:
x−4 y−3
=
,
2−4
7−3
откуда 4(x − 4) = −2(y − 3) или 4x + 2y − 22 = 0.
б) Согласно уравнению y = kx + b угловой коэффициент прямой
AC kAC = −2. С учетом условия перпендикулярности прямых AC и
BD (k1 k2 = −1) угловой коэффициент прямой BD kBD = 21 . По точке
B(−3, −3) и угловому коэффициенту kBD = 21 составляем уравнение
высоты BD:
1
y + 3 = (x + 3) или x − 2y − 3 = 0.
2
в) Находим координаты середины E отрезка AC:
xE
4+2
3+7
= 3, yE =
= 5.
2
2
Теперь по двум известным точкам B и E составляем уравнение медианы
BE:
x+3
y+3
=
,
3 − (−3) 5 − (−3)
4x − 3y + 3 = 0.
Задача 3.5. Напишите уравнение плоскости P 0 , проходящей
через точку M параллельно плоскости P .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. M (2; 1; 1), P : 3x + y − 2z − 1 = 0.
2. M (1; 3; 2), P : x + y − z − 3 = 0.
3. M (2; 1; 3), P : x − 4y + 3z − 3 = 0.
4. M (1; 0; −1), P : 2x + y − 5z − 1 = 0.
29
5. M (3; −4; 1), P : 2x + y − z + 3 = 0.
6. M (2; 1; 1), P : 3x + 5y − 2z − 3 = 0.
7. M (4; 3; 1), P : 4x − 5y − 2z − 3 = 0.
8. M (0; 7; 9), P : 10x − 4y + 2z − 3 = 0.
9. M (2; 2; −1), P : 2x + 3y − 5z − 1 = 0.
10. M (−3; −4; 0), P : x + 2y − z + 1 = 0.
11. M (2; −1; −1), P : 3x + 5y − 2z = 0.
12. M (2; −3; 2), P : 2x + 3y − 4z − 5 = 0.
13. M (2; −5; 3), P : 3x − y + 2z − 3 = 0.
14. M (1; −2; −1), P : 3x + 7y − 5z − 10 = 0.
15. M (2; −1; 1), P : x + 2y − 2z + 3 = 0.
16. M (2; −1; −1), P : 3x + 9y − 2z − 10 = 0.
17. M (1; 0; 2), P : 4x + 3y − 2z − 3 = 0.
18. M (2; −1; 3), P : 3x − y + 2z − 4 = 0.
19. M (2; −2; 4), P : x − 3y + 5z − 10 = 0.
20. M (−4; 5; −1), P : 4x + y − 2z + 5 = 0.
21. M (−3; 2; 1), P : 2x − y + z + 5 = 0.
22. M (2; 3; 1), P : 5x + 2y − z − 3 = 0.
23. M (−3; −2; 4), P : 7x + y + 5z − 2 = 0.
24. M (2; 5; −3), P : 2x − y + 3z + 14 = 0.
25. M (−3; −4; −5), P : x − 3y + 2z − 4 = 0.
26. M (4; −3; −2), P : 3x + y − 5z + 1 = 0.
27. M (4; 1; 3), P : x + 2y + 3z − 6 = 0.
28. M (−1; 3; 2), P : −x + 2y + 3z − 4 = 0.
29. M (2; 1; −3), P : −x + y + 2z + 5 = 0.
30. M (−2; 4; 2), P : −3x + 5y + z − 10 = 0.
Пример 3.5. Напишите уравнение плоскости P 0 , проходящей через точку M (1; 1; 1) параллельно плоскости P : 2x + y − z + 1 = 0.
Решение. Так как плоскости P и P 0 параллельны, то нормальный вектор
для плоскости P будет также нормальным вектором для плоскости P 0 .
~ = {2, 1, −1}.
Из уравнения плоскости получаем N
Далее запишем уравнение плоскости, которая проходит через точку
~ = {A, B, C}:
M (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно вектору N
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
Тогда получаем
2(x − 1) + (y − 1) − (z − 1) = 0,
2x − 2 + y − 1 − z + 1 = 0,
2x + y − z − 2 = 0.
Задача 3.6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1 и M2 . Выясните, лежит ли точка M на
30
этой прямой.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. M1 (1; 2; 2), M2 (0; 4; −4), M (3; 1; 2).
2. M1 (−2; 3; 1), M2 (1; 6; −1), M (2; 2; 2).
3. M1 (1; 3; −2), M2 (5; −1; 2), M (2; 1; 0).
4. M1 (5; −1; 2), M2 (3; 2; 5), M (7; −4; −1).
5. M1 (−3; 3; 4), M2 (3; 1; 1), M (2; 2; −2).
6. M1 (−1; −1; 1), M2 (0; 2; −1), M (3; 2; 1).
7. M1 (2; 1; −3), M2 (4; 0; 5), M (2; 2; 2).
8. M1 (1; 3; −2), M2 (3; 5; −3), M (−4; 2; −3).
9. M1 (−2; −2; 1), M2 (−1; 0; 4), M (7; −4; −1).
10. M1 (2; −3; 4), M2 (4; −2; 6), M (−2; −4; 5).
11. M1 (−3; 4; −1), M2 (0; 6; 1), M (3; 1; 2).
12. M1 (4; −1; 3), M2 (5; 1; 6), M (−2; −1; 3).
13. M1 (−1; 2; 3), M2 (2; 4; 4), M (2; 1; 0).
14. M1 (2; 3; 4), M2 (5; 4; 1), M (−5; 4; 3).
15. M1 (−1; 1; −1), M2 (2; −1; 0), M (2; 2; −2).
16. M1 (1; −3; 2), M2 (3; −2; 5), M (−1; 3; 2).
17. M1 (−2; 2; 3), M2 (0; 5; 4), M (2; 2; 2).
18. M1 (3; −2; 1), M2 (5; −3; 3), M (2; −3; −4).
19. M1 (−2; 1; −2), M2 (0; 4; −1), M (7; −4; −1).
20. M1 (−3; 4; 2), M2 (−2; 6; 4), M (−4; 5; −2).
21. M1 (4; −1; −3), M2 (6; 1; 0), M (−3; 1; 2).
22. M1 (−1; 3; 4), M2 (1; 6; 5), M (−1; −3; 2).
23. M1 (2; 3; −1), M2 (4; 4; 2), M (2; −1; 0).
24. M1 (3; 4; 2), M2 (4; 1; 5), M (4; 3; −5).
25. M1 (1; −1; −1), M2 (−1; 0; 2), M (−2; −2; −2).
26. M1 (−3; 2; 1), M2 (−2; 5; 3), M (3; 2; −1).
27. M1 (2; 3; −2), M2 (5; 4; 0), M (2; −1; 2).
28. M1 (−2; 1; 3), M2 (−3; 3; 5), M (−3; −4; 2).
29. M1 (1; −2; −2), M2 (4; −1; 0), M (9; −4; −1).
30. M1 (4; 2; −3), M2 (6; 4; −2), M (5; −2; −4).
Пример 3.6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1 (2; −3; 0) и M2 (1; 3; −5). Выясните, лежит
ли точка M (1; 1; 1) на этой прямой.
Решение. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве каноническое уравнение прямой, которая проходит через две
точки M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ), имеет вид
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
.
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
Из условия x1 = 2, x2 = 1, y1 = −3, y2 = 3, z1 = 0, z1 = 0, z2 = −5,
31
тогда искомые уравнения прямой запишутся как
x−2
y+3
z−0
=
=
,
1−2
−3 − 3 −5 − 0
x−2 y+3 z
=
= .
1
6
5
Проверим лежит ли точка M (1; 1; 1) на этой прямой. Для этого подставим координаты точки M в полученное уравнение прямой:
1−2 1+3 1
6=
6= ,
1
6
5
−1 4 1
6= 6= .
1
6 5
Верное равенство не получено, значит, точка M не лежит на прямой.
Задача 3.7. Найдите точку пересечения прямой L и плоскости P .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
x−2 y−2 z−4
1. L :
=
=
, P : x + 3y + 5z − 42 = 0.
2
−1
3
x−3 y−4 z−4
2. L :
=
=
, P : 7x + y + 4z − 47 = 0.
−1
5
2
x−1 y−1 z−4
3. L :
=
=
, P : x − 2y + z − 9 = 0.
2
1
3
x
y−3 z−2
4. L :
=
=
, P : 3x + y − z + 13 = 0.
−2
1
2
x+2 y−1 z+1
5. L :
=
=
, P : 2x − 2y + 3z + 21 = 0.
−2
−4
0
x+1 y−1 z+1
=
=
, P : x + 2y − 3z + 13 = 0.
6. L :
−2
5
1
x+5 y−1 z+4
7. L :
=
=
, P : 5x − y − z + 13 = 0.
−12
0
3
x − 12 y − 3 z
8. L :
=
= , P : 3x − 3y + 2z − 5 = 0.
2
4
3
x − 12 y − 9 z − 1
9. L :
=
=
, P : 3x + 5y − z − 2 = 0.
4
5
1
x − 13 y − 1 z − 4
10. L :
=
=
, P : x + 2y − 4z + 1 = 0.
8
2
3
x−7 y−4 z−5
11. L :
=
=
, P : 3x − y + 2z − 5 = 0.
5
1
4
x−3 y−5 z+1
12. L :
=
=
, P : 2x + y − 3z + 1 = 0.
1
−5
2
x−3 y−5 z+1
13. L :
=
=
, P : 3x + 2y − 3z − 4 = 0.
1
−5
2
x−1 y+2
=
= z, P : 7x + 3y − 5z + 1 = 0.
14. L :
4
3
32
x−7 y−5 z−1
=
=
, P : 2x + y − 7z + 1 = 0.
4
3
6
x−3 y+1 z−2
=
=
, P : 4x + y − z + 9 = 0.
16. L :
5
2
4
x−8 y−1 z−6
17. L :
=
=
, P : x − 2y + z + 11 = 0.
3
1
−2
x y+2 z−1
18. L : =
=
, P : y − 3z + 13 = 0.
7
3
5
x−1 y−3 z+2
19. L :
=
=
, P : 3x − 5y − z − 2 = 0.
7
3
5
x+7
z
20. L :
= y − 1 = , P : −x + 7y − 3z = 0.
2
1
2 + 3x y − 2 z − 7
21. L :
=
=
, P : x + y + z − 7 = 0.
5
4
10
x+1 y+3 z+1
22. L :
=
=
, P : 10x − 5y + 2z + 3 = 0.
0
−4
8
x+1 y−3 z+2
=
=
, P : x + 7y − 9z − 2 = 0.
23. L :
5
3
2
x−3 y
z+7
24. L :
= =
, P : −3x − 2y + z − 1 = 0.
3
5
7
y−1 z−2
25. L : 1 − x =
=
, P : x − 5y − 2z + 8 = 0.
−2
−1
x − 10 y − 1 1 − z
26. L :
=
=
, P : −x − 2y + 4z − 3 = 0.
11
−2
2
x+1 y+1 z−5
27. L :
=
=
, P : 5x − 2y − 2z + 12 = 0.
−2
2
3
1−x y−2 z+3
=
=
, P : 10x − 5y − 3z + 5 = 0.
28. L :
4
4
5
x−3 y+4 z−1
29. L :
=
=
, P : −x + y − z − 13 = 0.
−2
6
−2
x−5 y
z+3
30. L :
= =
, P : −3x + 5y − 3z − 4 = 0.
−5
1
6
Пример 3.7. Найдите точку пересечения прямой L :
15. L :
x−1 y−3 z+1
=
=
2
1
3
и плоскости P : 2x − y + z − 4.
Решение. Координаты точки пересечения M (x, y, z) должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Эта система
x−1 y−3 z+1
2 = 1 = 3 ,
2x − y + z − 4 = 0
33
равносильна системе

 x = 2y − 5,
z = 3y − 10,

2x − y + z − 4 = 0.
Решая ее, получим точку пересечения прямой и плоскости:

 x = 2y − 5,
z = 3y − 10,

 2(2y − 5) − y + (3y − 10) − 4 = 0,
 x = 2y − 5,
z = 3y − 10,

 4y − 10 − y + 3y − 10 − 4 = 0,
 x = 2y − 5,
z = 3y − 10,

 6y = 24,
 x = 3,
z = 2,

y = 4.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости – M (3; 4; 2).
Задача 3.8. Привести данные уравнения к каноническому
виду и построить линию.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. x2 + 2x + y 2 = 0, x2 − 4x + 2y 2 + 8y = 4, y 2 − 10x − 2y − 10 = 0.
2. x2 − 2x + y 2 = 0, x2 + 3y 2 − 2x + 6y − 6 = 0, y 2 − 6x + 14y + 49 = 0.
3. x2 + y 2 + 2y = 0, x2 + 4y 2 + 4x − 8y − 8 = 0, y 2 + 8x − 16 = 0.
4. x2 + y 2 − 2y = 0, x2 + 2y 2 + 8x − 4 = 0, x2 − 6x − 4y + 29 = 0.
5. x2 + y 2 + 4x = 0, 9x2 − 25y 2 − 18x − 100y − 316 = 0, x2 − y − 8x + 15 = 0.
6. x2 + y 2 − 4x = 0, 5x2 − 6y 2 + 10x − 12y − 31 = 0, x2 − y + 6x = 0.
7. x2 + y 2 − 4y = 0, x2 − 4y 2 + 6x + 5 = 0, y 2 − 3x − 2y − 12 = 0.
8. x2 + y 2 + 4y = 0, 3x2 − y 2 + 12x − 4y − 4 = 0, y 2 − 4x + 6y + 4 = 0.
9. x2 + y 2 − 6x = 0, x2 − 4y 2 + 2x + 16y − 7 = 0, y 2 − 8x + 12 = 0.
10. x2 + y 2 + 6x = 0, x2 − y 2 + 6y − 5 = 0, y 2 − 4x − 2y + 15 = 0.
11.1. x2 +y 2 −6y = 0, 16x2 −9y 2 −64x−18y +199 = 0, x2 +2x−3y +1 = 0.
12. x2 + y 2 + 6y = 0, 4x2 + 3y 2 − 8x + 12y − 32 = 0, y 2 + 2y − 3x + 8 = 0.
13. x2 + y 2 + 8y = 0, 9x2 + 16y 2 − 90x + 32y + 97 = 0, x + 3y 2 − 6y + 2 = 0.
14. x2 − 8x + y 2 = 0, x2 − y 2 − 4x + 2y + 7 = 0, y 2 − 2y + 2x − 6 = 0.
15. x2 + y 2 + 8y = 0, 7x2 − 5y 2 − 14x − 20y + 22 = 0, x2 − 4x + y − 3 = 0.
16. x2 + y 2 − 8y = 0, 4x2 + 3y 2 + 18y + 15 = 0, y 2 − 2x + 44y + 2 = 0.
17. x2 + y 2 + 10y = 0, 5x2 − 4y 2 + 16y − 36 = 0, x2 + y − 2x = 0.
18. x2 + y 2 − 10y = 0, 9x2 + 4y 2 + 30x − 12y − 2 = 0, x2 − 2x + y − 3 = 0.
34
19. x2 + y 2 + 10y = 0, 3x2 + 3y 2 − 6x − 12y + 3 = 0, x2 − 2x + y − 5 = 0.
20. x2 + y 2 − 10y = 0, 3x2 + 2y 2 − 6x − 12y + 15 = 0, y 2 − 6y − 2x + 1 = 0.
21.x2 + 12x + y 2 = 0, x2 − 2y 2 + 4y − 4 = 0, y 2 − x + 8y + 15 = 0.
22. x2 − 12x + y 2 = 0, 3x2 − 6x + 3y 2 − 12y + 15 = 0, y − x2 + 4x − 3 = 0.
23. x2 + y 2 + 12y = 0, x2 − 2y 2 + 4y − 2 = 0, y 2 + 4y − x + 2 = 0.
24. x2 + y 2 − 12y = 0, 4x2 − 3y 2 + 12y − 12 = 0, x2 − y + 6x − 1 = 0.
25. x2 + 14x + y 2 = 0, 3x2 + 2y 2 − 6x − 12y − 4 = 0, x2 − 6x − 3y + 15 = 0.
26.x2 − 14x + y 2 = 0, 3x2 − 3y 2 − 6x − 12y + 3 = 0, x2 + 2x − y = 0.
27. x2 + y 2 + 14y = 0, 3x2 − 2y 2 − 6x + 12y + 15 = 0, y 2 + 4y − 2x − 8 = 0.
28. x2 + y 2 − 14y = 0, x2 + 2y 2 + 4y − 4 = 0, x2 − 4x + y − 1 = 0.
29. x2 + 16x + y 2 = 0, x2 + 2y 2 − 4y − 2 = 0, y 2 + 2y − x + 5 = 0.
30. x2 + y 2 + 16y = 0, 3x2 − 2y 2 − 6x + 12y + 22 = 0, x2 + 4x − y + 3 = 0.
Пример 3.7. Привести данное уравнение к каноническому виду
и построить линию: 16x2 + 9y 2 − 18y − 96x + 9 = 0.
Решение. Дополним члены, содержащие x,и члены, содержащие y, до
полных квадратов:
16(x2 − 6x + 9) + 9(y 2 − 2y + 1) − 153 + 9 = 0,
16(x − 3)2 + 9(y − 1)2 = 144.
Разделим на 144 каждый член полученного уравнения:
(x − 3)2 (y − 1)2
+
= 1,
9
16
т.е. получили уравнение эллипса, центр которого лежит в точке C(3, 1),
малая полуось a = 3, большая полуось b = 4. Результат представлен на
рис. 1.
Рис. 1
35
Часть IV. Пределы
Задача 4.1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
√
√
3
n 5n2 + 4 9n8 + 1
(3 − n)2 + (3 + n)2
;
б) lim
1. а) lim
.
√ √
n→∞ (n +
n→∞ (3 − n)2 − (3 + n)2
n) 7 − n + n2
√
√
(3 − n)4 − (2 − n)4
n − 1 − n2 + 1
√
.
2. а) lim
;
б) lim √
n→∞ (1 − n)4 − (1 + n)4
n→∞ 3 3n3 + 3 + 4 n5 + 1
√
√
(3 − n)4 − (2 − n)4
n3 + 1 − n − 1
3. а) lim
;
б) lim √
.
√
n→∞ (1 − n)3 − (1 + n)3
n→∞ 3 n3 + 1 −
n−1
√
3
(1 − n)4 − (1 + n)4
n2 + 1 + 7n3
√
.
4. а) lim
;
б) lim 4
n→∞ (1 + n)3 − (1 − n)3
n→∞
n12 + n + 1 − n
√
√
(6 − n)2 − (6 + n)2
3n − 1 − 3 125n3 + n
√
5. а) lim
;
б) lim
.
3
n→∞ (6 + n)2 − (1 − n)2
n→∞
n−n
√
√
(n + 1)3 − (n + 1)2
n 3 n − 3 27n6 + n3
6. а) lim
;
б) lim
.
√ √
n→∞ (n − 1)3 − (n + 1)3
n→∞ (n + 4 n) 9 + n2
√
√
(1 + 2n)3 − 8n3
n + 2 − n2 + 2
√
.
7. а) lim
;
б) lim √
n→∞ (1 + 2n)2 + 4n2
n→∞ 4 4n4 + 1 − 3 n4 − 1
√
√
(3 − 4n)2
n4 + 2 + n − 2
8. а) lim
;
б) lim √
.
√
n→∞ (n − 3)3 − (n + 3)3
n→∞ 4 n4 + 2 +
n−2
√
(3 − n)3
6n3 − n5 + 1
9. а) lim
;
б) lim √
.
n→∞
n→∞ (n + 1)2 − (n + 1)3
4n6 + 3 − n
√
√
(n + 1)2 − (n + 2)3
5n + 2 − 3 8n3 + 5
√
;
б) lim
10. а) lim
.
4
n→∞
n→∞
n+7−n
(4 − n)3
√
√
2 (n + 1)3 − (n − 2)3
n 4 3n + 1 + 81n4 − n2 + 1
.
11. а) lim
; б) lim
√ √
n→∞
n→∞
n2 + 2n − 3
(n + 3 n) 5 − n + n2
√
√
(n + 1)3 + (n + 2)3
n + 3 − n2 − 3
√
.
12. а) lim
;
б) lim √
n→∞ (n + 4)3 + (n + 5)3
n→∞ 3 n5 − 4 − 4 n4 + 1
√
√
(n + 3)3 + (n + 4)3
n5 + 3 − n − 3
;
б) lim √
.
13. а) lim
√
n→∞ (n + 3)4 − (n + 4)4
n→∞ 5 n5 + 3 +
n−2
√
3
(n + 1)4 − (n − 1)4
n − 9n2
√
14. а) lim
;
б)
lim
.
n→∞ (n + 1)3 + (n − 1)3
n→∞ 3n − 4 9n8 + 1
36
15. а)
16. а)
17. а)
18. а)
19. а)
20. а)
21. а)
22. а)
23. а)
24. а)
25. а)
26. а)
27. а)
8n3 − 2n
;
lim
n→∞ (n + 1)4 − (n − 1)4
(n + 6)3 − (n + 1)3
;
lim
n→∞ (2n + 3)2 + (n + 4)2
(2n − 3)3 − (n + 5)3
lim
;
n→∞ (3n − 1)3 + (2n + 3)3
(n + 10)2 + (3n + 1)2
lim
;
n→∞ (n + 6)3 − (n + 1)3
(2n + 1)3 + (3n + 2)3
lim
;
n→∞ (2n + 3)3 − (n − 7)3
(n + 7)3 − (n + 2)3
lim
;
n→∞ (3n + 2)2 + (4n + 1)2
(2n + 1)3 − (2n + 3)3
;
lim
n→∞ (2n + 1)2 + (2n + 3)2
n3 − (n − 1)3
lim
;
n→∞ (n + 1)4 − n4
(n + 2)4 − (n − 2)4
;
lim
n→∞ (2n + 1)2 + (2n + 3)2
(n + 1)4 − (n − 1)4
lim
;
n→∞ (n + 1)3 + (n − 1)3
(n + 1)3 − (n − 1)3
;
lim
n→∞ (n + 1)2 − (n − 1)2
(n + 1)3 − (n − 1)3
lim
;
n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2
(n + 2)3 + (n − 2)3
;
lim
n→∞
n4 + 2n2 − 1
(n + 1)3 + (n − 1)3
28. а) lim
;
n3 − 3n
(n + 1)3 + (n − 1)3
29. а) lim
;
n→∞
n3 + 1
(n + 2)2 − (n − 2)2
30. а) lim
;
n→∞
(n + 3)2
√
4n + 1 − 3 27n3 + 4
√
б) lim
.
√
4
n→∞
n − 3 n5 + n
√
√
n 3 7n − 4 81n8 − 1
б) lim
.
√ √
n→∞ (n + 4 n) n2 − 5
√
√
3
n3 − 7 + 3 n2 + 4
√
б) lim
.
√
4
n→∞
n5 + 5 + n
√
√
n6 + 4 + n − 4
.
б) lim √
√
n→∞ 5 n6 + 6 −
n−6
√
4
4n2 − n3
б) lim √
.
n→∞ 3 n6 + n3 + 1 − 5n
√
√
n + 3 − 3 8n3 + 3
√
.
б) lim √
n→∞ 4 n + 4 − 5 n5 + 5
√
√
n 4 11n + 25n4 − 81
б) lim
.
√ √
n→∞ (n − 7 n) n2 − n + 1
√
√
3
n2 − n2 + 5
б) lim √
.
√
n→∞ 5 n7 −
n+1
√
√
n7 + 5 − n − 5
б) lim √
.
√
7
n→∞
n7 + 5 n − 5
√
3
n2 + 2 − 5n2
√
б) lim
.
n→∞ n −
n4 − n + 1
√
√
n + 2 − 3 n3 + 2
√
б) lim √
.
n→∞ 7 n + 2 − 5 n5 + 2
√
√
n 71n − 3 64n6 + 9
б) lim
.
√ √
n→∞ (n − 3 n) 11 + n2
√
√
n + 6 − n2 − 5
√
б) lim √
.
n→∞ 3 n3 + 3 + 4 n3 + 1
√
√
n8 + 6 − n − 6
.
б) lim √
√
n→∞ 8 n8 + 6 +
n−6
√
n2 − n3 + 1
б) lim √
.
n→∞ 3 n6 + 2 − n
√
√
n + 1 − 8 n3 + 1
√
.
б) lim √
n→∞ 4 n + 1 − 5 n5 + 1
37
√
Пример 4.1. Вычислить предел числовой последовательности:
√
√
n 4 n − 3 25n9 + 7
(n + 2)3 − (n + 2)2
; б) lim
.
a) lim
√ √
n→∞ (n + 5 n) n3 − 2
n→∞ (n − 2)3 − (n + 2)3
Решение. a) При нахождении предела вида, используем правило

A0


, m = k;

m
m−1
P (n)
A0 n + A1 n
+ · · · + Am
B
0
lim
= lim
=
0, m < k;
n→∞ Q (n)
n→∞ B0 nk + B1 nk−1 + · · · + Bk


 ∞, m > k,
где P (n) и Q (n) – многочлены, результат есть
1) константа, равная отношению коэффициентов при наивысших степенях многочленов, если степени многочленов одинаковые;
2) нуль, если высшая степень числителя меньше высшей степени знаменателя;
3) бесконечности, если высшая степень числителя больше высшей степени знаменателя.
∞
В данном задании
раскрывается
неопределенность
вида
∞ или бо ∞−∞ лее сложного вида ∞−∞ , следовательно, учитывая вышеизложенные рассуждения и формулы сокращенного умножения, получаем
(n + 2)3 − (n + 2)2
∞−∞
lim
=
=
n→∞ (n − 2)3 − (n + 2)3
∞−∞
n3 + 6n2 + 12n + 8 − n2 − 4n − 4
= lim 3
=
n→∞ n − 6n2 + 12n − 8 − n3 − 6n2 − 12n − 8
n3 + 5n2 + 8n + 4
= lim
= ∞.
n→∞
−12n2 − 16
Получено отношение двух многочленов, причем высшая степень многочлена числителя – третья, а высшая степень многочлена знаменателя –
вторая, поэтому результат – бесконечность.
б) Вывод сделанный в задании (a) также справедлив, если числитель и
знаменатель содержат некоторые иррациональные выражения, т.е. числовые последовательности некоторых радикалов или дробных степеней.
q
1
√
√
3
1+
n 4 − n 3 25 + n79
n 4 n − 3 25n9 + 7
∞−∞
=
= lim =
lim
3q
√ √
1
n→∞
n→∞ (n + 5 n) n3 − 2
∞
2
5
2
n + n n 1 − n3
q
5
n 4 − n3 3 25 + n79
= lim = ∞.
q
5
17
n→∞
2
n 2 + n 10
1 − n3
38
Высшая степень числителя – третья, больше высшей степени знаменателя – 52 , поэтому в результате получим бесконечность.
Задача 4.2. Вычислить предел числовой последовательности.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
p
p
2
2
n +1− n −1 .
1.
lim n
n→∞
p
p
2
2.
lim n
n (n − 2) − n − 3 .
n→∞
√
p
3
3
3.
lim n − n − 5 n n.
n→∞
p
p
2
2
4
(n + 1) (n − 4) − n − 9 .
4.
lim
n→∞
p
√
n5 − 8 − n n (n2 + 5)
√
5.
lim
.
n→∞
n
p
6.
lim
n2 − 3n + 2 − n .
n→∞
p
3
3
7.
lim n + 4 − n .
n→∞
p
p
2
n (n + 2) − n − 2n + 3 .
8.
lim
n→∞
p
p
9.
lim
(n + 2) (n + 1) − (n − 1) (n + 3) .
n→∞
p
p
2
4
5
10. lim n
n (n − 1) − n − 8 .
n→∞
p
3
3
5 + 8n − 2n .
11. lim n
n→∞
p
p
3
3
2
3
3
12. lim n
5+n − 3+n .
n→∞
q
q
3
3
2
2
13. lim
(n + 2) − (n − 3) .
n→∞
q
p
(n + 1)3 − n (n − 1) (n − 3)
√
14. lim
.
n→∞
n
p
p
2
2
15. lim
n + 3n − 2 − n − 3 .
n→∞
√
√ √
16. lim n
n+2− n−3 .
n→∞
p
p
n (n5 + 9) − (n4 − 1) (n2 + 5)
17. lim
.
n→∞
n
p
18. lim
n (n + 5) − n .
n→∞
p
p
p
3
3
3
19. lim n + 8
n +2− n −1 .
n→∞
39
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
p
p
(n3 + 1) (n2 + 3) − n (n4 + 2)
√
lim
.
n→∞
2
n
p
p
2
2
2
2
lim
(n + 1) (n + 2) − (n − 1) (n − 2) .
n→∞
p
p
(n5 + 1) (n2 − 1) − n n (n4 + 1)
.
lim
n→∞
n
p
√
(n4 + 1) (n2 − 1) − n6 − 1
lim
.
n→∞
n
p
lim n − n (n − 1) .
n→∞
p
p
3
3
3
2
6
8
n (n + 4) − n − 1 .
lim n
n→∞
√
p
lim n n − n (n + 1) (n + 2) .
n→∞
√
p
√
3
3
3
2
lim n
n − n (n − 1) .
n→∞
√
√
√
lim n + 2
n+3− n−4 .
n→∞
p
p
lim n
n4 + 3 − n4 − 2 .
n→∞
p
p
p
3
3
n −3− n −2 .
lim n (n + 1) (n + 2)
n→∞
Пример 4.2. Вычислить предел числовой последовательности:
p
p
p
2
2
lim (n + 3) (n + 4)
n +4− n −5 .
n→∞
Решение. Раскрываем неопределенность вида [∞ − ∞] или несколько
более сложную неопределенность [∞ (∞ − ∞)] . При раскрытии неопределенности этого вида используем метод умножения на «сопряженное
выражение».
p
p
p
2
2
lim (n + 3) (n + 4)
n + 4 − n − 5 = [∞ (∞ − ∞)] =
n→∞
√
√
√
√
2+4−
2−5
2+4+
2−5
p
n
n
n
n
√
√
=
= lim n2 + 7n + 12 ·
n→∞
n2 + 4 + n2 − 5
p
p
n2 + 4 − n2 + 5
√
= lim n2 + 7n + 12 · √
= lim n2 + 7n + 12×
n→∞
n2 + 4 + n2 −√5 n→∞
9
n2 + 7n + 12
√
√
√
√
×
= 9 lim
=
n→∞
n2 + 4 + n2 − 5
n2 + 4 + n2 − 5
q
q
7
12
n 1 + n + n2
1 + n7 + n122
9
q
q
= 9 lim q
= .
= 9 lim q
n→∞
n→∞
2
n
1+ 4 + 1− 5
1+ 4 + 1− 5
n2
n2
n2
40
n2
Задача 4.3. Вычислить предел числовой последовательности.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
2
3
n−1
1
+ 2 + 2 + ... +
.
1. lim
n→∞ n2
n
n
n2
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) 2n + 1
−
2. lim
.
n→∞
n+1
2
(2n + 1)! + (2n + 2)!
.
3. lim
n→∞
(2n + 3)!
2n+1 + 3n+1
.
4. lim
n→∞
2n + 3n
1 + 2 + 3 + ... + n
√
5. lim
.
n→∞
9n4 + 1
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
.
6. lim
n→∞
1 + 2 + 3 + ... + n
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
7. lim
−n .
n→∞
n+3
1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2)
√
8. lim
.
n→∞
5n4 + n + 1
(n + 4)! − (n + 2)!
9. lim
.
n→∞
(n + 3)!
(3n − 1)! + (3n + 1)!
.
10. lim
n→∞
(3n)! (n − 1)
2n − 5n+1
11. lim n+1
.
n→∞ 2
+ 5n+1
1 + 31 + 312 + . . . + 31n
12. lim
.
n→∞ 1 + 1 + 12 + . . . + 1n
5
5
5
1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + . . . + (4n − 3) − (4n − 1)
√
√
13. lim
.
n→∞
n2 + 1 + n2 + n + 1
1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2n − 1) − 2n
14. lim
.
n→∞
n
√
√
3
n3 + 5 − 3n4 + 2
15. lim
.
n→∞ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
3n − 2n
16. lim n−1
.
n→∞ 3
+ 2n
41
2
n+2
−
17. lim
.
n→∞ 1 + 2 + 3 + . . . + n
3
3n + 2n
5 13
+
+ ... +
.
18. lim
n→∞ 6
36
6n
2 − 5 + 4 − 7 + ... + 2n − (2n + 3)
19. lim
.
n→∞
n+3
(2n + 1)! + (2n + 2)!
.
20. lim
n→∞ (2n + 3)! − (2n + 2)!
1 + 2 + ... + n
21. lim
.
n→∞
n − n2 + 3
√
n2 + n − 1
22. lim
.
n→∞ 2 + 7 + 12 + . . . + (5n − 3)
5
9
1 + 2n
3
+
+
+ ... +
.
23. lim
n→∞ 4
16 64
4n
2 + 4 + 6 + . . . + 2n
24. lim
.
n→∞ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
1 + 5 + 9 + 13 + . . . + (4n − 3) 4n + 1
25. lim
.
−
n→∞
n+1
2
1 − 2 + 3 − 4 + . . . − 2n + (2n − 1)
√
26. lim
.
3
n→∞
n3 + 2n + 2
2n + 7 n
27. lim n
.
n→∞ 2 − 7n−1
n! + (n + 2)!
.
28. lim
n→∞ (n − 1)! + (n + 2)!
3 + 6 + 9 + . . . + 3n
29. lim
.
n→∞
n2 + 4
7
29
2n + 5 n
30. lim
+
+ ... +
.
n→∞ 10
100
10n
Пример 4.3. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2n − 1) − 2n
√
,
n→∞
n2 + 1
1 + 12 + 212 + . . . + 21n
б) lim
,
n→∞ 1 + 1 + 12 + . . . + 1n
7
7 7
8
34
3n + 5n
в) lim
+
+ ... +
,
n→∞ 15
225
15n
a) lim
42
3n + 5 n
,
n→∞ 3n − 5n−1
(n + 2)! + (n + 1)!
.
д) lim
n→∞ (n + 2)! − (n + 1)
г) lim
Решение. a) При внимательном рассмотрении мы обнаруживаем в числителе сумму двух сумм арифметических прогрессий:
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) и − (2 + 4 + 6 + . . . + 2n) .
Для арифметической прогрессии сумма n первых элементов равна
Sn =
a1 + an
· n.
2
Применив эту формулу, получим
1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2n − 1) − 2n
√
=
n→∞
n2 + 1
(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)) − (2 + 4 + 6 + . . . + 2n)
√
= lim
=
n→∞
n2 + 1
1+2n−1
· n − 2+2n
n2 − (1 + n) · n
n2 − n − n2
2
2 ·n
√
√
= lim
= lim √
=
= lim
n→∞
n→∞
n→∞
n2 + 1
n2 + 1
n2 + 1
−n
1
q
= lim
= − lim q
= −1.
n→∞
n→∞
1
1
n · 1 + n2
1 + n2
lim
б) Отметим, что в числителе и знаменателе сумма членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма равна
s=
a1
.
1−q
Применим эту формулу к решению примера
1
2
1
7
1+ +
lim
n→∞ 1 + +
1
22
1
72
+ ... +
+ ... +
1
2n
1
7n
1
1−
=
1
1−
1
2
=
12
.
7
1
7
в) Очевидно, что первое слагаемое получено из последнего при n = 1,
второе – при n = 2 и т.д. В последнем слагаемом разделим числитель
почленно на знаменатель и увидим, что выражение в скобках – это сумма
43
двух бесконечно убывающих геометрических прогрессий получим
8
34
3n + 5n
lim
+
+ ... +
=
n
n→∞ 15 225 15
1
1
1
1
1
1
+ + ... + n +
+ + ... + n
=
= lim
n→∞
5 52
5
3 32
3
1
1
1 1 3
5
3
=
+
=
+ = .
4 2 4
1 − 15 1 − 13
г) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, используя правила степеней:
3n + 5n
∞
3n + 5 n
3n + 5 n
lim
=
.
= lim n 5n = 5 · lim
n→∞ 3n − 5n−1
n→∞ 5 · 3n − 5n
n→∞ 3 −
∞−∞
5
Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на
5n и получим
n
3
+1
0+1
5
n
=5·
= −5.
5 · lim
n→∞
5·0−1
3
−1
5·
5
д) Напомним, что факториал n! есть произведение последовательных
натуральных чисел, начиная с единицы и заканчивая n.
Заметим, что
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n = (1 · 2 · 3 · · · (n − 1)) · n = (n − 1)! · n,
(n + 1)! = n! · (n + 1),
(n + 2)! = n! · (n + 1) (n + 2).
Применим полученные соотношения для решения предела
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 1)! · (n + 2) + (n + 1)!
= lim
=
n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!
n→∞ (n + 1)! · (n + 2) − (n + 1)!
(n + 1)! · (n + 2 + 1)
n+3
= lim
= lim
= 1.
n→∞ (n + 1)! · (n + 2 − 1)
n→∞ n + 1
lim
Задача 4.4. Вычислить предел числовой последовательности.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
n
n+2
2n + 3
n+1
1. lim
.
2. lim
.
n→∞ 2n + 1
n→∞ n − 1
44
n2
n2 − 1
3. lim
.
n→∞
n2
n2
2
2n + 2
.
5. lim
n→∞ 2n2 + 1
2
n
n − 3n + 6 2
7. lim
.
n→∞ n2 + 5n + 1
3n+3
6n − 7
9. lim
.
n→∞ 6n + 8
2
−n2
n +n+1
11. lim
.
n→∞ n2 + n − 1
n2
n−1
.
13. lim
n→∞ n + 1
2n+3
3n + 1
15. lim
.
n→∞ 3n − 1
n+4
n+3
17. lim
.
n→∞ n + 5
n+1
2
2n + 21n − 7
.
19. lim
n→∞ 2n2 + 18n + 9
n+2
3n2 − 5n
21. lim
.
n→∞ 3n2 − 5n + 7
3n+2
2
n − 6n + 5
.
23. lim
n→∞ n2 − 5n + 5
2
n+2
7n + 18n − 15
25. lim
.
n→∞ 7n2 + 11n + 15
2
2n2
n +n+1
27. lim
.
n→∞
n2 + 2
2
3n2 −7
2n + 2n + 3
.
29. lim
n→∞ 2n2 + 2n + 1
n+2
n−1
4. lim
.
n→∞ n + 3
2
−n+2
3n − 6n + 7
6. lim
.
n→∞ 3n2 + 20n − 1
3n+1
n − 10
8. lim
.
n→∞
n+1
2
2n+5
3n + 4n − 1
10. lim
.
n→∞ 3n2 + 2n + 7
n
2n + 5n + 7
12. lim
.
n→∞ 2n2 + 5n + 3
2
n2
5n + 3n − 1
14. lim
.
n→∞ 5n2 + 3n + 3
−n2
2
2n + 7n − 1
16. lim
.
n→∞ 2n2 + 3n − 1
3
2n−n2
n +1
18. lim
.
n→∞ n3 − 1
3n
10n − 3
20. lim
.
n→∞ 10m − 1
−n2
n+3
22. lim
.
n→∞ n + 1
n
n+4
24. lim
.
n→∞ n + 2
n+1
2n − 1
26. lim
.
n→∞ 2n + 1
n−3
13n + 3
28. lim
.
n→∞ 13n − 10
n +1
n+5 6
30. lim
.
n→∞ n − 7
Пример 4.4. Вычислить предел числовой последовательности:
2
−n+3
3n + 4n − 2
lim
.
n→∞
3n2 − n + 5
Решение. При решении этого задания используем второй замечательный
предел
n
1
lim 1 +
= [1∞ ] = e.
n→∞
n
Отметим, что если un → ∞ при n → ∞, где un – некоторая числовая
45
последовательность, то также имеем
u
1 n
= e.
lim 1 +
n→∞
un
Тогда
−n+3
−n+3
3n2 + 4n − 2
3n2 + 4n − 2
∞
lim
−1
= [1 ] = lim 1 +
=
n→∞
n→∞
3n2 − n + 5
3n2 − n + 5
−n+3
−n+3
3n2 + 4n − 2 − 3n2 + n − 5
4n − 7
= lim 1 +
= lim 1 + 2
=
n→∞
n→∞
3n2 − n + 5
3n − n + 5

 (4n−3)·(−n+3)
2 −n+5
3n2 −n+5
!−n+3
! 3n4n−3
1
1


= lim  1 + 3n2 −n+5
= lim 1 + 3n2 −n+5
=

n→∞
n→∞
4n−3


= lim  1 +
n→∞
1
3n2 −n+5
4n−3
4n−3
2 −n+5
! 3n4n−3
 −4n22 −9n−9
3n −n+5
4


= e− 3 .
Задача 4.5. Вычислить предел функции.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
x2 − 2x − 1 (x + 1)
x3 − 3x − 2
1.lim
. 2. lim
.
x→1
x→−1
x4 + 4x2 −5
x + x2 2
2
x2 + 3x + 2
2x2 − x − 1
3. lim 3
.
4.lim 3
.
x→−1 x + 2x2 − x − 2
x→1 x + 2x2 − x − 2
2
2
x3 − 2x − 1
x2 + 2x − 3
.
6. lim
.
5. lim 3
x→−3 x + 4x2 + 3x
x→−1 x4 + 2x + 1
(1 + x)3 − (1 + 3x)
x2 − 2x + 1
7.lim
.
8.lim
.
x→0
x→1 2x2 − x − 1
x + x5
x3 − 3x − 2
x3 + 5x2 + 7x + 3
9. lim 2
.
10. lim 3
.
x→−1 x − x − 2
x→−1 x + 4x2 + 5x + 2
x3 − 3x + 2
x3 + x2 − 5x + 3
11.lim 3
.
12.lim 3
.
x→1 x − x2 − x + 1
x→1 x − x2 − x + 1
x3 + 4x2 + 5x + 2
x4 − 1
. 14.lim 4
.
13. lim
x→1 2x − x2 − 1
x→−1
x3 − 3x − 2
x3 + 4x2 + 5x + 2
x3 − 5x2 + 8x − 4
15. lim
.
16.lim
.
x→−2
x→2
x3 + 3x2 − 4
x3 − 3x2 + 4
x3 − 6x2 + 12x − 8
x3 + 5x2 + 8x + 4
17.lim
. 18. lim 3
.
x→2
x→−2 x + 7x2 + 16x + 12
x3 − 3x2 + 4
x3 − 3x − 2
x2 − 3x − 2
19. lim
.
20.lim
.
x→−1 (x2 − x − 2)2
x→2
x−2
46
x3 − 3x − 2
.
21. lim 2
x→−1 x + 2x + 1
x4 − 1
23.lim 4
.
x→1 2x − x2 − 1
2x2 − x − 1
25.lim 3
.
x→1 x + 2x2 − x − 2
x3 − 2x − 1
.
27. lim 4
x→−1 x + 2x + 1
x2 − 1
29.lim
.
x→1 2x − x − 1
x2 − 2x + 1
22.lim 3
.
x→1 x − x2 − x + 1
x2 + 3x + 2
24. lim 3
.
x→−1 x + 2x2 − x − 2
x2 + 2x − 3
26. lim 3
.
x→−3 x + 4x2 + 3x
(1 + x)3 − (1 + 3x)
28.lim
.
x→0
x2 + x4
x3 + 7x2 + 15x + 9
30. lim 3
.
x→−3 x + 8x2 + 21x + 18
Пример 4.5. Вычислить предел функции:
x3 − 3x2 − 9x − 2
lim
.
x→2
x3 − x − 6
Решение. При решении пределов вида
P (x)
0
lim
=
,
x→a Q (x)
0
где P (x) и Q (x) – многочлены (совсем не обязательно одной степени),
a является корнем каждого из многочленов, т.е. P (a) = 0, Q (a) = 0,
используем следствие из теоремы Безу: каждый из этих многочленов
делится без остатка на разность (x − a), иначе говоря, многочлены раскладываются на множители, одним из которых будет (x − a).
В нашем случае число 2 является
корнем и числителя и знаменателя,
0
т.е. имеем неопределенность вида
. Разделив каждый из многочленов
0
на разность (x − 2), получим
x3 + 3x2 − 9x − 2
0
lim
=
=
x→2
x3 − x −6
0
(x − 2) x2 + 5x + 1
x2 + 5x + 1 15
= lim
= lim 2
= .
x→2 (x − 2) (x2 + 2x + 3)
x→2 x + 2x + 3
11
Задача 4.6. Вычислить предел функции.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
√
√
1 + 2x − 3
1−x−3
√
1.lim √
.
2. lim
.
3
x→4
x→−8
x
−
2
2
+
x
√
√
√
x−1
x + 13 − 2 x + 1
3.lim √
.
4.lim
.
2−9
x→1 3 x2 − 1
x→3
x
√
√
3
4
x−6+2
x−2
√
5. lim
.
6.
lim
.
x→−2
x→16
x3 + 8
x−4
47
√
9 + 2x − 5
.
7.lim √
3
x→0
x
−
2
√
3
8 + 3x + x2 − 2
9.lim
.
2
x→0
x
+
x
√
3
x−1
√ .
11.lim √
x→1
1√
+ x − 2x
3
4x − 2
√ .
13.lim √
x→2
2√
+ x − 2x
3
9x − 3
√ .
15.lim √
x→3
3√+ x − 2x
3
16x − 4
√ .
17.lim √
x→4
4+
x − 2x
p
1
3 x
4 − 2
19.lim1 q
√ .
1
x→ 2
+ x − 2x
2p
1
3 x
16 − 4
21.lim1 q
√ .
1
x→ 4
2x
4 +x−
√
√
3
27 + x − 3 27 − x
√
23.lim
.
√
3
2+ 5 x
x→0
x
√
1 − 2x + 3x2 − (1 + x)
√
.
25.lim
3
x→0
x
√
4
x−2
.
27. lim q
x→16 3 √
2
( x − 4)
√
x−2
29.lim √
.
3
x→4
x2 − 16
√
1 − 2x + x2 − (1 + x)
.
x→0
x
√
√
3
27 + x − 3 27 − x
√
10.lim
.
3
4
x→0
x
+
2
x
√
√
1+x− 1−x
√
12.lim √
.
x→0 3 1 + x − 3 1 − x
√
x−1
14.lim 2
.
x→1 x − 1
√
3
x−6+2
16. lim
.
x→−2
√ x+2
9 + 2x − 5
18.lim √
.
3
x→8
x2 − 4
p
1
3 x
9 − 3
20.lim1 q
√ .
1
x→ 3
+ x − 2x
√3
√
1+x− 1−x
√
22.lim
.
7
x→0
x
√
3
8 + 3x − x2 − 2
√
24.lim
.
3
2 + x3
x→0
x
√
9 + 2x − 5
26.lim √
.
3
x→8
x−2
√
3
x−6+2
28. lim √
.
3
x→−2
x3 + 8
√
10 − x − 6 1 − x
√
30. lim
.
x→−8
2+ 3x
8.lim
Пример 4.6. Вычислить предел функции:
√
√
3
1+x− 31−x
lim
.
x→0
x
Решение. Метод решения задач данного типа такой же, как и при решении задачи 4.2. Умножив числитель и знаменатель на сопряженное
48
выражение, получаем
√
3
√
1+x− 31−x
0
lim
=
=
x→0
x
0
q
p
q
√
√
3
3
2
2
3
3
3
1+x− 1−x ·
(1 + x) + (1 + x) · (1 − x) + (1 − x)
q
= lim
=
q
p
x→0
3
3
2
2
x·
(1 + x) + 3 (1 + x) · (1 − x) + (1 − x)
1 + x − (1 − x)
=
q
q
p
x→0
x · 3 (1 + x)2 + 3 (1 + x) (1 − x) + 3 (1 − x)2
= lim
2x
= lim
x→0
x·
q
3
2
= .
q
p
3
(1 + x)2 + 3 (1 + x) (1 − x) + 3 (1 − x)2
Задача 4.7. Вычислить предел функции.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1 − cos 10x
.
x→0
e x2 − 1
1 − cos 2x
4.lim
.
x→0 cos 7x − cos 2x
2x
.
6.lim
x→0 tg 2π x + 1
2
arcsin 3x
√ .
8.lim √
x→0
2+x− 2
arctg 2x
10.lim
.
x→0 sin (2π (x + 10))
cos x + 5π
ln (1 + 7x)
2 tg x
11.lim
. 12.lim
.
x→0
x→0 sin (π (x + 7))
arcsin 2x2
√
9 ln (1 − 2x)
1 − 3x + 1
.
13.lim
.
14.lim
(x+1)
x→0 4 arctg 3x
x→0
cos π 2
√
sin 7x
4+x−2
15.lim 2
.
16.lim
.
x→0 x + πx
x→0 3 arctg x
cos 2x − cos x
2 sin (π (x + 1))
17.lim
. 18.lim
.
x→0
x→0
ln (1 + 2x)
1 − cos x
√
1+x−1
sin (5 (x + π))
19.lim
. 20.lim
.
x→0
x→0 sin (π (x + 2))
e3x − 1
ln (1 + sin x)
.
x→0
sin 4x
3x2 − 5x
3.lim
.
x→0 sin 3x
4x
5.lim
.
x→0 tg (π (2 + x))
1 − cos2 x
.
7.lim
x→0
4x2
2x − 1
9.lim
.
x→0 ln (1 + 2x)
1.lim
2.lim
49
√
1 − cos x
21.lim
.
x→0
x sin x
e4x − 1
.
23.lim
x→0 sin π x + 1
2
2
sin x − tg2 x
.
25.lim
x→0
x4
tg x − sin x
.
x→0 x (1 − cos 2x)
tg π 1 + x2
29.lim
.
x→0
ln (x + 1)
27.lim
arcsin 2x
ln 2.
x→0 2−3x − 1
1 − cos x
24.lim
.
x→0 (e3x − 1)2
arcsin 2x
26.lim
.
x→0 ln (e − x) − 1
ln x2 + 1
√
28.lim
.
x→0 1 −
x2 + 1
2x sin x
30.lim
.
x→0 1 − cos x
22.lim
Пример 4.7. Вычислить предел функции:
ln 1 + sin 3x2
.
lim
x→0
1 − cos x3
Решение. При решении данной задачи, используем свойство эквивалентных бесконечно малых функций: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых, и
простейшую таблицу эквивалентных бесконечно малых.

sin x ⇔ x,




tg x ⇔ x,




arcsin x ⇔ x,



arctg x ⇔ x,
2
при x → 0.
1 − cos x ⇔ x2 ,




1 − ex ⇔ x,




ln (1 + x) ⇔ x,



α
(1 + x) − 1 ⇔ αx,
Тогда
ln 1 + sin 3x2
0
3x2
3x2
lim
=
= lim x 2 = lim x2 = 3 · 32 · 2 = 54.
x
x→0
x→0 2
x→0 ( 3 )
1 − cos 3
0
3 ·2
2
Задача 4.8. Исследовать функцию на непрерывность и построить схематично график.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
 2

x ≤ 0,
x ≤ 1,
x,
 3x + 2,
2 cos x, 0 < x ≤ π,
2x − 3,
1 < x ≤ 2,
1. f (x) =
2. f (x) =

 1 ,
x > π.
ln (x − 2) ,
x > 2.
x−π
50
 x+2
x ≤ 0,
e ,
2
x − 1,
0 < x ≤ 2,
3. f (x) =

x > 2.
 ln (x − 2) ,
0 ≤ x ≤ π2 ,
 sin x,
π
3x + 2,
5. f (x) =
2 < x ≤ 4,

x > 4.
 ln (x − 4) ,
x ≤ −2,
 x + 2,
2
x,
−2 < x ≤ 0,
7. f (x) =

x > 0.
 ln2 x,
x ≤ 0,
 x − 1,
arcsin x, 0 < x ≤ 1,
9. f (x) =
 1 ,
x > 1.
x−1 x
x ≤ 0,
 2·e ,
2 + x, 0 < x ≤ 2,
11. f (x) =
 1 ,
x > 2.
 x−2
x ≤ 0,
 3x − 2,
2
x + 1,
0 < x ≤ 3,
13. f (x) =

x > 3.
 ln(x − 3),
x ≤ 1,
 3x,
2
, 1 < x ≤ 3,
15. f (x) =
 x−1
x
x > 3.
e ,
x ≤ 0,
 2x − 1,
tg x,
0 < x < π2 ,
17. f (x) =
 2
,
x ≥ π2 .
 xx−1
x ≤ 1,
e ,
2
x − 1, 1 < x ≤ 3,
19. f (x) =
 2
x > 3.
 x−3
x ≤ 0,
 5x,
sin x, 0 < x ≤ π,
21. f (x) =
 4 ,
x > π.
 x−πx
x ≤ 0,
 3e ,
2
2x , 0 < x ≤ 3,
23. f (x) =
 4 ,
x > 3.
 x−3
x ≤ 0,
 arctg x,
2
3x ,
0 < x ≤ 2,
25. f (x) =
 2 ,
x > 2.
 x−2
x ≤ 3,
 3 − x,
2
x,
3 < x ≤ 4,
27. f (x) =

ln (x − 4) ,
x > 4.
51

x ≤ 0,
 arctg x,
2
x,
0 < x ≤ 3,
4. f (x) =
 1 ,
x > 3.
 x−3
x ≤ 1,
 2x − 4,
2
−x ,
1 < x ≤ 5,
6. f (x) =
 1 ,
x > 5.
 x−5
x
x ≤ 0,
e ,
2x + 1, 0 < x ≤ 3,
8. f (x) =
 1 ,
x > 3.
x−3
x ≤ 0,
 3x,
2
x , 0 < x ≤ e,
10. f (x) =

x > e.
 ln x,
x ≤ 0,
 2x + 1,
cos x, 0 < x ≤ π2 ,
12. f (x) =
 1π ,
x > π2 .
x−
 2x
x ≤ 0,
 3·e ,
3 + 2x, 0 < x ≤ 2,
14. f (x) =
 1 ,
x > 2.
 x−22
x ≤ 0,
 2x + 1,
3x,
0 < x ≤ 4,
16. f (x) =

x > 4.
 ln (x − 4) ,
x ≤ 0,
 arctg x,
2x,
0 < x ≤ 2,
18. f (x) =
 3 ,
x > 2.
 x−2
x≤0
 6 − 5x,
2
x,
0<x≤4
20. f (x) =

x>4
 ln2 (x − 4) ,
x ≤ 0,
x,
tg x,
0 < x < π2 ,
22. f (x) =

x ≥ π2 .
 3x − 1,
x ≤ −2,
 3x + 2,
2
x − 1,
−2 < x ≤ 1,
24. f (x) =

x > 1.
 ln2 (x − 1) ,
x ≤ −1,
 x − 1,
arcsin x, −1 < x ≤ 0,
26. f (x) =
 2
x > 0.
 x, 2
x ≤ 0,
 −x ,
sin x, 0 < x ≤ π,
28. f (x) =
 2 ,
x > π.
x−π

x ≤ 1,
 3x − 2,
2
2x − 1,
1 < x ≤ 2,
29. f (x) =

ln (x − 2) ,
x > 2.
 x+2
x ≤ −2,
e ,
3x + 1, −2 < x ≤ 0,
30. f (x) =
 1
x > 0.
x,
Пример 4.8. Исследовать функцию на непрерывность и построить схематично график.

x ≤ 2,
 −2x + 1,
2
x,
2 < x ≤ 3,
f (x) =
 1 ,
x > 3.
x−3
Решение. На каждом из промежутков (−∞, 2) , (2, 3) , (3, ∞) функция
непрерывна, так как аналитические выражения, определяющие заданную функцию, являются элементарными функциями, а указанные промежутки входят в область определения каждой из них. Будем исследовать поведение функции в точках x = 2, x = 5, т.е. там, где стыкуются
аналитические выражения. Для этого в каждой из точек вычислим значение функции, левосторонний и правосторонний пределы.
f (2) = −2 · 2 + 1 = −3,
lim (−2x + 1) = −3,
x→2−0
lim x2 = 4.
x→2+0
При x = 2 левосторонний и правосторонний пределы конечные, но не
равные числа, следовательно в этой точке функция имеет разрыв, и это
разрыв первого рода – скачок.
f (3) = 32 = 9,
lim x2 = 9,
x→3−0
1
= ∞.
lim
x→3+0 x − 3
При x = 3 правосторонний предел – бесконечность, поэтому в этой точке
функция имеет разрыв второго рода (бесконечный скачок).
52
Часть V. Исследования функций
Задача 5.1. Найти производную:
a) сложной функции;
б) логарифмическим дифференцированием;
в) параметрически заданной функции.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. а) y = ln3 (sin 2x) ;
б) y(= xsin x ;
x = ln t,
в)
y = t2 − 1.
1
7
3. а) y = ctg14 ;
7
xsin x
б) y(= x3 + 1
;
x = 2 (t − sin t) ,
в)
y = 2 (1 − cos t) .
6 3
5. а) y = 1 − arcctg
;
x
√ √3 x
б) y= ( x) ;
6

x = t ,
6 4
в)

y = 2 − t .
4√
2 7
7. а) y = arctg
( x) ;
√
x
б) y= x;
x = ln t,
в)
1
y =
.
1−t
9. а) y = ln2 (tg 10x) ;
cos 5x
б) y(= x2 − 3
;
x = 2−t ,
в)
y = 22t .
11. а) y = sin cos2 5x ;
б) y= xx ;
1


,
x =
t+ 1 2
в)
t


.
y =
t+1
2
2. а) y = ecos x ;
x
б) y(= (sin x)5e ;
√
x = 4 t − 1,
√
в)
y = 2t − t.
4. а) y = cos sin4 x ;
б) y(= xln x ;
√
x = t,
√
в)
y = t − 2 t.
6. а) y = sin5 e2x ;
б) y(= (cos x)sin x ;
√
x = 3t2 ,
в)
y = t − t3
8. а) y = 2 ctg3 x2 ;
1
б) y= (ln x) x ;
x = t2 ,
2
в)
t
3
−
t
y =
.
3
10. а) y = ln5 (cos 11x) ;
б) y= (ln x)ln x ;
x = t · ln t,
в)
ln t
y =
.
t 1
5
12. а) y = ctg6
;
2√
x
б) y(= x x ;
√
x = 2 t + 1,
√
в)
y = 3t − 3 t.
53
√
13. а) y = arctg22 ( x) ;
б) y(= x2x · 5x ;
√
x = t + 8,
√
в)
y = 3 t − 5.
15. а) y = sin8 (ln 7x) ;
1
б) y(= (x + ln x) x ;
x = 8 sin t − 6 cos t,
в)
y = 6 sin t − 8 cos t.
17. а) y = ln2 (tg 8x);
√
2
ex · arctg x
;
б) y =
sin2 x
(
x = 2 · cos3 t,
в)
y = 2 · sin3 t.
1
5
19. а) y =
ctg11
;
11
x
б) (
y = (ln x)x ;
x = e−t cos t,
в)
y = e−t sin t.
21. а) y = sin10 e2x ;
б) 
y = (ln x)x ;
x = arctg t,
в)
1
y = t2 .
2
√
23. а) y = arctg16 ( x) ;
б) 
y = (x + 1)x ;
3t

x =
,
3
1
+
t
в)
2

y = 3t .
1 + t3
25. а) y = tg (ln 3x) ;
2
б) (
y = (x + sin x)x ;
x = arctg t,
в)
y = ln 1 + t2 .
27. а) y = sin9 e2x ;
б) (
y = xx+1 ;
x = sin t,
в)
y = tg t.
14. а) y = ln3 (sin 11x) ;
√ sin2 x
б) y(= ( x)
;
x = et · cos t,
в)
y = et · sin t.
16. а) y = ctg7 x7 ;
б) 
y = (sin x)cos x ;
1

x =
,
t
−
1
в)
t

y =
.
t+1
2
18. а) y = sin
cos
8x
;
q
б) y = x (x + 1)2 ;
(
x = arcsin t,
в)
y = ln 1 − t2 .
√
20. а) y = arctg23 ( x) ;
б) (
y = (sin x)arcsin x ;
x = cos 2t,
в)
y = sin2 t.
22. а) y = ln3 (sin 4x) √
;
arctg x
б) (
y = (x + 1)
;
2
x = t − 1,
в)
y = t t2 − 1 .
24. а) y = tg √e6x ;
б) (
y = 2x x ;
x = arcsin t,
√
в)
y = 1 − t2 .
26. а) y = ln3 (sin 5x) ;
1
б) (
y = xx ;
x = ln t2 + 1 ,
в)
y = t2 .
28. а) y = ln2 (tg 7x) ;
б) (
y = x2x ;
x = ln 1 + t2 ,
в)
y = t − arctg t.
54
2
30. а) y = cos2 (ln 9x) ;
2
б) (
y = xx ;
1
x = √1+t
2
в)
1
y = √1−t2 .
29. а) y = esin 10x ;
arctg x
б) (
y = x2 + 1
;
x = 1 − ln2 t,
в)
y = 3et .
Пример 5.1. Найти производную:
a) сложной функции y = sin2 (5x − 3);
б) функции логарифмическим дифференцированием y = (x+
e2x
2) ;
(
x = 2t − t3 ,
в) параметрически заданной функции
y = sin t.
Решение. а) Напомним формулу нахождения производной сложной функции, если y = f (t), t = u(x), где f (t) и u(x) имеют производные, то
yx0 = ft0 · t0x .
(1)
Найдем производную заданной функции в соответствии с правилами и
формулами нахождения производных, в том числе и в соответствии с
формулой дифференцирования сложной функции (1):
0
0
y 0 = sin3 (5x − 3) = 3 sin2 (5x − 3) · sin(5x − 3) =
= 3 sin2 (5x − 3) · cos(5x − 3)(5x − 3)0 = 15 sin2 (5x − 3) cos(5x − 3).
б) Логарифмируем обе части равенства:
2x
ln y = ln(x + 2)e ,
ln y = e2x ln(x + 2).
Продифференцируем почленно полученное соотношение:
1
y
(ln y)0 = (e2x ln(x + 2))0 ,
· y 0 = (e2x )0 · ln(x + 2) + e2x · (ln(x + 2))0 ,
1
1
0
2x
2x
y · y = 2 · e · ln(x + 2) + e · x+2 .
Выразим y 0 :
0
y =y· 2·e
2x
2x
· ln(x + 2) + e
1
.
·
x+2
2x
Учитывая, что y = (x + 2)e , получим
2x
y 0 = (x + 2)e · 2 · e2x · ln(x + 2) + e2x ·
55
1
.
x+2
в) Функция задана параметрически, поэтому производную yx0 найдем
по формуле:
y0
yx0 = t0 .
(2)
xt
Найдем производные yt0 и x0t :
yt0 = (sin t)0 = cos t,
x0t = (2t − t3 )0 = 2 − 3t2 .
Отсюда по формуле (2) найдем
yx0
yt0
cos t
= 0 =
.
xt
2 − 3t2
Задача 5.2. Дано уравнение кривой. Составить уравнения
касательной и нормали в точке с абсциссой x = x0 .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. y
3. y
5. y
7. y
4x − x2
, x0 = 2.
=
4
= x − x3 , x0 = −1.
√
= x + x3 , x0 = 1.
√
1+ x
√ , x0 = 4.
=
1− x
2
9. y = 2x − 3x + 1, x0 = 1.
11. y =
√
√
x − 3 3 x, x0 = 64.
13. y = 2x2 + 3, x0 = 1.
2. y = 2x2 + 3x − 1, x0 = −2.
√
4. y = x2 + 8 x − 32, x0 = 4.
√
3
6. y = x2 − 32, x0 = 4.
√
8. y = 8 4 x − 70, x0 = 16.
10. y
12. y
14. y
1
15. y = 2x + , x0 = 1.
16. y
x
x5 + 1
17. y = 4
, x0 = 1.
18. y
x +1
√
√ 19. y = 3 3 x − 2 x , x0 = 1. 20. y
x
, x0 = −2.
+1
2x
23. y = 2
, x0 = 1.
x +1
1 + 3x2
25. y =
, x0 = −1.
3 + x2
21. y =
x2
22. y
24. y
x2 − 3x + 6
=
, x0 = 3.
x2
x3 + 2
= 3
, x0 = 2.
x −2
x2 + 6
= 4
, x0 = 1.
x +1
2(x3 + 2)
=−
, x0 = 1.
3(x4 + 1)
x1 6 − 9
=
, x0 = 1.
1 − 5x2
1
=
, x0 = 2.
3x + 2
x3 − 3x + 3
=
, x0 = 3.
x2
√
√ = −2 3 x + 3 x , x0 = 1.
26. y =
56
8
, x0 = 2.
4 + x2
x2 − 7x + 8
, x0 = −1. 28. y = x3 + 2x2 − 4x − 3, x0 = −2.
27. y =
x2
√
√
1
3
29. y = 2
, x0 = −1.
30. y = 5 x2 − 2 x, x0 = 1.
x +1
Пример 5.2. Дано уравнение кривой y = x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 1. Составить уравнения касательной и нормали в точке с абсциссой
x0 = 0.
Решение. Общий вид уравнения касательной к кривой y = f (x) в точке
M0 (x0 ; y0 ):
y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ).
(3)
Пользуясь таблицей производных, найдем y 0 (x) = 4x3 − 9x2 + 8x − 5.
Значит, y 0 (x0 ) = y 0 (0) = −5. Теперь найдем ординату точки M0 . Для
этого подставим значение x0 в уравнение кривой, т.е. y0 = y(x0 ) = 1.
Используя формулу (3), получим
y − 2 = x − 1,
y = x + 1.
Теперь найдем уравнение нормали по формуле:
1
(x − x0 ),
f 0 (x0 )
y − 2 = −(x − 1)
y = −x + 3.
y − y0 = −
Задача 5.3. Вычислить приближено значение функции
y = f (x) при заданном значении x.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
√
√
1. y = 3 x, x = 7, 99.
2. y = 3 x3 + 7x, x = 1, 012.
√
√
x + 5 − x2
3. y =
, x = 0, 98. 4. y = 3 x, x = 27, 04.
2
√
5. y = arcsin x, x = 0, 08.
6. y = 3 x2 + x + 3, x = 0, 97.
√
√
7. y = 3 x, x = 26, 96.
8. y = 3 x2 + x + 3, x = 1, 97.
√
9. y = x11 , x = 1, 021.
10. y = 3 x, x = 1, 01.
√
3
11. y = x11 , x = 0, 998.
12. y = x2 , x = 1, 03.
√
13. y = x6 , x = 2, 01.
14. y = 3 x, x = 8, 04.
√
15. y = x7 , x = 1, 998.
16. y = 3 x, x = 7, 94.
57
17. y =
19. y =
√
√
3
4x − 1, x = 2, 56.
x, x = 8, 06.
21. y = x7 , x = 2, 002.
√
23. y = x2 , x = 0, 98.
√
5
25. y = x2 , x = 1, 03.
1
, x = 1, 016.
2x2 + x + 1
1
20. y = √ , x = 4, 06.
√x
22. y = 4x − 3, x = 1, 78.
18. y = √
24. y = x5 , x = 2, 997.
2
26. y = √ , x = 8, 99.
rx
1−x
27. y = x3 − 4x2 + 8, x = 0, 2. 28. y = 3
, x = 0, 1.
1+x
29. y = x3 − 7x2 + 8, x = 5, 01. 30. y = 3x3 + x − 1, x = 1, 01.
Пример 5.3. Вычислить приближено значение
y = ln x при x = 1, 02.
Решение. Воспользуемся приближенной формулой
функции
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x.
Тогда, подставляя f (x) = ln x, получим
ln(x0 + ∆x) ≈ ln x0 +
1
· ∆x.
x0
Полагая здесь x0 = 1, ∆x = 0, 02, найдем
ln 1, 02 ≈ ln 1 +
1
· 0, 02 = 0, 02.
1
Задача 5.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1.
2.
3.
16
− 16,
x
4
y = 4 − x − 2,
x
p
3
y = 2(x − 2)2 (8 − x) − 1,
y = x2 +
4.
y
5.
y
6.
y
7.
y
1 ≤ x ≤ 4.
1 ≤ x ≤ 4.
0 ≤ x ≤ 6.
2(x2 + 3)
= 2
,
−3 ≤ x ≤ 3.
x√− 2x + 5
= 2 x − x,
0 ≤ x ≤ 4.
p
= 1 + 3 2(x − 1)2 (x − 7), −1 ≤ x ≤ 5.
√
1 ≤ x ≤ 9.
= x − x + 5,
58
10x
,
x2 + 1
108
− 59,
9. y = 2x2 −
x
4
10. y = 3 − x −
,
(x + 2)2
p
11. y = 3 2x2 (x − 3),
8.
y=
−x2 + 7x + 7
,
12. y = 2 2
x −
2x
+
2
√
13. y = x − 4 x + 2 + 8,
p
14. y = 3 2(x − 2)2 (5 − x),
4x
,
x2 + 4
x2 8
16. y = − − + 8,
2
x
p
3
2
17. y = 2x (x − 6),
15. y =
−2x(2x + 3)
,
x2 + 4x + 5
x2 + 3
19. y = −2 2
,
x
+
2x
+
5
p
20. y = 2(x − 1)2 (x − 4),
18. y =
16
− 13,
21. y = x2 +
x
−
1
√
22. y = 2 x − 1 − x + 2,
1
8
+
2x
+
+ 5,
x2
x−2
4
= 8x + 2
,
p x − 15
= 2(x + 2)2 (x − 4),
√
= x + x,
p
= (1 − x2 )(1 + 2x2 ),
23. y = −
24. y
25. y
26. y
27. y
x2 2x3 3x2
−
+
+ 2,
4
3
2
29. y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1,
28. y =
30. y =
x−1
,
x+1
0 ≤ x ≤ 3.
2 ≤ x ≤ 4.
−1 ≤ x ≤ 2.
−1 ≤ x ≤ 6.
1 ≤ x ≤ 4.
−1 ≤ x ≤ 7.
1 ≤ x ≤ 5.
−4 ≤ x ≤ 2.
−4 ≤ x ≤ 1.
−2 ≤ x ≤ 4.
−2 ≤ x ≤ 1.
−5 ≤ x ≤ 1.
0 ≤ x ≤ 4.
2 ≤ x ≤ 5.
1 ≤ x ≤ 5.
−2 ≤ x ≤ 1.
1
2
≤ x ≤ 2.
−4 ≤ x ≤ 2.
0 ≤ x ≤ 4.
−1 ≤ x ≤ 1.
−2 ≤ x ≤ 4.
−1 ≤ x ≤ 5.
0 ≤ x ≤ 4.
59
Пример 5.4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f (x) = sin2 x + 1 на отрезке −π ≤ x ≤ π.
Решение. Функция f (x) = sin2 x + 1 определена на заданном отрезке.
Вычислим первую производную
0
f 0 (x) = sin2 x + 1 = 2 sin x cos x = sin 2x.
Найдем точки, в которых производная функции равна нулю
f 0 (x) = 0 при условии, что sin 2x = 0,
откуда, решив тригонометрическое уравнение, получаем множество корней
πn
, n ∈ N.
x=
2
Выберем из полученной серии корней те, которые принадлежат отрезку
[π; 3π]:
n = 2, x = π;
n = 3, x = 3π
2 ,
n = 4, x = 2π.
Определим значение функции в найденных точках и на концах заданной
отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее
f (π)
= sin2 π + 1 = 1;
2 3π
f 3π
2 = sin
2 + 1 = 2;
2
f (2π) = sin (2π) + 1 = 1.
Cледовательно,
3π
f
= 2 – наибольшее значение функции,
2
f (π) = f (2π) = 1 – наименьшее значение функции.
Задача 5.5. Решить следующие задачи на наибольшее и наименьшее значения.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Число 150 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
2. Число 204 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:7, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
3. Число 300 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:9, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
4. Две капли с начальными массами 5 и 6 начинают падать под действием
60
силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональ1
ности k = . В какой момент времени общая кинетическая энергия этих
3
капель будет наибольшей.
5. Две капли с начальными массами 2 и 5 начинают падать под действием
силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональ1
ности k = . В какой момент времени общая кинетическая энергия этих
3
капель будет наибольшей.
6. Две капли с начальными массами 3 и 7 начинают падать под действием
силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональ1
ности k = . В какой момент времени общая кинетическая энергия этих
3
капель будет наибольшей.
7. Через точку P (1, 4) провести прямую так чтобы сумма длин отрезков,
отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.
8. Через точку P (1, 9) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.
9. Через точку P (6, 1, 5) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.
10. Через точку P (0, 5, 2) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.
11. По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два
машины со скоростями 30 км/ч и 40 км/ч. В некоторый момент времени
они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время
после этого расстояние между машинами будет наименьшим.
12. По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два
машины со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени
они находились на расстоянии 20 км от перекрестка. Через какое время
после этого расстояние между машинами будет наименьшим.
13. По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два
машины со скоростями 30 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени
они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время
после этого расстояние между машинами будет наименьшим.
14. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 36
см3 , причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны
быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей.
15. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 72
см3 , причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны
61
быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей.
16. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 288
см3 , причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны
быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей.
17. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально
нулю, равно мерно возрастает, одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 1 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 4 Ом.
В какой момент времени ток в цепи наибольший.
18. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально
нулю, равно мерно возрастает, одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 2 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 2 Ом.
В какой момент времени ток в цепи наибольший.
19. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально
нулю, равно мерно возрастает, одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 9 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 1 Ом.
В какой момент времени ток в цепи наибольший.
20. Точки A и B с абсциссами 1 и -1 расположены на параболе y = x2 .
Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до
точек A и B была бы наименьшей.
1
21. Точки A и B с абсциссами 2 и -2 расположены на параболе y = x2 .
2
Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до
точек A и B была бы наименьшей.
1
22. Точки A и B с абсциссами 3 и -3 расположены на параболе y = x2 .
3
Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до
точек A и B была бы наименьшей.
23. В концах отрезка длины 2 находятся два источника света силы 1 и
8. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка.
24. В концах отрезка длины 3 находятся два источника света силы 1 и
27. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка.
25. В концах отрезка длины 1 находятся два источника света силы 8 и
27. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка.
26. Какой из цилиндров с данным объемом 6 имеет наименьшую полную
поверхность.
62
27. Какой из цилиндров с данным объемом 7 имеет наименьшую полную
поверхность.
28. Какой из цилиндров с данным объемом 8 имеет наименьшую полную
поверхность.
29. Какой из цилиндров с данным объемом 9 имеет наименьшую полную
поверхность.
30. Какой из цилиндров с данным объемом 10 имеет наименьшую полную поверхность.
Указания к некоторым задачам:
– Задачи 4, 5.
Масса капли в момент времени t может быть записана так:
m(t) = m0 − kt, где m0 – начальная масса.
– Задачи 7 – 10.
Уравнение искомой прямой удобно взять в виде уравнения прямой в
отрезках xa + yb = 1.
– Задачи 17 – 19.
Для решения задачи применяется закон Ома. Напряжение в любой момент времени t согласно условию задачи можно записать так: U (t) =
0 + kt, где k – коэффициент пропорциональности. Сопротивление в любой момент времени запишем так: R(t) = r0 + k1 t, где R0 – начальное
сопротивление, k1 – указанный коэффициент пропорциональности.
– Задачи 23 – 25.
Сила света в некоторой точке, удаленной от источника света обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника, т.е. rk2 , где r – расстояние от источника света.
Задача 5.6. Найти асимптоты кривой, заданной уравнением.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
17 − x4
1. y =
.
4x − 5
x3 − 4x
3. y = 2
.
3x − 4
4x3 + 3x2 − 8x − 2
5. y =
.
2 − 3x2
2x2 − 6
7. y =
.
x−2
x3 − 5x
9. y =
.
5 − 3x2
2 − x2
11. y = 2
.
9x − 4
3x2 − 7
13. y =
.
2x + 1
x2 + 1
2. y = 2
.
4x − 3
4x2 + 9
4. y =
.
4x + 8
x2 − 3x
6. y = 2
.
3x − 2
2x3 + 2x2 − 3x − 1
8. y =
.
2 − 4x2
x2 − 6x + 4
10. y =
.
3x − 2
4x3 − 3x
12. y =
.
4x2 − 1
x2 + 16
14. y = 2
.
9x − 8
63
15. y =
17. y =
19. y =
21. y =
23. y =
25. y =
27. y =
29. y =
x3 + 3x2 − 2x − 2
.
2 − 3x2
2x2 − 1
.
x2 − 2
x2 − 11
.
4x − 3
x3 − 2x2 − 3x + 2
.
1 − x2
x3 + x2 − 3x − 1
.
2x2 − 2
3x2 + 10
.
4x2 − 1
x2 − 6x + 3
.
x−3
x
.
2
x − 4x + 3
16. y =
18. y =
20. y =
22. y =
24. y =
26. y =
28. y =
30. y =
21 − x2
.
7x + 9
2x3 − 3x2 − 2x + 1
.
1 − 3x2
2x2 − 3
.
x2 − 1
x2 + 2x − 1
.
2x + 1
x2 + 5x + 9
.
x+4
3x
+ 3x.
x−1
x2
.
x2 − 4
x3
.
x2 − 9
Пример 5.6. Найти асимптоты кривой, заданной уравнением
x2
.
y=
x−1
Решение. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1, в которой она
x2
x2
терпит разрыв второго рода, причем lim x−1
= −∞, lim x−1
= +∞.
x→1−0
x→1+0
Отсюда следует, что прямая x = 1 – вертикальная асимптота и других
вертикальных асимптот нет.
Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим
f (x)
x
k = lim
= lim
= 1,
x→+∞ x
x→+∞ x − 1
откуда
2
1
x
b = lim (f (x) − kx) = lim
− x = lim
= 0.
x→+∞ x − 1
x→+∞
x→+∞ x − 1
Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота графика функции
при x → +∞. Аналогично получим,что эта прямая является наклонной
асимптотой и при x → −∞.
Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен
нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.
Задача 5.7. Провести полное исследование и построить график функции.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
64
x
.
1. y =
(x + 2)2
4x − 1
3. y = 1 +
.
x2
x
5. y =
.
(x − 2)2
4
.
7. y = x +
x+2
x2 − 3x + 2
9. y =
.
x2
x−2
11. y =
− 1.
(x + 3)2
x3
13. y =
.
2 − 3x
x2
.
15. y =
(x − 1)2
2 − 2x − x2
17. y =
.
x+3
x3 − 4
19. y =
.
x2
x3 + 4
21. y =
.
x2
x−1
.
23. y = 2
x − 2x
x2 − 4
25. y =
.
x3
2x4
27. y =
.
(x − 2)3
2x − 1
29. y =
.
(x − 1)2
2. y =
4. y =
6. y =
8. y =
x3
.
12(x − 2)
4x − 12
.
(x − 2)2
x − 0, 5
.
3x2 − 2
x3
.
2 − 3x
1
10. y = 2x − 1 +
.
x+2
x
12. y = 2
.
x −4
x2 + 16
14. y = 2
.
9x − 8
21 − x2
16. y =
.
7x + 9
x2 − 3x + 2
18. y =
.
(x + 1)2
x2
20. y =
.
(x − 1)2
x4
22. y =
.
(x + 1)3
x3
24. y =
.
x+1
x3
26. y =
.
2(x + 1)2
3 − x3
28. y =
.
x4
x2
30. y =
.
4 − x2
x3
Пример 5.7. Исследовать функцию y =
и построить ее гра4 − x2
фик.
Решение. Проведем полное исследование функции по следующей схеме:
1. Область определения.
Область определения D(f ) функции – вся числовая прямая за исключением точек x = −2 и x = 2, т.е.
D(f ) = (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
2. Четность и нечетность. Периодичность
Функция непериодическая; исследуем функцию на четность и нечет65
ность:
(−x)3
x3
f (−x) =
=−
= −f (x).
4 − (−x)2
4 − x2
Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только
при x ≥ 0.
3. Точки пересечения графика с осями координат.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
с осью Oy график пересекается при x = 0, откуда
y = f (0) = 0,
т.е. M (0, 0) – точка пересечения с осью Oy;
x3
= 0, откуда
4 − x2
x = 0. Таким образом, M (0, 0) – единственная точка пересечения графика с осями координат.
Находим интервалы знакопостоянства функции:
с осью Ox график пересекается, если f (x) = 0, т.е.
x3
> 0, x(4 − x2 ) > 0,
f (x) > 0,
2
4−x
и так как рассматривался только случай x ≥ 0, то получаем 0 < x < 2.
Аналогично f (x) < 0 при x > 2.
4. Асимптоты.
Так как,
x3
x3
=
+∞,
lim
= −∞,
x→2−0 4 − x2
x→2+0 4 − x2
lim
т.е. прямая x = 2 – вертикальная асимптота. Отсюда, в силу симметрии,
следует, что прямая x = −2 – также вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты:
f (x)
x3
x2
k = lim
= lim
= lim
= −1,
x→+∞ x
x→+∞ x(x2 − 4)
x→+∞ 4 − x2
b = lim (f (x) − kx) = lim
x→+∞
x→+∞
2x3
+
x
=
x2 − 4
4x
= 0,
x→+∞ 4 − x2
т.е. прямая y = −x – наклонная асимптота при x → +∞ (то же и при
x → −∞). Горизонтальных асимптот график не имеет.
5. Интервалы монотонности и экстремумы.
= lim
66
Найдем интервалы монотонности и экстремумы функций, исследуя
первую производную:
3 0
3x2 · (4 − x2 ) − x3 · (−2x) x2 (12 − x2 )
x
=
.
f 0 (x) =
=
4 − x2
(x2 − 4)2
(4 − x2 )2
Отсюда видно,
что при x√≤ 0 (рис. √
2) функция имеет максимум в точ√
ке x√= 2 3 (причем f (2√ 3) = −3 3 ≈ −5, 2), возрастает на (0; 2) и
(2; 2 3) и убывает на (2 3; ∞).
Рис. 2
6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.
Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:
8x(1 + x2 )
.
f (x) =
(4 − x2 )3
00
Отсюда ясно, что при x ≤ 0 функция выпукла вверх (т.е. f 00 < 0) на
(2; +∞) и выпукла вниз (f 00 > 0) на (0; 2).
7. График функции.
С учетом проведенного исследования и, помня, что кривая симметрична относительно начала координат, строим график функции (рис. 3).
Рис. 3
67
Задача 5.8.
По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
1.
2.
3.
68
4.
5.
6.
7.
69
8.
9.
10.
11.
70
12.
13.
14.
15.
71
16.
17.
18.
19.
72
20.
21.
22.
23.
73
24.
25.
26.
27.
74
28.
29.
30.
75
Часть VI. Неопределенный и определенный
интегралы
Задача 6.1. Вычислить неопределенный интеграл методом
непосредственного интегрирование.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
dx
x2 dx
√
1.
.
.
2.
x2 + 1
(3 − 5x)10
Z
Z
sin x2
xdx
dx.
4.
3.
.
cos2 x2
3 + 2x2
Z
Z
e2x dx
sin xdx
.
6.
5. √
.
2 + 5e2x
1 − 9 cos2 x
Z
Z
p
sin 2x
3
7.
dx.
8. cos x · sin2 x dx.
3 cos 2x − 7
Z
Z
dx
1 − (2 ln x)4
√
dx.
9.
.
10.
x · ln3 x
x2 + 1
Z
Z
dx
arcsin2 x dx
√
.
11.
.
12.
x (2 − 3 ln x)
1 − x2
Z
Z
dx
2
13.
.
14. x · e1−x dx.
2
cos x (2 − tg x)
√
Z
Z
cos x
√
15.
dx.
16. x2 sin 1 − x3 dx.
x
Z
Z
xdx
2x
2x
17. e cos e
dx.
18.
.
7 + x2
Z 2x
Z
e dx
dx
p
19.
.
20.
.
2
e4x + 5
x
5
+
ln
x
Z
Z
p
cos xdx
2
21.
.
22. x · 8 − x3 dx.
4 sin2 x + 1
Z
Z
x3 dx
cos x
√
23. √
.
24.
dx.
3
3 − 7 sin x
x4 − 1
Z √
Z √
1 + 3 ln x
3 + 5e−x
25.
dx.
26.
dx.
x
ex
Z 3 tg x
Z
6
dx
e3x dx
27.
.
.
28.
cos2 x
7 − 2e3x
Z 2−tg x
Z
e
dx
2−x2
29.
.
30.
x
·
3
dx.
cos2 x
76
Пример 6.1. Вычислить неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования.
Z
dx
;
a)
2x
+
5
√
Z
e x−3
√ dx;
б)
Z 3 x
x + sin (ln x)
в)
dx.
x
Решение. При нахождении данных интегралов будем пользоваться формулой
f 0 (u)du = d(f (u)).
Z
Z
1 d(2x + 5) 1
dx
=
= ln |2x + 5| + C.
a)
2x + 5 2
2x + 5
2
√
√
Z
Z √
Z
√
√
e x−3
e x−3
x−3
√
√
dx = 2
dx = 2 e
б)
d( x − 3) = 2e x−3 + C
x
2 x
Z 3
Z Z
Z
x + sin (ln x)
sin (ln x)
sin (ln x)
2
2
в)
dx =
x +
dx = x dx +
dx =
xZ
x
x
Z
x3
= x2 dx + sin (ln x)d(ln x) =
− cos(ln x) + C.
3
Задача 6.2. Вычислить неопределенный интеграл методом
интегрирования по частям.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
−3x
1. (4 − 3x) · e dx.
2. (3x + 4) · e3x dx.
Z
Z
3. (3 − 16x) · sin 4xdx.
4. (1 − 6x) · e2x dx.
Z
Z
5. (4x − 3) · cos 2xdx.
6. (5x − 2) · e3x dx.
Z
Z
2
7. ln x + 4 dx.
8. ln 4x2 + 1 dx.
Z
Z
9. (3 − 4x) · sin 2xdx.
10. (4x − 3) · e−2x dx.
Z
Z
−3x
11. (2 − 9x) · e dx.
12. (5x + 6) · cos 2xdx.
Z
Z
13. (2x − 5) · cos 4xdx.
14. (3x − 2) · cos 5xdx.
Z
Z
15. (4x + 7) · cos 3xdx.
16. (8 − 3x) · cos 5xdx.
Z
Z
17. (2 − 3x) · sin 2xdx.
18. (x + 5) · sin 3xdx.
77
Z
Z
(4x + 3) · sin 5x dx.
19.
Z
x
2 dx.
Z sin x
23. x2 · ln x dx.
Z
25. ln 2x2 − 3 dx.
Z
27. (2 + 3x) · e−2x dx
Z
x
29. (x + 3) · sin dx
2
21.
(1 − 8x) · sin 3x dx.
20.
Z
x
dx.
Z cos2 x
24. x · arctg x dx.
Z
ln x
26.
dx.
Z x2
x+4
28.
dx
Z e2x
22.
30.
x
(2x + 1) · cos dx
2
Пример 6.2. Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям
Z
(3x + 1)e2x dx.
Решение. Пусть u = 3x + 1, dv = e2x dx, тогда du = 3dx, v =
Z
e2x dx =
1 2x
e . По формуле интегрирования по частям
2
Z
Z
udv = uv − vdu,
находим
Z
Z
1
1
3
1 2x
(3x + 1)e2x dx = (3x + 1) · e2x −
e 3dx = (3x + 1) · e2x − e2x + C.
2
2
2
4
Задача 6.3. Вычислить неопределенный интеграл методом
замены переменных.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
x2 dx
dx
√
√
1.
.
2.
.
x
−
2
2
+
x
+
1
Z
Z
dx
x+2
√
√
3.
.
4.
dx.
Z x x+2
Z x x−1
dx
dx
√ .
√
5.
6.
.
3
+
x
x
(x
−
1)
Z √
Z
x
dx
√
7.
dx.
8.
.
3
Z x+2
Z2 + x − 1
xdx
x+1
√
√
9.
.
10.
dx.
3
3
x+2
Z2 + x − 1
Z
√
x−1
√
11. x · 4 − x.
12.
.
2x − 1
78
Z
13.
Z
15.
Z
17.
Z
19.
Z
21.
Z
23.
Z
25.
Z
27.
Z
29.
Z
1
√
dx.
3
x+1−1
x
√
dx.
3
x+1
dx
√
.
3+ x+2
dx
√
.
x· x−3
dx
√ .
4√
− x
x
dx.
x−5
xdx
√
.
2x − 1 + 2
√
x · 3 + xdx.
14.
Z
16.
Z
18.
Z
20.
Z
22.
Z
24.
Z
26.
Z
28.
Z
dx
√
.
3
2x + 1 + 2
30.
√
x
dx.
x+2
x+1
√
dx.
x· x−2
x2 dx
√
.
x+3
x−1
√
dx.
x· x+3
dx
√
.
x · (x + 4)
dx
√
.
3+ 3x+2
x−2
√
dx.
3
x+1
x+2
√
dx.
√2x − 3
xdx
√
.
x−4
√
Пример 6.3. Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной
Z
xdx
√
.
x+1
√
Решение. Положим x + 1 = t. Отсюда x = t2 − 1, dx = 2tdt. Следовательно,
Z 2
Z
Z
xdx
(t − 1)2tdt
t3
√
=
= 2 (t2 − 1)dt = 2 − 2t + C =
t
3
x+1
√
2p
=
(x + 1)3 − 2 x + 1 + C.
3
Задача 6.4. Вычислить неопределенный интеграл.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
x
1. sin3 dx.
2. sin2 x · cos3 xdx.
2
Z
Z
x
cos3 x
3
5 x
3. sin · cos dx.
4.
dx.
2
2
sin2 x
Z
Z
cos5 x2
5.
6. sin4 2xdx.
2 x dx.
sin 2
Z
Z
sin3 x
2
2
√
dx.
7. sin 3x · cos 3xdx.
8.
cos x
79
Z
9.
Z
2
tg 5xdx.
10.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
√
cos xdx.
Z
Z
11.
sin5 x ·
dx
4 x dx.
sin
Z
2
14. (1 + 2 sin x)3 dx.
Z
x
16. cos3 2xdx.
2
Z
dx
4 dx.
sin
x
Z
(1 + 3 cos 2x)2 dx.
Z
sin2 x · cos4 xdx.
Z
sin3 x · cos2 xdx.
Z
sin3 x
dx.
2
Z cos x
x
cos4 dx.
2
Z
cos3 x
√
dx.
sin x
Z
√
cos5 x · sin xdx.
Z
dx
dx.
4 x
cos
Z
2
(1 − 2 cos 2x)3 dx.
12.
cos3 2x · sin5 2xdx.
18.
sin5 2x
20.
dx.
2
Z cos5 2x
sin 2x
22.
dx.
2 2x
cos
Z
24. ctg2 3xdx.
Z
dx
26.
dx.
Z cos4 x
28. (1 + 2 sin 3x)2 dx.
Z
30. cos2 x · sin4 xdx.
Z
Пример 6.4. Вычислить неопределенный интеграл
Z
sin2 x · cos2 xdx.
Решение. Из формул тригонометрии следует, что
2
1
sin2 2x
2
2
2
sin x · cos x = (sin x · cos x) =
sin 2x =
.
2
4
Применив теперь формулу понижения степени, получаем
sin2 2x 1 1 − cos 4x 1
= ·
= (1 − cos 4x).
4
4
2
8
Итак,
Z
Z
Z
Z
1
1 1 − cos 4x
sin2 2x
2
2
2
sin x · cos xdx =
dx =
sin 2xdx =
dx =
4
4
4
2
Z
1
1
1
=
(1 − cos 4x)dx = x −
sin 4x + C.
8
8
32
80
Задача 6.5. Вычислить неопределенный интеграл с помощью тригонометрической подстановки.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
x2 dx
x2 dx
√
√
.
2.
.
1.
2
2
4
−
x
3
−
x
Z
Z
dx
dx
√
√
3.
.
4.
.
Z x2 · 1 + x2
Z x2 · 9 + x2
dx
dx
√
√
5.
.
6.
.
2·
2−2
2·
2−4
x
x
x
x
Z √
Z √
1 + x2
9 + x2
7.
dx.
8.
dx.
4
4
x
x
√
√
Z
Z
1 − x2
3 − x2
9.
dx.
10.
dx.
x2
Z x2
Z
dx
dx
p
p
11.
.
12.
.
2 )3
2 )3
(1
+
x
(3
+
x
Z p
Z p
(1 + x2 )3
(4 + x2 )3
dx.
14.
dx.
13.
x6
x6
Z
Z
dx
dx
√
√
15.
.
16.
.
Z x · p1 + x2
Z x · p2 + x2
17. x2 · 4 − x2 dx.
18. x2 · 5 − x2 dx.
Z
Z
x2 dx
dx
√
√
19.
.
20.
.
2
2·
2
9
−
x
x
4
+
x
Z √
Z
4 − x2
dx
√
.
22.
21.
dx.
4
2−3
x
x
·
x
Z √
Z
dx
5 − x2
p
dx.
24.
23.
.
2 )3
x2
(2
+
x
Z p
Z
(9 − x2 )3
dx
√
dx.
26.
25.
.
6
2
x
x
·
4
+
x
Z
Z
p
x2 dx
2
2
√
28.
.
27. x · 3 − x dx.
2 − x2
Z
Z
dx
dx
√
√
29.
.
30.
.
x · x2 − 5
x2 · 5 + x2
Пример 6.5. Вычислить неопределенный интеграл с помощью
тригонометрической подстановки
Z p
9 − x2 dx.
Решение. Положим x = 3 sin t, тогда dx = 3 cos tdt, и заданный интеграл
примет вид
81
Z p
Z p
Z p
2
2
9 − x dx =
9 − 9 sin t·3·cos tdt = 3· 1 − sin2 t·3·cos tdt =
Z
Z
9
9
9
1 + cos 2t
dt = t(1 + cos 2t)dt = t + sin 2t + C.
= 9 cos2 tdt = 9
2
2
2
4
Теперь вернемся
к
прежней
переменной
x
с
помощью
обратной
замены
x
t = arcsin 3 . Таким образом, получаем
x 9
9
9
9
x
t + sin 2t + C = arcsin
+ sin 2 arcsin
+ C.
2
4
2
3
4
3
Задача 6.6. Вычислить неопределенный интеграл.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
dx
dx
.
2.
.
1.
2
2
Z x + 4x + 5
Z x − 6x + 13
dx
dx
√
√
3.
.
4.
.
1 − 2x − x2
x2 + 2x + 3
Z
Z
dx
dx
√
√
.
.
6.
5.
2 − 2x + 5
2 + 3x + 3
x
x
Z
Z
dx
dx
√
√
7.
.
8.
.
x2 + 4x + 29
Z
Z 5 − 4x − x2
dx
dx
√
√
.
.
10.
9.
x2 − 6x + 13
Z x2 + 4x + 5
Z
dx
dx
11.
.
12.
.
2 + 2x + 3
2
x
1
−
2x
−
x
Z
Z
dx
dx
√
√
13.
.
14.
.
x2 − 2x + 5
x2 + 3x + 3
Z
Z
dx
dx
√
√
15.
.
16.
.
x2 − 2x + 5
x2 + 4x + 29
Z
Z
dx
dx
√
.
18.
.
17.
2 + 2x + 2
2 + 2x + 2
x
x
Z
Z
dx
dx
√
19.
.
20.
.
2 − 6x + 2
2 − 6x + 2
9x
9x
Z
Z
dx
dx
√
21.
.
22.
.
2
4x2 − 4x + 17
Z 4x − 4x + 17
Z
dx
dx
√
23.
.
24.
.
2
2 − 6x + 4
3
−
2x
−
x
x
Z
Z
dx
dx
√
25.
.
26.
.
2 + 6x + 2
2 + 6x + 2
9x
9x
Z
Z
dx
dx
√
27.
.
28.
.
2
4x2 + 4x + 17
Z
Z 4x + 4x − 17
dx
dx
√
29.
.
30.
.
2
x + 6x + 13
x2 + 6x + 13
82
Пример 6.6. Вычислить неопределенный интеграл
Z
dx
.
x2 + 6x + 10
Решение.
ВыделивZполный квадрат в знаменателе,
получим
Z
Z
dx
d(x + 3)
dx
=
=
= arctg(x + 3) + C.
2
2
x + 6x + 10
(x + 6x + 9) + 1
(x + 3)2 + 1
Задача 6.7. Вычислить неопределенный интеграл.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z
Z
x−4
3x2 + 2x − 3
1.
dx.
2.
dx.
(x − 2)(x − 3)
x3 − x
Z
Z
x+2
2x2 − 5x + 1
3.
dx.
4.
dx.
x3 − 2x2
x3 − 2x2 + 3
Z
Z
2x2 + x + 4
7x − 15
5.
dx.
6.
dx.
x3 + x2 + 4x + 4
x3 − 2x2 + 5x
Z
Z
3x2 + 2x + 1
dx
7.
dx.
8.
dx.
2
2
3
(x
+
1)
(x
+
1)
x
+
4x
Z
Z
2x − 1
5x − 14
9.
dx.
10.
dx.
2
3
2 − 4x + 4
x
−
3x
+
2
x
−
x
Z
Z
11x + 16
5x − 8
11.
dx.
12.
dx.
2
3
2 − 4x
(x
−
1)(x
+
2)
x
−
4x
Z
Z
3x + 4
dx
13.
dx.
14.
.
2
x(x
+
1)
(x
+
1)(x
+
2)(x
+
3)
Z
Z
dx
dx
15.
.
16.
.
2
3
2
x(x + 3)
x + x + 2x + 2
Z
Z
x2 − x + 14
2x2 + 5x + 5
17.
dx.
18.
dx.
(x − 4)2 (x − 2)
(x + 3)(x + 1)2
Z
Z
5x2 − 2x + 3
x2 − 4
19.
dx.
20.
dx.
2 (x − 1)
x(x
−
3)(2x
−
1)
(x
+
1)
Z
Z
7x + 1
x
21.
dx.
22.
dx.
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
(x + 1)(2x + 1)
Z
Z
2x2 + 41 − 91
x2 − 3x + 2
23.
dx.
24.
dx.
(x − 1)(x + 3)(x − 4)
x(x2 + 2x + 1)
Z
Z
dx
x2
25.
.
26.
dx.
4 − x2
4
x
1
−
x
Z
Z
x
dx
27.
dx.
28.
.
(x − 1)(x + 1)2
x3 + 4x2
Z
Z
x−1
x2 + 3x + 4
29.
dx.
30.
dx.
x2 + x3
(x − 1)(x + 1)2
83
Пример 6.7. Вычислить неопределенный интеграл
Z
x+1
dx.
(x − 1)(x2 + 1)
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей:
x+1
A
Bx + C
A(x2 + 1)(Bx + C)(x − 1)
=
+
=
.
(x − 1)(x2 + 1) x − 1
x2 + 1
(x − 1)(x2 + 1)
Отсюда следует,
x + 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 1) = Ax2 + A + Bx2 + Cx − Bx − C =
= x2 (A + B) + x(C − B) + (A − C).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
уравнений
A + B = 0,
C − B = 1, A − C = 1,
из которой найдем A = 1, C = 0, B = −1.
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:
1
−x
x+1
=
+
.
(x − 1)(x2 + 1) x − 1 x2 + 1
Таким образом,
Z
Z −x
x+1
1
dx =
+ 2
dx =
2 + 1)
(x
−
1)(x
x
−
1
x
+
1
Z
Z
Z
Z
1 d(x2 + 1)
1
x
1
=
dx −
dx =
dx −
=
x−1
x2 + 1
x−1
2
(x2 + 1)
= ln |x − 1| − 12 ln(x2 + 1) + C.
Задача 6.8. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Скорость движения пропорциональна квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 1 см/с Чему равен путь пройденный за первые 10
секунд.
2. Скорость движения пропорциональна квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 2 см/с. Чему равен путь пройденный за первые 8
секунд.
3. Известно,что сила противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 4 см,
произвели работу в 100 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины на 10 см.
4. Известно,что сила противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см,
84
произвели работу в 50 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины на 5 см.
5. Известно,что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на
2 см,нужно произвести работу в 20 Дж. Насколько можно растянуть
пружину, затратив работу в 80 Дж.
6. Известно,что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на
3 см,нужно произвести работу в 40 Дж. Насколько можно растянуть
пружину, затратив работу в 60 Дж.
7. Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в
конце пятой секунды равна 8 градусам с. На сколько градусов нагреется
тело от момента t0 = 3 с до момента t1 = 10 с.
8. Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в
конце третьей секунды равна 10 градусам с. На сколько градусов нагреется тело от момента t = 2 с до момента t = 4 с.
9. Скорость охлаждения тела пропорциональна и в конце третьей секунды равна 2 градусам с. На сколько градусов охладится тело от момента
t0 = 1 с до момента t1 = 3 с.
10. Скорость охлаждения тела пропорциональна и в конце второй секунды равна 3 градусам с. На сколько градусов охладится тело от момента
t0 = 1 с до момента t1 = 3 с.
πt
и в конце второй секунды
11. Переменный ток I пропорционален sin
4
равен 3 амперам. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 c до t2 = 3
с.
πt
12. Переменный ток I пропорционален sin
и в конце третьей секунды
6
равен 4 амперам. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 c до t2 = 2
с.
πt
и в конце первой секунды
13. Переменный ток I пропорционален sin
3
равен 2 амперам. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 0, 5 c до
t2 = 1, 5 с.
14. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении
10 минут напряжение на клеммах равномерно падает от E0 = 60 В до
E = 40 В. Сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти количество электричества, протекающее через цепь за 10 минут.
15. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении
5 минут напряжение на клеммах равномерно падает от E0 = 40 В до
E = 30 В. Сопротивление цепи R = 10 Ом. Найти количество электри85
чества, протекающее через цепь за 5 минут.
16. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении
10 минут напряжение на клеммах равномерно падает от E0 = 30 В до
E = 100 В. Сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти количество электричества, протекающее через цепь за 10 минут.
17. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на
1,5 B в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 120 B, сопротивление цепи R = 60 Ом. Найти работу тока за 5 минут. Индуктивностью
и емкостью пренебрегаем.
18. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на
2,5 B в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 60 B, сопротивление цепи R = 30 Ом. Найти работу тока за 10 минут. Индуктивностью
и емкостью пренебрегаем.
19. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на
2 B в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 90 B, сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти работу тока за 15 минут. Индуктивностью и
емкостью пренебрегаем.
20. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 120 В.
Сопротивление цепи равно 100 Ом. Найти работу тока в течении одной
минуты.
21. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 90 В.
Сопротивление цепи равно 80 Ом. Найти работу тока в течении одной
минуты.
22. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 80 В.
Сопротивление цепи равно 100 Ом. Найти работу тока в течении одной
минуты.
23. Вычислить работу,которую необходимо затратить для того, чтобы
выкачать воду наполняющую цилиндрический резервуар высотой h = 5
м, имеющий в основании круг радиуса r = 3 м. Ускорение свободного
падения g положить равным 10 м/с2 .
24. Вычислить работу,которую необходимо затратить для того, чтобы
выкачать воду наполняющую цилиндрический резервуар высотой h = 3
м,имеющий в основании круг радиуса r=2 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с2 .
25. Вычислить работу,которую необходимо затратить для того, чтобы
выкачать воду наполняющую цилиндрический резервуар высотой h=4
м,имеющий в основании круг радиуса r=3 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с2 .
26. Скорость движения пропорциональна четвертой степени времени и
86
в конце второй секунды равна 4 см/с. Чему равен путь пройденный за
первые три секунды.
27. Известно,что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3
см,произвели работу в 80 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины, на 5 см.
28. Скорость нагревания тела пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 10 градусам с. На сколько градусов
нагреется тело от момента t0 = 1 с до момента t1 = 3 с.
29. Скорость охлаждения тела пропорциональна e−2t и в конце четвертой секунды равна 3 градусам с. На сколько градусов охладится тело от
момента t0 = 2с до момента t1 = 4с.
πt
и в конце второй секун30. Переменный ток I пропорционален sin
3
ды равен 2 амперам. Какое количество электричества протечет через
поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 с до
t2 = 2 с.
Задача 6.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1
1. y = − x2 + x + 1, x − 2y + 2 = 0.
4
2
2. y = x + x, x − y + 1 = 0.
3
3. y = x2 − x + 1, x − 2y + 2 = 0.
4
1
2
4. y = − x2 + x + 1, x − 3y + 1 = 0.
3
3
1
4
5. y = − x2 + x + , 2x − 3y + 2 = 0.
3
3
1
3
6. y = x2 − x + 1, x − 2y − 1 = 0.
2
2
7. y = x2 + 5x + 6, 2x − y + 6 = 0.
1
7
8. y = − x2 + x − 1, x − 2y − 2 = 0.
6
6
3
7
9. y = x2 − x + 2, x − y − 1 = 0.
2
2
1
1
10. y = x2 + x − 2, 2x − y − 3 = 0.
2
2
1
3
11. y = − x2 − x + 1, 3x + 2y − 1 = 0.
2
2
3
3
12. y = − x2 − x + 2, 3x + 2y − 1 = 0.
2
2
87
1
3
13. y = − x2 + x + 1, 3x − 2y + 1 = 0.
2
2
3
3
14. y = x2 + x − 1, 3x − 2y + 1 = 0.
2
2
3
3
15. y = − x2 + x + 2,3x − 2y + 1 = 0.
2
2
1
3
16. y = x2 − x + 1, 3x + 2y − 3 = 0.
2
2
5
3
17. y = x2 − x − 1, 3x + 2y − 3 = 0.
2
2
3
1
18. y = − x2 − x + 2, 3x + 2y − 3 = 0.
2
2
7
3
19. y = x2 − x − 2, 3x + 2y − 3 = 0.
2
2
2
20. y = − x + 2x + 1, x − y − 1 = 0.
5
3
21. y = − x2 + x + 2, x − y − 1 = 0.
2
2
5
11
22. y = x2 − x + 1, 3x − 2y − 3 = 0.
6
2
1
3
23. y = − x2 − x + 1, 3x − 2y − 3 = 0.
2
2
7
13
24. y = x2 − x + 2, 4x − y − 5 = 0.
2
2
3
1
25. y = x2 − x − 2, 4x − y − 5 = 0.
2
2
1
1
26. y = x2 + x + 1, 2x − 3y + 5 = 0.
3
3
2
27. y = 2x2 − x − 1, 2x − 3y + 5 = 0.
3
2
4
28. y = − x2 − x + 3, 2x − 3y + 5 = 0.
3
3
1
1
29. y = x2 + x + 1, x − y + 2 = 0.
2
2
3
1
30. y = x2 − x − 1, x − y + 2 = 0.
2
2
Пример 6.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия2
ми y − x − 2 = 0, y = 2x − x2 + 6.
Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого реша-
88
ем систему уравнений:
y = x + 2,
2
y = 2x − x2 + 6.
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий, решаем
уравнение:
2
x + 2 = 2x − x2 + 6,
x2 − 2x − 8, x1 = −2, x2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(−2; 0), B(4; 6) (рис. 4). Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по формуле:
Zx2
Z4 x2
S = (f1 (x) − f2 (x))dx =
+ 6 − x − 2 dx =
2x −
2
−2
x1
Z4 =
x2
x−
+ 4 dx =
2
−2
=
x2 x3
−
+ 4x
2
6
4
=
−2
16 64
4 8
−
+ 16 − − + 8 = 18.
2
6
2 6
Рис. 4
Задача 6.10. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
89
Z∞
1.
Z∞
dx
.
x2 + 4x + 13
2.
e
1
Z∞
3.
Z∞
3
x2 e−x dx.
4.
1
Z∞
5.
7.
0
Z∞
9.
x+2
dx.
x2 + 2x + 2
0
Z∞
xdx
.
(x2 + 2)3
6.
dx
.
x(ln x)2
e
1
Z∞
dx
.
x2 (ln x)3
Z∞
−x2
dx.
xe
2
8.
5
√
3
0
Zπ
11.
13.
xdx
.
x2 + 1
10.
15.
tg xdx.
0
Z7
dx
.
1 + cos x
π
Z2
2
xe−x dx.
0
Z2
dx
.
(x + 3)4
0
dx
.
(x − 3)2
0
1
Z4
21.
dx
p
.
3
(x − 2)2
2
Z∞
xdx
.
x2 + 3
22.
25.
e
dx
.
x2 + 2x + 2
−∞
Z1
x sin xdx.
0
Z∞
dx
.
x2 − 4
20.
−∞
Z∞
23.
xdx
.
1 − x2
dx
√
.
x ln x
18.
Z10
Z0
√
16.
Ze
2
dx
.
1 − cos 2x
14.
0
19.
dx
.
7−x
−1
Z3
17.
√
3
12.
0
Z∞
π
Z2
π
2
Z∞
dx
.
x2 − 8x + 17
24.
x ln xdx.
0
1
Ze
dx
x(ln x)
3
2
.
26.
0
90
dx
.
x ln2 x
Z∞
27.
−∞
Z∞
29.
Z∞
xdx
√
.
4 − x2
28.
x cos xdx.
0
Z∞
dx
.
x2 − 4x + 5
30.
−∞
ln x
dx.
x
2
Пример 6.10. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
Z∞
xe−x dx.
0
Решение. Здесь подынтегральная функция xe−x непрерывна на всей оси
Ox. Поэтому, по определению
Z∞
xe−x dx = lim
Zb
b→∞
0
Zb
Вычислив интеграл
xe−x dx.
0
xe−x dx, найдем
0
Zb
xe−x dx = 1 −
1+b
.
eb
0
Следовательно,
Zb
lim
b→∞
1+b
xe dx = lim 1 − b
= 1.
b→∞
e
−x
0
Z∞
Таким образом, интеграл
xe−x dx сходится и равен единице.
0
91
Часть VII. Кратные интегралы
Задача 7.1. Найти массу, статические моменты относительно катетов, координаты центра масс и полярный момент инерции для треугольника, ограниченного прямыми x = 0, y = 0,
Ax + By + C = 0, если плотность задана функцией µ = µ(x, y).
Значения A, B, C и функция µ(x, y) указаны в таблице.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
B
1
2
−1
−2
2
1
1
1
1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
2
2
−2
−2
−2
−2
2
2
1
1
C µ(x, y)
−2
2x
−2
2y
2
3y
−2
2x
−2
2x
1
−x
1
−y
2
-3x
−2
2y
2
−x
2
y
2
−x
−3
x
−3
y
3
−x
3
y
−3
−y
−3
x
3
−x
3
−y
−6
3x
−6
2y
6
−x
6
y
−6
x
−6
−y
6
−x
6
−y
−4
x
−4
y
Пример 7.1. Дана пластинка в форме прямоугольного треугольника, ограниченного прямыми x = 0, y = 0, x − y + 1 = 0. Плот92
ность задана функцией µ = y. Требуется найти: массу пластинки, статические моменты относительно катетов, координаты
центра масс, полярный момент
RR инерции.
RR
Решение. 1) Находим массу m =
µ(x, y)dxdy =
ydxdy.
D
D
Рис. 5
Расставим пределы интегрирования (рис. 5):
0 ≤ y ≤ 1 + x,
−1 ≤ x ≤ 0.
Переходим от двойного интеграла к повторному:
Z0
ZZ
ydxdy =
Z1+x
dx
ydy.
−1
D
0
Вычислим внутренний интеграл:
2
Z1+x
y
ydx =
2
0
1+x
0
(1 + x)2
=
,
2
затем вычислим внешний интеграл:
Z0
2
(1 + x)
dx =
2
3
(1 + x)
6
−1
!
0
−1
1
= .
6
Итак, m = 61 .
RR
RR 2
2) Находим статические моменты Mox =
yµ (x, y) dxdy =
y dxdy.
D
93
D
Произведем вычисления:
ZZ
D
1+x
Z
y 2 dxdy =
Z1+x
dx
y 2 dy,
−1
2
y dy =
0
1+x
(1 + x)3
=
,
3
0
!0
4
1
(1 + x)
= .
12
12
3
y
3
0
Z0
Z0
(1 + x)3
dx =
3
−1
−1
ZZ
Moy =
xµ (x, y) dxdy =
D
Z1+x
ydy =
(1 + x)2
dx =
x
2
Z0
xydxdy =
D
1+x
2
y
2
0
0
Z0
Z0
ZZ
−1
Z1+x
xdx
ydy,
0
(1 + x)2
=
,
2
1
x + 2x2 + x3
dx = lef t(
2
2
x2 2x3 x4
+
+
2
3
4
−1
−1
0
=−
−1
1
.
24
3) Находим координаты центра масс:
1
1
Moy
1
1
Mox
xc =
= 24 = − ;
yc =
= 12 = .
1
1
m
4
m
2
6
6
4) Находим полярный момент инерции:
−
ZZ
Ioo =
µ (x, y) x2 + y
2
ZZ
dxdy =
D
D
Z0
=
−1
Z1+x
Z0
y x2 + y 2 dxdy =
Z1+x
dx
x2 y + y 3
dy,
0
1+x
4
2
y
y
x2 + 2x3 + x4 (1 + x)4
2
2
+
=
+
,
x y + y dy = x
2
4 0
2
4
0
!
!0
3
4
5
2
3
4
4
5
x +2x +x (1+x)
1 x x x
(1+x)
1
dx =
+
+
+ +
= .
2
4
2 3 2 5
20
15
3
−1
−1
94
Задача 7.2. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом (или параболоидом вращения), плоскостью
z = 0 и цилиндром, образующая которого параллельна оси Oz,
а направляющая лежит в плоскости xOy.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. z = 2x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 4x = 0.
2. z = x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 2y = 0.
3. z = 4x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 3y = 0.
4. z = 2x2 + 2y 2 , z = 0, x2 + y 2 = x.
5. z = 3x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 − y = 0.
6. z = x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 3x = 0.
7. z = 4x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 − y = 0.
8. z = 2x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 4x = 0.
9. z = 3x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 2x.
10. z = 4x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −3x.
11. z = 3x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 + x = 0.
12. z = 2x2 + 2y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −3y.
13. z = x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 4x = 0.
14. z = x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −3y.
15. z = 4x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 4y.
16. z = 3x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 4x.
17. z = 2x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 5y = 0.
18. z = x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −2x.
19. z = 4x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 4y = 0.
20. z = 5x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −2x.
21. z = 3x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 + x = 0.
22. z = 2x2 + 2y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −y.
23. z = x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 5x = 0.
24. z = 3x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 3x = 0.
25. z = 5x2 + 2y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 4x.
26. z = 5x2 + 3y 2 , z = 0, x2 + y 2 = x.
27. z = 5x2 + 4y 2 , z = 0, x2 + y 2 + 2x = 0.
28. z = 5x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 = −3y.
95
29. z = 3x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 5y.
30. z = 4x2 + 5y 2 , z = 0, x2 + y 2 − 2x = 0.
Пример 7.2. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом z = 2x2 + y 2 , плоскостью z = 0 и цилиндром
x2 + y 2 + 4y = 0.
Решение. Вычислим объем с помощью двойного интеграла
ZZ
V =
2x2 + y 2 dxdy.
D
Область интегрирования – круг x2 + y 2 + 4y ≤ 0. Для построения
области преобразуем уравнение окружности: x2 + y 2 + 4y + 4 = 4 =⇒
x2 + (y + 2)2 = 22 .
Рис. 6
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
x = ρ cos ϕ,
y = ρ sin ϕ,
|J| = ρ.
Уравнение окружности в полярных координатах примет вид:
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ + 4ρ sin ϕ = 0,
ρ = −4 sin ϕ.
Из чертежа следует расстановка пределов интегрирования:
0 ≤ ρ ≤ −4 sin ϕ,
π ≤ ϕ ≤ 2π.
96
Интеграл принимает вид:
ZZ
2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ ρdρdϕ =
V =
D∗
=
R2π
π
dϕ
−4Rsin ϕ
2
2
3
2 cos ϕ + sin ϕ ρ dρ =
R2π
2
1 + cos ϕ
π
0
−4Rsin ϕ
ρ3 dρ.
0
Вычисляем внутренний интеграл:
−4
Zsin ϕ
3
ρ dρ =
ρ4
4
−4 sin ϕ
= 64 sin4 ϕ.
0
0
Вычисляем внешний интеграл:
Z2π
64 1 + cos2 ϕ sin4 ϕdϕ.
π
Полученный интеграл легко вычислить, применяя формулы понижения
степени синуса и косинуса. Окончательно имеем: V = 28π.
97
Часть VIII. Функции нескольких переменных
Задача 8.1. Найти частные производные I и II порядка заданной функции z(x; y).
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
x2
1. z = sin xy + .
y
x2
2. z = 3 + cos(x − y).
8y
x2
3. z = e y + xy − y 2 .
x2
4. z =
+ ln(x + y).
1 + 2y
x
5. z = ln x − y 2 + .
y
6. z = x2 y + ln x + y 2 .
y
7. z = 2 + cos(x − y 2 ).
x
x3
8. z = cos (x + y) + 2 .
y
9. z = ey
2
+x
+ xy 3 + 9x.
x
10. z = ln (x + 9y) + .
y
11. z = sin(x3 + y 2 ) − x3 .
12. z = 8 ln(xy 2 ) + 10xy 2 .
2
13. z = 2e3x+y − 2x2 y 2 .
14. z = 8 cos(xy) − 12x4 y.
p
15. z = 3 x2 + y 2 − 5xy 3 .
p
16. z = xy + y 2 + ln(x + 2) − 4.
17. z = x sin(xy) + 8x2 y 2 − 7x.
18. z = ln(x2 + y 3 ) − 2x3 y + 2x.
p
19. z = x + 3y 2 + 3x4 y + 2y − 3.
2
20. z = 4ex−y − 3xy 3 + 2x + 1.
21. z = 8 ln(x2 + 2y) − 4x2 y 3 + 8x − 1.
x
22. z = + x sin(y − 3) − 5.
y
98
5x − y
+ ln2 x + 9.
x
p
24. z = arcsin 2 + y + xy 2 − 4x.
p
25. z = y + x2 + cos(x + y) + 5.
23. z =
26. z = exy−1 + x5 y 3 + 2x − 4y.
√
27. z = tg x − 1 + (xy)2 + 3x − 6.
ln x
√
28. z = xy +
+ 1.
y
29. z = x2 + y 3 + arcctg(xy − 1) − 3.
p
30. z = xy + 2 + y ln x + 15.
Пример 8.1. Найти частные производные I и II порядка функции
z = ex
2
+y 2
.
Решение. Рассматривая y как фиксированную величину, находим частную производную первого порядка по x:
∂z
2
2
2
2
= zx0 = ex +y (x2 + y 2 )0x = 2xex +y .
∂x
Рассматривая x как фиксированную величину, находим частную производную первого порядка по y:
∂z
2
2
2
2
= zy0 = ex +y (x2 + y 2 )0y = 2yex +y .
∂y
∂z
= zx0 и рассматривая y как фиксированную
Дифференцируя повторно ∂x
величину, находим частную производную второго порядка по x:
∂ 2z
x2 +y 2
x2 +y 2 2
00
0 x2 +y 2
x2 +y 2 0
+
2xe
(x + y 2 )0x =
=
z
=
2x
e
+
2x(e
)
=
2e
x
xx
x
2
∂x
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2ex +y + 2xex +y 2x = 2ex +y + 4x2 ex +y .
∂z
Дифференцируя повторно ∂y
= zy0 и рассматривая x как фиксированную
величину, находим частную производную второго порядка по y:
∂ 2z
00
0 x2 +y 2
x2 +y 2 0
x2 +y 2
x2 +y 2 2
=
z
=
2y
e
+
2y(e
)
=
2e
+
2ye
(x + y 2 )0y =
yy
y
y
2
∂y
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2ex +y + 2yex +y 2y = 2ex +y + 4y 2 ex +y .
Чтобы получить "смешанные" производные, необходимо найти вторую
99
производную от
∂z
∂x
= zx0 , рассматривая x как фиксированную величину:
∂ 2z
2
2
2
2
2
2
00
= zxy
= 2x0y ex +y + 2x(ex +y )0y = 0 + 2xex +y (x2 + y 2 )0y =
∂y∂x
2
2
2
2
= 2xex +y 2y = 4xyex +y
Чтобы найти вторую производную от
сированную величину:
∂z
∂y
= zx0 , рассматривая x как фик-
∂ 2z
2
2
2
2
2
2
2
2
00
= zyx
= 2yy0 ex +y + 2y(ex +y )0y = 2ex +y + 2yex +y (x2 + y 2 )0y =
∂x∂y
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2ex +y + 2yex +y 2y = 2ex +y + 4y 2 ex +y .
Задача 8.2. Используя понятие дифференциала найти приближенное значение z(x; y) в точке заданной точке M0 (x0 ; y0 ).
Данныек условию
задачи, соответствующие вариантам:
x
, M0 (1, 02; 0, 95) .
1. z = arctg
y
2. z = xy , M0 (1, 02; 4, 05).
3.z = ln(x3 + y 3 ), M0 (0, 09; 0, 99).
p
4. z = 3 x2 + y 2 , M0 (1, 02; 0, 05).
p
5. z = 5ex + y 2 , M0 (0, 02; 2, 03).
√
6. z = xy + ln x, M0 (1, 04; 1, 99).
√
7. z = ln( x + y), M0 (0, 96; 0, 05).
8. z = xy , M0 (0, 97; 2, 02).
p
9. z = x2 + y 2 , M0 (4, 05; 2, 93).
x
10. z = arctg
− 1 , M0 (1, 97; 1, 02).
y
x
11. z = arctg( − 1), M0 (1, 97; 1, 02).
y
12. z = x3 y 3 , M0 (2, 02; 1, 99).
r
x
13. z =
+ ln 1, 04, M0 (1, 04; 1, 99).
y
14. z = x3 y 3 , M0 (1, 02; 0, 97).
√
15. z = x2 + y 2 , M0 (4, 05; 2, 93).
√
16. z = y x2 − 5, M0 (3, 1; 0, 5).
17. z = ln x3 + y, M0 (1, 05; 0, 02).
100
√
18. z = x2 6 + y, M0 (1, 01; 3, 02).
19. z = ex
2−y
, M0 (2, 1; 1, 6).
20. z = y 2 + x3 , M0 (2, 07; 1, 05).
21. z = x arccos y, M0 (2, 2; 1, 5).
22. z = y ln x − 1, M0 (2, 1; 0, 5).
23. z = yx − y 2 , M0 (5, 21; 1, 15).
p
24. z = x2 − y, M0 (4, 1; 0, 2)
√
y
25. z =
, M0 (4, 1; 5, 8).
x
2
2
26. z = 22x +y , M0 (1, 02; 2, 03).
27. z = x3 y 3 , M0 (2, 02; 1, 97).
28. z = x2 y 2 , M0 (5, 04; 2, 99).
p
29. z = x2 + y 2 , M0 (1, 98; 1, 01).
30. z = x3 y 2 , M0 (1, 02; 5, 98).
Пример 8.2. Используя понятие дифференциала найти приближенное значение z = arctg xy в точке заданной точке M0 (2, 12; 1, 96).
Решение. Используя формулу
f (x0 ; y0 ) ≈ f (x1 ; y1 ) + fx0 (x1 ; y1 )∆x + fy0 (x1 ; y1 )∆y,
найдем приближенное значение z(M0 ) = arctg
2, 12
x0
= arctg
, следуюy0
1, 96
щим образом:
1) подберем значения x1 и y1 , мало отличающиеся от 2,12 и 1,96, при
которых значение xy легко подсчитать:
x0 = x1 + ∆x,
y0 = y1 + ∆y,
x1 = 2, y1 = 2,
arctg 1 = π4 .
2) находим приращение аргумента ∆x и ∆y:
∆x = 2, 12 − 2 = 0, 12,
∆y = 1, 96 − 2 = −0, 04.
101
3) находим zx0 (2; 2), zy0 (2; 2) для z = arctg xy :
0
x
1
y x
y
y
,
zx0 =
2 = 2
2 = 2
x + y2
x +y
x
1+
y2
y
2
zx0 (2, 2) = = 0, 25,
8
0
x
x
−
y y
x
y2
zy0 =
,
2 = 2
2 =− 2
x + y2
x +y
x
1+
y2
y
zy0 (2, 2) = −0, 25.
4) найденные значения подставляем в формулу:
2, 12
x0
= arctg
≈ arctg 1 + 0, 25 · 0, 12+
y0
1, 96
π
+(−0, 25) · (−0, 04) = + 0, 03 + 0, 01 ≈ 0.82.
4
Задача 8.3. Найти локальный экстремум функции z(x, y).
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y − 2.
2. z = 2x2 − xy + y 2 − 3x − y + 1.
3. z = 3x2 − 2xy + y 2 − 2x − 2y + 3.
4. z = 2x2 + xy − y 2 − 7x + 5y + 2.
5. z = x2 − 3xy − y 2 − 2x + 6y + 1.
6. z = 3x2 + xy − 6y 2 − 6x − y + 9.
7. z = x2 − 3xy + 2y 2 − 4x + 6y − 2.
8. z = 4x2 − 2xy + y 2 − 2x − 4y + 1.
9. z = 0, 5x2 + xy + y 2 − x − 2y + 8.
10. z = 8x2 − xy + 2y 2 − 16x + y − 1.
11. z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y − 6.
12. z = x3 + y 3 − 15xy.
13. z = 3 + 6x − x2 − xy − y 2 .
14. z = x2 + xy + y 2 − 2x − y − 2.
15. z = 2x2 − xy + 0, 5y 2 − x − 2y + 8.
16. z = 2x2 + 3y 2 − 2xy + 2x − 16y + 3.
17. z = −2x2 − y 2 + 6xy − 2x + 7y + 6.
z(M0 ) = arctg
102
18. z = 2x2 − y 2 + 3xy − 2x + 7y + 6.
19. z = −3x2 − 2y 2 + 10xy − 26x + 18y − 1.
20. z = 3x2 + 2y 2 − 2xy + 18x + 8y − 1.
21. z = 3 − 3x2 + 5y 2 − 8xy + 4x + 26y.
22. z = 2x2 − 3y 2 − 2xy + 8x + 10y − 6.
23. z = 5x2 − 3y 2 + 2xy − 18x − 10y + 4.
24. z = 5 − 7x2 − 5y 2 + 2xy − 34x + 34y.
25. z = 2x2 − 3y 2 + 2xy − 10x + 16y − 7.
26. z = −6x2 − y 2 − 2xy + 8x + 12y = 9.
27. z = x2 + y 2 − xy + 3x − 2y + 5.
28. z = −x2 + y 2 − xy + 9x + 6y − 20.
29. z = 2x2 − 2y 2 = 4xy + 30.
30. z = −3x2 − 4y 2 + x − y + 14.
Пример 8.3. Найти локальный экстремум функции
z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
Решение. Находим частные производные первого порядка
∂z
= zx0 = 2x + y − 3,
∂x
∂z
= zy0 = x + 2y − 6.
∂y
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
2x + y − 3 = 0,
x + 2y − 6 = 0,
откуда x = 0, y = 3. Получили точку M (0, 3).
Находим значения частных производных второго порядка в точке M :
∂ 2z
00
(M ) = 2,
A = 2 (M ) = zxx
∂x
∂ 2z
00
C = 2 (M ) = zyy
(M ) = 2,
∂y
∂ 2z
00
B=
(M ) = zxy
(M ) = 1.
∂x∂y
Так как ∆ = AC − B 2 = 2 · 2 − 1 = 3 > 0 и A > 0, то в силу достаточного
условия экстремума, в точке M (0, 3) заданная функция имеет минимум.
Значение функции в этой точке zmin = −9.
103
Задача 8.4. Найти наименьшее и наибольшее значение функции z(x, y) в области D, ограниченной прямыми.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. z = x2 + 2xy − y 2 − 4x, x = 3, y = 0, y = x + 1.
2. z = x2 − 2y 2 + 4xy − 6y + 5, x = 0, y = 0, x + y = 3.
3. z = x2 y(4 − x − y), x = 0, y = 0, x + y = 6.
4. z = 3x + y − xy, y = x, y = 4, x = 0.
5. z = xy − x − 2y, x = 3, y = 0, y = x.
6. z = x2 + 2xy − 4x + 8y, x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
7. z = 5x2 − 3xy + y 2 , x = 0, x − 1, y = 0, y = 1.
8. z = x2 + 2xy − y 2 − 4x, x = 3, y = 0, x − y + 1 = 0.
9. z = x2 + y 2 − 2x − 2y + 8, x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0.
10. z = 2x3 − xy 2 + y 2 , x = 1, y = 0, y = 6.
11. z = 3x + 6y − x2 − xy − y 2 , x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
12. z = x2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1, x = 0, x = 1, y = 0, x + y − 3 = 0.
13. z = x2 + 2xy − 10, y = 0, y = x2 − 4.
14. z = xy − 2x − y, x = 0, x = 3, y = 0, y = 4.
1
15. z = x2 − xy, y = 8, y = 2x2 .
2
16. z = 3x2 + 3y 2 − 2x − 2y + 2, x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0.
r
9
17. z = 2x2 + 3y 2 + 1, y = 9 − x2 .
4
2
2
18. z = x − 2xy − y + 4x + 1, x = −3, y = 0, x + y + 1 = 0.
19. z = 3x2 + 3y 2 − x − y + 1, x = 5, y = 0, x − y − 1 = 0.
1
20. z = 2x2 + 2xy − y 2 − 4x, x = 0, y = 2, y = 2x.
2
5
21. z = x2 − 2xy + y 2 − 2x, x = 0, x = 2, y = 0, y = 2.
2
22. z = xy − 3x − 2y, x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.
23. z = x2 + xy − 2, y = 4x2 − 4, y = 0.
24. z = x2 y(4 − x − y), x = 0, y = 6 − x.
25. z 3 + y 3 − 3xy, x = 0, x = 2, y = −1, y = 2.
26. z = 4(x − y) − x2 − y 2 , x + 2y = 4, x − 2y = 4, x = 0.
27. z = x2 + 2xy − y 2 − 4x, x = 3, y = 0, y = x + 1.
28. z = 6xy − 9x2 − 9y 2 + 4x + 4y, x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
29. z = x2 + 2xy − y 2 − 2x + 2y, x = 2, y = 0, y = x + 2.
√
30. z = 4 − 2x2 − y 2 , y = 0, y = 1 − x2 .
104
Пример 8.4. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
z = x2 + y 2 − xy + x + y в области D, ограниченной прямыми
x = 0, y = 0, x + y = −3.
Решение. Указанная область представляет собой треугольник (рис. 7).
Рис. 7
1. Найдем стационарные точки:
0
zx ≡ 2x − y + 1 = 0,
zy0 ≡ 2y − x + 1 = 0,
отсюда x = −1; y = −1 получаем точку M (−1; −1), принадлежащую
области. Достигается в точке M значение функции z(M ) = −1.
2. Исследуем функцию на границах области.
При x = 0 имеем z = y 2 + y; задача сводиться к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке
[−3, 0]. Проведя исследование, найдем, что zнаиб |x=0 = 6 достигается в
1
1
точке (−3; 0); zнаим |x=0 = − достигается в точке (0; − ).
4
2
При y = 0 получаем z = x2 + x. Аналогично найдем, что zнаиб |y=0 = 6
1
1
достигается в точке (−3; 0); zнаим |y=0 = − достигается в точке (− ; 0).
4
2
При x + y = −3 или y = −3 − x будем иметь z = 3x2 + 9x + 6. Ана3
логичным образом найдем, что zнаим |x+y=−3 = − достигается в точке
4
3 3
(− ; − ); zнаиб |x+y=−3 = 6 совпадает с zнаиб |x=0 и zнаиб |y=0 .
2 2
3. Сопоставляя все полученные значения функции z, делаем вывод, что
zнаиб = 6 в точках (0; −3) и (−3; 0); zнаим = −1 в стационарной точке .
105
Часть IX. Дифференциальные уравнения
Задача 9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. 4x dx − 3y dy = 3x2 y dy − 2xy 2 dx.
p
√
2. x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0.
p
3. 4 + y 2 dx − ydy = x2 y dy.
4. 6x dx − 6y dy = 2x2 ydy − 3xy 2 dx.
5. ey (1 + x2 )y 0 − 2x(1 + ey ) = 0.
p
√
6. x 3 + y 2 dx + y 2 + x2 dy = 0.
7. (e2x + 5) dy + ye2x dx = 0.
s
1 − x2
0
8. y y
+ 1 = 0.
1 − y2
9. 6x dx − 6y dy = 3x2 y dy − 2xy 2 dx.
p
√
10. x 3 + y 2 dx + y 4 + x2 dy = 0.
11. y(4 + ex ) dy − ex dx = 0.
√
12. 4 − x2 y 0 + xy 2 + x = 0.
p
√
13. 3 + y 2 + 1 − x2 yy 0 = 0.
14. x dx − y dy = yx2 dy − xy 2 dx.
15. 2x dx − 2y dy − x2 y dy + 2xy 2 dx = 0.
p
√
16. x 4 + y 2 dx + y 1 + x2 dy = 0.
17. (ex + 8) dy − yex dx = 0.
p
√
18. 5 + y 2 + y 0 y 1 − x2 = 0.
19. (1 + ex )yy 0 = ex .
20. y ln y + xy 0 = 0.
21. (1 + ex )y 0 = yex .
√
22. 1 − x2 y 0 + xy 2 + x = 0.
23. 6x dx − 2y dy = 2yx2 dy − 3xy 2 dx.
24. y(1 + ln y) + xy 0 = 0.
25. (3 + ex )yy 0 = ex .
y−1
26. y 0 =
.
x+1
27. y 0 = ex−y .
√
y
28. y 0 =
.
xp
29. y 0 = x 1 + y 2 .
106
p
30. 2x 1 − y 2 dx + y dy = 0.
Пример 9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
tg x sin2 y dx + cos2 x ctg y dy = 0.
Решение. Одно из слагаемых перенесем в правую часть и разделим переменные, т.е. множители с x должны быть с dx, а множители с y с dy. Для
этого делим обе части уравнения на произведение cos2 x sin2 y. Получим
ctg y
tg x
dx
=
−
dy.
cos2 x
sin2 y
Дифференциалы равны – равны и интегралы (вернее, отличаются
постоянным слагаемым).
Z
Z
ctg y
tg x
dx
=
−
dy,
cos2 x
sin2 y
Z
Z
tg x d(tg x) =
ctg x d(ctg x),
tg2 x ctg2 x
=
+ C,
2
2
tg2 x = ctg2 x + C,
где C – постоянная интегрирования.
Задача 9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
y2
y
3y 3 + 2yx2
0
0
1. y = 2 + 4 + 2.
.
2. xy =
x
x
3y 2 + x2
p
x+y
0
0
3. y =
.
4. xy = x2 + y 2 + y.
x−y
y2
y
3y 3 + 4yx2
0
0
5. 2y = 2 + 6 + 3.
6. xy =
.
x
x
3y 2 + 2x2
p
x + 2y
7. y 0 =
.
8. xy 0 = 2 x2 + 2y 2 + y.
2x − y
2xy
y2
.
10. y 0 = 2
.
9. y 0 = 2
x + xy
2x − y 2
y
11. xy 0 − y = x tg .
12. (x2 + y 2 )dx + 2xydy = 0.
x
x
+
3y
13. y 0 =
.
14. (x2 + y 2 )dx − xydy = 0.
3x + y
x + 3y
x+y
15. y 0 =
.
16. y 0 =
.
2x
x − 2y
y
17. y 0 =
.
18. xdy − ydx = ydy.
x+y
107
19.
21.
23.
25.
27.
dx
dy
=
.
x+y
y−x
2x + 3y
.
y0 =
x
(x + 2y)dx − xdy = 0.
p
y
+
y 2 − 4x2
0
y =
.
x
p
0
xy = 2 3x2 + y 2 + y.
2y
.
2x + y
p
22. (y + x2 + y 2 )dx − xdy = 0.
20. y 0 =
24. xdy − (x + y)dx = 0.
y2
y
26. 4y = 2 + 10 + 5.
x
x
2
x
+
xy
−
3y 2
0
28. y =
.
x2 − 3xy
y2
y
0
30. y = 2 + 8 + 12.
x
x
0
3y 3 + 10yx2
29. xy =
.
3y 2 + 5x2
0
Пример 9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y
y
y0 = e x + .
x
y
Решение. Введем новую функцию u = , тогда y = ux, а y 0 = u0 x + u.
x
Уравнение примет вид:
u0 x + u = eu + u,
u0 x = eu ,
du
x = eu ,
dx
du dx
=
,
eu
x
dx
e−u du =
,
Z
Zx
dx
e−u du =
,
x
−e−u = ln |x| − ln c,
c
e−u = ln
,
x
c
u = − ln ln
.
x
Возвращаемся к исходной переменной и получим:
y
c
c
= − ln ln
⇒ y = −x ln ln
.
x
x
x
Задача 9.3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
π y
0
2
0
1. y − = x , y(1) = 0.
2. y − yctgx = 2x sin x, y
= 0.
x
2
108
1
3. y + y cos x = sin 2x, y(0) = 0.
2
y
3
0
2
5. y −
= x +2x, y(−1) = .
x+2
2
π y
0
7. y − = x sin x, y
= 1.
x
2
y
9. y 0 +
= x2 , y(1) = 1.
2x
2x − 5
11. y 0 −
· y = 5, y(5) = 25.
x2
ln x
y
13. y 0 − = −2 2 , y(1) = 1.
x
x
2y
5
15. y 0 +
= x3 , y(1) = − .
x
6
2xy
0
2
17. y −
= 1 + x , y(1) = 2.
1 + x2
3y
2
19. y 0 +
= 3 , y(1) = 1.
x
x
√
x
xy
1
=
,
y(
.
21. y 0 +
2)
=
2(1−x2 ) 2
3
2y
23. y 0−
= ex (x+1)2 , y(0) = 1.
x+1
2y
1
0
25. y −
= (x+1)3 , y(0) = .
x+1
2
27. y 0 − 4x3 y = −4x3 , y(0) = 1.
0
1
4. y + ytgx = cos x, y
= .
4
2
y
0
x
6. y −
= e (x + 1), y(0) = 1.
x+1
y
8. y 0 + = sin x, y(π) = 1.
x
2xy
2x2
2
0
10. y +
=
,
y(0)
=
.
1 + x2
1 + x2
3
y
x+1 x
12. y 0 + =
· e , y(1) = e.
x
x
y
8
14. y 0 − = − 2 , y(1) = 4.
x
x
y
16. y 0 + = 3x, y(1) = 1.
x
1 − 2x
0
18. y +
· y = 1, y(1) = 1.
x2
2
20. y 0 + 2xy = −2x3 e−x , y(0) = 1.
0
π 2
22. y 0 + xy = x, y(0) = 3.
2
24. y 0 + 2xy = xe−x sin x, y(0) = 1.
x2
26. y 0 − xy = (1 + x)e 2 , y(0) = 1.
3y
ln x
1
28. 3y 0 +
=−
, y(1) = .
x
x
3
1
2
29. y 0 + 2xy = 2xe−2x , y(0) = −1. 30. y 0 x + 5y = 4x − 5, y(1) = − .
3
Пример 9.3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию
y 0 − tg xy = cos x,
y(0) = 1.
Решение. Для нахождения решения линейного уравнения можно применять два метода (которые конечно эквивалентны): метод Бернулли и
метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Продемонстрируем
оба метода при решении данного примера.
Метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций
y = uv, тогда y 0 = u0 v + uv 0 .
Уравнение примет вид:
u0 v + uv 0 − tg xuv = cos x,
u0 v + u(v 0 − tg xv) = cos x.
109
Найдем неизвестные функции v, так чтобы
v 0 − tg xv = 0,
dv
= tg xv,
dx
dv
= tg x dx,
Z v
Z
dv
= tg x dx,
v
ln |v| = − ln | cos x|.
(в промежуточных вычислениях полагаем постоянную интегрирования
равной нулю, и даже если бы мы ее написали, в конечном итоге она вошла
бы в окончательную постоянную интегрирования). Последнее равенство
примет вид v = cos1 x . Подставим это значение в уравнение для u.
u0 cos1 x + u · 0 = cos x,
u0 = cos2 x,
Z
Z
1 + cos 2x
1
1
2
u = cos xdx =
x + sin 2x + c .
dx =
2
2
2
Общее решение примет вид:
1
1
1
x + sin 2x + c
.
y = uv =
2
4
cos x
Для нахождения частного решения используем начальное условие. Получим:
1
1
1 = 0 + sin 0 + c
⇒ c = 1.
4
cos 0
Частное решение имеет вид:
1
1
1
y=
x + sin 2x + 1
.
2
4
cos x
Метод Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
y 0 − tgxy = 0.
Решая его, получим y = cosc x .
Считая c функцией x, дифференцируя, находим:
y0 =
1
dc
sin x
·
+
· c.
cos x dx cos2 x
110
Подставляя y и y 0 в исходное уравнение, получим:
1
dc
sin x
c
·
+
·
c
−
tgx
·
= cos x,
cos x dx cos2 x
cos x
dc
sin x
sin x
c
1
·
+
·
c
−
·
= cos x.
cos x dx cos2 x
cos x cos x
dc
Откуда dx
= cos2 x.
Находим c :
Z
1
1
c(x) = cos2 xdx = x + sin 2x + c1 .
2
4
Следовательно, общее решение имеет вид:
1
1
1
y=
x + sin 2x + c1 ·
.
2
4
cos x
Задача 9.4. Дано дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанному начальному условию.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. (y + 1)2 y 00 = (y 0 )3 , y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
2. xy 00 − y 0 = x2 , y(1) = 34 , y 0 (1) = 3.
√
3. y 00 = 3 y + 1, y(2) = 0, y 0 (2) = 2.
4. y 00 − y 0 ctgx = sin x, y( π2 ) = 1, y 0 ( π2 ) = π2 .
5. 2yy 00 = 3 + (y 0 )2 , y(1) = 1, y 0 (1) = 1.
p
6. (1 + x2 )3 y 00 = x, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
7. (y − 2)y 00 = 2(y 0 )2 , y(0) = 3, y 0 (0) = 1.
8. xy 00 − 2y 0 = 2x4 , y(1) = 0, 2, y 0 (1) = 1.
9. 2y 00 = e4y , y(0) = 0, y 0 (0) = 0, 5.
10. xy 00 = 1 + ln x, y(1) = 0, y 0 (1) = 0.
11. y 00 − 12y 2 = 0, y(0) = 0, 5, y 0 (0) = 1.
12. y 00 + y 0 tgx = cos x, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
13. y 3 y 00 = −3, y(1) = 1, y 0 (1) = 1.
p
14. (1 − 4x2 )3 y 00 = x, y(0) = 0, y 0 (0) = 0, 25.
15. yy 00 = (y 0 )2 , y(0) = 1, y 0 (0) = 3.
111
16. xy 00 + y 0 = 4x3 , y(1) = 0, 25, y 0 (1) = 2.
17. y 0 y 00 = 2y, y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
18. xy 00 − y 0 = x2 cos x, y( π2 ) = 1, y 0 ( π2 ) = π2 .
19. y 00 = y 0 ey , y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
20. x3 y 00 = 4 ln x, y(1) = 4, y 0 (1) = −1.
21. x2 y 00 − ln x = 0, y(1) = 3, y 0 (1) = 1.
22. xy 00 + y 0 + x = 0, y(1) = 43 , y 0 (1) = 12 .
23. y 00 + y 0 tgx = sin 2x, y(0) = 0, y 0 (0) = −2.
24. x3 y 00 + x2 y 0 − 1 = 0, y(1) = 2, y 0 (1) = 1.
25. y 2 y 00 = (y 0 )3 , y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
26. y 00 = e2y , y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
27. xy 00 − y 0 = x2 ex , y(1) = 0, y 0 (1) = e.
28. (y − 1)y 00 = 2(y 0 )2 , y(0) = 2, y 0 (0) = 3.
29. 2yy 00 = (y 0 )2 + 1, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
30. y 3 y 00 = −4, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
Пример 9.4. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение,
удовлетворяющее указанному начальному условию:
a)y 00 (x2 + 1) = 2xy 0 , y(0) = 1, y 0 (0) = 3;
б)2(y 0 )2 = (y − 1)y 00 , y(0) = 2, y 0 (0) = e2 .
Решение. а) Положим y 0 = p, тогда y 00 = p0 . Уравнение примет вид:
p0 (x2 + 1) = 2xp.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:
dp 2
(x + 1) = 2xp,
dx
dp
2xdx
= 2
.
p
x +1
Переменные разделены, интегрируем:
Z
Z
dp
2xdx
=
,
p
x2 + 1
ln |p| = ln |x2 + 1| + ln c1 ,
p = c1 (x2 + 1).
112
Воспользуемся начальным условием и определим c1 .
По условию y 0 (0) = 3, т.е. p(0) = 3. Имеем: 3 = c1 (0 + 1) ⇒ c1 = 3.
Уравнение примет вид: y 0 = 3(x2 + 1). Интегрируем уравнение:
3
x
y=3
+ x + c2 .
3
Снова обращаемся к начальному условию 1 = 3(0 + 0) + c2 ⇒ c2 = 1.
Частное решение имеет вид:
y = x3 + x + 1.
dp
. Уравнение примет вид:
б) Положим y 0 = p, тогда y 00 = p dy
dp
dp
2p = (y − 1)p ⇒ p 2p − (y − 1)
= 0.
dy
dy
2
dy
= 0 ⇒ y = c. Легко видеть,
Первый множитель равен нулю: p = 0 ⇒ dx
что это решение уравнения (его называют простейшим или тривиальным
решением, не удовлетворяющее начальным условиям). Найдем решение,
удовлетворяющее начальным условиям. Приравняем к нулю выражение
в скобках.
dp
2p − (y − 1)
= 0,
dx
dp
dy
=
,
Z 2p Zy − 1
dy
dp
=
,
2p
y−1
1
ln |p| = ln |y − 1| + ln c1 .
2
Для определения постоянной интегрирования воспользуемся начальным
условием: y(0) = p(0) = e2 . Отсюда
1
ln e2 = ln (2 − 1) + ln c1 ,
2
1 = 0 + ln c1 ,
c1 = e.
Тогда
√
p = e(y − 1),
p = e2 (y − 1),
dy
2
dx = e (y − 1).
113
Разделяем переменные и интегрируем:
Z
dy
= e2 dx,
2
(y − 1)
Z
(y − 1)−2 dy = e2
dx,
1
= e2 x + c2 .
− y−1
Для нахождения c2 воспользуемся начальным условием:
−
1
= e2 · 0 + c2 ⇒ c2 = −1.
2−1
Решение примет вид:
1
= e2 x − 1.
y−1
Откуда после несложных преобразований получим:
−
2 − e2 x
y=
.
1 − e2 x
Задача 9.5. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найти общее решение методом
вариации произвольных постоянных.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
e−x
1
00
0
1. y + 2y + y =
.
2. y 00 + y =
.
x
sin x
e−x
00
00
0
3. y + 4y = 2tg2x.
4. y − 2y + y = 2 .
x
3x
e
1
00
5. y 00 − 3y 0 + 2y =
.
6.
y
+
4y
=
.
1 + e2x
sin 2x
1
7. y 00 + y = tgx.
8. y 00 + 4y =
.
sin2 x
1
e2x
00
00
0
9. y + y =
.
10. y − 4y + 5y =
.
cos2 x
cos x
e−2x
00
0
11. y + 4y + 4y = 3 .
12. y 00 + 4y 0 + 4y = e−2x ln x.
x
ex
e−3x
00
0
00
0
√
13. y − 2y + y =
.
14. y + 6y + 9y = 3 .
x
4 − x2
3 −2x
2x e
1
00
0
15. y 00 + 4y 0 + 4y =
.
16.
y
+
4y
=
.
1 + x2
cos 2x
1
1
00
√
17. y 00 + y 0 =
.
18.
y
+
y
=
.
1 + ex
cos3 xx
1
e
19. y 00 + 25y =
.
20. y 00 − 2y 0 + y = .
cos 5x
x
114
1
.
21. y + 6y − 7y =
1 − ex
2−x x
23. y 00 − 2y 0 + y =
e .
x3
00
0
22.
24.
25. y 00 + 9y = tg2 3x.
27. y 00 − 2y 0 + y =
26.
x2 + 2x + 2
.
x
28.
29. y 00 + 9y = tg3x.
30.
e2x
y −y =
.
1 + ex
3
y 00 + 9y =
.
sin 3x
e2x
00
0
.
y − 4y =
1 + e2x
1
y 00 + 4y =
.
cos2 x
ex
00
0
y + 2y + 2y =
.
sin x
00
0
Пример 9.5. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
y 00 − y 0 =
1
.
1 + ex
Найти общее решение методом вариации произвольных постоянных.
Решение. Решим соответствующее однородное уравнение:
y 00 − y 0 = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид:
k 2 − k = 0,
его корни k1 = 0, k2 = 1 и получаем общее решение однородного уравнения
Y = C1 + C2 e x .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y ∗ = C1 (x) + C2 (x) ex .
Для определения C1 (x) и C2 (x) составляется система алгебраических
уравнений:
( 0
C1 (x) · 1 + C20 (x) · ex = 0,
1
C10 (x) · 10 + C20 (x) · (ex )0 =
1 + ex
или
( 0
C1 (x) · 1 + C20 (x) · ex = 0
1
C10 (x) · 0 + C20 (x) · ex =
1 + ex
115
Неизвестными в этой системе являются C10 (x), C20 (x). Решим систему
по формулам Крамера (хотя можно решать и другими методами).
∆=
1 ex
x
= ex ;
0 e
0
ex
ex
∆C10 =
=−
;
1
x
1 + ex
e
1 + ex
1
0
1
=
.
∆C20 =
1
1 + ex
0
1 + ex
Находим неизвестные:
C10 (x) = −
1
1
0
,
C
(x)
=
.
2
1 + ex
ex (1 + ex )
C1 (x) и C2 (x) находим интегрированием, приняв константы интегрирования равными нулю.
Z
Z
Z
dx
ex dx
d (ex )
C1 (x) = −
=−
=−
=
x x
ex Z
ex (ex + 1)
Z
Z e (eZ + 1)
dt
(t + 1) − t
dt
dt
=−
=−
dt = −
+
=
t (t + 1)
t (t + 1)
t
t+1
= − ln t + ln (t + 1) = − ln ex + ln (ex + 1) = −x + ln (ex + 1) .
ex = t,
Z
C2 (x) =
dx
= x = ln t, =
ex (ex + 1)
dx = dtt
Z
dt
.
t2 (t + 1)
1
A B
C
= 2+ +
+ 1) t
t
t+1
1 = A (t + 1) + Bt (t + 1) + Ct2


 0=B+C
0=A+B


1=A
A = 1; B = −1; C = 1.
Z
Z
Z
Z
dt
dt
1
dt
−2
=
t
dt
−
+
=
−
− ln t + ln (t + 1) =
t2 (t + 1)
t
t+1
t
1
= − x − ln ex + ln (ex + 1) = −e−x − x + ln (ex + 1) .
e
t2 (t
116
Частное решение принимает вид:
y ∗ = −x + ln (1 + ex ) + −e−x − x + ln (1 + ex ) ex .
Теперь можно записать общее решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения:
y = Y + y ∗ = C1 + C2 ex − x + ln (1 + ex ) + −e−x − x + ln (1 + ex ) ex .
Задача 9.6. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (со специальной правой частью). Найти частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. y 00 + 2y 0 + y = −2 sin x + x + 2, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
2. y 00 − 2y 0 − 8y = 16x2 + 2, y(0) = 0, y 0 (0) = 5.
3. y 00 + 6y 0 + 9y = 2e−3x , y(0) = 1, y 0 (0) = −3.
4. y 00 + 4y = 3 cos x, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
5. y 00 + 16y = 7 cos 3x, y(0) = 1, y 0 (0) = 4.
6. y 00 − y 0 − 2y = 3e2x , y(0) = 2, y 0 (0) = 5.
7. y 00 − 4y 0 + 3y = 8e3x , y(0) = 3, y 0 (0) = 5.
8. y 00 − 2y 0 = 2x + 1, y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
9. y 00 − 2y 0 = 6x2 − 6x − 2, y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
10. y 00 − 2y 0 + y = 9e−2x + 2x − 4, y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
11. y 00 + y 0 − 2y = 4e2x − 2x + 1, y(0) = 3y 0 (0) = 5.
12. y 00 − 4y = 4 sin 2x, y(0) = 2, y 0 (0) = 7.
13. y 00 − 5y 0 = 10x + 3, y(0) = 2, y 0 (0) = 4.
14. y 00 − y 0 = 3 cos x − sin x, y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
15. y 00 + y 0 = 10 sin 2x, y(0) = −1, y 0 (0) = −4.
16. y 00 − y 0 − 6y = 6x2 − 4x − 3, y(0) = 3, y 0 (0) = 5.
17. y 00 + 4y = 5 cos 3x, y(0) = 2, y 0 (0) = 2.
18. y 00 − 3y 0 = 3e3x , y(0) = 2, y 0 (0) = 4.
19. y 00 + y 0 − 2y = cos x − 3 sin x, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
20. y 00 − 4y 0 + 5y = 5x − 4, y(0) = 0, y 0 (0) = 3.
21. y 00 + 6y 0 + 13y = 30 sin x, y(0) = −1, y 0 (0) = 3.
22. y 00 + y 0 = 2x2 + 5, y(0) = 3, y 0 (0) = 0.
23. y 00 + 2y 0 = 2 cos 2x − 2 sin 2x, y(0) = 0, y 0 (0) = 4.
24. y 00 − 2y 0 + y = 4ex , y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
25. y 00 − y 0 − 2y = 2x2 + 2x − 1, y(0) = 2, 5, y 0 (0) = 2.
117
26. y 00 + 4y = 4 cos 2x + x + 2, y(0) = 0, y 0 (0) = 3.
27. y 00 + y = −3 sin 2x, y( π2 ) = 1, y 0 ( π2 ) = 0.
28. y 00 − 3y 0 = 2 − 6x, y(0) = 3, y 0 (0) = 3.
29. y 00 + 2y 0 + 5y = 4e−x , y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
30. y 00 + 4y = sin x, y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
Пример 9.6. Даны линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(со специальной правой частью):
a) y 00 − 5y 0 + 6y = 13 sin 3x, y (0) = − 16 , y 0 (0) = − 21 ;
б) y 00 − 4y 0 + 4y = x · e2x .
Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Решение. а) Решим вначале соответствующее однородное уравнение
y 00 − 5y 0 + 6y = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
k 2 − 5k + 6 = 0.
Корни характеристического уравнения k1 = 2, k2 = 3.
Общее решение соответствующего однородного уравнения
Y = C1 e2x + C2 e3x .
Ищем частное решение методом неопределенных коэффициентов. Представим правую часть уравнения по формуле Эйлера, где α = 0, β = 3, в
виде
13 sin 3x = e0x (0 · cos 3x + 13 sin 3x) .
Числа α ± βi = ±3i не являются корнями характеристического уравнения; многочлены, стоящие перед cos 3x и sin 3x имеют нулевую степень,
т.е. являются константами. В силу всего отмеченного частное решение
ищем в виде
y = A cos 3x + B sin 3x.
Находим первую и вторую производные y и подставляем в уравнение
y 0 = −3A sin 3x + 3B cos 3x,
y 00 = −9A cos 3x − 9b sin 3x.
−9A cos 3x − 9B sin 3x − 5 (−3A sin 3x + 3B cos 3x) +
+6 (A cos 3x + B sin 3x) = 13 sin 3x.
Приравнивая коэффициенты при cos 3x и sin 3x, получим систему уравнений
−3 (A + 5B) = 0,
3 (5A − B) = 13.
118
Решая систему, найдем A = 56 , B = − 16 .
Частное решение принимает вид
y=
5
1
cos 3x − sin 3x.
6
6
Теперь запишем общее решение заданного уравнения.
y = Y + y = C1 e2x + C2 e3x +
5
1
cos 3x − sin 3x.
6
6
Для получения частного решения найдем производную от y.
y 0 = 2C1 e2x + 3C2 e3x +
1
(−15 sin 3x − 3 cos 3x) .
6
Воспользовавшись начальными условиями, запишем систему уравнений
для определения постоянных

5
1

 − = C1 + C2 +
6
6
1

 − = 2C1 + 3C2 − 1
2
2
Решая систему, найдем C1 = 1, C2 = −2. Получаем частное решение
y = −2e2x + e3x +
1
(5 cos 3x) − sin 3x.
6
б) Соответствующее однородное уравнение имеет вид
y 00 − 4y 0 + 4 = 0.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.
k 2 − 4k + 4 = 0 ⇒ k1,2 = 2.
Получаем общее решение соответствующего характеристического уравнения
Y = (C1 x + C2 ) · e2x .
Для нахождения частного решения заметим, что правая часть исходного уравнения имеет вид
xe2x = P (x) eαx ,
где P (x) – многочлен первой степени, и α = 2 является двукратным
корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем
в виде
y = e2x · (Ax + B) · x2 = e2x Ax3 + Bx2 .
119
Далее, как и в первом примере находим постоянные A и B. Получаем
частное решение. Тогда общее решение заданного уравнения имеет вид
1 2
2x
y=e
C1 x + C 2 + x .
6
120
Часть X. Операционное исчисление
Задача 10.1. Найти изображение оригинала.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Zt
π
1. x(t) = sin 2t −
, x(t) = e2(τ −t) sin τ dτ.
6
0
t
2. x(t) = sin2 , x(t) = ch2t cos 2t.
3
Zt
3. x(t) = e2t sin2 t, xt = eτ cos 3τ dτ.
0
sin 2t cos t
, x(t) = (t − 1)3 e2(t−1) σ(t − 1).
4. x(t) =
t
sin 3t
5. x(t) =
, x(t) = cht cos2 t.
t
Zt
6. x(t) = e2t−1 sin 3t, x(t) = (t − τ )3 cos 3τ dτ.
0
sin 7t sin 3t
5
7. x(t) =
, x(t) = sh(3t − 5)σ t −
.
t
3
Zt
8. x(t) = sh3t sin 4t, x(t) = ch(t − τ )e2τ dτ.
0
3t
cos 3t − e
, x(t) = (t + 3)ch2t.
t
1
.
10. x(t) = te2t ch3t, x(t) = (2t − 1)2 e2t−1 σ t −
2
Zt
11. x(t) = sh(3t − 5), x(t) = e2(τ −1) τ 4 dτ.
9. x(t) =
0
sin 2t − t2
12. x(t) = ch(2t − 3, ) x(t) =
.
t
Zt
13. x(t) = ch2 t, x(t) = (t − τ )2 chτ dτ.
0
et − t − 1
14. x(t) =
, x(t) = t(et + cht).
t
e2t − e−t
15. x(t) = cos 5t sin 3t, x(t) =
.
t
121
16. x(t) = ch3t cos2 t, x(t) =
Zt
sin (t − τ )τ dτ.
0
1
t
17. x(t) = t2 cos 2t, x(t) = sin2 .
t
2
Zt
18. x(t) = t2 cht, x(t) = cos (t − τ ) cos 2τ dτ.
0
sht
.
t
et − e−2t
.
20. x(t) = sin 2t sin 3t, x(t) =
t
Zt
21. x(t) = tsh3t, x(t) = cos2 τ dτ.
19. x(t) = tcht cos 2t, x(t) =
0
sin2 t
22. x(t) = t(e + cht), x(t) =
.
t
Zt
t2
23. x(t) = cht, x(t) = (t − τ ) cos 2τ dτ.
2
t
0
t
24. x(t) = t cos , x(t) =
2
Zt
e2τ τ 2 dτ.
0
cos t − cos 2t
.
t
Zt
26. x(t) = t(e−2t − sht), x(t) = cht cos 2τ dτ.
25. x(t) = t2 sin 2t, x(t) =
0
27. x(t) = e2t sin 5t, x(t) =
Zt
τ sh4τ dτ.
0
28. x(t) = sin2 t, x(t) =
Zt
τ 3 ch2τ dτ.
0
sin 6t
.
t
Zt
30. x(t) = t2 sin 2t, x(t) = τ 3 e4τ dτ.
29. x(t) = t2 ch3t, x(t) =
0
Пример 10.1. Найти изображение оригинала:
a) x (t) = cos3 t;
б) x (t) = et−2 + (t − 1)2 ;
122
Zt
в) x (t) =
eτ · sin 2τ dτ ;
0
2
г) x (t) = t · sin 2t;
sin 3t − t2
;
д) x (t) =
t
е) x (t) = (t − 3) · et−2 · σ (t − 2) ;
Zt
ж) x (t) = eτ −t · ch5τ dτ.
0
Решение. а) Преобразуем
1 + cos 2t
x (t) = cos3 t = cos t · cos2 t = cos t ·
=
2
1
1
cos 3t + cos t
= (cos t + cos t · cos 2t) =
cos t +
=
2
2
2
1
1
1
3
1
= cos t + cos 3t + cos t = cos 3t + cos t.
2
4
4
4
2
По таблице изображений находим изображение полученных функций:
p
p
·
·
; cos 3t ←
− 2
.
cos t ←
− 2
· p +9
· p +1
Окончательно имеем:
2
p
p
+
7
1
p
3
p
·
x (t) = cos3 t ←
−
+ 2
=
.
· 4 p2 + 9
4 p + 1 (p2 + 9) (p2 + 1)
1
б) x (t) = et−2 + (t − 1)2 = 2 · et + t2 − 2t + 1. По таблице изображений
e
находим:
1
·
· 1
· 2
· 1
et ←
−
;t ←
− 2 ; t2 ←
− 3; 1 ←
− .
· p−1
· p
· p
· p
Окончательно имеем:
x (t) = e
t−2
1
1
2
2 1
1
2 − 2p + p2
+(t − 1) ←
− 2·
+ 3− 2+ = 2
+
.
· e p−1
p
p
p e (p − 1)
p3
2
·
2
. Затем, применяя
· p2 + 4
2
·
теорему смещения (затухания), находим: et · sin 2t ←
−
. Окон· (p − 1)2 + 4
чательно, применяя теорему интегрирования оригинала, получаем:
·
в) По таблице изображений находим: sin 2t ←
−
Zt
x (t) =
·
0
2
·
eτ · sin 2τ dτ ←
−
h
p (p − 1)2 + 4
123
i=
2
.
p (p2 − 2p + 5)
·
г) По таблице находим: t2 sin 2t ←
−
·
4p
. Применим теорему диффе(p2 + 4)2
ренцирования изображения:
0
4p
−t · t sin 2t ←
−
·
(p2 + 4)2 p
0
2
4
4
−
3p
p
·
t2 · sin 2t ←
− −4
=−
.
·
(p2 + 1)2 p
(p2 + 4)2
·
Замечание. Применяя дифференцирование изображения еще раз, можно найти изображение оригинала t3 · sin 2t и т.д.
д) Деление оригинала на t приводит к интегрированию изображения.
Найдем изображение числителя, для чего воспользуемся таблицей:
·
sin 3t − t2 ←
−
·
2
3
−
.
p2 + 9 p3
А теперь воспользуемся теоремой интегрирования изображения:
2
sin 3t − t ·
←
−
·
t
Z∞ 3
2
− 3
2
u +9 u
Zb du = lim
b→∞
p
3
2
− 3
2
u +9 u
du =
p
1
u
= lim arctg + 2
b→∞
3 u
b
= lim
p
=
b→∞
p
1
1
b
arctg − arctg + 2 − 2
3
3 b
p
=
p
1
π
− arctg − 2 .
2
3 p
p
1
sin 3t − t2 · π
Итак,
←
− − arctg − 2 .
· 2
t
3 p
е) Как видим, оригинал задан с запаздыванием. Вначале преобразуем
функцию.
(t − 3) · et−2 · σ (t − 2) = [(t − 2) − 1] · et−2 · σ (t − 2) =
= (t − 2) · et−2 · σ (t − 2) − et−2 · σ (t − 2) .
Запишем вспомогательную функцию без запаздывания и найдем ее
изображение, используя таблицу
·
t · et − et ←
−
·
1
1
.
−
(p − 1)2 p − 1
124
Используя теорему запаздывания, окончательно получим
x (t) = (t − 3) · e
t−2
e−2p
e−2p (p − 2)
e−2p
−
=
.
· σ (t − 2) ←
−
· (p − 1)2
p−1
(p − 1)2
·
ж) Найти оригинал по изображению
Zt
x (t) =
eτ −t · ch5τ dτ.
0
Данный оригинал называется сверткой, а изображение свертки равно
произведению изображений функций, заданных под знаком интеграла.
Но вначале преобразуем подинтегральную функцию.
Zt
eτ −t · ch5τ dτ =
0
Zt
e−(t−τ ) · ch5τ dτ.
0
p
1
·
; ch5t ←
− 2
.
· p − 25
· p+1
Окончательно имеем
·
Имеем e−t ←
−
Zt
x (t) =
·
eτ −t · ch5τ dτ ←
−
·
1
p
p
· 2
=
.
p − 1 p − 25 (p − 1) (p2 − 25)
0
Задача 10.2. Найти оригинал по изображению.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
3
p2 + 1
e− 2 p
, X(p) =
.
1. X(p) =
(p − 3)2
(p − 2)(p + 3)(p + 1)
r
3p − 2
e− 2
2. X(p) = 2
, X(p) = 2
.
p +3
p − 8p + 20
p
pe−2p
3. X(p) = 2
, X(p) = 2
.
p + 2p + 5
p +4
p−3
(p − 1)e−3p
4. X(p) =
, X(p) = 2
.
(p − 1)(p − 2)(p − 3)
p − 2p + 5
pe−4p
1
, X(p) = 2
.
5. X(p) = 2
p +9
(p + 1)(p − 2)
2p + 1
pe−p
6. X(p) = 2
, X(p) = 2
.
(p − 1)(p2 − 9)
p +4
125
e−2p
p
, X(p) =
.
7. X(p) = 2
(p + 1)2
(p − 2)2
8. X(p) =
p−2
p+5
,
X(p)
=
.
p2 + 4p + 3
p(p − 1)(p − 2)(p + 3)
p−3
e−p
9. X(p) = 2
, X(p) =
.
p + 6p + 8
(p1)2
10. X(p) =
e−3p
p
,
X(p)
=
.
p2 (p + 2)
p2 − 8
11. X(p) =
2p + 7
pe−3p
,
X(p)
=
.
p2 + 8p + 17
p2 + 1
12. X(p) =
3p + 8
1
,
X(p)
=
.
p2 − 4p + 8
p2 (p2 + 1)
e−4p
p
, X(p) =
.
13. X(p) = 2
p +1
(p − 1)2
e−p
1
, X(p) =
.
14. X(p) =
p(p2 + 1)
(p + 1)2
1
e−3p
15. X(p) =
, X(p) =
.
(p − 1)(p2 − 4)
p(p + 2)
p
e− 2
3p
, X(p) =
.
16. X(p) = 2
p + 2p − 8
(p − 2)5
e−2p
3p + 1
17. X(p) =
, X(p) = 2
.
4
(p − 2)
p − 2p + 10
18. X(p) =
4p + 1
p+3
,
X(p)
=
.
p2 − 4p + 8
p(p − 1)2
p2
p−4
19. X(p) = 2
,
X(p)
=
.
(p + 1)2
p2 − 6p − 7
20. X(p) =
4p − 1
1
, X(p) = 2
.
− 1)
p − 4p − 12
p(p2
e−3p
1
21. X(p) =
, X(p) =
.
p(p + 2)
(p − 1)(p − 2)(p − 3)
22. X(p) =
p
p+2
,
X(p)
=
.
p4 − 1
p2 − 2p + 10
126
(p + 3)e−p
, X(p) = pp2 + 10p + 29.
23. X(p) =
2
p +1
1
e−2p
24. X(p) =
, X(p) =
.
(p − 1)(p2 + 2p + 2)
(p + 2)2
(p − 4)e−3p
1 − 2p
, X(p) =
.
25. X(p) = 2
p − 6p − 7
p2 + 9
26. X(p) =
(p − 3)e−p
1
,
X(p)
=
.
(p + 1)2
(p2 + 1)p
27. X(p) =
p
e−p
,
X(p)
=
.
p2 − 2p + 5
p(p2 + 9)
p+1
e−p
28. X(p) =
, X(p) =
.
p(p − 1)(p − 2)
(p + 1)4
1
pe−2p
, X(p) = 2
.
29. X(p) = 4
p −4
p (p + 1)
2p − 1
e−3p
,
X(p)
=
.
p2 − 2p + 5
p2 + 9
Пример 10.2. Найти оригинал по изображению:
2p − 1
a) X (p) = 2
;
p − 2p + 5
e−4p
б) X (p) = 2
;
p +9
1
в) X (p) =
;
p (p2 + 1)
1
г) X (p) =
.
p (p + 1) (p − 4)
Решение. а) Данная дробь является простейшей рациональной дробью.
Дополним знаменатель до полного квадрата и приведем дробь к виду
30. X(p) =
2p − 1
2p − 1
2 (p − 1) + 1
2p − 1
=
=
=
=
p2 − 2p + 5 p2 − 2p + 1 + 4 (p − 1)2 + 4 (p − 1)2 + 22
2 (p − 1)
1
2 (p − 1)
1
2
+
=
+
.
(p − 1)2 + 22 (p − 1)2 + 22
(p − 1)2 + 22 2 (p − 1)2 + 22
Выражение приведено к такому виду, что можно воспользоваться таблицей. Окончательно получаем
=
1
1
·
X (p) →
− 2et · cos 2t + et · sin 2t = et (4 cos 2t + sin 2t) .
·
2
2
127
б) Вначале найдем оригинал вспомогательной функции, воспользовавшись таблицей
1
1 3
· 1
X1 (p) = 2
=
→
−
sin 3t.
p + 32
3 p2 + 3 2 · 3
Множитель e−4t означает, что оригинал должен быть задан с запаздыванием. Итак,
· 1
X (p) →
− sin 3 (t − 4) · σ (t − 4) .
· 3
в) Это задание можно решить двумя способами.
Первый способ. Разложим дробь на сумму простейших дробей (как
это делали, интегрируя рациональные дроби).
A Bp + C
1
=
+ 2
p (p2 + 1)
p
p +1
Приравнивая числители дробей, получим
Ap2 + A + Bp2 + Cp = 1
Составим систему уравнений:

 A + B = 0,
C = 0,

A = 1,
Решая её, получим, что A = 1, B = −1, C = 0.
1
1
p
·
Следовательно, X (p) =
=
−
→
− 1 − cos t.
2
2
p (p + 1) p p + 1 ·
Второй способ. При решении задачи воспользуемся теоремой о свертке.
1
1
1
=
·
,
p (p2 + 1) p p2 + 1
1 ·
1
·
→
− σ (t) ; 2
→
− sin t,
p ·
p +1 ·
Zt
1
·
→
− σ (t) ∗ sin t = σ (τ ) · sin (t − τ ) dτ =
2
p (p + 1) ·
0
Zt
sin (t − τ ) dτ = cos (t − τ )
=
t
= cos 0 − cos t.
0
0
г) Разложим дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами:
1
A
B
C
= +
+
,
p (p + 1) (p − 4)
p p+1 p−4
1 = A (p + 1) (p − 4) + Bp (p − 4) + Cp (p + 1) .
128
Полагая последовательно p = 0, p = −1, p = 4, находим коэффициенты:
1
1
1
A=− ,B= ,C= .
4
5
20
Заданная функция принимает вид:
1
1
− 41
5
20
+
.
X (p) =
p
p + 1p − 4
Откуда по таблице находим
1 1
1
·
X (p) →
− − + e−t + e4t .
·
4 5
20
Задача 10.3. С помощью операционного исчисления найти
частное решение дифференциального уравнения при заданных
начальных условиях.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. x00 + 2x0 + x = −2 sin t + t + 2, x(0) = 1, x0 (0) = 2.
2. x00 − 2x0 − 8x = 16t2 + 2, x(0) = 0, x0 (0) = 5.
3. x00 + 6x0 + 9x = 2e−3t , x(0) = 1, x0 (0) = −3.
4. x00 + 4x = 3 cos t, x(0) = 1, x0 (0) = 2.
5. x00 + 16x = 7 cos 3t, x(0) = 1, x0 (0) = 4.
6. x00 − x0 − 2x = 3e2t , x(0) = 2, x0 (0) = 5.
7. x00 − 4x0 + 3x = 8e3t , x(0) = 3, x0 (0) = 5.
8. x00 − 2x0 = 2t + 1, x(0) = 1, x0 (0) = 1.
9. x00 − 2x0 = 6t2 − 6t − 2, x(0) = 1, x0 (0) = 1.
10. x00 − 2x0 + x = 9e−2t + 2t − 4, x(0) = 1, x0 (0) = 1.
11. x00 + x0 − 2x = 4e2t − 2t + 1, x(0) = 3x0 (0) = 5.
12. x00 − 4x = 4 sin 2t, x(0) = 2, x0 (0) = 7.
13. x00 − 5x0 = 10t + 3, x(0) = 2, x0 (0) = 4.
14. x00 − x0 = 3 cos t − sin t, x(0) = 0, x0 (0) = 1.
15. x00 + x0 = 10 sin 2t, x(0) = −1, x0 (0) = −4.
16. x00 − x0 − 6x = 6t2 − 4t − 3, x(0) = 3, x0 (0) = 5.
17. x00 + 4x = 5 cos 3t, x(0) = 2, x0 (0) = 2.
18. x00 − 3x0 = 3e3t , x(0) = 2, x0 (0) = 4.
19. x00 + x0 − 2x = cos t − 3 sin t, x(0) = 1, x0 (0) = 2.
20. x00 − 4x0 + 5x = 5t − 4, x(0) = 0, x0 (0) = 3.
129
21. x00 + 6x0 + 13x = 30 sin t, x(0) = −1, x0 (0) = 3.
22. x00 + x0 = 2t2 + 5, x(0) = 3, x0 (0) = 0.
23. x00 + 2x0 = 2 cos 2t − 2 sin 2t, x(0) = 0, x0 (0) = 4.
24. x00 − 2x0 + x = 4et , x(0) = 1, x0 (0) = 1.
25. x00 − x0 − 2x = 2t2 + 2t − 1, x(0) = 2, 5, x0 (0) = 2.
26. x00 + 4x = 4 cos 2t + t + 2, x(0) = 0, x0 (0) = 3.
27. x00 + x = −3 sin 2t, x( π2 ) = 1, x0 ( π2 ) = 0.
28. x00 − 3x0 = 2 − 6t, x(0) = 3, x0 (0) = 3.
29. x00 + 2x0 + 5x = 4e−t , x(0) = 1, x0 (0) = 1.
30. x00 + 4x = sin t, x(0) = 1, x0 (0) = 1.
Пример 10.3. С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:
x00 − 2x0 − 3x = et , x0 (0) = x(0) = 0.
·
Решение. Пусть x(t) ←
− X(p) = X. Тогда
·
·
x0 (t) ←
− pX − x(0) = pX;
00
·
·
x (t) ←
− p X − px(0) − x0 (0) = p2 X;
·
2
·
e3t ←
−
·
1
p−3 .
Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение:
p2 X − 2pX − 3X =
1
.
p−3
1
. Для нахождения оригинала разложим
(p − 3)2 (p + 1)
дробь на простейшие
Отсюда X(p) =
1
A
B
C
=
+
+
,
(p − 3)2 (p + 1) (p − 3)2 p − 3 p + 1
A(p + 1) + B(p − 3)(p + 1) + C(p − 3)2 = 1,
Ap + A + Bp2 − 2Bp − 3B + Cp2 − 6Cp + 9C = 1.
Составим систему уравнений

B + C = 0,

A − 2B − 6C = 0,

A − 3B + 9C = 1.
130
Решив ее, получаем













1
A= ,
4
1
B=− ,
16
1
C= .
16
1
1
1
−
+
.
4(p − 3)2 16(p − 3) 16(p + 1)
Решением данного дифференциального уравнения является функция
Итак, X(p) =
1
1
1
x(t) = te3 t − e3t + e−t .
4
16
16
131
Часть XI. Теория функций комплексных
переменных
Задача 11.1. Вычислить значение выражения вида
(x + iy)k , k ∈ N.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
√ 7
1. (3 − 3i)5 .
2. 1 − i 3 .
√ 8
√
√
9
3.
3+i .
4.
2−i 2 .
5. (3 + 3i)9 .
6. (4 + 4i)7 .
√ 5
√
7. (4 − 4i)5 .
8.
3−i 3 .
√ 9
√ 11
√
9.
3+i 3 .
10. 1 − i 3 .
√ 7
√ 4
11. 1 + i 3 .
12. 2 + i 12
√
√ 6
7
14.
12 + 2i .
13. 2 − i 12 .
√
√ 12
√
8
12 − 2i .
16.
3+i 3 .
15.
√ 11
√ 5
√
17.
3−i 3 .
18. −1 − i 3 .
√
9
19. − 3 − i .
20. (−2 − 2i)5 .
√ 10
√
5−i 5 .
22. (1 + i)15 .
21.
√
√ 7
23. (1 − i)14 .
24. − 2 − i 2 .
√
√ 7
25. (6 − 6i)7 .
26.
6+i 6 .
√ 9
√
√
13
6−i 6 .
28.
3+i .
27.
√
√
√ 15
11
29.
3−i .
30.
2−i 2 .
Пример 11.1 Найти значение выражения: (2 − 2i)7 .
Решение. Выражение в скобках запишем в тригонометрической (показательной) форме. Находим модуль и аргумент:
q
√
r = |z| = 22 + (−2)2 = 8.
tg φ =
−2
= −1.
2
Так как y < 0, x > 0, то φ = − π4 . Откуда имеем
π √
√ π
π
2 − 2i = 8 cos −
+ i sin −
= 8e− 4 i .
4
4
Для завершения вычисления применим формулу Муавра:
√ π π 7
7
8 cos −
=
(2 − 2i) =
+ i sin −
4
4
132
=
√
8e
− π4 i
7
√ 7 7π √ 7 − 7π i
7π
=
8
+ i sin −
=
8 e 4 .
cos −
4
4
Аргумент должен принадлежать промежутку (−π; π) , окончательный
результат примет вид:
√ !
√
√ π
√ 21
π
π
2
2
= 87 e 4 i = 2 2
+i
= 1024 + 1024i.
87 cos + i sin
4
4
2
2
Задача 11.2. Решить уравнение.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. z 3 + i = 0.
2. z 3 − i = 0.
3. z 3 + 8 = 0.
4. z 3 − 8 = 0.
5. z 3 + 64 = 0.
6. z 3 − 64 = 0.
7. z 3 − 27 = 0.
8. z 3 + 27 = 0.
9. z 3 + 8i = 0.
10. z 3 − 8i = 0.
11. z 3 + 64i = 0.
12. z 3 − 64i = 0.
13. z 4 + 16 = 0.
14. z 4 − 16 = 0.
15. z 4 + 16i = 0.
16. z 4 − 16i = 0.
17. z 2 + (1 + i) = 0.
18. z 2 − (1 + i) = 0.
19. z 2 + (1 + i)√=0.
20. z 2 − (1 − i)√=0.
21. z 2 + 1√− i √
3 =
0.
22. z 2 − 1√+ i √
3 =
0.
3
3
2 + i√ 2 = 0.
24. z − √2 + i 2 = 0.
23. z +
3
25. z + √
−1 − i 3 = 0.
26. z 3 +
3 − i = 0.
3
3
27. z +
3 + i = 0.
28. z − (2 + 2i) = 0.
3
29. z + (2 − 2i) = 0.
30. z 3 + (−2 − 2i) = 0.
Пример 11.2 Решить уравнение
√ 2
4
z + 2 3z + 4 = 0.
Решение. Подстановкой z 2 = t сведем биквадратное уравнение к квадратному:
√
t2 + 2 3t + 4 = 0.
Далее находим дискриминант
квадратного уравнения:
√ и корни√
−2 3±2i
D = 12 − 16 = −4, t =
= − 3 ± i.
2
Откуда имеем:
p √
√
2
1) z = − 3 + i ⇒ z = − 3 + i. По известным правилам извлекаем корень из комплексного числа, предварительно записав подкоренное
выражение в тригонометрической форме.
s 5π
5π
√
+
2kπ
+
2kπ
5π
5π
+ i sin
= 2 cos 6
+ i sin 6
=
z = 2 cos
6
6
2
2
133
√ i 5π
√
5π
5π
+
i
sin
2
cos
2e 12 , при k =
12
12 =
√
0,
√ −i 7π
= √
17π
17π
7π
= 2e 12 , при k = 1.
2 cos 12 + i sin 12 = 2 cos − 12 + i sin − 7π
12
p √
√
2) z 2 = − 3 − i ⇒ z = − 3 − i;
s 5π √
−
− 5π
+
2kπ
5π
5π
+ i sin −
= 2 cos 6
+ i sin 6 =
z = 2 cos −
6
6
2
2
√ −i 5π
√
5π
5π
2
cos
−
+
i
sin
−
= 2e 12 , при k = 0,
12
12
√
= √
7π
7π
2 cos 7π
2ei 12 , при k = 1.
12 + i sin 12 =
Задание 11.3. Вычислить значение функции комплексного
переменного. Результат должен быть записан в виде комплексного числа.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
2. sin 2i.
1. cos π4 + 2i .
π
3. sin 3 − 2i .
4. cos − 3π
+
2i
4
.
π
5π
5. cos 2i + 3 .
6. sin 6 + 3i .
π
8. sin 2π
7. cos 2i − 3 .
3 − i .
4π
9. sin 3 + 2i .
10. cos 5π
4 +i .
3π
11. ch 2i.
12. ch 4 i.
13. sh (2 + πi)
14. Ln (2√+ 2i) √
. √. 15. Ln 1 + i 3 .
16. Ln 2 − i 2 .
17. sh (3 − πi) .
18. ch 2 + 2π
3 i .
19. ch (−1 − πi)
20. Ln (−1 + i)
.
.
π
π
22. ch 4 + 3 i .
21. sin 2i − 3 .
23. cos (−π +2i) .
24. Ln (−2 + 2i)
.
π
2π
25. sh 3 i − 2 .
26. ch 3 i√+ 2 .
π
27. sin i − 6 .
28. Ln − 3 + i .
29. Ln (−1 − i) .
30. cos 5π
4 −i .
Пример 11.3. Вычислить значения заданных функций комплексного переменного:
π
a) e2+ 3 i ;
б) Ln (1 + i);
в) cos π2 + i .
Результат должен быть записан в виде комплексного числа.
Решение. a) Используя формулу
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) ,
получим:
134
π
e2+ 3 i = e2 cos
π
+ i sin
3
3
π
√ !
√
1
3
e2
e2 3
+i
=
+i
.
2
2
2
2
= e2
б) Находим модуль и аргумент комплексного числа z = x + yi = 1 + i,
стоящего под знаком логарифма
p
√
√
|z| = x2 + y 2 = 12 + 12 = 2,
y
1
π
arg z = arctg ϕ = arctg = arctg = arctg 1 = .
x
1
4
Согласно определению логарифма
Lnz = ln |z| + i (arg z + 2kπ) , k ∈ N.
имеем:
Ln (1 + i) = ln
√
2+i
π
4
+ 2kπ , k ∈ N.
Логарифм – функция многозначная.
в) При нахождении значения данной функции можно пойти двумя путями. Первый путь – это использовать формулу
cos z =
eiz + e−iz
.
2
Тогда получим
ei( 2 +i) + e−i( 2 +i)
e−1+ 2 i + e1− 2 i
cos
+i =
=
=
2
2
2
e−1 cos π2 + i sin π2 + e cos − π2 + i sin − π2
=
=
2
e−1 i − ei
e − e−1
=
=−
i = −i sh 1.
2
2
Кроме того для вычисления значений тригонометрических функций комплексных переменных, могут понадобиться следующие формулы:
π
π
π
eiz − e−iz
sin z =
,
2i
eiz + e−iz
cos z =
,
2
sin z
tg z =
,
cos z
cos z
ctg z =
.
sin z
135
π
π
Так же, этот пример можно решить, используя связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:
ch z = cos (iz) ,
sh z = −i sin (iz) ,
cos z = ch (iz) ,
sin z = −i sh (iz) .
В этом случае получаем, что
π
π
π + i = ch i
+ i = ch −1 + i .
cos
2
2
2
ez + e−z
Напомним, что ch z =
. Тогда
2
π
π
π e−1+ 2 i + e1− 2 i
ch −1 + i =
=
2
2
e−1 cos π2 + i sin π2 + e cos − π2 + i sin − π2
=
=
2
e−1 i − ei
e − e−1
=
=−
i = −i sh 1.
2
2
π
+ i = −i sh 1.
Значит, cos
2
При решении данной задачи вторым способом, могут понадобиться
следующие формулы:
ez − e−z
sh z =
,
2
ez + e−z
ch z =
,
2
sh z
thz =
,
ch z
ch z
cthz =
.
sh z
Задача 11.4. Найти действительную и мнимую части функции комплексного переменного.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. w = 3z − iz 2 .
2. w = 2z̄ 2 − 3z.
z
4. w = 4z − z 2 .
3. w = .
z
z
5. w = .
6. w = z 3 .
z
7. w = 2z − zz.
8. w = 4z 2 + 3z.
1
9. w = 5z 2 − .
10. w = iz 2 + 3z.
z
136
1
+ 2iz.
z3
= iz .
z
= .
i
= (z − 2iz).
= (3z − 2z)2 .
11. w = 2z 2 − 3iz.
12. w =
13. w = iz + i7 z.
i
15. w = .
z
17. w = (z − 2z)2 .
19. w = 2z 2 − iz
i
21. w = + 3iz.
z
23. w = 3iz 2 − z.
i17
25. w =
.
z
27. w = (z − z)3 .
1 1
29. w = − .
z z
14. w
16. w
18. w
20. w
22. w = i13 z 2 + 2z.
24. w = 2zz + z 2 .
26. w = 6zz − i5 z.
28. w = 3z 2 − 2z.
30. w = z 2 − 3iz.
Пример 11.4. Найти действительную и мнимую части функции
комплексного переменного
w = 2z 2 + iz̄.
Решение. Учитывая, что z = x + iy, z = x − iy, то заданная функция
примет вид:
2
2
=
2
x
−
y
+
2xyi
+ xi + y =
w = 2z 2 + iz = 2 (x + iy)2 + i (x − iy)
2
2
= 2x − 2y + y + i (4xy + y) .
Откуда Re w = 2x2 − 2y 2 + y; Im w = 4xy + x.
Задача 11.5. Решить уравнение.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. sin z = 2.
2. sin z = −2.
3. sin 2z = −2.
4. sin 3z = 2.
5. sin 3z = −3.
6. sin 3z = −3.
7. sin 3z = −2.
8. cos z = 2.
9. sin z = i.
10. cos z = −i.
11. sin 2z = −2i.
12. cos 2z = −2i.
13. cos 2z = −3i.
14. cos z = i.
15. sh z = 2.
16. sh 2z = 2.
17. sh z = i.
18. sh 2z = i.
19. sh z = 2i.
20. sh 2z = −i.
21. sin 3z = −2i.
22. sin 3z = −2i.
23. ch z = 1.
24. ch z = 2.
25. ch z = i.
26. ch 2z = −i.
27. ch z = −2i.
28. ch 2z = −2i.
29. ch 2z = 2.
30. ch 2z = −2.
137
Пример 11.5. Решить уравнения:
a) e−2z = i;
б) sin z = 3.
Решение. a) Используя метод логарифмирования, получим
e−iz = i, −2z = Lni.
Далее вычисляем логарифм согласно правилу.
π
π
π
+ 2kπ = i
+ 2kπ , k ∈ N.
|i| = 1, arg i = ⇒ Lni = ln 1 + i
2
2
2
Окончательно получаем
i π
z=−
+ 2kπ , k ∈ N.
2 2
б) Согласно определению выразим синус через экспоненту, и полученное
уравнение решим относительно экспоненты, а затем используем операцию логарифмирования
eiz − e−iz
= 3,
2i
eiz − e1iz
= 3,
2i
e2iz − 1
= 3,
iz
2ie
e2iz − 1 = 6ieiz ,
e2iz − 6ieiz − 1 = 0.
Получили квадратное уравнение относительно eiz .
D = −36 + 4 = −32,
√
√
√ −32
−6i
±
4i
2
−6i
±
iz
e =
=
= i −6 ± 2 2 ,
2
2
√ √
iz = Ln i −6 ± 2 2 = ln −6 ± 2 2 + i π2 + 2kπ ,
√
z = 1i ln −6 ± 2 2 + π (0, 5 + 2k) ,
√
z1,2 = −i ln −6 ± 2 2 + π (0, 5 + 2k) , k ∈ N.
Задача 11.6. По действительной или мнимой части восстановить аналитическую функцию.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. u (x, y) = 2x + 3y, f (1 + i) = 5.
2. u (x, y) = 2xy + 3, f (0) = 3 + i.
138
3. u (x, y) = x2 + 2x − y 2 , f (1 + i) = 2 + i
4. u (x, y) = x3 − 3xy 2 , f (1 − i) = −2.
5. u (x, y) = ln x2 + y 2 , f (1) = 0.
6. u (x, y) = 2x − 3y, f (1 − i) = 5 + i.
7. u (x, y) = 2x2 − 3x − 2y 2 , f (1 + i) = −3.
8. u (x, y) = x2 − y 2 + 4xy, f (1 + i) = 4 + 2i.
9. u (x, y) = x2 − y 2 + 8xy, f (0) = i.
10. u (x, y) = 3x2 − 3y 2 + 8xy, f (1 + i) = 8 + 6i.
11. v (x, y) = 2y − 3x, f (1 + i) = 6 − i.
12. v (x, y) = y 2 − x2 , f (0) = 4.
13. v (x, y) = 2xy + 2y, f (1 + i) = 3 + 4i.
14. v (x, y) = 3x2 y − y 3 , f (1 − i) = 4 − 2i.
15. v (x, y) = 2 arctg xy , f (1) = 1.
16. v (x, y) = 3x + 2y − 4, f (1 + i) = 2 − 2i.
17. v (x, y) = 4xy − 3y, f (1 + i) = i.
18. v (x, y) = 2xy + 2y 2 − 2x2 , f (1 + i) = 4 + 2i.
19. v (x, y) = 2xy − 4y 2 − 4x2 , f (1 − i) = −10i.
20. v (x, y) = 6xy + 4y 2 − 4x2 , f (1 + i) = 8 + 6i.
21. u (x, y) = x2 − y 2 + x, f (1 − i) = 1 − 3i.
22. v (x, y) = 2xy + y, f (0) = 1.
23. u (x, y) = x3 − 3xy 2 + 2, f (0) = 2 + i.
24. v (x, y) = 3x2 − y 3 + 1, f (0) = 2 + i.
25. v (x, y) = 2ex cos y, f (0) = 2 + 2i.
26. u (x, y) = −2ex sin y, f (0) = 2i.
27. u (x, y) = x2 − y 2 + xy, f (0) = 0.
28. v (x, y) = 2xy +
y2
2
3
−
x2
2 ,f
2
(0) = 0.
29. u (x, y) = 2x3 + y − 3x y − 6xy 2 , f (0) = 0.
30. v (x, y) = x3 + 6x2 y − 3xy 2 − 2y 3 , f (0) = 0.
Пример 11.6. Дана действительная часть аналитической функции u (x; y) = x2 − y 2 + 2x и начальное условие f (i) = −1 + 2i.
Найти мнимую часть аналитической функции и восстановить
эту функцию.
139
∂u
= 2x + 2. Согласно условиям Коши – Римана
∂x
∂u ∂v
=
= 2x + 2.
∂x ∂y
Отсюда интегрированием находим
Z
v (x; y) = (2x + 2) dy = (2x + 2) y + φ (x) .
Решение. Находим
Функция φ (x) играет роль постоянной интегрирования, так как интегрировали по y.
∂v
∂u
Согласно условиям Коши – Римана
= − . Значит,
∂x
∂y
= 2y + φ0 (x) = − ∂u
∂y = − (−2y) ,
φ0 (x) = 0,
φ (x) ≡ C,
v (x, y) = 2xy + 2y + C,
f (z) = x2 − y 2 + 2x + i (2xy + 2y + C) .
∂v
∂x
Для нахождения константы C воспользуемся начальным условием:
f (i) = −1 + 2i. Получим
1 + i (2i + C) = −1 + 2i.
Откуда C = 2. Окончательно имеем:
f (z) = x2 − y 2 + 2x + i (2xy + 2y + 2) .
Задание 11.7. Вычислить интеграл с помощью формулы Коши.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
I
I
sin z
cos z
1.
dz.
2.
dz.
3
z3
z − π2
|z|=2
|z|=1
I
I
ez
ez
dz.
3.
dz.
4.
z − πi
(z − πi)2
|z|=4
|z|=4
I
I
cos z
sin z
dz.
5.
dz.
6.
z z − π2
(z 3 + 4z) z − π2
|z|=2
|z|=1
I
I
tg z
dz
7.
8.
.
π dz.
z2 + 9
z z−4
|z|=1
|z+2i|=3
140
z2
dz.
9.
z − 2i
|z|=4
I
dz
11.
.
z2 + 9
|z−2i|=2
I
dz
.
13.
(z 2 + 9)2
|z+2i|=4
I
ez
15.
dz.
z 4 + 8z 2 − 9
|z|=2
I
sin z
17.
dz.
z (z − 6)
|z|=1
I
ez
19.
dz.
(z + 2)4
|z+2|=5
I
dz
.
21.
z2 + 9
|z+2i|=3
I
dz
23.
.
(z − 1)2 (z + 1)3
|z−1|= 23
I
π
e8
dz.
25.
z 2 + 16
|z−i|=3
I
dz
27.
.
(z + 2) (z 2 − 1)
|z−1|=3
I
ez
29.
dz.
z 2 (z + i)
I
I
dz
.
(z + 1)3 (z − 1)2
10.
|z+1|= 32
I
sin z
dz.
z+i
12.
|z+1|=4
e2z
dz.
z − π2 i
I
14.
|z|=2
I
16.
z2
dz.
z − 2i
|z|=3
I
18.
3
|z−1|=
I 2
20.
|z+i|=4
I
22.
|z−2i|=2
I
24.
dz
.
(z − 1)2 (z + 1)3
sin z
dz.
z+i
dz
.
z2 + 9
sin πz
4
dz.
z2 − z − 6
|z+1|=2
I
26.
|z|= 43
I
28.
dz
.
z (z − 1) (z + 2)
ez
dz.
z 2 (z − 1)
|z|=2
I
30.
|z+2|=2
e3z
dz.
z3 + 8
|z+2|=2
Пример 11.7. Вычислить интеграл
I
e−πz
dz.
z2 + 4
|z+i|=1,5
e−πz
Решение. Функция
аналитична в круге |z + i| = 1, 5. Поэтому,
z − 2i
применяя формулу Коши, находим:
I
I
e−πz
f (z)
e2πi
π
dz =
dz = 2πif (−2i) = 2πi
=− .
2
z +4
z − 2i
−4i
2
|z+i|=1,5
|z+i|=1,5
141
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача 11.8. Вычислить интеграл по указанной линии.
RДанные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Imzdz, L – отрезок прямой, соединяющий точки z1 = 0, z2 = 1 + i.
L
R
Imzdz, L – отрезок прямой, соединяющий точки z1 = 1, z2 = 2i.
L
R
|z| dz, L – отрезок, соединяющий точки z1 = −1, z2 = 1.
L
R
|z| dz, L – верхняя половина окружности |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
L
R
|z| dz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
L
R
|z| dz, L – окружность |z| = 1, проходимая в положительном наL
правлении.
R
7. |z| zdz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
L
R
8. |z| zdz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
L
R
9. z |z| dz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
LR
10. z |z| dz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
L
Z
z
dz, L – часть окружности |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π2 .
11.
z
L
Z
z
12.
dz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
z
RL
13.
z + z 2 dz, L – окружность |z| = 1, проходимая в положительном
L
направлении.
R
14. (1 + i − 2z) dz, L – отрезок прямой, соединяющий точки z1 = 0,
L
z2 =R1 + i.
15. (i + 2z) dz, L – отрезок прямой, соединяющий точки z = 0, z2 =
L
1 + i.
R 2
16.
z + zz dz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
L
R
17.
zz − z 2 dz, L – часть окружности |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π2 .
L
R
18. (z + 2z) dz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
RL
19. (2z + 1) zdz, L – окружность |z| = 1, проходимая в положительном
L
направлении.
R
20. Rezdz, L – дуга параболы y = 2x2 от точки z = 0 до точки z = 1+i.
L
R
21. Imz 2 dz, L – отрезок кубической параболы y = x3 от точки z = 0
L
142
до точки
z = 1 + i.
R
2
22. (z) dz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
L
R
23. (z)2 dz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
L
Z
dz
24.
, L – отрезок, соединяющий точки z1 = 2 + i, z2 = 3 + 2i.
Imz
L
Z
dz
25.
, L – отрезок, соединяющий точки z1 = −i, z2 = 2 + 3i.
Imz
RL
26. (2z + 3) dz, L – отрезок, соединяющий точки z1 = 2 − i, z2 = 1 + 2i.
L
R
27. (2z − z) dz, L – верхняя полуокружность |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
L
R
28. (z − 2z) dz, L – правая полуокружность |z| = 1, − π2 ≤ arg z ≤ π2 .
L
R
29. (z + 2z) dz, L – окружность |z| = 1, проходимая в положительном
L
направлении.
R
30. (3z − i + 2z) dz, L – отрезок прямой, соединяющий точки z1 = 0,
L
z2 = 1 + i.
R
Пример 11.8. Вычислить интеграл Imzdz по следующим путям
L
интегрирования:
а) L1 – отрезок прямой, соединяющий точки z1 = 3 до z2 = −3.
б) L2 – полуокружность: |z| = 3, 0 ≤ arg z ≤ π.
Решение. Функция w = Imz = y не является аналитической. Вычисляем
интеграл по общей формуле
Z
Z
f (z) dz = (u + iv) (dx + idy) .
L
Z
а)
L
Z
y (dx + idy) =
L1
Z
ydx + i
L1
ydy.
L1
R
На действительной оси y = 0, поэтому
Imzdz = 0.
L1
б) На линии L2 введем параметрическое представление окружности
x = 3 cos φ
0 ≤ φ ≤ π.
y = 3 sin φ,
Тогда
Z
Z
Imzdz =
L2
Z
y (dx + idy) =
L2
Zπ
Z
ydx + i
L2
ydy =
L2
143
3 sin φ (−3 sin φ) dφ+
0
Zπ
Zπ
3 sin φ 3 cos φdφ = −9
+i
0
Zπ
= −9
0
sin2 φ dφ + 9i
0
1 − cos 2φ
dφ + 9i
2
Zπ
Zπ
sin φ cos φ dφ =
0
9π
π
sin φ d (sin φ) = −9 + 9i · 0 = − .
2
2
0
144
Часть XII. Ряды
Задача 12.1. Исследовать на сходимость ряд.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
√
∞
∞
3
X
X
n
1 + n3
√ .
1.
2.
.
2 + n4
2n
(n
+
1)
n
n=1 r
n=1
∞
∞
X
X
2n
2
√
.
4.
3.
.
3+4
3+3
n
n
n=1
n=1
∞
∞ 2 3
X
X
4n + 2
2+n
√
.
6.
.
5.
3
4+3
n
n
n=1
n=1
∞
∞
X
X
3n
3n + 1
√
√
.
8.
7.
.
4
3
4−2
6+4
5n
π
8n
n=1 r
n=1
∞
∞
3
X
X
4
3n + 2
3
√
.
9.
.
10.
6−2
5
5n
5n
3n
n=1
n=1 r
√
∞
∞
X
X
3n n
3n
11.
.
12.
.
5+4
2n
4n
+
5
n=1
n=1
∞
∞
X
X
3πn
n2
√
√
13.
.
.
14.
4
7+1
(n
+
1)
n
+
1
n
n=1
n=1
∞
∞
X
X
100n
5n3
15.
.
16.
.
2 + 3)(2n + 1)
300n
+
9
(n
n=1 r
n=1
∞
∞
X
X
2
3 + n2
√ .
17.
.
18.
5+5
n
5
+
2n
n
n=1
n=1 ∞
∞
3
X
X
1
3+n
√
19.
.
20.
.
3
2
2+4
2
+
n
5n
n=1
n=1
√
∞
∞
X
X
7n n
2n + 5
√ .
.
22.
21.
5+6
4n
3n
n
n=1
n=1
∞
∞
X
X
5n2 + 4n + 2
2n2
23.
.
24.
.
2 + 4n + 9
3 + 2n2 + 8n + 1
3n
6n
n=1
n=1 r
∞
∞
X
X
1+n
3n
√
25.
.
26.
.
6 + 3n + 2
2 n
5n
2
+
n
n=1
n=1 r
√
∞
∞
3
X
X
n
n n
.
28.
.
27.
5 + 2n2
7 + 4n2
3n
2n
n=1
n=1 r
2
∞ 2
∞
X
X
n + 3n + 2
5n
3
.
30.
29.
.
3+8
4 + 2n
n
6n
n=1
n=1
145
Пример 12.1. Исследовать на сходимость ряд
∞
X
n2 + 3n + 2
√
.
6 + 2n2 + 5
n
n=1
Решение. Применим к данному ряду предельный признак сравнения.
Запишем общий член ряда
n2 + 3n + 2
√
an =
n6 + 2n2 + 5
и общий член ряда Дирихле bn =
an
= lim
lim
n→∞
n→∞ bn
1
и находим предел:
np
n2 + 3n + 2
√
n6 + 2n2 + 5
1
np
n2 + 3n + 2 · np
= lim √
= L.
n→∞
n6 + 2n2 + 5
Чтобы предел был конечным числом, отличным от нуля, как того требует
предельный признак сравнения, степень числителя должна равняться
степени знаменателя, т.е.
2 + p = 3,
p = 1.
При p = 1 ряд Дирихле расходится, поэтому в силу предельного признака сравнения расходится и исследуемый ряд.
Задача 12.2. Исследовать на сходимость ряд.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
∞
∞
X
X
n+1
2n+1 (n2 + 1)
1.
.
2.
.
n (n − 1)!
2
(n
+
1)!
n=2
n=1
∞
∞
X
X
arctg n5
(2n + 2)! 1
3.
· n.
4.
.
3n
+
5
2
n
−
1!
n=1
n=1
∞
∞
X
X
n!
1
n2
5.
tg n .
6.
.
(2n)!
5
(n
+
2)!
n=1
n=1
∞
∞
2n
X
X
7
1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)
7.
.
8.
.
n (n + 1)!
(2n
−
1)!
3
n=1
n=1
∞
∞
2
X
X
(n!)
(n + 1)!
9.
.
10.
.
n + 1)(2n)!
n
(3
n
n=1
n=1
∞
∞
n
X
X
2 n!
3n
11.
.
12.
.
n
n
n
(n
+
2)!4
n=1
n=1
146
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
∞
X
1 · 4 · 7 . . . (3n − 2)
.
7
·
9
·
11
.
.
.
(2n
+
5)
n=1
∞
X
(n!)3
.
n2
2
n=1
∞
X
2
n+5
sin n .
n!
3
n=1
∞
X 6n (n2 − 1)
.
n!
n=1
∞
X
n!
.
n−4
n
n=1
√
∞
3
X
5n n2
.
(n
+
1)!
n=1
∞
X
3 · 5 · 7 . . . (2n + 1)
.
2
·
5
·
8
.
.
.
(3n
−
1)
n=1
√
∞
X
4n−1 n3 + 5
.
(n
−
1)!
n=1
√
∞
X
n! 3 n
.
n+2
3
n=1
14.
∞
X
(3n + 2)!
n=1
16.
10n n2
∞
X
10n 2n!
n=1
(2n)!
.
.
∞
X
nn
18.
.
n n!
3
n=1
∞
X
n!
20.
.
(3n)!
n=1
∞
X
n
22.
n! sin n .
2
n=1
∞
X 5n (n + 1)!
24.
.
(2n)!
n=1
∞
X
2n!
√
26.
.
n+3
2
n=1
∞
X
n!(2n + 1)!
28.
.
(3n)!
n=1
∞
X
nn
30.
.
2
(n!)
n=1
Пример 12.2. Исследовать на сходимость ряд
∞
X
(2n + 3) · 5n
n=1
((n + 1)!)2
.
Решение. Применяем признак Даламбера, для чего выпишем n-й и n+1й члены
(2n + 3) · 5n
,
an =
((n + 1)!)2
(2(n + 1) + 3) · 5n+1
(2n + 5) · 5n+1
an+1 =
=
,
((n + 2)!)2
((n + 2)!)2
рассмотрим соответствующий предел
an+1
n→∞ an
lim
(2n + 5) · 5n+1
(2n + 5) · 5n · 5 · ((n + 1)!)2
((n + 2)!)2
= lim
= lim
=
n→∞ (2n + 3) · 5n
n→∞ (2n + 3) · 5n · ((n + 2)!)2
((n + 1)!)2
147
((n + 1)!)2
((n + 1)!)2
2n + 5
2n + 5
·
·
= 5 lim
= 5 lim
= 0.
n→∞ 2n + 3 ((n + 1)!(n + 2))2
n→∞ 2n + 3 ((n + 1)!)2 (n + 2)2
Так как предел равен нулю, то согласно признаку Даламбера ряд сходится.
Задача 12.3. Исследовать на сходимость ряд.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
−n2
n2
∞ ∞
X
X
n
2n2 + 1
1
.
2.
.
1.
n
2+1
3
n
+
1
n
n=2
n=2
n2
n2
∞ ∞ X
X
2n + 1
4n − 3
3.
.
4.
.
3n
−
2
5n
+
1
n=2
n=2 n
∞
∞
X
X
n
−
1
n
π
6.
.
5.
n arcsinn .
n
4n
n
5
n=2 n=2 n
2n+1
∞
∞
X
X
3n + 2
n
2
7.
(n − 1) .
8.
.
4n
−
1
3n
+
1
n=2
n=2
∞
∞
n+1
X
X
n3
2
.
10.
.
9.
n
n
n
(ln
n)
n=2
n=2
∞
∞
X
X
1
3
n π
11.
n arctg
.
12.
2n−1 n .
3n
e
n=2
n=2
2
2n
∞
∞
n
X
X
√
2n
n
13.
.
14.
n
.
4n
+
3
3n
−
1
n=2
n=2
n2
∞
∞ n+2
X
X
n·3
1
1
15.
.
16.
1
+
.
n
n
5
n
4
n=2
n=2 n
n
∞
∞
X
X
2n
2n + 2
4
17.
n
.
18.
(n + 1)3 .
3n + 5
3n + 1
n=2
n=2
2
n2
∞
∞
n
X
X
n
n+2
19.
.
20.
.
10n
+
5
3n
−
1
n=2
n=2
n2
n2
∞ ∞ X
X
2n + 3
n+1
21.
.
22.
.
2n
+
1
2n
−
3
n=2
n=2
n2
∞ ∞
X
X
2n − 1
π
23.
.
24.
n2 sinn .
3n + 1
2n
n=2
n=2
2
∞
∞
n
X
X
n
n5 · 3n
25.
.
26.
.
n
3n
−
1
(2n
+
1)
n=2
n=2
2n
n2
∞
∞ X
X
3n − 1
n+1
1
27.
n
.
28.
· n.
4n + 2
n
2
n=2
n=2
148
∞
X
nn+2 + 1
29.
n.
2
n=2 (2n + 1)
2
3n
∞
X
√
n
−
2
3
n
30.
.
2n
+
1
n=2
Пример 12.3. Исследовать на сходимость ряд
n
∞ X
3n2 + 4
n=1
5n2 + 7
2
.
Решение. Применим признак Коши. Для этого составим и вычислим
предел
s
2
2
n2
n ∞
√
3n
+
4
3n
+
4
3
n
=
lim
=
= 0.
lim n an = lim
n→∞
n→∞ 5n2 + 7
n→∞
5n2 + 7
5
Правильная дробь 53 возводится в степень, которая неограниченно
растет, поэтому в результате получаем ноль. Предел меньше единицы,
значит по теореме Коши исходный ряд сходится.
Задача 12.4. Исследовать на сходимость ряд.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
∞
∞
X
X
1
1
.
2.
.
1.
2
n
ln
2n
2n
ln
3n
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
1
p
3.
.
4.
.
2
n
ln
3n
(2n
+
1)
ln
(2n
+
1)
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
1
.
6.
.
5.
3
2
n
ln
2n
(2n
+
1)
ln
(2n
+
1)
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
1
q
7.
.
8.
.
3
3
n
ln
(3n)
n=1
n=1 (3n + 2)
ln (3n + 2)
∞
X
1
9.
.
(n
+
3)
ln
(n
+
3)
n=1
∞
X
1
11.
.
3
n
ln
(2n)
n=1
∞
X
1
13.
.
3
4n
ln
(3n)
n=1
∞
X
1
15.
.
2
(6n
+
1)
ln
(6n
+
1)
n=1
∞
X
1
17.
n.
n
ln
3
n=1
10.
∞
X
n=1
1
p
.
2n
ln
(3n)
n=1
∞
X
1
√
14.
.
3
n 4
ln
n
n=1 3
∞
X
1
2 .
16.
n
ln n
n=1 5
∞
X
1
√
18.
.
4
3
n=1 2n ln n
12.
149
∞
X
1
.
n ln (6n)
∞
X
19.
∞
X
20.
1
4 .
4n
ln
n
n=1
∞
X
1
21.
3 n.
n
ln
5
n=1 4
∞
X
1
23.
.
3
2n
ln
3n
n=1
∞
X
1
25.
.
n
ln
(2n)
n=1 3
∞
X
1
27.
2 .
3n
ln
n
n=1
∞
X
1
29.
3 .
n
ln
n
n=1 6
1
2 .
3n
ln
n
n=1
∞
X
1
22.
.
4
2n
ln
(3n)
n=1
∞
X
1
p
.
24.
3
(5n
+
3)
ln
(5n
+
3)
n=1
∞
X
1
26.
.
4
(4n
−
1)
ln
(4n
−
1)
n=1
∞
X
1
√
28.
.
5
2
4n
ln
n
n=1
∞
X
1
.
30.
(5n
−
1)
ln
(5n
−
1)
n=1
Пример 12.4. Исследовать на сходимость ряд
∞
X
1
.
n ln n
n=2
1
, то f (x) = x ln1 x . Функция f (x) положиn ln n
тельна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке (2, +∞), значит
для исследования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости. Вычислим соответствующий несобственный интеграл
Решение. Так как an =
Z∞
2
1
dx = lim
b→∞
x ln x
Zb
dx
=
x ln x
2
b
= lim ln ln x = lim (ln ln b − ln ln 2) = +∞.
b→∞
2
b→∞
Z∞
Так как несобственный интеграл
∞
X
1
dx расходится, значит расхоx ln x
2
1
.
n
ln
n
n=2
Задача 12.5. Исследовать ряд на абсолютную и условную
сходимость.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
дится и ряд
150
∞
X
2n + 1
1.
(−1)n+1
.
n
(n
+
1)
n=1
∞
X
2n
n
.
3.
(−1) 4
2+1
n
−
n
n=1
∞
X
(−1)n
√
5.
.
3n
+
1
n=1
∞
X
(−1)n−1
7.
.
2n
(n
+
1)
2
n=1
∞
X
2n − 1
.
9.
(−1)n
3n
n=1
∞
X
(−1)n
√
.
11.
5n
−
1
n=1
∞
X
(−1)n
13.
.
2n+1
(2n
+
1)
2
n=1
∞
X
n
15.
(−1)n n .
3
n=1
∞
X
3n − 1
17.
(−1)n
.
2n
6
n=1
∞
X
n+4
19.
(−1)n
.
n!
n=1
∞
5
X
n n
21.
(−1) n .
5
n=1
∞
X
1 1
23.
(−1)n · n .
n 2
n=1
∞
X
n
25.
(−1)
.
5
1
+
n
n=1
∞
X
3n
27.
(−1)n n .
3
n=1
r
∞
X
n+1
29.
(−1)n
.
4+3
n
n=1
∞
X
2.
(−1)n+1
n=1
n
2n + 1
n
.
∞
X
(−1)n+1
√
.
4.
4
n
2n
+
3
n=1
∞
X
(−1)n
.
6.
n
ln
(2n)
n=1
∞
X
(−1)n−1
.
8.
3 n
(n
+
1)
2
n=1
∞
X
n+1
10.
(−1)n √ .
n3
n=1
∞
X
(−1)n
√
12.
.
2−1
n
n=1
∞
X
1
14.
(−1)n √ .
n n
n=1
∞
X
n3
n
16.
(−1)
.
(n
+
1)!
n=1
∞
X
3n + 2
18.
(−1)n−1 2
.
4n
+
3
n=1
∞
X
3n + 1
20.
(−1)n
.
3!
n=1
∞
X
n
22.
(−1)n
.
(n
+
1)!
n=1
∞
X
n+2
24.
(−1)n √ .
n n
n=1
∞
X
1
26.
(−1)n
.
(2n
+
4)
(4n
−
1)
n=1
∞
X
(2n − 1)
28.
(−1)n
.
n!
n=1
3
∞
X
n 2n + 3
30.
(−1)
.
2
n
n=1
Пример 12.5. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
∞
X
1
.
(−1)n √
2
n
−
1
n=1
151
∞
P
Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд
an из абсолютных величин
n=1
членов данного ряда:
∞
X
an =
n=1
Сравним этот ряд с рядом
√1
2 n−1
для всех n. Ряд
∞
P
n=1
n=1
∞
P
n=1
1
√
2 n
∞
X
1
√
.
2 n
1
.
2 n−1
√
√
√
Так как 2 n − 1 < 2 n, то
√1
2 n−1
расходится, так как расходится ряд
Значит, по признаку сравнения расходится и ряд
∞
P
n=1
∞
P
n=1
√1 .
2 n−1
>
√1 .
n
Итак, исход-
ный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя
признак Лейбница.
a) Проверим, выполняется ли неравенство an > an+1 для абсолютных
величин членов данного ряда:
1
1
> √
= an+1 .
an = √
2 n−1 2 n+1−1
√
√
Данное неравенство эквивалентно неравенству 2 n − 1 < 2 n + 1 − 1,
которое верно для любого n ∈ N. Значит, an > an+1 для всех номеров
n = 1, 2, . . . .
б) Найдем предел общего члена ряда:
1
lim an = lim √
= 0.
n→∞
n→∞ 2 n − 1
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба
условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится. Однако ряд из абсолютных величин расходится,
поэтому данный ряд сходится условно.
Задача 12.6. Найти область сходимости степенного ряда.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
∞
∞
X
X
n (x + 1)n
(2n + 3) · (x + 1)n
n+1
1.
(−1)
.
2.
.
2
2
n+1
(2n
+
1)
·
9
(n
+
1)
n=1
n=1
∞
∞
2n+1
X
X
(x − 5)
n (x − 3)n
n+1
3.
.
4.
(−1)
.
2
n+1
3n
+
8
(n
+
1)
·
5
n=1
n=1
∞
∞
n−1
2n
X
X
n3 + 1 (x − 2)n
(−1)
(x − 2)
5.
.
6.
.
n+1 (n + 3)
n
4
n
·
3
n=1
n=1
152
7.
∞
X
n · 2n+1 (x − 1)n
.
2
(n
+
1)
n=1
∞
X
(x − 7)2n−1
9.
2.
((2n
+
1)!)
n=1
∞
X
(3n + 1) · (x − 2)n
11.
.
3
(5n
+
8)
n=1
∞
X
(2n − 1) · (x + 5)n
.
13.
2 + 1) · 2n+1
(n
n=1
∞
X
n · (x + 3)n
.
15.
3
n+1
(n
+
1)
·
2
n=1
∞
X
n5 · (x + 5)2n+1
17.
.
(n
+
1)!
n=1
∞
X
(x − 3)n
19.
.
2
n
(n
+
4)
·
3
n=1
∞
X
(x + 2)n
.
21.
2 · 5n
n
n=1
∞
X
3n+1 · (x − 2)n
23.
.
(n
+
4)!
n=1
∞
n
X
n (n + 2) · (x + 4)
25.
(−1)
(n + 3)!
n=1
∞
n
X
n−1 (2n + 3) · (x − 3)
27.
(−1)
.
2
(n
+
2)
·
n!
n=1
∞
X
n6 (x + 2)n
29.
.
(n
+
2)!
n=1
∞
X
n (x + 5)n
8.
.
n (2n + 1)2
4
n=1
∞
X
(x − 2)n
10.
.
n−1
(3n
−
1)
·
2
n=1
∞
X
(3n − 1) · (x + 5)n
12.
.
3
n−1
(n
+
1)
·
2
n=1
∞
X
(x − 1)2n
14.
.
n
n
·
9
n=1
∞
X
(n + 3) · (x − 4)n
16.
.
2 · 3n−1
n
n=1
∞
X
(3n − 2) · (x − 3)n
18.
.
2
n+1
(n
+
1)
·
2
n=1
∞
X
(x + 4)n
20.
.
2
n
(n
+
2)
·
3
n=1
∞
X
n · 2n · (x + 3)n
22.
.
3
(2n
−
1)
n=1 √
∞
X
n + 1 · (x + 3)n
24.
.
n·n
5
n=1
∞
X
(n + 2)3 · (x − 3)n
26.
.
2 · 5n−1
n
n=1
∞
2n
X
n (x + 1)
28.
(−1)
.
3 · 5n
n
n=1
∞
X
n3 + 1 · (x − 5)n
30.
.
n
n
·
7
n=1
Пример 12.6. Найти область сходимости степенного ряда
∞
X
+ 1) · (x + 2)n
.
(n + 1)2 · 3n+1
n (2n
(−1)
n=1
Решение. Для удобства обозначим x + 2 = X. Ряд примет вид
∞
X
∞
X
(2n + 1) · X n
(2n + 1)
(−1)
=
an X n , где an = (−1)n
.
2
n+1
2 · 3n+1
(n
+
1)
·
3
(n
+
1)
n=1
n=1
n
153
Найдем радиус сходимости:
an
= lim
R = lim
n→∞
n→∞ an+1
= lim
n→∞
(2n+1)
(n+1)2 ·3n+1
(2n+3)
(n+2)2 ·3n+2
2
n+2
=
2n + 1 (n + 2) 3
= 3.
·
·
2n + 3 (n + 1)2 3n+1
Отсюда
|X| < 3,
−3 < X < 3,
−3 < x + 2 < 3,
−5 < x < 1.
Итак, при x ∈ (−5, 1) ряд сходится абсолютно, а при x ∈
/ [−5, 1] – расходится. Значит, (−5, 1) – интервал сходимости данного ряда. Исследуем
сходимость ряда на концах этого интервала, т.е. в точках x = −5 и x = 1.
Исследуем поведение ряда на концах интервала.
1) Пусть x = −5. Ряд примет вид
∞
X
∞
+ 1) · (−3)n X (2n + 1)
(−1)
=
.
2 · 3n+1
2·3
(n
+
1)
(n
+
1)
n=1
n=1
n (2n
Это знакоположительный ряд. Для исследования его на сходимость можно использовать предельный признак и сравнить его с рядом Дирихле
∞
∞
P
P
(2n+1)
1
.
В
данном
случае
p
=
1,
и
ряд
p
x
(n+1)2 ·3 расходится, т.е. x = −5
n=1
n=1
не входит в область сходимости.
2) Пусть x = 1. Ряд примет вид
∞
P
n=1
2n+1
(−1)n (n+1)
2 ·3 . Получили знакоче-
редующийся ряд, который удовлетворяет теореме Лейбница – сходится,
и x = 1 входит в область сходимости. Итак, область сходимости вспомогательного ряда
−5 < x ≤ 1.
Задача 12.7. Разложить подынтегральную функцию в степенный ряд, вычислить приближённо интеграл с точностью до
0,001.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
Z0,25
Z0,5
1 − cos 2x
sin xdx
1.
.
2.
dx.
x
x2
0
0
Z0,5
3.
Z0,5
sin2 x
dx.
x
4.
0
0
154
2
1 − e−2x
dx.
x
Z0,5
5.
Z1
3
ex dx.
6.
0
0
Z0,5p
7.
1 − x3 dx.
Z1
8.
0
Z
sin xdx
√ .
x
cos xdx.
0
1
3
Z1
10. sin x2 dx.
2
e−3x dx.
9.
0
0
1
1
10
Z2
1
12. √
dx.
1 + x4
Z
ln 1 + x
dx.
11.
x
0
0
1
2
Z1
14. x10 sin xdx.
Z
1
dx.
13. √
1 + x3
0
0
1
1
2
Z2
1 − cosx
16.
dx.
x2
Z
sin 2x
dx.
15.
x
0
0
Z1
17.
1
Z4
1 − e−x
18.
dx.
x
x
2
sin
dx.
x
0
0
1
Z1
sin x
√
19.
dx.
3
x
Z2
x
dx.
20. √
1 + x3
0
0
1
Z1
√
21. x cos xdx.
Z4
√ −x2
22.
xe dx.
0
0
Z0,5
2
23. x2 e−x dx.
Z0,5
ln(1 + x2 )
24.
dx.
x2
0
0
Z0.5
1
2
Z
x
dx.
25. √
3
1 + x2
26.
0
3
e−2x dx.
0
1
4
1
Z2
√
28. x cos 2xdx.
Z
sin 4x
27.
dx.
x
0
0
155
1
1
Z2
ln 1 + x2
dx.
29.
x2
Z2
1
30. √
dx.
4
1 + x4
0
0
Пример 12.7. Разложить подынтегральную функцию в степен1
Z4
ный ряд, вычислить приближённо интеграл
2
e−x dx с точно-
1
стью до 0,001.
Решение. Используя ряд для
x2 x3
xn
e =1+x+
+
+ ... +
+ ...,
2!
3!
n!
x
разложим подинтегральную функцию в степенной ряд:
∞
−x2
e
X
x4 x6
x2n
−
+ ... =
(−1)n
; (−∞ < x < ∞).
=1−x +
2!
3!
n!
n=0
2
Интегрируя этот ряд почленно, получим
−x2
e
dx =
1
=
1
1
1
Z4
∞
X
n=0
Z4 X
∞
1
(−1)
nx
n=0
2n
n!
dx =
∞
X
(−1)n
n=0
Z4
x2n dx =
1
n
1
1
(−1)
1
1
=
+
− ...
·
−
n!
(2n + 1) · 42n+1
4 3 · 43 215 · 45
Полученный числовой ряд есть знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Погрешность, возникающая при отбрасывании всех членов, начиная с третьего, будет по модулю меньше
третьего члена:
1
|4| <
< 10−4 ,
215 · 45
т.е. даже лучше, чем требуется. Вычисляя с точностью 0,0001 найдем
1
Z4
2
e−x dx ≈ 0, 2448.
1
Задача 12.8. Найти n отличных от нуля члена разложения в
степенной ряд решения задачи Коши.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. y 0 = ex + ln(x + 1), y(0) = 0, n = 3.
156
2. y 0 = xex + 1 + y 2 , y(0) = 0, n = 3.
3. y 0 = y 2 + x3 , y(0) = 12 , n = 4.
4. y 0 = x2 + y 2 , y(0) = 1, n = 3.
5. y − (2x − 1)y − 1, y(0) = 0, y 0 (0) = 1, n = 5.
6. yxy 0 − y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0, n = 3.
7. y 0 = x + x2 + y 2 , y(0) = 1, n = 5.
8. y 0 − sin y = sin x, y(0) = π2 , = 3.
9. y − y 0 x − y + 1, y(0) = y 0 (0) = 0, n = 3.
10. y 0 − x = y 2 , y(0) = 1, n = 4.
11. y − x2 y, y(0) = y 0 (0) = 1, n = 4.
12. y 0 = 1 + x − y 2 , y(0) = 1, n = 4.
13. yxy 2 = 0, y(0) = y 0 (0) = 1, n = 4.
14. y 0 = y 2 + x, y(0) = 1, n = 5.
15. y 0 = x + x2 + y + ey , y(0) = 0, n = 3.
16. y 0 = y 2 x2 − 1, y(0) = 1, n = 3.
17. y” + xy = 0, y(0) = (1), y 0 (0) = 0, n = 3.
18. y 0 = cos 2x − x − y 2 , y(0 = 0), n = 3.
19. y(1 − x2 )y = 0, y(0) = −2, y 0 (0) = 2, n = 5.
20. y 0 = xy + ey , y(0) = 0, n = 3.
21. y − xy 0 − y + ex , y(0) = 0, y 0 (0) = 1, n = 4.
22. y − x2 y − y 0 , y(0) = 1, y 0 (0) = 0, n = 3.
23. y 0 = y + xey , y(0) = 0, n = 2.
24. y − x + y 2 , y(0) = (0), y 0 = (0) = 1, n = 3.
25. y − xy 2 − y 0 , y(0) = 2, y 0 (0) = 1, n = 5.
26. y 0 = sin 3x + cos y, y(0) = 0, n = 3.
27. y 0 = cos x + ey + x, y(0) = 0, n = 3.
28. y 0 = 2x3 − y 2 − 2x, y(0) = 1, n = 4.
29. y 0 = xe−x + ln y, y(0) = 1, n = 3.
30. y 0 = yx + ey , y(0) = 0, n = 3.
Пример 12.7
Найти четыре отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения задачи Коши:
1
y 0 = x2 + y 2 , y(0) = .
2
Решение. Будем искать решение уравнения в виде
y 0 (0)
y 00 (0) 2 y 000 (0) 3 y IV (0) 4
y = y(0) +
x+
x +
x +
x + ...
1!
2!
3!
4!
Имеем y 0 (0) = 0 + 21 = 41 . Из данного уравнения найдем:
y 00 = 2x + 2y · y 0 , y 00 (0) = 2 · 0 + 2 · 12 · 14 = 14
y 000 = 2 + 2(y 0 · y 0 + y · y 00 ), y 000 (0) = 2 + 2 12 · 21 + 12 · 41 = 11
4.
157
Разложение решения задачи Коши в ряд имеет вид:
1
1
11
1
4
4 2
y(x) = + x + x + 4 x3 + . . . ≈
2 1!
2!
3!
1 2
11 3
1 1
x +
x.
≈ + x+
2 4
4 · 2!
4 · 3!
158
Часть XIII. Векторный анализ
Задача 13.1. Для вариантов 1 – 14. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке M по направлению нормали к
поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. u = 4 ln (3 + √
x2 ) − 8xyz, S : x2 − 2y 2 + 2z 2 = 1, M (1; 1; 1).
√
2. u = x y + y z, S : 4z + 2x2 − y 2 = 0, M (2; 4; 4).
2
3. u = −2 ln (x√
− 5) − 4xyz, S : x2 + 2y 2 − 2z 2 = 1, M (1; 1; 1).
4. u = 41 x2 y −p x2 + 5z 2 , S : z 2 = x2 + 4y 2 − 4, M (−2; 21 ; 1).
5. u = xz 2 − x3 y, S : x2 − y 2 − 3z + 12 = 0, M (2; 2; 4).
√
6. u = x y − yz 2 , S : x2 + y 2 = 4z, M (2; 1; −1).
1
) + x2 ) − 4xyz, S : 7x2 − 4y 2 + 4z 2 = 7, M (1; 1; 1).
7. u = 7 ln ( 13
8. u = arctg xy + xz, S : x√2 + y 2 − 2z = 10, M (2; 2; −1).
9. u = 4 p
ln (1 + x2 ) − xy z, S : 4x2 − y 2 + z 2 = 16, M (1; −2; 4).
10. u = x2 + y 2 − z, √
S : x2 + y 2 = 24z, M (3; 4; 1).
√
11. u = x y − (z
+ y) x, S : x2 − y 2 + z 2 = 4, M (1; 1; −2).
√
√
12. u = xy − 4 − z 2 , S : z = x2 − y 2 , M (1; 1; 0).
3
13. u = (x2 + y 2 + z 2 ) 2 , S : √
2x2 − y 2 + z 2 − 1 = 0, M (0; −3; 4).
14. u = ln (1 + x2 + y 2 ) − x2 + z 2 , S : x2 − 6x + 9y 2 + z 2 = 4z + 4,
M (3; 0; −4).
Задача 13.1. Для вариантов 15 – 30. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке M по направлению нормали к
поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
3
15. u = (x2 + y 2 + z 2 ) 2 , ~l = ~i − ~j + ~k, M (1; 1; 1).
16. u = x + ln p
z 2 + y 2 , ~l = −2~i + ~j − ~k, M (2; 1; 1).
17. u = x2 y − xy + z 2 , ~l = 2~j − 2~k, M (1; 5; −2).
18. u = y ln (1 + x2 ) + arctgz, ~l = 2~i − 3~j − 2~k, M (0; 1; 1).
19. u = x(ln y − arctgz), ~l = 8~i + 4~j + 8~k, M (−2; 1; −1).
20. u = ln (3 − x2 ) + xy 2 z, ~l = −~i + 2~j − 2~k, M (1; 3; 2).
√
21. u = sin (x + 2y) + xyz, ~l = 4~i + 3~j, M ( π2 ; 3π
2 ; 3).
√
22. u = x2 y 2 zp
− ln (z − 1), ~l = 5~i − 6~j + 2 5~k, M (1; 1; 2).
23. u = x√3 + y 2 + z 2 , ~l = ~j − ~k, M (1; −3; 4).
24. u = yx − x+yz√y , ~l = 2~i + ~k, M (4; 1; −2).
√
√
25. u = xy + 9 − z 2 , ~l = −2~i + 2~j − ~k, M (1; 1; 0).
√
26. u = 2 x + y + y arctg z, ~l = 4~i − 3~k, M (3; −2; 1).
27. u = z 2 + 2arctg(x − y), ~l = ~i + 2~j − 2~k, M (1; 2; −1).
159
28. u = ln (x2 + y 2 ) + xyz, ~l = ~i − ~j + 5~k, M (1; −1; 2).
29. u = xy − xz , ~l = 5~i + ~j − ~k, M (−4; 3; −1).
p
30. u = ln (x + y 2 + z 2 ), ~l = −2~i − ~j + ~k, M (1; −3; 4).
Пример 13.1. Найти производную скалярного поля
u = 2 ln (x + 3y) + 5xyz
в точке M (1; 1; 1) по направлению нормали к поверхности S :
2x2 − y 2 + 5z 2 = 0, если нормаль образует острый уголnс осью Oz.
o
→
−
∂F ∂F ∂F
Решение. Направление нормали к поверхности имеет вид n ∂x ; ∂y ; ∂z ,
где
S : F (x; y; z) = 0.
В данном случае:
∂F
∂F (M )
= 4x,
= 4,
∂x
∂x
∂F
(M )
= −2y, ∂F∂y
= −2,
∂y
∂F
(M )
= 10z, ∂F∂z
= 10.
∂z
−
−
Вектор →
n в точке M имеет вид →
n {4; −2; 10}.
Производная по направлению вычисляется по формуле:
∂u ∂u ∂u
∂u
∂u
=
=
cos α +
cos β +
cos γ.
∂l
∂n ∂x
∂y
∂z
Находим частные производные функции u, а затем вычисляем их
значения в точке M.
∂u
∂x
∂u
∂y
2
x+3y + 5yz,
2·3
x+3y + 5xz,
∂u
∂z = 5xy,
=
=
∂u(M )
∂x
∂u(M )
∂y
∂u(M )
∂z
= 11
2
13
= 2
= 5.
−
Находим направляющие косинусы вектора →
n.
4
4
4
2
x
cos α = →
=q
=√
= √ =√ ,
−
|n|
120 2 30
30
42 + (−2)2 + 102
y
1
2
cos β = →
= − √ = −√ ,
−
|n|
2 30
30
z
10
5
cos γ = →
= √ =√ .
|−
n | 2 30
30
Окончательно имеем:
∂u (M ) 11
2
13
1
5·5
22 − 13 + 50
59
√
=
·√ −
·√ +√ =
= √ .
∂n
2
2
30
30
30
2 30
2 30
160
Задача 13.2. Найти векторные линии в векторном поле ~a.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. ~a = 4y~i − 9x~j.
2. ~a = 2y~i + 3x~j.
3. ~a = 2x~i + 4y~j.
4. ~a = x~i + 3y~j.
5. ~a = x~i + 4y~j.
6. ~a = 3x~i + 6z~k.
7. ~a = 4z~i − 9x~k.
8. ~a = 2z~i + 3x~k.
9. ~a = 4y~j + 8z~k.
10. ~a = y~j + 3z~k.
11. ~a = 2x~i + 8z~k.
12. ~a = x~i + 3z~k.
13. ~a = 4z~j − 9y~k.
14. ~a = 2z~j − 3y~k.
15. ~a = 5x~i + 10y~j.
16. ~a = 2x~i + 6y~j.
17. ~a = y~j + 4z~k.
18. ~a = x~i + y~j.
19. ~a = 9y~i − 4x~j.
20. ~a = 5y~i + 7x~j.
21. ~a = 6x~i + 12z~k.
22. ~a = 2y~i + 6z~k.
23. ~a = 4x~i + y~j.
24. ~a = 9z~i − 4x~k.
25. ~a = x~i + z~k.
26. ~a = 5z~i + 7x~k.
27. ~a = 7y~j + 14z~k.
28. ~a = 2x~i + 6z~k.
29. ~a = 5z~j + 7y~k.
30. ~a = 4y~i + z~k.
Пример 13.2. Найти векторные линии в векторном поле
→
−
~a = 5y~i − 3x j.
Решение. Составляем дифференциальные уравнения векторных линий:
dx
dy
dz
=
= .
5y
−3x
0
Перепишем систему уравнений в виде:

dx
dy


=
,
5y
−3x
dx dz


= .
5y
0
В первом уравнении разделяем переменные, а во втором уравнении dz = 0.
( xdx ydy
=
,
5
−3
dz = 0.
Интегрируем оба уравнения:

 x2
y2
= − + C1 ,
 z10= C . 6
2
161
Или запишем результат в виде:
2 y2
x
10 + 6 = C1 , C1 > 0,
z = C2 .
Проанализируем и выясним вид полученных линий. Первое – это
уравнения эллиптических цилиндров с образующей параллельной оси
Oz (в плоскости xOy – эллипсы); второе – уравнения плоскостей параллельных плоскости xOy, следовательно векторные линии – эллипсы.
Задача 13.3. Найти поток векторного поля ~a через часть
плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. ~a = x~i + y~j + z~k, P : x + y + z = 1.
2. ~a = y~j + z~k, P : x + y + z = 1.
3. ~a = 2x~i + y~j + z~k, P : x + y + z = 1.
4. ~a = x~i + 3y~j + 2z~k, P : x + y + z = 1.
5. ~a = x~i + y~j, P : x + y + z = 1.
6. ~a = x~i + y~j + z~k, P : x2 + y + z = 1.
7. ~a = x~i + 2y~j + z~k, P : x2 + y + z = 1.
8. ~a = y~j + 3z~k, P : x2 + y + z = 1.
9. ~a = x~i + y~j + z~k, P : x + y2 + z3 = 1.
10. ~a = 2x~i + y~j + z~k, P : x + y2 + z3 = 1.
11. ~a = 3x~i + 2z~k, P : x + y2 + z3 = 1.
12. ~a = 2x~i + 3y~j + z~k, P : x3 + y + z2 = 1.
13. ~a = x~i + 3y~j − z~k, P : x3 + y + z2 = 1.
14. ~a = −2x~i + y~j + 4z~k, P : x3 + y + z2 = 1.
15. ~a = x~i − y~j + 6z~k, P : x2 + y3 + z = 1.
16. ~a = 2x~i + 5y~j + 5z~k, P : x2 + y3 + z = 1.
17. ~a = x~i + y~j + z~k, P : 2x + y2 + z = 1.
18. ~a = 2x~i + y~j − 2z~k, P : 2x + y2 + z = 1.
19. ~a = x~i + y~j + 2z~k, P : 2x + y2 + z = 1.
20. ~a = −x~i + y~j + 12z~k, P : 2x + y2 + z = 1.
21. ~a = x~i + 3y~j + 8z~k, P : x + 2y + z2 = 1.
22. ~a = x~i − y~j + 6z~k, P : x + 2y + z2 = 1.
23. ~a = x~i + 2y~j + 5z~k, P : x + 2y + z2 = 1.
24. ~a = x~i + 4y~j + 5z~k, P : x + 2y + z2 = 1.
25. ~a = x~i + y~j + z~k, P : 2x + 3y + z = 1.
26. ~a = 2x~i + y~j + z~k, P : 2x + 3y + z = 1.
27. ~a = 2x~i + 3y~j + z~k, P : 2x + 3y + z = 1.
162
28. ~a = 2x~i + 3y~j + 4z~k, P : 2x + 3y + z = 1.
29. ~a = x~i + 9y~j + 8z~k, P : x + 2y + 3z = 1.
30. ~a = 8x~i + 11y~j + 17z~k, P : x + 2y + 3z = 1.
Пример 13.3. Найти поток векторного поля
~a = 2x~i − 3y~j + z~k
через часть плоскости 3x + y2 + 2z = 1, расположенную в первом
октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).
Решение. Сделаем рисунок плоскости (см. рис. 8). Так как нормаль образует острый угол с осью Oz, то, в силу расположения плоскости в первом октанте, нормаль образует острый угол и с двумя другими осями.
Вычисляем поток с помощью поверхностного интеграла второго рода методом проектирования на все координатные плоскости. При указанном
направлении нормали перед интегралами ставится знак плюс.
Рис. 8
Поток векторного поля ~a через поверхность σ равен
ZZ
П=
2xdydz − 3ydxdz + zdxdy.
σ
ВычисляемRR
по отдельности каждый из составных интегралов.
I. П1 =
2xdydz.
σ
Выразим x из уравнения плоскости:
x=
2 − y − 4z
.
6
Проектируя на плоскость Oyz, переведем поверхностный интеграл в
двойной
ZZ
ZZ
2 − y − 4z
1
П1 =
2·
dydz =
(2 − y − 4z) dydz.
6
3
D1
D1
163
Изобразим плоскость Oyz для расстановки пределов интегрирования
(рис. 9)
Рис. 9
Из чертежа видно, что
0 ≤ z ≤ 2−y
4 ,
0 ≤ y ≤ 2.
Откуда П1 =
R2
1
3
2−y
4
dy
0
R
(2 − y − 4z) dz.
0
Вычисляем внутренний интеграл:
2−y
Z4
2−y
(2 − y)2
(2 − y)2
(2 − y − 4z) dz = (2 − y)
−4
=
.
4
2 · 16
8
0
Вычисляем внешний интеграл:
П1 =
1 1
·
3 8
Z2
1
(2 − y)2 dy = .
9
0
II. П2 = −3
RR
ydxdz.
σ
Выразим y из уравнения плоскости:
y = 2 − 6x − 4z.
Проектируя на плоскость Oxz, переведем поверхностный интеграл в двойной
ZZ
П2 = −3
(2 − 6x − 4z) dxdz.
D2
Изобразим плоскость Oyz для расстановки пределов интегрирования
(рис. 10)
164
Рис. 10
Из чертежа видно, что
0 ≤ z ≤ 1−3x
2 ,
1
0 ≤ x ≤ 3.
Откуда
1
1−3x
Z3
П2 = −3
1
Z2
(2 − 6x − 4z) dz = −6
dx
0
1−3x
Z3
0
Z2
(1 − 3x − 2z) dz.
dx
0
0
Вычисляем внутренний интеграл:
1−3x
Z2
(1 − 3x)2
1
(1 − 3x)
−2
= (1 − 3x)2 .
(1 − 3x − 2z) dz = (1 − 3x)
2
8
4
0
Вычисляем внешний интеграл:
1
1
П2 = −3 ·
4
Z3
1
1
1
3
(1 − 3x)2 dx = −
−
−
=− .
4
3
3
12
0
III. П3 =
RR
zdxdy,
σ
Выразим z из уравнения плоскости:
z=
2 − 6x − y
.
4
Проектируя на плоскость Oxy, переведем поверхностный интеграл в двойной
ZZ
1
П3 =
(2 − 6x − y) dxdy.
4
D3
165
Рис. 11
Изобразим плоскость Oxy для расстановки пределов интегрирования
(рис. 11)
Из чертежа видно, что
0 ≤ y ≤ 2 − 6x,
0 ≤ x ≤ 13 .
Откуда
1
1
П3 =
4
2−6x
Z
Z3
(2 − 6x − y) dy.
dx
0
0
Вычисляем внутренний интеграл:
2−6x
Z
(2 − 6x)2
1
(2 − 6x − y) dy = (2 − 6x)·(2 − 6x)−
= (2 − 6x)2 = 2·(1 − 3x)2 .
2
2
0
Вычисляем внешний интеграл:
1
1
П3 = · 2
4
Z3
1
1
1
1
(1 − 3x) dx =
−
−
= .
2
3
3
18
2
0
Окончательно имеем:
П = П1 + П + П3 =
1
1
1
1
−
+
= .
9 12 18 12
Задача 13.4. Найти поток векторного поля ~a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. ~a = (ez + 2x)~i + ex~j + ey~k, S : x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
2. ~a = (3z 2 + x)~i + (ex − 2y)~j + (2z − xy)~k, S : x2 + y 2 = z 2 , z = 1, z = 4.
3. ~a = (ln y+7x)~i+(sin z−2y)~j+(ey −2z)~k, S : x2 +y 2 +z 2 = 2x+2y+2z−2.
166
4. ~a = (cos z + 3x)~i + (x − 2y)~j + (3z + y 2 )~k, S : z 2 = 36(x2 + y 2 ), z = 6.
5. ~a = (e−z − x)~i + (xz + 3y)~j + (z + x2 )~k, S : 2x + y + z = 2, x = 0, y = 0,
z = 0.
6. ~a = (6x − cos y)~i − (ex + z)~j − (2y + 3z)~k, S : x2 + y 2 = z 2 , z = 1, z = 2.
7. ~a = (4x − 2y 2 )~i + (ln z − 4y)~j + (x + 3z4 )~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2x + 3.
√
√
8. ~a = (1 + z)~i + (4y − x)~j + xy~k, S : z 2 = 4(x2 + y 2 ), z = 3.
√
9. ~a = ( z − x)~i + (x − y)~j + (y 2 − z)~k, S : 3x − 2y + z = 6, x = 0, y = 0,
z = 0.
10. ~a = (yz + x)~i + (x2 + y)~j + (xy 2 + z)~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2z.
11. ~a = (e2y + x)~i + (x − 2y)~j + (y 2 + 3z)~k, S : x − y + z = 1, x = 0, y = 0,
z = 0. √
√
12. ~a = ( z − 2x)~i + (ex + 3y)~j + x + y~k, S : x2 + y 2 = z 2 , z = 2, z = 5.
13. ~a = (ez + x4 )~i + (ln x + y4 )~j + z4 ~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2x + 2y − 2z − 2.
14. ~a = (3x − 2z)~i + (z − 2y)~j + (1 + 2k)~k, S : z 2 = 4(x2 + y 2 ), z = 2.
15. ~a = (ey + 2x)~i + (x − y)~j + (2z − 1)~k, S : x + 2y + z = 2, x = 0, y = 0,
z = 0.
√
16. ~a = (x + y 2 )~i + (xz + y)~j + ( x2 + 1 + z)~k, S : x2 + y 2 = z 2 , z = 2,
z = 3.
17. ~a = (ey + 2x)~i + (xz − y)~j + 14 (exy − z)~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2y + 3.
√
18. ~a = ( z + y)~i + 3x~j + (3z + 5x)~k, S : z 2 = 8(x2 + y 2 ), z = 2.
19. ~a = (8yz − x)~i + (x2 − 1)~j + (xy − 2z)~k, S : 2x + 3y − z = 6, x = 0,
y = 0, z = 0.
20. ~a = (y + z 2 )~i + (x2 + 3y)~j + xy~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2x.
21. ~a = (2yz − x)~i + (xz + 2y)~j + (x2 + z)~k, S : −x + y + z = 1, x = 0,
y = 0, z = 0.
22. ~a = (sin z + 2x)~i + (sin x − 3y)~j + (sin y + 2z)~k, S : x2 + y 2 = z 2 , z = 3,
z = 6.
23. ~a = (cos z + x4 )~i + (ex + y4 )~j + ( z4 − 1)~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2z + 3.
√
24. ~a = ( z + 1 + x)~i + (2x + y)~j + (sin x + z)~k, S : z 2 = x2 + y 2 , z = 1.
25. ~a = (5x − 6y)~i + (11x2 + 2y)~j + (x2 − 4z)~k, S : x + y + 2z = 2, x = 0,
y = 0, z = 0.
26. ~a = (y 2 + z 2 + 6x)~i + (ez − 2y + x)~j + (x + y − z)~k, S : x2 + y 2 = z 2 ,
z = 1, z = 3.
27. ~a = 12 (x+z)~i+ 14 (xz +y)~j +(xy −2)~k, S : x2 +y 2 +z 2 = 4x−2y +4z −8.
28. ~a = (3yz − x)~i + (x2 − y)~j + (6z − 1)~k, S : z 2 = 9(x2 + y 2 ), z = 3.
29. ~a = (yz − 2x)~i + (sin x + y)~j + (x − 2z)~k, S : x + 2y − 3z = 6, x = 0,
y = 0, z = 0.
30. ~a = (8x + 1)~i + (xz − 4y)~j + (ex − z)~k, S : x2 + y 2 + z 2 = 2y.
Пример 13.4. Найти поток векторного поля
~a = sin2 z + 3x ~i − (2y + ez ) ~j + 5z~k
167
через замкнутую поверхность σ.
Решение. Для вычисления потока через замкнутую поверхность применим формулу Гаусса – Остроградского
I
ZZZ
~a, ~n0 dσ =
div ~adv.
σ
Ω
Находим дивергенцию поля ~a :
∂ sin2 z + 3x
∂ (2y + ez ) ∂ (5z)
−
+
= 3 − 2 + 5 = 6.
div ~a =
∂x
∂y
∂z
Откуда
I ZZZ
dv = 6V,
П=
~a, n~0 dσ = 6
σ
Ω
где V – объем тела, ограниченного заданной поверхностью. Рассмотрим
несколько видов замкнутых поверхностей и вычислим их объемы.
z
1) Тетраэдр σ ограничен плоскостью 4x + 2y − z = 4 ( x1 + y2 + −4
= 1)
и координатными плоскостями. Объем этого тетраэдра равен:
1 1
4
1
V = Sh = · · 1 · 2 · 4 = ,
3
3 2
3
откуда П = 6 · 43 = 8.
2) Замкнутая поверхность σ, заключена между конусом x2 + y 2 = z 2
и плоскостями z = 2, z = 5.
Как известно, объем конуса равен V = 31 πR2 H. В данном случае
R = H, имеем:
V = π3 (25 · 5 − 4 · 2) = 117π
3 = 39π, откуда П=6 · 39π = 234π.
3) Часть пространства,
ограниченного поверхность второго порядка
2
2
σ c уравнением x + y + z 2 = 2x − 4y + 6z + 2.
Преобразуем уравнение поверхности:
x2 − 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 + z 2 − 6z + 9 = 14 + 2
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 16.
Данное уравнение описывает сферу радиусом R = 4 c центром в точке
O(1, −2, 3). Объем шара, ограниченного этой сферой равен
4
256π
4
.
V = πR3 = π43 =
3
3
3
Соответственно поток равен П = 6 ·
256π
= 512π.
3
168
Задача 13.5. Найти работу силы F~ при перемещении вдоль
линии L от точки M к точке N.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. F~ = (x2 − 2y)~i + (y 2 − 2x)~j, L – отрезок прямой, заключенный между
точками M и N, M (−4; 0), N (0; 2).
2. F~ = (x2 + 2y)~i + (y 2 + 2x)~j, L – отрезок прямой, заключенный между
точками M и N, M (−4; 0), N (0; 2).
2
3. F~ = (x2 + 2y)~i + (y 2 + 2x)~j, L : 2 − x8 = y, M (−4; 0), N (0; 2).
4. F~ = (x + y)~i + 2x~j, L : x2 + y 2 = 4(y ≥ 0), M (2; 0), N (−2; 0).
5. F~ = x3~i − y 3~j, L : x2 + y 2 = 4(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2; 0), N (0; 2).
6. F~ = (x + y)~i + (x − y)~j, L : y = x2 , M (−1; 1), N (1; 1).
7. F~ = x2 y~i − y~j, L – отрезок прямой, заключенный между точками M
и N, M (−1; 0), N (0; 1).
8. F~ = (2xy − y)~i + (x2 + x)~j, L : x2 + y 2 = 9(y ≥ 0), M (3; 0), N (−3; 0).
2
9. F~ = (x + y)~i + (x − y)~j, L : x2 + y9 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1; 0), N (0; 3).
10. F~ = y~i − x~j, L : x2 + y 2 = 1(y ≥ 0),
M (1; 0), N (−1; 0).
x, 0 ≤ x ≤ 1,
M (2; 0), N (0; 0).
11. F~ = (x2 + y 2 )~i + (x2 − y 2 )~j, L :
2 − x, 1 ≤ x ≤ 2,
√
√
12. F~ = y~i − x~j, L : x2 + y 2 = 2(y ≥ 0), M ( 2; 0), N (− 2; 0).
13. F~ = xy~i + 2y~j, L : x2 + y 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1; 0), N (0; 1).
14. F~ = y~i − x~j, L : 2x2 + y 2 = 1(y ≥ 0), M ( √12 ; 0), N (− √12 ; 0).
2 ~
15. F~ = (x2 + yp
)(i + 2~j), L : x2 + y 2p= R2 (y ≥ 0), M (R; 0), N (−R; 0).
16. F~ = (x + y x2 + y 2 )~i + (y − x x2 + y 2 )~j, L : x2 + y 2 = 1(y ≥ 0),
M (1; 0), N (−1; 0).
2~
2
2
17. F~ = x2 y~i −
pxy j, L : x + y p= 4(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2; 0), N (0; 2).
18. F~ = (x+y x2 + y 2 )~i+(y− x2 + y 2 )~j, L : x2 +y 2 = 16(x ≥ 0, y ≥ 0),
M (4; 0), N (0; 4).
19. F~ = y 2~i − x2~j, L : x2 + y 2 = 9(x ≥ 0, y ≥ 0), M (3; 0), N (0; 3).
20. F~ = (x + y)2~i − (x2 + y 2 )~j, L – отрезок прямой, заключенный между
точками M и N, M (1; 0), N (0; 1).
21. F~ = (x2 +y 2 )~i+y 2~j, L – отрезок прямой, заключенный между точками
M и N, M (2; 0), N (0; 2).
22. F~ = x2~j, L : x2 + y 2 = 9(x ≥ 0, y ≥ 0), M (3; 0), N (0; 3).
23. F~ = (y 2 − y)~i + (2xy + x)~j, L : x2 + y 2 = 9(y ≥ 0), M (3; 0), N (−3; 0).
24. F~ = xy~i, L : y = sin x, M (π; 0), N (0; 0).
25. F~ = (xy − y 2 )~i + x~j, L : y = 2x2 , M (0; 0), N (1; 2).
26. F~ = x~i + y~j, L – отрезок прямой, заключенный между точками M и
N, M (1; 0), N (0; 3).
√
2
27. F~ = (xy − x)~i + x2 ~j, L : y = 2 x, M (0; 0), N (1; 2).
169
2
28. F~ = −x~i + y~j, L : x2 + y9 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1; 0), N (0; 3).
29. F~ = −y~i + x~j, L : y = x3 , M (0; 0), N (2; 8).
2
2
30. F~ = (x2 − y 2 )~i + (x2 + y 2 )~j, L : x9 + y4 = 1(y ≥ 0), M (3; 0), N (−3; 0).
Пример 13.5. a) Найти работу силы F~ = x2 − 2y ~i + (xy − 2x) ~j
при перемещении вдоль отрезка прямой, заключенной между
точками M (1; −2) , и N (3; 4) .
б) Найти работу силы F~ = y 2 − x2 ~i + x2 + y 2 ~j при переме2
2
щении вдоль кривой x4 + y9 = 1 (y > 0) от точки M (2; 0) до точки
N (−2; 0) .
Решение. а) Работа вычисляется по формуле
Z
A=
x2 − 2y dx + (xy − 2x) dy.
l
Найдем уравнение отрезка как уравнение прямой, проходящей через две
точки:
x − x1
y − y1
=
,
y2 − y1
x2 − x1
y−4
x−3
=
,
−2 − 4
1−3
y − 4 = 3 (x − 3) ,
y = 3x − 5.
Тогда
A=
R3
x2 − 2 (3x − 5) + (x (3x − 5) − 2x) 3 dx =
1
R3
R3
x2 − 6x + 10 + 9x2 − 15x − 6x dx =
10x2 − 27x + 10 =
1
1
3
2
3
10
27
+
30
−
−
+
10
= − 43 .
= 10 · x3 − 27 · x2 + 10x = 90 − 243
2
3
2
1
R 2
б) Работа A =
y − x2 dx + x2 + y 2 dy. Линия l – это часть эл=
l
липса. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
x = 2 cos t,
y = 3 sin t.
Чтобы перейти от точки M к точке N параметр t должен пробежать
значения от 0 до π, тогда
A=
Rπ
0
=
9 sin2 t − 4 cos2 t (−2 sin t) + 4 cos2 t + 9 sin2 t 3 cos t dt =
Rπ
−18 sin3 t + 8 cos2 t sin t + 12 cos3 t + 9 sin2 t cos t dt =
0
= −18
Rπ
Rπ
1 − cos2 t d (− cos t) + 8 cos2 td (− cos t) =
0 0
π
3
3
= − 56
= 18 cos t − cos3 t − 8 cos3 t
3.
0
170
Задача 13.6. Найти циркуляцию векторного поля ~a вдоль
контура Γ (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
Данные к условиюзадачи,
соответствующие вариантам:
√
2

 x = √2 cos t,
2~
~
~
1. ~a = y i − xj + z k, Γ :
y = 22 cos t, t ∈ [0; 2π)

 z = sin t,

√
3
 x = √ 4 cos t,
2. ~a = −x2 y 3~i + ~j + z~k, Γ :
y = 3 4 sin t, t ∈ [0; 2π).

z = 3,

 x = cos t,
~
~
~
y = sin t,
3. ~a = (y − z)i + (z − x)j + (x − y)k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 2(1 − cos t),


t,
 x = cos
√
y = √22 sin t, t ∈ [0; 2π).
4. ~a = x2~i + y~j − z~k, Γ :

 z = 2 cos t,
2

 x = 4 cos t,
~
y = 4 sin t,
t ∈ [0; 2π).
5. ~a = (y − z)~i + (z − x)~j + (x − y)k, Γ :

z = 1 − cos t,

 x = 2 cos t,
y = 2 sin t,
t ∈ [0; 2π).
6. ~a = 2y~i − 3x~j + x~k, Γ :

 z = 2(1 − cos t − sin t),
 x = 2 cos t,
y = 2 sin t, t ∈ [0; 2π).
7. ~a = 2z~i − x~j + y~k, Γ :

 z = 1,
 x = cos t,
~
~
~
y = sin t, t ∈ [0; 2π).
8. ~a = y i − xj + z k, Γ :

z = 3,
 x = cos t,
2~
~
~
y = 2 sin t,
9. ~a = xi + z j + y k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 2 cos t − 2 sin t − 1,

 x = 3 cos t,
~
~
~
y = 3 sin t,
10. ~a = 3y i − 3xj + xk, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 3 − 3 cos t − 3 sin t,

√
 x = √ 2 cos t,
11. ~a = −x2 y 3~i + 2~j + xz~k, Γ :
y = 2 sin t, t ∈ [0; 2π).

z = 1,

 x = 3 cos t,
~
~
~
y = 3 sin t, t ∈ [0; 2π).
12. ~a = 6z i − xj + xy k, Γ :

z = 3,
171

√
 x = 2 cos t,
y=√
2 sin t,
13. ~a = z~i + y 2~j − x~k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 2 cos t,
 x = cos t,
2
~
y = 3 sin t,
t ∈ [0; 2π).
14. ~a = x~i + 2z ~j + y k, Γ :

t − 3 sin t − 2,
 z = 2coscos
t
x= 2 ,
1
2
y = sin3 t ,
15. ~a = x~i − 3 z ~j + y~k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

sin t
1
 z = cos t − 3 − 4 ,
 x = 4 cos t,
y = 4 sin t,
16. ~a = 4y~i − 3x~j + x~k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

 z = 4 − 4 cos t − 4 sin t,
 x = 5 cos t,
~
~
~
y = 5 sin t, t ∈ [0; 2π).
17. ~a = −z i − xj + xz k, Γ :

z = 4,

 x = 2 cos t,
~
~
~
y = 2 sin t, t ∈ [0; 2π).
18. ~a = z i + xj + y k, Γ :

z = 0,

 x = 3 cos t,
~
~
~
y = 3 sin t,
t ∈ [0; 2π).
19. ~a = (y − z)i + (z − x)j + (x − y)k, Γ :

z = 2(1 − cos t),

 x = cos t,
~
y = sin t,
t ∈ [0; 2π).
20. ~a = 2y~i − z~j + xk, Γ :

z = 4 − cos t − sin t,
 x = cos t,
2
y = sin t, t ∈ [0; 2π).
21. ~a = xz~i + x~j + z ~k, Γ :

z = sin t,

 x = cos t,
2 3~
y = sin t, t ∈ [0; 2π).
22. ~a = −x y i + 3~j + y~k, Γ :

 z = 5,
 x = 6 cos t,
~
~
~
y = 6 sin t, t ∈ [0; 2π).
23. ~a = 7z i − xj + yz k, Γ :

1
 z = 3,
 x = cos t,
2~
~
~
y = sin t, t ∈ [0; 2π).
24. ~a = xy i + xj + y k, Γ :

 z = sin t,
 x = 2 cos t,
2~
~
~
y = 3 sin t,
25. ~a = xi − z j + y k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 4 cos t − 3 sin t − 3,
172

 x = 2 cos t,
~
~
~
y = 2 sin t,
t ∈ [0; 2π).
26. ~a = (y − z)i + (z − x)j + (x − y)k, Γ :

z = 3(1 − cos t),

cos t
x= 3 ,
2~
~
~
27. ~a = −2z i − xj + x k, Γ :
y = sin3 t , t ∈ [0; 2π).

 z = 8,
 x = cos t,
3~
~
~
y = 4 sin t,
28. ~a = xi − 3z j + y k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

 z = 2 cos t − 4 sin t + 3,
 x = 3 cos t,
2
~
y = 4 sin t,
29. ~a = x~i − 2z ~j + y k, Γ :
t ∈ [0; 2π).

z = 6 cos t − 4 sin t + 1,

 x = 2 cos t,
2 3~
y = 2 sin t, t ∈ [0; 2π).
30. ~a = −x y i + 4~j + x~k, Γ :

z = 4,
Пример 13.6. Найти циркуляцию векторного поля
~a = x~i − z~j − y 2~k
вдоль контура

 x = 2 cos t,
y = 2 sin t,
Γ:

z = cos t,
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t.
Решение. Рассмотрим возрастание параметра t от 0 до 2π. Запишем выражениеHдля циркуляции:
Ц = xdx − zdy − y 2 dz =
Γ
=
R2π
2 cos t (−2 sin t) − cos t · 2 cos t − 4 sin2 t (− sin t) dt = −2π.
0
173
Часть XIV. Теория вероятностей
Задача 14.1. Найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй сигнализатор срабатывает с вероятностью
0,80. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным,
равна 0,15. Проверено три изделия. Какова вероятность того, что два
из них бракованные.
3. В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек.
Для дежурства случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет один юноша и одна девушка.
4. В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны.
Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны.
5. Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Каковы вероятность того, что он знает все три вопроса, предложенные экзаменатором.
6. Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05;
0,07 и 0,09. Найти вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
7. Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75; 0,85 и 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
8. Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один
раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания
при одном выстреле.
9. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна
0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только
два будут высшего сорта.
10. Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках. Вероятности того, что эти сведения находятся в первом, во втором
и в третьем справочнике равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения содержатся в хотя бы одном
справочнике.
11. В урне находятся 15 шаров, пять из которых красные, а остальные
174
белые. Наудачу друг за другом извлекаются три шара. Какова вероятность того, что все они будут красными.
12. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8
белых и 4 черных шара. Из каждого ящика наудачу вынули по шару.
Какова вероятность, что оба шара белые.
13. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0,6, для второго — 0,8, для третьего —
0,9. Найти вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий.
14. В урне 20 шаров, из которых 7 красных, а остальные белые. Наудачу
вынули три шара. Какова вероятность, что все они белые.
15. Вероятность того, что электролампочка неисправна, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из четырех электролампочек
исправна.
16. В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все они отличники.
17. В ящике находятся 15 деталей, пять из которых бракованные. Наудачу отобраны три детали. Какова вероятность, что все они не окажутся
бракованными.
18. Имеется два ящика, в первом из которых 5 белых и 8 красных шаров,
а во втором — 3 белых и 3 красных шара. Из каждого ящика вынимается
наудачу по одному шару. Какова вероятность того, что один из них будет
красным, а другой белым.
19. Вероятность выхода из строя станка в течение одного рабочего дня
равна 0,01. Какова вероятность того, что за три рабочих дня станок ни
разу не выйдет из строя.
20. Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией равна 0,3. Какова вероятность обнаружения цели хотя
бы один раз при четырех циклах обзора.
21. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов:
четыре с 1–го, пять со 2–го, семь с 3–го и четыре с 4–го. Случайным
образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это
будет ящик с первого или третьего склада.
22. В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две
пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными.
23. В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике
8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все
детали окажутся стандартными.
24. В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой
урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что
все три шара будут одного цвета.
25. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работа175
ющих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает,
для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти
вероятность того, что при пожаре оба датчика сработают.
26. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение
смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены только один
станок потребует настройки.
27. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9.
Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна
машина.
28. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна
0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность следующих событий только одно отделение получит газеты вовремя.
29. Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну
и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8,
0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один
учащийся решит задачу.
30. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Пример 14.1. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель
независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для
каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что:
а) в цель попадет только один стрелок;
б) в цель попадут только два стрелка;
в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение. а) Рассмотрим следующие события:
A1 – первый стрелок попал в цель;
A2 – второй стрелок попал в цель;
A3 – третий стрелок попал в цель;
A1 – первый стрелок не попал в цель;
A2 – второй стрелок не попал в цель;
A3 – третий стрелок не попал в цель.
По условию
P (A1 ) = 0, 7, P (A2 ) = 0, 8, P (A3 ) = 0, 9, P (A1 ) = 1 − 0, 7 = 0, 3,
P (A2 ) = 0, 2, P (A3 ) = 0, 1.
Рассмотрим событие B – попадание только одного стрелка в цель, тогда
B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .
176
Отсюда в силу несовместности событий-слагаемых и независимости событийсомножителей
P (B) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 ) · P (A2 ) · P (A3 )+
+P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 0, 7 · 0, 2 · 0, 1 + 0, 3 · 0, 8 · 0, 1+
+0, 3 · 0, 2 · 0, 9 = 0, 092.
б) Рассмотрим событие C попадание только двух стрелков в цель. Тогда
C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .
Отсюда
P (C) = 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 + 0, 7 · 0, 2 · 0, 9 + 0, 3 · 0, 8 · 0, 9 = 0, 398.
в) Рассмотрим событие D – попадание хотя бы одного стрелка в цель.
Тогда противоположное событие D – промах всех стрелков, т.е.
D = A1 · A2 · A3 .
Поэтому P (D) = 0, 3 · 0, 2 · 0, 1 = 0, 006. Отсюда
P (D) = 1 − P (D) = 1 − 0, 006 = 0, 994.
Задача 14.2. Найти вероятности указанных событий, пользуясь формулой Бернулли.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной.
1
2. Вероятность выигрыша по 1 билету лотереи равна . Какова вероят7
ность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет: по двум билетам;
выиграет по трем билетам; не выиграет по двум билетам.
3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение
гарантийного срока, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение
гарантийного срока из 5 телевизоров: не более 1 потребует ремонта; хотя
бы 1 потребует ремонта.
4. В хлопке имеется 10 процентов коротких волокон. Какова вероятность
того, что в наудачу взятом пучке из 4 волокон окажется не более 2 коротких.
5. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной.
1
6. Вероятность выигрыша по одному билету равна . Какова вероят3
ность того, что лицо, имеющее шесть билетов: выиграет по двум билетам; выиграет по трем билетам; не выиграет по двум билетам.
177
7. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 процентов. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 8; по крайней
мере 8; не менее 8.
8. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определите вероятность того, что из 3 наудачу взятых
деталей: 2 окажутся стандартными; стандартными окажутся все 3.
9. В цехе 5 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в данный
момент включено не менее 2 моторов.
10. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной
детали равна 0,9. Определите вероятность того, что из 3 наудачу взятых
деталей: 2 окажутся стандартными; стандартными окажутся все 3.
11. В цехе 5 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он
в данный момент включен, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в
данный момент включено не менее 2 моторов.
12. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом
станке равна 0,9. Найдите вероятность того, что из 8 взятых наудачу
деталей не менее 7 окажутся стандартными.
13. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение
смены станок потребует его внимания, равна 0,7. Найдите вероятность
того, что в течение смены внимания рабочего потребуют два станка.
14. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле
0,8. Найдите вероятность от 2 до 4 попаданий при 6 выстрелах.
15. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 8 часов
работы простаивает из-за поломки 0,8 часа, причем остановки в любой
момент времени равновероятны. Определите вероятность того, что в данный момент времени простаивают менее 2 станков.
16. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что "орел" выпадет
не менее 4 раз.
17. В урне 10 черных и 5 белых шаров. Испытание заключается в следующем: извлекается шар, фиксируется его цвет, возвращается в урну и
тщательно перемешивается. Какова вероятность того, что в 3 испытаниях белый шар появится 1 раз.
18. Вероятность изготовления детали первого сорта равна 0,9. Найдите
вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей первого сорта окажется более 4 деталей.
19. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 процентов. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 9; по крайней
мере 8; не менее 9.
20. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение
178
гарантийного срока, равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение
гарантийного срока из 5 телевизоров: не более двух потребуют ремонта;
хотя бы 2 потребуют ремонта.
21. В цехе 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,6. Найдите вероятность того, что в данный момент: включено 2 мотора; включены все моторы.
22. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, равна 0,3. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей
обувь этого размера будет необходима: одному; по крайней мере одному.
23. На автобазе имеется 10 автомашин. Вероятность выхода на линию
каждой из них 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в
ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8
автомашин.
24. Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет
не менее четырех раз.
25. Вероятность того, что в партии встретится бракованная деталь, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 5 деталей бракованных будет
менее двух.
26. Вратарь парирует в среднем 0,3 всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей.
1
27. Вероятность выигрыша по 1 билету лотереи равна . Какова веро7
ятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет: по двум билетам;
выиграет по трем билетам; не выиграет по двум билетам.
28. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение
гарантийного срока, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение
гарантийного срока из 5 телевизоров: не более 1 потребует ремонта; хотя
бы 1 потребует ремонта.
29. В хлопке имеется 10 процентов коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 4 волокон окажется не более
2 коротких.
30. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной.
Пример 14.2. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет:
а) два раза;
б) не более восьми раз;
в) хотя бы один раз.
Решение. Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание
имеет два исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность
179
выпадения шестерки в каждом испытании постоянно и равна, 16 , т.е.
p = 61 . Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли. Для нахождения искомых вероятностей применим формулу Бернулли.
а) Здесь n = 10, m = 2, p = 16 , q = 1 − 16 = 56 . Отсюда
1 2 5 10
5
1
P10 (2) =
·( ) ·
· ( )8 ≈ 0, 291.
− 2 = 45 ·
6
6
36 6
б) Искомая вероятность равна
2
C10
P10 (0) + P10 (1) + P10 (2) + P10 (3) + P10 (4) + P10 (5) + P10 (6) + P10 (7) + P10 (8).
Однако в этом случае проще найти вероятность противоположного события – шестерка выпадет более 8 раз, т.е. выпадет 9 или 10 раз. Имеем:
9 1
10 0
1
1
51
5
5
1
5
9
10
P10 (9)+P10 (10) = C10
·
·
+C10
·
·
= 10· 10 +1· 10 = 10 .
6
6
6
6
6
6
6
Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более восьми раз, равна
1 − (P10 (9) + P10 (10)) = 1 −
51
.
610
в) Искомая вероятность равна P10 (m ≥ 1) = 1 − ( 56 )10 . Ее можно найти и
0
· ( 61 )0 · ( 65 )10 =
так: P10 (1) + P10 (2) + . . . + P10 (10) или 1 − P10 (0) = 1 − C10
= 1 − ( 65 )10 .
Задача 14.3. Найти вероятности указанных событий, пользуясь локальной или интегральной теоремой Лапласа.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна
0,25. Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из
имеющихся 150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов.
2. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90 процентов годных. Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется
от 700 до 820 годных.
3. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево
приживется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 300.
4. Средний процент нарушений работы кинескопа телевизора в течение
гарантийного срока равен 22. Вычислите вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
5. Вероятность случайным образом отобранному изделию оказаться стандартным равна 0,8. Найдите вероятность того, что среди 225 взятых наугад изделий 180 окажутся стандартными.
180
6. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров.
Из каждой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары,
заключено между 220 и 300?
7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность
того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
8. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей
определенного вида брак составляет 13 процентов. Определите вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей пригодных будет 128 штук.
9. Из большой партии продукции, содержащей 70 процентов изделий
первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди отобранных будет не менее 50 и не более 90 изделий первого
сорта.
10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что цель будет поражена 100 раз из 320 выстрелов.
11. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90 процентов годных. Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется
от 700 до 820 годных.
12. Фабрика выпускает 75 процентов продукции первого сорта. Чему
равна вероятность того, что из 300 изделий число первосортных изделий
равно 220?
13. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна
0,7. Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными
будут 200 деталей.
14. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего
числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450
взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено
между 280 и 320.
15. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке
равна 0,45. Найдите вероятность того, что среди взятых наудачу 280 деталей половина окажется высшего сорта.
16. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров.
Из каждой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары,
заключено между 220 и 300?
17. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга.
Для каждого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными
окажутся от 60 до 75 станков.
18. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна
0,7. Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными
181
будут от 200 до 250.
19. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 750 покупателей только
120 потребуют обувь этого размера.
20. Из большой партии продукции, содержащей 70 процентов изделий
первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди отобранных будет не менее 50 и не более 90 изделий первого
сорта.
21. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность 100 попаданий из 320 выстрелов.
22. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25. Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени
из имеющихся 150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов.
23. На склад магазина поступают изделия, из которых 90 процентов оказываются высшего сорта. Найдите вероятность того, что из 400 взятых
наудачу изделий 368 окажутся высшего сорта.
24. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90 процентов годных. Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется
от 700 до 820 годных.
25. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 300.
26. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего
числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450
взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено
между 280 и 320.
27. Вероятность случайным образом отобранному изделию оказаться
стандартным равна 0,8. Найдите вероятность того, что среди 225 взятых наугад изделий 180 окажутся стандартными.
28. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров.
Из каждой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары,
заключено между 220 и 300?
29. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга.
Для каждого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными
окажутся от 60 до 75 станков.
30. Из большой партии продукции, содержащей 70 процентов изделий
первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди отобранных будет не менее 50 и не более 90 изделий первого
сорта.
182
Пример 14.3.
а) Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонением от стандарта), постоянна и равна 0,05. Какова вероятность
того,что и партии из 1000 изделий встретиться ровно 40 бракованных.
б) Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия
при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того,
что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но
не более 230 раз.
Решение. а) По условию задачи n = 1000, m = 40, p = 0, 05, q = 0, 95.
Теоретически можно использовать формулу Бернулли, тогда
40
P1000 (40) = C1000
· (0, 05)40 · (0, 95)960 .
Однако полученное выражение слишком громоздко, поэтому удобнее применить локальную формулу Муавра – Лапласа (n · p · q = 10000 · 0, 05 ·
0.95 = 47, 5 > 20). Так как
p
√
npq = 47, 5 ≈ 6, 892, m − np = 40 − 1000 · 0, 05 = 40 − 50 = −10,
то
m − np
−10
x= √
=
≈ −1, 45, ϕ(x) = ϕ(−1, 45) = ϕ(1, 45) ≈ 0, 1394
npq
6, 892
(значение функции ϕ(x) находим по таблице). Следовательно,
P1000 (40) ≈ √
1
0, 1394
· ϕ(x) =
= 0, 02.
6, 892
npq
б) По условию n = 300, p = 0, 75, q = 0, 25, m1 = 210, m2 = 230.
Для нахождения вероятности P300 (210 ≤ m ≤ 230) воспользуемся интегральной√формулой Муавра – Лапласа. Имеем: np = 300 · 0, 75 = 225,
√
npq = 300 · 0, 75 · 0, 25 = 7, 5. Тогда
m1 − np 210 − 225
m2 − np 230 − 225
x1 = √
=
= −2, x2 = √
=
= 0, 67.
npq
7, 5
npq
7, 5
Следовательно,
P300 (210 ≤ m ≤ 230) = Φ0 (x2 ) − Φ0 (x1 ) = Φ0 (0, 67) − Φ0 (−2) =
= Φ0 (0, 67) + Φ0 (2) = 0, 2486 + 0, 4772 = 0, 7258.
Задача 14.4. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание,
183
дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции
распределения.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают три
шара. Х – число вынутых черных шаров.
2. Из ящика, содержащего 2 бракованных и 4 годных детали, наугад извлекают 4 детали. Х – число вынутых годных деталей.
3. Из каждой партии телевизоров для контроля извлекают 4 телевизора и последовательно их проверяют. При появлении плохо работающего
телевизора бракуется вся партия. Пусть Х – количество проверенных телевизоров до появления бракованного, а вероятность брака равна 0,2.
4. В колоде осталось 7 карт, из них 3 козырных. Наугад выбирают 4 карты. Х – число взятых козырных карт.
5. В цехе имеется 5 однотипных станков. Вероятность выхода из строя
одного станка равна 0,8. Х – число станков, потребовавших ремонта.
6. Имеется 9 радиоламп, среди которых 3 неисправных. Наугад берутся
4 радиолампы и проверяются на годность. Х – число неисправных радиоламп.
7. Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора
равна 0,8. Х – число испытаний, после которых закончится проверка.
8. Производится тестирование 5 больших интегральных схем (БИС). Вероятность того, что БИС неисправна, равна 0,6. Х – число неисправных
БИС.
9. Пусть Х – число очков, выпавших при бросании двух игральных костей.
10. Пусть Х – число гербов, полученных при бросании трех монет.
11. В ящике 100 шаров, из них 20 синих, 30 черных и 50 красных. Шар
вынимают наугад, фиксируют его цвет и возвращают его в ящик. Проводится 6 таких испытаний. Х – число вынутых черных шаров в этих
испытаниях.
12. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая
их обратно. Х – число извлеченных бракованных деталей.
13. При бросании двух игральных костей игрок выигрывает 25 руб., если на обеих костях выпадает по 6 очков; 3 руб. – если на одной кости
выпало 6 очков; 1 руб. – если сумма выпавших очков равна 6. Х – размер
выигрыша, возможный при одном бросании.
14. В первой урне содержится 3 белых и 5 черных шаров, во второй урне
– 6 белых и 4 черных шара, в третьей урне – 1 белый и 3 черных шара.
184
Из каждой урны вынимают по 1 шару. Х – число извлеченных черных
шаров.
15. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 18 руб., если
на всех костях выпадет 6 очков; 2 руб. – если на двух костях выпадет 6
очков; 1 руб. – если только на одной кости выпадет 6 очков. Х – величина
выигрыша в рублях.
16. В группе из 5 изделий имеется 1 бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и проверяют. Х – число
извлеченных деталей до обнаружения бракованной.
17. На карточках записаны двузначные числа от 31 до 60. Карточку
извлекают из урны, фиксируют, возвращают в урну и тщательно перемешивают. Х – число карточек с цифрой 5 в серии из 4 таких испытаний.
18. Имеется 5 патронов. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или пока не будут израсходованы все патроны. Х – число израсходованных патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна
0,6.
19. В партии, состоящей из 10 деталей, имеется 4 бракованных. Наугад
извлекают 3 детали. Х – число бракованных деталей среди 3 выбранных.
20. Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. Х – число трамваев, прибывших по расписанию, из
4 исследуемых.
21. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, последовательно
извлекают шары до появления первого белого шара, не возвращая их
обратно в урну. Х – число извлеченных черных шаров.
22. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из них либо
разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Х
– число пройденных светофоров до первой остановки.
23. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4, третьим – 0,7.
Х – число попаданий в мишень.
24. Имеется 9 радиоламп, среди которых 3 неисправных. Наугад берутся
4 радиолампы и проверяются на годность. Х – число неисправных радиоламп.
25. Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8. Х – число испытаний, после которых закончится проверка.
26. Производится тестирование 5 больших интегральных схем (БИС).
Вероятность того, что БИС неисправна, равна 0,6. Х – число неисправных БИС.
27. Пусть Х – число очков, выпавших при бросании двух игральных ко185
стей.
28. Пусть Х – число гербов, полученных при бросании трех монет.
29. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая
их обратно. Х – число извлеченных бракованных деталей.
30. В группе из 5 изделий имеется 1 бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и проверяют. Х – число
извлеченных деталей до обнаружения бракованной.
Пример 14.4. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. X –
число извлеченных шаров. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а
также начертите ее многоугольник распределения.
Решение. Возможными значениями случайной величины X являются
числа x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4. Значение x3 = 3, например, означает,
что первый и второй шары были черными, а третий – белый.
Соответствующие им вероятности p1 , p2 , p3 , p4 найдем, воспользовавшись
правило умножения вероятностей:
p1
p2
p3
p3
= P {X
= P {X
= P {X
= P {X
= 1} = 74 ,
= 2} = 73 · 64 = 27 ,
4
,
= 3} = 73 · 62 · 45 = 35
3 2 1 4
1
= 3} = 7 · 6 · 5 · 4 = 35
,
Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид:
xi 1 2
pi 47 27
3
4
4
35
1
35
Найдем математическое ожидание этой величины. Используя формулу
n
X
M (X) =
xi pi , находим
i=1
M (X) =
4
X
x i pi = 1 ·
i=1
4
2
4
1
8
+2· +3·
+4·
= .
7
7
35
35 5
Закон распределения X 2 запишем в виде таблицы распределения:
xi 1 4
pi 47 27
9
16
4
35
1
35
Найдем математическое ожидание этой величины
2
M (X ) =
4
X
i=1
x2i pi = 1 ·
4
2
4
1
16
+4· +9·
+ 16 ·
= .
7
7
35
35
5
186
Используем формулу D(X) = M (X 2 ) − (M (X))2 , чтобы найти дисперсию:
2
8
16 48
D(X) =
= .
−
5
5
5
Среднее квадратическое отклонение находим следующим образом:
r
p
48
.
σ(X) = D(X) =
5
Многоугольник распределения случайной величины X представлен на
рис. 12.
Рис. 12
Задача 14.5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F (x). Найти:
a) вероятность попадания в интервал 13 ; 32 ;
б) плотность распределения вероятностей случайной величины
X;
в) математическое ожидание случайной величины X.
Данные
 к условию задачи, соответствующие вариантам:
 0 при x ≤ 1,
1
(x + 1)2 при − 1 < x ≤ 1,
1. F (x) =
4

1 при x > 1.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 45 x при 0 < x ≤ 1,
2. F (x) =
5

1 при x > 1.

 0 при x ≤ −2,
1
(x + 2)2 при − 2 < x ≤ 1,
3. F (x) =
 9
1 при x > 1.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 34 x при 0 < x ≤ 1,
4. F (x) =
 4
1 при x > 1.
187

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 67 x при 0 < x ≤ 1,
5. F (x) =
7

1 при x > 1.

 0 при x ≤ −2,
1
(x + 2)2 при − 2 < x ≤ 2,
6. F (x) =
16

1 при x > 2.

 0 при x ≤ −1,
1
(x + 1)2 при − 1 < x ≤ 2,
7. F (x) =
9

1 при x > 2.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 56 x при 0 < x ≤ 1,
8. F (x) =
6

1 при x > 1.

≤ 15 ,
 0 при x
2
9. F (x) =
x − 15 при 15 < x ≤ 65 ,

1 при x > 56 .

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 14 x при 0 < x ≤ 2,
10. F (x) =
8

1 при x > 2.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 13 x при 0 < x ≤ 1,
11. F (x) =
3

1 при x > 1.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 92 x при 0 < x ≤ 3,
12. F (x) =
27

1 при x > 3.

 0 при x ≤ −2,
1
(x + 2)2 при − 2 < x ≤ 5,
13. F (x) =
49

1 при x > 5.

≤ 15 ,
 0 при x
2
14. F (x) =
x − 14 при 14 < x ≤ 54 ,

1 при x > 45 .

 0 при x ≤ −1,
1
(x + 1)2 при − 1 < x ≤ 3,
15. F (x) =
16

1 при x > 3.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 12 x при 0 < x ≤ 1,
16. F (x) =
2

1 при x > 1.
188
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.

≤ 51 ,
 0 при x
2
F (x) =
x − 12 при − 12 < x ≤ 12 ,

1 при x > 12 .

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 23 x при 0 < x ≤ 1,
F (x) =
3

1 при x > 1.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 45 при 0 < x ≤ 1,
F (x) =
5

1 при x > 1.

 0 при x ≤ −1,
1
(x + 1)2 при − 1 < x ≤ 4,
F (x) =
 25
1 при x > 4.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 67 при 0 < x ≤ 1,
F (x) =
 7
1 при x > 1.

 0 при x ≤ −3,
1
(x + 3)2 при − 3 < x ≤ 0,
F (x) =
64

1 при x > 0.

 0 при x ≤ −4,
1
(x + 4)2 при − 4 < x ≤ 2,
F (x) =
9

1 при x > 2.

 0 при x ≤ 0,
1 3
x + 12 x2 при 0 < x ≤ 1,
F (x) =
2

1 при x > 1.

≤ 14 ,
 0 при x
2
F (x) =
x − 14 при 14 < x ≤ 54 ,

1 при x > 45 .

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 14 x при 0 < x ≤ 2,
F (x) =
 8
1 при x > 2.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 92 x при 0 < x ≤ 3,
F (x) =
27

1 при x > 3.

≤ 51 ,
 0 при x
2
F (x) =
x − 14 при 14 < x ≤ 54 ,

1 при x > 45 .
189

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 12 x при 0 < x ≤ 1,
29. F (x) =
2

1 при x > 1.

 0 при x ≤ 0,
1 2
x + 23 x при 0 < x ≤ 1,
30. F (x) =
3

1 при x > 1.
Пример 14.5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

 0 при x ≤ −3,
1
(x + 3)2 при − 3 < x ≤ 0,
F (x) =
9

1 при x > 0.
Найти:
a) вероятность попадания в интервал − 12 ; 14 ;
б) плотность распределения вероятностей случайной величины
X;
в) математическое ожидание случайной величины X.
Решение. а) Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (− 21 ; − 14 ), равна приращению функции
распределения на этом интервале:
2
2
1
1
1
1
1 1
1 1
7
P (− < X < − ) = F (− ) − F (− ) = (− + 3) − (− + 3) = .
2
4
4
2
9 4
9 4
48
б) Найдём плотность распределения вероятностей случайной величины
X по формуле
f (x) = F 0 (x).
Получаем

 0 при x ≤ −3,
2
(x + 3)2 при − 3 < x ≤ 0,
f (x) =
9

0 при x > 0.
в) Математическое ожидание случайной величины X находим по формуле
Z∞
M (X) =
xf (x)dx.
−∞
Имеем
Z0
M (X) =
−3
2
2
x · (x + 3)dx =
9
9
Z0
2
(x2 + 3x)dx =
9
−3
190
x3 3x2
+
3
2
0
= −1
−3