Задание 2
Раздел №4. Введение в математический анализ
Задача 1. Вариант 13
1) 𝑦 = |𝑥 2 − 𝑥|
2) 𝑦 = −ln(𝑥 − 1)
𝜋
3) 𝑦 = sin(2𝑥 − )
4
4) 𝑦 = −2𝑥 2 + 11𝑥 − 5
Задача 2. Вариант 13
1) 𝑥 = 2𝑦
y
1
Ответ: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )
2
x 0 2
y 0 4
1
0 1
x
y
2
2
2)𝑥 + 𝑦 = 169
Ответ: 𝑟 = ±13
1
0 1
3) 𝑥 2 +𝑦 2 = −12𝑥
x
y
Ответ: 𝑟 = −12 cos 𝜃
1
0 1
x
4) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0,8𝑦
Ответ: 𝑟 =
y
4 sin 𝜃
5
1
0
1
x
Задача 3. Вариант 11
1) lim
3𝑥 2 −4𝑥+1
= lim
(3𝑥 2 −4𝑥+1)(√8+𝑥−3)
=
−1+𝑥
х→1 √8+𝑥−3
х→1
2
(3𝑥−1)(𝑥−1)(√8+𝑥−3)
(3𝑥 −𝑥−3𝑥+1)(√8+𝑥−3)
= lim
= lim
−1+𝑥
−1+𝑥
х→1
х→1
= lim(3𝑥 −
х→1
−1)(√8 + 𝑥 − 3) = (3 × 1 − 1)(√8 + 1 − 3) = 12
4
4
2) lim
√𝑥 8 +1+𝑥
𝑥→∞
√𝑥 4 +2
√sin 𝑥
3) lim
𝑥→0 √𝑥+1−1
4)
= lim
𝑥→∞
√𝑥
𝑥→0 √𝑥+1−1
= lim
2
2𝑥 2 +5
lim ( 2 )−𝑥 −2
𝑥→∞ 2𝑥 +3
1
= lim
𝑥→∞
2
𝑥 2 ×(√1+ 4 )
𝑥
= lim
𝑥→0
√𝑥
𝑥
2
4
1
𝑥 2 ×( √1+ 8 +𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
= lim
2
𝑥→0 √𝑥
−2∙𝑥 4 −5∙𝑥 2 −1
2∙𝑥 2 +3
= lim
2
(√1+ 4 )
𝑥
𝑥4
5
𝑥→∞
𝑥→∞
4
=
√1+0+0
√1+0
∙
1
−2− 2 − 4
𝑥
𝑥
= lim 𝑥 2 ∙
3
2+ 2
𝑥
𝑥+5
𝑥
1
=1
=∞
𝑥→∞ 𝑥 2
5) lim (ln(𝑥 + 5) − ln𝑥) = lim (ln (
1
( √1+ 8 +𝑥)
𝑥
𝑥→∞
−2
2
= −∞
𝑥+5
)) = ln ( lim (
𝑥→∞
𝑥
)) = ln 1 = 0
Задача 4. Вариант 13
1)у =
𝑥 2 −8∙𝑥+12
𝑥−6
Найдем точки разрыва функции внутри указанной области.
Находим переделы в точке x=6
𝑥 2 − 8 ∙ 𝑥 + 12
=4
𝑥→6−0
𝑥−6
lim
𝑥 2 − 8 ∙ 𝑥 + 12
=4
𝑥→6+0
𝑥−6
lim
В этой точке функция имеет равные пределы, поэтому непрерывна.
В точке x1=6 функция является непрерывной.
2)𝑦 =
|2𝑥−1|
2𝑥−1
2𝑥 − 1 ≠ 0
1
𝑥 ≠ – является точкой разрыва
2