1.1 Основные понятия
1. Механическое движение, тело отсчета.
2. Материальная точка. Абсолютно твердое тело.
3. Траектория. Прямолинейное, криволинейное и плоское движения.
4. Поступательное и вращательное движения.
5. Система отсчета.
 
r  r (t); х  х(t); y  y(t); z  z(t).
z
M
k
j
y
Движение м.т. описывают кинематическими
уравнениями:
С учетом единичных векторов (орт) i = j = k =1,
r
i
x
уравнение движения примет вид:




r  x  i  y  j  z  k.
6. Вектор перемещения и путь.
z
1
r1
Пусть в момент времени t1
положение точки характеризуется
r1(t1), а в t2 соответственно r2 (t2).
s
r
2
Вектор перемещения -
r2
 

r  r2 (t 2 ) - r1 (t 1 ) .
x
y
s – пройденный путь – длина траектории, заключенная
между точками 1 и 2.
При криволинейном движении за очень малый промежуток
времени, т.е. когда  t 0, | r | = s.
1.2 Скорость
Пусть материальная точка движется
по криволинейной траектории MN.
Средняя скорость м.т. -
y
Мгновенная скорость м.т. -
S
M


r
v 
.
t




r
dr
v  lim

 r.
dt
t 0 t
N
r
Так как
r
r+r
x



r  xi  yj ,
то

 d 
dx  dy 
v
( xi  yj ) 
i 
j.
dt
dt
dt



Таким образом, v  v x i  v y j .
Т.к. при t 0 | dr | = dS, то модуль вектора скорости v = dS/dt.
t2
Если известна зависимость v(t), то пройденный путь
S   v(t )dt.
t1
Вектор среднего ускорения
1.3 Ускорение
v1
А
v1
S
r
r
В
v
v2
v1
v2


v
а 
.
t
Мгновенное ускорение

a  lim
t 0
r+r


2
v dv d r

 2 .
t
dt
dt
Разложим вектор v на составляющие v1 и v2.
О

a  lim
t 0




v1  v 2
v1
v 2
 lim
 lim
.
t
t 0 t
t 0 t
тангенциальное ускорение, характеризующее
v1  dv1


a   lim

(1) быстроту изменения скорости по величине.
dt
t 0 t
нормальное ускорение, характер. быстроту
v2  dv2


a n  n  lim
 n
(2) изменения скорости по направлению.
dt
t 0 t
1.3 Ускорение
v1
С
S
А
r
В
r
r+r

v2
Д v
1
v
v2
Модуль вектора |dr|=dS, |r| = R.
Из подобия треугольников ОАВ
и ВСД следует, что
v2 S
S

 v2 
 v (3)
v
R
R
Подставив (3) в (2), получим
О

 v
 v2
S
a n  n   lim
 n
.
R t 0 t
R
а
А
а
аn
(4)
Так как а  аn , то модуль вектора
ускорения
a  a τ2  a n2 .
(5)
Равномерное движение
x

S
t
t
t

x  x0  t S  t   const
Равноускоренное движение
x
S
a>0
at 2
S  0t 
2
a>0
a<0
a<0
t
t

a
a>0
   0  at
a<0
a>0
a<0
t
  0
a
2S
2
t
2
1.4 Кинематика вращательного движения
1.

Равномерное вращение.
Угловая скорость 



.
t

Связь  с Т и :  = 2  = 2 /Т.

(1)
(2)
2. Неравномерное вращение. Угловая скорость-
R




d
  lim

  .
dt
t 0 t


2

 d d  
  lim

 2  .
dt
dt
t 0 t

Угловое ускорение  () β


d/dt > 0
d/dt < 0
β
(3)
(4)
1.4 Кинематика вращательного движения
3. Связь линейных и угловых характеристик.

Из рис. следует, что S=R . Разделив на t
и осуществив предельный переход, получим:

v

R
 r
M
S
S
d
v  lim
 R
 R  .
dt
t 0 t
(5)
Относительно точки О, расположенной на оси:
R = r sin  (из рис.), тогда v = r sin  
O

 
v  ω  r .
Т.к. an= v2 / R, то подставляя (5 ), получим an= 2 R.
Продифференцировав (5 ) по времени, получим:
v
dv
dω
 R
 aτ  R  
dt
dt
(6)

a
an
(8)
β
(7)