1. Матрица, ее определитель, миноры и алг. Дополнения
Матрица размера MxN – прямоугольная таблица, состоящая из M строк и N столбцов
Определитель n-ого порядка – число равное сумме произведений элементов первой строки на их
алгебраические дополнения.
Минор Mij элемента aij определителя |А| - определитель, полученный из данного определителя
вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определителя |А| - произведение
2. Свойства определителя
1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
2) Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за определитель.
3) При перестановке местами двух любых строк(столбцов) определитель меняет знак на
противоположный.
4) Определитель, содержащий нулевую строку(столбец) равен нулю.
5) Определитель, содержащий две одинаковых строки(столбца), равен нулю.
6) Определитель, содержащий две пропорциональных строки(столбца) равен нулю.
7) Определитель, у которого каждый элемент какой-либо строки(столбца) равен сумме двух
слагаемых, равен сумме определителей.
8) Если к элементам какой-либо строки(столбца) определителя прибавить соответствующие
элементы другой строки(столбца), умноженное на одно и то же число, то величина
определителя не умножается.
3. Теоремы аннулирования, разложения, Крамера.
Теорема аннулирования.
Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) определителя на алг дополнение
соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.
Теорема разложения
Определитель n-ого порядка равен суме попарных произведений элементов любой строки(столбца)
на их алгебраическое дополнение.
Теорема Крамера
Если определитель Δ системы n линейных уравнений с n неизвесиными отличен от нуля, то эта
система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера:
Δk – определитель, получаемый из определителя Δ
заменой k-ого столбца столбцом свободных
членов.
Δ – главный определитель.
Δk - частные определители.
4. Метод Гаусса
Матрица, составленная из коэффициентов из неизвестных систем линейных уравнений с n
неизвестными с добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей
системы.
Под элементарными преобразованиями систем линейных уравнений понимаются следующие
операции:
1) Умножение какого-либо уровня системы на число, отличное от нуля
2) Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число
3) Изменение порядка двух уравнений в системе
Две системы уравнений называется эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то
же множество решений
Элементарные преобразования переводят систему в равносильную ей систему
Элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над
строками её расширенной матрицы.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. При помощи элементарных
преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе «треугольного вида»
Прямой ход Гаусса – переход от системы к равносильной ей системе
Обратный ход Гаусса – нахлодение значений неизвестных из полученной системы.
Элементарные преобразования проводят от строки расширенной матрицы системы.
5. Основные операции над матрицами, их свойства
1) Сложение матрицу
Можно складировать только матрицы одинаковой размерности
Суммой двух матриц Amxn и Nmxn называется матрица той же размерности Cmxn=Amxn+Bmxn,
элементы которой равны сумме соответствующих элементов матрицы A и B
Аналогичным образом определяется разность двух матриц
2) Умножение матрицы на число
Произведением матрицы Amxn на число называется матрица
которой равны произведению Числа на соответствующие элементы матрицы A
элементы
3) Умножение матриц.
Умножение матрицы А на В определенно только в том случае, когда число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй
Произведением матрицы Amxp на матрицу Bpxn называется матрица Cmxn, элементы которой
определяются по правилу, строка на столбец, каждый элемент Cij матрицы – произведение
представляет собой сумму попарных произведений i-й строки первой матрицы на элементы j-ого
столбца второй матрицы.
В результате умножения двух матриц получается матрица, число строки которой равно числу строк
первой страницы, а число столбцов – числу столбцов второй.
6. Транспонирование матрицы, свойства операции
транспонирования.
Транспонирование матрицы называется такое ее преобразование, в результате которого троки
матрицы становится столбцами с сохранением порядка их следования
Транспонированную матриц обозначают Ат
7.
Обратная матрица. Определения, свойства, теорема
существования.
Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется матрица А−1 и удовлетворяющая
условию АА−1 = А−1 А = Е
Теорема о существовании обратной матрицы
Для того, чтобы матрица А имела квадратную матрицу А−1 необходимо и достаточно, чтобы её
определитель был отличен от нуля. При этом обратная матрица выражается формулой.
Где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы А.
8. Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матрица системы – матрица А, составленная из коэффицентов при неизвестных системы линейных
уравнений, а её определитель – определителем системы.
Пусть Х – матрица-столбец неизвестных, а В – матрица столбец свободных членов
АХ=И – матричная запись системы линейных уравнений
Х = А−1 В – матричный способ решения системы линейных уравнений.
9. Модуль вещественного числа, его свойства
Модулем вещ числа х называется само это число, если оно не отрицательное и противоположное ему
число, если оно отрицательное.
10.
Числовая последовательность, способы задания. Предел
числовой последовательности, его геометрический смысл.
Если к каждому натуральному числу поставлено вещественное, то говорят, что задана числ послед.
Аналитический способ: задаётся формула, по которой можно вычислить член послед с любым
номером.
Рекурентный способ: задаётся первый член, последний и формула по которой можно найти след член.
Предел: число А называют пределом послед если для каждого положительного числа найдется такой
номер, что для всех членов послед, у которых будет выполнятся неравенство |Хn-A|< ε
Начиная с некоторого номера все члены последовательности оказываются внутри эпсилон
окрестности А
11.
Бесконечно малые величины, их свойства. Бесконечно
большие велечины, их связь с малыми. Предел.
Последовательность или перемен величина назыв бмв, если ее предел=0
1) Сумма двух бмв=бмв
2) Произведение бмв=бмв
3)
Переменна Хn называется ббв, если для любого, сколь угодно большого полож числа а найдется
номер, такой, что для всех членов послед, у которых будет выполн нерав |Хn|>A
12. Сходящиеся переменные, их свойства
Если переменная имеет конечный предел, то она называется сходящийся.
1) Если переменная Xn сходится, то они отличаются от своего предела на бмв
2) Если переменная отличается от некоторого конечного числа а на бмв, то это число является её
пределом.
13. Основные теоремы о пределах
Теорема о единственности.
Последовательность {Xn} не может иметь 2ух разных пределов.
Теорема о предельном переходе в неравенство.
Если lim 𝑋𝑛 = 𝑎 ; lim 𝑌𝑛 = 𝑏 и какой-то номер n>N Xn≤Yn , тогда lim 𝑋𝑛 ≤ lim 𝑌𝑛, т.е a≤b
𝑛→∞
𝑛→∞
Теорема о сжатой переменной.
𝑛→∝
𝑛→∝
Если Xn->a; Zn->a при n->∞ и начиная с некоторого номера выполняется неравенство 𝑋𝑛 ≤ 𝑌𝑛 ≤ 𝑍𝑛,
тогда Yn->a при n->∞
Необходимое условие сходимости
Если Xn сходится, значит lim 𝑋𝑛 = 𝑎 – конечное число, то Xn – ограничена, тогда найдётся M>0 при
𝑛→∞
котором выполняется неравенство |𝑋𝑛| ≤ 𝑀
14. Арифметические свойства сходящихся переменных
Если Xn -> a, Yn -> b при n->∞, значит a и b – конечные числа, тогда будут следующие переменные
𝑋𝑛
𝑆𝑛 = 𝑋𝑛 ± 𝑌𝑛 ; 𝑃𝑛 = 𝑋𝑛 ∗ 𝑌𝑛 ; 𝑄𝑛 = 𝑌𝑛 , 𝑌𝑛 ≠ 0
lim (𝑋𝑛 ± 𝑌𝑛) = lim 𝑌𝑛 ± lim 𝑋𝑛 = 𝑎 + 𝑏
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝑃𝑛 = lim 𝑌𝑛 ∗ lim 𝑋𝑛 = 𝑎 ∗ 𝑏
𝑛→∞
lim 𝑄𝑛 =
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝑋𝑛
𝑛→∞
𝑎
= 𝑏,𝑏
lim 𝑌𝑛
𝑛→∞
≠0
𝑛→∞
15. Монотонные переменные, теорема Вейерштрасса, Число е
Если при всех n окажется, что Xn+1>Xn , то тогда последовательность называют возрастающей, а если
Xn+1≥ Xn , то последовательность невозрастающая, если Xn+1<Xn то убывающая, если Xn+1≤Xn то
неубывающая.
Вейерштрасс: если монотонная последовательность определяется, то она имеет предел.
1) 𝑋1 ≤ 𝑋2 ≤ ⋯ ≤ 𝑋𝑛 ≤ ⋯ ≤ 𝑀 неубывающая ограниченная сверху
2) 𝑋1 ≥ 𝑋2 ≥ ⋯ ≥ 𝑋𝑛 ≥ ⋯ ≥ 𝑀 невозрастающая ограниченная снизу
С помощью теоремы было доказано существование предела е
1
𝑋𝑛 = (1 + 𝑛)𝑛
1
lim (1 + 𝑛)𝑛 = (1∞ ) =? = 𝑒
𝑛→∞
16. Предел функции: два определения, их равносильность. Распространение теории пределов на функции
непрерывного аргумента. Односторонние пределы.
Число А называют пределом функции F(x) при х->а если для любого положительного Эпислон
найдётся положительное число Сигма такое, что для всех Х удовл неравенство 0<|x-a|<Сигма
Число А называется пределом функции F(x) при x->a
17. Основные пределы анализа:
1. lim
𝑥−>0
sin 𝑥
𝑥
0
=1
[0]
1
2. lim (1 + 𝑥)𝑥 =e
𝑥−>0
3. lim
𝑥−>0
ln(1+𝑥)
=1
𝑥
𝑎 𝑥−1
=ln 𝑎
𝑥−>0 𝑥
4. lim
(1+𝑥)𝑘
=k
𝑥
𝑥−>0
5. lim
1
lim (1 + 𝑥)𝑥 =e
[1∞ ]
𝑥−>∞
0
[0]
𝑒 𝑥 −1
=1
𝑥−>0 𝑥
lim
0
[0]
0
[0]
18.
Непрерывность функции: два определения, их
равносильность. Односторонняя непрерывность. Арифметические
свойства непрерывных функций. Сложная функция, её
непрерывность. Элементарные функции, их непрерывность.
Непрерывность функции.
Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел f(x) при f(x0) равен значению x
в этой точке. lim 𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0) (1)
𝑥−>𝑥0
Определение 2: Функция f(x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращиванию аргумента в
этой точке отвечает приращивание функции. lim ∆𝑦 = 0 (2)
∆𝑥−>0
∆ 𝑥 - приращивание аргумента.
∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) - приращивание аргумента, отвечающее приращиванию аргумента ∆𝑥.
Т. Определение (1) и (2) равносильны.
Доказательство:
1. Дано: lim 𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0) (1)
𝑥−>𝑥0
Доказать: lim ∆𝑦 = 0 (2)
∆𝑥−>0
Доказательство: lim 𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0); lim ∆𝑦 = lim (𝑓(𝑥0 − ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) = lim 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0) −
𝑥−>𝑥0
∆𝑥−>0
∆𝑥−>0
𝑥−>𝑥0
𝑓(𝑥0) = 0; выполняется (2)
𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑥, где ∆𝑥−> 0, x->x0
2. Дано: lim ∆𝑦 = 0 (2)
∆𝑥−>0
Доказать: lim 𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0) (1)
𝑥−>𝑥0
Доказательство: lim (𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 0; lim 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 0; lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0);
∆𝑥−>0
∆𝑥−>0
∆𝑥−>0
выполняется (1)
𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑥, где ∆𝑥−> 0, x->x0
Односторонняя непрерывность.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 справа, если:
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 слева, если:
lim
𝑥−>𝑥0+0
lim
𝑥−>𝑥0−0
𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0)
Замечание. Если f(x) непрерывна в точке x0 в обычном смысле, то она будет непрерывна в этой точке и слева,
и справа и наоборот.
Арифметические свойства непрерывных функций.
Т. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны следующие функции:
S(x)=f(x)+g(x)
R(x)=f(x)-g(x)
P(x)=f(x)*g(x)
Q(x)= f(x)/g(x)
Сложная функция, её непрерывность.
y=f(𝜑(𝑥)) - сложная функция/суперпозиция/композиция.
Т. Если U=𝜑(𝑥), то в точке x0∈[a,b] y=f(u) - непрерывна в точке U0=𝜑(x0), тогда сложная функция y=f(𝜑(x))
будет непрерывна в точке x0.
Элементарные функции, их непеерывность.
Элементарными называются функции, которые можно составить из основных элементарных и констант с
помощью арифметических действий и составления суперпозиции.
К основным элементарным функциям относятся: 1) Степенная, 2) Показательная, 3) Логарифмическая,
4) Тригонометрические.
Т. Все основные элементарные функции непрерывны в точках, в которых они определены.
Т. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены.
19. Сравнение бесконечно малых. Примеры эквивалентных бесконечно малых. Дополнительные свойства
бесконечно малых.
Сравнение бесконечно малых.
𝛼(x) - б.м.в. при x->x0
𝛽(x) - б.м.в. при x->x0
Сравнить 2 б.м.в. значит вычислить предел их отношения. Возможны следующие случаи:
1. lim
𝛼(𝑥)
=0; 𝛼(x) - б.м.в. более высокого порядка по сравнению с 𝛽(x)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
𝛼(𝑥)
=k,
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
2. lim
𝛼(x) и 𝛽(x) - б.м.в. одного порядка.
Частный случай, когда k=1. lim
𝛼(𝑥)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
=1, тогда 𝛼(x) и 𝛽(x) называются эквивалентными бесконечно малыми.
𝛼(x) ~ 𝛽(x) при x->x0.
3. lim
𝛼(𝑥)
=∞, 𝛼(x) - б.м.в. более низкого порядка по сравнению с 𝛽(x).
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
𝛼(𝑥)
=
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
4. lim
не существует. 𝛼(x) и 𝛽(x) - не сравнимые б.м.в.
5. 𝛼(x) и 𝛽 𝑛 (x), где n>0, 𝛼(x), 𝛽(x) - б.м.в. одного порядка, то 𝛼(x) имеет порядок n по сравнению с 𝛽(x).
Примеры эквивалентных бесконечно малых.
1. sin 𝑥~𝑥 при 𝑥−> 0
2. 𝑡𝑔𝑥~𝑥 при 𝑥−> 0
3.𝑎𝑟𝑐sin 𝑥~𝑥 при 𝑥−> 0
4.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥~𝑥 при 𝑥−> 0
5.ln(1 + 𝑥)~𝑥 при 𝑥−> 0
6. 𝑎 𝑥 -1~ 𝑥 ln 𝑎 при 𝑥−> 0
7. (1 + 𝑥)𝑘 -1~ 𝑘𝑥 при 𝑥−> 0
Дополнительные свойства бесконечно малых.
Т1. Произведение двух б.м.в. есть величина бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с
каждой из них.
𝛾(𝑥) = 𝛼(𝑥) ∗ 𝛽(𝑥);
Т2. Разность двух эквивалентных б.м.в.есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с
каждой из них.
𝛾(𝑥) = 𝛼(𝑥) − 𝛽(𝑥); 𝛼(𝑥)~𝛽(𝑥)
Т3. Если разность двух бесконечно малых есть б.м.в. более высокого порядка по сравнению хотя бы с одной
из них, то эти бесконечно малые - эквивалентны.
Следствия. Каждая из двух эквивалентных бесконечно малых есть главная часть другой. 𝛼(𝑥) = 𝛽(𝑥) + 𝛾(𝑥)
Т4. (О замене бесконечно малой на эквивалентную при отыскании предела отношений.) Если
𝛼(x) ~ 𝛼1(𝑥), 𝛽(𝑥)~𝛽1(𝑥) при 𝑥−> 𝑥0, то lim
𝛼(𝑥)
= lim
𝛼1(𝑥)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥) 𝑥−>𝑥0 𝛽1(𝑥)
Доказательство:
Дано: 𝛼(x) ~ 𝛼1(𝑥), 𝛽(𝑥)~𝛽1(𝑥) при 𝑥−> 𝑥0
Доказать: lim
𝛼(𝑥)
= lim
𝛼1(𝑥)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥) 𝑥−>𝑥0 𝛽1(𝑥)
𝛼(𝑥)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
Доказательство: lim
lim
𝛼(𝑥)
𝛽1(𝑥)
* lim 𝛽(𝑥)
𝛼1(𝑥)
𝑥−>𝑥0
𝑥−>𝑥0
= lim
𝛽1(𝑥)
𝛼(𝑥)
𝛽1(𝑥)
𝛼(𝑥)
; lim 𝛼1(𝑥)=1 lim 𝛽(𝑥) =1; lim 𝛽(𝑥)
𝛽(𝑥)
𝑥−>𝑥0
𝑥−>𝑥0
𝑥−>𝑥0
𝑥−>𝑥0
∗ lim
=
𝛽1(𝑥)
𝑥−>𝑥0 𝛽(𝑥)
21. Классификация точек разрыва функции.
Точки разрыва функции - точки, в которых не выполняется
lim
𝑥−>𝑥0+0
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥−>𝑥0−0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) (3). Сюда же
включаются точки, когда функция не определена.
1. Если lim
𝑥−>𝑥0+0
𝑓(𝑥) и lim 𝑓(𝑥) существуют и конечны, (3) не выполняются, Тогда x0 - точка разрыва первого
𝑥−>𝑥0−0
порядка.
1а. Если lim
𝑥−>𝑥0+0
1.б. Если
lim
𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑓(𝑥) , тогда х0 - точка разрыва первого порядка.
𝑥−>𝑥0+0
𝑥−>𝑥0−0
𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ≠ f(x0) или f(x0) не определена, тогда х0 - точка устранимого разрыва.
𝑥−>𝑥0−0
2. Если lim𝑥−>𝑥0+0𝑓(𝑥) или lim 𝑓(𝑥)𝑥−>𝑥0−0 существует или бесконечен, тогда х0 - точка разрыва второго
порядка.