5 Aeroelasticidade Elementar
As estruturas dos aviões sendo extremamente flexíveis, estão sujeitas a distorções
devido aos grandes carregamentos aplicados. Quando estes são provocados por forças
aerodinâmicas que dependem da geometria da estrutura e da orientação dos vários
componentes estruturais em relação ao escoamento exterior então as ditas distorções
estruturais provocaram alterações nas cargas aerodinâmicas dando estas origem a mais
distorções e por aí em diante. Esta interacção entre forças elásticas e forças
aerodinâmicas denota-se por aeroelasticidade.
Dois tipos diferentes de problemas de aeroelasticidade podem ocorrer. Um envolve a
interacção atrás aludida. Estas podem apresentar tendências de divergência numa
estrutura muito flexível provocando falhas ou podem inversamente, numa estrutura
adequadamente rígida, convergirem para uma condição de equilíbrio. Neste tipo de
problemas sistemas estáticos ou dinâmicos de forças aerodinâmicas e elásticas
produzem esses problemas aeroelásticos conotados com os nomes de divergência ou
inversão de controlo (control reversal). O segundo tipo de problemas, envolve tanto a
inércia da estrutura como as forças já faladas. Sistemas dinâmicos de cargas, onde as
rajadas têm um papel importante, induzem oscilações de componentes estruturais. No
caso da frequência natural ou de ressonância do componente encontrar-se na região da
frequência das cargas aplicadas, então as amplitudes das vibrações podem divergir de
tal maneira que provocam falhas estruturais. Têm-se assim fenómenos que estão
intimamente ligados com a fadiga dos materiais, tais como o buffeting, flutter e o
dynamic response.
Pode-se assim sumarizar os vários fenómenos aeroelásticos em árvore,
Figura 5-1
5.1 Distribuição de cargas e divergência
A redistribuição de cargas aerodinâmicas e a divergência estão intimamente ligadas por
fenómenos aeroelásticos. É essencial assim conhecer-se as distribuições de cargas
aerodinâmicas a que os componentes estão sujeitos numa fase de desenho destes. Por
exemplo, a distorção de uma asa pode provocar alterações significativas na distribuição
de sustentação, em relação às calculadas considerando que as asas são rígidas,
principalmente em situações de grandes cargas como por exemplo em regimes de
rajadas e de manobras. Assim, observe-se que como os Engenheiros Aerodinâmicos
necessitam de conhecer a incidência da asa em todas as secções desta ao longo da
envergadura, a torção da asa devido a fenómenos aeroelásticos terá que ser estudada
igualmente.
Figura 5-2
Considere-se o caso de uma asa simples com o centro de torção atrás do centro
aerodinâmico (Figura 5-2).
O momento provocado pela sustentação em relação ao centro de torção faz aumentar o
ângulo de ataque o que produz um aumento na sustentação e por aí em diante. Para uma
velocidade, denominada velocidade de divergência, abaixo de um valor crítico os
aumentos de sustentação convergem para uma situação de equilíbrio estável onde o
momento torsional provocado pelas forças aerodinâmicas em relação ao c.t.1 é
equilibrado pela rigidez torsional da asa. O processo de cálculo da distribuição de
sustentação necessita assim da distribuição da sustentação ao longo da asa. Para uma asa
direita (sem ângulo de flecha), a redistribuição da sustentação causa usualmente um
movimento outward spanwise do centro de pressões resultando em aumentos dos
momentos de flexão em relação à raiz. Para o caso de uma asa com ângulo de flecha
uma redução na incidência das secções dos bordos devido a deflexões de flexão causa o
movimento do centro de pressões para a raiz da asa. Todas as superfícies aerodinâmicas
de uma aeronave sofrem então esta redistribuição de sustentação devido à distorção
elástica.
5.1.1 Divergência torsional da asa (caso bidimensional)
Figura 5-3
O problema mais comum em termos de divergência é a divergência torsional de uma
asa. É prático considerar o caso de uma asa de área S sem ailerons e inserido num
escoamento 2D conforme o ilustrado na Figura 5-3. A rigidez torsional da asa, que irá
ser representada por uma mola torsional de rigidez K, opõe-se ao momento do vector da
sustentação, L, e ao momento de picada M0 actuando no centro aerodinâmico da secção
da asa. Para se verificar o equilíbrio de momentos da secção em relação ao c.a.2, tem-se
1
2
c.t. “ centro de torção
c.a. “ centro aerodinâmico
M 0 + Lec = Kq
Equação 5.1
onde ec é a distância do c.a. em relação ao ponto em que se considera a mola aplicada,
expressa em termos da corda, c, e q é a torção elástica da asa. Da aerodinâmica e
substituindo na expressão anterior, tem-se :
M0 =
¾
L=
1
r V 2 S (cC M,0 + ecC L ) = Kq
2
¾
1
r V 2 ScC M , 0
2
1
r V 2 SC L
2
CL =
›C L
(a + q )
›a
ou então tendo em conta que a é o ângulo inicial de incidência, ou seja a incidência de
uma asa para umas certas condições de voo, se a asa fosse considerada rígida, então,
›C
1
r V 2 S (cC M,0 + ec L (a + q )) = Kq
2
›a
Arranjando a expressão obtém-se:
›C Û 1
›C Û
1
Ë
Ë
q Ì K - r V 2 Sec L Ü = rV 2 ScÌ C M , 0 + e L a Ü
2
›a Ý 2
›a Ý
Í
Í
›C Û
1
Ë
rV 2 ScÌ C M , 0 + e L a Ü
2
›a Ý
Í
q =
›C Û
1
Ë
2
Ì K - r V Sec L Ü
2
›a Ý
Í
A equação anterior mostra que a divergência ocorre, isto é q“Š quando,
›C
1
K = r V 2 Sec L
2
›a
Assim a velocidade de divergência é :
2K
VD =
Ë ›C Û
r SecÌ L Ü
Í ›a Ý
Equação 5.2
Equação 5.3
Observa-se da equação anterior que VD pode ser aumentada se considerarmos uma asa
com uma maior rigidez ou se diminuirmos ec . A primeira hipótese implica um maior
custo e peso do avião de tal maneira que os projectistas preferem desenhar uma
estrutura com um centro de flexibilidade o mais para a frente possível. No caso deste
coincidir com o c.a. ou estiver à frente, então a asa é estável para todas as velocidades.
5.1.2 Divergência torsional da asa (asa finita)
Figura 5-4
Considere-se o caso mais simples de uma asa sem flecha tendo um eixo de flexibilidade
quase perpendicular ao plano de simetria do avião (Figura 5-4). Assume-se igualmente
que as secções transversais da asa permanecem sem distorção perante cargas aplicadas.
Aplicando-se a teoria das faixas na sua maneira usual; ou seja observe-se um elemento
infinitesimal de corda c e de envergadura dz actuando independentemente do resto da
asa e considere-se o seu equilíbrio.
Assim da Figura 5-4 e desprezando o peso da asa, tem-se,
dT Û
Ë
Ì T + d z Ü - T + DLec + DM 0 = 0
dz Ý
Í
Equação 5.4
onde T é o binário aplicado em qualquer secção da envergadura z, e DL e DM0 são a
sustentação e momento de picada no elemento actuando no seu centro aerodinâmico.
Quando dz se aproxima de zero tem-se:
dT
dL dM 0
+ ec
+
=0
dz
dz
dz
Equação 5.5
Sabendo-se da aerodinâmica que
1
DM 0 = r V 2 c 2d zC m, 0
2
¾
›C
1
DL = r V 2 cd c L (a + q )
2
›a
onde Cm,0 é o coeficiente de momento local em relação ao centro aerodinâmico. Além
disso, da teoria de torção T=GJdq/dz. Substituindo-se as expressões anteriores na
Equação 5.5 obtém-se:
1
1
Ë ›C Û
Ë ›C Û
rV 2 ec 2 Ì l Üq - rV 2 ec 2 Ì l Üa 1 rV 2 c 2C m, 0
2
dq
2
Í ›a Ý = 2
Í ›a Ý - 2
+
2
dz
GJ
GJ
GJ
Equação 5.6
Obtém-se assim uma equação diferencial de segunda ordem em relação a q que
apresenta uma solução do tipo:
Î
Þ
Ï C m ,0
ß
q = A sin l z + B cosl z - Ï
+aß
Ï e ›Cl
ß
ÏÐ ›a
ßà
1
Ë ›C Û
rV 2 ec 2 Ì l Ü
2
Í ›a Ý
l2 =
GJ
¾
Equação 5.7
sendo A e B constantes a determinar pelas condições de fronteira que são q=0 para z=0
(raiz da asa) e dq/dz=0 para z=s já que o binário é nulo para a ponta da asa. Assim
obtém-se,
Î
Þ
Î
Þ
Ï C
ß
Ï C
ß
m, 0
m ,0
Ï
ß
Ï
B=
+a
¾ A=
+ a ß tanl
Ï Ë ›Cl Û
ß
Ï Ë ›Cl Û
ß
Ï eÌÍ ›a ÜÝ
ß
Ï eÌÍ ›a ÜÝ
ß
Ð
à
Ð
à
Assim tem-se,
Î
Þ
Ï C
ß
m ,0
q =Ï
+ a ß (tan(l s)sin(l z) + cos(l z) - 1)
Ï eË ›Cl Û
ß
ÏÐ ÌÍ ›a ÜÝ
ßà
Equação 5.8
Î
Þ
Ï C
ß Î cos l ( s - z ) Þ
m ,0
q =Ï
+ a ßÏ
- 1ß
à
Ï eË ›Cl Û
ß Ð cosl s
ÏÐ ÌÍ ›a ÜÝ
ßà
Equação 5.9
Assim para uma situação de divergência onde q tende para infinito cosls=0 e assim:
p
ls = (2n + 1)
para n = 0,1,2,..., Š
2
Equação 5.10
O valor mais pequeno obtém-se então para n=0 correspondendo assim uma velocidade
de divergência VD:
ls =
p
p2
Ãl2 = 2
2
4s
Ã
VD =
p 2 GJ
Ë ›C Û
2pec 2 s 2 Ì l Ü
Í ›a Ý
Equação 5.11
Soluções matemáticas análogas à expressão (Equação 5.10) são raramente aplicadas
com a exactidão necessária para asas ou superfícies de cauda. No entanto, elas indicam
›C l
da ordem de grandeza da velocidade de divergência. De facto quando o declive
›a
bidimensional é usado, os resultados estimados são conservativos no que toca VD .
›C L
tridimensional, os valores obtidos para a
›a
velocidade de divergência são bastantes próximos dos calculados com métodos mais
sofisticados.
A distribuição de sustentação numa asa direita, tendo em conta a torção elástica, é
achada introduzindo uma relação entre o ângulo de incidência e a sustentação, de tal
forma que:
›C l
Cl =
(a + q )
›a
onde q é o ângulo de torção elástico.
Mostra-se que quando se usa o valor
5.1.3 Divergência em asas com flecha (swept wing divergence )
No cálculo de velocidades de divergência de asas direitas, os eixos de flexibilidade
forma considerados como sendo aproximadamente perpendiculares ao plano de simetria
do avião. A flexão dessas asas não apresenta nenhuma influência na divergência, sendo
esta apenas dependente da torção. Contudo isto não é o caso de uma asa com flecha
onde os eixos da envergadura estão inclinados em relação ao plano de simetria do avião.
Considere-se a figura seguinte (Figura 5-5).
Figura 5-5
A distribuição da sustentação faz com que na asa apareça um momento flector dirigido
para a frente do avião fazendo com que a ponta da asa tenda a subir. Os pontos A e B
situados numa linha perpendicular ao eixo de referência apresentado irão deflectir
aproximadamente a mesma quantidade, mas esta será maior que a deflexão do ponto A´
o que significa que a flexão irá reduzir a incidência do escoamento a montante da asa. O
respectivo incremento negativo de sustentação opõe-se à torção elástica reduzindo assim
a possibilidade de ocorrer a divergência da asa. De facto a velocidade de divergência de
asas com flecha é tão elevada que não a divergência não apresenta perigo para o
projecto para este tipo de asas. Em 1948 Diederich e Budiansky mostraram que as asas
que apresentassem ângulos de flecha moderados ou altos nunca divergiam. O oposto é
então verdade para asas com flecha negativa onde as deflexões devido à flexão têm um
efeito destabilizador e onde as velocidades de divergência são bastante baixas.
5.2 Eficiência de controlo e inversão
A flexibilidade da maior parte das superfícies aerodinâmicas, asas e caudas horizontais
e verticais, afecta adversamente o seu controlo das superfícies de controlo nestas
existentes, ailerons, rudder e elevators. Por exemplo, a deflexão para baixo de um
aileron causa uma torção da asa no sentido de baixar o bordo de ataque que por sua vez
faz diminuir a incidência do aileron. Assim esta torção tende a reduzir o aumento de
sustentação provocado pela deflexão do aileron diminuindo o valor do ângulo de
rolamento em relação ao que se teria se para o caso de uma asa rígida. O momento
torçor aerodinâmico da asa devido à deflexão dos ailerons aumenta com o quadrado da
velocidade mas o momento elástico de recuperação é constante já que depende apenas
da flexibilidade torsional da estrutura da asa. Assim, os ailerons ficam menos eficientes
à medida que a velocidade aumenta até uma velocidade crítica denotada por aileron
reversal speed, onde as deflexões dos ailerons não provocam nenhum rolamento. Para
velocidades acima desta os movimentos dos ailerons têm de ser os inversos para se
obter os efeitos desejados, por exemplo um incremento da sustentação implica uma
deflexão para cima dos ailerons.
De um modo semelhante, mas menos crítico, tem-se a situação de perda de controlo e
até menos de inversão deste, para o caso do rudder e elevator. Estes problemas são mais
complicados visto existirem também deformações dos pontos de ligação entre as
fuselagens e as caudas o que poderá ser tão importante como as deformações das caudas
em si.
5.2.1 Eficiência de controlo
bidimensional)
dos
ailerons
e
reversão
(caso
Ilustrar-se-á este problema investigando o caso de uma asa com um aileron inserido
num escoamento 2D. Na Figura 5-6 uma deflexão x produz variações DL e DM0 na
sustentação e momento de picada da asa; estes por sua vez provocam uma torção
elástica q, da asa. Assim,
Ë ›C
›C Û 1
DL = ÌÌ L q + L x ÜÜ r V 2 S
›x Ý 2
Í ›a
Equação 5.12
›C L
é a taxa de variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de aileron.
›x
Assim,
›C
1
DM 0 = M , 0 x r V 2 Sc
›x
2
onde
Equação 5.13
Figura 5-6
›C M ,0
é a taxa de variação do coeficiente de momento de picada com a variação
›x
dos ailerons. O momento produzido por estes incrementos da sustentação e de momento
de picada é equilibrado por um incremento do binário DT em relação ao eixo de flexão.
Assim,
ÎË ›C
Þ
›C Û ›C
1
DT = k q = r V 2 Sc ÏÌÌ L q + L x ÜÜe + M , 0 x ß
2
›x Ý
›x
ÐÍ ›a
à
Onde
Isolando q desta equação tem-se:
q=
Equação 5.14
›C M , 0 Þ
ÎË ›C
›C L Û
1
r V 2 Sc ÏÌÌ L q +
x ÜÜe +
xß
2
›x Ý
›x
à
ÐÍ ›a
1
Ë ›C Û
K - r V 2 SceÌ L Ü
2
Í ›a Ý
Equação 5.15
Substituindo na Equação 5.12 obtém-se:
Î1
Ë ›C M ,0 ÛË ›C L Û
Ë ›C Û Þ
2
ÜÜÌ
Ü + K ÌÌ L ÜÜ ß
Ï r V ScÌÌ
2
1
Í ›x Ý ß
Í ›x ÝÍ ›a Ý
DL = r V 2 S Ï
x
Ï
ß
2
1
Ë ›C L Û
2
K - r V SceÌ
Ü
Ï
ß
2
Í ›a Ý
ÏÐ
ßà
Equação 5.16
O aumento da sustentação é assim uma função linear da deflexão do aileron e torna-se
nulo, ou seja ocorre a inversão de controlo, quando a velocidade de inversão, Vr, é,
Ë ›C
ÛË ›C Û
Ë ›C Û
1
r V 2 ScÌÌ M ,0 ÜÜÌ L Ü + K ÌÌ L ÜÜ = 0
2
Í ›x Ý
Í ›x ÝÍ ›a Ý
Equação 5.17
Vr =
Ë ›C Û
- K ÌÌ L ÜÜ
Í ›x Ý
Ë ›C M ,0 ÛË ›C L Û
1
ÜÜÌ
r V 2 ScÌÌ
Ü
2
Í ›x ÝÍ ›a Ý
Equação 5.18
Pode-se definir a eficiência dos ailerons para velocidades abaixo de Vr em termos de
DLR produzido por uma deflexão de um aileron numa asa rígida. Assim,
DL
eficiência dos ailerons =
DLR
Equação 5.19
DLR =
›C L 1
x rV 2 S
›x 2
Equação 5.20
Substituindo a Equação 5.20 e a Equação 5.16 na Equação 5.19 obtém-se :
Ë ›C ÛË ›C Û
Ë ›C Û
1
r V 2 ScÌÌ M , 0 ÜÜÌ L Ü + K ÌÌ L ÜÜ
2
Í ›x ÝÍ ›a Ý
Í ›x Ý
eficiência dos ailerons =
Î
1
Ë ›C L ÛÞ ›C L
2
Ï K - 2 r V SceÌ ›a Üß ›x
Í
Ýà
Ð
Equação 5.21
Pode-se expressar a equação anterior em termos da velocidade de divergência Vd e a
velocidade de inversão de controlo Vr usando a Equação 5.3 e a Equação 5.18; assim
tem-se:
V2
1- 2
Vr
eficiência dos ailerons =
V2
1- 2
Vd
Equação 5.22
Ë ›C M , 0 Û
›C L
ÜÜe , o aileron é
= -ÌÌ
›x
Í ›x Ý
de controlo totalmente efectivo para todas as velocidades. Essa situação ocorre pois a
torção nose-down causada pela deflexão dos ailerons é cancelada pela torção nose-up
produzida pelo incremento da sustentação.
Apesar desta análise ser baseada em fenómenos 2D esta poderá ser utilizada para dar
respostas aproximadas para asas finitas. O método é aplicar estas relações para um perfil
representativo da asa e usar as propriedades locais da asa (3D) nas fórmulas.
Observe-se assim que quando Vd=Vr, que ocorre para
5.2.2 Eficiência de controlo e inversão (asa finita)
Observe-se a Figura 5-7 e atente-se que a deflexão do aileron de um ângulo x produz
uma velocidade de rolamento p rad/sec tendo o sentido mostrado. O ângulo de
incidência da asa produz em qualquer secção z é assim reduzido devido a p de uma
quantidade pz/V. A deflexão do aileron para baixo representada na figura, coincide com
uma deflexão para cima na outra asa reforçando assim a velocidade de rolamento. A
incidência da asa oposta é assim aumentada devido ao sentido da velocidade de
rolamento p. Para efeito de estudo dos ailerons considerar-se-á a sustentação anti
simétrica e o momento de picada produzido pelas deflexões dos ailerons. Assim na
Figura 5-7(b) as forças e os momentos são variações em relação às condições de voo
niveladas.
A sustentação DL na faixa considerada na Figura 5-7(b) é dada por,
Figura 5-7
Î ›c Ë
Þ
1
r z Û ›c
DL = r V 2cd z Ï 1 Ìq - Ü + 1 f a ( z )x ß
2
V Ý ›x
Ð ›a Í
à
Equação 5.23
›c1
é a taxa de variação local de coeficiente de sustentação com o ângulo dos
›x
ailerons. A função fa(z) representa as forças dos ailerons e momentos ao longo da
envergadura; para 0ˆzˆs1 , fa(z)=0 e para s1 ˆ z ˆ s, fa(z)=1. O momento de picada DM0
no elemento é dado por,
›c m , o
1
DM 0 = rV 2 c 2d z
f a ( z )x
2
›x
onde
› c m ,0
Equação 5.24
é a taxa de variação do coeficiente de momento de picada local com o
›x
ângulo dos ailerons.
Considerando o equilíbrio dos momentos da Figura 5-7(b) obtém-se, desprezando o
peso da asa,
dT
d z + DLec + DM0 = 0
dz
onde
ou substituindo DL e DM0 na expressão anterior, tem-se:
Equação 5.25
›c m, 0
Î ›c Ë
Þ 1
dT 1
r z Û ›c
+ r V 2ec Ï 1 Ìq - Ü + 1 f a ( z )x ß + r V 2 c 2
f a ( z )x = 0
dz 2
V Ý ›x
›x
Ð ›a Í
à 2
Equação 5.26
Substituindo T pela expressão da teoria de torção elástica ( T=GJ dq/dz ) obtém-se:
›c
1
1
r V 2ec 2 l
rV 2 c 2
›c m, 0
Î ›c1 r z
Þ
›c
dq
2
›
a
2
+
q=
- e 1 f a ( z )x f a ( z )x ß
Ïe
2
GJ
GJ Ð ›a V
›x
›x
dz
à
2
Equação 5.27
Denotando ,
obtém-se:
›c
1
r V 2ec 2 l
2
›a = l2
GJ
dq 2
l2 Î ›c1 1 ›c m , 0 Þ
2
2 rz
+
l
q
=
l
+
f ( z )x
›c1 ÏÐ ›x e ›x ßà a
V
dz 2
›a
Equação 5.28
Pode ser demonstrado que a solução da Equação 5.28 satisfazendo as condições de
fronteira q=0 para z=0 e dq/dz=0 para z=s é a seguinte:
sin l ( s - s1 )
pË
sin lz Û 1 Ë ›cl 1 ›cm , 0 Û Î
Þ
ÌÌ
ÜÜ ™ Ï f a ( z ){1 - cos l ( z - s1 )} q = Ìz+
sin lz ßx
ÜVÍ
l cos ls Ý ›cl Í ›x e ›x Ý Ð
cos ls
à
›a
Equação 5.29
onde cosl(z-s1)=0 quando z<s1 . A variação ao longo da envergadura do coeficiente de
sustentação total local é dado por,
›c Ë
pz Û ›c
cl = l Ìa + q - Ü + l f a (z )x
›a Í
V Ý ›x
Equação 5.30
onde q é dado pela Equação 5.29 e a é o ângulo de incidência (vulgo ângulo de ataque
da asa) para condições de voo estacionárias.
A eficiência dos ailerons é medida em termos do ângulo da ponta da asa por unidade de
deslocamento do aileron durante um rolamento estacionário. Nesta condição, os
momentos de rolamento devido à deflexão dos ailerons, x, a torção da asa e o
amortecimento provocado pelas forças aerodinâmicas encontram-se em equilíbrio de tal
forma que através de Figura 5-7(a), da Equação 5.23 e notando que os ailerons em asas
opostas ambos contribuem para o rolamento, tem-se,
2×
s
0
Î ›c Ë
Þ
›c Ë
1
pz Û ›c
pz Û ›c
rV 2 c Ï l Ìq - Ü + l f a ( z )x ßzdz = 0 Ã l Ìq - Ü + l f a ( z )x = 0
2
V Ý ›x
›a Í
V Ý ›x
Ð ›a Í
à
Substituindo q da Equação 5.29 nesta última equação obtém-se:
Equação 5.31
Ñ
á
s ›c
›c l Ô
sin l ( s - s1 )
1 Ë ›c l 1 ›c m ,0 Û Î
Ô ps sin lz
Þ Ô
Ô
l
×0 ›a Ò V ls cos ls - ›cl ÌÌÍ ›x + e ›x ÜÜÝ ™ ÏÐ f a ( z ){1 - cos l ( z - s1 )} - cos ls sin lz ßàx â zdz = -x ×0 ›x f a ( z ) zdz
Ô
Ô
Ô
Ô
›a
Ó
ã
s
Assim:
á
s ÑË ›c
sin l ( s - s1 )
1 ›c m, 0 Û Î
ps s ›cl sin lz
Þ ›c
ÜÜ ™ Ï f a ( z ){1 - cos l ( z - s1 )} x × ÒÌÌ l +
sin lz ß - l f a ( z )â zdz =
zdz
0
cos ls
V ×0 ›a ls cos ls
à ›x
ÓÍ ›x e ›x Ý Ð
ã
E querendo-se a eficiência dos ailerons, (ps/V)/x, esta é dada por:
á
s ÑË ›c
sin l ( s - s1 )
1 ›c m ,0 Û Î
Þ ›c l
l
Ë ps Û
Ì Ü ×0 ÒÌÌ ›x + e ›x ÜÜ ™ Ï f a ( z ){1 - cos l ( z - s1 )} - cos ls sin lz ß - ›x f a ( z )â zdz
à
Ý Ð
Í V Ý = ÓÍ
ã
À
s ›c
sin
l
z
x
l
zdz
×0 ›a ls cos ls
2
2
Ë ps Û ËÌ cos ls1 - 1ÛÜ ›a ›c l + ËÌ cos ls1 - 1 - l2 s - s1 ÛÜ ›a ›c m, 0
Ì Ü
Ì
2 ÜÝ e›c l ›x
Ý ›c l ›x Í cos ls
Í V Ý = Í cos ls
x
Ë tan ls Û
- 1Ü
Ì
Í ls
Ý
Equação 5.32
Sabe-se que a velocidade de inversão de controlo dos ailerons ocorre quando a
eficiência destes é nula. Assim, da equação anterior tem-se, que para se obter Vr o
numerador precisa de se anular, obtendo-se então uma equação transcendental:
Ë s 2 - s12 1 ›c m ,0 Û
Ë ›cl 1 ›c m , 0 Û
Ü cos ls = 0
ÌÌ
ÜÜ(cos ls - cos ls1 ) + ÌÌ l2
+
2 e ›x ÜÝ
Í ›x e ›x Ý
Í
Equação 5.33
Existem outros métodos para a obtenção das velocidades de divergência e de inversão
de controlo baseados em procedimentos matriciais e energéticos.
5.3 Introdução ao ‘flutter’
Foi definido anteriormente flutter como a instabilidade dinâmica de um corpo elástico
num escoamento. É encontrado mais frequentemente em estruturas de aviões sujeitas a
elevadas cargas aerodinâmicas, tais como as asas, as caudas e superfícies de controlo. O
flutter ocorre à velocidade crítica de flutter Vf , que é definida como a velocidade mais
baixa à qual uma dada estrutura irá oscilar com movimento harmónico permanente.
Velocidades abaixo e acima da velocidade crítica representam respectivamente,
condições de estabilidade e instabilidade (divergente), no que toca a oscilações
estruturais.
Geralmente um sistema elástico possuindo só um grau de liberdade não pode ser
instável a menos que existam algumas características mecânicas peculiares como forças
das molas ou amortecedores negativas. Contudo, é possível sistemas com dois ou mais
graus de liberdade serem instáveis sem possuírem características impróprias. As forças
associadas com cada grau de liberdade individual podem interagir provocando
oscilações divergentes para certas diferenças de fase. O flutter de uma asa na qual os
modos de torsão e flexão são acoplados é um exemplo importante deste tipo de
instabilidade. Alguma indicação da natureza física do flutter torsão – flexão pode ser
dada pela exanimação das forças de inércia e sustentação durante a oscilação combinada
de torsão e flexão na qual os movimentos individuais têm são desfasados de 90 graus.
Numa flexão pura ou oscilação torsional pura as forças aerodinâmicas produzidas pela
incidência efectiva da asa opõe-se ao movimento; a incidência geométrica na flexão
pura permanece constante e assim não afecta a força de amortecimento aerodinâmico
enquanto que na torção pura, a incidência geométrica produz forças aerodinâmicas que
se opõem ao movimento durante meio ciclo, mas favorece durante o outro meio ciclo de
tal modo que o seu efeito é nulo. Assim as oscilações de flexão pura ou torsão pura são
rapidamente amortecidas. Este não é o caso na oscilação combinada quando a torsão
máxima ocorre a flexão nula e vice-versa, isto é 90 graus de diferença de fase.
Considere a asa ilustrada na Figura 5-8 em vários estágios de oscilação flexão- torsão.
Na posição de flexão nula a torção da asa causa uma incidência geométrica positiva e
assim as forças aerodinâmicas actuam na mesma direcção do movimento da asa. Uma
situação semelhante mas contrária existe quando a asa se move para baixo; uma
incidência geométrica negativa devido à torsão da asa provoca uma força aerodinâmica
para baixo. Segue-se que em todos os estágios as forças associadas ao ângulo de
incidência têm um efeito destabilizador. A uma certa velocidade Vf, esta acção
destabilizadora torna-se maior que as forças estabilizadoras e a oscilação diverge. Em
casos práticos as oscilações de flexão e torsionais não serão desfasadas mais do que 90
graus de fase, contudo aplicam-se os mesmos princípios básicos.
Figura 5-8
O tipo de flutter descrita acima no qual dois tipos de movimento oscilatório interagem
de tal modo que o movimento resultante é divergente e conhecido por flutter clássico.
Outros tipos de flutter, flutter não-clássico, podem envolver um único tipo de
movimento. Por exemplo o stalling flutter de uma asa ocorre a altas incidências onde,
para posições particulares do eixo torção, ao longo da envergadura, ocorrem oscilações
de torsão auto-excitadas, as quais acima de uma dada velocidade divergem.
Outra forma de flutter não- clássica, aileron buzz, ocorre velocidades subsónicas
elevadas e está associada a ondas de choque na asa à frente do aileron. Se o aileron
oscila para baixo, o escoamento que passa na superfície superior da asa acelera,
intensificando o choque resultando numa redução da pressão na camada limite antes do
choque. O aileron, assim, tende a ser puxado para a sua posição neutral. A baixas
frequências estas variações de pressão são desfasadas de 180 graus contrariando assim a
oscilação. A frequências mais elevadas a componente da pressão aparece em fase com a
velocidade do aileron, excitando-o. Se forem maiores que todas as outras forças
amortecedoras ocorre uma oscilação a altas frequências com só um tipo de movimento,
rotação do aileron em torno da dobradiça, i.e. aileron buzz. Pode ser evitado com a
utilização de control jacks, ou reforçando estruturalmente o aileron para garantir que a
sua frequência natural seja elevada.
Buffeting é produzido normalmente em aviões com cauda por turbilhões causados por
escoamentos pobres vindos da esteira da asa, atacando a cauda a uma frequência igual à
sua frequência natural; uma oscilação razoável com um grau de liberdade pode então
ocorrer. O problema pode ser aliviado colocando correctamente a cauda e limpando a
aerodinâmica do avião.
5.3.1 Acoplamento
Foi visto que o flutter clássico da asa de um avião envolve a interacção de movimentos
torsionais e de flexão. Separados, nenhum dos movimentos causará instabilidade, mas
juntos, e a amplitudes e fases críticas um movimento excitará o outro; diz-se assim que
os dois movimentos estão acoplados. Podem ocorrer várias formas de acoplamento :
inercial, aerodinâmico e elástico.
A secção transversal de uma asa de comprimento pequeno é mostrada na Figura 5-9. O
centro de gravidade encontra-se a uma distância cg do centro de flexão, onde c é a corda
da asa e m é a massa da mesma. Se todo o comprimento da corda for sujeito a uma
aceleração vertical para cima de &y& , então esta sofre um força de inércia em sentido
contrário de m &y& , actuando no centro de gravidade, produzindo um momento torçor
anti-horário de m &y& gc torcendo a asa. O movimento vertical induz então um movimento
de torsão devido às forças de inércia, i.e. acoplamento inercial. Uma aceleração angular
a&& em torno do centro de flexão provoca uma aceleração linear de gc a&& o que
corresponde a uma força de inércia de mgc a&& no centro de gravidade. Assim acelerações
angulares geram forças que produzem translação, novamente acoplamento inercial. È de
notar que o momento torçor de inércia devido à aceleração linear unitária (mgc) é igual
à força de inércia devido à aceleração unitária (mgc); o acoplamento inercial possui
assim simetria.
Figura 5-9
Acoplamento aerodinâmico está associado com as alterações da sustentação produzidas
pela rotação e translação da asa. Uma mudança na incidência da asa, isto é rotação da
asa, induz uma mudança da sustentação que causa translação enquanto que a velocidade
de translação y& , resulta numa mudança efectiva na incidência da asa, o que causa
rotação da asa. Estas forças aerodinâmicas, que oscilarão em condição de flutter, actuam
num ponto análogo ao centro aerodinâmico de uma asa em movimento estacionário;
este é conhecido por centro de independência.
Considere agora que a secção da asa mostrada na Figura 5-10, e suponha que a rigidez
da asa é representada por um mola de rigidez k posicionada no centro de flexão.
Suponha ainda que o deslocamento da asa é definido pela deflecção vertical y de um
ponto arbitrário O (Figura 5-10(a)) e a rotação a em torno de O (Figura 5-10(b)). Na
Figura 5-10(a) o deslocamento vertical produz uma força na mola que causa um
momento torçor horário (kyd) na secção da asa em torno de = resultando num aumento
da incidência a. Na Figura 5-10(b) a rotação horária a em torno de O resulta numa
força na mola kda actuando para cima na secção da asa produzindo assim translações na
direcção positiva de y. Assim a translação e rotação estão acopladas pela rigidez elástica
da asa, a chamando-se então acoplamento elástico. È de reparar que, como no caso do
acoplamento inercial, o acoplamento elástico possui simetria uma vez que o momento
devido a uma translação unitária (kd) é igual à força produzida por uma rotação unitária
(kd). Assim , se o ponto arbitrário escolhido O coincidir com o eixo de flexão, d = 0 e o
acoplamento desaparece.
Do afirmado anteriormente pode se r visto que o flutter será evitado por tentativa de
desacoplar os dois tipos de movimento. Assim o acoplamento inercial é evitado se o
centro de gravidade coincidir com o eixo de flexão enquanto que o acoplamento
aerodinâmico é evitado se o centro independência coincidir com o centro de flexão.
Assim, eliminar-se-ia também o acoplamento elástico uma vez que o ponto O na Figura
5-10 iria ser geralmente o centro de independência. Infelizmente, em casos práticos, o
centro de independência encontra-se à frente do eixo de flexão enquanto que o centro de
gravidade se encontra por trás, o que favorece o flutter.
Figura 5-10
5.3.2 Determinação da velocidade crítica de flutter
Considere uma secção de asa com corda c oscilando harmonicamente num escoamento
de velocidade V e densidade re tendo deslocamentos, velocidades e acelerações
instantâneas de , rotação , a ,a& ,a&& , e translação , y, y&, &y& . A oscilação provoca uma
redução na sustentação estacionária pelo que, a sustentação da oscilação actua para
baixo. A sustentação para baixo provocada por a ,a& ,a&& é respectivamente
l rcV 2a = L a
l rc 2V 2a& = L a&
l rc 3V 2a&& = L a&&
Em que l , l , l , são coeficientes adimensionais análogos ao declive da curva de
sustentação em movimento estacionário. De forma similar forças verticais para baixo
devido à translação são
l y rcV 2
&y&
y
y&
= L y y ¾ l y rc 2V = L y y& ¾ l y rc 3 = L y &y&
c
c
c
Assim a força aerodinâmica total na secção da as devido ao movimento oscilatório é
dado por
L = L y y + L y y& + L y &y& + L a + L a& + L a&&
Equação 5.34
Foi visto anteriormente que deslocamentos de translação e rotação produzem
momentos em torno de qualquer ponto. Assim o momento (nose up) total da secção da
asa é
M = M y y + M y y& + M y &y& + M a + M a& + M a&&
Equação 5.35
onde se tem,
M y y = l y rc 2 V 2
&y&
y
y&
¾
M y y& = l y rc 3V
¾
M y &y& = l y rc 4
c
c
c
a
a&
a&&
M a = m rc 2 V 2
M a& = m rc 3V
M a&& = m rc 4
¾
¾
c
c
c
No qual se tem m , etc. são análogos aos coeficientes de momento de movimento de
picada estacionário.
Considere agora a secção da asa mostrada na Figura 5-11. A secção da asa oscila em
torno de uma posição intermédia e a rigidez torsional e à flexão são representadas por
molas de rigidez k e k respectivamente. Suponha que o deslocamento instantâneo
relativamente ao ponto intermédio é y que é tomado positivo para baixo. Em adição às
forças aerodinâmicas da Equação 5.34 e da Equação 5.35 a secção da asa experimenta
forças e momentos inerciais e elásticos. Assim se a massa da secção for m e IO for o
momento de inércia em torno do ponto O , as equações instantâneas de equilíbrio de
forças e momentos podem ser escritas da seguinte forma
Figura 5-11
L - m&y& + mgca&& - ky = 0
M - I oa&& + mgc&y& - k a = 0
Equação 5.36
Equação 5.37
Substituindo par L e M da Equação 5.34 e da Equação 5.35 obtém-se
(m - L y )&y& - L y y& + (k - L y )y - (mgc + L )a&& - L a& - L a = 0
(- mgc - M y )&y& - M y y& - M y y + (I o - M a )a&& - M aa& + (K - M )a = 0
Equação 5.38
Equação 5.39
Os termos envolvendo y na equação da força e a na equação do momento são
conhecidos como termos directos enquanto que os que contêm a na equação das forças
e y na equação do momento são conhecidos por termos de acoplamento.
A velocidade crítica de flutter está contida na Equação 5.38 e na Equação 5.39 dentro
dos termos L y , L y , L , L . , M y , M y , M , M . O seu valor corresponde à condição de
que estas equações representam movimento harmónico simples. Acima desta velocidade
crítica as equações representam movimento oscilatório divergente enquanto que a
velocidades inferiores representam movimento oscilatório amortecido. Para movimento
harmónico simples
y = y 0 e iwt
¾
a = a 0 e iwt
Substituindo esta expressão nas relações anteriores e rescrevendo-as em termos
matriciais obtém-se
Î - w 2 (m - L y ) - iwL y + k - L y
Þ Ñ y0 á
w 2 (mgc + L ) - iwL - L
Ï 2
ßÒ â = 0
2
ÏÐw (mgc + M y ) - iwM y - M y - w ( I o - M ) - iwM + kq - M ßà Óa 0 ã
Equação 5.40
A solução da Equação 5.40 é obtida facilmente por um computador havendo vários
métodos disponíveis. Um método representa o movimento do sistema a uma velocidade
V por
y = y 0 e iw t
¾
a = a 0 e iw t
em que d+iw é uma das raízes complexas do determinante da Equação 5.40. Para
qualquer velocidade V a parte imagináriaw dá a frequência da oscilação do sistema
enquanto drepresenta a taxa de crescimento exponencial. A baixas velocidades a
oscilação decai (d é negativo) e a altas velocidade diverge (d é positivo). Taxa de
crescimento nulo corresponde à velocidade crítica de flutter Vf que pode ser calculado
obtendo d para uma gama de velocidades e determinando Vf para d = 0.
5.3.3 Prevenção do flutter
Foi visto anteriormente que o flutter pode ser evitado eliminando acoplamento
inercial, aerodinâmico e elástico fazendo coincidir o centro de gravidade com o centro
de independência e centro de flexão. Pode ser achado através dos termos de
acoplamento na Equação 5.38 e na Equação 5.39.
Na Equação 5.39 o acoplamento inercial é mgc + M y no qual M y é usualmente muito
mais pequeno do que mgc. Assim o acoplamento inercial pode ser virtualmente
eliminado por ajuste da posição do centro de gravidade da secção da asa através de
balanço de massa de modo a coincidir com o eixo de flexão, i.e. gc = 0. O termo do
acoplamento aerodinâmico M y y& desaparece, como foi visto , quando o centro de
independência coincide com o eixo de flexão. Os termos Myy e L a& são muito
pequenos e podem ser desprezados de modo a que a Equação 5.38 e a Equação 5.39
ficam reduzidas a
m - L y &y& - L y y& + k - L y y - L a = 0
(
!
!
)
(
!
)
(I o - M a )a&& - M aa& + (K - M )a = 0
Equação 5.41
#
$
$
$
"
Equação 5.42
O termo restante, L a, não pode ser eliminado uma vez que a força vertical requerida
para manter o voo é produzida pela incidência da asa.
A Equação 5.42 governa o movimento torsional da secção da asa e não contém termos
de acoplamento pelo que, uma vez que todos os coeficientes são positivos a velocidades
abaixo da velocidade de divergência da secção da asa, qualquer oscilação produzida,
diga-se por ex. uma rajada, irá decair. Também , pela Equação 5.41, irá aparecer uma
oscilação vertical que será mantida pelo termo L a.. Contudo, oscilações rotacionais,
como foi visto pela Equação 5.41, decaem de modo a que a força de sustentação L a
seja uma força (amortecida) (decaying) e não consegue manter a oscilação vertical.
Na prática não é sempre possível evitar o flutter eliminando os termos de acoplamento.
Contudo, aumentar a rigidez estrutural, mesmo que haja penalização devido ao aumento
de peso, aumenta a velocidade crítica de flutter. Outra forma é colocar o centro de
gravidade da secção da asa o mais perto possível do centro de flexão. Assim nas asas
com motores, estes são colocados em pods bem à frente do eixo de flexão da asa.
%
%
%
5.3.4 Determinação experimental da velocidade de flutter
A análise anterior cingiu-se ao modelo de flutter com dois graus de liberdade. Na
prática a estrutura de um avião pode oscilar em muitas direcções. Por exemplo uma asa
tem modos de oscilação fundamentais de torsão e flexão aos quais são sobrepostos os
modos secundários. É possível ainda que as oscilações de flexão da fuselagem
produzam mudanças na curvatura da asa afectando assim a sustentação da asa e as
superfícies de controlo oscilarem em torno das dobradiças produzindo forças
aerodinâmicas nas superfícies principais.
As equações do movimento para um avião actual são muito complexas com um número
N, de equações de movimento diferentes ( N pode ser tão alto como 12). Sendo assim, N
equações de movimento acopladas. A uma dada velocidade, a solução das N equações
corresponde a N valores diferentes de d+iw correspondendo a N modos de oscilação.
Outra vez, como no caso de dois graus de liberdade, a velocidade crítica de flutter para
cada modo pode ser encontrada calculando d para uma gama de velocidades e
determinando o valor da velocidade para a qual se tem d = 0.
Uma abordagem semelhante é usada experimentalmente num avião actual. O avião é
posto a voar a uma velocidade estável e posto a oscilar ou por explodir um pequeno
detonador na asa ou por superfícies de controlo ou por control jerk súbito. As oscilações
resultantes são registadas e analisadas para determinar a taxa de decaimento. O
procedimento é repetido para valores de velocidade maiores com pequenos incrementos.
Os decaimentos medidos são representados em função da velocidade , resultando numa
curva que é ilustrada na Figura 5-12. Esta curva é então extrapolada para o ponto de
decaimento nulo correspondendo à velocidade crítica de flutter Vf. Esta abordagem
requer uma estimação preliminar o mais apurada possível da velocidade de flutter uma
vez que as oscilações induzidas acima da velocidade de flutter divergem conduzindo
provavelmente a resultados catastróficos.
Outro trabalho experimental envolve testes em túneis de vento em modelos de flutter,
em que os resultados servem para verificar a validade dos resultados teóricos.
Figura 5-12
5.3.5 Flutter nas superfícies de controlo
Se uma superfície de controlo oscila em torno das dobradiças, são induzidas forças
oscilantes na superfície central. Por exemplo, se uma asa oscila em flexão ao mesmo
tempo que o aileron oscila em torno da dobradiça, pode ocorrer flutter originado na
diferença de fase entre os dois movimentos. De forma semelhante pode ocorrer o flutter
do elevador e rudder quando a fuselagem oscila devido à flexão. Outras formas de
flutter em superfícies de controlo envolvem mais de dois tipos de movimento. Incluído
nesta categoria estão a flexão da asa/rotação do aileron/tab e rotação do elevador/flexão
da fuselagem/picada de corpo rígido e translação do avião completo.
Pode ser mostrado que o flutter de superfícies de controlo pode ser evitado eliminando o
acoplamento inercial entre a superfície de controlo e o movimento da superfície
principal. Isto pode ser conseguido por equilíbrio de massas na superfície de controlo
onde se colocam pesos na superfície de controlo à frente da linha de hinge.
Todos os aviões recentemente construídos são sujeitos na vida de protótipo a um teste
de ressonância terrestre para determinar os modos actuais e as frequências naturais. Os
objectivos principais destes testes são a verificação da precisão dos modos calculados
normalmente em que as previsões de flutter são baseadas e mostrar algumas
particularidades não previstas no comportamento vibratório do avião. Normalmente o
avião encontra-se num sistema de vibração de baixa frequência ou mesmo em cima dos
seus esvaziados. Excitadores electrodinâmicos são montados aos pares nas asas e na
cauda com acelerómetros como aparelhos de medição. O procedimento teste serve
normalmente para descobrir as frequências de ressonância registando amplitudes e
diferenças de fase de um certo número de acelerómetros numa dada gama de
frequências. Tendo-se obtido as frequências de ressonância o avião é então excitado a
cada uma dessas frequências individualmente sendo registados todos os valores dos
acelerómetros simultaneamente.