DEPARTAMENTO
DE MATEMÁTICA
Ecuaciones Diferenciales
Clase 12
Contenidos
1
Modelos motivadores: mezclas y predador-presa
2
Sistemas de EDOs lineales
Tipos de sistemas lineales
Estructura del conjunto solución
Sistemas lineales y EDO lineales de orden superior
Métodos de solución (caso 2 por 2)
Existencia y unicidad
Método de variación de parámetros en sistemas
Motivación: Problema de mezclas con dos estanques
Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad de libras
x1 (t) y x2 (t) de sal en los estanques A y B respectivamente en el tiempo t.
Supongamos que, inicialmente, el estanque A contiene 50 galones de agua
en los que hay disueltas 25 libras de sal, mientras que el estanque B
contiene 50 galones de agua pura. Además, suponemos la mezcla
homogénea en todo momento y los flujos entrantes y salientes a cada
estanque como muestra la figura.
Motivación: Problema de mezclas con dos estanques
Con la información del problema se obtienen las ecuaciones
dx1
dt
=
=
dx2
dt
=
=
x2
x1
lb
gal
lb
gal
lb
gal
·0
+1
·
−4
·
3
min
gal
min
50 gal
min
50 gal
2
x2
− x1 +
,
25
50
x1
x2
x2
4
−3
−1
50
50
50
2
2
x1 −
x2 ,
25
25
es decir, obtenemos el sistema (lineal)
2
1
dx1
= − x1 +
x2
dt
25
50 ,
dx2
2
2
=
x1 −
x2
dt
25
25
con condiciones iniciales x1 (0) = 25 y x2 (0) = 0.
Motivación: Modelo de Lotka-Volterra
Este es un modelo clásico predador-presa para poblaciones:
• x(t): cantidad de presas luego de t unidades de tiempo.
• y(t): cantidad de depredadores luego de t unidades de tiempo.
Históricamente surgió del hecho contraintuitivo de que, después de la
primera guerra mundial, la cantidad de peces para pescar habı́a disminuido
en vez de aumentar, a pesar de que se habı́a dejado de pescar durante la
guerra.
Hipótesis y deducción del modelo
1
2
Sin depredadores, la población de presas crece exponencialmente:
x′ = ax (a > 0).
Sin presas, los depredadores decrecen exponencialmente: y ′ = −cy
(c > 0).
3
Encuentros presa-depredador proporcionales a xy (ley de masas
poblacional).
4
Cada encuentro reduce la población de presas y favorece la
reproducción de depredadores.
Introduciendo los términos de interacción, se obtiene el sistema (no-lineal)
x′
=
ax − bxy,
y′
=
−cy + dxy,
con b, d > 0 parámetros de interacción.
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones de la forma
dX
= A(t)X(t) + B(t),
dt
esto es

x′1 (t)
x′2 (t)


a11 (t)

  a21 (t)

 

=
..
..



.
.
x′n (t)
an1 (t)
a12 (t)
a22 (t)
..
.
an2 (t)
···
···
..
.
···

 

a1n (t)
x1 (t)
b1 (t)

 

a2n (t) 
  x2 (t)   b2 (t) 

+
,
..
..
..

 

.
.
.
ann (t)
xn (t)
bn (t)
donde X(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t))T , A(t) = (aij (t)) es una matriz de
orden n × n y B(t) = (b1 (t), b2 (t), . . . , bn (t))T es llamado sistema de
ecuaciones diferenciales lineal de primer orden (se supone que las
funciones aij (t) y bi (t) son continuas en un intervalo abierto I ). Si
adicionalmente se debe cumplir que X (t0 ) = X0 para t0 ∈ I, X0 ∈ Rn ,
entonces tenemos el P.V.I
dX
= A(t)X(t) + B(t)
dt
X (t0 ) = X0
Ejemplos
El sistema del problema de mezclas inicial se escribe
′ x1 (t)
x′2 (t)
x1 (0)
x2 (0)

2
− 25
2
25
25
0
=
=
1
50
2
− 25
x1 (t)
·
x2 (t)

x
Si X =  y  , donde las funciones dependen de t, entonces el sistema
z
dx
= 6x + y + z + t
dt

dy
= 8x + 7y − z + 10t
dt
dz
= 2x + 9y − z + 6t
dt
se escribe
6
X′ =  8
2
1
7
9



1
t
−1  X +  10t  .
−1
6t
Sistemas homogéneos, no-homogéneos y con coeficientes constantes
Dado un sistema lineal X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t), diremos que
El sistema es homogéneo si B(t) = 0, para todo t. En caso contrario,
diremos que el sistema es no-homogéneo.
El sistema es con coeficientes constantes si A(t) = A es
independiente de t.
Por ejemplo, el sistema del problema de mezclas arriba es homogéneo con
coeficientes constantes, mientras que el sistema de 3x3 del ejemplo anterior
es no-homogéneo con coeficientes constantes.
Estructura del conjunto solución de un sistema lineal
La teorı́a de los sistemas lineales es similar a la que hemos visto hasta ahora
en el caso de una ecuación. La ecuación homogénea asociada a
X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t), es X ′ (t) = A(t)X(t),
donde su conjunto solución
H = X ∈ C 1 (I, Rn ) : X ′ (t) = A(t)X(t)
es un espacio vectorial de dimensión n y el conjunto solución S de la
no-homogénea será una traslación de H, es decir, S = Xp + H, para
cualquier Xp ∈ S. Más concretamente,
Dada una solución particular Xp de X ′ = AX + B, toda solución del
sistema se escribe como suma de Xp y alguna solución del sistema
homogéneo.
Ejemplo
Las funciones






cos t
0
sin t
X1 =  − 12 cos t + 12 sin t  , X2 =  1  et y X3 =  − 21 sin t − 12 cos t 
− cos t − sin t
0
− sin t + cos t


1 0
1
0  X. Por lo tanto, si X1 , X2 , X3
son soluciones de X′ =  1 1
−2 0 −1
son l.i., son una base del espacio de soluciones, lo cual implica que cualquier
solución es de la forma
X(t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + c3 X3 (t),
para ciertos números reales ci . ¿cómo saber si X1 , X2 , X3 son l.i.? ¿qué
pasa si el sistema es no-homogéneo?
Independencia lineal de soluciones de un sistema homogéneo
Teorema 



W (X1 , X2 , . . . , Xn ) =
x11
x21
..
.
xn1


x1n
x2n
..
.
xnn
̸= 0,
x11
x12
x1n
 x21 
 x22 
 x2n 






Sean X1 =  .  , X2 =  .  , . . . , Xn =  . , definidas
 .. 
 .. 
 .. 
xn1
xn2
xnn
en un intervalo I, soluciones del sistema lineal homogéneo X′ = AX. Entonces X1 , X2 , ..., Xn son l.i. si y solo si el wronskiano
para todo t ∈ I.
x12
x22
xn2
...
...
...
Observaciones
El wronskiano para sistemas no involucra derivadas.
Se puede probar que el wronskiano es identicamente cero o nunca cero.
cos t
0
sin t
W (X1 , X2 , X3 ) = − 12 cos t + 21 sin t et − 12 sin t − 12 cos t
− cos t − sin t
0
− sin t + cos t
0, confirmando que las soluciones del ejemplo arriba son l.i.
= et ̸=
Veremos que toda EDO lineal de orden n se puede ver como un sistema
lineal y en tal caso, el wronskiano asociado a las soluciones de la EDO
coincide con el wronskiano asociado a soluciones del sistema
correspondiente.
Sistemas lineales y EDO lineales de orden superior
Toda EDO lineal de orden n puede ser transformada en un sistema de
ecuaciones lineales. En efecto, si tenemos
y (n) + an−1 (t)y (n−1) + · · · + a1 (t)y ′ + a0 (t)y = h(t),
podemos considerar
x1 (t) = y(t)
x2 (t) = y ′ (t)
..
.
xn (t) = y (n−1) (t),
entonces



0
0
..
.
x1
 x2  
 

d 
 
..

=


.
 
dt 
 xn−1  
 0
xn
−a
0
1
0
..
.
0
1
..
.
0
0
..
.
0
−a1
0
···
0
···
···
···
..
.
..
.
···
0
0
..
.
1
−an−1

 

0
x1
 x
  0 
2

 


  . 
..

+ .. 

.
 



xn−1   0 
xn
h(t)
Ejemplo
La ecuación
d2 x
dx
t
+
(cos
t)
+
2x
=
e
,
2
dt
dt
se transforma en el sistema
! !
d x1
x1
0
1
=
+
−2 − cos t
dt x2
x2
donde x1 (t) = x(t) y x2 (t) = x′ (t).
!
0
,
t
e
Métodos de solución (caso 2x2): Sustitución
Consideremos el sistema con coeficientes constantes (aij constantes)
x′1 = a11 x1 + a12 x2 + b1
(1)
x′2 = a21 x1 + a22 x2 + b2
(2)
con las condiciones iniciales x1 (0) = x01 y x2 (0) = x02 . Suponiendo a21 ̸= 0,
despejamos x1 de (2) para obtener
x′2 − a22 x2 − b2
x1 =
,
a21
de donde derivando se obtiene
x′′2 − a22 x′2 − b′2
′
.
x1 =
a21
Como x1 y x′1 dependen de x2 , x′2 y x′′2 , reemplazando en (1) se obtiene la
EDO lineal de orden 2 para x2
x′′2 − (a11 + a22 ) x′2 + (a11 a22 − a12 a21 ) x2 = a21 b1 − a11 b2 + b′2 ,
con condiciones iniciales
x2 (0) = x02
x′2 (0) = a21 x01 + a22 x02 + b2 (0).
Ejemplo
Para el sistema del problema de mezclas del inicio
2
1
x1 +
x2 (1)
25
50
2
2
′
x2 =
x1 −
x2 (2)
25
25
x′1 = −
′
′
′
25 ′′
se obtiene, despejando x1 de (2) que, x1 = 25
x
+
x
y
x
=
x
+
x
2
2
1
2
2.
2
2
Reemplazando en (1) se obtiene
x′′2 +
4 ′
3
x2 +
x2 = 0,
25
625
t
− 25
3t
− 25
la cual tiene solución general x2 (t) = c1 e
+ c2 e
. Usando las
condiciones iniciales x2 (0) = 0 y x′2 (0) = 2 se obtiene
3t
t
− 25
− 25
x2 (t) = 25e
− 25e
. Reemplazando x2 , x′2 en (2) se obtiene
t
3t
25 − 25
25 − 25
x1 (t) =
e
e
+
.
2
2
Métodos de solución (caso 2x2): Reducción
Utilizando la notación de operador diferencial Dx = x′ , el sistema
x′1 = a11 x1 + a12 x2 + b1
x′2 = a21 x1 + a22 x2 + b2 ,
se reescribe
(D − a11 ) x1 − a12 x2 = b1
−a21 x1 + (D − a22 ) x2 = b2 .
Aplicando el operador D − a11 a la segunda ecuación, multiplicando por a21
la primera y sumando, se obtiene
(D − a11 ) (D − a22 ) x2 − a12 a21 x2 = a21 b1 + (D − a11 ) b2 ,
que es la misma EDO de orden 2 para x2 que la obtenida con el método
anterior.
Observaciones
Puede verificar que en todos los casos, despejando x1 o x2 arriba, se
llega a una EDO del tipo
x′′i − (a11 + a22 )x′i + (a11 a22 − a12 a21 )xi = fi ,
{z
}
|
| {z }
tr(A)
i = 1, 2
det(A)
cuyo polinomio caracterı́stico asociado
p(λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A) = det(A − λI),
es el polinomio caracterı́stico de la matriz A.
El método de reducción es similar a la eliminación gaussiana en
sistemas lineales algebraicos.
Se puede probar (ejercicio) que cualquier sistema lineal con coeficientes
constantes se puede llevar, vı́a reducción, a una EDO lineal de orden n
con coeficientes constantes con polinomio caracterı́stico
p(λ) = det(A − λI).
Ejemplo
Considerando nuevamente el problema de mezclas, el sistema se puede
escribir como
2
1
D+
x1 −
x2 = 0
25
50
2
2
x2 = 0
− x1 + D +
25
25
2
de donde, multiplicando la segunda ecuación por 25
,
aplic
ándole
D
+
y
2
25
sumando se obtiene
25
2 2
1
(D +
) (x2 ) −
x2 = 0,
2
25
50
o bien,
4
3
(D +
D+
)(x2 ) = 0,
25
625
la cual es la misma ecuación para x2 obtenida con el otro método y podemos
concluir como antes.
2
Existencia y unicidad
Teorema
Sea I un intervalo cerrado y acotado. Si A ∈ C(I, Rn×n ) y B ∈ C(I, Rn ),
entonces dados X0 ∈ Rn y t0 ∈ I, existe una única solución X ∈ C 1 (I, Rn )
del sistema lineal
( ′
X (t) = A(t)X(t) + B(t), t ∈ I
X (t0 ) = X0
Observaciones
Por la relación entre sistemas y edos de orden superior, el teorema
anterior implica el teorema visto anteriormente de existencia y unicidad
de PVIs de EDOs de orden superior.
También implica que la dimensión de H es el orden de la matriz A.
El teorema se generaliza a cualquier intervalo I (no necesariamente
compacto).
Hay una versión más general del teorema que contiene a los 3 vistos
como casos particulares.
Sistema no-homogéneo: variación de parámetros
Suponga que queremos determinar una solución particular del sistema
X ′ = A(t)X + B(t), donde la solución de la homogénea es
Xh (t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + · · · + cn Xn (t).
Pn
Proponiendo una solución particular de la forma Xp (t) = i=1 ci (t)Xi (t),
se sigue que
n
n
X
X
Xp′ (t) =
c′i (t)Xi (t) +
ci (t)Xi′ (t)
=
i=1
n
X
c′i (t)Xi (t) +
i=1
i=1
n
X
n
X
ci (t)AXi (t) =
c′i (t)Xi (t) + AXp (t) = AXp (t) + B(t)
i=1
i=1
si y solo si
Pn
c′i (t) =
X1 (t)
X2 (t)
···
Xi−1 (t)
B(t)
Xi+1 (t)
···
Xn (t)
X1 (t)
X2 (t)
···
Xi−1 (t)
Xi (t)
Xi+1 (t)
···
Xn (t)
′
c
i=1 i (t)Xi (t) = B(t), de donde se obtiene que
que es un cociente de determinantes por la regla de Cramer.
,