Álgebra Lineal, Primer semestre 2020
Gabriela López
Taller de ejercicios: álgebra de matrices
Ejercicio 1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
(a) Si A, B ∈ Mn (R ) tales que AB = A y BA = B, entonces At es idempotente. (Una matriz C se llama
idempotente si C2 = C).
(b) Si A y B son matrices de orden n, invertibles que conmutan, entonces A−1 y B−1 conmutan.
(c) Si A ∈ Mm×n (R ) tal que A · At = Im , entonces A es invertible.


1 0 1
Ejercicio 2. Sea A =  0 0 0 , demuestre que para todo n ∈ N, An = 2n−1 A.
1 0 1
Ejercicio 3. Sean A =
5 7
1 2
,
B=
−3 1
8 −3
y
C=
1 4
−1 2
. Resuelva para X, la ecuación
matricial AXB = C.
Ejercicio 4. Sean A, B, X ∈ Mn (R ), donde B es una matriz invertible.
(a) Determine la matriz X tal que Bt X t = ( A − XB)t
(b) Si n = 2 y A =
1 2
0 3
yB=
1 2
−2 6
, determine X.
Recuerde que:
Definición 1.1: Determinante de una matriz de orden 2
Se define el determinante de una matriz A ∈ M2 (R ) como el escalar dado por:
a
a
det 11 12 = a11 a22 − a12 a21
a21 a22
Teorema 1.1: Matriz invertible
Una matriz A ∈ M2 (R ) es invertible
siy solo si existe A−1 ∈ M2 (R ) tal que A−1 A = AA−1 = I2 .
a11 a12
es invertible si y solo si det( A) 6= 0 y en tal caso:
De manera equivalente, A =
a21 a22
A
−1
1
=
det( A)
a22 − a12
− a21 a11