Fatoração da diferança de potência
an − bn
Proposição P (n):
xn − an = (x − a) xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + · · · + xan−2 + an−1 ,
n ≥ 2.
Passo base
Para n = 2, P (2):
x2 − a2 = (x − a)(x2−1 + a2−1 ) = (x − a)(x + a) = x2 − a2 ,
que coincide com o lado direito da proposição para n = 2.
Hipótese de indução
Suponha que P (n) sejá válida na sequência:
2, 3, 4, 5, ..., k − 2, k − 1, k
(1)
Supondo isso, então podemos descrever P (k − 2), P (k − 1) e P (k) dessa maneira:
(I)
P (k − 1) : xk−1 − ak−1 = (x − a) xk−2 + xk−3 a + · · · + ak−2 ,
(II)
(III)
P (k − 2) : xk−2 − ak−2 = (x − a) xk−3 + xk−4 a + · · · + ak−3 ,
P (k) : xk − ak = (x − a) xk−1 + xk−2 a + · · · + ak−1 .
Reescrevendo-as, temos:
P (k − 2) :
xk−2 − ak−2 k−3
= x
+ xk−4 a + · · · + ak−3 ,
(x − a)
(I)
P (k − 1) :
xk−1 − ak−1 k−2
= x
+ xk−3 a + · · · + ak−2 ,
(x − a)
(II)
xk − ak k−1
= x
+ xk−2 a + · · · + ak−1 .
(x − a)
(III)
P (k) :
Passo Indutivo - Analisando explicitamente P (k)
Analisando (III), podemos reescrevê-la para:
xk − a k
= xk−1 + xk−2 a + · · · + xak−2 + ak−1 = xk−1 + ak−1 + (xk−2 a + · · · + xak−2 )
x−a
O último termo pode ser reescrito para:
1
(xk−2 a + · · · + xak−2 ) = ax(xk−3 + · · · + ak−3 )
Restando,
xk − a k
= xk−1 + ak−1 + ax(xk−3 + · · · + ak−3 )
x−a
(III)
Substituindo (I) em (III), ficamos com:
xk − a k
xk−2 − ak−2
= xk−1 + ak−1 + ax
x−a
x−a
n
!
(III)
b
−b
Perceba que essa equação mostra o formato que as aa−b
assumem quando decomposta
em fatores de de a e b em grau menor que n. Dessa forma, uma boa sugestão para escrever
xk+1 −ak+1
, seria:
a−b
xk+1 − ak+1
xk−1 − ak−1
k
k
= x + a + ax
x−a
x−a
!
(*)
Avaliando essa igualdade:
xk−1 − ak−1
x + a + ax
x−a
k
!
k
xk (x − a) ak (x − a)
xk−1 − ak−1
=
+
+ ax
(x − a)
(x − a)
x−a
!
xk (x − a) + ak (x − a) + ax(xk−1 − ak−1 )
x−a
k+1
k
k
x
− ax + ax − a2 x + ak x − ak+1 − ak x + ak+1
=
x−a
k+1
k+1
x
−a
=
x−a
=
Portanto, a equação sugerida é válida.
Finalizando a Indução
Substituindo Reescrevendo o lado direito da equação (*):
xk−1 − ak−1
= x + a + ax
x−a
k
k
Substituindo (II) em no último termo
2
!
= xk + ak + ax(xk−2 + xk−3 a + · · · + xak−3 + ak−2 )
= xk + xk−1 a + xk−2 a2 + · · · + x2 ak−2 + xak−1 + ak
Reescrevendo (*), então:
xk+1 − ak+1
= (xk + xk−1 a + xk−2 a2 + · · · + x2 ak−2 + xak−1 + ak ) ⇐⇒
x−a
⇐⇒ xk+1 − ak+1 = (x − a)(xk + xk−1 a + xk−2 a2 + · · · + x2 ak−2 + xak−1 + ak )
Conclusão (exata)
Prova-se, então, pelo Príncipo da Indução Finita que a P (n):
xn − an = (x − a) xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + · · · + xan−2 + an−1
é válida para todo a, x, n ∈ R, onde n ≥ 2
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