Indução Matemática

Princípio da Indução Matemática:
•
P(1) verdadeira
•
(∀k)[P(k) verdadeira → P(k+1) verdadeira]
•
ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos

O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese
é: “Uma sentença da forma P(n) é verdadeira para todos os
inteiros n positivos”.
Portanto, quando desejarmos demonstrar que alguma propriedade
é válida para qualquer inteiro positivo n,podemos tentar usar
a indução matemática como técnica de demonstração.


Demonstração por indução:
•
estabelecemos inicialmente a veracidade da sentença P(1),
que é chamada BASE DA INDUÇÃO ou PASSO BÁSICO DA INDUÇÃO
•
Estabelecer que P(k) → P(k+1), que é chamado PASSO
INDUTIVO
•
P(k) é chamada SUPOSIÇÃO INDUTIVA ou HIPÓTESE INDUTIVA
quando assumimos que P(k) é verdadeira com o objetivo de
demonstrar o passo indutivo

A indução, apesar do nome, é uma técnica de demonstração
dedutiva, isto é, uma forma de demonstrar uma conjectura que
possivelmente foi formulada por um raciocínio indutivo.
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EXEMPLOS:
2
1. Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n
(1)
para qualquer inteiro positivo n
•
A propriedade P(n) é a equação (1) acima (a soma de
todos os inteiros positivos ímpares menores que n são
igual ao quadrado de n)
•
Podemos provar que a equação (1) é verdadeira para um
determinado valor de n, pela substituição de n na
equação. Contudo não poderemos substituir todos os
valores inteiros positivos.
•
Demonstração por indução matemática:
•
Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o
valor 1)
2
•
1 = 1
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para
um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da
equação (1) quando n vale k, ou seja
2
•
1 + 3 + 5 + ... + (2k ­ 1)= k
(2)
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
2
valor de k+1, é igual (k+1)
(3)
•
•
A chave da demonstração por indução é encontrar um
modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1),
equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da
equação 2, que assumimos como verdadeira
Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva:
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2(k + 1) ­ 1) =
k
2
+ 2k + 2 ­ 1 =
k
2
+ 2k + 1 =
2
(k + 1)
cqd
2
3
n
n+1
2. Prove que 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2
­ 1
(1)
para qualquer inteiro n ≥ 1
•
Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o
valor 1)
n+1
•
1 + 2 = 2
­ 1 = 4 ­ 1 = 3
(verdadeira)
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para
um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da
equação (1) quando n vale k, ou seja
2
•
3
k
k+1
1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2
­ 1 (2)
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
k+1+1
•
•
valor de k+1, é igual 2
­ 1
(3)
A chave da demonstração por indução é encontrar um
modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1),
equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da
equação 2, que assumimos como verdadeira
Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva:
1 + 2 + 2
2
k+1
2(2
1
2
3
+ ... + 2
k+1
=
k+1
+ 2
=
) ­ 1 =
k+1
k+1+1
k
+ 2
­ 1 + 2
k+1
2 (2
2
) ­ 1 =
­ 1 cqd
3. Prove que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
(1)
para qualquer inteiro positivo n
•
Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o
valor 1)
•
1 = 1(1 + 1)/2 = 1
(verdadeira)
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para
um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da
equação (1) quando n vale k, ou seja
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2
(2)
•
•
•
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
valor de k+1, é igual (k + 1)[(k + 1) + 1]/2
(3)
A chave da demonstração por indução é encontrar um
modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1),
equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da
equação 2, que assumimos como verdadeira
Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva:
1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 =
k(k + 1)/2 + k + 1 =
(k
2
+ k)/2 + k + 1 =
[k
2
+ k + 2(k + 1)]/2 =
[k
2
+ k + (k + 1)+ (k + 1)]/2 =
2
[(k
+ 2k + 1)+ (k + 1)]/2 =
(k + 1)[(k + 1)+ 1] cqd
n
4. Prove que 2 > n
(1)
para qualquer inteiro positivo n
•
Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o
valor 1)
1
•
2 > 1
(verdadeira)
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para
um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da
equação (1) quando n vale k, ou seja
k
•
2 > k
(2)
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
k+1
•
•
valor de k+1, é igual 2
> k+1
(3)
A chave da demonstração por indução é encontrar um
modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1),
equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da
equação 2, que assumimos como verdadeira
Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva:
2
k+1
2
k
> k
k
2.2
2
k
= 2.2
k+1
> 2.k = k + k ≥ K + 1, logo
> k+1 cqd
2n
5. Prove que o número 2
– 1
(1)
para qualquer inteiro positivo n é divisível por 3
•
Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o
valor 1)
2.1
•
2
– 1 = 3
(verdadeira)
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para
um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da
equação (1) quando n vale k, ou seja
2k
•
2k
2
– 1 = 3.m
2
= 3.m + 1
(2)
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
2(k+1)
•
•
valor de k+1, é igual 2
= 3.n
(3)
A chave da demonstração por indução é encontrar um
modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1),
equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da
equação 2, que assumimos como verdadeira
Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva:
2(k+1)
2k+2
2k
2
2k
2
– 1 = 2
– 1 = 2 .2 – 1 = 4.2
4.(3m + 1) ­ 1 = 12m + 4 – 1 = 12m + 3 =
3(4m + 1) = 3n
cqd
– 1 =
INDUÇÃO COMPLETA
OU INDUÇÃO FORTE
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Princípio da Indução Matemática (INDUÇÃO FRACA):
•
P(1) verdadeira
•
(∀k)[P(k) verdadeira → P(k+1) verdadeira]
•
ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos

INDUÇÃO COMPLETA ou INDUÇÃO FORTE
1. P(1) verdadeira
2. (∀k)[P(r) verdadeira para todo r, 1 ≤ r ≤ k,
→ P(k+1) verdadeira]
ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos

Em
algumas
situações
não
conseguimos
realizar
uma
demonstração por indução usando apenas a indução fraca.
Nesses casos o uso
da INDUÇÃO FORTE é absolutamente
necessário.

Prove que para todo n ≥ 2, n é um número primo ou é um
produto de números primos.
○ Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA?
■ Propriedade: Todo inteiro n ≥ 2 é um número primo ou é
um produto de números primos.
■ Usando a indução fraca:
•
Base: 2 é primo
VERDADE
•
Hipótese indutiva: k é primo ou produto de primos
 se k é primo, tudo bem
 se k NÃO É PRIMO, então k=a.b onde a e b são primos
ou produtos de primos
 a e b devem estar nos intervalos: 1<a<k e 1<b<k,
respectivamente, caso contrário, isto é, se 1≤ a≤ k
e 1≤b≤k, e k=a.b, então k é primo (uma contradição)
 Logo, a< k e
b< k
 De onde se conclui que precisamos de uma hipótese
indutiva que possa valer para inteiros menores que
k; na verdade, para inteiros no intervalo (fechado)
[2,k]
 Isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como
descrito a seguir.
○ Base:
■ 2 é primo ou produto de primos. VERDADE
○ Hipótese indutiva: Vamos supor que para qualquer r no
intervalo 2 ≤ r ≤ k, P(r) é verdadeira, isto é, r é primo
ou é produto de números primos.
○ Tomemos agora o número k+1.
■ Se k+1 é primo, o resultado se verifica.
■ Se k+1 não é primo, então ele é um número composto e
pode ser escrito como k+1=a.b, onde 1<a< k+1 e 1<b< k+1,
ou 2≤a≤ k e 2≤b≤ k. Observe que a hipótese indutiva se
aplica a a e b. Logo, ou a e b são primos ou são produto
de primos. Isso verifica P(k+1) C.Q.D. (Como Queríamos
Demonstrar)

Prove que qualquer valor postal maior ou igual a oito
unidades monetárias pode ser obtido usando­se apenas selos
com valores de 3 e 5. Em outras palavras, um inteiro positivo
n, para todo n ≥ 8, pode ser representado como a soma de 3s e
5s
○ Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA?
■ Propriedade: Todo inteiro n ≥ 8 pode ser representado
como a soma de 3s e 5s
■ Usando a indução fraca:
•
Base: 8 = 3 + 5
VERDADE
•
Hipótese indutiva: k pode ser representado como a soma
de 3s e 5s
 vamos verificar se k + 1 pode ser representado como
a soma de 3s e 5s
 k + 1 = [(soma de 3s e 5s) + 1] ≠ (soma de 3s e 5s)
 não
consigo
realizar
a
demostração
indutiva
considerando verdadeira a hipotese apenas para o
item imediatamente anterior (k)
 é necessário considerar a hipótese verdadeira para
um inteiro menor que k
 isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como
descrito a seguir.
○ Base: a base, por motivos óbvios será o 8. P(8) é a
sentença de que 8 resulta da soma de 3s e 5s. De Fato,
8 = 3 + 5 e P(8) é verdadeira.
○ Hipótese indutiva: Vamos
supor agora que para qualquer r,
8 ≤ r ≤ k, P(r) é verdadeira, isto é, P(r) é a sentença de
que r resulta da soma de 3s e 5s.
○ Vejamos agora o ocorre com k+1.
Queremos mostrar que k+1
pode ser representado como a soma de 3s e 5s. Então, para
usar a hipótese indutiva, isto é, usar o fato de que a
propriedade é verdadeira para r, onde 8 ≤ r ≤ k, devo
considerar um inteiro menor que k
○ A
fim de que a hipótese indutiva (8 ≤ r ≤ k) seja
verdadeira, é necessário que (k+1)­3 ≥ 8. Assim k+1 precisa
ser ≥ 11. Logo não podemos usar a hipótese indutiva para
verificar P(9) e P(10). Mas podemos verificar P(9) e P(10)
diretamente.
■ P(9) = 3 + 3 + 3
■ P(10) = 5 + 5
○ Uma vez que P(r) é verdadeira para 8, 9 e 10 (8 ≤ r ≤ k),
podemos assumir que k+1 é no mínimo 11, isto é, k+1 ≥ 11.
■ (k+1) ­ 3 ≥ (11 – 3)
■ (k–2) ≥ 8
■ Pela H.I.
P(r) é verdadeira para 8 ≤ r ≤ k
■ Logo P(k­2) é verdadeira (pode ser escrita como a soma
de 3s e 5s)
■ (k­2)+3 = soma de 3s e 5s
■ (k­2+3) = k + 1 = soma de 3s e 5s c.q.d