Tips og tricks
1
Indhold
0
Brug af Word til skrive matematik ........................................................................................ 3
1
Lineære Funktioner ............................................................................................................. 4
2
Andengradspolynomier........................................................................................................ 6
3
Eksponentielle funktioner .................................................................................................... 7
4
Rentesregning ................................................................................................................... 10
5
Annuitetsregning ............................................................................................................... 11
5
Rentes- og annuitetsregning (TI-Nspire) ........................................................................... 12
6
Beskrivende Statistik (Diskret fordeling) ............................................................................ 13
7
Beskrivende Statistik (Grupperet fordeling) ....................................................................... 15
8
Beskrivende statistik (TI-nspire) ........................................................................................ 16
9
Funktionsanalysen ............................................................................................................ 19
10 Funktionsanalyse (TI-nspire grafisk).................................................................................. 20
11
Funktionsanalyse (TI-Nspire beregning) ........................................................................... 20
12 Differentialregning ............................................................................................................. 21
13
Differentiation (TI-Nspire).................................................................................................. 21
14
Tangentbestemmelse ....................................................................................................... 21
15
Tangentbestemmelse ved brug af tangentens ligning: ..................................................... 22
16
Tangenter (TI-Nspire) ....................................................................................................... 23
17 xy-plot og regression / modellering .................................................................................... 24
18
Lineær programmering .................................................................................................... 24
18
Følsomhedsanalyse .......................................................................................................... 27
18
Lineær Programmering i TI-Nspire ................................................................................... 27
19
Sandsynlighedsregning.................................................................................................... 29
20
Binomial-fordeling ............................................................................................................. 31
20
Binomialfordeling (TI-Nspire) ............................................................................................ 33
21
Konfidensinterval for en andel ......................................................................................... 35
22 χ2 - uafhængighedstest ..................................................................................................... 36
23 Potensregneregler ............................................................................................................. 38
24
Brøkregneregler ................................................................................................................ 39
2
0 Brug af Word til skrive matematik
Genvejene virker (normalt) KUN når man står i et matematikfelt
Lav en brøk:
/ mellemrum
Lav en brøk 2:
(2+19)/(2+2) mellemrum
Sænket skrift:
Hævet skrift:
Hævet og sænket:
Gangetegn:
Parentes:
Plus/minus:
Mindre end eller lig med:
Større end eller lig med:
Uendelig:
Pil
Eller
Og
Gradtegn
Pi
Alfa
Lambda
Nulpunkter andengradspolynomier
x_1 mellemrum
x^2 mellemrum
a_2^3 mellemrum
\cdot mellemrum
() mellemrum
+- mellemrum
<=
>=
\infty mellemrum
->
\vee mellemrum
\wedge mellemrum
\degree mellemrum
\pi mellemrum
\alpha mellemrum
\lambda mellemrum
\quadratic mellemrum
2+19
2+2
𝑥1
2
𝑥
𝑎23
⋅
( )
±
≤
≥
∞
→
∨
∧
°
𝜋
𝛼
𝜆
𝑥=
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Integraltegn
∫
\int mellemrum
Bestemt integral
\int_1^3 mellemrum
Vektor
a\vec mellemrum mellemrum
3
∫1
Vektor
𝑎⃗
𝑎
(a_1 ) mellemrum venstre pil shift+enter ( 1 )
Tværvektor
Gennemsnit
Hat
a\vec\hat mellemrum mellemrum
x\bar mellemrum mellemrum
p\hat mellemrum
𝑎̂⃗
𝑥̅
𝑝̂
Kvadratrod
For hvilke det gælder
\sqrt mellemrum n
option+i
√𝑛
|
På Mac laves \ ved hjælp af shift+alt+7
3
1 Lineære Funktioner
Forskrift:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Grafen:
Grafen bliver en ret linje
Koefficienterne:
𝑛: hældningskoefficienten
angiver hvor meget y-værdien vokser, når x-værdien vokser med en
enhed.
𝑛: skæringspunktet med y-aksen
angiver hvor grafen skærer y-aksen ved x = 0
Formlerne:
Ligninger:
𝑛 −𝑛
Hældningen:
𝑛 = 𝑛2−𝑛1
Skæringspunkt:
𝑛 = 𝑛1 − 𝑛 · 𝑛1
2
1
Man skal gøre det samme på begge sider af lighedstegnet
Man må gerne reducere hver side for sig.
2𝑛 + 3 = 5𝑛 − 7
Træk 3 fra på begge sider
2𝑛 + 3 − 3 = 5𝑛 − 7 − 3 Reducer siderne
2𝑛 = 5𝑛 − 10
Træk 5x fra på begge sider
2𝑛 − 5𝑛 = 5𝑛 − 5𝑛 − 10 Reducer siderne
−3𝑛 = −10
−3𝑛
−3
=
−10
−3
10
𝑛= 3
𝑛 ≈ 3,33
Divider med -3 (tallet foran x)
Regn det endelig resultat ud
Resultatet må gerne stå som brøk
men kan også angives ca.
4
Skæringspunkt mellem to rette linjer (Eksempel):
Skæringspunktet mellem funktionerne mellem 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 og 𝑔(𝑥) = – 𝑥 + 3.
Løsning (Beregning):
Løs ligningen
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
2𝑥 – 3 = – 𝑥 + 3
2𝑥 + 𝑥 = 3 + 3
3𝑥 = 6
𝑥 = 2
Find y-koordinaten: 𝑦 = 𝑓(2) = 2 ∙ 2 – 3 = 1
Konklusionen:
(𝑥 ; 𝑦) = ( 2 ; 1 )
Løsning (Grafisk):
Mulige løsninger:
hvis linjerne ikke er parallelle, er der netop et skæringspunkt.
hvis linjerne er parallelle, men ikke sammenfaldende er der ingen skæringspunkter: L = Ø
hvis linjerne e sammenfaldende, er der uendelig mange løsninger: L = R
5
2 Andengradspolynomier
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Funktionsforskriften:
Grafen:
Grafen bliver en parabel, der er symmetrisk om en lodret linje gennem
toppunktet.
y
5
4
3
2
1
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
Koefficienterne:
a: angiver parablens form
-5
b: forskyder grafen
a > 0: grafen er konveks (glad)
a < 0: grafen er konkav (sur)
jo større a, jo mere stejle er benene.
b > 0: grafen er voksende ved
skæring m. y-aksen
b = 0: toppunktet ligger på y-aksen
b < 0: grafen er aftagende ved
skæring m. y-aksen
c: skæringspunktet med y-aksen
𝑑 = 𝑏2 – 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
d > 0: grafen har to nulpunkter.
d = 0: grafen har et nulpunkt
d < 0: grafen har ingen nulpunkter.
d: Diskriminanten
Nulpunkter:
Skæringspunkter med x-aksen.
Funktionens rødder
Løsning til ligningen: f(x) = 0.
𝑛=
Toppunkt:
−𝑛+√𝑛
2·𝑛
∨
𝑛=
−𝑛−√𝑛
2·𝑛
Parablens minimum (hvis a > 0) eller maksimum (hvis a < 0)
(𝑛; 𝑛) = (−
𝑛
𝑛
;
−
)
2𝑛
4𝑛
2. gradsligninger
Metode:
1. Saml alle led på venstre side af lighedstegnet.
2. Beregn diskriminanten:
𝑛 = 𝑛2 – 4𝑛𝑛
3. Indsæt i formlen for nulpunkterne:
𝑛 =
−𝑏±√𝑑
2𝑎
6
Eksempel 1:
3𝑛2 – 8𝑛 + 5 = 2𝑛2 – 4𝑛 + 2
3𝑛2 – 2𝑛2 – 8𝑛 + 4𝑛 + 5 – 2 = 0
1𝑛2 – 4𝑛 + 3 = 0
𝑥=
−(−4)+√4
2·1
x=3
𝑛 = (−4)2 − 4 · 1 · 3 = 4
−(−4)−√4
∨
𝑥=

𝑛 = 1
2·1
Bemærk:
Hvis 𝑛 > 0 er der 2 forskellige løsninger
Hvis 𝑛 = 0 er der kun et nulpunkt
Hvis 𝑛 < 0 er der ingen nulpunkter
Eksempel 2:
Hvis 𝑛 = 0 kan ligningen løses lettere ved at isolere 𝑛 :
2
5𝑛2 − 25 = 0
5𝑛2 = 25
25
𝑛2 = 5
𝑛2 =
𝑛 = ± √5
Eksempel 3:
(Husk plus og minus)
Hvis 𝑛 = 0 kan ligningen løses lettere ved at sætte 𝑛 uden for parentes:
2𝑛2 − 4𝑛 = 0
𝑛 · (2𝑛 − 4) = 0
𝑛 = 0 ∨ 2𝑛 − 4 = 0
𝑛 = 0 ∨ 2𝑛 = 4
𝑛=0 ∨ 𝑛=2
Faktorisering:
𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑛 = 𝑛(𝑛 − 𝑛1 ) (𝑛 − 𝑛2 )
hvor 𝑛1 og 𝑛2 er nulpunkterne.
3 Eksponentielle funktioner
Forskrift:
𝑓(𝑥) = 𝑏( 1 + 𝑟 )𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑎 𝑥
Koefficienterne:
a: grundtallet
bemærk da
𝑎 = 1 + 𝑟
gælder det at 𝑟 = 𝑎 – 1
b: Begyndelsesværdi (dvs. 𝑛(0) = 𝑛 ; altså y-værdien ved x = 0)
7
r: den relative tilvækst (en procentvis ændring skrevet som decimaltal)
Kendetegn:
Funktionens y-værdi vokser med en fast procentsats, hver gang x
vokser med 1.
Grafen:
y
r> 0
600
400
200
x
r< 0
-25 -20 -15 -10
-5
5
10
15
20
25
-200
Formler til bestemmelse af a og b ud fra 2 punkter:
𝑛=
𝑛2 −𝑛1
𝑛
√ 𝑛2
1
𝑛 = 𝑛1 · 𝑛−𝑛1
ln(2)
Fordoblingskonstant (hvis r>0)
𝑛2 = ln(𝑛)
Halveringskonstant (hvis r<0)
𝑛½ = ln(𝑛)
ln(½½)
8
Eksponentielle ligninger:
2 · 1,8𝑛 = 30
Divider med 2 på begge sider af lighedstegnet
1.8𝑛 = 30
Tag den naturlige logaritme på begge sider af lighedstegnet
ln(1,8𝑛 ) = ln(15)
𝑛
Benyt logaritmeregnereglen ln(𝑛 ) = 𝑛 · ln(𝑛 )
𝑛 · ln(1,8) = ln(15)
Divider med ln(1,8) på begge sider af lighedstegnet
ln(15)
𝑛 = ln(1,8)
Udregn facit vha. lommeregner
𝑛 ≈ 4,6072
Potens ligninger:
2 · 𝑛7 = 4374
Divider med 2 på begge sider af lighedstegnet
𝑛7 = 2187
Tag den 7. rod på begge sider af lighedstegnet
𝑛=
7
2187
Udregn facit vha. lommeregner
𝑛=3
9
4 Rentesregning
Notation:
𝑛0 : nutidsværdi
𝑛𝑛 : slutværdi efter n terminer
𝑛: antal terminer
𝑛:
renten pr. termin (husk den skal omskrives til decimaltal)
Definition:
Rentesregning anvendes, når der er tale om én indbetaling/ét beløb,
der føres frem eller tilbage i tiden.
HUSK:
Hvis man skal sammenlign beløb, skal de være ført hen til samme
tidspunkt – typisk finder man nutidsværdien.
Formler:
Fremskrivningsformlen:
𝑛𝑛 = 𝑛0 · (1 + 𝑛)𝑛
Tilbageskrivningsformlen: 𝑛0 = 𝑛𝑛 · (1 + 𝑛)−𝑛
Rentefodsbestemmelse:
𝑛
𝑛
𝑛 = √ 𝑛𝑛 − 1
0
eller
1
𝑛 𝑛
𝑛 = ( 𝑛𝑛) − 1
0
ln(𝑛𝑛 )−ln(𝑛0 )
ln(1+𝑛 )
Terminsantal:
𝑛=
Effektiv rente i :
𝑛 = (1 + 𝑛)𝑛 − 1
Typisk beregnes effektiv årlig rente, hvor
𝑛 så er antal terminer pr år.
Gennemsnitlig rente:
√(1 + 𝑛1 ) · (1 + 𝑛2 ) … (1 + 𝑛𝑛 ) − 1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =
𝑛
10
5 Annuitetsregning
Definition:
En annuitet er en række af lige store betalinger (ydelser) der falder med lige store
mellemrum - en i slutningen af hver termin.
Notation:
𝑛𝑛 : fremtidsværdien af en annuitet (umiddelbart efter sidste indbetaling)
𝑛0 : nutidsværdien af en annuitet (én periode før første indbetaling)
n:
r:
y:
antal terminer
renten pr. termin (husk renten omskrives til decimaltal)
ydelsen (det beløb, der betales flere gange, med lige store mellemrum)
(1+𝑛)𝑛 −1
Fremtidsværdi af annuitet og ydelsen:
𝑛𝑛 = 𝑛 ·
(typisk opsparing)
𝑛 = 𝑛𝑛 · (1+𝑛)𝑛−1
𝑛
𝑛
𝑛=
𝑛 ·𝑛
ln( 𝑛 +1 )
𝑛
ln(1+𝑛)
r bestemmes vha. TI-Nspire:
1−(1+𝑛)−𝑛
𝑛
Nutidsværdien af en annuitet og ydelsen:
𝑛0 = 𝑛 ·
(Gæld eller når opsparing hæves)
𝑛 = 𝑛0 · 1−(1+𝑛)−𝑛
𝑛
𝑛=
−ln(1 −
𝑛0 ·𝑛
)
𝑛
ln(1+𝑛)
r bestemmes vha. TI-Nspire:
Restgæld:
Rt  A0  (1  r ) t  y 
((1  r ) t  1)
r
t: antal terminer, der er gået
11
5 Rentes- og annuitetsregning (TI-Nspire)
Værktøjskassen → Finans → Finansregner
Herefter skrives oplysningerne ind i boksen.
N: antal terminer
I%: renten i %
PV: nutidsværdien (evt. 0)
PMT: ydelsen (ved rentesregning er pmt = 0)
FV: fremtidsværdien (evt. 0)
Herefter stiller man markøren på det felt man vil
have beregnet og trykker Enter.
Husk at tage et billede af resultatet, før
dialogboksen lukkes!
12
6 Beskrivende Statistik (Diskret fordeling)
Formål:
Formålet med beskrivende statistik er at gøre et stort talmateriale overskueligt
Definition: Ved en diskret fordeling forstås et materiale, hvor observationerne består af enkelte
adskilte x-værdier. (Materialet er ikke grupperet)
En diskret fordeling bruges, når der er få forskellige x-værdier, der hver har en høj
hyppighed. Typisk er observationerne noget vi tæller.
xi: Observationssættet består af adskilte værdier, der ikke samles i intervaller Formler:
Bruges når der er forholdsvis få x-værdier, der hver har en høj hyppighed.
Antallet af observationer kaldes n.
hi: Hyppigheden angiver hvor ofte den enkelte observation optræder.
Summen af alle hyppigheder giver antallet af observationer i alt:
fi: Frekvensen er hyppighederne omregnet til procent.
Derfor kaldes frekvensen også for den relative hyppighed.
n = ∑ hi
ℎ
fi = 𝑛𝑖
Fi: Summeret Frekvens angiver hvor stor en andel, der er mindre eller lig med
en bestemt observation.
F1 = f1
F2 = f1 + f2
Tabel:
Observation:
Antal børn i en
familie
xi
1
2
3
4
5
Hyppighed
Frekvens
Summeret
Frekvens
hi
fi = hi / n
Fi
Produkt
til beregning af
gennemsnit
xi ∙ fi
2
14
10
3
2
0,0645
0,4516
0,3226
0,0968
0,0645
0,0645
0,5161
0,8387
0,9355
1,0000
0,0645
0,9032
0,9677
0,3871
0,3226
n = 31
∑ 𝑓𝑖 = 1
𝑥̅ = 2,6452
Produkt
til beregning af
SAK
̅ )𝟐 ∙ 𝒉𝒊
( xi - 𝒙
5.4133
5.8279
1.2588
5.5064
11.0908
SAK = 29.096
13
Diagrammer:
Pindediagram
(Kombinationsdiagram)
Trappediagram
(Kombinationsdiagram)
Deskriptorer:
Middeltal/ Gennemsnit:
𝑥 = ∑ xi ∙ fi - beregnes i skemaet ved at lave en kolonne.
Typetal:
Den observation, der optræder flest gange / højeste hyppighed / frekvens.
Aflæses i tabellen eller i pindediagrammet.
Fraktiler:
10%-fraktilen er den x-værdi, hvor under de 10% laveste
observationer ligger.
Aflæses i trappediagrammet.
Kvartilsæt:
Et sæt fraktiler, der deler materialet op i 4 fjerdedele:
Nedre kvartil = 25% - fraktilen
Median = 50% - fraktilen
Øvre kvartil = 75% - fraktilen
Kvartilsættet aflæses på trappediagrammet
Kvartilafstand =
75%-kvartil – 25%-kvartil.
Variationsbredde =
Højeste x-værdi – mindste x- værdi.
Varians:
Variansen er en mellemregning, der hjælper os med at finde
standardafvigelsen.
∑( 𝑥 − ̅̅̅
𝑥)2 ∙ ℎ
𝑖
𝑖
s2 =
𝑛−1
tælleren ∑( 𝑥𝑖 − ̅̅̅
𝑥)2 ∙ ℎ𝑖 kaldes SAK ( summen af afvigelsernes kvadrat
- dvs. alle observationernes afvigelse fra gennemsnittet sat i anden ) og kan
beregnes i en kolonne i skemaet.
Formel:
Standardafvigelse:
Standardafvigelsen er et mål for, hvor meget observationerne i gennemsnit
ligger fra middeltal. En indikation af om middeltallet er et groft
gennemsnit, der dækker over meget store udsving eller ej. s = √𝑠 2
14
7 Beskrivende Statistik (Grupperet fordeling)
Formål:
Formålet med beskrivende statistik er at gøre et stort talmateriale overskueligt
Definition:
Man vælger at gruppere sit materiale, hvor observationerne består af mange
forskellige x-værdier - ofte kan x-værdierne være et kommatal (fx vægten i en pose
hvedemel eller årsindkomsten ).
En grupperet fordeling bruges, når der er mange forskellige x-værdier, der hver har
en lav hyppighed. Typisk er observationerne noget vi måler.
𝑛𝑛 : Observationssættet består mange forskellige x-værdier, der samles i intervaller
Formler:
Antallet af observationer kaldes n.
𝑛𝑛 : Intervalmidtpunkt bruges som repræsentant for x’erne i intervallet
𝑥
ℎ𝑛 : Hyppigheden angiver hvor ofte den enkelte observation optræder.
n = ∑ ℎ𝑛
Summen af alle hyppigheder giver antallet af observationer i alt:
𝑛𝑛 : Frekvensen er hyppighederne omregnet til procent.
Derfor kaldes frekvensen også for den relative hyppighed.
+x
𝑛𝑛 = 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡2 𝑠𝑙𝑢𝑡
ℎ
𝑛𝑛 = 𝑛𝑖
𝑛𝑛 : Summeret Frekvens angiver hvor stor en andel, der er mindre eller lig med
en bestemt observation.
𝑛1 = 𝑛1
𝑛2 = 𝑛1 + 𝑛2
𝑛3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3
Osv…
Tabel: X: Højden på amerikanske mænd målt i tommer
Produkt
gennemsni
t
Produkt SAK
x_start
x_slut
midtpunkt
hyppighed
frekvens
Summeret
frekvens
𝑛𝑛−1
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛−1 + 𝑛𝑛
=
2
ℎ𝑛
𝑛𝑛
= ℎ𝑛 / 𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛 · 𝑛𝑛
( mi - 𝑥̅ )2 ∙ ℎ𝑖
160
170
180
190
200
210
220
170
180
190
200
210
220
230
165
175
185
195
205
215
225
0,0000
0,0084
0,0476
0,4202
0,3725
0,1261
0,0252
0,0000
0,0084
0,0560
0,4762
0,8487
0,9748
1,0000
0,0000
1,4706
8,8095
81,9328
76,3725
27,1008
5,6723
201,3585
0,0000
5,8384
12,7429
16,9876
4,9402
23,4568
14,0904
78,0563
0
3
17
150
133
45
9
357
15
Søjlediagram
Diagrammer:
Sumkurve
(brug kombinationsdiagram)
(Brug hurtiggraf - vælg x_slut)
Deskriptorer:
Middeltal/ Gennemsnit:
̅̅̅
𝑛 = ∑ 𝑛𝑛 · 𝑛𝑛
beregnes i skemaet ved at lave en kolonne med dette produkt.
Typeinterval:
Det interval med højeste hyppighed / frekvens. Aflæses i tabellen
eller i søjlediagrammet
Fraktiler:
10%-fraktilen er den x-værdi, hvor under de 10% laveste
observationer ligger.
Aflæses på sumkurven.
Kvartilsæt:
Et sæt fraktiler, der deler materialet op i 4 fjerdedele:
Nedre kvartil = 25% - fraktilen, Median = 50% - fraktilen
Øvre kvartil = 75% - fraktilen. Kvartilsættet aflæses på sumkurven
Kvartilafstand =
75%-kvartil – 25%-kvartil.
Variationsbredde =
Højeste intervalmidtpunk – mindste x-intervalmidtpunkt.
Varians:
Variansen er en mellemregning, der hjælper os med at finde
standardafvigelsen.
2
∑( 𝑚 − 𝑥̅ )2 ∙ ℎ
𝑖
𝑖
Formel:
𝑛 =
𝑛−1
Tælleren ∑( 𝑚𝑖 − 𝑥̅ )2 ∙ ℎ𝑖 kaldes SAK og kan beregnes i en
kolonne i skemaet. SAK står for summen af afvigelsernes kvadrat
dvs. summen af afvigelserne opløftet i anden potens.
Standardafvigelse:
Standardafvigelsen er et mål for, hvor meget observationerne i
gennemsnit ligger fra middeltal. En indikation af om middeltallet er et
groft gennemsnit, der dækker over meget store udsving eller ej.
s = √𝑠 2
8 Beskrivende statistik (TI-nspire)
I Excel:
Ctrl+A: Marker Alt
Ctrl+C: Kopier
16
I TI-Nspire:
Placer Markøren I felt A1: Ctrl+V: Indsæt
Skriv kolonne-navn
Højre-klik på rækkenummeret 1→ slet række
I TI-Nspire:
Placer markøren på en værdi → Højreklik → Vælg hurtig graf
Diagramtype → Histogram
Højreklik på en søjle → skala → procent
Højreklik på en søjle → søjleindstillinger → lige store intervaller → udfyld
dialogboks (Vælg bredde og start med omhu, så du får pæne
intervalgrænser)
(Hvis man skal lave et pindediagram sættes bredden til 0.1)
17
TI-Nspire:
Statistik → statistiske beregninger → statistik med en variabel → udfyld dialogbox
Herunder ses forklaringer på de tal, der fremkommer:
I Excel:
Fraktiler findes i EXCEL-filen:
Skriv i formellinjen: =fraktil (A:A;90%)
A:A fordi data står i kolonne A og 90% fordi vi søger 90%-fraktilen
18
9 Funktionsanalysen
Definitionsmængde:
Dm(f) = [mindste x-værdi; største x-værdi]
Nulpunkter for 𝑛:
løs ligningen:
𝑛(𝑛) = 0
Angiver alle skæringspunkter med x-aksen, eller sagt på en anden
måde: alle de x-værdier for hvilke y = 0 dvs. f(x) = 0.
Fortegnsvariation for 𝑛:
Viser hvornår grafen ligger over hhv. under x-aksen
𝑛(𝑛) > 0: grafens ligger over x-aksen
𝑛(𝑛) < 0: grafen ligger under x-aksen
Monotoniforhold for 𝑛:
løs ligningen: 𝑛 ’(𝑛) = 0
𝑛 ’(𝑛) angiver tangentens hældning. Dvs. der gælder følgende:
𝑛 ’(𝑛) > 0: funktionen er voksende (positiv hældning)
𝑛 ’(𝑛) < 0: funktionen er aftagende (negativ hældning)
𝑛 ’(𝑛) = 0: funktionen har et maksimum, minimum eller
vendepunkt.
Ekstrema:
Der hvor grafen skrifter fra at være voksende til at være aftagende
har 𝑛 et maksimum, o der hvor grafen skifter fra at være aftangende
til at være voksende har 𝑛 et minimum. Der kan desuden vare
ekstrema i grafens endepunkter.
Vendetangenter:
Løs ligningen 𝑛 ’’(𝑛) = 0
𝑛 ′′(𝑛) > 0: funktionen er konveks (glad)
𝑛 ′′(𝑛) < 0: funktionen er konkav (sur)
𝑛 ′′(𝑛) = 0: funktionen har et vendetangentpunkt.
Værdimængden:
Vm(f) = [laveste y-værdi; højeste y-værdi]
19
10
Funktionsanalyse (TI-nspire grafisk)
Funktionsanalysen: indtegne grafen → Undersøg graf → Nulpunkt ( eller andet )
Vigtigt:
11
Husk at zoome ud/ind og beskær vinduet, så man ser den relevante del.
Funktionsanalyse (TI-Nspire beregning)
Se video på Tangosiden ”matematikvejledningen”
20
12
Differentialregning
Potens:
𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛
𝑛′ (𝑛) = 𝑛 · 𝑛𝑛−1
𝑛(𝑛) = 𝑛3
𝑛′ (𝑛) = 3 · 𝑛2
Konstant:
𝑛(𝑛) = 𝑛
𝑛(𝑛) = 0
𝑛(𝑛) = 7
𝑛′ (𝑛) = 0
Konstant:
𝑛(𝑛) = 𝑛 · 𝑛(𝑛)
𝑛′(𝑛) = 𝑛 · 𝑛′(𝑛)
𝑛(𝑛) = 4 · 𝑛3
𝑛′ (𝑛) = 12 · 𝑛2
Sum/differens:
𝑛(𝑛) = 𝑛(𝑛) ± ℎ(𝑛)
𝑛′ (𝑛) = 𝑛′ (𝑛) ± ℎ′(𝑛)
𝑛(𝑛) = 4𝑛3 − 5𝑛2 + 4𝑛
𝑛′ (𝑛) = 12𝑛2 − 10𝑛 + 4
Kvadratrod:
𝑛(𝑛) = √𝑛
1
𝑛′ (𝑛) = 2√𝑛
Eksponentiel:
𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛
𝑛′ (𝑛) = 𝑛𝑛
Naturlig logaritme:
𝑛(𝑛) = ln(𝑛)
1
𝑛′ (𝑛) = 𝑛
13
Differentiation (TI-Nspire)
Bogen → Matematikskabeloner → Vælg 3. linje 5. ikon
.
14
Tangentbestemmelse
21
Definition:
punkt.
Formål:
Bemærk:
Punkt:
Eksempel:
En tangent er en ret linje (𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛) der rører grafen i ét
At finde forskriften for tangenten 𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛
Funktionsforskriften 𝑛(𝑛) forudsættes kendt. Bestem 𝑛 ’(𝑛) –
den skal bruges til at bestemme tangentens hældningen
1) Du har fået opgivet et røringspunkt
( 𝑛0 ; 𝑛( 𝑛0 ) )
2) Find y ved at beregne y-værdien
𝑛0 = 𝑛( 𝑛0 )
3) Find hældningen ved at beregne
𝑛 = 𝑛 ’( 𝑛0 )
4) Find skæringspunktet ved at beregne
𝑛 = 𝑛0 – 𝑛𝑛0
5) Skriv forskriften for tangenten
𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛
2
Grafen for funktionen f med forskriften 𝑛 (𝑛) = 𝑛 – 3𝑛 har en tangent i
punktet (2; f (2)). Bestem en ligning for denne tangent:
𝑛 (𝑛) = 𝑛2 – 3𝑛
𝑛 ’ (𝑛) = 2𝑛 – 3
𝑛0 = 2
𝑛0 = 𝑛(2) = 22 − 3 ∗· = −2
𝑛 = 𝑛 ’(2) = 2 · 2 – 3 = 1
𝑛 = −2 − 1 · 2 = − 4
Tangentens ligning:
𝑛 = 1𝑛 − 4
Tangent med bestemt hældning
′
Du skal først løses ligningen 𝑛 (𝑛) =
𝑛𝑛𝑛 ø𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ℎæ𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛. Når ligningen er løst, har du en eller
flere 𝑛-værdier og skal for hver følge metoden, der er beskrevet ovenfor.
15
Tangentbestemmelse ved brug af tangentens ligning:
Ligningen:
𝑛 = 𝑛 ’(𝑛0 ) · ( 𝑛 – 𝑛0 ) + 𝑛(𝑛0 )
Bogstaverne x og y skal blive stående som bogstaver
′
Der skal indsættes tal hvor der står 𝑛0 , 𝑛(𝑛0 ) og 𝑛 (𝑛0 )
22
Hvis du ikke kender 𝑛0 men kun har fået oplyst en hældning, skal
du først løse ligningen 𝑛 ’(𝑛) = 𝑛 ( hvor a er den oplyste
hældning ).
Når tallene er indsat skal du gange ind i parentesen og reducere
udtrykket til formen 𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛.
Eksempel:
𝑛 (𝑛) = 𝑛2 – 3𝑛
og dermed er 𝑛 ’ (𝑛) = 2𝑛 – 3
𝑛0 = 2
𝑛(2) = 22 − 3 · 2 = −2
𝑛 ’(2) = 2 · 2 – 3 = 1
𝑛 = 𝑛 ’(𝑛0 ) · ( 𝑛 – 𝑛0 ) + 𝑛(𝑛0 )
𝑛 = 1
· ( 𝑛 − 2 ) + ( −2 )
𝑛 = 𝑛 − 2 − 2
𝑛 = 𝑛 − 4
16
Tangenter (TI-Nspire)
23
17
xy-plot og regression / modellering
TI-Nspire:
Indsæt filen med data og lav fornuftige overskrifter:
Stil markøren på et af tallene i kolonnen med x-værdier og højreklik →
Vælg Hurtiggraf
På billedet der kommer frem findes små kasser på x- og y-aksen, hvor man
vælger variable
xy-plottet:
xy-plot, der viser udviklingen i lønnen i Kina i årene efter 1978
Regression:
lineær )
TI-Nspire:
Modellen:
18
Undersøg data → Regression → Vis eksponentiel ( eller
𝑛: antal år efter 1978
𝑛(𝑛): Månedslønnen i Kina i dollars
𝑛(𝑛) = 6,38 · 1,1432𝑛
Lineær programmering
24
Algoritme:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Definition af variable.
Samling af alle oplysninger i et skema.
Opstilling af begrænsningsuligheder.
Definition af den funktion, der skal optimeres (kriteriefunktionen).
Bestemmelse af niveaulinje.
Indtegning af begrænsningsuligheder og niveaulinje i et koordinatsystem.
Konklusion
Eksempel:
En cykelforretning sælger to forskellige cykelmodeller: En almindelig turistcykel og
en mountainbike. Inden cyklerne kan sælges, skal de igennem to arbejdsgange.
Først skal cyklerne samles og dernæst skal de endelig klargøres.
Samling af en turistcykel tager 3 timer og samling af en mountainbike tager 6
timer. Forretningen har i alt 48 timer pr. uge til at samle cykler. Endelig klargøring
tager 2 timer pr. stk. for begge slags cykler. Forretningen har i alt 20 timer pr. uge
til klargøring.
Forretningen tjener 800 kr. pr turistcykel og 1200 kr. pr. mountainbike.
Hvor mange turistcykler og hvor mange mountainbikes skal forretningen sælge for
at få den størst mulige samlede fortjeneste?
Definition:
x = antal turistcykler pr. uge
y = antal mountainbikes pr. uge
Skema:
(Alle oplysninger fra opgavebeskrivelsen samles i et skema).
turistcykel
mountainbike
Max. timer til
rådighed
Samling
3 timer
6 timer
48 timer
Klargøring
2 timer
2 timer
20 timer
Fortjeneste
800 kr.
1.200 kr.
Begrænsninger:
(oplysningerne hentes fra skemaet).
Samling
3𝑛 + 6𝑛 ≤ 48
6𝑛 ≤ −3𝑛 + 48
Klargøring
Logiske
2𝑛 + 2𝑛 ≤ 20
2𝑛 ≤ −2𝑛 + 20 𝑛 ≥ 0
1
𝑛 ≤ −2𝑛 + 8
𝑛 ≤ −𝑛 + 10
Kriteriefunktion:
Samlede fortjeneste:
f ( x , y )  800 x  1200 y
Niveaulinje:
N(0):
𝑛≥0
800𝑛 + 1200𝑛 = 0
25
1200𝑛 = −800𝑛
2
𝑛 = −3𝑛
Polygonområde:
Begrænsningslinierne og niveaulinjen N(0) indtegnes i samme
koordinatsystem.
Konklusion:
Ved at parallelforskyde niveaulinjen N(0) udad ses, at niveaulinjen N(max)
”slipper” polygonområdet i punktet (4 , 6). I dette punkt fås den største
samlede fortjeneste, det vil sige, at forretningen skal sælge 4 turistcykler og
6 mountainbikes pr. uge.
(Den størst mulige samlede fortjeneste findes ved at indsætte punktet (4 ,
6) i 𝑓(𝑥, 𝑦)). Størsteværdi:𝑓(4 , 6) = 800 ∙ 4 + 1200 ∙ 6 = 10.400
Virksomheden opnår den størst mulige fortjeneste på 10.400 kr. pr uge ved
at producere 4 turistcykler og 6 mountainbikes pr. uge.
Alternativ metode: Som det fremgår af metoden med parallelforskydning af niveaulinjen N(0),
så vil det optimale punkt altid findes på randen af polygonområdet. Derfor
kan den optimale løsning også findes ved at beregne værdien af f(x , y) i
alle polygonområdets hjørnepunkter.
Hjørnepunkter aflæst:
𝑛(0 , 8) = 800 · 0 + 1200 · 8 = 9600
𝑛(4 , 6) = 800 · 4 + 1200 · 6 = 10.400
𝑛(10 , 0) = 800∙10 + 1200∙0 = 8.000
Af disse beregninger ses, at kombinationen 4 turistcykler og 6
mountainbikes giver den største fortjeneste
TI-nspire
Se video på Tangosiden ”matematikvejledningen”
26
18
Følsomhedsanalyse
Udgangspunkt:
Maksimum / Minimum er fundet ved hjælp af lineær programmering. I
optimum krydser to begrænsningslinjer hinanden:
𝑛1 : Hældningen på den ene af de 2 begrænsningslinje
𝑛2 : Hældningen på den anden begrænsningslinje
Kriteriefunktion:
𝑛(𝑛 ; 𝑛) = 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛
(Hvor a og b er tallene fra den oprindelige kriteriefunktion.)
Niveaulinjens hældning
N(0): ax + by = 0
⇕
a
y=-b x
Følsomhedsanalyse for vare A:
Formlerne:
1. grænse: 𝑛 = − 𝑛1 · 𝑛
2. grænse 𝑛 = − 𝑛2 · 𝑛
Udledning:
N(0)’s hældning sættes lig begrænsningslinjens:
−
𝑛
= 𝑛1
𝑛
⇕
𝑛 = − 𝑛1 · 𝑛
Følsomhedsanalyse for vare B:
Formlerne:
−𝑎
1. grænse for b = 𝑎
1
−𝑎
2. grænse for b = 𝑎
2
Udledning:
N(0)’s hældning sættes lig begrænsningslinjens:
−
𝑛
= 𝑛1
𝑛
⇕
−𝑛 = 𝑛1 · 𝑛
⇕
a
-a =b
1
18
Lineær Programmering i TI-Nspire
Indtegning af begrænsningslinjer: Værktøjskassen → Grafindtastning → ligning → linje
27
Markering af
polygonområdet: Værktøjskassen → Geometri → figurer → polygon
Herefter klikkes på alle hjørnepunkter (start og slut i samme punkt)
Højreklik på en af polygonets sider: farve → udfyldningsfarve
28
19
Sandsynlighedsregning
Eksperiment:
Der trækkes ét kort fra en bunke kort med alle billedkort og esser og 10’ere.
Udfaldsrum:
Mængden af alle mulige udfald
U = { 10 , kn, D, K, Es
10 , kn, D, K, Es
10 , kn, D, K, Es
10 , kn, D, K, Es }
𝑼 = { 𝒖𝟏 ; 𝒖𝟐 ; 𝒖𝟑 ; 𝒖𝟒 … . 𝒖𝒏 }
Hændelse:
En delmængde af udfaldsrummet A: Kortet er en knægt
A = { kn,kn, kn,  kn }
B: Kortet er sort
B = { 10 , kn, D, K, Es,
10 , kn, D, K, Es }
̅:
Komplementærhændelsen dvs. alle andre udfald, skrives A
𝑛 = { 𝑛1 ; 𝑛2 ; 𝑛3 }
̅ = { 𝒖𝟒 , 𝒖𝟓 … 𝒖𝒏 }
𝐀
Sandsynligheder:
̅ = { 10 , D, K, Es,
𝐀
10 , D, K, Es,
10 , D, K, Es,
10 , D, K, Es }
P: Probability
𝑃(𝑢𝑖 ) sandsynligheden for bestemt udfald
1
𝑛(𝑛𝑛 ) = 20
P(A) Sandsynligheden for en hændelse.
4
P( A ) = 20
Sandsynlighedsfelt: 0 ≤ P(ui) ≤ 1 - alle sandsynligheder er mellem 0 og 1
∑𝒏𝒊=𝟏 𝑷(𝑼𝒊 ) = 1 – summen af sandsynlighederne for alle udfald er 1
29
Venn- diagram:
Komplementærhændelsen: A
̅) = 1 – P(A)
P(A
4
P (A) = 16
og
̅) = 1 - 4 = 12
P(A
16
16
Foreningshændelsen: A U B
P(A U B ) = P(A) + P(B) – P( A ⋂ B )
2
3
1
4
P(A U B ) = 6 + 6 − 6 = 6
fælleshændelsen: A ⋂ B
1
P( A ⋂ B ) = 6
Krydstabel (i felterne kan skrives antal eller sandsynligheder):
Hændelse A
̅
Hændelse A
I alt
Hændelse B
P(A∩B)
̅ ∩B )
P( A
P(B)
̅
Hændelse B
̅ ∩ A)
𝑃(B
̅ ∩ B
̅)
P( A
̅̅̅
P(B)
P(A)
̅)
𝑃(A
I alt
30
Formler:
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑖 𝐴
P(A) = 𝐴𝑚𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑖 𝑈 =
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒
I et symmetrisk sandsynlighedsfelt
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒
gælder
at alle udfald har samme sandsynlighed
𝑛(𝑛) = 𝑛(𝑛1 ) + 𝑛(𝑛2 ) … 𝑛(𝑛𝑛 )
̅ ) = 1 – P(A)
P(A
eller
̅)=1
P(A) + P ( A
∑𝒏𝒊=𝟏 𝑷(𝒖𝒊 ) = 1
Foreningshændelsen:
P(A U B ) = P(A) + P(B) – P( A ⋂ B )
Fælleshændelsen:

Betinget sandsynlighed:
P(A│B ) =
P( A ⋂ B )
Multiplikationsformlen

P(B)
P( A ⋂ B ) = P(A) + P(B) - P(A U B )
P(A ∩ B ) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A) = P(A│B) = P(A│B̅ )
Uafhængighed:
P( A ∩ B ) = P(A) ∙ P(B)
20
Binomial-fordeling
Definition:
Et materiale er binomialfordelt, når følgende er opfyldt:
Man udfører et bestemt eksperiment et antal gange (n gange)
Udfaldet kan enten blive ”succes” eller ”ikke-succes”
31
Der er en konstant sandsynlighed for succes (sandsynligheden p)
De enkelte udfald er uafhængige
Notation:
X~b(n,p)
Sandsynligheden:
𝑃(𝑋 = 𝑟 ) = 𝐾( 𝑛, 𝑟 ) ∙ 𝑝𝑟 ∙ ( 1 − 𝑝)𝑛− 𝑟
Beregner sandsynligheden for, X er lig et bestemt tal r
På TI-Nspire: binomPdf( n,p,r)
Summeret sands:
P ( X ≤ r ) = P ( X = 0 ) + P( X = 1 ) + …P( X = r)
Beregner sandsynligheden for, X er mindre eller lig et bestemt tal r
Summeret sandsynlighed kan vises i et trappediagram.
På TI-Nspire: binomCdf( n,p,r)
Pindediagram:
Binomialfordelingen er en diskret fordeling og derfor indtegnes
sandsynlighederne i et pindediagram:
Hvis p > 0,5 bliver diagrammet venstreskævt (dvs. tendens til høje værdier)
Hvis p < 0,5 bliver diagrammet højre skævt (dvs. tendens til små værdier)
Formler:
𝜇 = middelværdi = n ∙ p
𝑛2 = varians =
n: antalsparameteren
p: sandsynlighedsparameteren
n ∙ p ∙ (1– p)
σ = standardafvigelse = √n ∙ p ∙ ( 1 – p )
antal succeser
Estimat: p̂ = antal forsøg
32
20
Binomialfordeling (TI-Nspire)
Punktsandsynligheden:
𝑃(𝑋 = 𝑎 )
Beregner sandsynligheden for, X er lig et bestemt tal a
TI-Nspire: binomPdf( n,p,a )
Summeret sandsynlighed:
P (X ≤ a) = P ( X = 0 ) + P( X = 1 ) + …P( X=a)
Beregner sandsynligheden for, X er mindre eller lig et
bestemt tal a (højst a)
TI-Nspire: binomCdf (n, p, a )
P(a ≤ X ≤ b )
Sandsynligheden for at X ligger mellem to tal, a =
nedre grænse og b = øvre grænse:
TI-Nspire: binomCdf (n, p , a, b )
Eksempel i TI-Nspire:
kolonnerne
𝑛 ~ 𝑛 ( 𝑛 = 10 ; 𝑛 = 60% )
Pindediagram:
Højre-klik: Vælg kombinationsdiagram
Dialogboks: x-liste: x og værdiliste: punktsandsynlighederne
Højreklik: Vælg søjleindstillinger → lige store intervaller →
Bredde: 0.02 og søjlestart 0
Trappediagram:
Højre-klik: Vælg kombinationsdiagram
Højreklik: Vælg søjleindstillinger → lige store intervaller →
Bredde: 1 og søjlestart 0
Diagrammer:
Pindediagram
Bemærk formlerne over
Trappediagram
33
Binomialfordeling - opgaver (sandsynlighed, forventning og konfidensinterval)
𝑨𝒏𝒂𝒕𝒍 "𝒔𝒖𝒄𝒄𝒆𝒔𝒆𝒓"
̂=
Estimeret andel = 𝒑
𝒂𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒂𝒍𝒕 ( 𝒏 )
34
21
Konfidensinterval for en andel
Punktestimater (i stikprøven)
Estimater:
Parameter (i populationen)
Middelværdi:
μ
x̅ = n i
Standardafvigelse:
σ
i
s = √ (n−1)
Σx
Σ(x − x̅)2
Sandsynlighedsparameter / andel:
Formel:
p
x
p̂ = n
x
p̂ = n = andelen i stikprøven
α/2 - er 2,5% hvis
konfidensintervallet er 95%
zα/2 -se tabel
Fraktiler:
TI-Nspire: Statistik → konfidensintervaller → z-interval for en andel
.
35
22 χ2 - uafhængighedstest
Data optælles i en pivot tabel i Excel
Hypoteser:
𝑛0 : Der er ingen sammenhæng mellem Landsdel og Brugernes svar
𝑛1 : Brugerne svarer forskelligt alt efter, hvor de bor
Observeret
værdier:
Bogen → matematikskabelon → matrix (totallerne skrives ikke med ind )
Testen:
Værktøjskassen → beregninger → statistik → χ2 - uafhængighedstest
Værdier:
Signifikansniveau:
α = 5% (det står i opgaven)
p-værdien:
p = 0,0069% (står i testresultatet fra TI-Nspire: PVal)
χ2 - teststørrelsen: χ2 = 19,1524 (summen af bidragene, er beregnet i TI-Nspire)
Kritisk værdi:
invchi2(95%,2) ▸ 5.99146 (beregnet i TI-Nspire)
Antal frihedsgrader: df = (antal rækker -1)∙ (antal søjler -1) = (2 - 1) ∙ (3 - 1) = 2
Vurdering:
p-værdien er mindre end α, derfor forkastes 𝑛0 - hypotesen.
χ2-teststørrelsen er større end den kritiske værdi, derfor forkastes 𝑛0 -
hypotesen.
Konklusion: Brugerne svarer forskelligt på spørgsmålet om de har anbefalet rejsekortet til
andre. Svarene afhænger af, hvor i landet de kommer fra. (Husk kontekst)
36
Forventet værdier:
𝑘𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠𝑢𝑚 ∙ 𝑟æ𝑘𝑘𝑒𝑠𝑢𝑚
Formel:
Forventet værdi = 𝑠𝑡𝑖𝑘𝑝𝑟ø𝑣𝑒𝑛𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑖 𝑎𝑙𝑡
Eksempel:
Forventet værdi (første felt) =
TI-Nspire:
skriv i et matematikfelt: stat.expmatrix
(man skal lave testen før man kan beregne de forventede værdier)
433 ∙1059
1490
≈ 307,74966443
De forventede
værdier skal alle være
over 5 for at man kan
sige at teststørrelsen følger en χ2 - fordeling.
Bidrag:
( 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑣æ𝑟𝑑𝑖−𝑓𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑣æ𝑟𝑑𝑖 )2
Formel:
Bidrag =
Eksempel:
Bidrag ( første felt ) =
TI-Nspire:
Skriv i et matematikfelt:
𝑓𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑣æ𝑟𝑑𝑖
(323 −307.7)2
307,7
≈ 0,760773480663
stat.compmatrix
De celler med høje
tal, er de grupper, der
især bidrager til teststørrelsen dvs. afviger mest fra hypotesen om uafhængighed.
37
23 Potensregneregler
38
24
Brøkregneregler
39