Matematisk
formelsamling
stx
A-niveau
maj 2018
Denne udgave af Matematisk formelsamling
stx A-niveau er udgivet af Undervisningsministeriet
og gjort tilgængelig på uvm.dk.
Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde
mellem Matematiklærerforeningen
og Undervisningsministeriet, Styrelsen for
Undervisning og Kvalitet, maj 2018
Kopiering til andet end personlig brug må kun
ske efter aftale med Copy-Dan.
ISBN:
978-87-603-3166-4
Forfattere: Gert Schomacker, Jesper Bang-Jensen,
Bodil Bruun og Jørgen Dejgaard
Forord:
”Matematisk formelsamling stx A” er udarbejdet til brug for eksaminanderne ved
den skriftlige prøve og i undervisningen på stx i matematik på A-niveau.
Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik
på A-niveau på stx inden for både kernestof og supplerende stof.
For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række
elementærgeometriske figurer.
Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler.
Hensigten hermed er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at
undervisere og forfattere af undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation,
symbolsprog og terminologi. Listen over matematiske standardsymboler går derfor
ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det matematiske univers i
gymnasiet og på hf.
En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse
forudsætninger (fx at nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne
forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt.
Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur
anskueliggør ofte ét blandt flere mulige tilfælde.
Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil
dog være det i tilfælde, hvor betydningen ikke følger umiddelbart af skik og brug i
den matematiske litteratur.
Birte Iversen
Undervisningsministeriet,
Styrelsen for Undervisning og Kvalitet,
Kontor for Prøver, Eksamen og Test
Maj 2018
3
Indhold
Procent- og rentesregning
Indekstal
Proportionalitet
Brøkregler
Kvadratsætninger
Potensregneregler
Ensvinklede trekanter
Retvinklet trekant
Vilkårlig trekant
Vektorer i planen
Linjer, cirkler og parabler
Lineære funktioner
Andengradspolynomier
Logaritmefunktioner
Eksponentielt voksende funktioner
Eksponentielt aftagende funktioner
Potensfunktioner
Trigonometriske funktioner
Differentialregning
Afledede funktioner
Stamfunktion
Regneregler for integration
Areal og rumfung
Differentialligninger
Vektorfunktioner
Funktioner af to variable
Grupperede observationer
Ugrupperede observationer
Lineær regression
Kombinatorik
Sandsynlighedsregning
Binomialfordelingen
Normalfordelingen
Pascals trekant
Multiplikationstabel
Areal og omkreds, rumfang og overflade
Matematiske standardsymboler
Stikordsregister
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
10
13
16
17
18
19
20
21
22
24
25
26
27
28
29
31
32
35
36
38
39
40
41
43
45
46
47
48
54
Procent- og rentesregning
Begyndelsesværdi B
Slutværdi S
(1)
S  B  (1  r )
Vækstrate r
(2)
r
Procentvis ændring p
(3)
p % = r ⋅100%
Kapitalformel
Startkapital K0
Rente p% pr. termin
Kapital K efter n terminer
(4)
K = K 0 ⋅ (1 + r ) n
Annuitetsopsparing
Terminsindbetaling b
Rentefod r
Antal indbetalinger n
Kapital A efter sidste
indbetaling
(5)
A = b⋅
(1 + r ) n - 1
r
Annuitetslån
Hovedstol G
Rentefod r
Antal terminsydelser n
Terminsydelse y
(6)
y=G⋅
r
1 - (1 + r ) - n
(7)
IS =
S
1
B
, hvor r 
p
100
Indekstal
Værdi
B
S
Indekstal
IB
IS
S
⋅ IB
B
S=
IS
⋅B
IB
5
Proportionalitet
(2)
y = k·x
y
=k
x
(8)
y= k⋅x
(9)
y=k⋅
(10)
b a⋅b
a⋅ =
c
c
(1)
x og y er proportionale
Proportionalitetsfaktor k
(2)
y=k⋅
1
x
1
x
(1)
x og y er omvendt
proportionale
Brøkregler
(11)
(12)
6
a
b
c
=
a⋅c
b
a
b = a
c
b⋅ c
(13)
a
b = a⋅d
c
b⋅c
d
(14)
a c
a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
x⋅ y = k
Kvadratsætninger
(15)
( a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2a ⋅ b
(16)
( a - b ) 2 = a 2 + b 2 - 2a ⋅ b
(17)
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
(18)
a r ⋅ a s = a r +s
(19)
ar
= a r -s
as
(20)
( a r ) s = a r⋅ s
(21)
( a ⋅ b) r = a r ⋅ b r
(22)
r
æ a ö÷
çç ÷ = a
r
çè b ø÷
b
(23)
a0 = 1
(24)
a-r =
1
ar
(25)
a-1 =
1
a
(26)
r
a = ar
(27)
s
ar = a s
Potensregneregler
r
1
r
(28)
a⋅b = a ⋅ b
(29)
a
a
=
b
b
(30)
a = a2
1
7
Ensvinklede trekanter
B
a
c
B1
A
b
(31)
C
a1
c1
a1 = k ⋅ a
(32)
A1
a1 b1 c1
= = =k
a
b
c
c1 = k ⋅ c
C1
b1
b1 = k ⋅ b
Retvinklet trekant
B̅
c
A
8
b
a
C
Pythagoras’ sætning
(33)
cosinus
(34)
sinus
(35)
tangens
(36)
c 2 = a 2+ b 2
b
c
a
sin( A) =
c
a
tan( A) =
b
cos( A) =
Vilkårlig trekant
B̅
h
A
C
g
Trekantens vinkelsum
(37)
A + B + C = 180
Trekantens areal T
(38)
T = 1 h⋅ g
cosinusrelation
(39)
c 2 = a 2+ b 2- 2a ⋅ b ⋅ cos(C )
sinusrelation
(40)
a
b
c
=
=
sin( A) sin( B) sin(C )
Trekantens areal T
(41)
T = 1 a ⋅ b ⋅ sin(C )
2
B̅
c
A
a
b
C
2
9
Vektorer i planen
(2)
a
j
a2 j
a1i
(1)
i

Koordinatsættet for vektor a ,


hvor | i | = | j | = 1
(42)

 æ a1 ö

a = a1 ⋅ i + a 2 ⋅ j =ççç ÷÷÷
çèa 2 ÷ø
(43)
 æcos(v)ö÷
÷
e = çç
çèsin(v) ÷÷ø
(44)

 a
e= 
a
(45)
æ a1 ö

| a | = ççç ÷÷÷ = a12+ a 22
(46)
æ a1 ö æ k ⋅ a1 ÷ö

÷
k ⋅ a = k ⋅ ççç ÷÷÷ = ççç
çèa 2 ÷ø çèk ⋅ a 2 ÷÷ø
(2)
sin(v )
e
v
cos(v )
(1)
Enhedsvektor


Enhedsvektor e ensrettet med a
a
a2
a1

Længden af vektor a
çèa 2 ÷ø
a
k ∙a

Multiplikation af vektor a
med tallet k
10
a
b
b
a
Summen af to vektorer
a
(47)
  æ a ö æ b1 ö æa 1 + b 1 ö÷
÷
a + b = çç 1 ÷÷÷ + ççç ÷÷÷ = ççç
çèa 2 ø÷ çèb 2 ø÷ èça 2+ b 2 ø÷÷
(48)
  æ a ö æ b1 ö æa1 - b1 ÷ö
÷
a - b = çç 1 ÷÷÷ - ççç ÷÷÷ = ççç
çèa 2 ÷ø çèb 2 ÷ø çèa 2 - b 2 ÷÷ø
(49)
 æ x 2 - x1 ö
÷÷
AB = ççç
çè y 2 - y 1 ÷ø÷
(50)
 
a ⋅ b = a 1b 1+ a 2b 2
(51)
 
 
a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅cos(v)
b
b
a
Differensen mellem to vektorer
(2)
A(x1, y1)
B(x2 , y2)
(1)

Koordinatsættet for vektor AB
 æb ö
b = ççç 1 ÷÷÷
çèb 2 ø÷
v
 æa ö
a = ççç 1 ÷÷÷
çèa 2 ÷ø
Skalarproduktet


(prikproduktet) af a og b
(52)
Ortogonale vektorer
(53)
Kvadratet på en vektor
(54)
 
a ⋅b
cos(v) =  
| a |⋅| b |
 
 
a ⋅b = 0  a ^ b
  

a ⋅ a = a 2= | a | 2
11
b
a
ba


Projektionen af b på a
Længden af projektionen
(2)
(55)
 

a ⋅b 
ba =  2 ⋅ a
|a|
(56)
 

| a ⋅b |
| ba | = 
|a|
(57)
æ a ö æ-a ö


a = çç 1 ÷÷÷ = çç 2 ÷÷÷
çè a2 ø÷ èç a1 ø÷
+
 æ-a ö
aˆ = çç 2 ÷÷
è a1 ø÷
 æa ö
a = çç 1 ÷÷÷
è a2 ø

Tværvektoren til a
 æb ö
b = çç 1 ÷÷
è b2 ø
v
(1)
 æa ö
a = çç 1 ÷÷
è a2 ø
Determinanten for
 
vektorparret (a , b)
Parallelle vektorer
(58)
 
 

det( a , b ) = a ⋅ b = a1b2 - a2b1
=
a1
a2
(59)
 
 
det(a , b) = | a | ⋅ | b | ⋅sin(v)
(60)
 
 
det(a , b) = 0  a b
(61)

A = | det(a, b) |
b
a
Arealet af det parallelogram,


som udspændes af a og b
12
b1
b2
Linjer, cirkler og parabler
(2)
l
B(x2, y2)
v
(1)
A(x1, y1)
Q(0, b)
Ligning for linjen l gennem Q (0, b )
med hældningskoefficient a
(62)
y = a⋅ x +b
Hældningskoefficient (stigningstal) a
for linjen l gennem A( x1 , y1 ) og
(63)
a=
Skæring med y-aksen
(64)
b = y1 - a ⋅ x1
Ligning for linjen l gennem A( x1, y1 )
med hældningskoefficient a
(65)
y = a ⋅ ( x - x1 ) + y1
Hældningsvinklen v er vinklen fra
førsteaksen til l regnet med fortegn
(66)
a = tan(v)
(67)
a ⋅ ( x - x0 ) + b ⋅ ( y - y0 ) = 0
(68)
æ x ö æ x0 ÷ö æ r1 ö
ççç ÷÷÷÷ = ççç ÷÷÷ + t ççç ÷÷÷÷
è yø è y0 ø èr2 ø
y2 - y1
x2 - x1
B( x2 , y2 )
(2)
l
n
r
P0(x0, y0)
(1)
Ligning for linjen l gennem
P0 med normalvektor
æaö
n = çç ÷÷÷
çè b ÷ø

Parameterfremstilling for
linjen l gennem P0 med
ær ö
çè r2 ø÷
retningsvektor r = çç 1 ÷÷÷
13
(69)
AB = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 )2
(70)
æ x + x2 y1 + y2 ö÷
M çç 1
,
÷
çè 2
2 ÷ø
Afstand dist(P,l) fra punktet
P( x1 , y1 ) til linjen l med ligningen
y = a⋅ x +b
(71)
dist( P, l ) =
| a ⋅ x1 + b - y1 |
Afstand dist(P,l) fra punktet
P( x1 , y1 ) til linjen l med ligningen
a⋅ x + b⋅ y + c = 0
(72)
dist( P, l ) =
| a ⋅ x1 + b ⋅ y1 + c |
(73)
( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = r 2
Afstand AB mellem to punkter
A( x1 , y1 ) og B( x2 , y2 )
(2)
A( x1, y1 )
M
B( x2 , y2 )
(1)
Midtpunkt M for linjestykke AB
(2)
P( x1 , y1)
l
(1)
a 2 +1
a 2 + b2
(2)
C(a,b)
r
(1)
Ligning for cirkel med centrum i
C ( a , b ) og radius r
14
(2)
x=h
S1
S2
(1)
T(h,k)
Ligning for parabel med
symmetriakse parallel med
andenaksen
(74)
Toppunkt T
(75)
y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c
= a ⋅ ( x - h)2 + k
æ -b -d ö÷
,
,
T ( h, k ) = T çç
çè 2 a 4 a ÷÷ø
hvor d = b 2 - 4 ac
Skæringspunkter S1 og S 2 med
førsteaksen
(76)
æ -b - d ö÷
æ -b + d ö÷
S1 ççç
, 0÷÷ , S 2 ççç
,0÷÷
èç 2a
ø÷
èç 2 a
ø÷
15
Lineære funktioner
(2)
a
1
b
(1)
(77)
f ( x) = a ⋅ x + b
Hældningskoefficienten a
(stigningstallet)
ud fra to punkter på grafen
( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 )
(78)
a=
Skæring med y-aksen
(79)
b = y1 - a ⋅ x1
Førstegradspolynomium,
lineær funktion f
(2)
f
y2
y1
x1
16
x2
(1)
y2 - y1
x2 - x1
Andengradspolynomier
(2)
p
x2
x1
(1)
T
Andengradspolynomium p
med nulpunkter (rødder)
x1 og x2
(80)
Nulpunkter (rødder)
(81)
Toppunkt T
(82)
p ( x) = a ⋅ x 2+ b ⋅ x + c
= a ⋅ ( x - x1 ) ⋅ ( x - x2 )
-b - d
-b + d
, x2 =
,
2a
2a
hvor d = b 2 - 4ac
x1 =
æ -b -d ö÷
T çç
,
çè 2 a 4 a ÷ø÷
17
Logaritmefunktioner
(2)
ln (x)
1
(1)
1 e
Grafen for den naturlige
logaritmefunktion
(83)
ln( x)  -¥ for
x0
(84)
ln( x)  ¥
x¥
(85)
y = ln( x)  x = e y
(86)
ln(e) = 1
(87)
ln( a ⋅ b) = ln( a ) + ln(b)
(88)
æaö
ln çç ÷÷÷ = ln(a ) - ln(b)
çè b ø
(89)
ln(a r ) = r ⋅ ln(a)
(90)
log( x)  -¥ for
x0
(91)
log( x)  ¥
x¥
(92)
y = log( x)  x = 10 y
(93)
log(10) = 1
(94)
log(a ⋅ b) = log(a ) + log(b)
(95)
æaö
log çç ÷÷÷ = log(a) - log(b)
çè b ø
(96)
log(a r ) = r ⋅ log(a)
for
(2)
log(x)
1
1
10
(1)
Grafen for logaritmefunktionen med grundtal 10
18
for
Eksponentielt voksende
funktioner
(2)
f
b
(1)
Grafen for en eksponentielt
voksende funktion f
(97)
f ( x) = b ⋅ a x
= b ⋅ (1 + r ) x
a >1
= b ⋅ ek⋅x , hvor k = ln(a)
vækstraten r > 0
k >0
(98)
f ( x)  
for
x
(99)
f ( x)  0
for
x  
1
x2 - x1
æ y ö x2 -x1
y2
= ççç 2 ÷÷÷
y1
è y1 ø÷
Fremskrivningsfaktoren a
ud fra to punkter på grafen
( x1 , y1 ) og ( x2 , y 2 )
(100)
a=
Skæring med y-aksen
(101)
b=
(102)
T2 = x 2 - x 1
(103)
T2 =
y1
a x1
(2)
y = ba
x
2y1
y1
x1
T2
x2
(1)
Fordoblingskonstanten T2
log(2) ln(2) ln(2)
=
=
log(a ) ln(a )
k
19
Eksponentielt aftagende
funktioner
(2)
b
(1)
Grafen for en eksponentielt
aftagende funktion f
(104)
f ( x) = b ⋅ a x
= b ⋅ (1 + r ) x
0 < a <1
= b ⋅ e k ⋅ x , hvor k = ln( a )
vækstraten r < 0
k <0
(105)
f ( x)  0
for
x
(106)
f ( x)   for
x  
1
x2 - x1
æ y ö x2 -x1
y2
= ççç 2 ÷÷÷
y1
è y1 ø÷
Fremskrivningsfaktoren a
ud fra to punkter på grafen
( x1 , y1 ) og ( x2 , y 2 )
(107)
a=
Skæring med y-aksen
(108)
b=
(109)
T1 = x2 - x 1
(110)
T1 =
y1
a x1
(2)
y = bax
y1
1
2 y1
x1
T1
(1)
x2
2
Halveringskonstanten T 1
2
20
2
2
log ( 12 )
log(a )
=
ln( 12 ) ln( 12 )
=
ln(a )
k
Potensfunktioner
(111)
f ( x) = b ⋅ x a
(112)
a=
log( y2 ) - log( y1 ) ln( y2 ) - ln( y1 )
=
log( x2 ) - log( x1 ) ln( x2 ) - ln( x1 )
(113)
b=
y1
x1a
Når x ganges med tallet 1  rx ,
så ganges f ( x) med tallet 1  ry
(114)
1+ ry = (1+ rx )a
Når x ganges med tallet k,
så ganges f ( x) med tallet k a
(115)
f (k ⋅ x) = k a ⋅ f ( x)
Potensfunktion
(2)
a> 1
a= 1
0 < a< 1
1
a<0
1
(1)
Grafer for f ( x)  x a
Bestemmelse af tallet a
ud fra to punkter på grafen
( x1 , y1 ) og ( x 2 , y 2 )
21
Trigonometriske funktioner
(2)
x
v
1
(1)
Gradtal v omsat til radiantal x
(116)
Radiantal x omsat til gradtal v
(117)
v
⋅ 2π radian
360
x
v=
⋅ 360 grader
2π
x=
(2)
sin( x)
x
cos(x) 1
(1)
Definition af cos(x) og sin(x)
(2)
1
–1

2
(1)
Grafen for cosinus
(2)
1
–1

Grafen for sinus
22
2
(1)
(118)
cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = 1
(119)
cos( x + 2π) = cos( x)
(120)
cos(-x) = cos( x)
(121)
cos(π - x) = - cos( x)
(122)
sin( x + 2π) = sin( x)
(123)
sin(- x ) = - sin( x )
(124)
sin(π - x ) = sin( x )
(2)
tan(x)
x
1
(1)
Definition af tangens
(125)
Udvalgte funktionsværdier
(126)
Harmonisk svingning f
tan( x ) =
sin( x )
cos( x )
grader
0
radiantal
0
sin
0
cos
1
tan
0
30
45
60
90

6
1
2

4

3

2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
1
3
(127)
f (t ) = A ⋅ sin( ⋅ t +  ) + d
(128)
T = t2 - t1 =
0
2
-
(2)
f
A
d
t1
T̅
t2
Graf for harmonisk svingning f
med amplitude A og periode
(svingningstid) T
(1)
2π

23
Differentialregning
Differentialkvotienten f ¢( x0 )
for funktionen f i tallet x0
(129)
f ¢( x0 ) = lim
x  x0
= lim
h 0
f ( x) - f ( x0 )
x - x0
f ( x0 + h) - f ( x0 )
h
(2)
t
f (x0)
P
f
x0
24
(1)
Ligning for tangenten t til
grafen for f i P ( x0 , f ( x0 ))
(130)
y = f ¢( x0 ) ⋅ ( x - x0 ) + f ( x0 )
eller
y = a⋅ x +b ,
hvor a = f ¢( x0 ) og b = y0 - a ⋅ x0
Regneregler for differentiation
(131)
(k ⋅ f ( x)) ¢ = k ⋅ f ¢( x)
(132)
( f ( x) + g ( x))¢ = f ¢ x) + g ¢( x)
(133)
( f ( x) - g ( x))¢ = f ¢ x) - g ¢( x)
(134)
( f ( x) ⋅ g ( x))¢ = f ¢ x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ¢( x)
(135)
( f ( a ⋅ x + b))¢ = a ⋅ f ¢(a ⋅ x + b)
(136)
( f ( g ( x))¢ = f ¢( g ( x)) ⋅ g ¢( x)
Afledede funktioner
Funktion
y  f ( x)
Afledet funktion
dy
d
y ¢ = f ¢( x ) =
= ( f ( x))
dx dx
(137)
a⋅ x +b
a
(138)
k
0
Logaritmefunktion
(139)
ln( x)
1
= x-1
x
Eksponentialfunktioner
(140)
ex
ex
(141)
ek x
k  ek x
(142)
ax
a x ⋅ ln(a)
(143)
xa
a  x a1
(144)
1
= x-1
x
1
- 2 = - x -2
x
Lineær funktion
Potensfunktioner
Trigonometriske funktioner
1
2
1
-1
= 12 x 2
(145)
x =x
(146)
cos( x)
 sin( x)
(147)
sin( x)
cos( x)
2 x
25
Stamfunktion
Stamfunktion
f ( x)
ò f ( x) dx
Konstant funktion
(148)
a
a⋅ x
Logaritmefunktion
(149)
ln( x)
x ⋅ ln( x) - x
Eksponentialfunktioner
(150)
ex
ex
(151)
ek x
1 ek x
k
(152)
ax
ax
ln( a)
(153)
xa
1 x a +1
a+1
(154)
1
= x-1
x
ln | x |
(155)
x = x2
(156)
cos( x)
sin( x)
(157)
sin( x)
 cos( x )
Potensfunktioner
Trigonometriske funktioner
26
Funktion
1
2x
3
3
x = 23 x 2
Regneregler for integration
Ubestemt integral
(158)
ò f ( x) dx = F ( x) + k ,
hvor F ( x) er en stamfunktion til f ( x)
(159)
ò k ⋅ f ( x) dx = k ⋅ ò f ( x) dx
(160)
ò ( f ( x) + g ( x)) dx =ò f ( x) dx + ò g ( x) dx
(161)
ò ( f ( x) - g ( x)) dx =ò f ( x) dx - ò g ( x) dx
Integration ved
substitution
(162)
ò f ( g ( x)) ⋅ g ¢( x) dx =ò f (t ) dt , hvor t = g ( x)
Bestemt integral
(163)
ò f ( x) dx = [ F ( x)] = F (b) - F (a) ,
b
b
a
a
hvor F ( x) er en stamfunktion til f ( x)
Integration ved
substitution
b
c
b
a
a
c
(164)
ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
(165)
ò k ⋅ f ( x) dx = k ⋅ ò f ( x) dx
(166)
ò ( f ( x ) + g ( x )) dx = ò f ( x ) dx + ò g ( x ) dx
(167)
ò ( f ( x ) - g ( x )) dx = ò f ( x ) dx -ò g ( x ) dx
(168)
ò f ( g ( x)) ⋅ g ¢( x) dx =ò
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
g (b)
a
g (a)
g (b )
f (t ) dt = [ F (t )]g ( a )
= F ( g (b)) - F ( g (a)) ,
hvor F ( x) er en stamfunktion til f ( x)
27
Areal og rumfang
(2)
f
a
b
(1)
Arealet A
af det markerede område
b
(169)
A = ò f ( x ) dx
(170)
A = ò ( f ( x ) - g ( x )) dx
(171)
L=ò
(172)
V = π ò f ( x ) 2 dx
a
(2)
f
a
b
g
(1)
Arealet A
af det markerede område
(2)
b
a
f
a
(1)
b
Kurvelængden L af den
markerede del af grafen
b
1 + f ¢ ( x ) 2 dx
a
(2)
f
a
b
Rumfanget V
af omdrejningslegemet
28
(1)
b
a
(2)
f
g
a
(1)
b
Rumfang V af hult
omdrejningslegeme
(173)
b
V = π ò ( f ( x ) 2 - g ( x ) 2 ) dx
a
Differentialligninger
Ligning
Løsning
(174)
y ¢ = h( x)
y = ò h ( x ) dx
(175)
y¢ = h( x) ⋅ g ( y)
ò g ( y) dy = ò h( x)dx
(176)
y¢ = k ⋅ y
y = c ⋅ ek x
(177)
y¢ = b - a ⋅ y
b
y = + c ⋅ e-a x
a
(178)
y¢ = y ⋅ (b - a ⋅ y)
y=
(179)
y ¢ = a ⋅ y ⋅ ( M - y)
y=
(180)
y¢ + a( x) ⋅ y = b( x)
y = e- A ( x ) ò b ( x ) ⋅ e A ( x ) dx + c ⋅ e- A ( x ) ,
1
b
a
1 + c ⋅ e-b x
M
1 + c ⋅ e-a M x
hvor A(x) er stamfunktion til a(x)
29
Linjeelement
(181)
Hældningsfelt,
Linjeelementer
(182)
( x0 , y0 , y0¢ )
(2)
(1)
Løsningskurve
(183)
(2)
P0
(1)
30
Vektorfunktioner
(2)

s (t )
(1)
Vektorfunktion med
koordinatfunktioner
x (t ) og y (t )
(184)
æ x(t ) ö÷

÷
s (t ) = çç
çè y (t )÷÷ø
Hastighedsfunktion
(185)


v (t ) = s ¢ ( t )
Accelerationsfunktion
(186)



a (t ) = v ¢(t ) = s ¢¢ (t )
Parameterfremstilling for
banekurven, x(t) og y(t) er
koordinatfunktioner
(187)
 æ x(t ) ö
÷÷
OP = çç
çè y (t )ø÷÷
Retningsvektor v for tangenten
i punktet P0 svarende til
parameterværdien t0
(188)
æ x ¢(t0 ) ÷ö


÷
v (t0 ) = s ¢(t0 ) = ççç
çè y ¢(t0 )÷÷ø
Parameterfremstilling for den
rette linje l gennem P0 ( x0 , y0 )
 ær ö
med retningsvektor r = çç 1 ÷÷÷
çè r2 ÷ø
(189)
ær ö
æ x (t ) ÷ö æ x0 ÷ö
÷÷ = çç ÷÷ + t ⋅ çç 1 ÷÷÷
çç
èç y (t )ø÷ èç y0 ø÷
èçr2 ø÷
(2)

v
(1)
P0

31
(2)
C (a, b)
r
(1)
Parameterfremstillingen for en
cirkel med centrum C ( a , b) og
radius r
(190)
æ x(t ) ö÷ æa÷ö ær ⋅ cos(t )÷ö
çç
÷ = çç ÷ + çç
÷
èç y(t )÷ø÷ èçb ÷÷ø çèr ⋅ sin(t ) ÷÷ø
(191)
z = f ( x, y)
(192)
z = g ( x ) = f ( x, y ) ,
hvor y holdes fast (blå kurve)
Funktioner af to variable
z
f
y
x
Grafen for en funktion af to
variable
z
f
y
h
g
Snitkurve for f i henholdsvis
x-retningen og y-retningen
x
z = h( y ) = f ( x, y ) ,
hvor x holdes fast (rød kurve)
32
z
f
k
y
f ( x, y ) = k
x
Niveaukurve for f i xy-plan
(193)
f ( x, y ) = k
De partielle afledede af
f ( x, y ) mht. x og y
(194)
f x¢( x, y) =
¶
( f ( x, y))
¶x
f y¢( x, y) =
¶
( f ( x, y ))
¶y
Gradienten for f
(195)
Tangentplanen z i punktet
P0 ( x0 , y0 , z0 )
(196)
æ f x¢( x , y ) ö÷
÷÷
f ( x, y) = ççç
çè f y¢( x, y )÷ø
z = z0 + p ⋅ ( x - x0 ) + q ⋅ ( y - y0 ) ,
hvor
p = f x¢( x0 , y0 ) og q = f y¢( x0 , y0 )
33
(197)
Stationært punkt
P0 ( x0 , y0 , z0 ) for f
 æ0ö
f ( x0 , y0 ) = 0 = çç ÷÷÷
çè0ø÷
f x¢( x0 , y0 ) = 0 og f y¢( x0 , y0 ) = 0
Arten af stationære punkter
for f , hvor r = f xx¢¢( x0 , y0 )
s = f xy¢¢( x0 , y0 ) = f yx¢¢(x0 , y0 ) og
t = f yy¢¢ ( x0 , y0 )
z
P0
y
f
x
Q0
Lokalt maksimum i
P0 ( x0 , y0 , z0 )
(198)
r ⋅ t - s 2 > 0 og r < 0
Lokalt minimum i
Q0 ( x0 , y0 , z0 )
(199)
r ⋅ t - s 2 > 0 og r > 0
Saddelpunkt i P0 ( x0 , y0 , z0 )
(200)
r ⋅ t - s2 < 0
Arten ubestemt
(201)
r ⋅ t - s2 = 0
z
f
P0
y
x
34
Grupperede observationer
10%
Histogram
(202)
Arealet af en blok svarer til
intervallets frekvens
Histogram
med ens intervallængder
(203)
Højden af en blok svarer til
intervallets frekvens
(204)
Q1 : nedre kvartil, 25% -fraktilen
m : median, 50% -fraktilen
Q3 : øvre kvartil, 75% -fraktilen
x p : p% -fraktilen
%
30
20
10
%
100
Kumuleret
frekvens
75
50
25
Q1
m
Sumkurve
%
100
Kumuleret
frekvens
Q3
80
p 60
40
20
xp
35
Ugrupperede observationer
(205)
Observationerne afsat på en tallinje
(206)
min: mindste observation
(207)
max: største observation
(208)
max - min
(209)
m: median
(midterste observation, når antallet
af observationer er ulige, ellers tallet
midt mellem de to midterste
observationer)
(210)
Q1 : nedre kvartil
(medianen for den nederste halvdel
af observationerne)
(211)
Q3 : øvre kvartil
(medianen for den øverste halvdel
af observationerne)
(212)
Q3 - Q1
(213)
Boksplot, kassediagram
(boksens højde er uden betydning)
Kvartilsæt
(214)
(Q1 , m, Q3 )
Udvidet kvartilsæt
(215)
( min, Q1 , m, Q3 , max )
Prikdiagram
min
max
Variationsbredde
m
Q1
Q3
Kvartilbredde
min
36
Q1 m
Q3
max
Outlier
(216)
Middeltal x for observationssættet x1 , x2 , ... , xn
(217)
Observation, der ligger mere end
halvanden kvartilbredde under nedre
kvartil eller mere end halvanden
kvartilbredde over øvre kvartil
x + x2 + ... + xn
x= 1
n
n
Spredning af en stikprøve
x1 , x2 , ... , xn fra en population
å (x - x )
2
i
(218)
s=
=
i =1
n -1
( x1 - x )2 +  + ( xn - x )2
n -1
x̅
(219)
Middeltal mindre end medianen x < m
Ikke-skæv fordeling
(220)
Middeltal lig med medianen x = m
x̅
Højreskæv fordeling
(221)
Middeltal større end medianen x > m
Venstreskæv fordeling
x̅
37
Lineær regression
Tabel med observerede
data
(222)
Regressionslinje
(223)
Punktplot og bedste rette
linje
(224)
x
y
x1
y1
x2
y2
…
…
x3
y3
xn
yn
Bedste rette linje, graf for f ( x) = a ⋅ x + b
(2)
f
(1)
observerede datapunkter
modelpunkter
Residual
(225)
Residualtabel
(226)
x
Residual
Residualplot
Forskel mellem observeret y-værdi og
tilsvarende y-værdi i model
x1
r1 = y1 - f ( x1 )
(227)
x2
r2 = y2 - f ( x2 )
…
…
(2)
r1
r3
x2
rn x1 x3
r2
Residualspredning
38
(228)
s=
xn
(1)
r12 + r2 2 + ... + rn 2
n-2
xn
rn = yn - f ( xn )
Kombinatorik
Multiplikationsprincip
Antal mulige måder at vælge
både ét element fra N og et
element fra M, hvor N består
af n elementer og M består af
m elementer
(229)
n⋅ m
Additionsprincip
Antal mulige måder at vælge
enten ét element fra N eller ét
element fra M, hvor N består
af n elementer og M består af
m elementer
(230)
n+m
Fakultet
(231)
n! = n ⋅ (n -1) ⋅ (n - 2) ⋅ ⋅ 2 ⋅1
Permutationer
Antal muligheder for
udvælgelse af r elementer
blandt n elementer, når
rækkefølgen har betydning
(232)
P ( n, r ) =
n!
( n - r )!
Kombinationer
Antal muligheder for
udvælgelse af r elementer
blandt n elementer, når
rækkefølgen ikke har
betydning
(233)
K ( n, r ) =
n!
r !( n - r )!
39
Sandsynlighedsregning
Sandsynlighedsfelt med
udfaldsrum U og
sandsynligheder p
(234)
(U , p)
Udfaldsrum U med n udfald
(235)
Mængden af alle udfald {u1 , u2 ,⋅⋅⋅, un }
Summen af alle
sandsynligheder
(236)
p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1
Sandsynlighedstabel
(237)
Udfald
Sandsynlighed
Hændelse A med
k udfald fra U
(238)
Mængde af k udfald fra U
Sandsynlighed for hændelse A
(239)
Summen af de k udfalds sandsynligheder
Alle sandsynligheder er lige
store
(240)
p1 = p2 = p3 = ... = pn =
Sandsynlighed for udvælgelse
af et element fra A
(241)
P( A) =
Sandsynlighed ved
kombination af uafhængige
hændelser A og B
(242)
P (både A og B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Sandsynlighed ved
kombination af hændelser A
og B, som ikke har noget
fælles udfald
(243)
P ( A eller B ) = P ( A) + P ( B )
u1
p1
u2
p2
Symmetrisk sandsynlighedsfelt
40
1
n
k antal gunstige
=
n
antal mulige
u3
p3
…
…
un
pn
Sandsynlighedsfordelingstabel for en stokastisk
variabel X
(244)
Søjlediagram.
Højde af søjle svarer til
sandsynlighed af udfald
(245)
xi
x1
x2
x3
…
xn
P ( X = xi )
p1
p2
p3
…
pn
(2)
x1 x2 x3 . . .
xn
(1)
n
m = E ( X ) = å xi ⋅ P( X = xi )
Middelværdi af en stokastisk
variabel X
(246)
Varians af en stokastisk
variabel X
(247)
Spredning af en stokastisk
variabel X
(248)
s = s( X ) = Var( X )
Binomialfordelt stokastisk
variabel X med
antalsparameter n og
sandsynlighedsparameter p
(249)
X  b ( n, p )
Binomialkoefficient K (n, r )
(250)
æ nö
n!
K ( n, r ) = çç ÷÷÷ =
çèr ÷ø r !(n - r )!
(251)
K (n, r ) = K (n, n - r )
Sandsynlighedsfunktion for
binomialfordelt stokastisk
variabel X
(252)
P ( X = r ) = K ( n , r ) ⋅ p r ⋅ (1 - p ) n- r
Middelværdi m
(253)
m = n⋅ p
Spredning s
(254)
s = n ⋅ p ⋅ (1- p)
i =1
= x1 ⋅ p1 + x2 ⋅ p2 + x3 ⋅ p3 +  + xn ⋅ pn
n
Var( X ) = å ( xi - m ) 2 ⋅ P ( X = xi )
i =1
= ( x1 - m ) 2 ⋅ p1 + + ( xn - m ) 2 ⋅ p n
Binomialfordeling
41
Statistisk usikkerhed i stikprøver
Antal elementer i stikprøven n
95% konfidensinterval for
populationens
sandsynlighedsparameter p
estimeret ud fra
stikprøveandelen p̂
(255)
Normalfordelingsapproksimation
til binomialfordelt stokastisk
variabel X med middelværdi
m = n⋅ p
(256)
é
ê pˆ - 2 ⋅
ê
ëê
pˆ ⋅ (1 - pˆ )
; pˆ + 2 ⋅
n
pˆ ⋅ (1 - pˆ ) ùú
ú
n
ûú
og spredning
s = n ⋅ p ⋅ (1- p)
m - 3s m - 2s
m -s
m
m + s m + 2s m + 3s
(1)
normale udfald
Exceptionelle
udfald
m - 3s m - 2s
Exceptionelle
udfald
m -s
m
68,27%
95,45%
99,73%
42
m + s m + 2s m + 3s
(1)
Normalfordelingen
Standardnormalfordelt
stokastisk variabel X
(257)
X  N (0,1)
Middelværdi
(258)
m = E( X ) = 0
Spredning
(259)
s = s( X ) = 1
Tæthedsfunktion
(260)
φ( x ) =
1
- ⋅x2
1
e 2
2π
(2)
(2)
1

F
1
2
(1)
(1)
a
Fordelingsfunktion
(261)
F(a) = ò
Sandsynligheden for, at X er
større end eller lig med a
(262)
F( X ³ a) = 1 -F(a )
Sandsynligheden for, at X er
større end eller lig med a og
mindre end eller lig med b
(263)
F( a £ X £ b) = F(b) -F( a )
Normalfordelt stokastisk
variabel X med middelværdi m
og spredning s
(264)
X  N (m, s )
-¥
φ( x ) dx
(2)
(2)
1
F
f
1
2
m
Fordelingsfunktion
(1)
(1)
m
(265)
æ x -  ö÷
F ( x) =  çç
çè  ÷ø÷
(266)
- ⋅ççç
÷÷÷
1
f ( x) =
e 2è s ø
2π ⋅ s
2
1 æ x-m ö
Tæthedsfunktion
43
(2)
f
(1)
a
P( X £ a) = ò
a
Sandsynligheden for, at X er
mindre end eller lig med a
(267)
Sandsynligheden for, at X er
større end eller lig med a
(268)
P( X ³ a) = 1- P( X £ a)
æ a - m ö÷
P( X ³ a) = 1-F çç
çè s ÷÷ø
Sandsynligheden for, at X er
større end eller lig med a og
mindre end eller lig med b
(269)
P ( a £ X £ b) = P ( X £ b) - P ( X £ a )
æ b - m ö÷
æ a - m ö÷
çç
P(a £ X £ b) = F çç
-F
÷
÷
èç s ø÷
èç s ø÷
Fraktilplot
QQ-plot
(270)
2
-¥
f ( x ) dx
æ a - m ö÷
P( X £ a) = Fçç
çè s ÷ø÷
æ x - m ö÷
y = Φ-1 çç
çè s ÷÷ø
1
0
-1
-2
m -s
44
m
m+s
x
Pascals trekant
(271)
K(0,0)
K(1,0) K(1,1)
K(2,0) K(2,1) K(2,2)
K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)
K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)
K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)
K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)
K(7,0) K(7,1) K(7,2) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7)
K(8,0) K(8,1) K(8,2) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
7
6
15
1
4
10
20
35
56
1
3
10
21
28
2
4
6
1
5
15
35
70
1
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
45
Multiplikationstabel
(272)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
3
3
6
9 12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
4
4
8 12 16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
5
5 10 15 20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95 100
6
6 12 18 24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96 102 108 114 120
7
7 14 21 28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98 105 112 119 126 133 140
8
8 16 24 32
40
48
56
64
72
80
88
96 104 112 120 128 136 144 152 160
9
9 18 27 36
45
54
63
72
81
90
99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44
55
66
77
88
99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48
60
72
84
96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52
65
78
91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56
70
84
98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60
75
90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64
80
96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68
85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72
90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76
95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Røde tal: Kvadrattal
46
Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer
Trekant
B
h
A
C
g
h
g
A
højde
grundlinje
areal
A = 12 h ⋅ g
h
g
A
højde
grundlinje
areal
A hg
h
a, b
højde
parallelle sider
A
areal
r
radius
A
areal
A = π r2
O
omkreds
O = 2π ⋅ r
r
radius
O
overflade
O = 4π ⋅ r 2
V
rumfang
V = 43 π ⋅ r 3
h
r
O
højde
grundfladeradius
krum overflade
O = 2π r ⋅ h
V
rumfang
V = π r2 ⋅ h
h
s
r
O
V
højde
sidelinje
grundfladeradius
krum overflade
rumfang
O  πr  s
V = 1 π r2 ⋅ h
Parallelogram
h
g
Trapez
a
h
b
A = 12 h ⋅ ( a + b)
Cirkel
r
Kugle
r
Cylinder
r
h
r
Kegle
h s
r
3
47
Generaliseret cylinder
h
h
G
h
højde
s
omkreds af grundfladen
G
grundfladen
O
krum overflade
V
rumfang
overflade = s ⋅ h + 2G
s⋅h
V = h⋅G
Matematiske standardsymboler
Symbol
Betydning
Eksempler, bemærkninger m.v.
mængde på listeform
{-5,0,3,10} , {2,4,6,...} , {..., -1,0,1,...}

mængden af naturlige tal
  1, 2,3,...

mængden af hele tal
  ..., 2, 1,0,1, 2,...

mængden af rationale tal
tal, der kan skrives q , p  , q  

mængden af reelle tal

tilhører / er element i
2 
[a ; b]
lukket interval
[1;3] = { x Î  |1 £ x £ 3}
] a ; b]
halvåbent interval
]1;3] = { x Î  |1 < x £ 3}
[a ; b [
halvåbent interval
[1;3[ = { x Î  |1 £ x < 3}
] a ;b [
åbent interval
.,.,.,.
48
p

er en ægte delmængde af
]1;3[ = { x Î  |1 < x < 3}
{1, 2,3} Ì N

fællesmængde
A B
A
B

Foreningsmængde
A B
A
B
\
mængdedifferens
A\B
A
B
A
komplementærmængde
U \A
U
A
Symbol
Betydning
Ø
Eksempler, bemærkninger m.v.
den tomme mængde
disjunkte mængder
A B  Ø

mængdeprodukt
[-10;10]´[-10;10]

”og” i betydningen ”både og”
(konjunktion)
x2 

”eller” i betydningen
”og/eller” (disjunktion)
x2  x 5

”medfører”, ”hvis … så”
x = 2  x2 = 4
(implikation)
”ensbetydende”, ”hvis og kun 2
x = 4  x = -2  x = 2
hvis” (biimplikation)

n
a
i
i 1
a1  a 2  ...  a n
n!
n fakultet, n udråbstegn
f ( x)
funktionsværdi af x ved
funktionen f
Dm( f )
definitionsmængden for f
Vm( f )
værdimængden for f
log( x)
logaritmefunktionen med
grundtal 10
den naturlige logaritmefunktion
den naturlige eksponentialfunktion
ln( x)
ex
a
x
x
a
| x|
eksponentialfunktionen med
grundtal a, a  0
4
A
y 5
i 1  2 3  4
2
2
B
2
2
2
i 1
n !  1  2  ...  n
for n  1
0! = 1
f ( x) = 2 x + 1 , så er f (4) = 3 .
y  log( x)  x  10 y
y  ln( x)  x  e y
e x betegnes også exp(x)
b  a x kaldes undertiden for en
eksponentialfunktion eller en
eksponentiel udvikling
b  xa kaldes undertiden for en
potensfunktion
potensfunktion eller en potensudvikling
| 3|  3 , | 7 |  7
numerisk (absolut) værdi af x
| x | betegnes også abs(x)
49
Symbol
Betydning
sin( x)
sinus
cos( x)
cosinus
tan(x)
tangens
sin-1 ( y)
omvendt funktion til sinus
Eksempler, bemærkninger m.v.
sin( x)
cos( x)
-1
sin ( y ) = x  sin( x ) = y
tan( x) =
sin -1 (0,5) = 30
sin -1 betegnes også Arcsin
cos-1 ( y )
omvendt funktion til cosinus
cos-1 ( y ) = x  cos( x) = y
cos-1 (0,5) = 60
cos-1 betegnes også Arccos
tan -1 ( y )
omvendt funktion til tangens
tan -1 ( y ) = x  tan( x) = y
tan -1 (1) = 45
tan -1 betegnes også Arctan
lim f ( x )
x  x0
grænseværdien af f ( x)
lim x +1 = 2
f ( x)  a
for x gående mod x0
grænseværdien af f ( x)
for x gående mod ¥
f ( x) går mod a
for x  x0
for x gående mod x0
f ( x)  a
f ( x) går mod a
for x gående mod 
e- x  0 for x  ¥
x-tilvækst
x  x  x0
y , f
funktionstilvækst for
y  f ( x)
y  f  f ( x)  f ( x0 )
y f
,
x x
differenskvotient for
y  f ( x)
f ( x )  f ( x0 )
y f


x x
x  x0
f ¢ x0 )
differentialkvotienten for
y  f ( x) i x 0
f ¢ x0 ) = lim
lim f ( x)
x¥
for x  ¥
x
x3
lim 1  0
x  x
x + 1  2 for x  3
f ( x) - f ( x0 )
x x0
x - x0
= lim
x0
50
f
x
=
lim
x0
y
x
Symbol
Betydning
Eksempler, bemærkninger m.v.
f¢
afledet funktion af y  f ( x )
betegnes f ¢( x), y ¢ ,
f (n)
den n’te afledede funktion af
y  f ( x)
f (2) ( x) skrives ofte f ¢¢( x) , y ¢¢
AB
linjestykket AB
| AB |
længden af linjestykket AB

AB
AB
cirkelbuen 
|
AB |


a , AB


| a |, | AB |


a
 
ab
a1 b1
a2 b2
eller
d
( f ( x)),
dx
d2y
dx 2
AB
længden af cirkelbuen 
vektor
længden af vektoren
tværvektor
betegnelsen â kan også anvendes
skalarprodukt, prikprodukt
betegnelsen a  b benyttes også
determinanten for vektor 
parret ( a, b )
betegnelsen det( a , b ) benyttes
også
l ^ m læses også
”l og m er ortogonale”

”er vinkelret på”
A
vinkel A
 
 
 A  110 eller A=110
C
B
 ABD
vinkel B i trekant ABD
A
 
( a , b )


vinklen v mellem a og b ,
hvor 0   v  180 
D
a
v
b
51
Symbol
Betydning
Eksempler, bemærkninger m.v.

a

–115°
vinklen fra a til b
b
245°
hypotenuse
modstående
katete til v
retvinklet trekant
v
hosliggende
katete til v
n
midtnormalen n
for linjestykket AB
A
B
B̅
hb
c
højden fra B på siden b eller
dens forlængelse
A
a
hb
C
b
B̅
mb
c
medianen fra B på siden b
a
mb
A
C
b
B̅
vB
c
vinkelhalveringslinjen for
vinkel B
vB
A
52
b
a
C
Symbol
Betydning
Eksempler, bemærkninger m.v.
B̅
trekant ABC’s omskrevne
cirkel
C
A
B
trekant ABC’s indskrevne
cirkel
vC
C
A
53
Stikordsregister
A accelerationsfunktion
additionsprincip
afledet funktion
afstand mellem
- punkt og linje
- to punkter
amplitude
andengradspolynomium
annuitetslån
annuitetsopsparing
areal
- cirkel
- generaliseret cylinder
- parallelogram
- trapez
- trekant
31
39
25, 51
B banekurven
bedste rette linje
begyndelsesværdi
bestemt integral
binomialfordeling
binomialkoefficient
boksplot
brøkregler
31
38
5
27
31
31
36, 37
6
C cirkel
cirklens ligning
cosinus
cosinusrelation
cylinder
47
14
8, 50
9
47
D determinant
differensen mellem
differenskvotient
differentialkvotient
differentialligninger
12
11
50
24, 50
29
54
14
14
23
17
5
5
47
48
47
47
47
E eksponentiel funktion
- aftagende
- voksende
enhedsvektor
ensvinklede trekanter
exceptionelle udfald
20
19
10
8
42
F fakultet
fordoblingskonstant
fordelingsfunktion
fremskrivningsfaktor
førstegradspolynomium
39, 49
19
43
19, 20
16
G generaliseret cylinder
gradient
gradtal
grupperede observationer
grænseværdi
48
33
22
35
50
H halveringskonstant
harmonisk svingning
hastighedsfunktion
histogram
hult omdrejningslegeme
hældningskoefficient
hældningsvinklen
hændelse
højde
højreskæv
20
23
31
35
29
13, 16
13
40
47, 52
37
I
ikke-skæv
indekstal
indskreven cirkel
integration
37
5
53
27
K kapitalformel
kegle
kombinationer
konfidensinterval
koordinatsæt
kugle
kurvelængde
kvadratsætninger
kvartil
kvartilbredde
kvartilsæt
L lineær funktion
lineær regression
linjens ligning
logaritmefunktioner
lokalt maksimum
lokalt minimum
længde af vektor
løsningkurve
M median (statistik)
median (trekant)
middeltal
middelværdi
midtnormal
midtpunkt
multiplikation af vektor
multiplikationsprincip
multiplikationstabel
N nedre kvartil
niveaukurve
normale udfald
normalfordeling
normalvektor
nulpunkter
5
47
39
42
11
47
28
7
35, 36, 37
36
36
16
28
13
18
34
34
10
30
36, 37
52
37
41
52
14
10
39
46
35
33
42
43
13
17
O omkreds, cirkel
omskreven cirkel
omvendt proportionalitet
ortogonal, vinkelret
ortogonale linjer
ortogonale vektorer
outlier
overflade
- cylinder
- generaliseret cylinder
- kegle
- kugle
47
53
3
39
14
11
37
P p% -fraktil
parabel
parallelle vektorer
parallelogram
Pascals trekant
permutationer
potensfunktioner
potensregneregler
prikdiagram
prikprodukt
procent-procent tilvækst
procentregning
projektionen
proportionalitet
punktplot
35
15
12
47
45
39
21
7
36
11, 51
21
5
12
6
38
47
48
47
47
Q QQ-plot
44
R radiantal
regneregler for differentiation
regneregler for integration
regression, lineær
regressionslinje
residual
residualplot
residualspredning
retningsvektor
22
24
27
38
38
38
38
38
31
55
retvinklet trekant
rod, rødder
rumfang af
- cylinder
- generaliseret cylinder
- kegle
- kugle
8, 52
17
47
48
47
47
34
S saddelpunkt
sandsynlighed
40, 41
sinus
8, 50
sinusrelation
9
skæringspunkt m. førsteaksen
15
skalafaktor
8
skalarprodukt
11, 39
spredning
37, 41
statistisk usikkerhed
42
stokastisk variabel
41, 42
sum af vektorer
11
sumkurve
35
symboler
48
symmetrisk sandsynlighedsfelt 40
søjlediagram
41
T tangens
tangent til graf
toppunkt
trapez
trigonometriske funktioner
tværvektor
tæthedsfunktion
8, 50
24
15, 17
47
22, 23
12
43
U uafhængige hændelser
ubestemt integral
udfaldsrum
udvidet kvartilsæt
ugrupperede observationer
30
27
40
36
36
56
V varians
variationsbredde
vektorer i planen
venstreskæv fordeling
vilkårlig trekant
vinkelhalveringslinje
vinkelret, ortogonal
vinkelsum i trekant
vinkler
vækstrate
Ø øvre kvartil
41
36
10
37
9
52
51
9
51, 52
5, 19, 20
35