Navn: Anders og Martin
Dato: 18/jan-2022
Projekt Forbrugslån rekursionsligning
Peter vil gerne have en ny bil og han låner 170.000 til 7% i rente pr. år. Han aftaler at han afdrager
18000 om året.
1. Opstil den rekursionsligning som beskriver hvor meget Peter skylder i årene fremover. Her skal
uddybes hvordan den opstilles, hvilken orden, homogen eller ikke homogen.
𝑦𝑛+1 = 1,07 · 𝑦𝑛 − 18000
Det er en førsteordens ligning pga. at vi finder næste værdi ved bruge af den sidste.
Grunden til at denne rekursionsligning er opstillet således er på grund af at vores
næste tal 𝑦𝑛 + 1 er på venstre side af lighedstegnet og vores nuværende tal er på
højre side af lighedstegnet
Denne ligning er ikke homogen pga. at b(n) ikke er lige med 0.
Dvs. at rekursionsligning er 𝑦𝑛+1 = 1,07 · 𝑦𝑛 − 18000
2. Find en partikulær løsning til rekursionsligningen.
Man forventer at man kan finde en løsning (𝒛𝒏 = 𝒄) hvorfor ?
For at finde den partikulær løsning for vores rekursionsligning, skal man sætte 𝑦𝑛 og 𝑦𝑛+1 til c
𝑐 = 1,07 · 𝑐 − 18000
⇕
Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑐 = 257142,9
Det er pga. at den partikulær løsning er 𝑐 = 257142,9
3. Bestem samtlige løsninger til rekursionsligningen (inddrag sætning 3)
Ligning for den samtlige løsning er 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 + 𝑘 · 𝑎𝑛
𝑦𝑛 = 257142,9 + 𝑘 · 1,07𝑛
Dvs. at den samtlige løsning er 𝑦𝑛 = 257142,9 + 𝑘 · 1,07𝑛
4. Bestem den løsning der passer med startbetingelserne (𝒚𝟎 = 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎)
Jeg sætter 𝑦𝑛 til bilens 170000 og n til 0, hvor efter finder jeg k
170000 = 257142,9 + 𝑘 · 1,070
⇕
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Side 1 af 3
Navn: Anders og Martin
Dato: 18/jan-2022
𝑘 = −87142,9
Dvs. at k er lige med −87142,9
5. Udarbejd en tabel over tilbagebetalingen af bilen, hvor meget skylder Peter efter 5 år ?
𝑦5 = 257142,9 − 87142,9 · 1,075
⇕
Ligningen løses for y_5 vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑦5 = 134920,5
Dvs. at efter 5 år skylder Peter 134920,5 kr.
6. Hvor mange år tager det inden bilen er betalt?
Jeg sætter 𝑦𝑛 lige med 0, dvs. når Peter har betalt hele bilen af, og finder n som er antal af år det
tager for Peter at betale bilen af.
0 = 257142,9 − 87142,9 · 1,07𝑛
⇕
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑛 = 15,99326
Dvs. at det tager næsten 16 år inden bilen er betalt.
7. Antag at Peter beholder bilen indtil den er betalt. Beregn hvor meget Peter har betalt i rente.
Jeg gange antal år det tager for Peter at betal bilen, med 18000 (afdrage om året), og minusser der
med bilens pris
18000 · 15,99326 − 170000 ≈ 117878,7
Dvs. at Peter vil betale 117878,7kr. i rente
Efter at have regnet på det beslutter Peter at det ikke er nok at afdrage 18000 om året, i stedet
vælger Peter at øge afdraget til 30.000 om året.
8. Beregn hvor meget Peter vil have betalt i rente under disse betingelser.
partikulær løsning for 30.000 om året:
𝑐 = 1,07 · 𝑐 − 30000
⇕
Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑐 = 428571,4
Konstant k:
170000 = 428571,4 + 𝑘 · 1,070
⇕
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑘 = −258571,4
Antal af år, når bilen er betalt:
0 = 428571,4 − 258571,4 · 1,07𝑛
⇕
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑛 = 7,468158
Hvor meget han betaler i rente:
30000 · 7,468158 − 17000 ≈ 207044,7
Dvs. at Peter vil betale 207044,7 kr i rente
Side 2 af 3
Navn: Anders og Martin
Dato: 18/jan-2022
Bilag 1:
Side 3 af 3