Kinematik (1D og 2D)
Kursusgang 2 & 3
Kursusgang 2
Forstå definition af stedfunktion, hastighed, fart, acceleration, samt sammenhænge mellem disse
Beskrive bevægelse i én dimension med (stykkevis) konstant acceleration
Angribe konkrete kinematiske problemstillinger
Kursusgang 4
Generalisér begreberne stedfunktion, hastighed, acceleration, til flere dimensioner
Beskrive kastebevægelse
Forstå hastighed og acceleration i jævn og ujævn cirkelbevægelse
Forstå relativ bevægelse i flere dimensioner
Kursusgang 2 (Kapitel 2)
Hastighed
Endelige intervaller
&
Acceleration
Som differentialer
Grafisk kan man tegne en tangent i x/t koordinatsystem for at
finde frem til, om accelerationen er positiv eller negativ - hvis
stregerne ligger under, krummer den nok til at accelerationen
er stor.
Lineær
Lineær bevægelse med konstant acceleration
Bevægelse
med
(Uden et stedkoordinat x)
konstant
acceleration
(Uden hastighed v(t))
(Uden acceleration a(t))
(Uden tid t)
Varierende
acceleration
Lineær bevægelse med varierende acceleration
Lineær
Kinematik Lodret kast
Hvor lang tid er bolden om at nå max. højde?
Hvis en old kastes lodret op i luften, vil den nå max. højde
efter tiden,
Hvor langt kommer bolden op?
Lineær
Bilen accelererer 0-100 km/t på 6.0 s
Kinematik - Hvis konstant acceleration, hvor langt kommer den
Bil under
acceleration
Vi kender både
og
=
Lineær
Skal færdiggøres...
Kinematik ,
m/s^2 fra
Nedbremsnin
g
passerer bilen
m?
at 5 digits
. Til hvilken tid
Vi har brug for at finde , men vi har ikke dens hastighed.
Derfor benytter vi:
Dette er en andengradsligning, der kan
Vi får to svar - der er ikke noget i ligningen, der siger, at
accelerationen ikke fortsætter i dens retning efter at v = 0,
derfor er der to svar.
Opgave 1 - Analyse af grafen over en ulvs hastighed, herunder vurdering
af acceleration
En forsker studerer vilde ulve i Jylland. En bestemt ulv er blevet indfanget og udstyret med en GPS
sender, så forskeren kan følge ulvens bevægelse. Grafen neden for viser ulvens hastighed som funktion
af tiden mens den bevæger sig på en retlinjet skovsti.
a) I hvilke(t) af de afmærkede punkter (A-H) bevæger ulven sig ikke?
A) Kun E
B) A, E og H
C) C og F
D) Ingen af punkterne, ulven bevæger sig hele tiden
E) Ved ikke
b) I hvilke(t) af de afmærkede punkter (A-H) accelererer ulven ikke?
A) Kun E
B) A, E og H
C) C og F
D) I alle punkterne, ulven accelerer aldrig
E) Ved ikke
c) I hvilke(t) intervaller bevæger ulven sig med tilnærmelsesvis konstant acceleration?
A) A-B
B) B-C
C) D-E og G-H
D) C-D og E-F
E) B-C og F-G
F) Ved ikke
d) Til hvilket tidspunkt er ulven længst væk fra dens startposition til
A) C
B) E
C) F
D) H
E) Ved ikke
?
Opgave 2 - Positionen af en partikel (aflang graf bestående af en x-akse)
Opgave 2
En partikel starter fra hvile og bevæger sig mod højre. Nedenfor er vist positionen af partiklen til
forskellige tidspunkter. Der er lige lange tidsintervaller mellem tiderne for de viste positioner.
Nedenfor er vist tre forskellige grafer (A, B og C) der viser en partikels hastighed som funktion af tiden.
Hvilken af graferne passer med partiklens bevægelse?
A) A
B) B
C) C
D) Ingen af graferne kan beskrive partiklens hastighed
E) Ved ikke
Opgave 3 - Analyse af grafen over en bils position x/t
Grafen nedenfor viser en bils position som funktion af tiden. Fem punkter er navngivet, A-E.
Til hvilke tidspunkter (A, B, C, D og/eller E) bremser bilen op?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
F) Det kan ikke ses af grafen
G) Ved ikke
Opgave 4- Vil de to timer støde sammen?
Den maksimale bremseacceleration for en bil på tør vej er 8
km/h og chaufførerne bremser når de er 85 m fra hinanden.
a) Vil de to biler støde sammen?
/
To biler kører mod hinanden med 88
b) I så fald hvad er den relative hastighed ved sammenstødet?
c) Hvis ikke hvor langt er de fra hinanden når de stopper?
d) Skitsér afstand som funktion af tid for begge biler i samme koordinatsystem.
a)
Først ser vi blot på den ene bil og finder den afstand, som det vil tage bilen at bremse op. Hertil benytter
vi,
hvori vi sætter
samt
, da vi ønsker at finde tidspunktet, hvor bilen står stille. Herefter
indfører vi, at accelerationen regnes negativ ift. hastigheden og isolerer ,
Vi ved samlet set nu, at
og at
, hvormed,
at 5 digits
Altså
m når bilerne hver især at tilbagelægge, og dermed rammer de ikke hinanden, når de stopper 85
m fra hinanden.
c) De rammer således ikke hinanden, da de er
- 10 m fra hinanden.
d)
Opgave 5 - Når bilerne at ramme hinanden - hvis ikke, hvilken afstand stopper de
fra hinanden?
To identiske biler kører mod hinanden med en fart på 50.0 km/h. Når der er 100 meter imellem dem
bremser begge biler med en konstant acceleration på 5.00 m/s2.
Hvilke(t) af følgende udsagn er korrekte?
A) De stopper når de er 17.6 m fra hinanden
B) De stopper når de er 61.4 m fra hinanden
C) De stopper når de er 80.7 m fra hinanden
D) De når at stoppe umiddelbart før de rammer hinanden
E) De støder sammen efter 1.06 s
F) De støder sammen efter 18.9 s
G) De står stille efter 1.14 s
H) De står stille efter 2.78 s
I) Ved ikke
Vi anvender samme udtryk som i forrige opgave til at finde afstanden bilerne hver især tilbagelægger.
Værdierne er:
Da de er 100 m fra hinanden inden opbremsningen, og da de først er bremset efter 19.3 m hver især, vil
de være:
altså 61.4 m fra hinanden. B) er dermed bekræftet.
For at finde den tid, som det tager bilerne at bremse op, benytter vi formlen,
Her sætter vi
, da dette må gælde, når bilen er bremset op, og i øvrigt indfører vi fortegnet på
accelerationen i opskrivningen.
Dette bekræfter udsagn H).
Opgave 6 - Hvad er hastigheden ved sammenstødet?
En bil kører på en vandret, retlinjet vej med farten 95 km/h. Føreren af bilen opdager en fodgænger, der
krydser vejen 60 meter fremme og forsøger at undgå en kollision ved at bremse. Føreren har en
reaktionshastighed på 1.5 s inden opbremsningen starter, og under opbremsningen er størrelsen af
accelerationen er 8.0 m/s2.
Når bilen når frem til hvor fodgængeren krydser vejen:
A) Har den farten 0.0 km/h (den når præcis at stoppe).
B) Har den farten 69 km/h.
C) Har den farten 93 km/h.
D) Det gør den ikke, den når at stoppe før den når fodgængeren.
E) Ved ikke
I dette scenarie tager vi udgangspunkt i formlen,
Her mangler vi , da føreren ikke reagerer øjeblikkeligt og dermed tilbagelægger en afstand med
konstant hastighed inden opbremsningen.
Denne afstand er givet ved,
For nu at finde hastigheden, som bilen har efter 60 m, benyttes formlen, hvormed,
Omregnet til km/t
. Altså kører føreren med en hastighed på 69 km/t under
sammenstødet.
Opgave 7 - Analyse af grafen over en partikels hastighed
Grafen nedenfor viser hastigheden af en partikel i et tidsinterval fra tiden
s til
s.
Hvilke af følgende udsagn om bevægelsen i det viste tidsrum er korrekte?
A) Partiklens position er større til tiden
s end den er til
s.
B) Partiklen bevæger sig aldrig med en fart større end 5 m/s.
C) Fra tiden
s til
s har partiklen bevæget sig strækningen 20 m.
D) I et tidsrum bevæger partiklen sig 5 m i negativ retning.
E) Undervejs er partiklens acceleration både +5 m/s2 og -5 m/s2.
F) Mellem
s og
s ligger partiklen stille.
G) Ved ikke
A) Ja, da vedkommende har bevæget sig siden t=0, men aldrig baglæns.
B) Aflæst på grafen bevæger den sig op til 10 m/s, så den overstiger altså 5 m/s.
C) Se ovenstående beregninger. Uanset hvad er det ikke sandt.
Man kan enten regne arealet under grafen som:
Eller benytte formlen,
D) Sandt.
E) Sandt.
F) Nej, den har stadig en hastighed.
Opgave 8 - En bil start T/2 før den anden bil. Hvor langt er bilerne fra hinanden
efter tiden T?
To biler holder stille ved siden af hinanden. Til tiden
acceleration, . Til tiden
begynder den ene bil at køre med konstant
starter den anden og kører i samme retning og med samme
acceleration som den første.
Hvor langt, , er de to biler fra hinanden til tiden
?
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I) Ved ikke
Løsning
Vi ønsker at benytte,
hvor
er lig med L.
Dette udtryk udtrykker længden ud fra tiden og accelerationen. Herefter må længden mellem de to biler
efter
svare til længden som den ene bil har tilbagelagt på
fratrukket den afstand, som den
anden bil har tilbagelagt på
- altså er den
bagud den anden bil.
Opgave 9 - En bil skal tilbagelægge en afstand ved at accelerere og dernæst
deaccelerere
En fjernstyret bil skal tilbagelægge en strækning på 500 m. Når bilen accelererer er størrelsen af
acceleration 1.00 m/s2. Når bilen bremser er størrelsen af dens acceleration 2.00 m/s2. Bilens maksimale
hastighed er 10.0 m/s. Bilen, der skal starte og slutte i hvile, skal tilbagelægge strækningen hurtigst
muligt.
a) Tegn en skitse af bilens fart som funktion af tiden.
b) Hvor lang tid tager det bilen at tilbagelægge strækningen?
Vi udregner først tiden, som det tager bilen at accelerere og dernæst deaccelerere. Med disse værdier kan
vi efterfølgende udregne den afstand, der er tilbage, og således hvilken tid bilen skal køre med konstant
hastighed for at tilbagelægge den afstand.
Først og fremmest benytter vi formlen,
Vi sætter
lig bilens maksimale hastighed, samt
og isolerer , hvormed,
Herefter udregner vi tiden, det tager, for bilen at accelerere ned til
,
Med denne formel finder vi den afstand, der på nuværende tidspunkt er tilbagelagt,
Accelereation:
Deacceleration:
Den resterende afstand der skal tilbagelægges med 10 m/s tager således,
Opgave 10 - Hvad er farten, som bolden kastes med når den når højden
?
En dreng kaster en hoppebold lodret ned i jorden med fart fra en højde . Bolden mister ikke energi
ved sammenstødet med jorden. Efter sammenstødet opnår bolden en højde . Bolden udfører kun lodret
bevægelse.
Hvad er farten,
, som bolden blev kastet med?
A)
B)
C)
D)
E)
F) Ved ikke
Løsning
Vi benytter hertil formlen,
da vi ikke ønsker at inddrage tiden. Herudover kan vi indsætte de kendte værdier,
hvortil tyngdeaccelerationen er negativ, da den skal trækkes fra startfarten
retningen af hastighed, hvormed vi beskæftiger os med farten.
Ligeledes er
, da bolden ved en højde
. Vi ser bort for
må stå stille.
Svaret er således D).
Opgave 11 - Hvor længe er atleten i højden h/2?
Når atleter hopper ser det nogle gange ud som om de hænger i luften nær toppunktet i deres bevægelse.
a) I hvor stor en brøkdel af tiden af hoppet er atleten i højden
Vi ønsker at benytte følgende udtryk
Vi siger her, at vi betragter vedkommende falde fra højden .
Først beregner vi den tid, det tager atleten at falde fra
til
.
Denne tid må være den samme tid, som det tager atleten fra hoppe fra
til .
Herudover har vi
, der må svare til den tid, det tager atleten at falde hele vejen fra
ligeledes hoppe fra 0 til , hvormed,
Vi har her, at hele hoppet må tage,
Hvormed
må udgøre:
til
, og
Opgave 12 - Farten ved centrum i en tunnel gennem Jorden.
I figuren nedenfor er vist en skitse af et tværsnit af Jorden (nord op, syd ned). Der er desuden vist en
tænkt, boret tunnel der forbinder Nord- og Sydpolen. Jordens radius er .
Hvis en sten slippes på Nordpolen hvad er da dens fart når den når centrum af jorden, hvis man antager
at tyngdeaccelerationen inde i jorden er konstant lig med ?
Inde i jorden er tyngdeaccelerationen ikke konstant, men afhænger af positionen, , og er givet ved
udtrykket
, hvor
er målt ud fra den viste -akse der har nulpunkt i Jordens centrum.
Vi ønsker ikke at inddrage tid, hvormed,
Hertil sætter vi
, da vi regner fra centrum og ud af således, at
Farten må dog have sin maksimale værdi, når
lig udtrykkes maksimale værdi, som må være
, så for at vende udtrykket om, indføres en konstant
.
Således vil udtrykket ved Jordens centrum være lig,
______________Pas
starter lig nul.
I det næste spørgsmål skal følgende omskrivning, der benytter kædereglen, benyttes:
, så vi har, at
.
b) Hvis en sten slippes på Nordpolen hvad er de dens fart når den når centrum af jorden? For at
løse problemet skal ovenstående omskrivning benyttes. Indsæt udtrykket for accelerationen
og integrerer på begge sider med indsatte grænser for og .
Kursusgang 4 (Kapitel 3)
Hastighed
Sted
&
Acceleration
i 3D
Hastighed
Acceleration
I 2D og 3D er det muligt at have acceleration uden farten
ændres:
Projectile
Motion
Stedfunktioner:
Hastighedsfunktioner
Jævn &
Når en partikel bevæger sig med konstant fart v i en cirkel
Ujævn
med radius R, så er dens acceleration peget indad mod centrum
Cirkelbevæg af cirklen og vinkelret på . Den er givet ved,
else
Da
, kan accelerationen også skrives som,
Hvis farten ikke er konstant i en cirkelbevægelse (ujævn
cirkelbevægelse), så er der udover den radielle acceleration,
også tangential komposant af . Denne er lig,
Relativ
Hastighed
Når et objekt P bevæger sig relativt til et objekt (eller
referenceramme) B, og B bevæger sig relativt til et objekt
(eller referenceramme) A, så udtrykker vi hastigheden af P
relativt til B ved
, og hastigheden a B relativt til A med
.
(relativ hastighed langs en linje)
(relativ hastighed i rummet)
Eksempler?
Lineær Bevægelse (til forelæsningen)
Vejlængde er den absolutte længde, der er tilbagelagt.
Forskydning er