Elevopgave
Grænseværdi
For at kunne forklare grænseværdi er det nødvendigt med eksempler, og hermed definere
hvad grænseværdi er.
≠ = må ikke være lige med
∞ = uendelig
∈ = tilhører
→ = går imod
lim = grænseværdien
lim = grænseværdien for f(x) når x går mod uendelig.
x→∞
Man betragter f.eks. funktionen
1
x²
som er defineret for x ≠ 0.
Grafens forløb antyder, at jo større x-værdien er, jo mere vil funktionsværdierne f(x) nærme
sig værdien 0. Samme situation gælder når x-værdierne gøres mindre, dvs. jo mere xværdierne nærmer sig -∞, jo nærmere er f(x) værdien 0. Dette også illustreret i tabellen
foroven, hvor funktionsværdier hørende til større og større x-værdier er beregnet, og er
hermed med til at bekræfte iagttagelsen af figuren.
f(x) går altså mod 0, når x-værdierne går mod uendelige:
f(x) → 0 når x → ∞ og tilsvarende kan man skrive f(x) → 0 når x → -∞
Tallet 0 er funktionens grænseværdi og x → ∞ er en grænseovergang. Men f(x) → 0 når x → ∞
kan også skrives som: lim
f(x) = 0 (grænseværdien af f(x), når x går mod uendelig, er 0).
x→∞
Tilsvarende kan man skrive: lim f(x) = 0.
x →- ∞
Matematik b-niveau
Niels Brock
1
Elevopgave
Herudover kan man også ved aflæsning af grafen se at jo nærmere x er på 0, jo større værdier
antager f(x), og dette gælder, uanset om x nærmer sig 0 gennem negative (fra venstre) eller
positive (fra højre) værdier.
Resultat udtrykkes således:
f(x) → ∞ når x → 0
Grænseovergangen x → 0 = man skal kunne nærme sig 0 fra både venstre og højre.
Grænseværdien skal være et tal, derfor kan man ikke bruge skrivemåden lim f(x) = ∞, da ∞
x→∞
ikke er et tal.
Eksempler på grænseværdier1
Undersøg ved hjælpe af skitser af grader de to ”grænseværdier” lim f(x) og lim f(x), når f(x) er
1
en af følgende funktioner: , x², x³, eˣ og e⁻ˣ.
x
f(x) =
1
x
f(x) → 0 når x → ∞
f(x) → 0 når x → - ∞
f(x) = x²
f(x) → ∞ når x →∞
1
f(x) → ∞ når x → - ∞
hhx MAT B side 112 øvelse 1
Matematik b-niveau
Niels Brock
2
Elevopgave
f(x) = x³
f(x) → ∞ når x → ∞
f(x) → - ∞ når x → - ∞
f(x) = ex
f(x) → ∞ når x → ∞
f(x) → 0 når x → - ∞
f(x) = e-x
f(x) → 0 når x → ∞
f(x) → ∞ når x → - ∞
Grænseværdier fra højre og fra venstre
f(x) =
1
x
Som det tidligere er blevet bestemt at
funktionsværdierne nærmer sig 0. når x går mod
uendelig eller minus uendelig. Man kan se i dette
tilfælde (når x → ∞) nærmer funktionsværdierne
sig 0 gennem positive værdier, og i det andet
tilfælde (når x → -∞) nærmer funktionsværdierne
sig 0 gennem negative værdier. Dette kan skrives
således:
f(x) → 0+ når x → ∞
f(x) → 0- når x → -∞
Det lille indeks ved 0 ( + eller - ) fortæller, om f(x) nærmer sig 0 gennem positive (→ 0+) eller
gennem negative (→ 0-) værdier.
Matematik b-niveau
Niels Brock
3
Elevopgave
Funktionen er ikke defineret for x = 0, men af dens grad får man et indtryk af, hvordan denne
funktion opfører sig, når x nærmer sig 0. Funktionen antager forskellige ”grænseværdier”, når
x nærmer sig 0 gennem positive og negative værdier:
f(x) → ∞ når x → 0+ (x nærmer sig 0 fra højre)
f(x) → -∞ når x → 0- ( x nærmer sig 0 fra venstre)
Kontinuitet
Når en funktion er kontinuert er, hvis funktionens graf er sammenhægende. Når man kan
tegne grafen uden at løfte blyanten fra papiret, er funktionen kontinuert.
Hvis man har to forskellige x-værdier (x1 og x2) er der altid én funktionsværdi.
Definition af kontinuitet2
Man kan definere kontinuitet ud fra et
enkelt punkt, altså en x-værdi som betegnes
med x0 som kan ses på tegningen til venstre
hvor grafen for en kontinuert funktion er
tegnet. x0 er markeret på x-aksen. Se man
på x-værdierne der ligger omkring x0 og
hvis man lader disse værdier nærme sig x0,
kan man se på grafen af funktionen f at de
tilhørende funktionsværdier vil nærme sig
funktionsværdien for f(xo). Denne egenskab
er indholdet af begrebet kontinuitet.
En funktion f siges at være kontinuert i xo,
hvis x0 tilhører definitionsmængden(Dm(f))
for f og lim f(x) = f(x0)
Hvis funktionen f er kontinuert i ethvert
punkt af sin definitionsmængde, sige f at
være kontinuert.
2
hhx MAT B side 115-116
Matematik b-niveau
Niels Brock
4
Elevopgave
Eksempler på kontinuitet
Til venstre ses nogle eksempler på forskellige
funktioner.3
Bestem hvilke af funktioner der er kontinuert og
hvad for nogen som ikke er.
Det er kun a som er en kontinuert funktion – da
den er den eneste som er sammenhængende hele
tiden. De andre er skilte hvilke о på graferne
indikerer.
f(x) =
1
x−1

f(x) → ∞
x → 1+
(højre tilgang)
(Man tager nogle x-værdier og laver dem om til tal. Hvis x er større end 1, er fortegnet positivt.)
f(x) → -∞
x → 1(venstre tilgang)
5
g(x) = x−1 
Højre tilgang:
f(x) → ∞
x → 2+
Venstre tilgang:
f(x) → -∞
x → 2-
3
Hhx MAT B side 117 øvelse 4
Matematik b-niveau
Niels Brock
5
Elevopgave
Differentialkvotient
f ´(x) = tangentsstigningstal = mærke af differentialkvotient= f mærke af x
Definition af differentialkvotient
En funktion f kaldes differentiabel, hvis dens graf er sammenhængende og glat. Igennem
ethvert punkt (x ; f(x)) på en differentiabel funktions graf kan der tegnes en tangent og kun en,
hvis hældning kaldes funktionens differentialkvotient og betegnes f ’(x) (f mærke af x).
Starter med at betragte en tilfældig valgt graf for en funktion. Et tilfældigt sted på grafen
indsætter man et punk i dette tilfælde
kaldes punktet P. Med udgangspunkt i
dette punkt ligger man er retlinie der i
en hvis forstand tangerer grafen
(ligger sig op af grafen) og rør kun
grafen i punktet P. Den rette linie
kaldes en tangent og det er dens
hældning som man vil finde (den blå
linie på figuren til venstre).
Differentialregning går ud på at finde
hældningen på tangenten.
I det punkt som er valgt er der en
første koordinat som man benævner
med x og en anden koordinat som
benævnes med f(x) dvs. punktet P’s
koordinaterne er (x, f(x)). Når man skal
finde hældningen på tangenten ved
man fra matematik c lineærfunktioner, at man skal kende to punkter for at finde hældningen
på en retlinie:
𝑦₂−𝑦₁
𝑥₂−𝑥₁
. Indtil videre er der kun et punkt, for at finde det andet indlægger man en
ny linie som går igennem et andet punkt på grafen. Denne linje kaldes for en sekant og går
igennem to punkte som man kender på grafen. Hermed kan sekantens hældning beregnes.
Første koordinaten i det nye punkt kaldes for x + ∆x og hermed kommer anden koordinaten
til at hedde f(x + ∆x)
∆x er altså afstanden nede på x-aksen mellem de to første koordinater, og på samme måde har
man altså en afstand mellem de to andre koordinater. Denne afstand kaldes ∆y = ∆f. Nu kan
man skrive et udryk op for sekantens hældning. Ved fra tidligere at når man har to punkter på
en retlinie, hvilket vi jo har, så kan man bestemme linjens hældning, som forskellen mellem de
to y-værdier altså ∆y divideret med forskellen mellem de to x-værdie altså ∆x, sekantens
hældning beregnes altså som
∆y
∆y
udfra grafen kan det ses at ∆x =
∆x
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
og nede i
nævneren beholder man ∆x (x + ∆x – x = ∆x) Dette udtryk er det man bruger når man skal
finde sekantens hældning. Havde man valgt at ligge sekanten tættere på det oprindelige
Matematik b-niveau
Niels Brock
6
Elevopgave
punkt, ville første koordinaten og anden koordinaten hedde det samme på trods af at
afstanden er blevet mindre end før. Sekanten er kommet lidt tættere på tangenten med andre
ord, dens hældning er kommet tættere på den hældning der er på tangenten. Hermed kan man
nu lave en metode til at bestemme tangentens hældning, selvom tangenten kun går igennem
et enkelt punkt.
Tangents hældning/stigningstal kaldes og f ’(x) (f mærke af x). Den findes ved at tage
sekantens hældning og se hvad der sker med den når ∆x (alstå afstanden ned på x-aksen)
bliver mindre og mindre rent faktisk skal den blive uendelig tæt på 0 (∆x  0) det kan den
kun blive hvis det punkt som sekanten går igennem kommer tættere og tættere på tangenten
punktet. Så vil sekantens hældning
nærme sig tangentens hældning mere og
mere og til sidst, vil de to linjer være
sammenfaldende. Så i en hvis forstand
kan man sige at sekanten ender oven i
tangenten, dvs. sekantens hældning
kommer uendeligt tæt på tangentens
hældning når ∆x bliver uendelig lille.
Man siger også at sekantens hældning
skrevet ved denne formel
∆y
∆x
=
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
går imod f ’(x) som jo var tangents
hældning, når ∆x bliver uendelig lille.
Dette kan skrives som:
∆y
f ’(x) = lim (∆x) (er det samme som
∆x → ∞
grænseværdien af sekantens hældning.)
Sekantens hældning nærmere sig mere og mere når afstanden mellem de to punkter bliver
uendelig lille. Hermed har man nu et redskab til at bestemme tangent hældninger.
Man bruger differentialregning til at undersøge hvordan kurver opfører sig og bevæger sig.
For at en funktion skal være differentiabel må den ikke være brudt eller have et knæk på sig,
som ses på tegninger nedenfor.
Sammenfatning: En differentiabel funktions graf er både sammenhængende og glat. Dermed
er enhver differentiabel funktion kontinuert, mens det omvendte ikke er tilfældet.
Matematik b-niveau
Niels Brock
7
Elevopgave
Tre-trins reglen
Man bruger tre-trins reglen til at bestemme differentialkvotienter for en række
grundlæggende funktioner, de funktioner man kalder elementære funktioner.
Tre-trins reglen siger noget om hvor stor tilvæksten er på y-aksen.
1. Opskrive differenskvotienten
𝑦₂ − 𝑦₁
2. Reducere differenskvotienten mest muligt (find stigningstallet, hvis formel er identisk 𝑥₂ −𝑥₁ )
3. Bestem grænseværdien:
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x)
2.
∆𝑦
∆𝑥
=
3. lim
𝑓(𝑥+∆𝑥) – 𝑓(𝑥)
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
Tilvæksten på y-aksen
Stigningstallet for sekanten.
∆𝑦
Tangentens stigningstal (
∆𝑥
→ f ’(x) når ∆x → 0)
∆x → 0
Eksempel på tre-trins reglen45
Bestem differentialkvotienten for x = 1, dvs.
hældningen på grafens tangent i punktet
P(1;1). Ved grafisk aflæsning finder man, at
∆𝑦
6
tangenthældningen er ∆𝑥 = 3 = 2. (Det
fremkommer også ret tydeligt af grafen at
man går en ud og to op.) Men da man ikke
kan værre sikke på at finde den eksakte
værdi, ved grafisk aflæsning, da det pga. af
aflæsningsunøjagtigheder ikke er muligt at
skelne mellem hældninger som 2, 2,01 eller
1,98.
For at for den eksakte værdi bruges tre-trins
reglen.
4
5
hhx MAT B side 128 eksempel 2
hhx MAT B side 130 eksempel 3
Matematik b-niveau
Niels Brock
8
Elevopgave
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x)
Indsætter x =1 i differenskvotienten
= f(1+∆x) – f(1)
= (1+∆x)² -1²
Indsætter 1 + ∆x og 1 på x’s plads i regneforskriften f(x) = x²
Udregner parentesen (1 + ∆x)² efter kvadratsætningen: (a+b)²
= a² + 2ab + b²
= 1 + 2·∆x +(∆x)² - 1
2.
∆𝑦
∆𝑥
=
1+2·∆𝑥+(∆𝑥)2 − 1
∆𝑥
= 2 + ∆x
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
Putter 1 + 2 · ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 1 ind på ∆y’s plads.
Reducere tælleren ved at de to 1 tal går ud med hinanden og dividere
hvert led i tælleren med ∆x
= 2 + ∆x → 2 når ∆x → 0
Bestemmer grænseværdien af
∆𝑦
∆𝑥
, når ∆x → 0
f ’(x) = 2, dvs. at tangentens hældning er 2 i x = 1.
Differentiale kvotienter af elementære funktioner
f(x) = x² (konkret funktion)
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x)
∆y = (x + ∆x)² - x²
∆y = x² + (∆x)² + 2x∆x – x²
Indsætter x + ∆x og x hver for sig på x’s plads på højre side i
forskriften f(x) = x²
Udregner parentesen (x + ∆x)² efter kvadratsætningen: (a+b)²
= a² + b²+ 2ab
Reducere ved at lade de to x² gå ud med hinanden
∆y = (∆x)² + 2x∆x
2.
∆𝑦
∆𝑥
=
Erstatter ∆y med (∆x)² + 2x∆x
(∆𝑥)2 + 2·𝑥·∆𝑥
∆𝑥
Dividere hvert led i tælleren med ∆x
= ∆x + 2x
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
Bestemmer grænseværdien af
=
∆𝑦
∆𝑥
, når ∆x → 0
∆x → 0
f ´(x) = 2x
f(x) = x² er altså differentiabel i x, og at differentialkvotienten er f ’(x) = 2x. Da man kan
gennemføre denne argumenentation for alle relle værdier af x, er f(x) = x² en differentiabel
funktion, og for ethvert x ∈ ℝ, er differentialkvotienten f ’(x) = 2x.
Eksempler: x= 2 ; f ’(2) = 2 · 2 = 4
x =-3 ; f ’(-3) = 2 · (-3) = -6
Matematik b-niveau
Niels Brock
9
Elevopgave
Vil vise at 2. gradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c er differentiabel i ethvert x ∈ ℝ med
differentialkvotienten f ’(x) = 2ax + b
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x)
∆y = a(x + ∆x)²+ b(x + ∆x) +c – (ax² + bx + c)
Indsætter x + ∆x og x hver for sig på x’s plads på
højre side i forskriften f(x) = ax²+bx+c
Udregner (x + ∆x)² vha. (a+b)² = a² +b² +2ab.
Hæver plus- og minus parenteserne ²+bx+c
∆y = a(x² + (∆x)²+ 2x∆x) + bx + b∆x +c – ax² - bx - c
Ganger a ind i parentesen
∆y = ax² + a(∆x)²+ 2ax∆x + bx + b∆x +c – ax² - bx - c
Reducere
∆y = ax² + a(∆x)²+ 2ax∆x + bx + b∆x +c – ax² - bx – c
∆y = a(∆x)²+ 2ax∆x + b∆x
Indsætter a(∆x)²+ 2ax∆x + b∆x på ∆y’s plads
2.
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑎(∆𝑥)²+ 2𝑎𝑥∆𝑥 + 𝑏∆𝑥
∆𝑥
Dividere hvert led i tælleren med ∆x
= a∆x+ 2ax + b
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
=
∆𝑦
∆𝑥
∆x → 0
f ´(x) = 2ax + b
Da grænseværdien af
∆𝑦
∆𝑥
= a∆x + 2ax + b → 2ax + b når ∆x → 0
for ∆x → 0 eksisterer, er funktionen f(x) = ax² + bx + c differentiabel i
x med differentialkvotienten f ´(x) = 2ax + b, og da dette gælder for ethvert fast x ∈ ℝ, er f(x) =
ax² + bx + c differentiabel i ethvert x ∈ ℝ med tilhørende differentialkvotienten f ´(x) = 2ax + b.
Eksempel: f(x) = 2x² + 3x – 5
f ’(x) = 2 · 2x +3 = 4x + 3
f(x) = ax + b (lineære funktion)
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x)
∆y = a(x + ∆x) + b – (ax + b)
∆y = ax + a∆x + b – ax - b
∆y = a∆x
2.
∆𝑦
∆𝑥
=
Indsætter x + ∆x og x på x’s plads i forskriften f(x) = ax +b
Ganger a ind i parentesen og hæver minusparentesen
Reducere
Indsætter a∆x på ∆y’s plads
𝑎∆𝑥
∆𝑥
Dividere hvert led i tælleren med ∆x
=a
Matematik b-niveau
Niels Brock
10
Elevopgave
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
=
∆𝑦
∆𝑥
∆x → 0
f ´(x) = a
= a når ∆x → 0
* Man kunne have undladt denne beregning da, man ved fra c-niveauet at a i en lineær
funktion = stigningstallet på en retlinie dvs. tangenten.
Regelen man bruger til at differentiere
Funktionerne f(x) = xⁿ, hvor x ∈ ℝ og n ∈ ℕ, er differentiable med differentialkvotienten:
f ’(x) = nxⁿ⁻¹
Eksempler på reglen f ’(x) = nxⁿ⁻¹
f(x) = x7
f(x) = x -5
f ’(x) = 7x6
f ’(x) = -5x -6
f(x) = x8
f(x) = x -8
f ’(x) = 8x7
f ’(x) = -5x -9
Samlet differentialkvotienter for elementære funktioner
f(x)
f ’(x)
K
0
Definition af en tangent
X
1
Tangenten fortæller noget om
x²
2x
hvordan stigningstaller
x³
3x²
stiger/vokser eller hvorden
2x
2
stigningstallet falder. En tangent
3x
3
er en ret linie i et
xⁿ, n ∈ ℕ
nxⁿ⁻¹
koordinatsystem som skærer
ax + b
A
grafen i et punkt
ax² + bx + c
2ax + b
𝟏
𝐱
= x⁻¹
1
− x² = -x⁻²
𝟏
√𝐱 = 𝐱 𝟐
eˣ
𝟏
𝒙²
𝟐
𝟏
𝒙³
𝟑
𝟏
𝒙⁴
𝟒
𝟏
𝒙³
𝟐
𝟏
𝒙⁴
𝟑
Matematik b-niveau
1
2√
1 1
= x2
x 2
eˣ
X
x²
x³
3𝑥²
𝟐
4𝑥³
𝟑
Når man differentierer skal man gøre det med hvert
led for sig.
Ud fra de fastlagte differentialkvotienter for
elementære funktioner som lige er blevet
gennemgået kan man teste om kan bruge tre-trins
regelen.
f(x) = ax² +bx + c
f ’(x) = 2ax + b
Hermed kan man se at
man godt kan bruge tre-trins regelen.
Niels Brock
11
Elevopgave
Eksempler på differentialkvotienter for elementære funktioner
f(x) = 2x³ + 4x⁻⁵ + 7x² – 3
f ’(x) = 6x² + 20x⁻⁶ + 14x
g(x) = k · f(x)
g(x) = k · f ’(x)
1
f(x) = 2√𝑥 + 𝑥 4 – 2x
f ’(x) =
f(x) = 4x⁶ + 2x⁷ - 3x – eˣ
f ’(x) = 24x⁵ + 14x⁶ - 3 + eˣ
1
√𝑥
1
+ 𝑥
4
−3
4
-2
g(x) = 3eˣ - 3√𝑥 + 2x⁷
g(x) = 2 · √𝑥
g’(x) = 2 · 2
1
√𝑥

2
2√

𝑥
1
√𝑥
g’(x) = 3eˣ -
1,5
√𝑥
+ 14x⁶
På lommeregneren
home→
F3→
1: d( differentiate →
d(indstats funktionen , x)
Ligning for en tangent
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀) = ligningen for tangenten i røringspunktet x₀ og y₀ til funktionen f(x)
(metode 1)
Definition6
Ved tangenten til grafen for en differentiabel funktion i punktet P(x₀ ; f(x₀)) forstås den rette
linie, de har hældningen f ’(x₀), og som går gennem punktet P.
Starter med at tegne grafen til en
tilfældig valgt funktion f, og i et givet
punkt markeret på tegningen, vil man
gerne bestemme ligningen for den
tangent der gå igennem punktet.
Med ligningen menes der at man skal
bestem a og b, altså hældning og
skæringen med y-aksen i den rette
linjens ligning y = ax + b. Punktet der
er valgt er et fast punkt og man kalder
førstekoordinaten for x₀ og dermed
kommer anden koordinaten til at
hedde f(x₀). For at bestemme
tangentens hældning ved man at man
skal have to punkter på grafen og derfor vælger man et andet tilfældigt punkt. Dette punkt har
førstekoordinaten x og andenkoordinaten y (man kunne have valgt det et tredje, eller fjeder
sted osv. dvs. det er altså et helt tilfældigt valgt punkt). Man ved at forskellen på de to første
koordinater er ∆x og forskellen på de to anden koordinater er ∆y.
6
hhx MAT B side 138 definition 3
Matematik b-niveau
Niels Brock
12
Elevopgave
Hældningen på den rette linje er:
∆𝑦
a = ∆𝑥 som er det samme som
𝑦−𝑓(𝑥 0 )
𝑥−𝑥₀
(kan ses på tegningen) = ved at hældningen på den rette
linje er det samme som f mærke i punktet altså f ’(x₀) vist tidligere at en lineære funktion har
differentialkvotienten a altså ligningens hældning.
∆𝑦
a = ∆𝑥 =
𝑦−𝑓(𝑥₀)
𝑥−𝑥₀
= f ’(x₀)
Vil nu isolerer y, for at finde tangentens ligning.
𝑦−𝑓(𝑥₀)
𝑥−𝑥₀
= f ’(x₀)
f ’(x₀) = tangentens hældning
f(x₀) = y-værdien i punktet
x₀ = x-værdien i punktet
x = det variable x der altid indgår i en
forskrift.
ganger med x − x₀ på begge sider
y - f(x₀) = f ’(x₀) ∙ (x −x₀)
ligger f(x₀ )på begge sider
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
Punktet P kaldes tangentens røringspunkt
Eksempler
f(x) = x²
f(x) = x²
(x ; f(x₀))
(x ; f(x₀))
(1 ; f(1))
(3 ; f(3))
x₀ = 1
x₀ = 3
f(x₀) = f(1) = 1² = 1
f(x₀) = f(3) = 3² = 9
f ’(x) = 2x
f ’(x₀) = f ’(1) = 2 ∙ 1 = 2
f ’(x) = 2x
f ’(x₀) = f ’(3) = 2 ∙ 3 = 6
y = 2 ∙ (x – 1) + 1 
y = 6 ∙ (x – 3) + 9 
y = 2x – 2 +1 
y = 6x – 18 +9 
y = 2x -1 = røringspunktet.
y = 6x −9 = røringspunktet.
Tangenten gennem punktet P(1 ; f(1)), har
altså ligningen y = 2x – 1, dvs. Hældningen
er 2 og y-aksen skæres i -1.
Tangenten gennem punktet P(3 ; f(3)), har
altså ligningen y = 6x – 9, dvs. Hældningen
er 6 og y-aksen skæres i -9.
På lommmeregneren
Y =→
Matematik b-niveau
indstast f(x)→
graph→
Niels Brock
F5→
tangent → indtast x-værdien
13
Elevopgave
Gøre rede for at y = 4x – 2 er tangent til grafen for f(x) = x² + 2 i røringspunktet (2 ; f(6))
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
f ’(x) = 2x
f ’(x) = f ’(2) =2 · 2 = 4
y = 4 · (x – 2) + 6 
y = 4x – 8 + 6 
y = 4x - 2
Bestem i hvert tilfælde en ligning for tangenten til grafen for funktionen i det angivne punkt
1
f(x) = - 2x² + 4x + 2
1
P(2 ; 8)
f(x) = - 2x² + 4x -3
f ’(x) = - x + 4
f ’(x₀) = f ’(2) = -2 + 4 = 2
f ’(x) = - x + 4
f ’(x₀) = f ’(2) = -4 + 4 = 0
y = 2 · (x – 2) + 8 
y = 0 · (x – 4) + 5 
P(4 ; 5)
y=5
y = 2x – 4 +8
y = 2x + 4
1
f(x) = - 2x² + 2x + 2
Y =- ½x² + 2x + 2→
P(4 ; 2)
graph→
F5→
A:tangent → 4 enter
y = -2x + 10
Bestem værdien af a, så følgende funktion er kontinuert :
f(x) =
-x² + 2x + 4
ax – 2
for x < 4
for x ≥ 4
(De skal have et fælles punkt) Her skal y-værdien findes (4 ; y)
-4² + 2 · 4 + 4 = 4a – 2 
-16 + 8 + 4 = 4a -2
-4 = 4a – 2
-2 = 4a
Matematik b-niveau
Niels Brock
14
Elevopgave
1
a = -2
Bestemmels af ligningen for den tangent til grafen f, der er parallel med linjen 𝓵
(medtode 2)
Når man skal bestemme lingningen for en tangent med en bestem hældning eller gennem et
punkt, der ikke ligger på grafen, kender man ikke røringspunkttets koordinater, og man skal
derfor finde x₀ til røringspunktet, som det første.
Eksempel og forklaring på metode 2
f(x) = x² + 2x – 3
Givet linje (ℓ) : y = -4x + 2
Toppunkt : (
−2
,
2𝑎 4𝑎
)
= -1
2
−16
4
−𝑏 −𝑑
= -4
På lommeregneren TI-89 :
Y = x² + 2x – 3 →
graph→
F5→
3: Minimum
T = (-1 ; -4)
Nulpunkter :
−𝑏±√𝑏²−4𝑎𝑐
−2±√2²−4·1·(−3)
2·1
2𝑎

−2±√4+12
2

−2±√16
2

−2±4
2
1
-3
På lommeregneren TI-89 : solve(x² + 2x -3 = 0, x)
x = -3 ⋁ x = 1
Man kan nu bestemme tangens røringspunkt for
den blå linje. Har samme hældningstal.
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
x₀ = -3
f ’(x) = 2x +2
f ’(x₀) = f(-3) = (2 · (-3)) +2 = -4
f(x₀) = f(-3) = -3² + (2 · (-3)) −3 = 0
y = -4 (x + 3) 
y = -4x −12
Matematik b-niveau
Niels Brock
15
Elevopgave
Røringspunkten for grafen for den blå linje er
(-3 ; 0) og tangentens ligning er y = -4x – 12
Eksempler på metode 27
1
f(x) = 2x² - 8
Givet linje (ℓ) : y = -4x
Topunkt :
Anv. TI-89  graph funktionen :
3,41 · 10⁻³⁸ 0 = næsten 0
T = (-3,41E-38 ; -8) ≈ (0 ; -8)
Nulpunkter :
Anv. TI-89  solvefunktionen :
1
solve(2x² - 8 = 0, x)
x = -4 ⋁ x = 4
(-4 = stigningstal)
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
x₀ = -4
f ’(x) = x
f ’(x₀) = f(-4) = -4
1
f(x₀) = f(-4) = (2 · (-4)²) – 8 = 0
y = -4 (x + 4) 
y = -4x −16
Røringspunkten for grafen for den lilla linje er
(-4 ; 0) og tangentens ligning er y = -4x – 16
7
hhx MAT B side 144 øvelse 22
Matematik b-niveau
Niels Brock
16
Elevopgave
a) Tegn grafen for funktionen f(x) = -𝑥² + 4𝑥 −5
Anv. TI-89 graph funktionen
b) Bestem ligning for tangenten gennem røringspunktet
𝑥₀ f(𝑥₀)
P(1, -2)
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
x₀ = 1
f ’(x) = -2x + 4
f ’(x₀) = f ’(1) = -2 · 1 + 4 = 2
f(x₀) = f(1) = -1² + 4 ·1 - 5 = -2
y = 2 (x - 1) - 2 
y = 2x – 4
På lommeregneren :
Y = x² + 4x – 5 →
graph→
F5→
A↓ Tangent
indsætter x-værdien 1
c) Bestem ligningen for den tangent til grafen for f, der er parallel med linien ℓ y = -2x
Topunkt :
Anv. TI-89  graph funktionen :
T = (2 ; -1)
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
1. Find f ’(x)  f ’(x₀)
f ’(x) = -2x + 4 = -2 (sætter -2 ind, fordi
y = -2x og a = stigningstallet.)
(x₀) = solve(-2x + 4 = -2, x) 
(x₀) = 3 = (x₀)
f ‘(x₀) = -2 · 3 + 4 = -2
2. Find f(x₀)
f(3) = -1 · 3 + 4 · 3 – 5 = -2
Matematik b-niveau
Niels Brock
17
Elevopgave
y = -2(x - 3) -2
y = -2x +4
Bestem ligningen for tangenten til grafen for f(x) = x² – 2x – 3 gennem røringspunktet R(2 ; -3)
x₀ ; f(x₀)
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
x₀ = 2
f ’(x) = 2x – 2
f ’(x₀) = f ’(2) = 2 · 2 – 2 = 2
y = 2 (x – 2) – 3 
y = 2x – 4 – 3
y = 2x – 7
Bestem ligningen for den tangent til grafen for f, der er parallel med linien ℓ y = -4x
Topunkt :
Anv. TI-89  graph funktionen :
T = (1 ; -4)
y = f ’(x₀) ∙ (x −x₀) + f(x₀)
1. Find f ’(x)  f ’(x₀)
f ’(x) = 2x – 2 = -4
f(x₀) = solve(2x – 2 = -4, x) 
f(x₀) = -1 = (x₀)
2. Find f(x₀)
f(-1) = 1 · (-1)² – 2 · (-1) – 3 = 0
y = -4(x + 1) 
y = -4x –4
Matematik b-niveau
Niels Brock
18
Elevopgave
Regneregler for differentialkvotienter
f(x)
f ´(x)
(√𝑥 )¹ = 𝑥
=
1
2
1
2√𝑥
1
1
= 2 𝑥 −2
(xa)
=
ax a-1
bxa
=
b · ax a-1
(eˣ)¹
=
eˣ
(ax + b)¹
=
A
(f ± g)
=
f ´± g´
1
= 𝑥⁻¹
𝑥
=
- 𝑥² = -𝑥⁻²
eˣ
=
eˣ
1
Konstant gange en funktion
hx = k · f(x)
f(x) er en differentiabel funktion og k er en konstant (dvs. et tal). Da er funktionen hx = k · f(x)
differentiabel og differentialkvotienten er h´(x) = k · f ´(x).
Besvis
Bruger tre-trins reglen til beviset
1. ∆y = f(x+∆x) – f(x) 
∆y = h(x+∆x) – h(x) 
erstatter f med h da funktion hedder h(x) og ikke f(x)
h = h(x) = k · f(x) – erstatter h med k · f(x)
∆y = k · f(x+∆x) –k · f(x) 
sætter k udenfor parentesen
∆y = k · (f(x+∆x) – f(x))
2.
∆𝑦
∆𝑦
∆𝑥
=
∆𝑥
=
𝑓(𝑥+∆𝑥) – 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑘 ·(𝑓(𝑥+∆𝑥)– 𝑓(𝑥))
∆𝑥
∆y = k ·
3. lim
bruger regnereglen
𝑛· 𝑚
𝑖
=n·
𝑚
𝑖
(𝑓(𝑥+∆𝑥)– 𝑓(𝑥))
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑥
=k·
(𝑓(𝑥+∆𝑥)– 𝑓(𝑥))
∆𝑥
= h´(x) = k · f ´(x)
∆x → 0
Matematik b-niveau
Niels Brock
19
Elevopgave
Grænseværdien for k vil altid være k
Eksempler på formlen for en konstant · funktion
h´(x) = k · f ´(x)
h(x) = 4 𝑥³
k=4
f(x) = 𝑥³
h´(x) = 4 · 3 𝑥² = 12𝑥²
5
h(x) = 2√𝑥
h´(x) = 2 · 2
1
√
1· 2
1
√
√𝑥
=
𝑥 2
=
𝑥
h(x) = 𝑥
1
1
𝑥
𝑥²
h´(x) = 5 · = –5 ·
=–
h(x) = 2 𝑥³
h(x) = 3𝑥⁻¹
h´(x) = 2 · 3𝑥² = 6𝑥²
h´(x) = 3 · -1𝑥² = -3𝑥²
h(x) = -4 𝑥²
h(x) = -19𝑥²
h´(x) = -4 · 2𝑥 = -8 𝑥
h´(x) = 19 · 2𝑥 = 38𝑥
5
𝑥²
= –5𝑥⁻²
Sumreglen (differensreglen)
h´(x) = f ´(x) + g´(x) (der kunne lige så godt have stået minus, da det er det samme bevis)
f og g er to differentiable funktioner med samme definitionsmængde. Da er sumfunktionen
h(x) = f(x) + g(x) også differentiabel og der gælder, at h´(x) = f ´(x) + g´(x)
Besvis
Udgangspunkt i tre-trins reglen til beviset
1. ∆y = h(x+∆x) – h(x) 
∆y = f(x+∆x) + g(x+∆x) –( f(x) + g(x)) 
opskriver funktionstilvæksten
indsætter f + g i stedet for h
hæver minus parentesen
∆y = f(x+∆x) + g(x+∆x) – f(x) – g(x)) 
∆y = f(x+∆x) – f(x) + g(x+∆x) –g(x) 
∆y = ∆𝑓 + ∆g
2.
∆𝑦
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑥
=
=
∆𝑓
∆𝑥
ombytter de to midterste led – rækkefølgen er lige meget
benytter, at ∆f = f(x+∆x) – f(x) og at ∆g = g(x+∆x) – g(x)
∆𝑓+∆g
∆𝑥
+
dividere begge led i tælleren med ∆𝑥
∆𝑔
∆𝑥
ved fra definitionen af differentialkvotienter
sammen som f ´(𝑥)
Matematik b-niveau
Niels Brock
∆𝑓
∆𝑥
er det
20
Elevopgave
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
= f ´(x) + g´(x)
∆x → 0
Eksempler på sumreglen
h´(x) = f ´(x) + g´(x)
h(x) = 3𝑥⁷ + eˣ
h´(x) = 21𝑥⁶ + eˣ
h(x) = 2 - 𝑥⁴
h´(x) = -4𝑥³
h(x) = 2𝑥⁷ + 3𝑥³ - 4𝑥 + 1
h´(x) = 14𝑥⁶ + 9𝑥² - 4
h(x) = 𝑥⁴ - 𝑥³ - 2𝑥 +1
h´(x) = 4𝑥³ - 3𝑥² - 2
Produktreglen
h´(x) = f ´(x) · g(x) + f(x) · g´(x)
Differentierer et produkt altså en funktion der består af to funktioner der er gangen med
hinanden. f og g er to differentiable funktioner med samme definitionsmængde. Da er
produktfunktionen h(x) = f(x) · g(x) også differentiabel, og der gælder, at h´(x) = f ´(x) · g(x) +
f(x) · g´(x)
Bevis
Udgangspunkt i tre-trins reglen i beviset.
1. ∆y = h(x+∆x) – h(x) 
indsætter f · g i stedet for h
∆y = f(x+∆x) · g(x+∆x) – f(x) · g(x) 
En funktionsværdi af et tal uden for en
parentes kan ikke ganges ind i parentesen.
∆f = f(x+∆x) – f(x) kan omskrives til f (x+∆x) =
f(x) + ∆f (hvor man har lagt f(x) til på begge sider.)
∆y = (f(x)+∆f) +(g(x)+∆g) – f(x) – g(x) 
ganger parenteserne sammen
∆y = f(x) · g(x) + f(x) · ∆g +∆f · g(x) +∆f · ∆g − f(x) · g(x) 
reducere
∆y = f(x) · ∆g +∆f · g(x) +∆f · ∆g
2.
∆𝑦
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑥
=
=
opskriver differnskvotienten
𝑓(𝑥) · ∆𝑔 +∆𝑓 · 𝑔(𝑥) +∆𝑓 · ∆𝑔
∆𝑥
𝑓(𝑥) · ∆𝑔
∆𝑥
+
∆𝑓 · 𝑔(𝑥)
∆𝑥
+
∆𝑓
∆𝑥
· ∆g
oppe i tælleren er der tre led og man kan derfor dele
brøken op i tre dele.
I de tre led står tre sekant hældninger. I det første
led står sekantens hældning for g, nemlig
∆𝑔
∆𝑥
, og
derfor vil den brøk gå mod g’(x), det samme med de
andre brøker.
Matematik b-niveau
Niels Brock
21
Elevopgave
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑔
= f(x) ·
3. lim
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑥
+
∆𝑓
∆𝑥
· g(x) +
∆𝑓
∆𝑥
· ∆g
= f ´(x) · g(x) + f(x) · g´(x)
∆x → 0
har ombyttet de to led
∆g = g(𝑥 +∆𝑥) – g𝑥 
∆g = g(x) – g(𝑥) = 0
f ’(x) · 0 og derfor forsvinder det sidste
led.
f ´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) er grænseværdien af sekantens hældning når ∆𝑥 går mod 0.
Differentiere den første og gange den anden udifferentiere på + differentier den anden og
gange den første udifferentiere.
Eksempler på produktreglen
h´(x) = f ´(x) · g(x) + f(x) · g´(x)
f(x)
g(x)
h(x) = 2𝑥³ · √𝑥
gangetegnet indikerer at det er produktreglen der skal bruges
h´(x) =6𝑥² · √𝑥 + 2𝑥³ · 2
1
√𝑥
h(x) = eˣ · x⁷
h´(x) =eˣ · x⁷+ eˣ · 7x⁶
h(x) = (x² +1) · (x -2)
h´(x) =2x · (x -2) + (x² +1) · 1
h(x) = (x +1) · √𝑥
h´(x) =1 · √𝑥 + (x +1) ·
1
2√𝑥
1
h(x) = (x - 3) · 𝑥
1
h´(x) = 1 · 𝑥 + (x - 3) · (-x²)
h(x) = eˣ · 3x² + 2x - 1
h´(x) = eˣ · (3x² + 2x – 1) + eˣ · 6x + 2
Sammensatte funktioner
g(f(x)) = g af f af x
Eksempler på sammensatte
funktioner
f(x) = 2x
g(x) = x²
g(f(x)) = g(2x)  (2x)²  4x
f(f(x)) = f(x²)  2x²
Matematik b-niveau
Niels Brock
22
Elevopgave
h(x) = (x + 2)
Indre funktion: f(x) = x + 2
Ydre funktion: g(x) = x³
h(x) = (2x + 5)³
Indre funktion: f(x) = 2x + 5
Ydre funktion: g(x) = x³
h(x) = √𝑥 − 2
Indre funktion: f(x) = x - 2
Ydre funktion: g(x) = √𝑥
h(x) = (x² - 3)⁶
Indre funktion: f(x) = x² – 3
Ydre funktion: g(x) = x⁶
h(x) = ln(2x – 1)
Indre funktion: f(x) = 2x - 1
Ydre funktion: g(x) = ln(x)
Kædereglen
h(x) = g(f(x))
h´(x) = g´(f(x))· f ´(x)
h(x) = (2x + 2)²
i anden indikerer at det er sammensat funktion
Ydre funktion: g(x) = x²
g´(x) = 2x
Indre funktion: f(x) = 2x + 2
f ´(x) = 2
h´(x) = g´(f(x))· f ´(x)
h´(x) = 2 · (2x+2) · 2 
h´(x) = 4 · (2x+2)
h(x) = (10x)⁴
Ydre funktion: g(x) = x⁴
Indre funktion: f(x) = 10x
g´(x) = 4x³
f ´(x) = 10
h´(x) = g´(f(x))· f ´(x)
h´(x) = 4 · (10x³) · 10 
h´(x) = 40 · (10x³)
Potensreglen
f(x) = xᵃ
f ´(x) = a · xᵃ⁻¹
Potensfunktionen h(x) = x², x > 0, hvor a ∈ ℝ er et reelt tal, er differentiabel med
differentialkvotienten f ´(x) = a · xᵃ⁻¹
Bevis
Matematik b-niveau
Niels Brock
23
Elevopgave
Benytter omskrivningen h(x) = xᵃ = 𝑒 ln(𝑥ᵃ) = 𝑒 𝑎· ln(𝑥) så man kan opfatte h(x) som en
sammensat funktion med
Den ydre funktion: f(x) = eˣ
f ’ (x) = eˣ
Den indre funktion: f(x) = a · ln(x)
1
f ’ (x) = a · 𝑥
Beholder konstanten og differentiere på x
h´(x) = f ´(g(x)) · g´(x)
1
h´(x) = 𝑒 𝑎· ln(𝑥) · a · 𝑥 
1
Omskriver 𝑒 𝑎· ln(𝑥) = x a og a · = a · x⁻¹
𝑥
h´(x) = x a · a ·x⁻¹ 
Potensregelen xm · xn = xm+n
h´(x) = a ·xᵃ⁻¹
Brøkfunktion
𝑓(𝑥)
h(x) = 𝑔(𝑥) ; g(x) ≠ 0
h´(x) =
𝑓´(𝑥)·𝑔(𝑥)− 𝑓(𝑥)·g´(x)
(𝑔(𝑥))²
Laver ikke bevis for denne funktion, da vi har valgt at gennemgå produktregelen.
Eksempler
h(x) =
=f
𝑥²
(𝑥+2) = g
h´(x) =
𝑓´(𝑥)·𝑔(𝑥)− 𝑓(𝑥)·g´(x)
h´(x) =
2𝑥 ·(𝑥+2)− 𝑥²· 1
h´(x) =
2𝑥²+4 − 𝑥²
h´(x) =
h(x) =
(𝑔(𝑥))²
(𝑥+2)²
(𝑥+2)²
𝑥²+4
(𝑥+2)²


Grunden til det bliver x²: 2x² - x² = x²

Man skal aldrig lave om på nævneren
𝑥+1
(𝑥−1 )
h´(x) =
𝑓´(𝑥)·𝑔(𝑥)− 𝑓(𝑥)·g´(x)
h´(x) =
1 ·(𝑥−1)− (𝑥+1)· 1
(𝑔(𝑥))²
(𝑥−1)²
Matematik b-niveau

Niels Brock
24
Elevopgave
h´(x) =
𝑥−1−𝑥−1
(𝑥−1)²

−2
h´(x) = (𝑥−1)² Dm(h) = ℝ/ {+1}
Funktionsundersøgelser
Funktionsundersøgelser beskæftiger sig med funktioners grafiske forløb. Disse metoder man
bruger i en funktionsundersøgelse skaffer en et overblik over funktions graf.
Monotoniforhold
f og g er to lineærfunktioner,
hvor f er monoton voksende og
g er monoton aftagende. Når det
kommer til lineære funktioner
er det a som bestemmer om
funktionen er monoton
voksende eller monoton
aftagende. Derfor er det ikke
interessant at undersøge
monotoniforhold for
linefunktioner, da den kun er
monoton voksende eller
monoton aftagende. Når det kommer til andengradsligninger går benene op ad når a er positiv
og nedad når a er negativ. Derfor vil monotoni forholdene for en andengradsligning altid
være:
eller omvendt
Det er derfor ikke interessant at undersøge monotoniforholdende for disse to typer af
funktioner.
Det er straks mere interessant at undersøge monotoniforholdet for tredjegradsfunktioner.
f ´(x) = 0
𝑥=a∨𝑥=b
a
b
Tredjegradsfunktionen er altså voksende
fra -∞ til a, aftagende fra a til b og
voksende fra b til +∞.
Matematik b-niveau
Niels Brock
25
Elevopgave
Fra a til b kan tegnes en tangent.
f ´(0) = der hvor tangenterne har stigningstal 0, der ligger x-værdierne der bestemmer om
funktionen er monoton voksende eller monoton aftagende.
Fremgangs måde for at finde monotoniforhold:
1. Find f ´(x)
2. Find nulpunkterne for f ´(x)
3. Tegn skema hvor man vælger nogle hele tilfældige x-værdier
Ekstrema
f(b) er den største
funktionsværdi, og f(e) er den
mindste funktionsværdi. Som
vist på tegning kaldes f(b) for et
globalt maksimum og f(e) kaldes
et globalt minimum. b er et
globalt maksimumssted og e er
et globalt minimumssted.
f har de lokale maksimum f(a) og
f(d) i de lokale maksimumssteder
a og d, mens f(c) er et lokalt
minimum i det lokale
minimumssted c.
Et minimumssted eller et maksimumssted (både lokalt og globalt) kaldes med en fælles
betegnelse for et ekstremumssted, og funktionsværdien kaldes ekstremum (eller
ekstremumsværdi) for funktionen.
Eksempel på ekstrema og monotoniforhold
f (x) = x³ - 6x² + 9x + 4
𝑥 ∈ ℝ (polynomium af højre grad)
Monotoniforhold
1. f ´(x) = 3x² - 12x +9
2. 𝑥 =
𝑥=
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
12±√−122 −4·3·9
2·3
Matematik b-niveau
Niels Brock
26
Elevopgave
𝑥=
𝑥=
𝑥=
12±√144−108
6
12±√36
6
12±6
6
3.
3
1
 et tal mellem det interval der står over
 sætter x-værdien inde i formlen for f ´(x)
 hvis det er positiv tal f ´(x) giver er den monoton
voksende hvis negativt monoton aftagende.
f (x)
+
1
−
+
3
Ekstrema:
Lokalt maksimum: (1 ;8)
x = 1 (fra nulpunkt, kan se x = 1 er maksimum ud fra graf men også ud fra monotoniforhold)
y = 1³ - 6 · 1² + 9 · 1 + 4 = 8 (tager x-værdien fra det lokale maksimum og sætter ind på x’s plads i
formlen for f(x))
Lokalt minimum: (3 ; 4)
x=3
y = 3³ - 6 · 3² + 9 · 3 + 4 = 4
På lommeregner
Finde f ´(x):
home→
F3→
1: d( differentiate →
d(x³ - 6x² + 9x + 4 , x) =
3x² -12x + 9
Find nulpunkterne:
solve (3x² - 12x +9 = 0 , x) = x = 1 or x = 3
Find ekstrema:
Y=→
y1 = x³ - 6x² + 9x + 4 →
graph →
3: Minimum →
3: Maximum →
første bue på grafen
anden bue på grafen
Maximum = lokalt maksimum
Minimum = lokalt minimum
Matematik b-niveau
Niels Brock
27
Elevopgave
1
f (x) = 3x³ - 3x² + 8x – 2
1. f ´(x) = x² - 6x + 8
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2. 𝑥 =
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
2𝑎
6±√−62 −4·1·8
2·1
6±√36−32
2
6±√4
2
4
2
6±2
2
3.
]−∞ ; 𝟐[
1
3
𝒙
f ´(x)
]𝟐 ; 𝟒[
3
-1
]𝟒 ; +∞[
5
3
f(x)
f (x)
+
2
−
4
+
1
Lokalt maximum: (2 ; 4,66667)
(3 · 2³ - 3 · 2² + 8 ·2 – 2)
Lokalt minimum: (4 ; 3,33333)
(3 · 4³ - 3 · 4² + 8 ·4 – 2)
1
Værdimængden
Man kan finde
værdimængden af en
differentiabel funktion,
der har
definitionsmængden
[𝑎; 𝐵], ved at løse
ligningen f ’(x) = 0
(nulpunkter for f(x)), og
udregne
funktionsværdierne i
Matematik b-niveau
Niels Brock
28
Elevopgave
disse løsninger samt f(a) og f(b). Værdimængden er da det lukkede interval fra den mindste af
disse funktionsværdier til den største.
Eksempler på værdimængde
f(x) = 2x³ - 15x² + 24x + 4, hvor x ∈ [0; 6]
Kigger man på grafen er det tydeligt, at
funktionsværdimængde bestemmes af
funktionsværdierne i
intervalendepunkterne og i
ekstremumsstederne. For at finde disse
steder løser man f ´(x) = 0.
f ´(x) = 6x² - 30x + 24 = 0
solve(6x² - 30x + 24 = 0 , x) eller bruge
𝑥=
30±√−302 −4 · 6 · 24
2·6
x=1∨4
f(0) = 2 · 0³ - 15 · 0² + 24 · 0 + 4 = 4
f(6) = 2 · 6³ - 15 · 6² + 24 · 6 + 4 = 40
f(1) = 2 · 1³ - 15 · 1² + 24 · 1 + 4 = 15
f(4) = 2 · 4³ - 15 · 4² + 24 · 4 + 4 = -12
(mindste og største funktionsværdi)
Vm(f)=[−12 ; 40]
f(x) = x³ - 9x² + 24x - 14, hvor x ∈ [1; 5]
f ´(x) = 3x² - 18x + 24 = 0
solve(3x² - 18x + 24 = 0, x)
x=2∨4
f(1) = 1³ - 9 · 1² + 24 · 1 – 14 = 2
f(5) = 5³ - 9 · 5² + 24 · 5 – 14 = 6
f(2) = 2³ - 9 · 2² + 24 · 2 – 14 = 6
f(4) = 4³ - 9 · 4² + 24 · 4 – 14 = 2
Vm(f)=[2 ; 6]
Afledede funktioner, krumningsforhold og vendetangent
Når man differentierer en funktion f, fremkommer en funktion ny funktion f ´, og hvis man
differentierer denne funktion, får man atter en ny funktion f ´´. Funktionen f ´ kaldes den
Matematik b-niveau
Niels Brock
29
Elevopgave
afledede funktion af f, mens f ´´ kaldes den anden afledede af f. f ´ kan som tidligere
gennemgået give oplysninger om monotoniforholdende, hvor f ´´ kan giver oplysninger om,
hvordan grafen f krummer, dvs. om grafen buer opad eller nedad.
Konveks og konkav8
En differentiabel funktion kaldes konveks
på et interval l, hvis enhver tangent til
grafen i dette interval ligger under grafen,
som vist i tegningen oven over til venstre.
Man siger at grafen krummer opad.
En differentiabel funktion kaldes konkav
på et interval l, hvis enhver tangent til
grafen i dette interval ligger over grafen,
som vist i tegningen oven over til højre.
Man siger at grafen krummer nedad.
Kort sagt er grafen konkav når tangenten
ligger over grafen og konveks når
tangenten ligger under.
Eksempler
f(x)
1
f(x) = 3x³ - 4x² + 12x + 10
f ´(x)
Aflede funktion:
f ´(x) = x² - 8x + 12
f ´(x) = x² - 8x + 12 = 0
solve(x² - 8x + 12 = 0, x) 
x=2∨x=6
8
f ´´(x)
hhx MAT B side 224 definition 2
Matematik b-niveau
Niels Brock
30
Elevopgave
Det er ikke tilfældigt at den skær i 2 og 6. Det er der hvor man har ekstrema for den
oprindelige funktion f(x).
Anden afledede funktion:
f ´(x) = 2x – 8
f ´(x) = 2x – 8 = 0
2x – 8 = 0 
2x = 8
x=4
Den anden afledede funktion skærer x-aksen i 4.
Sammenhængen mellem den afledede funktion f ´(x) og den anden afledede funktion f ´´(x)
grafer er der hvor f ´(x) har sit toppunkt.
f ´(x)
÷
4
f ´´(x) = x₀
+
x₀
Vendetangent
En funktion f har en vendetangent i et bestemt punkt (x₀ ; f(x₀)), hvis der gælder at:
1. f ´´(x) = x₀
2. f ´´(x) skifter fortegn omkring x = x₀ - hvis den går fra konkav til konveks.
Hvis man tager udgangspunkt i eksemplet over kan man konstatere at der er en vendetangent.
1
f(4)= 3 · 4³ - 4 · 4² + 12· 4 + 10 = 15,33333
Røringspunktet for vendetangenten er (4 ; 15,33333) (4 fordi f ´(x) = 2x – 8 = 0 = 4)
f ´(x₀) = f ´(4) = 4² - 8 · (4) + 12 = -4 =
stigningstal for tangenten.
y = f ´(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)
y = -4 · (x - 4) + 15,33 
y = -4x + 16 + 15,33 
y = -4x + 31,3333
Matematik b-niveau
Niels Brock
31
Elevopgave
f(x) = x³ + 6x² + 9x -2
f ´(x) = 3x² + 12x +9
f ´´(x) =6x + 12
f ´´(x) =6x + 12 = 0 
6x = -12
x = -2
(-3)
(0)
f ´(x)
-2
÷
+
Ja der en vendetangent.
-3 er tilfældigt valgt som er under – 2. 0 er tilfældigt valgt som er over -2
f(-2) = -2³ + 6 · (-2)² + 9 · (-2) -2 = -4
Røringspunktet for vendetangenten er (-2 ; -4)
f ´(x₀) = f ´(-2) = 3 · (-2)² + 12 · (-2) + 9 = -3
y = f ´(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)
y = -3 · (x + 2) - 4
y = -3x - 6 - 4 
y = -3x – 10
Grænseprodukt
Grænseprodukt = GP = f ´(x)
Tager udgangspunkt i et eksempel for at forklare grænseprodukt.9
En virksomhed har erfaret, at den mængde af en bestemt varer, som virksomheden
producerer, er afhængig af antallet af medarbejdere, x, som beskrevet i følgende funktions
forskrift:
f(x) = -x³ + 30x² + 375x, 𝑥 ∈ [0; 35]
Mangler graf !!!!
9
hhx MAT B side 229 eksempel 10
Matematik b-niveau
Niels Brock
32
Elevopgave
Hvordan optimeres produktionen på en bestemt varer?
- Jo flere medarbejdere  jo mere produktion. (x-aksen)
Mængden af producerede enheder (y-aksen)
Der er en grund til at den falder til sidste, da der er grænser for mange man kan proppe ind i
en produktionshal. For mange mennesker = producerer mindre.
En ud af mange variable og en uafhængig variabel som vi arbejder med.
2. Find GP ved den første aflede funktion.
f ´(x) = -3x² + 60x + 375
f ´(x) = -3x² + 60x + 375
f ´(x) = -3x² + 60x + 375 = 0
solve(-3x² + 60x + 375 = 0, x)
x = -5 ∨ x = 25 (optimerer ikke minus tal)
f ´(x) 0
35
25
+
÷
Hermed kan man se af skemaet at f har maksimum, når x = 25. Så ved brug af 25 arbejdskraftenheder optimeres produktionen.
3. Produktivitet.
Produktivitetfunktionen:
𝑓(𝑥)
𝑥
f(x) = udtryk for hvor meget der produceres.
x = det gennemsnitlige antal produktion pr. medarbejder.
h(x) =
−𝑥³ + 30𝑥² + 375𝑥
𝑥

har divideret hvert led i f(x) med x
h(x) = −𝑥² + 30𝑥 + 357
h´(x) = -2x + 30
når man differentierer, kan man finde tangentens stigningstal der hvor den er 0, dvs. max.
h´(x) = -2x + 30 = 0
-2x = -30
x = 15
f ´(x)
0
35
+
15
Matematik b-niveau
÷
Niels Brock
33
Elevopgave
Af skemaet kan man se, at h har maksimum, når x = 15. Dvs. at antallet af medarbejder der
skal ligge i nærheden af 15, så er effektiviteten er størst.
Max produktivitet opnås ved brug af 15 medarbejder.
f ´´(x) = -6x + 60
f ´´(x) = -6x + 60 =
-6x = -60
x = 10
Ved 10 arbejdskraftenheder er tilvæksten bedst. Hvis man forøger antallet af medarbejder fra
10 til 11 medarbejder opnås største forøgelse i producerede enheder.
*Man kan ikke svare på hvad der er bedst.
Asymptoter = en ret linje
Der er tre forskellige asymptoter:
1. Vandrette asymptoter
2. Lodrette asymptoter
3. Skrå asymptoter.
En asymptote er en ret linje som en funktion nærmer sig når x → ±∞
Vandrette asymptoter
Regler for vandrette asymptoter:
𝑎
1. n = m (tællergrad og nævnergrad er ens): f har den vandrette asymptote y = 𝑏
2. n < m (tællergrad mindre end nævnergrad): f har den vandrette asymptote y = 0 (xaksen)
Eksempler på regel 1
4𝑥 5 + 3𝑥³+7
h(x) = 2𝑥 5 + 4𝑥4 −𝑥  * kig altid efter den højeste grad i tælleren og nævneren og se om de er ens
4𝑥 5
h(x) = 2𝑥 5 
Matematik b-niveau
Niels Brock
34
Elevopgave
y= 2
f(x) → 2
x → ±∞
h(x) =
h(x) =
2𝑥²−3
𝑥²+2
2𝑥²
𝑥²

Ingen betydning om man trækker 3 fra og ingen betydning om man ligger 2 til

y= 2
f(x) → 2
x → ±∞
Eksempler på regel 2
3𝑥 8 −𝑥 6 +7
1
h(x) = 8𝑥 10 +7𝑥 8 − 3𝑥 
h(x) = 𝑥 
y=0
y=0
f(x) → 0
x → ±∞
f(x) → 0
x → ±∞
Den har ikke nogen vandret asymptote, derfor kan man ikke regne på den.
Lodrette asymptoter
Når en funktion → ±∞ og x → konstant er det en lodret asymptote. Det x ikke må være er en
lodret asymptote.
Eksempler på lodrette asymptoter
h(x) =
2𝑥+6
𝑥−2

Matematik b-niveau
Niels Brock
35
Elevopgave
Lodret asymptote: x = 2 fordi hvis man sætter 2 ind på x’s plads i nævneren giver det 0 og man
kan ikke dividere med 0. Hvis man nu har svært ved at se det var 2 som skulle stå på x’s plads,
kan man bruge solve-funktionen på TI-89. solve(x-2=0, x)
𝑥²−5𝑥+6
h(x) = 𝑥²−4𝑥+4
Dm(f): ℝ/ {2} (alle reelle tal)
solve(x² - 4x +4 = 0, x)
x=2
solve(x² - 5x +6 = 0, x)
x = 2 ∨ 3 (faktisk kun 3, pga. Dm(f))
Lodrette asymptote:
x=3
Eksempel hvor det går galt, hvor reglen for lodrette asymptoter ikke gælder
h(x) =
𝑥²−5𝑥+6
𝑥−2
; x≠ 2
Hvis nævner nulpunktet er det sammen som tællerens nulpunkt, så har man et problem.
solve(x² - 5x +6 = 0, x)
x=2∨3
h(x) =
(𝑥−3)(𝑥−2)
(𝑥−2)

x–3
f(x) = x – 3 → -1
x→2
ax² + bx + c = 0
x = 𝛼 og x = 𝛽
a( x – 𝛼) (x – 𝛽)
(x -2) (x -3)
For at det skulle have været en asymptote skulle der have stået ±∞.
* Når man har nulpunkter i nævneren er 99 % af tilfældene lodrette asymptoter.
Skrå asymptoter
Regler for lodrette asymptoter:
1. n = m + 1 (tællergrad er netop én større end nævnergrad): f har en skrå asymptote,
hvis ligning kan findes ved polynomiers division (se emneopgave om
nulpunktbestemmelse)
Matematik b-niveau
Niels Brock
36
Elevopgave
Eksempler på skrå asymptoter
h(x) =
𝑥²−10𝑥+28
6−𝑥

4
-x+4 +6−𝑥
x → ±∞
4
(6−𝑥) → 0
Skrå asymptote: y = -x +4 fordi det der står foran brøken er den skrå asymptote.
h(x) =
𝑥²−2𝑥−2
𝑥−3
1

x + 1 + 𝑥−3
1
(x + 1 + 𝑥−3 – x + 1)
x → ±∞
1
(𝑥−3) → 0
Skrå asymptote: y = x +1
Funktionsanalyse
1. Dm(f) (skal altid være med)
2. Nulpunkter
3. Fortegn (meget sjældent)
4. Monotoniforhold
5. Ekstrema
6. Asymptoter (kun ved brøk funktioner)
7. Vendetangent (polynomier)
8. Vm(f)
9. Graf
*Kan bruges til at analysere alle slags funktioner
Matematik b-niveau
Niels Brock
37
Elevopgave
Eksempel på funktionsanalyse
h(x) =
𝑥²−10𝑥+28
6−𝑥
1. Dm(f) = ℝ /{6}
2. Nulpunkter:
𝑥²−10𝑥+28
6−𝑥
=0
𝑥² − 10𝑥 + 28
𝑥=
𝑥=
𝑥=
10±√(−10)2 −4·1·28
2·1
10±√100−112
2
10±√−12
2
L: Ø – man kan ikke tage kvadratroden af et negativ tal. Funktionen har ikke nogen
nulpunkter.
3. Monotoniforhold
f ´(x) =
(2𝑥−10)·(6−𝑥)− (𝑥 2 − 10𝑥+28)·(−1)
(6−𝑥)²
f ´(x) =
12𝑥−2𝑥²−60+10𝑥−(𝑥 2 + 10𝑥−28)
(6−𝑥)²
f ´(x) =
12𝑥−2𝑥²−60+10𝑥+𝑥 2 − 10𝑥+28

(6−𝑥)²
f ´(x) =
−𝑥²+12𝑥−32

(6−𝑥)²
=
𝑓 ′ ·𝑔−𝑓·𝑔′
𝑔²

Find ekstrema
f ´(x) =
−𝑥²+13𝑥−32
(6−𝑥)²
=0
-x² + 13x – 32 = 0
Matematik b-niveau
Niels Brock
38
Elevopgave
solve( -x² + 12x -32 = 0, x)
x=4∨x=8
x
f´(x)
]− ∞ ; 4[
0
-0,8889
]4 ; 6[
5
3
]6; 8[
7
3
]8 ; +∞[
10
-0,75
f(x)
4. Ekstrema
Min: (4,2)
Max: (8, -6)
Finder ved at bruge value og indtaster de to forskellige x-værdier.
5. Asymptoter:
Tællergrad er større end nævnergrad og derfor har man ikke en vandret asymptote.
Lodrette asymptote: x = 6
Skrå asymptote: y = -x + 4 fordi
𝑥²−10𝑥+28
6−𝑥
4
= -x + 4 + 6−𝑥.
6. Vm(f) = ]−∞ ; −6] ∨[2 ; +∞[
7. Se lommeregner TI-89 funktionen graph.
Matematik b-niveau
Niels Brock
39