Definicion
La
[Adjunta]
adjunta
adi (A)
=
Ej emplo
:
de
(bii)
A
tel
es
(
adi(A)
O
A32
=
=
=
nxn
es
i
de
entrada
la
Air
de
.
j
matria
una
adj (A)
de
es
nxn
el
,
A 21
A
1
adi (A)
=
=
13 =
A2s
Ase
0
A31
-1
Azz
1(
10
0
=
Alz
=
A 33
=
I
23 -)
20
-
1
=
6
=
I
=
9
=
3
1
I o
11
+
-
1(3)
1
+
Azz
1
=
3
Teorema
Si
A
es
de
nxn
(matric cuadrada)
adi (A
(A)
=
def (A) In
foroario
A"
adt
I
=
(A)
Si
matriz
A
A
es
de
nxn
det (A)
El
producto de
Ejemplo
:
A adT (A)
=
una
por
su
y
adjunta
(d)() = (
es
=
no
a
.
singular
matriz
denotada
,
cofactor
1(
2
-
bij
que
(aii)
=
AAA
=
As
All
A
(
6 ,
od
=
matriz
una
diagonal
j
,
i.
A
adi(A)
( AAA(
An Aiz Cie
=
An AznAne
As
As A3z A3e
det (A)
D
~
An All
=
+
An
Q2zA1
TAREA
1
por
AizAiz + dis Ais
+
Ase
A2s
renglon
An Ani
+
AizAzi + AisAzs
A2 l Ans
+
AnnAn + Res Azz
,
A23 AAr ,
,
,
AnAei + QizAzz
+
Ai Age
Azi Asi + AzzAzz + Are A33
Por columnes
ads (A) A
=
2/04/2024
Teorema :
A
Si
=
(ais)
air Akr
=
de
si
0
ariArizo
Demostracin
Sea
el
=
I
jk
K
y
ain
aA
den
i
Gene
de
non
todas
las
matriz
una
renglon
an
A
Si
K
:
A
A
nxn
....
an
y
A
otras
el renglon
copiamos
entrades quedan como
en
donde
C
=
IQUE CON K ?
notemos
que
det (A)
=
0
porque
el rengi (A)
=
rengr2A)
los renglones
son
1d
.
.
:
en
Recordemos
la solucion
tenemos
si
que
x=
Ab
sistema
un
AYA
de
la actua *
usando
es
no
as
single
[tramer]
Teorzma
Sea
A una matiz de
de
de variables
MX1
de
el valor
entonces
nxn
x
21
b
,
matriz
una
(X , X2 , Xz
,
=
.
.
detCAs)
=
de
nx 1
y
Xn)
con
el
danche
Ai
tiene
.
..
un
def (A)
vector
0
l
Mismas
det (A)
columnas
de
Ejemplo
A
A
2x1
=
1x
+ 3x2
=
2xz
-
4x2 =
+
=
b
1
det
(2)
det
(A)
+ 3(3) =
-
2(
Ejercicio
+ 4(3)
5)
-
-
x2
Xi
=
(2)
=
sidet zo
-
=
=
(i)
5
2
=
10 + 4
-
+ 10 + 12
=
=
-
=
=
3
-
2 1
43
+ 2x3
+ xz
(oS
I
-
I
4
=
=
=
1
2
(2) (
(o ? ) (ii)
det)"0 S "(2)" (ii)
=
chaf (A)
X 1
=
=
-
·
1
j,
Se puede usar
.
Cromer
:
* 1
A
=
2
Comprobation
2( 5)
b
(A)
det
j
=
ant(2 i)
=
vector
al
(2) (ii)
=
2x1
j
la
en
y
cresima
+
1
=
2
I
20
det
(A)
=
=
2
=
=
==
x1
=
x2
=
X3
=
3
3
3
1
3
-
Demostracin
R
+ 1
3
1
-
1
=
2-
=
Teorema
I
=
2
-
Cramer
de
adj (A)
S+
b
=
det (A)
X
x
x
(
iii)()
=
All
Alz
la
Determina
:
puntos
los
Nuestes
2a
-
usar
-
+
Sa
-
3b
+
un
plano
(2
,
1
-2
,
p
.
=
(1
a ,
b
,
d
c ,
c
-
42
-
-
d
d
d
=
0
=
0
=
0
(a , b , c , a)
Sistema
Y
me
de
gusteria
4x4
que
cloude
las
asbied
variables
no
todos
son
,
0
·
es
+ 31
a
=
(incognites)
variables
2b
de
ecuacion
determinante ?
un
Sistema
El
( AAA(
=
=
=
Az
-1
A23
axtby
+
=
=
cz
Az
0
=
A zz
2
homogeness
.
valgan 0
.
,
3)pz
=
Con producto
(5
,
2
A
0
A33
d
=
eruz
-
Ase
A2s
.
po
[Pueden
I
1
=
Alz
Ejercicio
-
As
(i)
=
lib ? (
O
adi(A)
(a)
=
=
3
=
-
4
=
E
=
2
,
4)
=
=
32
=
1
-
2
1
que pasa
por
detI so the
I
I
j
=
2 dizAin
=
=
=
-
QizAiz
=
+
QuzAxz
z(( 1) + ( 1) 4
-
+
+
-
2(2 7 (2) "(
-
AbuAez
( det()) 3(515 xt()) 2(71
-(3
x +
-
+
=)
(2)
"
z) 3( 5 + x) 1(5z
-
-
-
+
-
det
()
(2 ((z ) ( ) (z) y(x ~) : )
=
+
4x)) x(() (2)
+
+
-
+
-
3 + z)
-
1(1
+
x)
-
1)
-
z
-
"
3x))
+
+
y(
-
15)
+
Gil
[Valor
Definicion
Sea
A
matriz
de
xER"
un
*
A
asociado
una
VC( for
de
propio
Ejemplo
propio]
XER
el
non
fal
X
Ax
que
valor
un
es
=
propio
Xx
se
de A
dice
que
existe
si
x
es el
on
vector
.
:
A
Sea
busco
In
=
Ax
Ax
pers
X
A
necesitemos
X
Ax
x"
valor
un
es
x
y
=
=
propio(eigen
Ax"
X
[Sera
que
y
-(1)
=
2
=
(2)
,
de
para
vector
encontr
su
valor
propio
propio)
valor
o
valor
caracteristico)
(i)
=
AxE(3)(i) (i) ↑(i)
:
propio
x =
:
=
(Def
vector
un
(Por definicion
XX'
valor
un
es
de A
propio
( !)
↑(i)
=
2
=
si
y
1
que
(i)
:
=
x
=
(01)
=
que
xx
=
Inx
=
:
Sea
tel
XtIR
xx"
=
=
Xx')
este
es
A(rxY)
tambien
=
valor
un
es
vector
rAx"
propio
cryo
?
X(rx")
rX"
de
A
r(Xx")
=
=
:
de
propio
A
es
vector
propio
frtM-503
.
vector
propio
es
(i)
e
[Como
encontramos
Buscamos
X
fal gre
Ax
decir
es
valor
un
Ax
X In
dos
XInx-xIny
=
(A-XIn)(x)
( %)nx
=
Todo sistema
-
homogeneo
el sistema
que
xx
=
ambos
Ax-XInx
para
cualquier matriz ?
XIn &
=
de
restando
de
propio
homogeneo
tiene
solucion
(A-XIn)x =
tenga
soluciones
necesito
que
:
no
caracteristica
f(x)
encontrar
para
&
Ejemplo
A
①
A
. E
i
solucion
x=
=
XIn
-
=
los
valores
las
.
A
de
(A
det
=
de
propios
variables
(2))
=
(2
↑
-
de la
matriz
una
de
nxn
XIn)
-
basta
A
funcion
con
encontrar
caracteristics)
*
n
-
(bi)
x)
det( ! "ux) =
=
X
=
z
0)
0
(i)
=
x
·:
unica
det
con
=
②
la
que
det (A-XIn)
funcion
la
F(X)
(Si fuese determinado
caracteristica]
Definicion [funcion
Sea
determinado
sea
queremos
(x * 0)
triviales
no
x
=
3
con
los
(x
valores
-
3)(X
-
2)
propios
o
eigen
valores
de
A
las
X
tal que ((x) =0
③ Para
los
encontrer
Ax
(A
vectores propios
=
2
=
2x
x[n)x
-
1
de
=
(8)
(A-2(2(8)
(18)
(ii)
=
21
x1
=
*2
*
() (i) +,
Ejercicio
=
T2
t
t
(2) (i)
=
+ = 0
=
=
=
Q
:
los
Encuentren
vectores
propios
el
eigen valor
1
=
3
(A - 3[2(8)
(i) (j) (8)
=
-
***
(0 :)
(iii)
(2018)
x1
x1
x2
(2) (2) +,
=
x=
②
A
Sea
Ax
Ax
:
F (x)
=
=
#
x
=
X
=
=
=
t
=
(i)
1x
es
x
un
valor
det
(A -XIz)
det
(10)
(A-1210)
(i) (i)
=
=
=
(b)
(ii)(0) (8)
0
=
12xz
12t
(2) ( ,)
+ =0
=
=
=
=
=
=
propio
xx
=
de
A
-x(1-1)
=
0(i)
convector
un
or
propio
(b)
=
(g % ) · (ii) : %) (0818)
=
S
0
S
⑤
A
f(x)
=
=
)ot)
I
det
vectores
y
propose
(A-XIs)
(ii) I
"
2
dut)
valores
los
Encreaten
!
4
-
X 2
-
i
I
-
I
5
-
X
=
=
=
=
10
o
o
I
O
O
(
I
(
- (m) "(i =)
-
(1 x)[( x)(5
-
(1
(1
(l
x)( 5x + x
-
-
x)(
-
-
=
1
x)
+
4)
x)(x2
-
x
=
-
54
1((x
1x
-
=
+
4)(
-
-
4)
4
x
(4)] z(5 x 4) 1( 4
(1)
-
5x + 1 + 4)(
-
(X
X
-
-
2x
2
+
2x
+
2)
2x
+
-
=,
-
-
2)
-
,
+ 4
-
-
4x
-
+
4x)
demostracin
Ejercicio
Demuestre
[
A
una
que
=
↑"
matiz
arjArk
(
5kk
010
O
de
nxn
comple
se
:
OtrEj
+ 1
100
8
=
A
I
(
A
=% 10
=
def <y
=
O
=
:
Esta de muestra
1(89)
-
O
la
pregunte
: i)
MAT-14201
Álgebra Matricial
Un Modelo de Repartición de Mercado
Hasta el año pasado el gobierno de Hungrı́a tenı́a el monopolio de la gas entubado. La Secretarı́a
de Comercio ha propuesta la privatización del servicio en dos compañı́as para cumplir con las
sugerencias de la normatividad antimonopolio de la Unión Europea. Para lo que se ha hecho la
siguiente estimación sobre el cambio año con año de los clientes entre las dos compañı́as, llámeles
GT1 y GT2 . Al final de cada año la compañı́a GT1 conservará 34 de sus clientes y perderá a
la compañı́a GT2 14 de los mismos, mientras que la compañı́a GT2 conservará 23 y perderá 13 a
la compañı́a GT1. Se estima que este comportamiento se mantendrá ası́ por los primeros 5 años.
Una sugerencia inicial para privatizar es dar la cuarta parte de los clientes a la compañı́a GT1 y
el resto a la compañı́a GT2.
a) Se le ha contratado como asesor de la Secretarı́a y se le pidió estimar la distribución de clientes
entre las compañı́as al final del primer año suponiendo que se asignó con la distribución
sugerida. ¿Cuál serı́a la distribución después del primer año?
b) Si por otro lado se desea garantizar a las compañı́as que se quedarán con la misma proporción
del mercado por los primeros 5 años, indiquen si esta oferta es posible y en caso necesario
indique como cambiar la distribución inicial propuesta.
I
3
3
4
GT1
GTz
=
=
ANO
⑧
I
2
3
4
-
S
3/4
4
=
=
75 %
GT1
25 %
GTz =
GTI
GTz
14
314
=
2/3
1/3
Ejercicio
GTi
+
GTz
GTlo
0
=
GT2o
↳ The
1
=
0
=
.
.
25
75
3 Tiz-
=
GT2z
=
GTIt
-
GT2z
&
4
1
+
4
-1
2GT2
-
1
[ ](i]
=
[i] =I
t
=
1
(*) (i) (i) )
(48)(21) + (64)(9)
Si
emperamos
distribution
Si
queremos
(64)(48)
=
=
con
la
distribution
(1) A.
que
(GT)
=
despus
+
=
de
K
anos
tendriamosa
iguel
sea
() =
(2)
=
*
(i)
=
(i)
(10) -R (10)
( *) R ) X
=
4/3y
y
=
3/7
x
x
=
=
5 z
4/7
.
y
=
=
=
7
(ii) () =
/
14
7
3
28
/
Definician
Una
matric
singular
tel
B
no
que
Ejemplo
B
=
P" AP
:
A
B
( zi)
=
(3)
a
matric
una
A
si
existe
una
matric
(i2)" -(i)
=
:
=
semyante
es
A
samejante
es
p
↑
B
a
porque
-
"AP=i)(ii)
(5) ( : <) 18:%
=
Teorema
Si A
es
semejante
B
BP
PBP"
:
Teorema
:
dem
:
-
A
P App
-
PP"A
=
matriz
Dos
matrices
A
A
A
es
diagonalizable
semejantes
semetante
es
si
tienen
semejante
es
los
(x(x)
A
es
B
a
def ( xIn)
=
-
semejante
=
det
(PBP-
=
def
(PBP"
def
=
ch +
=
=
una
valores
mismus
=
fB(x)
=
(B
dat (A-XIn)
=
a
&
Como
DE FINAL
-
Una
.
PROBLEMA
A
a
p A
=
=
P
semetante
es
AP
PBP "
Si
B
,
-
=
BP"
Teorema
P
=
+
a
-
a
B
A
,
=
PBP
-
XIn)
X In PP")
-
PX In Pt)
(PBP"
(P(B x [n) PT)
-
-
dat (P)
det (B
det (B
-
x[n)
xIn) def (P )
+
-
=
f B(x)
=
(ab = )
=
b
-
xIn)
matria
propios
diagonal.
P
Teorema
matric A de
Una
↑
nxn
tiene
invertible
a
D
Ej emplo
los
donde
eigenvectores
diagonizable
es
=
tiene
si
eigenxeatures
y
la
n
matric
eigenvectores
dragonal
P" AP
:
A
( :2i)
=
sus
valores
propos
X Vectores
(2) (i)
propios
P
(ii)
P
la inversa
de
=
=
( %3)
P"
=
·
ad + (P)
)
% (ii)
=
A
A"
=
=
PDP
Ap
=
I ii)(ii)(ii)
-
(i 2)(ii) ( : 2)
(PDP") (PDP-)
m
1342
=
=
=
P("203542)
=
P
D
li
a
los
,
donde
la
matriz
correspondients
Ejercicios
:
Calculen
#(5)
A
s :
Sugerencia diagonalize
A
A
facx
det
det
=
=
-
PD "p-1
(A - X [2)
det((ii)
=
① Saari
=
PDP
=
A
fA(x)
(ii)
=
↑
-
(ii)
(i +x)
-
(
-
-
(x
x)(1
x
-
Xi
Los
valores
Ax
propios
(A -XI21
=
I
12
=
2
z
-
-
)
%
D
=
(A
0
0
un
vector
propio
y
es
tal
que
<por?
12
-
=
0
1
o
(g)
2
=
=
1)
Xz =
=
z
-
+
=
②
X
x)
z((x
fa (X)
resolviendo
,
+
-
2[z(0)
=
-
1
(A + [2(0)
((ii) -(i) (8)
(ii) (0 % ) (i)
+
=
-
=
(210) ( )(2 : / * (0 %)
X1
=
(i) (i)
Y2xz
(*) (" )
=
=
+
2
③
p
④
(P
los eigenvectores
Con
=
(ii)
Sa)
es
↑
la matric
con
los vectures
propios ? )
R + 2 R2
(ii) (ii) (0 (
P- (como sacarla)
;
de
⑤
Comprobamos que
A
=
PDP-
(ii) (i)(i) (ii)
=
⑥ Resolver
(PDP+)"
A
A ppop"
A" (PDP-XLPDPX(PDP"). :
=
-
=
--
=
=
pp"p
Seria
+
PD"p-
CADENA
②
Ejer
A
5
7/10
limA
Encuentren
(
() (dete
=
(
(0
7
.
0
.
-
56
*
-
x)(0
0
-
.
1 5x
.
8
.
7x
+
-
-
0
.
0
5
x)
.
-
8X +
0
06
.
x2
-
DX2
=
(x
X
x1
=
1
xz
=
DE BARKOFF
2
0
-
.
1
=,
D
3/10
(
06
3/2x
+
x
-
=
La
42
2)
"2
distribuicion
estacionaria
(8)
DIAGONALIZAR
A0
O
G
I
TC2
I
0
1)(x
-
=
=
&TC
1/5
1
E
4/5
↑
MAT-12310
ua-2023s2
Álgebra Matricial
Tarea 5
Adjunta, Cramer, Valores y Vectores Propios, Diagonalización
1. Determine la ecuación del plano en R3 , ax + by + cz = 17 que pasa por los puntos
p1 = (2, 2, 1), p2 = ( 1, 0, 3), p3 = (5, 3, 4) planteado el problema como un
sistema de ecuaciones.
2. Calcule el
0
B
det B
@
x
2
1
5
y
2
0
3
z
1
3
4
1
1
1 C
C
1 A
1
e iguale a cero, ¿obtenemos la misma ecuación que en la pregunta anterior? ¿Podremos utilizar este método para encontrar el plano de una ecuación en R3 para los
siguientes puntos (1, 1, 2), (3, 1, 4), (1, 13 , 43 )?
3. Utilizando propiedades del determinante comprueba que:
0
1
0
1
1 a bc
1 a a2
det @ 1 b ca A = det @ 1 b b2 A .
1 c ab
1 c c2
4. ¿Será cierto que A(adj(A)) = In ?
5. Calcular la adjunta y la inversa usando la adjunta para las siguientes matrices
0
1
0
1
0
1
1 0 3
5 3 2
1 1 0
A =@ 1 1 0 A, B =@ 4 2 1 A y C = @ 1 4 1 A.
3 1 6
4 2 2
0 1 1
0
1
0 1
1 1 1
4
6. Obtén la solución del sistema Ax = b con A = @ 0 2 3 A y b = @ 7 A usando
5 5 1
6
Cramer y comprueba tu resultado utilizando la inversa de A (usando x = A 1 b).
0
1
1 4 2
7. Considera un sistema Ax = b con A = @ 0 2 6 A, bT = (b1 , 0, 1), y x1 = 6
1 4 3
encuentra el valor de b1 . (sugerencia: usa Cramer).
FOTO
8. Se dice que una matriz A 2 Rn⇥n es ortogonal si A 1 = A> . Demuestra que en
este caso |det (A)| = 1. ¿Cómo es la adjunta de una matriz ortogonal?
0
1
2
0
0 0
B 1
7
0 0 C
C
9. Encuentre las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la matriz A = B
@ 3
2
2 0 A
7
5
2 3
0
1
1 0
0
0 A encuentre el polinomio caracterı́stico de
10. Considere la matriz A = @ 1 3
3 2
2
la matriz, sus valores propios y vectores propios.
11. Determine si las siguientes matrices son diagonalizables
0
1
1
1
2
0
4 A
a) A = @ 4
1
1
4
0
1
2 0 3
@
0 1 0 A
b) A =
0 1 2
12. Demuestre que las siguientes matrices son diagonalizables y determine una matriz
diagonal semejante a la matriz dada:
✓
◆
4 2
a) A =
3 3
0
1
2
2
3
3
2 A
b) A = @ 0
0
1
2
13. Determine si es posible encontrar una matriz P tal que P
diagonal para las siguientes matrices A:
0
1
4
2 3
1 2 A
a) A = @ 2
1
2 0
0
1
1 2 3
b) A = @ 0 1 0 A
2 1 2
✓
◆
2 0
14. Sea D =
calcule D9 .
0
2
2
1 AP
sea una matriz
15. Suponga que los resultados de la votación en una elección al congreso estadounidense
en cierto distrito electoral están representados mediante un vector x en R3 de la
forma:
0
1
porcentaje que vota por los demócratas (D)
x = @ porcentaje que vota por los republicanos (R) A
porcentaje que vota por los libertarios (L)
Suponga que se registran los resultados de la elección al congreso cada dos años
mediante un vector de este tipo y que el resultado de una elección depende solamente
de los resultados de la elección anterior. Entonces la sucesión de vectores que describe
los votos cada dos años puede ser una cadena de Markov. Como ejemplo de la matriz
de transición estocástica P para este cadena se toma
0
1
0.70 0.10 0.30
P = @ 0.20 0.80 0.30 A
0.10 0.10 0.40
donde el primer renglón corresponde a ir de D R o L a votar por los demócratas D
, el segundo renglón de ir de D, R o L a votar por los republicanos R, y el tercer
renglón por los libertarios. Es decir las entradas incluidas en la primer columna,
describen lo que las presonas que votan por los demócratas en una elección harán
en la siguiente elección. Aquı́ se ve que el 70 % de las personas votarán nuevamente
a D, 20 % cambiarán a R, y un 10 % votará por L. Para las demás columnas de
P una interpretación similar se deduce. En la Figura 1 se representa esta situación
mediante una gráfica de las probabilidades de transiciones entre los estados.
Figure 1: Transición entre preferencias de los votantes
Si los porcentajes de transición permanecen constantes durante muchos años, de una
elección a la siguiente, calcular:
a) el resultado para 0
las siguiente
1 elección si en la actual se obtuvieron los siguientes
0.55
porcentajes x = @ 0.40 A
0.05
b) dado el resultado anterior el resultado esperado para la elección sucesiva.
3
16. Un nuevo sistema de transporte colectivo entrará en operación el siguiente año y las
autoridades de tránsito han realizado estudios que predicen el porcentaje de quienes
utilizarán el sistema colectivo (M) y el de las personas que seguirán manejando su
automóvil (A). Se ha estimado la siguiente matriz (de transición) que describe cómo
será el movimiento año con año entre los dos grupos (M y A)
M
A
Año Siguiente
Año Actual
✓ M A ◆
0.7 0.2
0.3 0.8
Suponga que la población en la ciudad se mantiene aproximadamente constante a lo
largo del tiempo y que el 30 % utiliza el transporte colectivo y el 70 % el automóvil.
a) ¿Qué porcentaje utilizará el sistema de transporte colectivo después de un año?,
y ¿después de dos años?
b) ¿En el largo plazo, ¿que porcentaje empleará el sistema de transporte colectivo?
c) ¿Existe un porcentaje de uso inicial del transporte colectivo que haga que se
mantengan constante las proporciones a lo largo de los siguientes 5 años?
4
Tarea
5
ax +
by + cz
P
17
=
P2
P
2x
-
-
+ z
2y
+ 32
Y
5x
-
3y
+
42
(2
=
.
(
=
-
(5
=
1
- 2
,
0
,
-
,
3
,
,
1)
,
3)
4)
17
=
17
=
=
17
I
(
( i ( 4)
2
2
-
1
17
17
-
-
17
17
-
I ! ) )"
-1
64
4/2
0
1
O
oE
-
Re
542
-
(117)
-
13
O
I
-
O
⑧
det
I
(
26/17
1
*
2
-
I
5
-
3
4
&
I
I
I
-
26/17
(Columna 2)
(
dutdinAiz
=
=
=
=
=
AirAiz
y
(71)
+
AnzAnz
-
&ezA3z + Q42A42
det
I S
y((k)(z)
15y
+
z(X
x #62
(5y =
x)
-
-
17 6) + 12
-
-
67
+
14)
+
2x
-
3872x77
)-2"
-
7
-
7
ill
dat ( (21)det()
+
1)) z((k)(x( 1) z(6)((19)) (71)(
37
-
(
-
-
+
2x
+
37
+
z)
15y
=
15y
+ 137
-
45
132
+
=
-
45
0
Cierto para
·
lbc-alical b)
abz - ac
a(ab
-
ac)
+ ba(c
b
ab
Con
-
propindades
Veamos
a,
b
,
c
-
b)
b
,c
=
0
-at
=
+
a,
=
=
bc
-
b=
a)(z bz) + a (c b)
=
-
-
-
Lab2 + ac-a-b
-
+ 0
PD
.
det) )
;
a ab
1
cierto
para
veamos
↑
=
det
=
a
-
para
No
det
a
,
b
,
c
=
Propiedades
0
,
②
a b , 270
,
cambia
(11)
( ")
1 62
hacer
②
=
a
↳
C
ch
↳
det
/S
B
se
Ri
det (B)
obtiene
=
-
-O
ab
abe
det ) a
det(
① Rj
det
cRi
Ri
(B)
=
de
cdet()
=
I
.
I
Si
:
-
det [A)
A
al
[ , kD(2
=
O-abe
dat an
(2AD(y
=
0
2)
-
defi
abc
Ra,
'
=
det
(
I
I
1
b
a
s
(
:
q e d
.
.
A
=
(ii)
An
A (ad(A))
=
=
= )
ada
=
In
1)(3)(3 (
(
Az)
=
( 1)(2)
A 12
=
(
1)(4)
A zz
=
(
1)
-
4
(1)
(ii)(i = (
(8)
ad (A)
*
In
=
( A(
pero
es
=
5 In
=
(ii)