UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA.
ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIERÍA
Guía de Ejercicios N◦ 1






1 3
−2 0
−1 1
1) Sean A =  2 5 ; B =  1 4 ; C =  4 6 ∈ M3×2 (R).
−1 2
−7 5
−7 3
a) Calcule 3A, 2C − 5A, 7C − B + 2A.
b) Encuentre una matriz D tal que 2A + B − D sea la matriz cero de orden 3 × 2.






1 −1 2
0 2 1
0 0 2
2) Sean A = 3 4 5  , B = 3 0 5 , C = 3 1 0 ∈ M3×3 (R).
0 1 −1
7 −6 0
0 −2 4
a) Calcule 2A − B + 2C , A − B − C .
b) Encuentre una matriz E tal que AC − 2B − 4E sea la matriz identidad de 3 × 3.

0

0
3) Calcule A2 , A3 , A4 si A = 
0
0
2
0
0
0

0 0
1 0
. Se podrá hallar An , para n ≥ 4, n ∈ N?
0 −6
0 0
4) Considere las matrices elementales las de orden 3, siguientes: F23 , F(−5)1 , F2+(−3)1 , F3+(2)1 y las
matrices




1 −2 4
0 5
1 0



1
0
2 −1 1 y B = 2 −1
A=
−2 0 −1 1 0
1 1
.
a) Escriba explícitamente cada una de estas matrices elementales, y exprese cada una de ellas
como la imagen por una operación elemental la de la identidad.
b) Calcule F23 · F(−5)1 · A y F2+(−3)1 · F3+(2)1 · B .
c) Calcule f23 (f(−5)1 (A)) y f2+(−3)1 (f3+(2)1 (B)).
d) Qué concluye de los cálculos anteriores?.
5) Halle las inversas de las matrices:


1 1
1
1
1 1 −1 −1

a) M = 
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
c) P =

1
0

b) N = 
0
0
0

a a 2 a3 a4
1 a a 2 a3 

0 1 a a2 

0 0 1 a
0 0 0 1
I2 U
, donde U ∈ M2×3 (R) y 0 es la matriz nula.
0 I3
6) Sean A, B, C ∈ Mn (R) tal que son matrices no singulares, k ∈ R − {0}. Pruebe que:
a) (ABC)−1 = C −1 B −1 A−1 .
1
k
b) (kA)−1 = A−1 .
c) Si D es matriz 2 × 1 y E matriz 1 × 2 entonces D · E es singular.
7) Sea A ∈ Mn (R). A se llama matriz :
INVOLUTIVA si A = I .
IDEMPOTENTE si A = A.
2
2
a) Halle condiciones para que una matriz A ∈ M2 (R) sea involutiva.
b) Demuestre que si A es involutiva entonces:
i) A es no singular.
1
1
(I + A) y (I − A) son idempotentes
2
2
1
1
iii)
(I + A) · (I − A) = 0.
2
2
ii
)
8) Resuelva las ecuaciones matriciales. Use matrices inversas cuando sea posible; si no es posible,
resuelva usando incógnitas.
1 2
3 5
a)
·X =
3 4
5 9
3 −2
−1 2
b) X ·
=
5 −4
−5 6
3 −1
5 6
14 16
c)
·X
=
5 −2
7 8
9 10
2 −3
2 3
d)
·X =
4 −6
4 6
9) Halle las matrices escalón reducidas por las equivalente a las matrices siguientes, e indique el
rango de cada una de ellas:
1 2 −3
a)
2 5 −4
b) 2 0 −5 4


5
0

c) 
−1
3


1
2 1 0
10) Sea A = −1 0 3 5
1 −2 1 1


1 1
1
2
d) 2 1 −3 −6
3 −3 1
2


1 2
1
0
3 2
1
2



2
−1
2
5
e) 


5 6
3
2
1 3 −1 −3
Halle una matriz escalón reducida por las R, equivalente por la a A, y una matriz invertible
3 × 3, P tal que R = P A.
11) Describa todas las posibles matrices 2 × 2 que son escalón reducida por las. Idem para 2 × 3,
3 × 2 y 3 × 3.
12) Halle det(A) y det(At ). Compruebe que son iguales en cada caso:
1 2
a) A =
−1 1


1 2 −1
b) B = 3 1 0 
0 2 4
x
c) C =
u

a

d) D = 0
0
y
v

b c
d e
0 f
13) Sea A una matriz cuadrada de orden impar, tal que: aij = −aji ∀i, j . Pruebe que det(A) = 0.
(Indicación Observe que At = −A y de ahí se obtiene det(A) = − det(A)).
14) Pruebe, usando propiedades del determinante que
a+d
2b
a+c
3a
b + d c − 2d
b + 2a c − b
d
b + d c − d a + 3d
b−d
c−d
=0
a+c
a+b
15) Sea A ∈ M2 (R). Pruebe que adj(adj(A)) = A.
16) Sea A ∈ Mn (R) no singular. Pruebe que det(A−1 ) = (det(A))−1 .
17) Calcule los determinantes siguientes:
−3 2 4
a) 1 −1 2
−1 4 0
1 −1 1 −1
2 0 1 1
b)
1 −1 0 0
1 1 1 1
a
0
c) 0
0
1
0
0
0
e
0
0
b
0
0
0
0
0
0
0
d
0
0
c
0
0
18) Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales no homogeneos:
a) x1 − 2x2 + x3 − 3x4 = 1
b)
x1 + x2 + x3
= 4
2x1 + 5x2 − 2x3 = 3
x1 + x2 + x 3 + x4
x + x2 + x3 − x4
c) 1
x1 + x2 − x3 + x4
x1 − x2 + x3 + x4
= 0
= 4
= −4
= 2
x1 + x2 + 2x3 + x4 = 5
d) 2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 = 2
4x1 + 5x2 + 3x3
= 7
19) Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos:
a)
x1 − 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 5x2 + 6x3 = 0
x + 2y − 3z
2x + 5y + 2z
c)
3x − y − 4z
4x + y − 7z
2x1 − x2 + 3x3 = 0
b) 3x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 − 4x2 + 5x3 = 0
=
=
=
=
0
0
0
0
20) Determine valores de k ∈ R, en cada caso, para que los sistemas lineales no homogeneos
siguientes tengan:
i) Solución única.
ii) Innitas soluciones.
x + y + kz = 2
b) 3x + 4y + 2z = k
2x + 3y − z = 1
kx + y + z = 1
a) x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
c)
iii) Ninguna solución.
x + 2y + kz = 1
2x + ky + 8z = 3
21) Determine valores de k , en cada caso, para que los sistemas lineales homogeneos siguientes
tengan:
i) Solución trivial.
ii) Solución no trivial.
x1 − kx2 + x3 = 0
a) x1 − x2 + x3 = 0
−x1 − x2 + kx3 = 0
x1 − kx2 = 0
b) −kx1 + x2 = 0
x1 + x2
= 0
22) Para el sistema
ax + by = e
. Determine condiciones acerca de a, b, c, d, e, f para que tenga:
cx + dy = f
solución única, innitas solucines, ninguna solución.
23) Puebe que:
a) Si el sistema AX = B, B 6= 0, de n ecuaciones con n incógnitas tiene solución única,
entonces AX = C tendrá también solución única, cualquiera sea la matriz columna C .
b) Si AX = B es un sistema de m ecuación con n incógnitas, consistentes y C es una solución
particular , entonces:
(D
es solución de
AX = B )⇔(D = C + S ,
donde
S
es una solución del sistemas homogéneo asociado
AX = 0)
24) Considere el sistema de ecuaciones:
x2 + 2x3 + 2x4
x1 + x2 + 2x3 + 3x4
2x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4
2x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4
= 1
= −1
= 2
= 0
Resuelvalo usando el siguiente método:
a) Expréselo en la forma AX = B .
b) Pruebe que A es no-singular y calcule A−1 .
c) Despeje X de la ecuación multiplicando por A−1 por la izquierda.


1 2 3
25) Aplique el método anterior para resolver los sistemas, considerando A = 2 4 5:
3 5 6
 
 
 
1
−1
0
a) AX = 2
b) AX =  5 
c) AX = 0
3
4
3
26) Resuelva usando la Regla de Cramer,para la incógnita indicada, o probar que no existe solución
única:
a)
b)

x + 3y − z = 4 
2x − y + z = 1 y

3x + y + 2z = 5
x − 2y + z − t
y+t
x−z
x+y
=
=
=
=
0
1
1
1







z
c)

x−y+z = 3 
x + 2y + 2z = 1
x

x + 5y + 3z = −1
d)
x+y
x−z
x+t
x−w
x+y+z+t+w
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1











T odas