E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL
D EPARTAMENTO DE F ORMACIÓN B ÁSICA
Á LGEBRA L INEAL
H OJA DE E JERCICIOS N O . 03
S EMESTRE 2018 A
E JERCICIOS :
1. Calcule el determinante de las siguientes matrices:
1
 4

 7
−1

2
5
8
1
3
6
9
2

−1
−2

1 
3
1 15
12 6

 8 10
13 3

2. Sea A una matriz n × n. Calcule el determinante de A

1 1 0
0 1 1

. . .
..
A=
 .. ..

0 0 0
1 0 0
14
7
11
2

4
9

5
10

··· 0 0
· · · 0 0

.. .. 
..
. . .


· · · 1 1
··· 0 1
3. Sin calcular el valor del determinante, determine si:
1
3
1
3
0
8
7
1
2
2
2
3
0
3
2
5
es divisible para 13.
4. Calcular el siguiente determinante:
Y1
Y2
′
′
Y1
′′
Y1
Y2
′′
Y2
Y3
′
Y3
′′
Y3
donde se tiene
• Y1 = cos( x ) + 2 sen( x )
• Y2 = cos( x )
• Y3 = sen( x )
5. Utilizando propiedades de los determinantes, calcule los siguientes determinantes:
1+x
1
1
1
1
1−x
1
1
1
1
1+z
1
1
1
1
1−z
6. Considere la función
a
−1
f (x) =
0
0
b
x
−1
0
Sabiendo que f (0) = −3 y f (1) = f (−1). Determine a y b.
1
1
a
a2
−2a 3b
0
0
.
x
0
−1 x
1
b
b2
1
c
c2
7. Calcular el siguiente determinante, utilizando propiedades de los determinantes:
a−b−c
| B| =
2b
2c
2a
b−a−c
2c
2a
2b
c−a−b
8. Si se conoce que:
x
det( A) = 5
1
y
0
1
z
3 =1
1
encuentre el valor del determinante de B
x
y
det( B) = 2x + 5
2y
1+x 1+y
z
3 + 2z
z+1
9. Dadas las matrices A y B verifique que:
• det( A) = det( A⊺ )
• det( A) det( B) = det( AB)
• det(5A) = 125 det( A)

5 25
A = −3 15
0
5


15
45 
−5
1
−1
−1


B = 0

0
−1
1
5
0
− 51





10. Sean A y B matrices n × n. Demuestre o refute que:
• det( A + B) = det( A) + det( B)
• det( AB) = det( A) det( B)
• Si A no tiene inversa, la matriz AB no tiene inversa para toda matriz B.
11. Sean

sen( π2 )


A =  cos(2π )

− cos(π )
sec( π3 )
sen( π2 )
sen(π )

cos( π3 ) 


π
cos( 3 )
sen(2π )
Calcular
log(1)
log2 ( 14 )

1

B = log2 ( 4 )

log3 (9)
log3 (9)


y
ln(e)
0


0 


ln(e)
1
A⊺ + B .
2
12. ¿Para qué valores de a la matriz C es invertible? Una vez determinados indique la inversa de C −1 .


a
1
1
C= a
a
a − 1
−a a − 2 a + 3
13. ¿Para qué valores de a y b la matriz C es invertible? Una vez determinados indique la inversa de C −1 .


1
a
b
C = 1 a + 1 − a + b 
1
a+1
1−a+b
14. ¿Para qué valores de λ la matriz A es invertible?

2
1
λ − 1 1
0
1

λ
A = 1
1
15. Resuelva el siguiente sistema utilizando Regla de Cramer:
x1
2x1
x1
+ x3
+ 5x3
+ 8x3
+ 2x2
+ 4x2
2
= 2
= 4
= 0
16. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema
x
2x
3x
+ y + z = 11
− 6y − z = 13
+ 4y + 2z = 0
17. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema
− 2y +
=
7
3y + 2z =
6
−2x
+ 3z = −1
3x
18. Hallar α ∈ R tal que el siguiente sistema tenga solución única:
− 2y
= 1
y + αz = 0
αx − 2y +
z = α
3x
19. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema con α, β ∈ R
x
x
+ y + z =
+ y
=
y + z =
1
α
β
20. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema con m ∈ R
(1 − m) x + 2y −
2z =
1
( m − 1) x − y +
z =
1
(2m − 2) − 2y + (4 − m)z = −2
21. Utilizando la siguiente figura
• Demuestre utilizando trigonometría elemental que:
c cos( A)
b cos( A)
+ a cos(C ) = b
+ a cos( B)
= c
c cos( B) + b cos(C ) = a
• Si se considera que el sistema anterior es un sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas: cos( A), cos( B) y
cos(C ), demuestre que el determinante del sistema es diferente de cero.
• Utilice la Regla de Cramer para despejar cos(C ).
• Utilizando el punto anterior, pruebe la Ley de Cosenos
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C )
3