Práctica #3
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Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Departamento de Física | UNAH-VS
PÉNDULO SIMPLE
OBJETIVOS
1. Determinar el periodo en función de la longitud (L) del hilo para pequeñas desviaciones.
2. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad.
3. Determinar el periodo en función de la desviación angular.
APARATOS Y MATERIALES
• Esfera metálica
• Hilo
• Metro graduado
• Soporte
• Cronómetro
MARCO TEÓRICO
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura 1. Si desplazamos la
partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo θ con la vertical, y
luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción
de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas θ y −θ, simétricas
respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud L del hilo. El
movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
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θ
T⃗
m⃗g sin θ
θ
m⃗g cos θ
m⃗g
Figura 1
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones se debe escribir la ecuación del movimiento de
la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su
propio peso (mg) y la tensión del hilo (T ), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del
peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
Ft = −mg sin θ = mat
recordando que at es la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza
restauradora).
Al tratarse de un movimiento circular podemos escribir la aceleración tangencial en términos de
la aceleración angular y la longitud del péndulo, como at = lθ̈. De modo que la ecuación diferencial
del movimiento es:
mg sin θ = mℓθ̈
(1)
ℓθ̈ + g sin θ = 0
(2)
PEQUEÑAS OSCILACIONES
Esta ecuación diferencial no corresponde a un movimiento armónico simple (M.A.S.) debido
a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo
simple no es armónico simple, en general.
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Si consideramos tan solo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre
suficientemente pequeño, entonces el valor del sin θ será muy próximo al valor de θ expresado en
radianes, como podemos apreciar en la Tabla 1.
Tabla 1: Comparación entre θ y sin θ para diversos ángulos
θ (◦ )
0
2
5
10
15
20
25
30
θ (rad)
0.00000
0.03491
0.08727
0.17453
0.26180
0.34907
0.43633
0.52360
sin θ
0.00000
0.03490
0.08716
0.17365
0.25882
0.34202
0.42262
0.50000
Dif %
0.00000
0.02
0.13
0.51
1.15
2.06
3.25
4.72
Por lo tanto, para oscilaciones pequeñas podemos decir que sin θ ≈ θ y la ecuación diferencial
se reduce a:
g
θ̈ + θ = 0
(3)
ℓ
Esta ecuación diferencial es matemáticamente idéntica a la ecuación diferencial correspondiente
al M.A.S., aunque ahora nos estamos refiriendo al movimiento angular en lugar del movimiento
rectilíneo, cuya solución es:
θ(t) = θmax sin(ωt + ϕ)
(4)
donde ω es la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período
de las mismas:
r
g
ω=
(5)
ℓ
s
ℓ
T = 2π
(6)
g
Las magnitudes θmax y ϕ son dos constantes determinadas por las condiciones iniciales, correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones
de ángulo plano.
En general para un cuerpo oscilando:
T (s) =
t(s)
N de oscilaciones
◦
.
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OSCILACIONES DE MAYOR AMPLITUD
Para oscilaciones con una amplitud muy grande, no se puede asumir que el valor de sin θ ≈ θ.
Por lo que la ecuación para el periodo se ve afectado por la desviación angular que se le imparta al
sistema. La ecuación para calcular el periodo se vuelve:
#
"∞ "
2
2
2
#
X
1
×
3
(2n)!
1
θ
θ
θ
+
+ . . . + = T0
T (θ) = T0 1 +
sin2
sin4
sin2n
2n
2
2
2
2×4
2
2 (n!)
2
n=0
De la cual solo nos interesan los primeros dos términos de la función, debido a que estos son los que
más afectan el valor. a partir del tercer término las aportaciones no son significativas. La ecuación
del periodo tendrá la siguiente forma:
1 2 θ
T (θ) = T0 1 + sin
(7)
4
2
Medir esta desviación angular podría ser difícil sin un transportador, sin embargo se pueden
utilizar relaciones trigonométricas. Se puede ver
claramente a partir de la Figura 2 que:
θ
L
X
L
X
θ = arcsin
L
sin θ =
X
Figura 2
4
(8)
(9)
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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
OSCILACIONES PEQUEÑAS
Con el péndulo ya montado en el soporte como lo muestra la Fig. 1 se debe proceder a medir el
período de oscilaciones en función de la longitud. En caso de que el hilo sea nuevo, será conveniente
dejar suspendida la esfera durante algunos minutos, para que el hilo se alargue.
Figura 3: Montaje de un péndulo simple de longitud L
1. Mida la longitud del péndulo y anótelo en la Tabla 2.
2. Levantar la esfera y darle un pequeño desplazamiento, trate de superar los 15◦ y además que
esté bien alineado con su posición de equilibrio.
3. Suelte la esfera y comience a tomar el tiempo que le toma al péndulo en completar 20
oscilaciones, con la ayuda de un cronómetro digital.
4. Verifique que el péndulo haya oscilado en forma recta y no formando una elipse, si fue así,
debe repetir la medición.
5. Ahora cambie la longitud del péndulo y realice las nuevas mediciones hasta completar con
estos valores la Tabla 2.
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Tabla 2: Periodo en función de la longitud del péndulo
N◦
1
2
3
4
5
L (m)
t (s)
T (s)
OSCILACIONES DE MAYOR AMPLITUD
Ahora se medirá cómo varía el periodo a mayor amplitud, para esto se mantendrá la longitud
del péndulo fija y se variará la desviación angular.
1. Mida la longitud del péndulo y anote el valor debajo de la Tabla 3.
2. Alzar la masa colgante hasta que esta se haya movido una distancia horizontal (X) igual a
5 cm tal como lo muestra la Figura 2. Esta distancia la debe medir con la regla colocándola
de manera horizontal.
3. Suelte la masa y comience a tomar el tiempo que le toma al péndulo en completar 10
oscilaciones, con la ayuda de un cronómetro digital.
4. Verifique que el péndulo haya oscilado en forma recta y no formando una elipse, si fue así,
debe repetir la medición. Registre los valores en la Tabla 3.
5. Ahora alce la masa 5 cm más horizontalmente y realice las nuevas mediciones hasta completar
con estos valores la Tabla 3.
Tabla 3: Periodo en función de la variación angular
N◦
1
2
3
4
5
6
X (m)
t (s)
T (s)
L=
6
θ (◦ )
sin2 (θ/2)
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CÁLCULOS
1. Trace en papel milimetrado la gráfica de T en función de L usando los datos de la Tabla 2.
2. Linealice los datos anteriores: Identifique la variable dependiente, independiente, la pendiente
y el intercepto.
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3. Determinar el valor de la aceleración de la gravedad a partir del gráfico linealizado (regresión
lineal). Exprese su respuesta de la forma:
g =< g > ±δg
m/s2
4. Trace en papel milimetrado la gráfica de T en función de sin2 ( 2θ ) usando los datos de la Tabla
3.
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5. Determine el valor del periodo T0 linealizando la Ecuación 7 y los datos de la Tabla 3.
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ANÁLISIS DE RESULTADOS
¿Qué tipo de curva muestra la gráfica del calculo 1 1? ¿Cuál es la forma de la ecuación que
debería tener?
Comparar mediante el error relativo el valor experimental de la gravedad con el valor teórico.
• Nota: El valor de la gravedad en San Pedro Sula es de 9.78 sm2 .
¿Presentan los datos (del grafico 2 en el inciso 4 de los calculos)4 una tendencia creciente?
Según lo estudiado en la teoría, para oscilaciones pequeñas, ¿a qué es directamente proporcional
el periodo?
Se conoce que para cierto péndulo simple, su longitud es equivalente a 1 m, además, que
completa 100 oscilaciones en un tiempo estimado de 254 segundos. A partir de estos datos,
calcule la gravedad a la cual está expuesto dicho péndulo.
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Si en el inciso anterior aumenta 18 veces la longitud del péndulo, ¿qué sucede con la frecuencia
angular?. Explique
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CONCLUSIONES
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