Movimiento Armónico Simple y el Péndulo Simple.
Santiago Nicolás Velázquez Bernárdez
25 de octubre del 2022
Resumen
El estudio realizado tuvo como principal objetivo estudiar y demostrar el comportamiento y las
características de los osciladores armónicos y, con ellos, obtener la aceleración de la gravedad
terrestre.
Los materiales utilizados fueron: Soportes universales, masas, cuerdas, varillas de metal, cronómetro,
cámara de video y medidor de ángulos.
En el estudio realizado se pudo demostrar; Una masa oscilando solamente cumple la característica
de ser armónica simple si su inclinación de oscilación no supera los 10°. El movimiento armónico
simple nos ayudó a determinar la gravedad terrestre ( 𝒈 = 𝟗. 𝟖𝟑 𝒎/𝒔𝟐 ) con una incertidumbre de
𝚫𝒈 = ± 𝟎. 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐 . Se estudió y demostró la 2° Ley de Newton aplicando movimiento rotacional
oscilatorio. Un péndulo largo tiene un periodo más largo que uno corto. Si aumenta g, aumenta la
fuerza de restitución, causando un aumento de la frecuencia y una disminución del periodo.
El experimento realizado fue realizado en el laboratorio de física de la FaCEN.
1.
Introducción.
Un movimiento periódico de vaivén en el que un
cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de
equilibrio y en intervalos de tiempo iguales se
conoce como Movimiento Armónico Simple.
Algunos ejemplos de este movimiento son el
movimiento de un péndulo simple o el
movimiento de una partícula oscilante sujeta a
un resorte que se ha comprimido.
Un péndulo simple es un modelo idealizado que
consiste en una masa puntual suspendida de una
cuerda no expansible y de masa despreciable. Si
la masa se mueve a un lado de su posición de
equilibrio vertical descendente, oscilará
alrededor de dicha posición. (Young &
Freedman, 2013) [2]
proporcional al desplazamiento x con respecto al
equilibrio.
Siendo la fuerza de restitución aquella que
mueve al cuerpo en su posición de equilibrio.
Cuando la fuerza de restitución es directamente
proporcional al desplazamiento con respecto al
equilibrio
la
oscilación
se
denomina
movimiento armónico simple, que se abrevia
como MAS, su aceleración está dada por:
𝑑 2 𝑥 𝐹𝑥
=
𝑑𝑡 2 𝑚
Un cuerpo que está en movimiento armónico
simple se denomina oscilador armónico.
𝑎=
Este fenómeno se puede encontrar fácilmente en
el día a día, desde una hamaca hasta una
campana de reloj.
El principio que demuestra este fenómeno tan
cotidiano es la 2° Ley de Newton, la cual será
utilizada en esta práctica.
Esta práctica tiene como objetivo estudiar y
demostrar
el
comportamiento
y
las
características de los osciladores armónicos y,
con ellos, obtener la aceleración de la gravedad
terrestre.
2.
Aspectos teóricos.
El tipo de oscilación más sencillo sucede cuando
la fuerza de restitución 𝐹𝑥 es directamente
En la figura representamos las fuerzas que
actúan sobre la masa en términos de
componentes tangencial y radial. La fuerza de
restitución 𝐹𝜃 es la componente tangencial de la
fuerza neta:
𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la
tensión T solo actúa para hacer que la masa
puntual describa un arco. La fuerza de
restitución es proporcional no a 𝜃 sino a 𝑠𝑒𝑛(𝜃),
así que el movimiento no es armónico simple. Sin
embargo, si el ángulo 𝜃 es pequeño, 𝑠𝑒𝑛(𝜃) es
casi igual a 𝜃 en radianes. Por ejemplo, si 𝜃 =
0.1 𝑟𝑎𝑑 = 6°, 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0.0998 , una diferencia
de solo 0.2%. (Young & Freedman, 2013) [2]
Por lo tanto, la oscilación siempre será un
movimiento armónico simple cuando el ángulo
no supere los 10°.
Ahora linealizamos la ecuación para poder
utilizar el método de propagación de errores
“Mínimos cuadrados” de la siguiente manera:
𝑳=𝒈∙
Donde nuestra longitud 𝐿 sería nuestro valor de
y,
3.
2𝜋
𝜔
Con el valor de 𝜔 que obtuvimos, reemplazamos
y nos queda:
la
Métodos
Dos soportes universales.
Dos masas.
Cuerda fina.
Varillas de metal.
Un indicador de ángulos.
Un cronómetro.
Una cámara de video.
Los péndulos se armaron sujetando la varilla de
metal al soporte universal con el medidor de
ángulos. Posteriormente se ató el extremo
superior de la cuerda por la varilla de metal y el
extremo inferior de la cuerda por la masa.
𝑇=
𝟒𝝅𝟐 𝑳
𝒈=
𝑻𝟐
por
El procedimiento fue grabado mediante una
cámara de video para tener registro de las
errores posibles para tener en cuenta a la hora
de hacer los cálculos.
Para determinar el periodo de oscilación
aplicamos:
𝑳
𝒈
Para hallar la gravedad despejamos la última
ecuación y queda:
formada
La práctica consistió en armar péndulos simples
con masas colgantes de una cuerda de longitud
L, de tal forma que se pueda medir un periodo
distinto para cada uno y hallar más valores
promedio de la gravedad terrestre.
Siendo 𝜔 la frecuencia angular del oscilador
armónico.
En estas expresiones no interviene la masa de la
partícula. La razón es que la fuerza de
restitución, una componente del peso de la
partícula es proporcional a 𝑚 . Así, la masa
aparece en ambos miembros de ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 y se
elimina. (Se trata del mismo principio físico que
explica por qué dos cuerpos con diferente masa
caen con la misma aceleración en el vacío). Si la
oscilación es pequeña, el periodo de un péndulo
para un valor dado de g depende solo de su
longitud.
recta
Péndulo Simple.
𝒈
𝝎=√
𝑳
𝑔
√
𝐿
la
Métodos y Procedimiento:
𝐹
𝑚
= 𝟐𝝅 ∙ √
sería el valor de x y la gravedad g la
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
𝑔 = 𝜔2 𝐿
2𝜋
4𝜋2
Materiales:
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝐿
𝑇=
𝑇2
pendiente de
linealización.
Con esta aproximación, la ecuación se convierte
en:
𝑥
𝐹𝜃 = −𝑚𝑔𝜃 = −𝑚𝑔
𝐿
Por lo tanto, la constante de fuerza se vuelve:
𝑚𝑔
𝑘=
𝐿
De esta manera, aplicando la 2° Ley de Newton,
obtenemos:
𝐹 =𝑚∙𝑔 →𝑔 =
𝑻𝟐
𝟒𝝅𝟐
El péndulo se hizo oscilar con un ángulo no
mayor a los diez grados, se grabó, se cronometró
y se analizó la trayectoria del mismo para
analizar su periodo y de allí, obtener la gravedad.
Este procedimiento se repitió 16 veces para
obtener un calculo más certero y con menos
incertidumbres.
4.
Análisis de Resultados:
Los resultados muestran su validez a través de los
cálculos:
El primer péndulo montado tenía una longitud de
1 metro y un periodo de 2.00 segundos.
El segundo péndulo tenía una longitud de 0.88
metros y un periodo de 1.85 segundos.
El tercer péndulo tenía una longitud de 0.75
metros y un periodo de 1.77 segundos.
Ignorando el valor de b de la ecuación linealizada,
obtenemos un valor de la gravedad de 𝒈 =
𝟗. 𝟖𝟑 𝒎/𝒔𝟐 con una incertidumbre de Δ𝑔 =
±𝟎. 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐.
El cuarto péndulo tenía una longitud de 0.585
metros y un periodo de 1.54 segundos.
Considerando el valor de b en la ecuación
linealizada se obtiene un valor de 𝒈 = 𝟗. 𝟗𝟗 𝒎/𝒔𝟐
con una incertidumbre de 𝚫𝒈 = ± 𝟎. 𝟐𝟗 𝒎/𝒔𝟐 .
El séptimo péndulo tenía una longitud de 0.52
metros y un periodo de 1.43 segundos.
El quinto péndulo tenía una longitud de 0.45
metros y un periodo de 1.36 segundos.
5.
El sexto péndulo tenía una longitud de 0.33 metros
y un periodo de 1.13 segundos.
Conclusión
En este estudio práctico se pudo concluir lo
siguiente:
El octavo péndulo tenía una longitud de 0.245
metros y un periodo de 1.04 segundos.
Una masa oscilando solamente cumple la
característica de ser armónica simple si su
inclinación de oscilación no supera los 10°.
Todas las variables fueron obtenidas analizando
los videos tomados en el software Tracker Video.
Cálculos, tablas y gráficas:
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
y (Longitud) [m] x (Periodo) [s]
1
2
0.88
1.85
0.75
1.77
0.585
1.54
0.45
1.36
0.33
1.13
0.52
1.43
0.245
1.04
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
y (Longitud) [m] x (Periodo) [s]
1
0.1013
0.88
0.08669
0.75
0.07935
0.585
0.06
0.45
0.0468
0.33
0.0323
0.52
0.0518
0.245
0.0273
Tabla 1: Datos tomados del péndulo.
Tabla 2: Datos tomados
linealización del periodo.
aplicando
Gráfica 1: Longitud en función al periodo.
la
El movimiento armónico simple nos ayudó a
determinar la gravedad terrestre.
Se estudió y demostró la 2° Ley de Newton
aplicando movimiento rotacional oscilatorio.
Un péndulo largo tiene un periodo más largo que
uno corto. Si aumenta g, aumenta la fuerza de
restitución, causando un aumento de la frecuencia
y una disminución del periodo.
6.
Anexos
7. Referencias
[1] Serway A. R. & Jewett W. J. (2015). Física para
Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. (9° ed.). Cengage
Learning.
[2] Young H. D. & Freedman R. A. (2013). Física
Universitaria. Volumen 1. (13° ed.). Pearson.