Movimiento Armónico Simple y Ley de Hooke
Simple Harmonic Motion and Hooke's Law
Integrantes del grupo: José Quintana Vázquez, Jonelys P. Colón Hernández, Yulissa Crespo
Ramos, Daniel D. Díaz Suárez, Kevin M. González Santiago, Ryan Desarden Nieves
Universidad de Puerto Rico Recinto de Mayagüez,
Departamento de física, Laboratorio de física 1, Sección 029
9 de noviembre de 2023
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Resumen (Kevin M. González Santiago)
En el laboratorio número 11 titulado "Movimiento Armónico Simple y Ley de Hooke", llevamos a cabo
una serie de experimentos utilizando un simulador de computadora. Este laboratorio se dividió en dos
partes: la primera parte se enfocó en la Ley de Hooke, mientras que la segunda parte se centró en el
Movimiento Armónico Simple. Los objetivos principales de este experimento era determinar la
constante del resorte utilizando dos enfoques diferentes, comparar los valores obtenidos a través de
estos métodos y observar el comportamiento del movimiento armónico simple. En la primera parte,
aplicamos diversas masas a un resorte y medimos el desplazamiento resultante. Luego, utilizamos los
datos recopilados para crear una gráfica de mg (producto de la masa por la gravedad) versus el
desplazamiento en x. A través de un ajuste lineal de estos datos, pudimos calcular la constante del
resorte. En la segunda parte, repetimos un proceso similar, pero esta vez utilizamos un cronómetro para
medir el período de oscilación del resorte con diferentes masas. Utilizamos la variable T para
representar el período de oscilación y la calculamos. Luego, creamos una gráfica de masa versus 𝑇2
y realizamos un ajuste lineal para determinar la constante del resorte en esta parte del experimento.
Finalmente, comparamos la constante del resorte obtenida en la parte uno con la de la parte dos y
calculamos el porcentaje de diferencia entre ambos valores. Este laboratorio nos permitió estudiar de
manera efectiva los principios de la Ley de Hooke y el Movimiento Armónico Simple utilizando un
enfoque práctico con el uso de un simulador de computadora.
Palabras claves: [Ley de Hooke, Movimiento armónico simple, Constante del resorte, Periodo de
oscilación]
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1.
Introducción
Hernández)
(Jonelys
P.
Colón
La primera parte de este trabajo se basa en la
Ley de Hooke. Esta establece que el
alargamiento de un resorte es directamente
proporcional a la distorsión de la fuerza que se
le aplique [1]. Es decir que, si se duplica la
fuerza, el alargamiento también se duplicará. El
movimiento armónico simple establece que un
objeto en este tipo de movimiento oscila de una
manera periódica alrededor de un punto en
equilibrio, el cual dichas oscilaciones se pueden
describir con una función senoidal si sus
fuerzas son proporcionales al desplazamiento
con respecto a la posición del equilibrio [1].
Este movimiento de oscilación es causado por
la fuerza al intentar devolver el objeto a su
posición de equilibrio. Las magnitudes
características de un movimiento oscilatorio
son: el periodo (T), el tiempo que tarda de
cumplirse una oscilación completa y la
1
frecuencia (𝑇), número de veces que se repite
una oscilación en un segundo [2]. Como
objetivos para este trabajo se determina
experimentalmente, por dos métodos distintos,
la constante de resorte, comparar ambos valores
y observar el movimiento armónico simple.
5.957 N/m
5.945 N/m
0.20 %
Tabla 3: Resultados de la constante del
resorte k y porciento de diferencia
2.2 Gráficas
2. Datos y Cómputos (José G. Quintana
Vázquez, Daniel D. Díaz Suárez)
2.1 Tablas
m (kg)
mg (N)
(𝑇 − 𝑇0 ) [m]
0.050 kg
0.49 N
0.085 m
0.100 kg
0.98 N
0.17 m
0.150 kg
1.47 N
0.25 m
0.200 kg
1.96 N
0.33 m
0.250 kg
2.45 N
0.41 m
0.300 kg
2.94 N
0.49 m
Figura 1: Gráfica de mg(N) vs 𝑇 − 𝑇0 (m)
Tabla 1: Datos de fuerza y distancia
recopilados experimentalmente
𝑇 (𝑇)
m (kg)
𝑇2 (𝑇2 )
Figura 2: Gráfica de 𝑇2 (𝑇2 ) vs m(kg)
0.050 kg
0.58 s
0.3364 𝑇2
0.100 kg
0.82 s
0.6724 𝑇2
2.3 Cálculos y Resultados
0.150 kg
1s
1 𝑇2
Primera parte:
0.200 kg
1.15 s
1.3456 𝑇2
0.250 kg
1.28 s
1.6384 𝑇2
0.300 kg
1.41 s
1.9881 𝑇2
Según la ley de Hooke, la fuerza de restitución
de un resorte es directamente proporcional a la
distorsión del resorte. De ahí surge la siguiente
ecuación:
Tabla 2: Datos de periodo recopilados
experimentalmente
Donde
𝑇ℎ𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇(𝑇 − 𝑇0 )
k primera
parte (N/m)
k segunda
parte (N/m)
%Dif
(1)
k: es la constante de rigidez del resorte
x: es la longitud final del resorte
𝑇0: es la longitud natural del resorte
𝑇ℎ𝑇𝑇𝑇𝑇 : es la fuerza aplicada al resorte
Para un resorte que está en equilibrio, de la
ecuación (1) se deriva la siguiente ecuación:
Donde
𝑇𝑇 = 𝑇(𝑇 − 𝑇0 ) (2)
m: es la masa de sistema
g: es la aceleración debido a la gravedad de la
Tierra (9.81 m/𝑇2)
k: es la constante de rigidez del resorte
x: es la longitud final del resorte
𝑇0: es la longitud natural del resorte
En este laboratorio, se calculó el peso de
varios sistemas con distinta masa y el cambio
de longitud del resorte. Estos resultados se
encuentran registrados en la Tabla 1.
Se realizó una gráfica de mg vs (𝑇 − 𝑇0 ) con
los datos de la Tabla 1 y se le realizó un ajuste
lineal. Esta gráfica está registrada en la Figura
1.
Al despejar la constante k de la ecuación (2)
obtenemos la siguiente ecuación:
Donde
𝑇=
𝑇𝑇
(𝑇−𝑇0 )
La pendiente de una gráfica de mg vs. (𝑇 −
𝑇𝑇
𝑇0 ) es (𝑇−𝑇 ). Luego de analizar la ecuación
0
(3), se concluyó que la constante k equivale a
la pendiente de la gráfica de la Figura 1.
Llegando a la siguiente relación:
Donde
𝑇 = m (5)
k: es la constante del resorte
m : es la pendiente de la gráfica
Al sustituir el valor de m calculado
anteriormente en la ecuación 5 se obtuvo lo
siguiente:
k= 5.9566 N/m
Segunda parte:
El movimiento que sufre un objeto colgando
de un resorte es un movimiento armónico
simple. El periodo de oscilación está dado por
la siguiente ecuación:
Donde
(3)
𝑇
𝑇 = 2𝑇√𝑇
m: es la masa de sistema
g: es la aceleración debido a la gravedad de la
Tierra (9.81 m/𝑇2)
k: es la constante de rigidez del resorte
x: es la longitud final del resorte
𝑇0: es la longitud natural del resorte
La ecuación de una recta está dada por la
siguiente ecuación:
T: es el tiempo
m: es la masa del objeto
k: es la constante de rigidez del resorte
Reescribiendo la ecuación (6) se obtiene la
siguiente ecuación:
Donde
4𝑇2
𝑇2 = ( 𝑇 )𝑇
Donde
𝑇 = 𝑇𝑇 + 𝑇
(4)
y: es el valor de la variable dependiente
m: es la pendiente
x: es la variable independiente
b: es el intercepto en y
El ajuste lineal de la Figura 1 fue y=5.9566x.
Según la ecuación (4), podemos concluir que:
m=5.9566
(6)
(7)
T: es el tiempo
m: es la masa del objeto
k: es la constante de rigidez del resorte
El ajuste lineal de la Figura 2 fue y=6.6339x.
Según la ecuación (4) se puede concluir que:
m = 6.6339
Analizando la ecuación (6) se concluye que la
4𝑇2
pendiente (m) de la educación es ( 𝑇 ). Por
consiguiente se puede concluir la siguiente
ecuación:
Donde
4𝑇2
m = 𝑇 (8)
m= es la pendiente
k= es la constante de rigidez del resorte
Despejando para k en la ecuación (8) se
obtiene que:
Donde
4𝑇2
𝑇= 𝑇
(9)
m= es la pendiente
k= es la constante de rigidez del resorte
Sustituyendo el valor de la pendiente (m) en la
ecuación (9) se obtiene que:
4𝑇2
𝑇 = 6.6339
k = 5.945 N/m
El porcentaje de diferencia entre dos valores se
calcula con la siguiente ecuación:
Donde
|𝑇|−|𝑇|
%𝑇 = |𝑇|+|𝑇| × 100
(3)
2
3. Análisis de datos (Yulissa Crespo Ramos)
En este experimento, se determinó la constante de
resorte k mediante dos maneras involucrando un
programa de computadora. En la primera parte, se
activaron el Desplazamiento, Longitud Natural,
masa en equilibrio y referencia móvil en el
programa y se configuraron 6 masas diferentes
con el resorte. Al colocar la masa en la punta del
resorte, se estableció su punto de equilibrio, el cual
se midió en metros con una regla dentro del
programa desde la punta del resorte hasta dicho
punto de equilibrio. Los datos de las masas, el peso
de las masas, y el desplazamiento hasta el punto
de equilibrio de cada una, se observan en la Tabla
1. En la Tabla, a medida de que se aumenta la
masa, el desplazamiento del punto de equilibrio
aumenta. A partir de la ecuación de ley de Hooke
(1), se reescribió 𝑇ℎ𝑇𝑇𝑇𝑇 como 𝑇𝑇 (2) en un
resorte en equilibrio y al despejar por la constante
k en la ecuación (2), se obtuvo la ecuación (3) que
define a k en términos del peso dividido por la
diferencia entre la longitud final del resorte y la
longitud natural del resorte(𝑇0). Al graficar los
datos de la Tabla 1 en peso(𝑇𝑇) vs
desplazamiento (𝑇 − 𝑇0 ), se obtuvo la Figura 1
que demuestra una gráfica lineal positiva. Otra
vez, se ilustra que a medida de que aumenta la
masa, su desplazamiento con respecto al resorte al
punto de equilibrio aumenta. Tomando la
ecuación de una línea recta (4) y tomando el valor
de la pendiente de la Figura 1 al hacer un ajuste
lineal (m=5.9566), se analizó la ecuación (3)
nuevamente y se concluyó que la constante k
equivale a la pendiente de la gráfica de la Figura 1
(5). Por definición de la ecuación (5), se determinó
que la constante del resorte era igual a la pendiente
de la Figura 1, en otras palabras, k= 5.9566 N/m.
R: es el primer valor
E: es el segundo valor
D: es el porcentaje de diferencia
Utilizando la ecuación (3) se calcula el
porcentaje de diferencia para los dos valores
obtenidos de k.
%𝑇 =
%D = 0.20%
|5.957| − |5.945|
× 100
|5.957| + |5.945|
2
En la segunda parte del experimento, utilizando el
mismo programa de computadora, se buscó la
constante del resorte utilizando el movimiento
armónico simple. Se realizó dejando las mismas
configuraciones que la parte anterior, solo
añadiendo que el programa demostrara el Rastro
del Periodo y que el movimiento en el resorte
fuera visto lentamente en vez de en tiempo
normal. Para las mismas masas utilizadas en la
primera parte, se configuró el resorte con la masa
en su posición de equilibrio y se deslizó la masa
hacia abajo lentamente para observar las
oscilaciones que se generaban por este
desplazamiento. Por cada oscilación, el programa
mostraba una línea negra que tomaba la forma de
las oscilaciones. Utilizando esa oscilación, se
utilizó un cronómetro para medir el periodo de
cada oscilación con cada masa desde principio
hasta que se completará un periodo de oscilación.
En términos de los datos recolectados, el periodo
de oscilación esta dado por la ecuación (6) y si se
reescribe de cierta manera, obtenemos la ecuación
(7) que utilizamos para calcular la constante del
resorte. Los datos experimentales de esta parte se
colocaron en la Tabla 2, los cuales fueron
utilizados para hacer la Figura 2 que demuestra 𝑇2
vs m. Analizando la ecuación (6) se concluye que
4𝑇2
la pendiente de la misma es ( 𝑇 ), por lo que se
puede hacer la relación de que la pendiente de una
línea recta es igual a el periodo de oscilación al
cuadrado multiplicado por la masa (8). Dentro de
la ecuación (8) se despejó para la constante del
resorte y nos quedó que con la ecuación (9), luego
de hacer el ajuste lineal a la Figura 2, k = 5.945
N/m.
La tercera y última tabla del experimento compila
las dos constantes del resorte obtenidas y con la
ecuación (10), se calculó el porcentaje de
diferencia entre las dos. Con un porcentaje de
diferencia de 0.20%, concluimos que el
experimento se realizó de manera efectiva y
dentro de los parámetros aceptables. A pesar de
que este laboratorio se haya realizado en un
programa de computadora, el cual remueve
muchos errores humanos normalmente cometidos
en un ambiente de laboratorio presencial, hubo
errores que se tienen que reportar. La mayor
incertidumbre que surgió en las dos partes era a la
hora de tomar mediciones y usar el cronómetro. La
Referencia móvil se colocaba aproximadamente
en la punta del resorte y desde ahí, con una regla
en cm dentro del sistema, se midió la distancia del
desplazamiento de la primera parte. La otra
instancia de incertidumbre fue medir los periodos
de oscilación de la segunda parte. El empezar y
detener el cronómetro para cada periodo pudiera
inducir error si no se paraba el mismo exactamente
cuando aparecía y desaparecía la oscilación. A
pesar de los errores, concluimos que la constante
del resorte se consiguió de manera efectiva y
eficiente en ambas partes realizadas.
4. Conclusiones (Yulissa Crespo Ramos)
En las dos partes de este laboratorio, se logró
conseguir el valor de la constante de rigidez del
resorte. A partir de la ley de Hook y el programa
de computadora utilizado con diferentes masas,
se graficaron los pesos de las masas y los
desplazamientos del punto de equilibrio
obtenidos y se obtuvo la pendiente de esta
gráfica lineal. La pendiente de esta gráfica fue
la constante de rigidez del resorte. En la
segunda parte, se observó el movimiento
armónico simple del resorte con diferentes
masas y se calculó el periodo de oscilación de
la práctica. El periodo al cuadrado y la masa
que colgaba del resorte se graficaron y se le
busco la pendiente de la gráfica lineal haciendo
un ajuste lineal. En este caso también, la
constante del resorte resultó ser la pendiente.
Comparando los dos numéricamente y
determinando el porcentaje de diferencia entre
ambos, las dos constantes obtenidas fueron casi
el mismo valor, dando como resultado un
porcentaje de diferencia de 0.20%. Con todos
los datos compilados de las observaciones
hechas con un resorte y masas distintas,
concluimos que efectivamente se logró
entender y calcular que es la constante de
rigidez de un resorte.
5. Referencias (Ryan Desarden Nieves)
[1] López, Roura. Manual de Experimentos de
Física I Edición 1, p. 131-135
[2] J.L.Fernández, “Movimiento armónico
simple (M.A.S.),” Fisicalab.
https://www.fisicalab.com/apartado/conceptooscilador-armonico