1
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
Conjunto de números reales R
Sistema de números reales
El sistema de los números reales consta del conjunto de números reales R, dos operaciones: adición y producto, y una relación de orden: < “menor que”, que satisfacen los siguientes
axiomas:
A1. ∀ a, b ∈ R, a + b ∈ R
(Estabilidad o cerradura)
A2. ∀ a, b ∈ R, a + b = b + a
(Ley conmutativa)
A3. ∀ a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)
A4. ∃! 0 ∈ R | a + 0 = a = 0 + a
(Ley asociativa)
(La existencia y unicidad
del neutro aditivo)
2
ÁLGEBRA
A5. ∀ a ∈ R, ∃!−a ∈ R | a+(−a) = 0 (La existencia y unicidad
del inverso aditivo)
P1. ∀ a, b ∈ R, a · b ∈ R
(Estabilidad o cerradura)
P2. ∀ a, b ∈ R, a · b = b · a
(Ley conmutativa)
P3. ∀ a, b, c ∈ R, (a · b) c = a (b · c)
(Ley asociativa)
P4. ∃! 1 ∈ R | a·1 = a = 1·a
(La existencia y unicidad
del neutro multiplicativo)
P5. ∀ a ∈ R ∃! a−1 ∈ R | a · a−1 = 1
(La existencia y unicidad
del inverso multiplicativo)
D. ∀ a, b, c ∈ R, a (b + c) = a · b + a · c
(Ley distributiva)
O1. Para cualesquier a y b en R una y solo una de las siguientes
relaciones se verifica: a < b, a = b, b < a. (Ley de la tricotomı́a)
O2. Si a < b y b < c, entonces a < c.
(Ley de la transitiva)
O3. Si a < b, entonces, para todo c ∈ R, a + c < b + c.
(Ley de la monotonı́a para la adición)
O4. Si a < b y 0 < c, entonces a · c < b · c.
(Ley de la monotonı́a para el producto)
L. Si S es un conjunto no vacı́o de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene un supremo en R.
(Axioma del supremo)
3
1. x (y ± z) = xy ± xz
2. (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2
3. (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy2 ± y3
4. xn − yn = (x − y) xn−1 + xn−2 y + . . . + xyn−2 + yn−1
Para n ∈ N.
5. xn + yn = (x + y) xn−1 − xn−2 y + . . . − xyn−2 + yn−1
Para n impar.
6. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Triángulo de Pascal
(x ± y)0
(x ± y)1
(x ± y)2
(x ± y)3
(x ± y)4
(x ± y)5
(x ± y)6
(x ± y)7
(x ± y)8
1
±1
1
±2
1
±3
1
±1
±4
1
1
±5
10
±10 5
±1
1
±6
15
±20 15
±6
1
1
±7
21
±35 35
±21 7
1
1
±8
28
±56 70
±56 28
8
1
1
1
±4
3
6
ÁLGEBRA
Productos notables y factorización
4
ÁLGEBRA
Binomio de Newton
(x ± y)n =
n
X
k=0
donde:
(−1)k
!
n n−k k
x y
k
!
n
n!
=
k
k! (n − k)!
Leyes de exponentes
1. an = a|· a{z
· a . . .}
a
.
n factores
2. am an = am+n
3. am
n
= an
m
4. (ab)n = an bn
5.
1
= a−n
an
= amn
 m−n

a
Si m > n








am 
 1
Si m = n
6. n = 


a





1


 n−m Si m < n
a
a n an
= n
7.
b
b
 n

Si n par

 a
n 
8. (−a) = 


 −an Si n impar
5
ÁLGEBRA
Leyes de los radicales
Radical
Índice
Raíz
Radicando
El n-ésimo radical o raı́z de un número a, escrito como
n ∈ N, es el número b cuya n-ésima potencia es a:
√
n
a=b
⇒
√
n
a, con
bn = a
Para n par, a ≥ 0.
√ √
n
ab = n a · b
r
√
n
a
a
5. n = √
n
b
b
√
√
n
6. −a = − n a para n impar.
√
m
n
1. a n = am
√ m √
n
2. n a = am
q
3.
n
4.
√
√
m
a = nm a
√
n
a±b ,
√
n
√
√
n
n
a± b
6
ÁLGEBRA
Forma estándar de los radicales
√
n
am
,
b
a≥0 ∧ m<n
Se dice que un radical está en forma estándar si se cumplen las
condiciones siguientes:
1. El radicando es positivo
2. El ı́ndice del radical, es el menor posible.
3. El exponente de cada factor del radicando es un número
natural menor que el ı́ndice del radical.
4. No hay fracciones en el radicando
5. No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.
Racionalización
En matemáticas, racionalizar consiste en la eliminación de los
radicales que se hallan en el denominador de un número fraccionario. Para ello se multiplica el numerador y el denominador
por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raı́z del
denominador sin modificar el valor de la fracción.
7
a b a±b
± =
c c
c
a c ad ± bc
2. ± =
b d
bd
a c ac
3. · =
b d bd
a c a d ad
4. ÷ = · =
b d b c bc
1.
5. a
!
b
ab
=
c
c
a −a
a
−a
6. − =
=
,
b
b
−b −b
7.
a a
a
, ±
b±c b c
Ley de la herradura
1.
a
b
c
=
a
bc
2.
a
b
c
=
ac
b
ÁLGEBRA
Fracciones algebraicas
8
ÁLGEBRA
Formula general para solución de ecuaciones de 2o grado
ax2 + bx + c = 0,
con a, b, c ∈ R ∧ a , 0
Discriminante: D = b2 − 4ac
Si D > 0, dos raı́ces reales distintas.
Si D = 0, dos raı́ces coincidentes reales.
Si D < 0, sin raı́ces reales.
√
x=
−b ±
b2 − 4ac
2a
Errores algebraicos comunes
Incorrecto
a − (x − b) , a − x − b
Correcto
a − (x − b) = a − x + b
(a ± b) , a2 ± b2
!
!
1
1
1
a
b , ab
2
2
2
a
a a
, ±
b±c b c
(a ± b) = a2 ± 2ab + b2
!
!
1
1
1
a
b = ab
2
2
4
1 1
1
± ,
a b a±b
1 1 b±a
± =
a b
ab
Dejar igual
!
1
1
,
x
3x
3
!
1
1
x,
3
3x
! !
1
1 1
=
3x
3 x
!
1
x
x=
3
3
1
1
+2 ,
x
x+2
3
x2 , x5
1 2x 1 + 2x
1
+2 = +
=
x
x x
x
3
x2 = x(2)·(3) = x6
2x3 , (2x)3
2x3 = 2 x3
1
, x−1/2 − x−1/3
x1/2 − x1/3
√
√
5x , 5 x
Dejar igual
√
5x =
√ √
5 x
p
p
−x2 + a2 , − x2 − a2
Dejar igual
p
x2 + a2 , x + a
Dejar igual
a + ax
, a+ x
a
a + ax a (1 + x)
=
= 1+ x
a
a
ÁLGEBRA
9