Del 1
Oppgave 1
a) Kan forsøke å finne stignigstallet til tangenten i t = 1, men den er negativ, og det er kun
ett alternativ som har negativ verdi. Dermed er B. −1,4 m/s rett svar.
b) Vi ser at linja krysser t-aksen i 0,7 s. Da v = 0 i toppunktet, må det være B. 0,7 s som
er riktig svar.
c) Akselerasjonen er −4,6 m/s2 . D er riktig.
d) Når en gjenstand faller fritt, er tyngden den eneste kraften som utfører noe arbeid på
gjenstanden. Da tyngdeakselerasjonen er konstant, vil alternativ A (Akselerasjonen til et
objekt i fritt fall er konstant) være rett svar.
e) Formelen for kinetisk energi er EK = 21 mv 2 . Riktig svar er B. 1,1 · 105 J.
f ) Bevegelsesmengde er definert som p = mv, og benevningen blir dermed kg · ms . Men siden
en newton er definert som
1 N = 1 kg ·
m
,
s2
kan vi skrive
1 kg ·
m
= 1 N · s,
s
og D er riktig svar.
P
g) Vi vet gjennom impulsloven at I = ∆p =
F ·t. Krafta som virker fra A til B er motkraft
til krafta som virker fra B til
A.
Gjennom
Newtons 3. lov vet vi at disse kreftene må
P
være like store. Siden både
F og t er like for de to objektene, må impulsen være like
stor, og alternativ C er riktig.
Oppgave 2
a) For å finne total tilbakelagt strekning, må vi finne arealet mellom grafen til v og taksen. Siden grafen krysser t-aksen, må vi regne ut arealene av to trekanter. Det første
for t ∈ [0, 0,7 s⟩, og det andre for t ∈ ⟨0,7 s, 1,4 s]. Man kan også bruke veiformel 1,
s = v02+v t på hvert av intervallene, og så legge sammen strekningene når man ser bort fra
det negative fortegnet man får for det andre intervallet. Regner man med denne formelen
på hele intervallet, får man 0, som er posisjonen i forhold til start. Det er ikke det samme
som tilbakelagt strekning.
1
b) Her har vi bevaring av mekanisk energi. Vi setter h0 = 0. Da har vi at
∆EMek = 0
E = E0
EK + EP = EK0 + EP0
1 2
1
mv + mgh = mv02 + mgh0
2
2
⇓ h0 = 0
1 2
1
mv + mgh = mv02
2
2
⇓ deler på m/2
v 2 + 2gh = v02
v 2 = v02 − 2gh
q
v = v02 − 2gh,
og alternativ A er riktig.
c) Tyngdekreftene som virker mellom et fallende objekt og jorda, er motkrefter til hverandre,
det samme som kreftene mellom hammer og spiker i støtet lengst til høyre. Tyngde- og
normalkraft i bildet lengst til venster er derimot ikke et kraft/motkraft-par, da de virker
på det samme objektet.
d) Alle påstandene bortsett fra at krefter måles i kg er riktig.
e)
Siden farta er konstant i det midterste bildet, må det være en friksjonskraft til stede.
Denne må være like stor som F og motsatt retta. I bildet lengst til høyre vil det virke
en kraft fra boks B på boks A, dette er motkrafta til normalkrafta som vikrer på boks B.
Normalkrafta til boks A må være like stor som tyngden til A pluss NB∗ .
f ) Her får vi vite at støtet er elastisk, det vil si at den kinetiske energien er bevart. Den
2
kinetiske energien før støtet er EK0 = 12 mvA0
. I alternativ A og B vil den kinetiske
2
2
±vA0
1
2
+ 12 m vA0
= 14 mvA0
energien etter støtet være EK = 2 m 2
, og den kinetiske
2
energien er dermed ikke bevart. I alternativ C er ikke bevegelsesmengden bevart, da
p = −p0 . Alternativ D er det eneste der både bevegelsesmengde og kinetisk energi er
bevart, og dermed riktig svar.
2
Del 2
Oppgave 3
50 m
m
a) Vi kan finne akselerasjonen ved å bruke tidløs formel med v0 = 3,6
, v = 100
og
s
3,6 s
s = 40 m. Det gir
v 2 = v02 + 2as
a=
v
2
− v02
2s
=
100 m
3,6 s
2
−
50 m
3,6 s
2 · 40 m
2
m
= 7,2 2 .
s
b) For å finne farta etter 50 meter, bruker vi tidløs formel enda en gang, men denne gangen
er v farta etter s = 20 m.
v 2 = v02 + 2as
s
2
q
50 m
km
m
m
2
v = v0 + 2as =
.
+ 2 · 7,2 2 · 20 m = 22 = 79
3,6 s
s
s
h
Oppgave 4
Dette må regnes på i to omganger. Mens motoren går, har raketten en konstant akselerasjon
på 25 m/s2 . Når motoren har slutta å gå, bremses raketten av tyngdeakselerasjonen som blir
−9,81 m/s2 , hvis vi velger positiv retning oppover. Mens motoren går kan vi bruke veiformel 2
med t = 20 s, v0 = 0 og a = 25 m/s2 .
1
v =0 1
s1 = v0 t + at2 0=
· 25 m/s2 · (20 s)2 = 5,0 km.
2
2
Etter at motoren har slutta å gå, kan vi bruke tidløs formel. Først må vi finne farta v1 raketten
har idet motoren slutter å gå:
v12 =v02 + 2as1
q
p
v =0
v1 = v02 + 2as1 0=
2 · 25 m/s2 · 5,0 · 103 m = 0,50 km/s.
Dette kan vi bruke til å finne posisjonen til rakettens toppunkt, når v2 = 0:
v22 = v12 + 2as2
v 2 − v12
v2
(500 m/s)2
s2 = 2
= 1 =
= 13 km
2a
2g
2 · 9,81 m/s2
Total høyde blir s1 + s2 = 5,0 km + 13 km = 18 km.
Oppgave 5
Tyngden til personen vil være den samme hele tiden, men normalkrafta vil være forskjellig.
Når heisen har konstant fart, vil normalkrafta til personen være like stor og motsatt retta som
tyngden. Vekta måler N ∗ , altså motkrafta til normalkrafta som virker på personen. Når denne
er lik tyngden til personen, viser vekta 75 kg. Når heisen begynner å bremse, vil personen på
vekta akselerere nedover (men stadig ha fart oppover, må vi håpe). Da må tyngden til personen
være større enn normalkrafta, og normalkrafta må dermed bli mindre. Vekta viser dermed et
tall som er noe mindre enn 75 kg.
3
Oppgave 6
Dette er et sammensatt system. Hvis vi velger positiv retning nedover for det tyngste loddet,
må vi velge positiv retning oppover for det letteste - rett og slett fordi det letteste går oppover
når det tyngste går nedover.
a) Akselerasjonen vil være den samme for begge loddene. Vi kan se på Newtons 2. lov for
hvert av loddene separat. Snordragene S som holder loddene oppe vil være like på grunn
av Newtons 3. lov. For det letteste loddet gjelder
X
FL = mL a
S − GL = mL a
S = mL a − GL
= mL a − mL g
For det tyngste loddet kan vi sette opp
X
FT = mT a
GT − S = mT a
mT g − mL a − mL g = mT a
(mT + mL )a = (mT − mL )g
1,5 kg − 1,0 kg
mT − mL
g=
a=
· 9,81 m/s2 = 2,0 m/s2 .
mT + mL
1,5 kg + 1,0 kg
b) Når avstanden mellom boksene er 0,26 meter, har systemet bevegd seg 0,13 meter. Med
akselerasjonen over, kan vi bruke tidløs formel for å finne farta. Her bruker vi v0 = 0.
v 2 = v02 + 2as
p
√
v = 2as = 2 · 2,0 m/s2 · 0,13 m = 0,71 m/s.
Oppgave 7
a) Her er den mekaniske energien bevart, og vi bruker nivået i punkt C som nullnivå for den
potensielle energien. Dermed er h0 = 1,2 m.
1 2
1
mv + mgh = mv02 + mgh0
2
2
1 2 1 2
mv = mv0 + mgh0
2
2
2
v = v02 + 2gh0
(Tidløs formel! ⋆)
q
p
v = v02 + 2gh0 = (6,0 m/s)2 + 2 · 9,81 m/s2 · 1,2 m = 7,7 m/s.
b) Regner på samme måte som over, men setter nullnivå for potensiell energi i punkt B, og
4
bruker h = 0,80 meter.
1
1 2
mv + mgh = mv02 + mgh0
2
2
1 2
1
mv + mgh = mv02
2
2
1 2 1 2
mv = mv0 − mgh
2
2
2
v = v02 − 2gh
q
p
v = v02 − 2gh = (6,0 m/s)2 − 2 · 9,81 m/s2 · 0,80 m = 4,5 m/s,
qed.
c) Her kan vi bruke setningen om mekanisk energi, der friksjonsarbeidet blir
WA = R · s · cos ϕ = µ · N · cos 180◦ = −µmgs.
Dermed kan vi sette
E = E 0 + WA
1 2 1 2
mv = mv0 − µmgs
2
2
1 2
− mv0 = −µmgs
2
v02
(4,5 m/s)2
s=
=
= 1,3 m.
2µg
2 · 0,82 · 9,81 m/s2
Oppgave 8
a) Den oppgitte effekten er hvor mye elektrisk energi energiverket produserer per sekund.
Vi antar at all den kinetiske energien vannet får, blir omgjort til elektrisk energi. Da kan
vi bruke bevaring av mekanisk energi til å finne massen (og dermed volumet) per sekund
gjennom energiverket.
1
mgh0 = mv 2 = 1240 · 106 J
2
hvert sekund. Dermed blir
m=
1240 · 106 J
1240 · 106 J
=
= 2,35 · 105 kg.
gh0
9,81 m/s2 · 537 m
Det vil si om lag 235 000 liter hvert sekund.
b) Den oppgitte produksjonen er Ep = 3028 GWh = 3028 · 109 Wh, mens totalt forbruk i
for norske husstander er Eh = 38,5 TWh = 38,5 · 1012 Wh. Et ukjent antall n energiverk
skal produsere nok energi til norske husstander. Vi kan dermed sette opp likningen
nEp = Eh
Eh
38,5 · 1012 Wh
n=
=
= 12,7.
Ep
3028 · 109 Wh
Vi må derfor ha 13 tilsvarende energiverk for å dekke behovet.
5
c) Her kan vi regne på samme måte som i oppgave a), men nå må vi ta med at kun 90 %
av den potensielle energien til vannet vil omgjøres til elektrisk energi. Da får vi
1
0,9mgh0 = mv 2 = 1240 · 106 J
2
hvert sekund. Dermed blir
m=
1240 · 106 J
1240 · 106 J
=
= 2,61 · 105 kg.
0,9gh0
0,9 · 9,81 m/s2 · 537 m
Det vil si om lag 261 000 liter hvert sekund.
6