Operaciones Algebriacas Cartesianas
FIUSAC, Depto. de Matemática, MA5N
Prof. José Saquimux
Los numeros complejos cumplen con las leyes del álgebra real. Si A = a + bi y B = c + di
1. Identidad
A=B
sí y solo sí
a=c y b=b
Ejemplo
Para determinar los valores de m y n si:
3m + 2yi = m + 1 + mi
igualando partes reales e imaginarias, tenemos el sistema
3m = m + 1
2y = m
Del cual, m =
1
2
yy=
1
4
2. Adición
A ± B = (a ± c) + (b ± d)i
Ejemplo
. Para la simplicar
(2 + 5i) + (1 − 8i) − (2 − i) = [(2 + 5i) + (1 − 8i)] − (2 − i)
= 3 − 3i − (2 − i)
= 1 − 2i
3. Multiplicación
Use propiedades y reglas algebraicas
Ejemplo
. Para efectuar el producto
(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= ac − bd + (ad + bc)i
Ejemplo
Para determinar Re[(a + bi)3 ] e Im[(a + bi)3 ]
(a + bi)3 =
=
=
=
=
=
a3 + 3a2 (bi) + 3a(bi)2 + (bi)3
a3 + 3a2 bi + 3ab2 i2 + b3 i3
a3 + 3a2 bi + 3ab2 (−1) + b3 i2 i
a3 + 3a2 bi − 3ab2 + b3 (−1)i
a3 + 3a2 bi − 3ab2 − b3 i
a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i
1
Tenemos
Re[(a + bi)3 ] = a3 − 3ab2
Im[(a + bi)3 ] = (3a2 b − b3 )
e
Ejercicio 1.
1. Del resultado anterior pruebe que
Re[(a + ai)3 ] = −Im[(a + ai)3 ]
2. Muestre que
a + bj = j(b − ja)
3. A mano o usando GeoGebra,dibuje en el plano complejo el vector asociado a z = 2 + j . Luego calcule el
producrto w = j(1 + j) y dibuje su vector asociado. Finalmente establezca el ángulo entre los dos vectores.
4. A mano (con regla graduada) o usando GeoGebra, dibuje en el plano complejo el vector asociado a z = a+bj .
Luego calcule el producrto w = jz = j(a + jb) y dibuje su vector asociado. Finalmente establezca el ángulo
entre los dos vectores. De los dos últimos concluya qué tipo de rotación le hace el factor j a cualquier vector
asociado a un complejo. Este es un hecho tiene uso frecuente en aplicaciones de ingeniería eléctrica.
. Para multiplicar, se puede operar como producto de dos binomios o como verlo
como el producto de una diferencia de cuadrados
Ejemplo 3
(x + iy)(x − iy) = x2 − (yi)2
= x2 + y 2
Se dice que z = x + iy y z = x − iy son conjugados entre sí, y su producto es real (z , leáse
conjugado de z , más adelante se denirá)
x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy)
Una suma de cuadrados reales se factoriza como un producto de conjugados complejos.
Ejercicio 2
. Usando completación de cuadrados y factorizacion en complejos resuelva la ecuación
x2 − 2x + 2 = 0
y por sustitución directa verique su repuesta.
. Para calcular el determinante con elementos complejos
Ejemplo 4
1+j
2
= (1 + j)3j − 2(1 − j) = −5 + 5j
1 − j 3j
Ejemplo 5
Para calcular la potencia i97
i97 =
=
=
=
(i96 )i
[(i2 )48 i
(−1)48 i
i
2
Ejercicio 3.
1. Primeramente calcule
(1 + i)2
2. Apoyándose en el inciso anterior calcule
1
1
+ i
2
2
9
3. Usando software o a mano calcule los valores de F1 y F2 .

F1


1+j
2
1−j
3j
=

F2

1+j



1−j
4. División
Para calcular el cociente, apoyémonos del conjugado del denominador
a + bi
(a + bi)(c − di)
=
c + di
(c + di)(c − di)
(ac + bd) + (bc − ad)i
=
c2+ d2
ac + bd
bc − ad
=
+
i
c2 + d 2
c2 + d 2
Ejercicio 4.
1. Calcule la fórmula anterior de la división, escribiendo
a + bi
= u + vi
c + di
de la que
a + bi = (c + di)(u + iv)
Efectúe el producto indicado, establezca un sistema de 2 × 2 y resuelva para u y v . Deben ser la parte real
e imaginaria del cociente.
2. Apoyándose en la fórmula de la división demuestre que con a = 1 y b = 0, que
z = c + di es
1
=
c + di
c − di
c2 + d 2
=
Es otra fórmula importante.
3
c
c2 + d2
−
d
c2 + d2
i
recíproco
del complejo
Ejercicio 5.
Para el circuito de dos ramas parales siguente
Figura 11. Circuito paralelo de dos ramas.
1. Su admitancia es la suma de las admitancias indiviuales de cada rama, esto es,
Y = Y1 + Y2 =
1
1
+
RL + jXL
RC + jXC
Apoyádose en la estructura de la fórmula del recíproco, a los más en dos líneas de trabajo, calcule su admitancia Y en
forma cartesiana.
2. El circuito entra en resonancia cuando la onda senoidales de corriente y voltage están en fase, esto sucede cuando la
admitancia compleja es real. Es decir cuando la parte imaginaria es cero. Iguale a cero la parte real, de esta ecuación
sabiendo que XC = ω01C y XL = ω0 L despeje ω0 , a esta se le llama frecuencia de resonancia. Como ω0 es real, ¾qué
condiciones deben cumplirse para que ocurra esto?
Ejemplo 6.
Consideremos un ejemplo práctico tomada de teoría de redes. Dos redes RC conectadas en
cascada por una etapa aislante, tal como amplicador con admitancia de entrada despreciable,
como se muestra en la Fig. 2.
Figura 2. Red para la que la función de transferencia es un compelejo al cuadrado
Las funciones voltage de salida/voltage de entrada para cada red, en función de la frecuencia
real ω , es
v01
1
=
vi1
1 + jωRC
v02
1
=
vi2
1 + jωRC
mulltiplicando lado a lado
v01 v02
=
vi1 vi2
1
1 + jωRC
1
1 + jωRC
como
v01 = vi2
queda
v02
=
vi1
1
1 + jωRC
4
2
por lo que para la red combinada la función de transferencia voltage salida/voltage de entrada,
suponiendo una ganancia unitaria es la expresión cuadrática
f (ω) =
1
1 + jωRC
2
Su forma cartesiana es
f (ω) =
1
1 + jωRC
2
2
1 − jωRC
1 + ω 2 R2 C 2
(1 − jωRC)2
(1 + ω 2 R2 C 2 )2
1 − 2jωRC − ω 2 R2 C 2
(1 + ω 2 R2 C 2 )2
2ωRC
1 − ω 2 R2 C 2
−
j
(1 + ω 2 R2 C 2 )2
(1 + ω 2 R2 C 2 )2
=
=
=
=
¾Qué valor tiene que tomar el producto ωRC para que w sea imaginario puro?
***********************************
Referencia
Circuitos Eléctricos. McGraw-Hill, 1969.
Wilbur R.LePage, Complex Variables and the Laplace Trasnform for Engineers. Dover,
1. Joseph A. Edminister,
2.
1961.
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