Operaciones Algebriacas Cartesianas
FIUSAC, Depto. de Matemática, MA5n
Prof. José Saquimux
Los numeros complejos cumplen con las leyes del álgebra real. Si A = a + bi y B = c + di
1. Identidad
A=B
sí y solo sí
a=c y b=b
Ejemplo Para determinar los valores de m y n si:
3m + 2yi = m + 1 + mi
igualando partes reales e imaginarias, tenemos el sistema
3m = m + 1
2y = m
Del cual, y =
1
2
ym=2
2. Adición
A ± B = (a ± c) + (b ± d)i
Ejemplo. Para la simplicar
(2 + 5i) + (1 − 8i) − (2 − i) = [(2 + 5i) + (1 − 8i)] − (2 − i)
= 3 − 3i − (2 − i)
= 1 − 2i
3. Multiplicación
Use propiedades y reglas algebraicas
Ejemplo. Para efectuar el producto
(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= ac − bd + (ad + bc)i
Ejemplo Para determinar Re[(a + bi)3 ] e Im[(a + bi)3 ]
(a + bi)3 =
=
=
=
=
=
a3 + 3a2 (bi) + 3a(bi)2 + (bi)3
a3 + 3a2 bi + 3ab2 i2 + b3 i3
a3 + 3a2 bi + 3ab2 (−1) + b3 i2 i
a3 + 3a2 bi − 3ab2 + b3 (−1)i
a3 + 3a2 bi − 3ab2 − b3 i
a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i
1
Tenemos
Re[(a + bi)3 ] = a3 − 3ab2
Im[(a + bi)3 ] = (3a2 b − b3 )i
e
Ejercicio 1.
1. Del resultado anterior pruebe que
Re[(a + ai)3 ] = −Im[(a + ai)3 ]
2. Muestre que
a + bj = j(b − ja)
3. A mano o usando GeoGebra,dibuje en el plano complejo el vector asociado a z = 2 + j . Luego calcule el
producrto w = j(1 + j) y dibuje su vector asociado. Finalmente establezca el ángulo entre los dos vectores.
4. A mano (con regla graduada) o usando GeoGebra, dibuje en el plano complejo el vector asociado a z = a+bj .
Luego calcule el producrto w = jz = j(a + jb) y dibuje su vector asociado. Finalmente establezca el ángulo
entre los dos vectores. De los dos últimos concluya qué tipo de rotación le hace el factor j a cualquier vector
asociado a un complejo. Este es un hecho tiene uso frecuente en aplicaciones de ingeniería eléctrica.
Ejemplo 3. Para multiplicar, se puede operar como producto de dos binomios o como verlo
como el producto de una diferencia de cuadrados
(x + iy)(x − iy) = x2 − (yi)2
= x2 + y 2
Se dice que z = x + iy y z = x − iy son conjugados entre sí, y su producto es real (z , leáse
conjugado de z , más adelante se denirá)
x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy)
Una suma de cuadrados reales se factoriza como un producto de conjugados complejos.
Ejercicio 2
. Usando completación de cuadrados y factorizacion en complejos resuelva la ecuación
x2 − 2x + 2 = 0
y por sustitución directa verique su repuesta.
Ejemplo 4. Para calcular el determinante con elementos complejos
1+j
2
= (1 + j)3j − 2(1 − j) = −5 + 5j
1 − j 3j
Ejemplo 5 Para calcular la potencia i97
i97 =
=
=
=
(i96 )i
[(i2 )48 i
(−1)48 i
i
Ejercicio 3.
2
1. Primeramente calcule
(1 + i)2
2. Apoyándose en el inciso anterior calcule
1
1
+ i
2
2
9
3. Usando software o a mano calcule los valores de F1 y F2 .

F1


1+j
2
1−j
3j
=

F2

1+j



1−j
4. División
***********************************
Referencia
1. J. H. Chow, F. F, Wu y J. A. Momoh. Applied Mathematics for Restructured Electric
Power Systems, Optimization, Control and Computational Intelligence, Spinger, 2005
2. https://www.google.com/search?q=curva+de+potencia+reactiva+generador+sincrono+imagenes
(Vistado 22/06/2020)
3. D. A. Rodriguez. Gracación en tiempo real de curvas de capacidad de generadores sincrónicos en sistemas de potencia Proyecto previo a la obtención del título de ingenieró
eléctrico. Escuela Politécnica Nacional, Escuela de Ingeniería. Quito Ecuador. 2008.
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