Texto: Métodos Numéricos
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as
CAPITULO 5: INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA
5.1 INTEGRALES SIMPLES: Se trata de calcular numéricamente, con la ayuda de una computadora, el valor de una integral de la forma,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(5.1)
Nota: Se supone que se tiene una de las siguientes situaciones:
(1) no se conoce la primitiva de la función f(x), ya sea debido a que no existe o la primitiva no está dada por funciones elementales
(2) no se conoce la forma analítica del integrando y la información que se tiene es un conjunto de datos sobre la función para algunos
valores de la variable
Hipótesis: Se considera únicamente integrales definida i.e los límites de integración tienen valores finitos.
Método: Se realiza la siguiente aproximación,
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑
𝑤 𝑓(𝑥 )
(5.2)
donde los pesos, wi, y los nodos, xi, son calculados dependen de los diferentes métodos y n es fijado por el grado de precisión requerido.
5.2 MÉTODO DE NEWTON-COTES
Idea: Se aproxima f(x) por un polinomio de interpolación de diferencias finitas de avance Pn(x) y la integral de f(x) por la integral de Pn(x):
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥
La implementación del método sigue los siguientes pasos:
171
(5.3)
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i) Se fija n el grado del polinomio
ii) Se divide el intervalo de integración [a, b] en n sub-intervalos del mismo tamaño i.e. [xi, xi+1] donde i =0, …, n-1 y
con ℎ =
𝑥 = 𝑥 + 𝑖 ∗ ℎ,
y 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
(5.4)
iii) Se construye el polinomio de interpolación de diferencia finitas de avance Pn (x) con los puntos (xi, f(xi)) i =0, …, n:
𝑃 (𝑥) = 𝑃 (𝑠) = 𝑓(𝑥 ) + ∑
𝑠
=
𝑖
iii)
(
)...(
)
𝑠=
!
𝑠
𝛥 𝑓(𝑥 )
𝑖
(5.5)
ℎ
Se aproxima la integral de la función f(x) por la integral de su polinomio de interpolación Pn (x):
𝐼=
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑃 (𝑥)𝑑𝑥
5.2.1 CASO n=1: MÉTODO DEL TRAPECIO
Se aproxima la función por un polinomio de grado n=1, P1 (x): el polinomio se construye con los puntos (x0=a, f(x0)) y (x1=b, f(x1)):
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃 (𝑥) = 𝑃 (𝑠) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑠𝛥𝑓(𝑥 )
con 𝑠 =
ℎ
y 𝑥 = 𝑎, ℎ = 𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃 (𝑠)(ℎ𝑑𝑠) = ℎ ∫ (𝑓(𝑥 ) + 𝑠𝛥𝑓(𝑥 ))𝑑𝑠 = ℎ[𝑓(𝑥 ) + 𝛥𝑓(𝑥 )].
(5.6)
(5.7)
Utilizando la definición de la diferencia finita de avance de orden 1, 𝛥𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ), se tiene la
aproximación:
172
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∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 )] con ℎ =
(5.8)
Nota: Se demuestra a partir de la función error para el polinomio de interpolación, que el error de la aproximación (5.8) está dado por la
relación,
𝐸 =−
(𝑏 − 𝑎) 𝑓 ( ) (𝜂), 𝜂 ∈ [𝑎, 𝑏]
(5.9)
Si el intervalo de integración es grande, b-a, la estimación puede no ser buena debido a que depende de su potencia al cubo, (b-a)3.
En la práctica, este método es utilizado en una versión modificada conocida como la fórmula del trapecio compuesta.

Fórmula del Trapecio Compuesta
Se divide el intervalo de integración en N sub-intervalos del mismo tamaño y se aproximar la integral en cada uno de dichos subintervalos utilizando la fórmula del trapecio (5.8). Las relaciones matemáticas son:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑
[𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥
)] , 𝐻 =
, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
(5.10)
Esta relación puede ser escrita bajo la forma:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
[𝑓(𝑎) + 2 ∑
𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑏)]
(5.11)
El error de este método para estimar el valor de la integral está dado por la relación:
𝐸 =−
(𝑏 − 𝑎)𝑓 ( ) (𝜂), 𝜂 ∈ [𝑎, 𝑏]
(5.12)
En la práctica, la relación (5.12) no puede ser utilizada debido a que no se conoce el valor exacto de 𝜂; sin embargo, se puede
mayorar con la relación:
173
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|𝐸 | ≤
(𝑏 − 𝑎) 𝑚𝑎𝑥 𝑓 ( ) (𝑥)
(5.13)
∈[ , ]
El error disminuye con la inversa del cuadrado del número de sub-intervalos N, H=(b-a)/N i.e. se puede alcanzar una precisión
arbitraria fijando el número N de sub-intervalos. Si se aumenta N, el tiempo de cálculo también aumenta debido al número de veces
que se debe calcular f(x).
Por otra parte, se constata que la fórmula compuesta (5.13) es exacta si la función a integrar es un polinomio de grado menor o igual a
1, ya que en ese caso la derivada segunda es nula.
Nota: La fórmula compuesta se aplica si se dispone de datos de la función a integrar (xi, f(xi)) con i=1, …, N, donde los xi
consecutivos no están necesariamente separados de la misma distancia, en ese caso la fórmula general es:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑
(
)
[𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥
(5.14)
)]
Ejemplo 5.1: Estimar la integral 𝐼 = ∫ 𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 con el método de trapecio compuesto y utilizando N=6 sub-intervalos.
Solución:
En este caso, H = (2-1)/6 = 1/6 y los valores de los límites de los sub-intervalos, xi, y de la función, f(xi), son:
xi
f(xi) =ln(xi)
x0=1.0
0
x1=7/6
0.154151
x2=8/6
0.287682
x3=9/6
0.405465
La estimación de la integral y de su error se calcula como sigue:
174
x4=10/6
0.510826
x5=11/6
0.606136
x6=2
0.693147
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𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 ≈
1/6
[𝑙𝑛( 1) + 2
2
|𝑬𝟔 | ≤
𝑙𝑛( 𝑥 ) + 𝑙𝑛( 2)] =
1/6
[𝑙𝑛( 1) + 2 ∗ 1.964259 + 𝑙𝑛( 2)] = 0.385139
2
𝑯𝟐
(𝟏/𝟔)𝟐
𝟏
(𝒃 − 𝒂) 𝒎𝒂𝒙 𝒇(𝟐) (𝒙) =
(𝟐 − 𝟏) 𝒎𝒂𝒙 − 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟑𝟏𝟓
𝒙∈[𝒂,𝒃]
𝒙∈[𝟏,𝟐]
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝒙
El resultado exacto es 𝐼 = ∫ 𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥(𝑙𝑛( 𝑥) − 1)| = 0.386294.
El error exacto de la aproximación sería E = 0.001055, menor, como se esperaba, al valor de |E6|. El error relativo es 0.30%.
En la tabla que sigue, se presentan los resultados para diferentes valores de N. La convergencia es lenta, sólo con N=220 sub-intervalos
se tiene una estimación con 6 decimales exactos.
N
Integral
Error (%)
5
0.385139
0.30
10
0.385878
0.11
100
0.386290
0.001
220
0.386294
0
5.2.2 CASO n=2: MÉTODO DE SIMPSON
Se aproxima la función por un polinomio de diferencia finitas de grado n=2, P2 (x).
El intervalo de integración se divide en dos sub-intervalos y el polinomio de interpolación es construido con los puntos (x0=a, f(x0)) ,
(x1=(a+b)/2, f(x1)) y (x2=b, f(x2)):
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃 (𝑥) = 𝑃 (𝑠) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑠𝛥𝑓(𝑥 ) +
(
)
𝛥 𝑓(𝑥 )
con 𝑠 =
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃 (𝑠)(ℎ𝑑𝑠) = ℎ ∫ (𝑓(𝑥 ) + 𝑠𝛥𝑓(𝑥 ) +
175
y 𝑥 = 𝑎, ℎ =
ℎ
(
)
(5.15)
𝛥 𝑓(𝑥 ))𝑑𝑠 = ℎ[2𝑓(𝑥 ) + 2𝛥𝑓(𝑥 ) + 𝛥 𝑓(𝑥 )] (5.16)
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Las diferencias finitas de orden 1 y 2 están dadas, respectivamente, por las relaciones:
𝛥𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ), y 𝛥 𝑓(𝑥 ) = 𝛥𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝛥𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) − 2𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ),
(5.17)
Reemplazando se tiene:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑓(𝑥 ) + 4𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 )] = [𝑓(𝑎) + 4𝑓(
) + 𝑓(𝑏)]
con ℎ =
(5.18)
Nota: A partir de la función error para el polinomio de interpolación se tiene que el error de la aproximación (5.18) está dado por:
𝐸 =−
𝑓 ( ) (𝜂),
(5.19)
𝜂 ∈ [𝑎, 𝑏]
La aproximación puede no ser buena si el intervalo de integración es grande, depende con la potencia a la quinta de la mitad del
tamaño del intervalo de integración. En la práctica, se utiliza una versión modificada conocida como la Fórmula de Simpson
Compuesta.
 Fórmula de Simpson Compuesta
Se divide el intervalo de integración en un número par de sub-intervalos, 2N, del mismo tamaño y se aproxima la integral de la función al
interior de dos sub-intervalos consecutivos utilizando la fórmula de Simpson (5.18).
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑
[𝑓(𝑥 ) + 4𝑓(𝑥
) + 𝑓(𝑥
)] , 𝐻 =
, 𝑥 = 𝑎, 𝑥
= 𝑏,
(5.20)
Esta relación puede ser escrita bajo la forma:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑓(𝑎) + 4 ∑
)+2∑
𝑓(𝑥
Se demuestra que el error de este método está dado por la relación:
176
𝑓(𝑥
) + 𝑓(𝑏)]
(5.21)
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𝑯𝟒
𝑬𝟐𝑵 = − 𝟏𝟖𝟎 (𝒃 − 𝒂)𝒇(𝟒) (𝜼), 𝜼 ∈ [𝒂, 𝒃]
(5.22)
Esta relación no puede ser utilizada directamente debido a que no se conoce 𝜂; sin embargo, se puede estimar un valor máximo mayorándola:
|𝑬𝟐𝑵 | ≤
𝑯𝟒
𝟏𝟖𝟎
(𝒃 − 𝒂) 𝒎𝒂𝒙 𝒇(𝟒) (𝒙)
(5.23)
𝒙∈[𝒂,𝒃]
El error disminuye con la inversa de la potencia cuarta del número de sub-intervalos N que se fija para el cálculo, H=(b-a)/(2N) i.e. se puede
alcanzar una precisión arbitraria fijando el número N de sub-intervalos. Si se aumenta N el tiempo de cálculo también aumenta debido al
número de veces que se debe calcular f(x).
Por otra parte, se constata que la fórmula compuesta del método de Simpson es exacta si la función a integrar es un polinomio de grado menor
o igual a 3, ya que en ese caso la derivada cuarta es nula.
Ejemplo 5.2: Se trata de estimar la integral del ejemplo anterior con el método de Simpson compuesto, utilizando N=3.
En ese caso: H=(2-1)/(2*3)=1/6, los valores de los límites de los sub-intervalos, xi, y de la función, f(xi), serían los indicados en la
tabla.
xi
x0=1.0
x1=7/6
x2=8/6
x3=9/6
x4=10/6
x5=11/6
x6=2
f(xi) =ln(xi)
0
0.154151
0.287682
0.405465
0.510826
0.606136
0.693147
La integral y su error se calcula como sigue:
𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 ≈
1/6
[𝑙𝑛( 1) + 4
3
𝑙𝑛( 𝑥
|𝑬𝟑 | ≤
)+2
𝑯𝟒
𝑙𝑛( 𝑥
) + 𝑙𝑛( 2)] =
(𝒃 − 𝒂) 𝒎𝒂𝒙 𝒇(𝟒) (𝒙) =
𝟏𝟖𝟎
𝒙∈[𝒂,𝒃]
(𝟏/𝟔)𝟒
𝟏𝟖𝟎
177
1
[𝑙𝑛( 1) + 4 ∗ 1.165752+2*0.798508 + 𝑙𝑛( 2)] = 0.386287
18
𝟔
(𝟐 − 𝟏) 𝒎𝒂𝒙 − 𝒙𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔
𝒙∈[𝟏,𝟐]
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El valor exacto de la integral es I= 0.386294 y el error exacto de la aproximación E= 0.000007, menor, al valor de |E3|. El error
relativo es 0.002%.
Con N= 6 se obtiene la aproximación con 6 decimales exactos i.e. este método es más eficiente numéricamente que el método del
trapecio compuesto.
CASO n>2: Los métodos descritos anteriormente se generalizan para n>2; sin embargo, la interpolación utilizando polinomios de grado elevado
pueden presentar errores de interpolación grandes. Por otra parte, las fórmulas compuestas correspondientes requieren una evaluación
numerosa de la función a integrar haciendo que los cálculos se hagan bastante lentos.
A continuación, se verá un método basado en los métodos considerados, en particular del trapecio, que permite acelerar la
convergencia sin necesidad de aumentar el número de evaluaciones de la función.
5.2.3 MÉTODO DE ROMBERG-RICHARDSON
El método se basa en el análisis de la fórmula del error y la generación de nuevas aproximaciones para la integral.
El error de las fórmulas compuestas del método del trapecio y de Simpson pueden ser escritas bajo la forma:
𝑬(𝒉) = 𝑪𝒉𝒌 𝒇(𝒌) (𝜼), 𝜼 ∈ [𝒂, 𝒃]
(5.24)
donde C es una constante y los valores de k son 2 y 4 para los métodos del trapecio y Simpson compuestos, respectivamente.
Si I1 y I2 son dos estimaciones de la integral I que corresponden a h1 y h2 (N1 y N2, respectivamente), E1 y E2 los errores respectivos,
entonces se tiene:
𝑰 − 𝑰𝟏 = 𝑬𝟏 = 𝑪𝒉𝟏 𝒌 𝒇(𝒌) (𝜼𝟏 ), 𝜼𝟏 ∈ [𝒂, 𝒃]
𝑰 − 𝑰𝟐 = 𝑬𝟐 = 𝑪𝒉𝟐 𝒌 𝒇(𝒌) (𝜼𝟐 ), 𝜼𝟐 ∈ [𝒂, 𝒃]
178
(5.25)
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Si la derivada f(k)(x) no varía bruscamente y tampoco cambia de signo en el intervalo de integración, suponiendo que f(k)(1) ~ f(k)(2) se
obtiene de (5.25) una aproximación para el valor de la integral I:
𝐼≈
ℎ
ℎ
ℎ
(5.26)
ℎ
Si las dos estimaciones son tales que h1 = 2h2 i.e. 2N1 = N2, la relación anterior da lugar a la fórmula de Romberg:
(5.27)
𝐼≈
Esta relación permite generar aproximaciones para la integral a partir de dos aproximaciones que corresponden a fórmulas compuestas con
sub-intervalos cuyos tamaños satisfacen 2N1 = N2 o h1 = 2h2.
 Caso del Método del Trapecio
El valor de k es igual a 2, la ecuación (5.27) es:
(5.28)
𝐼≈
Richardson demostró que, partiendo de aproximaciones Ik(0) , con k = 0, 1, …, kmax, calculadas con el método del trapecio compuesto y
correspondientes a un número de sub-intervalos de integración de la forma n = 2k, hk = (b-a)/2k y la condición sobre N o h está satisfecha,
se puede generar nuevas aproximaciones, extrapolación de Richardson, con la relación:
𝐼
( )
=
(
)
(
)
, 𝑚 = 1,2, . . . , 𝑘
y k =0,1,2,…,𝑘
−𝑚
(5.29)
Ejemplo 5.3: Calcular la integral de los anteriores ejemplos con el método de Romberg–Richardson, para kmax = 3.
Se construye una tabla para las diferentes aproximaciones a partir de las aproximaciones basadas en la fórmula del trapecio compuesta,
( )
columna𝐼 :
179
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𝑘
⎧
⎪0
1
⎨
⎪2
⎩3
donde los 𝐼
( )
𝑁=2
1
2
4
8
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
(
(
(
(
𝐼 ( )
)
= 0.346574
)
= 0.376019
)
= 0.383700
)
= 0.385644
𝐼
𝐼
𝐼
(
(
(
𝐼 ( )
)
= 0.385835
)
= 0.386260
)
= 0.386292
para m>0 se calcularon con la relación (5.29) y los 𝐼
𝐼
( )
ℎ
= [𝑓(𝑎) + 2
2
( )
𝐼
𝐼
(
(
𝐼 ( )
)
= 0.386288 𝐼
)
= 0.386294
( )
𝐼 ()
= 0.386294
con la relación,
𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑏)] con𝑛 = 2 y ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛
El cálculo de las aproximaciones Ii(0) supone evaluar el integrando para 9 valores de la variable, sin embargo, la precisión que se obtiene con
el método de Romberg-Richardson es igual al que se obtiene con la fórmula del trapecio compuesto con 220 evaluaciones (ver el problema
5.1)!!
180
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5.3 MÉTODO DE CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Idea: La idea del método se puede visualizarse con los gráficos de la figura.
GAUSS
TRAPECIO
P1(x)
f(x)
A2
A1
a
P1(x)
f(x)
a z1
b
z2
b
Se trata de estimar la integral de la función aproximando ésta con un polinomio de interpolación de grado 1: Por el método de NewtonCotes se tiene el método del trapecio donde los puntos que se consideran para construir el polinomio son (a, f(a)) y (b, f(b)).
La estimación de la integral de la función i.e. el área que se halla entre la curva de la función correspondiente al intervalo de integración
[a, b] y el eje x, está dada entonces por el área que se encuentra debajo de la curva del polinomio, la secante, área A1. La idea de Gauss
consiste en efectuar una aproximación similar pero en la que el polinomio se construye con los puntos (z1, f(z1)) y (z2, f(z2)), donde z1 y z2
son fijados de manera que la diferencia entre las áreas determinadas por la función y el polinomio, A2, sea mínima.
El número de evaluaciones de la función es la misma, pero la aproximación ha sido netamente mejorada, el problema es cómo determinar
los valores z1 y z2.
181
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El método de Gauss-Legendre permite resolver ese problema y consiste en las siguientes etapas:
1) Se realiza un cambio de variable para transformar el intervalo de integración [a, b] al intervalo [-1, 1]:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 con 𝑥 =
𝑧+
y 𝐹(𝑧) =
𝑓(
𝑧+
(5.30)
)
2) Se aproxima la nueva integral por una sumatoria de la forma:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 ≈ ∑
(5.31)
𝑤 , 𝐹(𝑧 , )
n (1, 2, …) corresponde al orden de la fórmula, los wn,i >0 son los pesos y los zn,i los nodos.
3) Para un orden n dado, los pesos y los nodos son calculados de manera que la aproximación (5.31) es exacta cuando el integrando es un
polinomio de grado menor o igual a un cierto grado m máximo.
 Caso Orden n=1,
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 ≈ 𝑤 , 𝐹(𝑧 , )
Las dos incógnitas w1,1 y z1,1, pueden ser calculadas de modo que la relación anterior es exacta para los polinomios de grado 0 y grado 1.
Nota: Es suficiente considerar polinomios de la forma Pi(z)=zi : En efecto, utilizando propiedades sobre integrales se tiene:
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑎
1𝑑𝑧 + 𝑎
𝑧𝑑𝑧 + 𝑎
𝑧 𝑑𝑧 +. . . +𝑎
𝑧 𝑑𝑧
si el cálculo de cada una de las integrales del miembro de la mano derecha es exacto, el cálculo de la integral del polinomio Pm(z) es
exacto.
182
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Las condiciones sobre los polinomios son entonces:
∫
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
1𝑑𝑧 = 𝑤
,
∗1⇒ 2=𝑤
∫
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
𝑧𝑑𝑧 = 𝑤
,
∗𝑧
,
,
⇒0=𝑤
,
∗𝑧
⇒𝑤
,
= 2, 𝑧
,
=0
(5.32)
,
Al orden n=1, la relación matemática del método de Gauss para estimar integrales es:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
ya que𝐹(𝑧) =
𝑓(
𝑧+
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 ≈ 𝑤 , 𝐹(𝑧 , ) = 2𝐹(0) = (𝑏 − 𝑎)𝑓(
) → 𝐹(0) =
𝑓(
)
(5.33)
).
La función se evalúa entonces en el punto medio del intervalo de integración y esa fórmula se conoce como el Método del Punto Medio.
Ejemplo 5.4: La integral de los anteriores ejemplos con el método de Gauss al orden n=1 es
∫ 𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 ≈ (2 − 1) 𝑙𝑛(
) = 0.405465
que tiene un error relativo de 5%. El error no es relativamente pequeño, pero se evaluó la función una sola vez.
 Caso Orden n=2:
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 ≈ 𝑤 , 𝐹(𝑧 , ) + 𝑤 , 𝐹(𝑧 , )
Las incógnitas w2,1, z2,1, w2,2, y z2,2 pueden ser calculadas de manera que la relación anterior es exacta para polinomios de grado 0, 1, 2 y 3.
Se tiene:
183
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⎧∫
⎪∫
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) + 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
1𝑑𝑧 = 𝑤
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) + 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
𝑧𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑧
⎨∫
⎪
⎩∫
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) + 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
𝑧 𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑧
,
+𝑤 , 𝑧
,
⇒ 2/3 = 𝑤 , 𝑧
𝑃 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) + 𝑤 , 𝑃 (𝑧 , ) ⇒ ∫
𝑧 𝑑𝑧 = 𝑤 , 𝑧
,
+𝑤 , 𝑧
,
⇒0=𝑤 , 𝑧
,
∗1+𝑤
,
∗1 ⇒ 2= 𝑤
+𝑤 , 𝑧
,
,
,
+𝑤
⇒0=𝑤 , 𝑧
,
,
+𝑤 , 𝑧
,
,
+𝑤 , 𝑧
,
+𝑤 , 𝑧
(5.34)
,
,
Se trata de un sistema de 4 ecuaciones no lineales con 4 incógnitas que se puede resolver con algunas manipulaciones algebraicas, la
solución es:
𝑤
,
=𝑤
,
= 1, 𝑧
,
= −𝑧
,
= 1/√3
(5.35)
Al orden n=2, la relación matemática del método de Gauss para estimar integrales sería:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
donde 𝐹(𝑧) =
𝑓(
𝐹(𝑧)𝑑𝑧 ≈ 𝑤 , 𝐹(𝑧 , ) + 𝑤 , 𝐹(𝑧 , ) = 𝐹(1/√3) + 𝐹(−1/√3)
𝑧+
(5.36)
).
Ejemplo 5.5: Estimar la integral de los anteriores ejemplos con el método de Gauss al orden n=2
∫ 𝑙𝑛( 𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑓(
√
+
)+
𝑓(−
√
+
) = 𝑙𝑛( 1.788675) + 𝑙𝑛( 1.211325) = 0.386595
que tiene un error relativo de 0.08%.
Dado que se hicieron solamente 2 evaluaciones del integrando, la potencia del método es evidente (con el método del trapecio se tendría un
error superior al 10%). Calculando al orden n=5, se obtiene el resultado con 6 decimales correctos.
184
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 Caso General Orden n>2
Se debe resolver un sistema de 2n ecuaciones no lineales para determinar los 2n parámetros, los n pesos wn,i, y los n nodos, zn,i
∑
𝑤 ,𝑧
,
=
si 𝑘 = 0,2, . . . ,2𝑛
0 si 𝑘 = 1,3, . . . ,2𝑛 − 1
(5.37)
Gauss, utilizando la teoría sobre familias de polinomios ortogonales, demostró que los nodos zn,i del orden n están dados por las raíces del
polinomio de Legendre de grado n.
Los polinomios de Legendre están definidos por la relación de recurrencia siguiente:
𝑃 (𝑧) = 1, 𝑃 (𝑧) = 𝑧,
𝑃 (𝑧) =
𝑧𝑃
(𝑧) −
𝑃
(𝑧),para 𝑛 ≥ 2
(5.38)
Por otra parte, demostró que los pesos wn,i están dados por la relación:
𝑤
,
=(
)
′
(
,
)
(
,
)
para 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛
Ejemplo 5.6: Recalcular los pesos y nodos para el orden n=2 utilizando las relaciones anteriores (5.38) y (5.39),
Nodos:
𝑃 (𝑧) = 1, 𝑃 (𝑧) = 𝑧,
𝑃 (𝑧) = 𝑧𝑃 (𝑧) − 𝑃 (𝑧) = 𝑧 − , 𝑃 (𝑧) = 0 → 𝑧 = ±1/√3
185
(5.39)
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Hugo Rojas Salinas, PhD
as
⎧𝑤 , = ′ (± /√ ) (± /√ ) = (±√ )(∓ /( √ )) = 1
⎪
Pesos: 𝑃 (𝑧) = 𝑧 −
→ 𝑃 ′ (𝑧) = 3𝑧 → 𝑃 ′ (±1/√3) = ±√3
⎨
⎪𝑃 (𝑧) = 𝑧𝑃 (𝑧) − 𝑃 (𝑧) = 𝑧( 𝑧 − ) − 𝑧 = 𝑧 − 𝑧
⎩
→ 𝑃 (±1/√3) = ∓2/(3√3)
Con las relaciones de Gauss para los nodos y pesos, se calcula una vez por todas y para todos los órdenes. Tabla para los 6 primeros órdenes:
n
1
2
3
4
zn,i
0
±0.5773502692
±0.7745966692
0
±0.8611363116
±0.3399810436
wn,i
2
1
0. 5
0. 8
0.34785 46451
0.65214 51549
n
5
6
zn,i
±0.9061798459
±0.5384693101
0
±0.6924695142
±0.2386191861
±0.6612093865
wn,i
0.2369268851
0.4786286705
0.568
0.17132 44924
0.46791 39346
0.36076 15730
Definición: Un método tiene un orden de precisión m, si permite calcular exactamente las integrales de los polinomios de grado ≤ 𝑚 , con m
máximo.
Ejemplo:
(1) Las relaciones del error en el caso de las fórmulas compuestas del Trapecio (5.13) y Simpson (5.22), muestran que el orden de
dichos métodos son m=1 y m=3, respectivamente.
En efecto, el error de la fórmula del Trapecio depende de la 2da derivada de la función y la de Simpson de la 4ta derivada, por lo
tanto, las derivadas de los polinomios de grado menor a 2 y grado menor a 4, respectivamente, son nulas lo que significa que los
errores también son nulos para esos casos, pero si el polinomio es de grado 2 en el caso del Trapecio y de grado 4 en el caso de
Simpson, las derivadas no son necesariamente nulas, por lo tanto los errores tampoco, lo que equivale a que las fórmulas ya no
son exactas para esos polinomios.
(2) Por construcción, el orden de precisión del método de Gauss-Legendre al orden n es m=2n-1. Mayor el orden precisión mayor es
la precisión del método.
186
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as
187
Texto: Métodos Numéricos
Hugo Rojas Salinas, PhD
as
5.4 INTEGRALES MÚLTIPLES
5.4.1 MÉTODO GENERAL
Puede ser realizado utilizando los métodos estudiados para resolver integrales simples: En efecto, en el caso de una integral doble, por
ejemplo, ésta puede ser transformada en una integral simple de una función que está definida a su vez por otra integral simple; la
generalización de esta técnica a una integral múltiple cualquiera es obvia.
5.4.2 CASO DE INTEGRALES DOBLES
Una integral doble tiene la forma general siguiente,
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫
( )
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦]𝑑𝑥
( )
= ∫ [∫
( )
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦
( )
(5.40)
donde el dominio de integración está dado por, 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜑 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜑 (𝑥) = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ |𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜙 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤
𝜙 (𝑦)
Según el método descrito anteriormente, la integral doble (5.40) puede ser escrita bajo la forma de integrales simples:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 con ℎ(𝑥) = ∫
( )
𝑓
( )
(5.41)
(𝑦)𝑑𝑦 y 𝑓 (𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)
 Método de Gauss-Legendre
⎧∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
( )
𝑓
( )
ℎ(𝑥) = ∫
(𝑦)𝑑𝑦 = ∫
⎨
⎩𝑓 (𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐻(𝑧)𝑑𝑧 ≈ ∑
𝐹 (𝑧)𝑑𝑧 ≈ ∑
𝑤
𝑤 , 𝐻(𝑧 , )𝑐𝑜𝑛𝐻(𝑧) =
,
𝐹 (𝑧
188
,
)𝑐𝑜𝑛𝐹 (𝑧) =
( )
ℎ(
( )
𝑧+
𝑓(
( )
)
( )
𝑧+
( )
( )
)
(5.42)
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as
Nota: El orden del método a ser utilizado para cada integral simple es generalmente diferente, prefiriéndose un orden superior para la
integral interna (en la relación anterior correspondería a la que define la función h(x)).
Ejemplo 5.7: Calcular la integral doble utilizando el método de Gauss al orden n=2, tanto para la integral interior como para la exterior
𝐼 = ∬ 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦,
y

donde el dominio de integración D es el triángulo de vértices (0,0), () y (,).
Solución:
El dominio de la integral es el conjunto: 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ |0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝜑 (𝑥) = 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜑 (𝑥) = 𝑥

x
la integral a calcular es,
𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
[
𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦]𝑑𝑥
Utilizando el método de Gauss-Legendre al orden n=2 para las dos integrales, interna y externa, se tiene:
⎧
⎪
𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
ℎ(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐻(𝑧)𝑑𝑧 ≈
𝑤 , 𝐻(𝑧 , ) = 𝐻(1/√3) + 𝐻(−1/√3)
⎨
𝜋−0 𝜋−0
𝜋+0
⎪𝐻(𝑧) =
ℎ(
𝑧+
) → 𝐻(1/√3) = 1.570796ℎ(2.477696), 𝐻(−1/√3) = 1.570796ℎ(0.663897)
⎩
2
2
2
⎧ℎ(𝑥) =
⎪
𝑓 (𝑦)𝑑𝑦 =
𝐹 (𝑧)𝑑𝑧 ≈
𝑤 , 𝐹 (𝑧 , ) = 𝐹 (1/√3) + 𝐹 (−1/√3)
⎨
𝑥−0 𝑥−0
𝑥+0
𝑥 𝑥
𝑥
⎪𝐹 (𝑧) =
𝑓(
𝑧+
) = 𝑓 ( 𝑧 + ), 𝑓 (𝑦) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)
⎩
2
2
2
2 2
2
189
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as
ℎ(2.477696) = 𝐹 .
(1/√3) + 𝐹 .
(−1/√3)
⎧
2.477696
2.477696
1
2.477696
⎪𝐹
(1/√3) =
𝑓.
(
+
) = 1.238848𝑓 .
.
⎪
2
2
2
√3
⎪
(1.954097) = 𝑐𝑜𝑠( 2.477696 + 1.954097) = −0.276928
⎪𝑓 .
⎪𝐹 .
(1/√3) = −0.343072
(1.954097)
⎨
2.477696
2.477696 1
2.477696
𝐹.
(−1/√3) =
𝑓.
(−
+
) = 1.238848𝑓 .
⎪
2
2
2
√3
⎪
⎪𝑓 .
(0.523599) = 𝑐𝑜𝑠( 2.477696 + 0.523599) = −0.990174
⎪
(−1/√3) = −1.226676
⎪𝐹 .
⎩ℎ(2.477696) = −1.569747
ℎ(0.663897) = 𝐹 .
(1/√3) + 𝐹 .
(−1/√3)
⎧
0.663897
0.663897
1
0.663897
⎪𝐹
(1/√3) =
𝑓.
(
+
) = 0.331948𝑓 .
.
⎪
2
2
2
√3
⎪
(0.523599) = 𝑐𝑜𝑠( 0.663897 + 0.523599) = 0.373984
⎪𝑓 .
⎪𝐹 .
(1/√3) = 0.124143
(0.523599)
⎨
0.663897
0.663897 1
0.663897
𝐹.
(−1/√3) =
𝑓.
(−
+
) = 0.331948𝑓 .
⎪
2
2
2
√3
⎪
⎪𝑓 .
(0.140298) = 𝑐𝑜𝑠( 0.663897 + 0.140298) = 0.693692
⎪
(−1/√3) = 0.230270
⎪𝐹 .
ℎ(0.663897)
= 0.354413
⎩
190
(0.523599)
(0.140298)
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Hugo Rojas Salinas, PhD
as
⎧𝐻(1/√3) = 1.570796ℎ(2.477696)=-2.465754
⎪𝐻(−1/ 3) = 1.570796ℎ(0.663897)=0.556711
√
⎨
⎪ 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ 𝐻(1/√3) + 𝐻(−1/√3) = −1.909043
⎩
La integral puede ser calculada exactamente: ∬ 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [ ∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦]𝑑𝑥 = ∫ [𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 =
− 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥) + 𝑐𝑜𝑠( 𝑥)
= −2,
por lo tanto, el error relativo del cálculo es de 4.5%.
191