Faculdade de Engenharia
Sistemas Lineares e Invariantes
Power Spectral Density
-14
Hamming
kaiser
Chebyshev
-16
Env
B
F
CS1
CS2
B
F
-18
Ground
Revolute
Body
CS1
Revolute1
Power/frequency (dB/Hz)
-20
-22
Body1
Revolute1
-24
Sine Wave
Joint Actuator
Joint Sensor1
-26
-28
Two coupled planar pendulums with
gravity and sine wave forcing in the
upper Revolute joint.
-32
-34
0
Angle
Double Pendulum
-30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Frequency (kHz)
0.35
0.4
0.45
Revolute
Joint Sensor
0.5
SS – MIEIC 2007/2008
Programa de SS
Faculdade de Engenharia
Sinais e Sistemas à 5 aulas
Sistemas Lineares e Invariantes à 4 aulas
Análise de Fourier (tempo contínuo) à 8 aulas
Análise de Fourier (tempo discreto) à 6 aulas
Amostragem de Sinais Contínuos à 2 aulas
SS 0708
SLITs 2
1
Sistemas lineares e invariantes no tempo – aula de hoje
Faculdade de Engenharia
Sistemas lineares e invariantes
SLITs discretos – resposta impulsional
Convolução discreta
Convolução discreta e resposta de SLITs
SLITs contínuos – resposta impulsional
Convolução contínua
Convolução contínua e resposta de SLITs
SS 0708
SLITs 3
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo – SLITs
Faculdade de Engenharia
São sistemas que verificam simultaneamente as propriedades de linearidade e invariância.
Num SLIT contínuo tal que x1 (t ) → y1 (t ), x2 (t ) → y 2 (t ), x3 (t ) → y3 (t ), ...
verifica-se
a1 x1 (t − t1 ) + a2 x2 (t − t 2 ) + a3 x3 (t − t3 ) + ... → a1 y1 (t − t1 ) + a2 y 2 (t − t 2 ) + a3 y3 (t − t3 ) + ...
Num SLIT discreto tal que x1[n] → y1[n], x 2 [n] → y 2 [n], x3 [n] → y3 [n], ...
verifica-se
a1 x1[n − n1 ] + a2 x 2 [n − n2 ] + a3 x3 [n − n3 ] + ... → a1 y1[n − n1 ] + a2 y 2 [n − n2 ] + a3 y3 [ n − n3 ] + ...
SS 0708
SLITs 4
2
Decomposição de sinais em impulsos – tempo discreto
Faculdade de Engenharia
x1[n]
Exemplo
1
-3 -2 -1
0 1
-1
2
3
n
x1[0]δ[n]
x1[−1]δ[n + 1]
x1[1]δ[n − 1]
1
-3 -2 -1
0 1
2
3 n
-3 -2 -1
1
0 1
2
3 n
-3 -2 -1
0 1
2
3 n
x1[n] = x1[−1]δ[n + 1] + x1[0]δ[n] + x1[1]δ[n − 1]
SS 0708
SLITs 5
Decomposição de sinais em impulsos – tempo discreto
Faculdade de Engenharia
Para um sinal em tempo discreto qualquer, tem-se
x[n] = L + x[−2]δ[n + 2] + x[−1]δ[n + 1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n − 1] + x[2]δ[n − 2] + L
ou ainda
x[n] =
+∞
∑ x[k ]δ[n − k ]
k = −∞
Qualquer sinal em tempo discreto pode ser escrito como uma combinação
linear de impulsos unitários deslocados
SS 0708
SLITs 6
3
Resposta impulsional de um SLIT discreto
Faculdade de Engenharia
A resposta impulsional de um SLIT discreto define-se como sendo a saída
δ[n]
h[n]
SLIT discreto
desse sistema quando a entrada é um impulso unitário e representa-se por h[n].
δ[n] → h[n]
δ[n − k ] → h[n − k ]
invariância
x[n] =
+∞
∑ x[k ]δ[n − k ]
y[n] =
k = −∞
+∞
y[n]
x[n]
∑ x[k ]h[n − k ]
SLIT discreto
k = −∞
linearidade
A resposta de um SLIT discreto a uma entrada x[n] qualquer
x[n]
y[n]
h[n]
pode ser obtida apenas à custa da sua resposta impulsional.
SS 0708
SLITs 7
Resposta impulsional de um SLIT discreto – exemplo
Faculdade de Engenharia
x[n]
h[n]
1
-3 -2 -1
0
1
2
3
n
x[n] = −δ[n + 1] + 2δ[n] − δ[n − 1]
−h[n + 1]
-3 -2 -1
0
1
n
-3 -2 -1
y[n] = ?
0 1
3
n
y[n] = − h[n + 1] + 2h[n] − h[n − 1]
−h[n − 1]
2h[n]
-2 -1 0
2
1
2
n
-1 0
1
2
y[n]
3
n
-3 -2 -1
0
1 2
3
n
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SLITs 8
4
Convolução discreta
Faculdade de Engenharia
A operação que define a saída de um SLIT discreto à custa da resposta impulsional e do sinal de entrada
designa-se convolução discreta e representa-se por
y[n] = x[n] * h[n] =
+∞
∑ x[k ]h[n − k ]
k = −∞
Generalizando, a convolução discreta é uma operação que, a partir de dois sinais em tempo discreto,
produz um novo sinal em tempo discreto.
y[n] = x1[n] * x2 [n] =
+∞
∑ x [k ] x [ n − k ]
1
2
k = −∞
Assim, pode dizer-se que a resposta de um SLIT discreto a uma dada entrada é a
convolução desta entrada com a resposta impulsional do sistema.
SS 0708
SLITs 9
Cálculo da convolução discreta
Faculdade de Engenharia
A partir da definição…
x1[n] * x 2 [n] =
+∞
∑ x [k ]x [n − k ]
1
2
k = −∞
= L + x1[−2]x2 [n + 2] + x1[−1]x2 [n + 1] + x1[0]x2 [n] + x1[1]x2 [n − 1] + x1[2]x2 [n − 2] + L
soma de cópias do sinal x2, cada uma deslocada de k e multiplicada por x1[k]
Nota:
Este método, embora directo, revela-se pouco apropriado para sinais com muitas amostras não nulas.
SS 0708
SLITs 10
5
Cálculo da convolução discreta
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x1[n]
Exemplo: Determinar y[n] = x1[n] * x2 [n]
1
-1 0
y[n] =
x 2 [n ]
2
3
n
0 1
-2 -1
n
− x 2 [ n]
+∞
∑ x [k ]x [n − k ]
1
2
2
k = −∞
-2 -1
= x1[0]x2 [n] + x1[1]x2 [n − 1] + x1[2]x2 [n − 2]
0
1
n
x 2 [n − 1]
= − x2 [n] + x2 [n − 1] − x2 [n − 2]
-1
0
0
1
1
2
3
n
− x2 [n − 2]
y[n]
-3 -2 -1
2
2
3
4
n
0
1
2
3
4
n
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SLITs 11
Cálculo da convolução discreta
x1[n] * x 2 [n] =
+∞
∑ x [k ]x [n − k ]
1
2
k = −∞
Nota:
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Para cada n, y[n] é igual à soma das amostras do produto de x1[k]
por x2[n–k], em que a variável independente é agora k
Este método é menos directo, mas aplica-se facilmente a sinais de duração ilimitada e é
generalizável para sinais em tempo contínuo
Passos de aplicação do método
1. Alterar a variável independente de x1 e x2 para k
2. Rebater o sinal x2[k] (passa de x2[k] a x2[-k])
3. Deslocar o sinal rebatido de de forma a que a amostra em k=0 passe a estar em k=n
4. Para cada n (de –∞ a +∞)
a. multiplicar ponto a ponto os sinais x1 e x2 rebatido e transladado
b. somar as amostras do sinal produto, obtendo y[n]
SS 0708
SLITs 12
6
Cálculo da convolução discreta – exemplo
y[n] = x1[n] * x2 [n]
Determinar
x1[n]
-1 0
1
x 2 [n ]
2
3
n
-2 -1
x1[k ]
-1 0
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1
0 1
2
n
x 2 [− k ]
x 2 [k ]
2
3
-2 -1
k
0 1
2
k
-2 -1
0 1
2
k
x 2 [n − k ]
n+1
n-2 n-1 n
n+2
k
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SLITs 13
Cálculo da convolução discreta – exemplo
Faculdade de Engenharia
x1[k ]
1
-1 0
2
3
k
x 2 [n − k ]
n < −1
n+1
n-2 n-1 n
n-2
y[n] = 0
k
x 2 [−1 − k ]
0
n = −1
-3 -2
-1
y[−1] = (−1) ⋅ (−1) = 1
1
k
x 2 [− k ]
n=0
1
-2 -1
0
2
y[0] = 1 ⋅ (−1) + (−1) ⋅1 = −2
k
SS 0708
SLITs 14
7
Cálculo da convolução discreta – exemplo
Faculdade de Engenharia
x1[k ]
1
-1 0
2
3
k
x 2 [1 − k ]
2
n =1
-1
1
0
3
y[1] = 1 ⋅1 + (−1) ⋅1 = 0
k
x 2 [2 − k ]
3
n=2
0
2
1
4
y[2] = 1⋅1 = 1
k
x 2 [n − k ]
y[n] = 0
n+1
n>2
n-2 n-1 n
n-2
k
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SLITs 15
Cálculo da convolução discreta – exemplo
x1[n]
-1 0
1
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x 2 [n ]
2
3
n
-2 -1
0 1
2
n
y[n] = x1[n] * x2 [n]
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
n
SS 0708
SLITs 16
8
Cálculo da convolução discreta – exercícios
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Calcule as seguintes convoluções:
y1[n] = (− δ[n + 1] + δ[n] + δ[n − 1])* (2δ[n − 1] − δ[n − 3])
y 2 [n] = (u[n] − u[n − 3]) * (2δ[n + 1] − δ[n − 1])
y3 [n] = u[n] * u[n]
(
)
y 4 [n] = u[n] * 0.25 n u[n]
SS 0708
SLITs 17
9