Identificação e Controle
Adaptativo
Prof. Antonio A. R. Coelho
Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC
Grupo de Pesquisa em Tecnologias de Controle Aplicado, GPqTCA
Departamento de Automação e Sistemas, DAS
CEP 88.040-900, Florianópolis, SC, Brasil ⎯ E-mail: aarc@das.ufsc.br
1
Ementa de Identificação
z
z
z
z
z
z
2
Introdução.
Noções básicas de
identificação.
Modelos de processos de
ordem reduzida e complexos.
Métodos clássicos para
modelagem de processos.
Identificação de sistemas via
equação a diferenças.
Identificação de sistemas via
relé.
Cap. 1 - Introdução
z
z
z
z
z
3
Sistema.
Elementos de um sistema de controle.
Modelagem e identificação.
Descrição de sistemas: modelos contínuos.
– Exemplos de modelagem por leis da física.
Descrição de sistemas: modelos discretos:
– exemplos de modelagem discreta.
– exemplos de modelagem por análise
experimental.
Conceito de sistema
z
O conceito de sistema pode ser definido como:
Um conjunto de objetos agrupados por alguma
interação ou interdependência, de modo que
existam relações de causa e efeito nos
fenômenos que ocorrem com os elementos desse
conjunto.
4
Classificação dos
sistemas dinâmicos
z
Quanto à variável temporal, um sistema pode ser
de tempo contínuo ou de tempo discreto.
9 5dy(t)/dt + y(t) = u(t)
9 y(k) = -0.9y(k-1) + 0.1u(k-1)
5
Classificação dos
sistemas dinâmicos
z
z
z
6
Quanto ao tipo de modelo, pode ser linear ou nãolinear.
Quanto aos parâmetros do modelo, pode ser de
parâmetros fixos ou variante no tempo.
Quanto ao número de entradas e saídas: SISO,
SIMO, MISO, MIMO.
Sistema
em controle
z
Em controle de processos denota-se sistema como um
objeto ou uma coleção de objetos que realiza um certo
objetivo e cujas propriedades pretende-se estudar.
Perturbação
Planta
Referência
+
Filtro
Ação de
controle
Erro
Σ
Controle
Atuador
_
Sensor(es)
7
Processo
Saída
Porquê controlar os sistemas?
z
z
z
manter os processos industrias dentro de seus pontos
operacionais mais eficientes.
prevenir condições instáveis no processo que
podem por em perigo pessoas e/ou equipamentos.
mostrar dados aos operadores da planta, para que
possam manter o processo seguro e eficiente.
► Motivos são vinculados a: qualidade, economia,
segurança.
8
Sistema
z
9
Exemplos de sistemas:
– papel e celulose.
– solar e de potência.
– servomecanismo de posição.
– biológico e econômico.
– manipulador robótico.
– Reator.
– coluna de destilação.
– trocador de calor.
– laminação e cerâmica.
Principais elementos de
um sistema de controle
z
10
Relação de causa e efeito.
Problemas de controle
(i) Análise:
z
Conhecido
entrada: u(.)
─ sistema: h(.)
─
z
11
Obter a saída: y(.)
Problemas de controle
(ii) Projeto:
z
Conhecido
–
–
z
12
sistema: h(.)
saída desejada: y(.)
Obter a entrada, u(.), para gerar a saída.
Problemas de controle
(iii) Identificação:
z
Conhecido
–
–
z
Obter o sistema: h(.)
–
13
entrada: u(.)
saída: y(.)
onde y(.) é a saída do sistema real (medida)
ŷ(.) é a saída estimada.
Modelo matemático
Definição:
“O modelo matemático de um sistema é definido
como um conjunto de equações usado para
representar um sistema físico” Dicionário do IEEE.
Nenhum modelo matemático de um sistema físico é exato.
14
Modelagem e identificação
Objetivo:
–
–
15
prever o futuro de um modo científico.
não é mágica!
Modelagem e identificação
z
Entende-se por modelagem e identificação a
determinação do modelo matemático de um
sistema representando os seus aspectos essenciais
de forma adequada para uma utilização particular:
–
–
–
–
16
Diagnóstico.
Supervisão.
Otimização.
Controle.
Modelagem e identificação
Sistema
Leis da
Física
Identificação
de sistemas
Modelo
17
Modelagem e identificação
18
z
Análise física-matemática:
Baseia-se nas leis da Física que caracterizam um
sistema particular como as leis de conservação de
massa, energia e momento.
z
Análise experimental:
Baseia-se nas medidas ou observações do
sistema.
Princípios para construção
de um modelo matemático
19
z
Para fins de controle de processos não pretende-se
encontrar um modelo matemático exato, mas um
modelo adequado para uma determinada aplicação.
z
Na prática utiliza-se a hipótese básica para elaboração
de modelos de que processos reais, em geral, não
necessitam obrigatoriamente de modelos complexos.
PROCESSO
Princípios para construção
de um modelo matemático
20
Método de
Identificação
MODELO
z
O modelo de um sistema é uma equação
matemática utilizada para responder questões
sobre o sistema sem a realização de
experimentações (através de um modelo pode-se
calcular ou decidir como o sistema comporta-se
sob determinadas condições operacionais).
z
A utilização do modelo para simulação do sistema
constitui-se um procedimento de baixo custo e
seguro para experimentar o sistema. Entretanto, a
validade (adequação) dos resultados de simulação
depende completamente da qualidade do modelo
matemático do sistema.
Propósitos para construção
de um modelo matemático
z
Previsão:
─
21
Tentativa de prever os estados futuros de
sistema (comportamento dinâmico). Está limitada
à precisão do modelo e aos efeitos das
perturbações atuantes no sistema.
Propósitos para construção
de um modelo matemático
z
Análise e projeto de sistemas de controle:
–
–
–
22
na sintonia de controladores clássicos.
na síntese de algoritmos de controle adaptativos
e preditivos.
na estimação do estado de variáveis nãomensuráveis, por exemplo a estimação da
velocidade a partir da posição é uma medida
indireta.
Propósitos para construção
de um modelo matemático
z
Supervisão:
─
Utiliza a simulação, com base no modelo
matemático, para avaliação das características
operacionais do sistema, para o projeto de
engenharia ou para o treinamento de operadores.
─ Muitas
vezes é também utilizado na detecção de
erros e diagnóstico.
23
Propósitos para construção
de um modelo matemático
z
24
Otimização:
─
Empregado na tomada de decisões nos mais
variados campos:
9 no escalonamento.
9 na manutenção.
9 na economia em sistemas industriais
(maximizar produção, minimizar custos, etc.).
─
A otimização de sistemas necessita de modelos
matemáticos precisos.
Modelos determinísticos x modelos
estocásticos
25
z
Denomina-se de modelo determinístico um modelo
que trabalha com relações exatas entre as variáveis
medidas e são expressas sem incerteza.
z
Um modelo é estocástico se o modelo pode trabalhar
também com conceitos de incerteza e
probabilidade. Um modelo matemático estocástico
contém quantidades que descritas por variáveis
estocásticas.
Modelos contínuos x modelos
discretos
26
z
Um modelo matemático que descreve a relação
entre sinais de tempo contínuo é denominado de
contínuo no tempo (equação diferencial).
z
Na prática os sinais de interesse são
freqüentemente obtidos na forma discreta,
resultante de medidas de tempo discreto (equação
a diferenças).
Descrição de sistemas:
modelos contínuos
z
A representação de sistemas pode ser
realizada usando:
–
–
–
z
27
função de transferência.
resposta impulsiva.
equações de estados.
A seguir, apresenta-se de forma resumida as
três abordagens utilizadas para descrever
sistemas dinâmicos contínuos.
Função de transferência contínua
z
A função de transferência contínua é a relação
entre a transformada de Laplace da saída, Y(s), pela
transformada de Laplace da entrada, U(s).
H (s) = Y(s) U(s)
28
Função de transferência contínua
z
A relação H(s) é uma razão de dois polinômios em s:
B
(
s
)
H ( s) =
A (s)
B(s) =
m
∑
j= 0
29
b js j
;
A (s) =
n
∑
a i si
i=0
Resposta impulsiva contínua
z
Num sistema linear invariante no tempo os sinais de
entrada e saída são relacionados pela integral de
convolução:
y( t ) =
z
t
∫0 h( t − τ) u( τ)dτ
h(t) é a resposta impulsiva do sistema.
A resposta impulsiva está relacionada com a função
de transferência por:
h( t ) = L−1[ H (s)]
30
L-1 é a transformada inversa de Laplace.
Equação de estados contínua
z
A função de transferência está relacionada com a representação
de estados contínua por:
H ( s) = c(sI − A )
−1
b
A é a matriz do sistema (nxn), b é o vetor de entrada (nx1) e c é o
vetor de saída (1xn). As equações de estados são:
x ( t ) = Ax( t ) + bu( t )
y( t ) = cx( t )
31
x(t) o vetor de estados (nx1), u(t) a entrada e y(t) a saída.
Exemplo de modelagem por
leis da Física
z
Representação matemática de um sistema elétrico:
Lei da tensão de Kirchhoff
descreve a dinâmica do
sistema elétrico.
u( t ) = Ri( t ) + L
i( t ) = C
32
di( t )
1 ∫ i( t ) dt
+
dt
C
dy( t )
dt
R: resistência; L: indutância, C: capacitância,
u(t): tensão de entrada; y(t): tensão de saída.
Exemplo de modelagem por
leis da Física
z
Representação matemática de um sistema mecânico:
Aplica-se a segunda lei de
Newton no sistema massa-molaamortecedor.
f ( t) = Kx( t) + B
33
dx( t)
dt + M
dx 2 ( t)
K: constante da mola,
B: coeficiente de atrito,
M: massa,
f(t): força (entrada),
x(t): deslocamento (saída).
dt 2
Representações matemáticas em
termos de transformada de Laplace
Funções de transferência
Y(s)
1
=
U(s) LCs2 + RCs + 1
X(s)
1
=
F(s) Ms2 + Bs + K
34
Exemplo numérico
Seja o sistema massa-mola-amortecedor:
X(s)
1
=
F(s) Ms2 + Bs + K
Admitir os parâmetros físicos do sistema:
M = 2 kg, B = 4 Nseg/m, K = 12 N/m.
35
Característica temporal do sistema
massa-mola-amortecedor (Matlab)
% Dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor
M=2;
% Definir parâmetros
B=4;
K=12;
num=[1];
% Definir polinômios
den=[M B K];
printsys(num,den,'s');
step(num,den);
% Avaliar resposta
roots(den);
36
Característica temporal do sistema
massa-mola-amortecedor (Matlab)
Step Response
0.1
0.09
0.08
Amplitude
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
1
2
3
Time (sec.)
37
4
5
6
Função de transferência
38
z
As funções de transferência obtidas com as parametrizações
físicas em termos dos parâmetros R, L, C ou M, K, B são
casos especiais dos modelos entrada-saída.
z
Em geral, os modelos avaliados, nestes casos, são
denominados Modelos Paramétricos e representam uma
dada estrutura onde os parâmetros são algumas vezes
desconhecidos e devem ser estimados.
z
Para avaliar os parâmetros (valores numéricos) através da
modelagem por leis da física necessita-se conhecer as
condições internas e externas bem como o conhecimento
físico do sistema.
Representação matemática de um
motor DC controlado por armadura
J
dw ( t )
+ Bw ( t ) = Tm ( t )
dt
Tm ( t ) = K a i( t )
e a ( t) = K b w( t)
L
39
di( t )
+ Ri( t ) + e a ( t ) = v( t )
dt
Representação matemática de um
motor DC controlado por armadura
Função de transferência
Ka
W(s)
=
V(s) (Js + B)( Ls + R ) + K a K b
40
Representação matemática do
sistemas mono-tanque
z
z
Para avaliar as características operacionais obtém-se uma
equação diferencial não-linear para o sistema.
Considere o sistema mono-tanque (processo de nível):
A é a área do tanque (m2), a é a área do tubo de saída (m2), h
é o nível do líquido no tanque (m), u é a vazão de entrada
(m3/s), q é a vazão de saída (m3/s).
41
Representação matemática do
sistemas mono-tanque
z
Deseja-se calcular um modelo relacionando as
variáveis de entrada (u) e saída (h). A lei de Bernoulli
descreve a relação entre a velocidade de vazão da saída
(m/s) e o nível do líquido no tanque:
v( t ) = 2gh( t )
g é a aceleração da gravidade.
42
Representação matemática do
sistemas mono-tanque
z
A equação relacionando o vazão da saída (q) e a velocidade
de vazão da saída (v) é
q ( t ) = av( t )
z
O volume de líquido no tanque, em um instante t, é calculado
por:
Ah( t ) , ( m3 )
43
Representação matemática do
sistemas mono-tanque
z
e modifica-se de acordo com a diferença entre o fluxo de
entrada e saída (denominado de balanço de massa),
conforme apresentado na equação
dAh( t )
= − q ( t ) + u( t )
dt
z
44
Com as equações de v(t) e q(t) obtém-se a equação
diferencial não-linear para o nível do líquido, ou seja,
dh( t ) −a 2g
1
=
h( t ) + u( t )
dt
A
A
Representação matemática do
sistemas mono-tanque
z
Pelo conhecimento da dimensão dos diferentes
elementos que compõem o sistema mono-tanque
pode-se avaliar a dinâmica e determinar o nível h(t)
quando o fluxo de entrada u(t) é conhecido. O fluxo
de saída é calculado por
q ( t ) = a 2g h( t )
45
Descrição de sistemas:
modelos discretos
46
z
A seguir, apresenta-se de forma resumida as três
abordagens utilizadas para descrever sistemas
discretos.
z
Também é possível através das transformações
retangular ou trapezoidal determinar os
correspondentes modelos contínuos e discretos.
Função de transferência discreta
A função de transferência discreta é a
relação entre a transformada-z da saída, Y(z),
pela transformada-z da entrada, U(z).
Y
(
z
)
H ( z) =
47
U ( z)
Função de transferência discreta
A relação H(z) é uma razão de dois
polinômios em z.
d
B
H ( z) = ( z)
A d ( z)
m
n
j= 0
i =0
B d (z) = ∑ b dj z j ; A d (z) = ∑ a id z i
48
Resposta impulsiva discreta
A resposta impulsiva está relacionada com
a função de transferência.
h( t ) = Z −1[ H ( z)]
Z-1 é a transformada-z inversa e t é o tempo
discreto.
49
Resposta impulsiva discreta
As amostras da resposta impulsiva, h(t),
estão relacionadas com as amostras da
resposta ao degrau, s(t).
h(t) =
1
[s( t ) − s( t −1)]
Ts
t
s ( t ) = ∑ h (i )
i =0
50
Equações de estado discreta
A função de transferência está relacionada
com a representação de estados discreta,
no caso monovariável:
(
H(z) = c zI - A
51
d -1
)
bd
Ad : matriz do sistema (nxn),
bd : vetor de entrada (nx1),
c : vetor de saída (1xn).
Equações de estado discreta
As equações de estados na forma discreta:
x ( t +1) = A d x ( t ) + b d u ( t )
y( t ) = cx ( t )
x(t) : vetor de estados (nx1),
u(t) : entrada,
y(t) : saída.
(▪ medidas especificadas a cada período de amostragem)
52
Equações discreta
Selecionar um período de amostragem, Ts,
para cada aplicação particular, de acordo com
uma das seguintes relações:
T95
= 5...15
Ts
53
Ts = τ / 10
T95 é o tempo que a resposta do sistema leva
para alcançar 95% do valor final e τ é a
constante de tempo dominante do sistema.
Exemplos de modelagem discreta
Seja o circuito RC onde y(t) é a tensão de
saída e u(t) é a tensão de entrada.
54
Exemplos de modelagem discreta
A equação diferencial linear de primeira
ordem que representa a dinâmica do sistema é
dada por:
dy( t )
RC
+ y( t ) = u( t )
dt
Seja a aproximação numérica da derivada:
55
dy( t ) y( t ) − y( t − 1)
≈
dt
Ts
Exemplo de modelagem discreta
Obtém-se a função de transferência discreta
para o circuito RC de acordo com:
Ts z
Y( z)
=
U( z) ( RC + Ts ) z − RC
56
Selecionando uma entrada para o circuito RC e
conhecendo-se os valores de R, C e Ts, as
operações de carregamento e descarregamento
no capacitor podem ser avaliadas.
Exemplo de modelagem por análise
experimental
Processo discreto de primeira ordem:
Considere o processo caracterizado
seguinte equação a diferenças:
y( t + 1) = θ∗ y( t ) + u( t )
θ : parâmetro desconhecido e
y(t) = 0 (∀ t < 0).
∗
57
pela
Exemplo de modelagem por análise
experimental
Admita o seguinte modelo para estimação:
ŷ( t +1) = θˆ y( t )+ u ( t )
∗
θ̂ : estimativa de θ
ŷ( t +1 ) : previsão da saída no
58
instante (t+1) baseado
no parâmetro estimado
θ̂
Exemplo de modelagem por análise
experimental
Seja a função custo dos mínimos quadrados
dada por:
t
J(t ) =
1
2
e
(k )
∑
2 k =0
e( t ) = y( t ) − ŷ( t )
59
Substituindo as equações em e(t):
y( t + 1) = θ ∗ y( t ) + u( t ) e ŷ( t +1) = θˆ y( t )+ u ( t )
Exemplo de modelagem por análise
experimental
Obtém-se o erro de estimação em função das
medidas de entrada e saída (atual e
anteriores) do processo de acordo com:
e( t ) = θ ∗ y( t − 1) − θˆ y( t − 1) = y( t ) − u ( t − 1) − θˆ y( t − 1)
60
Exemplo de modelagem por análise
experimental
Supor para um certo sistema que não é conhecido o
parâmetro θ ∗, mas as medidas de entrada e saída no
intervalo de tempo da experimentação, 0 ≤ t ≤ N.
Obtém-se o estimador dos mínimos quadrados pela
diferenciação de J(t) em relação a θ̂ , resultando:
t −1
∑ y(k )[y(k + 1) − u (k )]
θ̂( t ) =
k =0
t −1
∑ y 2 (k )
k =0
61
Exemplo de modelagem por análise
experimental
62
Matlab:
% Estimador do parâmetro da planta da equação (1.28)
y(1)=0; u(1)=0; soma1=0; soma2=0;
for i=2:30
% Obter medidas
u(i)=1; y(i)=0.9*y(i-1)+u(i-1);
end
for k=1:30
% Estimar parâmetro
soma1=soma1+y(k)*(y(k+1)-u(k));
soma2=soma2+y(k)^2;
teta(k)=soma1/soma2;
end
t=1:30
plot(t,teta(t));
Sistema de controle digital
(discreto)
Controle digital
flexibilidade na realização do controlador
(programa de cálculo) .
possibilidade de controle dinâmico associado a
decisão lógica.
multiplexagem no tempo (servindo diversas
malhas de controle) .
63
Sistemas de controle digital
(discreto)
64
Sistemas de controle digital
(discreto)
i) amostragem.
ii) quantificação ↔ resolução do conversor A/D.
iii) equações a diferença (equações adaptadas ao cálculo por
computador).
iv) processamento numérico com precisão de cálculo finita.
v) tempo de conversão + tempo de cálculo (no controle
analógico é praticamente instantâneo).
65
Estabilidade
66