ASL – Análise de Sistemas Lineares
Aula 02 – Introdução aos Sistemas Lineares
LATHI, B.P., Sinais e Sistemas Lineares, Ed. Bookman, 2a ed., 2004, Cap.01, pg.101-107
1. Sinais
1.1. definição (Lathi): um sinal é um conjunto de dados ou informações. Um sinal pode ser função do
tempo (e.g., sinal de televisão, sinal vendas mensais de uma corporação) ou do espaço (carga elétrica
distribuída em um corpo). Neste curso se tratará de sinais que são funções do tempo, embora a análise
seja válida para outras variáveis independentes.
Tipos de Sinais
Sinais contínuos: são funções de um argumento real, onde x(t) é um sinal no qual t pode assumir
qualquer valor real. x(t) pode também ter valor constante ou nulo para um intervalo de valores de t.
Sinais discretos no tempo: são funções de um argumento que só pode assumir valores discretos
pertencentes a um conjunto. Usualmente emprega-se um índice ao invés do variável tempo quando se
trata de sinais discretos.
x[n] é um sinal no qual n Є {...-3,-2,-1,0,1,2,3.. .}.
OBS: Tanto para sinais contínuos como para sinais discretos, o valor de x pode ser real ou complexo.
Visão matemática de sinal: variável funcionalmente dependente de uma ou mais variáveis
independentes. Ex.: z = f(x, y). Os Tipos de sinais de acordo com o número de variáveis independentes
são: unidimensional, bidimensional, tridimensional, multidimensional.
De acordo com o tipo das variáveis independentes, os tipos de sinais são: analógico, amostrado,
quantizado, digital. No sinal analógico todas as variáveis são contínuas. No sinal amostrado ocorre uma
discretização das variáveis independentes (amostragem). No sinal quantizado: discretização da variável
dependente (quantização). No sinal digital: todas as variáveis são discretas. E, finalmente, no sinal
amostrado e sinal digital eles são representados por conjunto ordenado de valores (sequência).
2. Sistema
2.1. Definição (Lathi): formalmente, um sistema é uma entidade que pode processar um ou mais sinais
(entrada do sistema) e produzir um ou mais sinais (saída do sistema). Sistemas podem modificar ou
extrair informações adicionais de um sinal. Outras considerações a respeito de sistemas:
-
Um sistema físico é formado por um conjunto de componentes interconectados e são caracterizados por
suas relações terminais (relação entre entrada e saída).
-
Um sistema é regido por “leis” derivadas das interconexões (e.g., circuito elétrico).
-
O modelo matemático descreve a relação entre entrada e saída baseada nas leis mencionadas.
-
Um sistema pode ser esquematicamente representado por um retângulo com informações sobre suas
entradas e saídas.
-
Áreas de estudo: modelagem, análise e projeto.
2.2. Classificação de Sistemas: os sistemas podem ser classificados por diversos critérios, sendo que
alguns destes podem definir, por exemplo, se um sistema é:
-
Sistemas Lineares e não Lineares; (Aula 03)
-
Sistemas de Parâmetros Constantes e de Parâmetros Variáveis no Tempo;
Sistemas Instantâneos (sem Memória) e dinâmicos (com Memória);
Sistemas Causais e não Causais;
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo;
Sistemas Analógicos e Digitais;
Sistemas Inversíveis e não Inversíveis;
Sistemas Estáveis e Instáveis;
2.3. Classificação quanto à quantidade de entradas e saídas de um sistema: os sistemas aqui discutidos
podem ser classificados de acordo com a relação entre excitação (input) e sua resposta (output),
entrada e saída ou causa e efeito. Para o contexto da disciplina, serão considerados sistemas que
podem ter entradas e saídas simples ou múltiplas. A relação entre o número de entradas e saídas divide
os sistemas nos seguintes grupos:
- SISO (single-input single-output);
- MIMO (multiple-input multiple-output);
- SIMO (single-input multiple-output);
- MISO (multiple-input single-output).
2.4. Sistemas lineares e não lineares:
Seja um sistema descrito por x(t)  y(t), t ≥ t0, ele é linear se possui a propriedade da superposição:
k1x1(t) + k2x2(t)  k1y1(t) + k2y2(t), onde a Superposição = aditividade (i) + homogeneidade (ii)
(i)
x1(t) + x2(t)  y1(t) + y2(t), t ≥ t0
(ii)
kx(t)  ky(t), t ≥ t0
A consequência direta do princípio da superposição: para entrada nula, a saída do sistema é resposta
de entrada zero
Na natureza, a maioria dos sistemas são sistemas não–lineares. Estes podem ser aproximados por
sistemas lineares para parte de seu domínio.
Exercícios:
1) Seja o sistema y(t) = a.x(t) + b, onde x(t) é a entrada e “a” e “b” são constantes. Verifique
se o sistema é linear e, em caso contrário, verifique qual dos princípios ele não atende.
2) Seja o sistema y(t) = sen(x(t)), onde x(t) é a entrada e y(t) é a saída. Verifique se o mesmo é
linear.
3) As condições abaixo definem se um sistema é linear.
(i)
x1(t) + x2(t)  y1(t) + y2(t), t ≥ t0
(ii)
k x(t)  k y(t), t ≥ t0
4) Para quaisquer x1 e x2 e qualquer real k, a relação (i) é chamada de Propriedade da
Aditividade e a relação (ii) de Propriedade da Homogeneidade. Se um sistema relaxado tem
estas duas propriedades, ele é dito ser linear. Se um sistema qualquer não satisfaz uma das
condições anteriores (i) ou (ii), podemos afirmar que este sistema é não linear. Neste
instante, surge uma questão importante: podemos concluir a respeito da linearidade de um
sistema se testar apenas uma das condições e verificarmos que a mesma é satisfeita? Prove
a sua resposta.
5) “A linearidade de um sistema é uma propriedade do mesmo e que independe da entrada
aplicada”. Essa afirmação é verdadeira? Analise e resolva o problema a seguir e responda.
Seja o sistema linear bastante simples y(t) = x(t). Considere agora uma entrada x1(t)=sen(t)
e outra x2(t)=t. As curvas de resposta para cada uma das entradas são mostras abaixo:
Como seriam as curvas das saídas das saídas y1(t) e y2(t)? Então, o sistema é realmente linear?
Justifique.
Outras Classificações de Sistemas
1) Instantâneos ou Dinâmicos
– Sistema Instantâneo: é aquele no qual a saída em qualquer instante de tempo depende apenas da
entrada neste instante de tempo. Este sistema é chamado de sistema sem memória. Sistema sem memória;
Condições iniciais sempre nulas.
– Sistema Dinâmico: é aquele que a saída depende da entrada atual e da história do sistema (sistema
com memória). Sistema com memória: Condições iniciais podem ser diferentes de zero.
Um sistema cuja saída depende de informações dos últimos T instantes de tempo é chamado sistema de memória finita.
2) Causal ou Não-causal
– Sistema Causal: um sistema é causal se a saída em algum instante to depende apenas da entrada para
o tempo anterior a to. Chama-se sistema físico ou não-antecipativo. Logo, a saída depende apenas dos
valores de entrada presentes e passados.
Qualquer sistema do mundo real que opere em tempo real, tem que ser causal.
– Sistema Não-causal: É um sistema que viola a condição de causalidade. Pode-se chamar sistema
antecipativo.
Usabilidade de sistemas Não-causais: usados quando as variáveis independentes são outras que não o tempo (e.g., espaço).
Alguns sistemas em processamento de sinais (e.g., sinais de fala têm todos os dados de entrada pré-gravados.
3) Contínuo no Tempo ou Discreto no Tempo
– Sistema Contínuo no Tempo: é aquele cujos sinais de entrada e saída são contínuos no tempo
(definidos ou especificados para um intervalo contínuo de tempo). Exemplo: sinais de sensores de
controle de um elevador.
– Sistema Discreto no Tempo: é aquele cujos sinais de entrada e saída são discretos no tempo
(definidos ou especificados para instantes discretos de tempo). Exemplo: sinais de tráfego de rede de
um computador.
A figura abaixo apresenta uma sequência de sistemas onde um sinal pode ser, através de sistemas,
transformado em sinais discretos, transformados em outro tipo de sinal e finalmente, transformado em um
sistema continuo.
4) A ser Analógico ou Digital
– Sistema Analógico: é aquele sistema em que tanto os seus sinais de entrada quanto os de saída são
analógicos.
– Sistema Digital: é aquele sistema em que tanto os seus sinais de entrada quanto os de saída são digitais
5) A ser Estável ou Instável
– Estabilidade é definida como:
o Estabilidade Externa (BIBO) se toda entrada limitada no sistema resulta em uma saída também
limitada; e
o Estabilidade Interna: é relacionada a variáveis internas ao sistema que devem possuir valores
limitados e convergentes.
– Um sistema é dito instável se a condição de estabilidade não for atendida.
6) A ser Inversível ou Não-inversível
– Sistema Inversível: é aquele em que se pode obter a entrada a partir de sua saída. Essa propriedade
demanda relação entrada-saída biunívoca. A operação inversa é obtida pelo sistema inverso. Exemplo:
um integrador ideal e um derivador ideal.
– Sistema Não-inversível: é aquele em não é possível obter a entrada a partir de sua saída. Exemplo:
Algumas entradas diferentes que resultam em uma mesma saída como ocorre em um retificador.